L'accessibilité comme signal quantité dans les schémas de rationnement et de distribution décentralisés

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L’accessibilité comme signal quantité dans les schémas

de rationnement et de distribution décentralisés

Louis de Mesnard

To cite this version:

Louis de Mesnard. L’accessibilité comme signal quantité dans les schémas de rationnement et de distribution décentralisés. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME). 1986, 33 p., ref. bib. : 1 p. �hal-01537997�

DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON

<&

L'ACCESSIBILITE COMME SIGNAL QUANTITE D A L L E S SCHEMAS DE RATIONNEMENT ET DE DISTRIBUTION DECENTRALISES

organisations : une application au conseil d'administration (Novembre 1985)

N° 82 C.S. BERTUGLIA, G. LEONARDI, R. TADEI : Dynamic analysis of transport - location interrelationships : theory and models.

(November 1985)

N® 83 PH. VINCKE : La modélisation des préférences (Décembre 1985)

N° 84 Elie SADIGH : La dépense du profit et le disfonctionnement du système économique (Janvier 1986)

N° 85 Elie SADIGH : Réalisation de la rente et généralisation du surplus dans le système de Walras (Février 1986)

N° 86 J.C. GARLANDIER, B. ROUGET : Influence économique et concurrence au sein d'une agglomération. Essai de mesure, (février 1986)

N° 87 B. FUSTIER : Classement en présence de critères multiples : Sparte II (avril 1986)

N° 88 J.M. HURIOT : Land rent, production and land use (July 1986)

La liste récapitulative des Documents de Travail publiés depuis 1974 (numéros 1 à 80), mentionnant les références des "reprints" dans des revues, peut-être communiquée sur demande adressée à l'I.M.E.

The list of Working Papers published since 1974 (N° 1 to 80), and mentioning the reprints in their original or revised version is

I N T R O D U C T I O N .

Un march é dans lequel on supprime l'hypothèse de pôle d i str ibu teu r central ne peut pas à priori fonctionner, parceque, dans la théorie traditionnelle, tous les biens sont s u p p o s é s transiter par le centre, ce qui assure deux fonctions: la formation d'un prix unique et la distribution des biens.

No u s allons examiner ce qui se passe quand on lève cette hypothèse:

- en nous plaçant dans le cadre de la théorie du dé séq u i l i b r e où le prix est donné. N ous re noncerons donc à la p r e miè re fonction, ma i s nous n'étu die ron s que le cas des prix uniques.

- en abandonnant l'hypothèse du pôle central. Nous e n l è v e r o n s ainsi la seconde fonction.

N ous p rop oserons alors un schéma de distribution décentralisé, dans lesquel nous étud ier ons les signaux quantité.

Dans tous les développements qui suivent, nous supposerons que les hy pothèses t r a d i t i o n e 11 es des schémas de rationnement sont satisfaites <cf BENASSY 1):

- il y a échange volontaire: aucun n'agent n'échange plus qu'il ne désire

les schémas sont efficaces ou sans friction: il n'y a pas à la fois d'offres et de demandes non satisfaites. Donc tous les agents du côté "court" (contraint) réalisent

les échanges au niveau qu'ils désiraient.

Du point de vue des notations, nous d é s i g n e r o n s par Og l'offre globale et par Dg la demande globale.

Nous allons rappeler le cas du m a r c h é traditionnel et voir le cas des schémas de rationnement. Pour le marché, chacun connaît la littérature, en partant de Marshall et de Walras. Pour les schémas de rationnement simple, il en existe deux grands types: le système de queue et le système proportionnel (cf BEN ASS Y 1, chapitre 1; B E N A S S Y 2; KORNAI et W E I B U L L ) .

3

I. RAPPE L : LE MARCHE TRADITIONNEL.

Dans la théorie traditionnelle du marché à un seul bien, le m a r c h é Joue un double rôle:

assurer l'existence d'un prix unique, qui é q ui lib re l'offre et la demande

réaliser un centre uniq ue de distribution du bien, en évitant de se poser la question de savoir combien chaque vendeur doit vendre à chaque acheteur, la répartition étant globale:

= chaque vendeur approvisionne le centre en fonction de son offre, c.a.d. de ses cara cté ris tiq ues de coût

= le centre redistribue à chaque acheteur, en fonction de la demande individuelle de celui-ci.

= Il y a équilibre puisque l'offre globale est égale à la demande globale, grâce au prix.

Que se passe-t-il si nous a ban donnons 1'une ou l'autre de ces fonctions?

Si nous renonçons à la première fonction, nous tombons :

= Soit sur un marché sans prix unique, que nous n ' é t u d i e r o n s pas ici.

= Soit sur un marché à rationnement, le prix étant donné.

- Si nous abandonnons la seconde fonction, nous ne savons pl u s comment faire fonctionner le marché, puisqu'il

II. LES SCHE MAS SIMPLES.

Il y a rationnement car le prix est donné. Ra p p e l o n s le graphique bien connu, selon lequel le m i n i m u m

*

de l'offre et de la demande est échangé au prix p donné, ce qui se traduit par la courbe m a t é r i a l i s é e par des étoiles:

Q A

5

Nou s donnerons la définition dans le cas où le côté long est la demande (demande rationnée, c.a.d. Dg > Og); le cas da n s lequel le côté long est l'offre en est le s y m é t r i q u e .

con sis te à servir les agents dans un certain ordre. Chaque agent ne peut recevoir au plus que ce que les pr écédents ont laissé. Cl a s s o n s les demandeurs j de 1 à m; chaque demandeur

ième

émet une demande D j . Le j demandeur peut demander D * j :

ce s c hém a peut être manipulable. Le cas le plus évident est celui obtenu lorsque le classement des agents dépend de l'importance de leur demande. On peut à ce prop os signaler que la plupart des schémas de rationnement sont m a ni pu 1a b 1 e s , ce qui veut dire qu'il y a une règle du jeu

La procédure de rationnement par système de queue

D*j = 0 - 2Z. D*j' = Max ( 0 , 0 -

_YZ-

J ' <j J'<J

L'acheteur recevra effectivement: D*j = Min (Dj , Max ( 0 , 0 - ^ Dj > >

j'<j L' offreur vendra:

0* » Min (0 j

Les limites des échanges peuvent s'écrire: Dj )

0 = Dj J

et ces g r a n d e u r s jouent le rôle de signaux q u a n t i t é .

qui doit être respectée par tous les agents pour que le schémas fonctionne.

b) Le schéma proportionnel.

Nous suppos ero ns que le côté long est la demande; l'exposé serait symétrique pour l'offre.

Dans ce système, chaque agent du côté long reçoit proportio nne lle men t à sa demande. Ceci revient à diviser l'offre globale par la somme de toutes les demandes, pour obtenir un coefficient d'ajustement, p ui s à m ult ipl ier chaque demande par ce coefficient pour obtenir la quantité que chaque agent obtiendra. Soit:

k = Og Dj j et

D#j = k . Dj

On voit que l'offre est répartie au p r ora ta des demandes:

D#j = Og . Dj/DJ .

Le coefficient k joue le rôle de signal quantité, qui informe les agents sur ce qu'ils vont pou voi r demander. Ce schéma de rationnement est manipulable.

III. SCHEMA? W L X.IPIMENTIQM ELS.,

Il ne s'agit pas de n marchés, cas évoqué par J-P Benassy Ccf BENASSY 1) comme inefficace si on pro cède à une agrégation (pour certains prix, il existe à la fois des agents offre urs rationnés et des agents de man d e u r s

rat i o n n é s ) .

M a i s il s'agit d'un seul marc hé multipolaire, c.a.d. à n agents offreurs et m agents demandeurs. Nous s u p p o s e r o n s que chaque vendeur peut connaître tous les a c h e t e u r s et chaque acheteur tous les vendeurs: il n y a pas opac i t é .

a) Schémas de rationnement multidimensionnel ..à bureau centralisateur.

En visageons le cas où la demande est le côté long et c o n s i d é r o n s un schéma de rationnement à n biens et un seul offre ur par bien. Il est évidemment séparable en n schémas, un par bien, à partir du moment où chaque agent a exprimé une ventilation de sa demande totale entre les d i f f é r e n t s biens. En effet, la distribution d'un bien est indépendante de celle des autres biens du point de vue de 1 ' o f f r e.

Pour chaque bien, le rationnement se fera comme pour un s ché m a simple.

Maintenant, considérons un schéma de rationnement à un bien et n offreurs (en supposant que la demande soit le côté long). Il est évidemment non séparable, car ce que d i st rib ue un offreur doit tenir compte de ce que distribuent les a u t r e s offreurs (si un offreur sature la demande d'un agent, aucun autre offreur ne peut satisfaire cet agent).

Mai s on peut déjà adopter la même règle que pour un schéma simple: chaque agent demandeur reçoit une dotation

globale p r opor ti onn ell e à sa demande. Comme précédemment, on aura:

k = Oi / X Z = Og / Dg

i j

et les d o ta tio ns (demandes réalisées) valent: D#j= k . Dj

Nous avons: 7~ D*j = Og

J

Nous avons bien ainsi rationné globalement, ma is nous n'avons pas de réponse sur la façon dont chaque offreur va sa tisfaire chaque demande réalisée. No u s sav o n s qu'un agent demandeur J va recevoir une quantité D * j , et qu'un agent offreur i va distribuer une quantité O i , m a i s nous ne savons pas comment j va être desservi par tous les of freurs

i, ni comment i va desservir tous les dem a n d e u r s j.

Notre schéma de rationnement est donc très incomplet, et pour tout dire Inutilisable en l'état.

Cette question n'est pas en général abordée par les travaux sur le déséquilibre. On y suppose implicitement qu'il n'y a qu'un offreur, ou qu'il y a un pôle unique centralis ate ur de l'offre. Il s'agit alors d'un véritable "bureau de rationnement", qui centralise l'offre et se charge de la redistribuer aux demandeurs.

On peut dire que si les travaux sur le d ésé qui lib re lèvent bien l'une des hypothèses p r i nci pal es de la théorie néoclassique, celle d'un marché parfait où le prix se fixe en fonction de la loi de l'offre et de la demande, ils ne suppriment pas celle d'un "bureau centralisateur".

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r a ti onn eme nt dans lequel un tel organisme disparaîtrait, car il est évident qu'il ne constitue pas une hypothèse s a t i s f a i s a n t e au plan économique.

En effet, un bureau de rationnement unique est peu réaliste. Dans la réalité, le bureau sera multiple. Pour que le m o d è l e reste valide, il faudrait supposer que les individus doivent se rendre dans un bureau précis pour s ' a p p r o v i s i o n n e r et que tous les bureaux distribuent les b i e n s selon le même système, tout comme s'ils constituaient un burea u unique. Ou bien encore, envisager une quasi

infinité de bureaux, soit un par offreur.

No u s pouvons donc abandonner cette hypothèse d'unici té pour envisager le cas dans lequel il n'y a pas de pôle distr ibu teu r unique et dans lequel chaque offreur peut dis tri bue r directement à chaque demandeur. Nous voulons donc passer d'un graphe du types

0 D

où les v e n d e u r s ne connaissent que le pôle central, et les ac h e t e u r s aussi, à un graphe du type:

0 D

où chaque offreur connaît chaque demandeur, et r é c i p r o q u e m e n t .

b) Schémas— mul tid i m e n s i o n n els sans bureau c e n t r a l i s a t e u r .

Nous d i s tin gue ron s ici les trois cas:

- la demande est le côté long (contrainte d o f f r e et demande rationnée)

“ l'offre est le côté long (contrainte de demande et offre rationnée)

~ l'offre et la demande sont s imu ltanément contraints.

1> Demande du côté Iona (Da > Q a ) .

Notons xij les ventes de l'offreur i au demandeur j. La contrainte suivante doit être respectée:

< xi j = Oi Vi C j

Il s'agit d'une situation de rationnement, pour laquelle on doit trouver un schéma:

Une première hypothèse consiste à supposêr que chaque offr eur procède de la mêm e manière que l'ensemble des offreurs: il répartit son offre au prorata des demandes.

Dans ces conditions, i va échanger avec tout dem and eur j des quantités:

x i j = Oi . Dj / Y ~ Dj

j

Ce schéma très simple présente de nombreux défauts. Il suppo se que tous les agents o ffreurs ont le même comportement. Il ne s'agit donc que de la duplication d'un même s c hém a n fois, si n est le nombre d'offreurs. L'intérêt est donc limité, car cette hy pothèse reconstitue en fait le pôle c e n t r a l .

- Si on renonce à cette hypothèse, on se place dans le c as d ' ab sen ce de pôle central, ma i s on ne peut plus

trouver aisément les xij.

On peut penser que chaque offreur connaît la demande que chaque demandeur individuel lui adresse. On peut aussi supposer que chaque offeur a des préférences, m a t é r i a l i s é e s par une clé de répartition qui lui est p r o p r e .

T o u t e s ces indications conduisent à munir chaque offreur i d'une clé de répartition de son offre entre les m demandeurs. Le problème qui se pose est celui de la co m p a t i b i l i t é des clés de tous les offreurs, car rien ne dit

que si chacun utilise sa propre clé, la demande de chaque demandeur sera satisfaite.

On peut encore penser qu'il y a des coûts de distribution ou de transport, qui vont amener à servir cer tai ns demandeurs p r é f é r e n t i e l 1ement (on sert le demandeur le m o i n s coûteux; lorsqu'il est saturé, on sert le second, etc...). La même remarque que précédemment peut être faite, et de plus, une question de priorité entre offreurs se p o s e .

Il nous faudra donc une procédure d ' h a rmo nis ati on d é c e n t r a l i s é e .

2) Offre du côté long (Qg > D g ) .

La probl éma tiq ue est symétrique si l'offre est le côté long. La contrainte suivante doit être respectée:

( H xij = Dj Vj ( i

Il s'agit encore d'une situation de rationnement. Si tous les d emandeurs se comportent de la même façon, le schéma sera:

xi j = Oi .Dj / Y L Oi

i

Si chaque vendeur suit sa propre procédure, une réponse reste à trouver pour organiser le marché.

3> Offre et demande contraints.

Dans ce cas, on est obligé de supposer que l'offre et la demande globale sont égaux, faute de quoi il n'y

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aurait pas de solution. Plus exactement, certains agents arri ver aie nt bien à se faire servir, ma i s au détriment d ' a u t r e s agents.

La question qui se pose est de savoir si cette hy p o t h è s e est compatible avec l'absence de bureau ce ntralisateur. La réponse est oui, à condition de supposer que le prix est tel qu'il permet l'égalité de l'offre et de

la demande globale.

On se trouve alors, à proprement parler, dans le cas d'un sché ma de d i s t r i b u t i o n . On peut remarquer que si les m a r c h a n d i s e s n'ont pas besoin de circuler réellement pour p a s ser par un pôle central où le prix se formera, il

faut que les agents connaissent au m o in s toutes les offres et toutes les demandes.

Nous nous trouvons face à un ensemble d'offres Oi et de d e m a n d e s D j , qui doivent être exactement satisfaites. Les é c h a n g e s effectivement réalisés devront donc respecter des contraintes: C x l J = Oi vi < j < ___ <£__ xij = Dj <2) < i < ( Og = Dg (3) avec :

Og = ^ 2 xij et Dg =y~~ xij

j i

La contrainte (3) est évidemment redondante avec les c o n t r a i n t e s <1> et (2). Elle peut être supprimée.

Si tous les agents adoptent exactement le même comportement, alors ce schéma trivial s'écrit

i ndi f f é r e m m e n t :

xij = D j .<0i/0g) = 01 . < Dj/Dg)

Bien évidemment, un tel schéma est sans intérêt, puisqu'il gomme les différences entres agents. On doit donc élargir l'hypothèse de travail, par exemple en se donnant:

- Soit un jeu de clés de répartition, m a t é r i a l i s é e s par des coefficients, homogènes à des fréquences statistiques, relatives à une ligne dans le cas où les offreurs dominent, et relatives à une colonne dans le cas où ce sont les demandeurs.

C'est à dire fij avec respectivement: 2_ f i j = 1 ou fij = 1

j i

Cet ensemble de vecteurs de fréquences, qui peuvent être vus comme des probabilités a-priori que se fixeraient les vendeurs ou les acheteurs, forme une matrice. Mais la mat ric e peut aussi être donnée directement, par contrat, par les usag es ou par des éléments économiques comme des coûts cij. C'est le cas dans le point ci-dessous.

Not ons que dans les cas où les pôles sont à la fois vendeurs et acheteurs, fij est en général différent de f j i . Le rapport de force peut s'exercer à double sens, de i vers j et de j vers i, même si ce sont toujours les offreurs, ou toujours les demandeurs, qui dominent, puisque chacun joue les deux rôles.

- Soit un ensemble de vecteurs de coûts de transport, ou d'échange, ou de déplacement, ou de simples

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c o e f f i c i e n t s représentant une désutilité. Ce sont des v e c t e u r s - 1 i g n e , dans le cas où la demande est le côté long, et v e c te urs -co lon ne dans le cas où c'est l'offre. Cet ense mbl e de vecteurs forme aussi une matrice. Appelons cij un élément de cette matrice.

B. LE F O N C TIO NNE MEN T DE LA PROCEDURE DECENTRALISEE,.

Nous c o m men cer ons par la situation d'éga lit é de l'offre et de la demande globale, dont l'expression mat hém ati que est plus générale, et non re mon t e r o n s vers le cas totalement non contraint.

I. OFFRE ET DEMAND E CONTRAINTES SIMULTANEMENT.

a) Description de la procédure.

Le p roblème posé est constitué d'un ense mbl e de contraintes, dont nous pouvons rappeler l'expression:

c U x i j = Oi <1>

< j <

Xij = Dj <2>

( i

Il est aussi composé d'une matrice des fij, des gij ou des cij. Il s'agit de trouver la matr ice (x) des xij.

Si l'on ne tient pas compte de la m a t r i c e (f), il existe une infinité de matrices (x) sol uti ons du s y st ème s de contrai n t e s .

Mais dans le cas contraire, on peut utiliser plusie urs m é t h o d e s pour trouver une m a t r i c e (x). Par exemple, minimi ser une fonction de coût de transport globale, sous contrainte:

17 MIN E E c i j i j < H xi j = Oi < i > < j ( ( £ xij = Dj (2) ( i

Il faut trouver une mét hod e qui permette:

- l'obtention d'un état d'équilibre, dans lequel les c o n t r a i n t e s seront respectées.

une décentralisation des opérations, seule c o n for me au problème posé d'absence de pôle c e n t r a l .

La première condition prise isolément conduit à env isa ger la question comme un problème d'allocation opt ima le des ressources, traitable par la programmation linéaire (cas continu) ou par l'algorithme de transport (cas di s c r e t ).

Ma i s considéré ainsi, le problème nécessite de s upposer l'existence d'un bureau de calcul, qui va imposer à chacun de se comporter de telle mani ère que la solution opti mal e calculée soit atteinte. On a donc pas progressé et

la sec ond e condition ne pourra être satisfaite.

Il faut donc un autre système. On propose la forme suivante, qui fournit des quan tit és effectivement échangées à 1'équ i 1 i b r e :

xij = Oi.Dj.Ai.Bj.fij , Vi, Vj (4) a v e c ,

__ -1

Ai = ( Dj.Bj.fij) Vi (5)

j e t ,

Bj a C^jT Oi .Ai .f ij> VJ < 6)

i

Ai et BJ sont appelés "facteurs équilibrants" ou "facteurs normalisants".

La solution est obtenue par un p r o céd é itératif qui déforme successivement les échanges des of f r e u r s et des d e ma nde urs pour amener les quantités ef fec tivement éc han g é e s par les p r e m i e r s et les seconds à être de plu s en plus proche s des offre s et demandes.

Le p roblème est bien itératif puis que les Ai dépendent des Bj et réciproquement par un système d'é qua tio ns non solvable directement. A p p e l o n s t la t-ième

itération du processus: V- _1 A i ( t ) = < Dj.BjCt).fij(t>) J et ^ -1 Bj<t> » < Oi.Ai<t).fij(t>> . . i

Si, à t =0 , on part de: Ai <0) = 1 , Vi ,

on va calculer tous les B j <1), puis les Ai(l). La p remière itération terminée, on passe à la seconde en calculant les A i (2) et les BJ<2), etc... jusqu'à c o n ver gen ce qui se produit l'écart entre des Ai(t), ou deux B j < t >, devient inférieur à un seuil petit, pour des valeurs s u c c e s s i v e s de t.

En pratique, la convergence est atteinte dès que chaque pôle vendeur est confronté à une demande po ten tie lle suffisante pour qu'il écoule son offre, ou chaque pôle

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ach ete ur est confronté à une offre pote nti ell e suffisante pour s a t i sfa ire sa demande.

L'aspect itératif de la procédure peut utilement être c o m p aré avec le tâtonnement Walrassien.

On voit qu'à chaque itération, les flux offreurs puis dem a n d e u r s (ou inversement si l'initialisation du p r o c e s s u s est faite sur les demandeurs: on montre que la sol uti on ne dépend pas de l'itération (cf MESNARD 1 et 2)), sont m o d i f i é s pour se rapprocher du respect des contraintes des o f f r e u r s puis des demandeurs.

Mai s il n'y a échange qu'au moment où l'équilibre est réali s é .

Une telle procédure peut être dérivée de d i f f é r e n t e s manières, à partir de m o d è l e s gravitaires, de m o d è l e s p r o b a b i 1istes, de m o d è l e s d'entropie, etc... <cf FUSTIER; M E S N A R D (2); WILSON). Par exemple, la maximisation d'une fonction d'entropie (cf WILSON) conduit à une solution al g é b r i q u e relativement simple, à caractère itératif. Le pr o b l è m e s'écrit:

MAX H = - £ £ *i j . log<xi j ) i J ( ¿2. x i J = 0 i V i <1 > < J ( ( X! xi j = DJ V j < 2) ( i < < xi J . logCci j ) =* C <3) < i j

On montr e alors <cf MESNARD 1 et 2) que ce problème possède une solution générale.

En effet la solution ne dépend p as du choix fait entre fréquences fij ou gij et coûts cij. Si on remplace les cij par 1/cij (dans la matrice des coûts), alors la ma trice des coû ts se traite comme celle fij ou des gij, qui n'ont pas besoin d'être des fréquences, m a i s peuvent être des coe ffi cie nts quelconques. On parlera donc uni quement d'une matrice (f) des fij.

Il n'existe qu'une unique matrice <x) qui m axi mis e l'entropie du sytème, c.a.d. qui corres pon d à l'état le plus probable, ou encore à l'état d'énergie minimum. On peut dire qu'elle est la "plus proche possible" de la m a t r i c e <f).

Par ailleurs, la solution s'écrit d'une man ière simplifiée (cf MESNA RD 1 et 2): x i j = Ai.Bj.fij , V i , V j (7) - 1 et Ai = O i .< H B j . f i j ) Vi (8) j Bj = Dj . < £ 2 Ai . f i j ) Vj (9) i

Pour le montrer, on remplace Oi par 1 dans (4). D'où des n ouvelles valeurs x'ij, A ' i , dans un premier stade;

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le ' dés ign e une valeur modifiée; Dj est inchangé et Bj le sera dan s un deuxième stade. On a donc la séquence su i vante :

m o d i f i c a t i o n — > modification — > modifica tio n de Oi de xij et Ai de Bj

Al ors:

x'ij » DJ.A' i.BJ.fij

£ x ' i j = £ Dj . A' i . BJ . f i j

J J

d'où comme les x'ij doivent respecter <5>: Oi = A ' 1 . Ç Dj.BJ.fij J - 1 A ' i = O i .< 2 1 D J . B J.fi j > J A'i = Oi.Ai C a l c u l o n s B ' j : ^ x'ij = DJ.A'i.B'J.fij i i DJ = DJ .B'j .51 A' i .f ij i ^ - 1 B'j =( A' i .f i j ) i B ' j = ( Y L 01 -Ai - i i J > i B'j = Bj Et : x'ij = DJ.A'i.Bj.fij = D j . O i . A i . B j .f ij = xij

On voit que la valeur de échanges xij n'a pas été modifiée dans l'opération.

--> calcul de xij modi f ié

On continue en remplaçant Dj par 1 dans l'expression ci-dessus: D" j = 1 x"ij = A ' i . B " J . f i J y x"ij = A'i.B"j.fij i i DJ = B" J . ¡ P A' i .f i J i B"j = DJ .<]T A'i.fij> i B" J = DJ.B'J = DJ .BJ Cal culons A " i : x" ij = J ! A" i .B"J .f i j J J Oi = A" i .J Z B" J .f ij J V - _1 A" i = Oi .< 2 _ D J . B J . f i j) J A" i = A' i = Oi .Ai A 1 ors : x" iJ = A"i.B"i.fiJ = A 'i.DJ.B'J .fij = x' i J = xi j

L'avantage de la forme réduite est qu'on peut abandonner la référence de forme aux m o d è l e s de gravitation, tout en sachant la parenté entre m o d èle s d'e ntropie et de grav i tat i o n .

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Les Ai et Bj s'interprètent comme des . a c c e s i b i 1 ités contraintes <cf WILSON, M E SNA RD 2). En effet, une acc ess i b i l i t é ordinaire s'écrit:

Li = Mj / cij J

où Mi repré sen te la masse de i.

Pour des offreurs et des demandeurs, les ac c e s s i b i l i t é s vont s'écrire respectivement, en généralisant l/ci j par f i j :

Li = H Dj .f ij j

Lj = X Z 0i * J i

Si l'on multiplie Oi par Ai et Bj (pour tenir compte des contraintes), on voit que Bj est une expression proche de l'inverse d'une accessibilité; et de même pour Ai si on m u l t i p l i e Dj par B j . On dira que Ai et Bj sont les inverses d ' a c c e s s i b i 1ités-contraintes qui tiennent compte du respect des con traintes (car calcul és à partir du système de contrai n t e s ) :

LCi = X I DJ-Bj .f ij » 1 / Ai j

LCj = Oi .Ai . f i j = 1 / Bj i

ou, en fonction de l'écriture simplifiée: LCi = X T Bj .f i j = Oi / Ai

j

LCj = X I Ai .fij = Dj / Bj i

propre à un pôle: connaissant les offres Cou demandes) des vendeurs Cou demandeurs), et la valeur du coût de transport erttre lui et chaque vendeur Cou demandeur), il peut calculer son accessibilité. Il en va de même pour 1' a c c e s s i b i 1 ité c o n t r a i n t e .

L ' a c c e s s i b i 1 ité constitue donc un signal que chaque pôle peut émettre et afficher à partir de l'information qu'il détient, à savoir:

- les fonctions de préférence fij

les a ccessibilités affichées par les vis-à-vis, vendeurs s'il est demandeur, demandeurs s'il est vendeur.

Chaque offreur i n'a besoin de conna îtr e que deux types de signaux:

- 1' a c c e s s i b i 1 ité BjCt) de chaque demandeur, soit m si gnaux

le coefficient fij qui le relie à chaque demandeur pour mod ifi er l'offre qu'il adresse à chacun, soit m autres signaux.

Ceci représente 2.m signaux au t o t a l .

Il en va de même pour chaque dema nde ur j avec 1'a c c e s s i b i 1 ité Ai de chaque offreur Cn signaux) et le coefficient fij par lequel il lui est relié Cn signaux), soit 2.n signaux.

Il y a besoin au total de 2.Cn+m) signaux traités d'une manièr e décentralisée, au lieu de 2.Cn.m).

Donc chacun n'a pas besoin de con naî tre l'ensemble du p roblème pour déterminer ce qu'il doit é changer avec tous. Le proce ssu s n'est pas la duplication n ou m fois d'un proc ess us existant, pas plus qu'il ne nécess ite la présence

25

A chaque itération, l'offre de chaque offreur est p o n dér ée par l'inverse des accessibilité des demandeurs et la dema nde de chaque demandeur est pondérée par l'inverse de 1' a c c e s s i b i 1 ité de chaque offreur. Donc:

chaque offreur diminue la quantité qu'il veut envoyer aux pôles les plus accessibles à l'itération en cou rs et l'augmente pour les pôles les mo i n s accessibles.

chaque demandeur diminue la demande qu'il veut adresser aux pôles les plus ac cessibles à l'itération en cours et l'augmente pour les pôles les m o ins accessibles.

Ceci montre qu'une accessibilité forte pour un pôle s ' i nte rpr ète comme un signal de trop grande concurrence sur ce pôle. C'est ce mécanisme qui amène à l'équilibre.

c> Co mp lém e n ts •

Au plan opérationel, on peut négliger les très p e t i t e s valeurs de fij, pour les remplacer par un zéro. Ceci

diminue très fortement le nombre de liaisons entre pôles, et ren d c rédible l'utilisation du schéma. De même, le calcul de 1' a c c e s s i b i 1 ité peut se faire uniquement pour les couples de p ô le s les plu s importants.

On effectue donc un calcul approché de 1'a c c e s s i b i 1 i t é . Ceci peut bien évidemment poser des p r o b l è m e s de convergence, mais on doit bien se dire que le fo nctionnement réel d'un système de rationnement ou de di str i b u t i o n ne peut fonctionner que de cette manière:

chaque agent est ime le degré de concurrence prévalant sur les pôles vis-à-vis, et c'est cette information, formellement traduite par la notion d ' a c c e s s i b i 1 i t é , qui lui sert de signal quantité.

La forme réduite permet d'éviter à chaque agent la connaissance des volumes offerts ou de m a n d é s par les vis-à-vis: il peut se contenter de connaître sa propr e offre ou demande. Cette particularité, démontrée ci-dessus, est extrêmement intéressante pour rendre le m o d è l e opérationnel. En effet, les ac ces sibilités sont plus faciles à calculer si elles le sont à partir des seules a c c e s s i b i l i t é s des vis-à-vis et des fonctions de préférence fij. Si on devait connaître en plus la taille des vis-à-vis, ce serait plus lourd. Chaque agent a ainsi un ensemble d ' i n f o r m a t i o n s de mo i n s à connaître au sujet des vis-à-vis.

II. CAS PARTIELLEMENT CONTRAINTS.

Par analogie avec le modèle totalement contraint dans sa forme normale ou dans la forme réduite, on trouve les exp ressions des échanges lorsqu'une part ie ou tout le marché est non contraint. Si soit l'offre, soit la demande, soit les deux sont non contraints, la solution reste de même forme, ma i s ne comp ren d pas l'un des jeux de facteurs é q u i 1ibrants.

27

a) Demande du côté long (contrainte d ' of f r e > .

Vi, Vj

Ai » < Dj . f i j ) -1

Vi J

Avec la forme simplifiée on obtient: x i j = A i .f ij ,

Ai = O i .< 5 1 fij >

Vi , Vj

Vi j

Les signaux q uantités sont des access i b i l i t é s é m i se s par les seuls agents contraints. Les Ai sont les s i g n a u x quant i t é et:

j

ou avec l'écriture simplifiée: LCi =

51 f

i

On voit, que les o f f r e u r s affichent leur acc e s s i b i l i t é , qui permet au dema n d e u r de calculer la q u a nt it é qu'il achète à chaque offreur.

b> Offre du côté long Ccontrainte de demande).

xij = Oi.Dj.Bj.fij ,

Bj = < ^ _ 0 i .f ij) -1

Vi

et avec le système simplifié: xij = B j .f ij ,

Bj = DJ .<2^ f i j > Vi i

Les BJ sont les signaux quantité. LCj ® 2 - 0 1 -f 1J 88 1 7

i

ou avec l'écriture simplifiées LCj = $ H f l J = Dj / Bj

J

c> Offre et demande non contraintes.

xij = K. f ij , Vi , Vj

Ici K est un facteur totalement exogène, ne

dépendant que du ma r c h é du bien échangé.

Il n'y a pas de signaux quantité, p u i s q u' en réalité ce cas c o r re sp on d à une situation totalement non c on t r a i n t e

(de "non déséquilibre").

C. E XT E N S I O N A L'ESPACE.

Le m o d èl e ne spécifie pas la c o nf i gu r a t i o n du

marché. Il reste valide au plan spatial, si les fij

représentent une métrique.

J.M. Huriot et J.F. Thisse (cf HUR I O T et THISSE) ont élaboré une a xi om a t i q u e de la dista n c e d ans l'espace é co nomique et déte r m i n é les axiomes qui p er m e t t e n t à la d ista n c e - c o û t de transport d'être une m é t r i q u e dès que la d i s t a n c e - t r a n s p o r t en est une (le coût de transport le long d'un d éplacement est une fonction non négat i v e et c r o i s s a n t e de la longueur du déplacement et une fonction c o n c a v e de la

d i s t a n c e ).

D ans ce cas, les fij vont représenter une image, p lu s ou m o i n s déformée, m a i s sans inversions, de la distance. Il en va de m ême avec la d i s t a n c e -t em ps de t r a n s p o r t .

Dans le cas non-spatial, les signaux quantité sont vus instantanément. Il n'en va p a s de m ême dans le cas spatial. En effet, les agents vont p o u v o i r afficher des a cc e s s i b i li té s, qui vont dépendre, en partie, des distances cij. M a i s on doit supposer que m a l gr é la distance, celles-ci p e uvent être perçues.

Il faut donc qu'il existe un réseau de transmission de l'information, qui peut être constitué par les individus e u x - m ê m e s lorsqu'ils se déplacent et informent leurs voisins. D ans ce cas, un pôle acheteur pourra être une ville ou un q u a r ti er et un pôle vendeur un centre commercial. Mais un délai sera introduit dans la transmission des signaux quant i tés.

De plus, des échanges sont réalisés à l'occasion de cette transmission. On ne se trouve p lus plus dans une p r o c é d u r e où il n'y a échange qu'une fois l'équilibre atteint. La conver g e n c e peut donc être remise en question et n'est p l u s garantie.

La théorie du déséquilibre s ' a f f r an ch it de l'hypothèse d'un ajustement par les prix, m a i s elle c onserve celle d'un ma r c h é centralisé.

Or, nous avo n s pu mettre en évide n c e la p o s s i b il it é de lever l'hypothèse d'un pôle central d an s la théorie du m a r ch é en déséqu i l i b r e - à un bien, le prix étant fixé - en proposant une p r oc é d u r e décentralisée. Ceci c o n s t it ue un approf o n d i s s e m e n t de la théorie.

Nous l'avons fait pour d i f férents cas:

- le cas traditionnel, l'offre et la d e m a n d e étant non co n t a i n t s

le cas du rationnement, avec l'offre et la

demande s uccessivement du côé long

- le cas de distribution, avec offre et demande c o n tr a i n t e s simultanément.

N ous avons m o n tr é que l'on pouvait se donner une m a t r i c e <f) de préférences, qui permettait de d ét e r m i n e r une unique m a trice (x) des échanges. Ceux-ci sont trouvés par tâtonnement décentralisé. La solution c o n s ti t ue un o pt i m u m du point de vue de la m a ximisation de l'entropie du système, c.a.d. qu'elle est aussi la solution la p l u s probable.

L ' a c c e s s i b i 1 ité constitue un signal quantité, p e r mettant d'atteindre cet o p t i m u m d'une m an i è r e d é c e n t r a l i s é e .

Chaque agent ne doit émettre qu'un signal quantité,

son accessibilité. Combinée avec la fonction f des

préférences, elle suffit à informer c o m p lè te me nt d'une

31

m a n i è r e décentralisée, l'ensemble des agents vis-à-vis. C haque o f f r e u r n'a besoin de ne connaître que ses clients, et c h a q ue d emandeur que ses vendeurs. Aucun agent n'a besoin de c o n n a ît re toute l'information.

Da n s le cas traditionnel, 1'a c c e s s i b i 1 ité ne joue aucun rôle. Dans les cas de rationnement, elle est émise par les a g en ts du côté court et ne sert qu'au groupe d'agents du côté long. Dans le cas de distribution, elle est émise par

les deux c a t é go ri es d'agents en direction de l'autre.

Une telle solution se généralise à toute une gamme de pro b l è m e s , y compris en économie spatiale, par le biais de la fonction f, dont l'inverse peut r eprésenter tous types de d é s u t i l i t é s , comme des coûts de transport ou d'échange.

B I P U QgRftEHIE

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HURIOT J.-M. et THISSE J . - F . : "La dista n c e en analyse spatiale: une approche a x i o m a t i q u e " , document de travail, N # 77, I.M.E., Université de Dijon, Dijon, Mai 1985.

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WIL S O N (A. G.): "Entropy in Urban and Regional Modelling", M o n og ra ph s in spatial and e n vironnemental systems analysis, P ION Ltd, London, 1970.

33 T A B L E DES MATIERES»

A. LES S C H E M A S DE RATION N E M E N T ET DE DISTRIBUTION. p. 2

I. RAPPEL: LE MARCHE TRADITIONNEL. p. 3

II. LES SC H E M A S SIMPLES. p. 4

a) Le schéma de queue. P. 5 b) Le schéma p r o p o r t i o n n e l . P. 6 III. S C H E M AS MULTIDIMENSIONNELS. p. 6 a) S c h é m a s de rationnement mu 11 i d i m e n s i o n n e 1 s à bureau centralisateur. p. 7 b) S c h é m a s de rationnement mu 11 i d i m e n s i o n n e 1 s

sans bureau centralisateur. p. 10

B. LE F ON CT IO N N E M E N T DE LA P R O C ED UR E DECENTRALISEE. p. 16 I. O F FR E ET DEMANDE C O N T R AINTES SIMULTANEMENT. p. 16

a) Description de la procédure. p . 16

b) L ' a c c e s s i b i 1 ité comme signal quantité. p. 23

c) Compléments. p. 25

II. CAS P A R T I E L L E M E N T CONTRAINTS. p. 26

a) Demande du côté long (contrainte

d'offre). p. 27

b) Offre du côté long (contrainte de

demande). p. 27

c) Offre et demande non contraintes. p. 28

C. E X T E N S I O N A L'ESPACE. p. 28

CONCLUSION. p. 3 0

B I B L I O GRAPHIE. p. 3 2

T A B L E DES MATIERES. P. 3 3