Bestimmung kosmologischer Parameter durch Rotverschiebungsstatistik von Gravitationslinsen

kosmologischer Parameter

durch Rotverschiebungsstatistik

kosmologischer Parameter

durch Rotverschiebungsstatistik

von Gravitationslinsen

DIPLOMARBEIT

angefertigt an der Hamburger Sternwarte

im Fachbereich Physik der Universitat Hamburg

unter Anleitung von Prof. Dr. Sjur Refsdal

vorgelegt von Phillip King aus Tellmer Hamburg November 1993

andtoasimple theoryofknowledge.

Thereisatleastonephilosophicalproblem

inwhichallthinkingmenareinterested:

theproblemofunderstandingtheworldinwhichwelive,

andthusourselves(whoarepartoftheworld)andourknowledgeofit.

Allscienceiscosmology, Ib elieve,

andformetheinterestofphilosophy,nolessthanofscience,

liessolelyinitsb oldattempttoaddtoourknowledgeoftheworld,

andtothetheoryofourknowledgeoftheworld.

Diese Arb eit entstand als Diplomarbeit in Physik an der Universita t

Ham burg|ander Ham burgerSternwarte in der Arb eitsgrupp e

"

Gravita-tionslinsen\, geleitet von Prof. Dr. Sjur Refsdal. Ein Teil der Ergebnisse

wurdeauf dem31 st

LiegeInternationalAstrophysicalColloquium

DieBestimm ungkosmologischerParameteristeinThema,dasheutegenau

so aktuellistwievorsiebzigJahren. Obwohldie Kosmologieansich viele

Fortschritte seit den Anfa ngen 1

gemacht hat, ist dieses zentrale Thema,

imGegensatz zu den meistenkontroversen Punkten von fruher, nach wie

vordurch Unwissenauf dereinenSeiteund Wunsche undHonungender

Beteiligtenauf deranderengekennzeichnet.

Wa hrenddieklassischenMetho den (Kapitel4), obwohlsiezeigen,da

die Bestimm ung kosmologischer Parameter prinzipiell moglich ist,

wahr-scheinlich nichtin der Lage sind,unsendgultige Antworten auf die

inter-essantenFragenzugeb en,bietensichGravitationslinsensystemeausvielen

Grundengeradehierzuan(Kapitel7). Hierm uman ab er,wieeigentlich



ub erall,dieFragenerstsoallgemein wiemoglichstellen,umzusehen,was

man



ub erhaupt b estimmenkann, stattsichvonvornhereinauf b estimm te

Mo delle zub eschranken,seiesweilsieeinfacherzurechnensindo derweil

mansieausnichtphysikalischen Grundenb evorzugt.

Indieser Arb eit hoeichso wenigHitze undso vielLichtwiem

 oglich

aufdiesekomplizierteThematikzuwerfen.

1

DieseganzeArb eit handeltvon derKosmologieimSinne derallgemeinen

Relati-vitatstheorie;

"

die Anfange\ sindalso die fruhenArb eitenvonEinstein [ Einstein17],

de Sitter [ deSitter17a, deSitter17b, deSitter17c], Lema^tre [ Lema^tre31a,

Lema^tre31b], Friedmann [ Friedmann22, Friedmann24 ], Eddington [ Eddington30]

Vorbemerkung vii Vorwort ix Einleitung 1 A. Kosmologie 5 1. Grundlagen 7 a. KosmologischesPrinzip : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 b. Robertson-Walker-Metrik : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

c. AllgemeineRealtivitatstheorie : : : : : : : : : : : : : : : 9

Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 2. Gleic hungen 13 a. Friedmann-Lema^tre-Gleichungen : : : : : : : : : : : : : 13 b. Beobachtbare Groen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 3. Entfernungen 19

a. Entfernungenimstatischen euklidischen Raum: : : : : : 19

b. VerallgemeinerteEntfernungen : : : : : : : : : : : : : : : 21

c. Zusammenhange zwischen verschiedenen Entfernungen : 23

d. EntfernungeniminhomogenenUniversum : : : : : : : : 24

Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

4. Klassisc heBeobachtendeKosmologie 27

a. H 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 b. q 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 c. 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 d. Weltalter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31

e. Dergegenwa rtige StandausmeinerSicht : : : : : : : : : 31

Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33

5. Mo glic heWeltmodelle 35

a.

"

Unmittelbare\ Einschra nkung einzelnerParameter : : : 35

b. Einschra nkungenvonParameterkombinationen: : : : : : 37

c. Klassizierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40

d. M

2

-Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

B. Gravitationslinsentheorie 43 6. Allgemeines 45 a. Historisches : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 b. Grundlagen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 c. DieLinsengleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

7. Gravitationslinsen und Kosmologie 51

a. DieLaufzeitdierenzundH

0

: : : : : : : : : : : : : : : : 51

b. DieLaufzeitdierenzundanderekosmologischeParameter 52

c. StatistischeAnsa tze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

8. Diskussion derin dieser Arbeit verwendetenMo delle 57

a. Kurzbeschreibung derMo delle : : : : : : : : : : : : : : : 57

b. Naherungsmodelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 C. Statistik 61 9. Optisc heTiefe 63 a. Denition: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 b. Normierung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66 c. Auswahleekte: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69 10. Relativ eWahrscheinlichkeit 71 a. Konzept : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 b. Berechnung: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

D. Ergebnisse und Diskussion 75

11. Beobachtungsdaten 77

a. Auswahlkriterien: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77

b. Klassizierungb ekannterLinsensysteme : : : : : : : : : 77

Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78

12. Auswertung von Beobachtungsdaten 85

a. Ein u verschiedener Parameter und qualitativ e

Erwar-tungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85

b. Untersuchungen durch numerische Rechnungen:

Vorge-hensweise : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86

c. Untersuchungendurch numerischeRechnungen: Ergebnisse 88

Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

13. Vergleic hmit anderen Arbeiten 95

a. AlleMo delle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95

b. -Parameter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96

c. Verteilung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97

f. Raumlic heVerteilung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

Zusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

14. Zusammenfassung undAusblick 101

Anha nge 103

1. Herleitung des Ausdruc ks fur die optisc heTiefe 105

2. Programme 109

Literaturv erzeichnis 111

Danksagung 121

Theepigraphisamongthemostdelightfulofscholarlyhabits:::.

Partofthefun:::isturningasourcetounexpecteduse.

Mary-ClairevanLeunen ,AHandbookforScholars

Refsdal [ Refsdal64b ] diskutierte schon 1964 die Moglichkeit, mit

HilfevonGravitationslinsen kosmologischeParameter zub estimmen, und

zwarub erdenLichtlaufzeitunterschiedzwischen verschiedenenBildernder

Quelle. Diese Metho de, vor allem in b ezug auf die Bestimm ungvon H

0 ,

wurdeausfuhrlich durch Borgeest [ Borgeest82 ] b eschrieb en. H

0

lat sich

leicht 1

b estimmen; der Ein u anderer kosmologischer Parameter ist

je-do ch ein Eekt zweiter Ordnung, was diese Metho de interessant fur die

Bestimm ung von H

0

mac ht, jedo ch nicht fur die



ubrigen Parameter des

Weltmodells. (Dieswurdeauchb ereits1964vonRefsdalerwa hnt.) Kayser

hat auch gezeigt [ Kayser82, Kayser &Refsdal 83], da dieser Eekt, der

esimPrinzipmoglichmac ht(fallsH

0

b ekannt ist),eineb estimmteSchar

vonWeltmodellenauszuschlieen, praktisch ohne Bedeutung ist, so lange

nichtgenaue Information



ub er den Grad der Homogenitatvorhandenist,

da der -Parameter, der angibt, welcher Bruchteil derMasse imKosmos

gleichmaigverteiltist(=1:volleHomogenitat,=0:alleMaterieistin

kompakten Objekten verteilt) einen vielgro eren Ein u alsdie anderen

ParameterdesWeltmodellshat(solangemannurWeltmodelleb etrachtet,

dienichtausanderenGrundenausgeschlossensind).

Dadie klassischenMetho den zurBestimm ungkosmologischer

Parame-ter (Kapitel4) unswahrscheinlich nichtviel weiter bringenwerden,lohnt

essichzuuntersuchen, inwieweitdie

Linsengalaxienrotverschiebungsstati-stikunsermoglicht,aufdasWeltmodellzuschlieen. DieseMetho debietet

einigeVorteile: 2

 MankannohneKenntnisvonH

0

aufdieanderenParameterschlieen.

 Der Ein u des -Parameters ist klein gegenu b er dem Ein u der

anderenParameterdesWeltmodells.

 DieErgebnissesindrelativunabhangigvonFeinheitendes

Linsenmo-dells.

 Es b esteht eine realistische Chance, in naherZukunft die

Beobach-tungsdaten erheblich zu verb essern|man kann ab er b ereits jetzt

1

Theoretisch. Praktisc h spielen Unsicherheiten des Linsenmodellseine erhebliche

Rolle,sowiedieBestimm ungdesLaufzeitun terschiedes( timedelay),daintrinsisc heV

a-riabilitatnichtleichtvonanderenVariabilitatsquellen,z.B.microlensing,zutrennenist,

unddaderEin uderungleic hmaigverteiltenBeobac htungszeitenzusatzlic he

Schwie-rigk eiten(sogenann teswindowing)mitsichbringt.

2

auerinden1.und3.Punktengegenuberdenklassisc henMethoden;auerindem

schon Ergebnisse erhalten, die vergleichbar mit anderen Metho den

sind.

 Man za hlt und mit Rotverschiebungen|ist also b efreit von der

gro ten Unsicherheit der Beobachtenden Kosmologie, den

Entfer-nungsb estimmungen.

In erster Naherung geht man folgendermaen vor: Fur einegegeb ene

Kosmologieb erechnetmandieWahrscheinlichkeitfurmehrfachabgebildete

Quasareproz

d

-IntervalundvergleichtdieseVorhersagemit den

Beobach-tungen. Die Wahrscheinlichkeit ha ngt von der Zahl der Linsen pro z

d

-IntervalundvondemWirkungsquerschnitt(Flacheinnerhalbdes

Einstein-Ringes) einer Linse ab. Ersteres ha ngt von der heutigen Zahl

(Normie-rung!), und dem kosmologischen Mo dell ab; letzteres von der Masse und

derMassenverteilungderLinsen 3

sowiederGro e DdDds

D

s

,dieauchvom

kos-mologisc henMo dellabha ngt,ab. Einrealistischeres Mo dellm u

Entwick-lungseektederLinsensowiediewirklicheLinsenverteilung,sprichHaufen

undSup erhaufenb ei Galaxien,b eru cksichtigen. Wichtig fur denVergleich

mit Beobachtung ist naturlich die Zahl der Systeme, die tatsa chlich b

e-obachtet wird. Die zuna chst b erechnete Zahl wird verkleinert durch den

durchBeobachtungb estimmtenMindestabstandderBilder,realistische

Ga-laxienmodelle(endliche Kernradien statt singularer isothermer Spha ren),

Grenz(helligkeits)entfernungenderLinsen 4

undvergro ertdurchden

soge-nanntenamplicationbias .

Man ko nntezuna chst vermuten, da esauch andereGro engibt, z.B.den

Bildabstand,diedurchihreStatistikAuskunft



ub erdasWeltmodellgeb enko

nn-ten. Esist ab ergezeigtworden,da dieVerteilungder typischen Bildabstande

inz

d

nursehrschwachvomkosmologischen Mo dellabha ngt[ FFKT92 ,S.9{13].

Eine solcheUntersuchungsolltefolgendenPunkten Rechnung tragen: 5

alle Mo delle EssolltenalleWeltmodelleb etrachtetwerden,dienichtaus

anderenGrundenausgeschlossenwerden.

-Parameter Verschiedene-Wertesollenb etrachtet werden.

Verteilung Mansollteb ei derAnalysederBeobachtungsdatennichtnur

dieGesam tzahlderSysteme,sondernauchihrez

d

-Verteilungb

etrach-ten, daman so zusa tzlicheAussagen mac henkann, obwohldie Zahl

derSystemesehrkleinsein mag. (Siehe[ Ko chanek92 ].)

Auswahleekte WichtigfurdenVergleichmitBeobachtungist,daman

"

korrigierte\ Verteilungen b erechnet, in denen alle Auswahleekte

undBeobachtungsungenauigkeitenb eru cksichtigtwerden.

Entwicklungseekte JederealistischeBetrachtungm udenEin uder

zeitlichenEntwicklungderLinsenzumindest abscha tzen.

Raumlic heVerteilung Bei der Betrachtung von Galaxien als Linsen

schra nktmandenUmfangundAnwendbarkeitderUntersuchungein,

wennmannurisolierteGalaxienb etrachtet.

3

Die Linsen habennicht alle die gleic heMasse; man mu naturlich zunachst die

Berec hnung fur eine Einheitsmasse durc hfuhren und dann



u ber die Massenfunktion

integrieren.

4

Dieseha ngenauchvomkosmologischenMo dellab.

5

Siehe Kapitel13 fureine Diskussion daruber, inwie weit diese Punkte indieser

Die ersten vier Moglichkeiten zu b eru cksichtigen, ist zwar mathematisc h

und/oder numerisch aufwendiger, bietet ab er prinzipiell nichts Neues

ge-genub er einereinfachen Betrachtung. Die Entwicklungseekte zub eru

ck-sichtigenmac htdieSachekomplizierter,weilmanhiereinezusa tzliche

Un-sicherheithineinbringt(o der einenzusa tzlichenfreienParameter hat);die

Vorgehensweise bleibt ab er gleich. Die gro te Schwierigkeit ab erist, eine

realistischera umlic heVerteilung derGalaxienzub eru cksichtigen,daman

hieraufandere, aufwendigereMetho den zuru ckgreifenm u.

Der Aufbau dieser Arb eit ist wie folgt: Teil A stellt die notigen

Vor-aussetzungenb ezu glichKosmologie dar;in TeilBwerdendieGrundlagen

derGravitationslinsentheorie,diefurdieseArb eitwichtigsind,dargestellt.

TeilCb eschreibtdieTheorie,diealsGrundlagefurdieRechnungendient.

InTeilDwerdendieErgebnisseerla utertundmitdenErgebnissenanderer

Arb eitenzudiesemThemaverglichen. Imwesentlichenstellendieersten2

Teileb ereitsBekanntesdar,allerdingsnichtvollstandig,sonderninHinblick

auf die spa tere Anwendung in dieser Arb eit. Die letzten 2 Teile, obwohl

manc heKonzepte aufb ereitsvero entlichte IdeenandererWissenschaftler

Kosmologie

Cosmology:::restrainstheab errations

ofthemereundisciplinedimagination.

Grundlagen

Ubimateria,ibigeometria!

JohannesKepler

a. Kosmologisches Prinzip

Thelessoneknows ab outtheuniverse, theeasieritistoexplain.

LeonBrunschwirg

i. Ideale Formulierung

Ist dasUniversum homogen und isotrop, so lat essich erheblich leichter

b eschreib en. Inwieweitdies erfu lltist, istno ch nicht klar. Naturlich hilft

eine Vereinfachung einer mathematisc hen Beschreibung nicht, wenn dies

derWirklichkeitnichtentspricht; isteinesolcheVereinfachungjedo cheine

Na herung,derenAbweichungvonderWirklichkeitzumindest abgescha tzt

werdenkann,kannsieunsdieBeschreibung erheblich erleichtern,in

man-chen Fa llenjaerstmoglichmac hen.

Man b eobachtet keine Homogenitat, weil es Entwicklungseekte gibt;

mansiehtGegensta nde,dieweitwegsind,indemZustand,in demsie

wa-ren,alsdasLicht(o derandere

"

Beobachtungsmittel\)ausgestrahltwurde.

Manb eobachtetjedo ch Isotropie,und auslokalerIsotropie folgt

Homoge-nitat, wenn man annimmt,da wirin keinerb evorzugtenLage sind

(Ko-p ernikanischesPrinzip).

Als Kosmologisches Prinzip b ezeichnet man eb en diese Aussage: das

Universum isthomogen undisotrop, dasheit,jeder Beobachter sieht das

gleiche Bild vom Universum. Alle 

Ortersind gleich. 1

Dasb edeutet, da

das, was wir b eobachten, allgemeine Gultigk eit hat; wir ko nnen unsere

Beobachtungenextrap olieren undauf dieStrukturdesganzenUniversums

durch BeobachtungeineskleinenAusschnittesschlieen. (Siehe[ Harrison,

Kapitel13]fureineguteDarstellungdiesesSachverhalts.)

Indieser Arb eit, wenn nichtandersb emerkt,setzeich voraus,dadas

Universum (mit den untenb esprochenen Einschra nkungen)homogen und

isotropist.

1

Nimmt man zusatzlic h an, da auch alle Zeiten gleic h sind, so spric ht man

vom Vollkommenen Kosmologischen Prinzip . Siehe [ Bondi , Kapitel I I] fu r einegute

Diskussion der Kosmologisc hen Prinzipien, derer Bedeutungen, Nu tzlic hkeiten und

ii. Realistische Formulierung

Als

"

selbstverstandlich\ gelten folgende Einschra nkungen des

Kosmologi-schenPrinzips:

 Das Kosmologische Prinzip ist nur b ei Masta b en anzuwenden, die

"

grogenug\ sind.

 Das Kosmologisc hePrinzipgiltnur fur

"

fundamen taleBeobachter\,

also nurfur dieBeobachter, die sich, relativ zudem Substratum,in

Ruhe b enden.

EsistimPrinzipdenkbar,daeskeineSkalagibt,anderdas

Kosmologi-schePrinzipgultigist; dasUniversum ko nnte z.B.hierarchisch organisiert

sein. Ist dies nicht der Fall, dann gibt eseine Skala, ob erhalb derer das

Universumalshomogenundisotropb etrachtetwerdenkann. Solangeman

sich nurfur Eekte interessiert,die sich auf dieser Skala abspielen, istes

meist vertretbar, das Universum so zu b etrachten, als ob es streng dem

KosmologischenPrinzipfolgte. 2

DasKosmologischePrinzip istin diesem

FallalsNa herungzub etrachten,derenAbweichungenvonderWirklichkeit

quantitativerfatwerdenkonnen. (FureineDiskussionanderermoglicher

Deutungen,siehe,no chmals, [ Bondi ,KapitelI I].)

Im Idealfall b ezeichnet man als Substratum die gleichverteilte

Mate-rie. Manb etrachtet dasUniversum also so,alsoballe Materie so verteilt

wa re. ObwohllokaleAbweichungenvernachlassigbarsind,indemsiekeine

zugroeSto rungdarstellen, darfnaturlich eineAussage,dievonder

idea-lenVerteilungausgeht,nichtaufeinenBeobachterangewendetwerden,der

sich relativzu dem Substratumb ewegt. Es ist klar, da ein Beobachter,

dernichtinRuheist,alleindurch(sp eziell)relativistischeEektekeine

Iso-tropie wahrnimm t. Diestrit nichtauf diefundamen talenBeobachter zu.

Zusa tzlich kann man fur die fundamen talen Beobachter eine b evorzugte

Zeit, die sogenannte

"

kosmische Zeit\, die fur alle

"

gleichmaig ablauft\,

denieren [ Weyl23 ]. Das Kosmologische Prinzipund dasVorhandensein

vonEntwicklungseektenreichen(imPrinzip)aus,umeinekosmischeZeit

durch Beobachtungsvorschriftenmebarzumac hen.

b. Robertson-Walker-Metrik

Hehadb oughtalargemaprepresentingthe sea

Withouttheleastvestigeofland:

Andthecrewweremuchpleasedwhentheyfoundittob e

A maptheycouldallunderstand

`What'sthego o dofMercator'sNorthPolesandEquators,

Tropics,Zones,andMeridianLines?'

SotheBellmanwouldcry: andthecrewwouldreply

`Theyaremerelyconventionalsigns!

`Othermapsaresuchshapes,withtheirislandsandcap es!

Butwe'vegotourbraveCaptaintothank'

(Sothecrewwouldprotest)`thathe'sb ought ustheb est|

Ap erfect andabsoluteblank!'

LewisCarroll,The HuntingoftheSnark

2

EinewichtigeAusnahmeistdieAusbreitungvonLicht,dieauchvonlokalen

i. Plausibilitatserklarung durch das Kosmologische

Prinzip

Wie kann man mathematisc h ein Universum b eschreiben, das dem

Kos-mologisc hen Prinzip gehorcht? Die einzig mogliche zeitliche Entwicklung

ist ein ra umlich gleichmaiges Ausdehnen o der Schrumpfen. Das

Uni-versum, vollk ommenhomogen und isotrop, ist also strukturlos und

ledig-lichdurch einenSkalenfaktorcharakterisiert, dersich mit derZeit

 a ndern

kann. Diesist anschaulich klar,ist ab er auch durch Robertson und

Wal-ker[ Robertson35 ,Walker36]strengmathematisc hb ewiesenworden.

ii. Linienelement und Denition von Symbolen

DasLinienelementineinemhomogenenundisotrop en Universumist

gege-b endurch ds 2 =c 2 dt 2 0R 2 (t)  d 2 (10k 2 ) + 2 d 2 + 2 sin 2  d 2  (1: 1)

wob eidieGro enfolgendeBedeutungenhab en

s VierdimensionalerAbstand [Lange]

c Lichtgeschwindigk eit [ L ange Zeit ] t Zeit [Zeit] R Skalenfaktor [Lange]  "

Radialk o ordinate\ [dimensionslos]

k Krumm ungskonstante [dimensionslos]

 Winkelko ordinate [dimensionslos]

 Winkelko ordinate [dimensionslos]

(EsgibtkeineeinheitlicheSchreibweiseaufdiesem Gebiet.)

c. Allgemeine Realtivit



atstheorie

Frommyp ointofviewonecannotarrive, bywayoftheory,

atany atleastsomewhatreliableresultsintheeldofcosmology,

ifonemakesnouseoftheprincipleofgeneralrelativity.

AlbertEinstein

i. Naherungen

Es wurde den Rahmen dieser Arb eit sprengen, mehr als unb edingt no tig

zur Allgemeinen Relativitatstheorie zu erwa hnen. Siehe [ Berry] fur das

Minim um, das man fur Kosmologie braucht, [ Sexl &Urbantke] fur eine

grundlicheBehandlungderKosmologieimRahmenderAllgemeinen

Rela-tivitatstheorieo der[ MTW]fureinevollstandigeDarstellungder

Allgemei-nen Relativitatstheoriesowieeinegute, knapp e Darstellungderallgemein

relativistischenKosmologie.

Wichtig fur dasVersta ndnis dieser Arb eit in Bezug auf kosmologische

ermoglichen,die allgemeinrelativistische Beschreibung derzeitlichen

Ent-wicklung desUniversums aufzwei Gleichungen(diein Kapitel 2erla utert

werden)zureduzieren,dieauch (miteinermehro derwenigerad hocab er

durch Vergleich mit den genauenErgebnissenaus einerstrengen

Behand-lung do ch zu rechtfertigender Umdeutung einiger Gro en) durch die

so-genannte Newton'sche Kosmologie 3

verstanden werden konnen. Dies ist

vielleichtnichtall so erstaunlich, denndas Kosmologisc hePrinzip

gestat-tetesuns,einGebiet zub etrachten,daskleingenugist,daallerelativen

Bewegungen c sind,unddieTatsache,damaneinewirklichhomogene

Massenverteilungb etrachtet,gewa hrleistet(mitrealistischenDichten),da

in diesem Gebiet nur schwache Gravitationsfelder vorkommen. (Man hat

esalsomitdemNewton'schen Grenzfallzu tun.)

Wennman ab erdieAblenkungdesLichtesb etrachtet, dann m uman

etwas mehr Allgemeine Relativitatstheorieb eru cksichtigenen, dennselbst

furvc undschwache, statischeFelderwirddasLichtumdaszweifache

abgelenkt verglichen mit dem, was man nach der Newton'schen Theorie

erwarten wurde. 4

Ab er fur die Beschreibung des

Gravitationslinseneek-tes (TeilB) brauchtman ausderAllgemeinen Relativitatstheorienur den

"

Faktor2\ gegenub er derNewton'schenTheorie.

Wo Newton'sche Theorieub erhaupt nicht b enutztwerdenkann, istin

derHerleitungderZusammenhangeverschiedenerGro enmiteinander,wo

sowohldieAusbreitungelektromagnetischerStrahlungalsauchdiezeitliche

EntwicklungdesUniversumsalsganzeseineRollespielen(Kapitel3);hier

komm tman umeineallgemeinrelativistische Behandlungnichtherum;es

reicht jedo ch fur das Versta ndnis dieser Arb eit nur

"

Anschauliches\

vor-auszusetzen,dassichausdenFriedmann-Lema^tre-Gleichungenergibt.

ii. Mogliche Weltmodelle

Eine genauere Beschreibung moglicher Weltmodelle ndet man in den

ga ngigenLehrbu chern



ub er Kosmologie; hier erwa hne ich nur einige

Tat-sachen, diezeigen,dadasvermeintliche

"

Wissen\



ub er daskosmologische

Mo delloftnichtvonbleibenderGultigk eitist. (HiersollnurmeinEindruck

geschildertwerden;inKapitel2 werdenalleTermegenau deniert.)

Einstein [ Einstein17] war der erste, der die Allgemeine Relativit

ats-theorie auf das Problem der Kosmologie anwendete. Zu seiner 

Ub

erra-schung, weil man damals das Universum fur statisch hielt, fand er keine

Lo sungen, die statisch waren (auer fur den nicht realistischen Fall

ver-schwindender Dichte), undfuhrte deshalb diekosmologischeKonstante 3

ein, die eine der Schwerkraft entgegengerichtete Kraft darstellt und eine

statische Lo sung ermoglicht. Das statische, geschlossene Universum mit

nichtverschwindender Dichteund(notwendigerweise)der3-Kraftwirdals

"

Einstein'sches Universum\ b ezeichnet. Dies war also daserste allgemein

relativistische Weltmodell



ub erhaupt. Obwohldurch Beobachtungen

ein-3

Siehe, z.B. [ McCrea&Milne34 ], [ Bondi , Kapitel IX], [ Berry , Kapitel 7] oder

[ Harrison,Kapitel14].

4

Wennmanu berhauptetwaserwartet. DieNewton'scheTheorie istnichtsehrklar

indiesemPunkt,unddieVorstellungen,diemangebraucht,umdieHa lftedesrichtigen

Werteszuerhalten ( v

Licht

=cimUnendlic hen,BeschleunigungdesLichtesim

Gravi-tationsfeld)sindsichernichtrichtig,vorallemwennmandiekonstan teLichtgesc h

win-digk eit voraussetzt und eine verschwindendeRuhemasse des Photons. Man wird an

dasBohr'sc heAtommodelloderdieRutherford'scheStreuformelerinnert,die

" zufallig\

dieselbenErgebnisse (inihren Anwendungsbereichen)liefern alseine exaktequan

ten-mec hanischeBehandlung.HierliefertdieNewton'scheTheorie

"

deutig widerlegt, bildet esimmer no ch einen interessanten Grenzfall, der

furdieKlassizierungallermoglichenMo dellenutzlichist.

AlsEinsteinerfuhr,daBeobachterdieExpansiondesUniversums

ent-deckt hatten, lie er die kosmologische Konstante fallen. Spa ter vertrat

er die Ansicht, da 3  0 sein m u. Er war auch der Ansicht, da das

Mach'schePrinzip(dieTra gheiteinerMasseistdurchdieMassenverteilung

im Universum vollstandig b estimmt)nur ein endliches Universum zula t,

was b edeutet (wegen Einschra nkungen, dieaus derHomogenitat und

Iso-tropiefolgen),dader3-dimensionalerRaumeinep ositiveKrumm unghat

(k = 1) und so eine Hyp erkugel darstellt [ Einstein31 ]. Dieses Mo dell

mit 3 = 0 und k = 1 [ MTW, Box 27.4] wurde lange b evorzugt, weil es

zeitlichgeschlossenist 5

undkeinekosmologischeKonstanteentha lt.

No ch spa ter mac hte Einstein zusammen mit de Sitter den

Vor-schlag [ Einstein&deSitter32 ], da man, bis Genaueres b ekannt ist, der

EinfachheithalberdasUniversum mit3=0undk=0 alsMo dellunseres

Universums nehmen sollte. Dieses Mo dell hat die Eigenschaft, da viele

BerechnungenerheblicheinfachersindunddadieGroenundq(in

Ka-pitel 2 deniert) zeitlich konstant sind, was sonst nur b ei Mo dellenohne

MateriesowiestatischenMo dellenderFallist[ Stab ell&Refsdal66 ].

Friedmann[ Friedmann22,Friedmann24 ]wardererste,derallem

ogli-chen Mo delle untersuchte, und Lema^tre [ Lema^tre27 , Lema^tre31a,

Lema^tre31b ] dererste, derdie relativistische Kosmologie in

Zusammen-hang mit (damaliger) aktueller Astrophysik diskutierte. Lema^tre schlug

ein Mo dell mit 3 > 0 und k = +1 vor, was ab er nichtstatisch war und

ein Weltalter zula t, was erheblich langer als die Hubble-Zeit sein kann.

Eddington schlug ein a hnliches Mo dell vor, was jedo ch nicht als Urknall

entsteht sondern ab einer endlichen Gro e (entsprechend dem statischen

ZustanddesEinstein'schen statischenMo dells)expandiert,damit der

An-fang

"

notto o aestheticallyabrupt\ sei|dieszeigt, welch einegroeRolle

subjektive Vorliebenselbstb eigroen Astronomenspielenkonnen.

Eine Zeit lang waren zeitlich geschlossene Urknall-Modelle b eliebt,

z.T. nur wegen subjektiver Vorlieben. Heute werden Mo delle mit k = 0

(zumindestimRahmenderBeobachtungsgenauigkeit)vonvielenerwartet,

weil diesausTheorien desin ationarenUniversumsfolgt. Vieleerwarten,

da1sein soll,umStrukturbildungzuverstehen.

Ich werde nur die Weltmodelle nicht b etrachten, die aus gesichertem

Wissen herausalsnicht moglichgelten. Vor allemwenn die Leb ensdauer

desaktuellenkanonischenMo dellssehrkurzist,lohntessich,einemoglichst

allgemeineBetrachtungzumac hen.

Zusammenfassung

 Aus der (an groen Skalen) b eobachteten Isotropie des Universums

unddervernu nftigenAnnahme,dawirnichtaneinemb evorzugten

Ort sind,schlieen wir, da das Universum (auf groen Skalen)

ho-mogen ist, unddamit auch vonjedem Punkt ausb etrachtet isotrop.

Homogenitatund universelleIsotropie erlaub en uns,das Universum

erheblich einfacherzub eschreib en.

 DieRobertson-Walker-Metrikistdiemathematisc heSchreibweisefur

dieseeinfacheBeschreibung: dieeinzigemoglichezeitliche 

Anderung

5

Die zeitliche Abgeschlossenheit folgt aus der raumlichen Abgeschlossenhet nur

imUniversumisteingleichmaigesAusdehneno derSchrumpfen.

 Die Allgemeine Relativitatstheorie ist die richtige Theorie, um ein

Universum zu b eschreib en, das von langreichweitigen Kra ften b

e-herrscht wird. Sie b esta tigt die Beschreibung durch die

Robertson-Walker-Metrik,b eschreibt dieAusbreitungvonLichtauf dierichtige

Art und Weise underlaubt dieAufstellung vonmehreren, durch

le-diglic h3 Parameter b estimm tenWeltmodellen. ImLaufederletzten

Jahrzehnte wurden immer wieder andere Weltmodelle aus

Gleichungen

Thingsareasthey areb ecausetheywereastheywere.

ThomasGold

a. Friedmann-Lema^tre-Gleic hungen

1

AusgangspunktfurdieBerechnungkosmologischerMo delleindieserArb eit

sinddieFriedmann-Lema^tre-Gleichungen

_ R R ! 2 = 8 G 3 + 3 3 0Kc 2 (2: 1)  R R =0 4 G 3 + 3 3 (2: 2)

wob ei G die Gravitationskonstante, die Materiedichte und K = k

R 2

ist.

(DieanderenGro ensindb ereitsinKapitel1AbschnittbPunktiideniert

worden.)

Diese Gleichungen enthalten keinen Druckterm. Da nach der

Relati-vitatstheorie Druck als Energieform eine Schwerkraft erzeugt, ist er fur

diese dynamischenGleichungen wichtig; 2

es ist ab ereine gute Na herung,

denDruckzuvernachla ssigen,dadieentsprechendDichtedes

Strahlungs-druckes ( Strahlung = 3 p c 2

, wo p der Strahlungsdruck ist) nur etwa ein

Tausendstel der Materidichte b etra gt [ Berry, S. 143] 3

und der Gasdruck

im Universum furkosmologische Zwecke vernachla ssigt werdenkann. Da

 Strahlung  R 04 und  Materie  R 03

, spielt der Strahlungsdruck eine

gro ere Rolle b ei kleinem R ,also in derFruhphase unseres

(expandieren-den)Universums. (HatmanheuteeinVerha ltnisvon 

Materie



Strahlung

von1000,

dannwarenb eide Dichtengleich wichtigb eiz 1000. DaGl.2.1und2.2

selbst b ei  Materie  Strahlung = 1 24

ihre Gultigk eit no ch b esitzen [ Feige92 , S. 141],

[ Matravers&Aziz88], ist es fur diese Arb eit, die ausschlielic h Eekte

b eiz10b etrachtet,sicherkeineFehlerquelle, wennman Gl.2.1und2.2

stattdergenauerenGleichungen[mitDrucktermen]b enutzt.)

1

GuteHerleitungenimRahmenderNewton'schenKosmologiendetmanbei[ Berry,

Kapitel7] und[ Harrison, Kapitel14]. [ Berry]gibtaucheine

"

ansc haulicheallgemein

relativistisc heHerleitung\an.

2

Einzusatzlic herDruckimUniversum,obGas-oderStrahlungsdruc kodereineandere

Form,fu hrtalsodazu,daeinexpandierendesUniversumstarker abgebremstwird.

3

Da Berry die Materiedichteeher unterscha tzt , ist dieseNaherungauf jeden Fall

i. Andere Gleichungen

Wichtig fur dasLo sen der Friedmann-Lema^tre-Gleichungenist die

Mate-rieerhaltung (t)=  0 R 3 0 R 3 (t) (2: 3) wob ei 0 (t 0

)undderIndex0b edeutet(wieauchimRestdieserArb eit)

denheutigenWert. (

0 undR

0

sind,wieuntenerla utertwird,b eobachtbare

Gro en.)

Die Groe 

R

R

wird auch als Krumm ung der Raumzeit b ezeichnet,

wa hrendkdie Krumm ungdesRaumes angibt(dieeigentlicheKru mm ung

istK:= k R 2 ). 4

ii. Friedmann-Lema^tre-Gleichungen: Losungen 5

AusGl.2.1, 2.2und2.3folgendieGleichungen

_ R= r 8 G 0 R 3 0 3 R + 3 R 2 3 0kc 2 (2: 4)  R=0 4 GR 3 0 3 R 2 + 3 R 3 (2: 5)

DiesezweiGleichungenb estimmendieDynamikdesUniversums. Daman

5Groenhat(R , _

R, 

R ,und3)undzweiGleichungen,diesie

untereinan-derverknu pfen(Gl.2.1, Gl.2.2),sind3Gro enno tig,umein Weltmodell

vollstandig zucharakterisieren. 6

b. Beobachtbare Gro en

Everystatementinphysics

hastostaterelationsb etweenobservablequantities.

ErnstMach i. Denitionen Die Groen R , _ R , 

R , 3, k und, je nach dem, wie man die Dichte mit,

eventuell auch , kann man nicht unmittelbar b eobachten. Deshalb hat

maninderBeobachtetenKosmologienormalerwisemitGroenzutun,die

4

Siehe[ Berry ,Kapitel4.3und7.1]furdieentsprechendenDenitionenundBeweise.

5

Sieheauch,z.B.,[ Bondi,KapitelIX].

6

Da3eineKonstan teist,brauc htmaneinenzusatzlic henParameter,fallsmannicht

nurdas Weltmodell,sondern auchden Zeitpunkt(z.B.denheutigen)bestimmenwill.

BenutztmanbeobachtbareGroen(Abschnittb),danntrittdiesesProblemnichtauf,

denndiese sindalle i.a.zeitabhangig. (Sowohlhier als auchinAbschnitt btritt der

Parameterkauf;eristaberkeinfreierParameter,denn

k= R 2 c 2 4  G0  _ R R  2  0  R R _ R 2 +1  !

manetwas unmittelbarerb eobachtenkann: H := _ R R q := 0  RR _ R 2   R RH 2  := 3 3 H 2 :=  krit  8  G 3 H 2

DieseGro enwurdenausfolgendenGrundeneingefuhrt(bis aufweiteres

sinddieerwa hntenGro enstetsGro en,diejetzt b eobachtet werden. Die

entsprechenden Indizes (z.B. H

0

statt H) hab e ich der 

U b ersichtlichkeit

halberhierweggelassen):

H

Furkleine Rotverschiebungen istdie

"

Fluchtgeschwindigk eit\,diemanaus

derDopplerformel 7 erha lt( v c = 1 

=:z,wodieWellenlangeistundzdie

Rotverschiebung),  _

D

p

,unddieLeuchtkraftentfernung D

p

,so dader

Quotientausdiesen zweibeobachtbaren Groen  _

R

R

ist. DieseGroe, _

R

R ,

istnichtsanderesalsderHubble-ParameterH,diedenZusammenhang(bei

kleinenRotverschiebungen!) zwischenEntfernung und

Fluchtgeschwindig-keitangibt. (SieheKapitel 3 fureine Diskussionder hiererwa hnten(und

anderen) Entfernungen.) Mankann also den absoluten Wert von _

R nicht

messen,wohlab erdenrelativen ( _

R

R ).

q

Die Gro e qkannman ausden selb en Beobachtungen ermitteln, die man

zurBestimm ungvonHb enutzt(siehe,z.B.,[ Berry,Kapitel6]o der[ MTW,

Kapitel29.4undBox29.4]sowieKapitel4). DieGro eqist,wie,,und

k dimensionslos. Dasnegative Vorzeichenin der Denitionkomm tdaher,

damanc heapriorieineVerzo gerungstatteinerBeschleunigungerwarten.



3, in Gegensatzzu R , _

R und 

R (kist b ereitsnormiert, konstant und

di-mensionslos), ist eine Konstante. 8

Entscheidend fur das Weltmodell ist

jedo chdasVorzeichen,wasauchb eidasgleicheist,o derab er(b eik=1)

dasVerha ltniszu3

krit . Da3

krit

ab ervonb eobachtbaren Gro enabha ngt,

ist es nutzlich, verschiedene Weltmodelle in Bezug auf  zu diskutieren,

wenn man versucht, das Weltmodell aus heutigen Beobachtungen zu

er-mitteln. Die Gro e  ist auch im allgemeinen keine Konstante, so da

mandurch3b eobachtbareGro endasWeltmodelleinschlielic hZeitpunkt

vollstandigcharakterisierenkann. AuerdembietetdieTatsache,danurH

nicht dimensionslos ist, die Mo glichkeit, alle dimensionsbehafteteGro en

mit H zu normieren (was auch deshalb nutzlich ist, weil in den meisten

Fa llenH genaueralsdieanderenParameterb ekanntist).

7

Die kosmologische Rotverschiebung ist keine Dopplerverschiebung! Siehe

hierzu[ Harrison,Kapitel11]und[ Harrrison93 ].

8

InallenMo dellen,dieindieserArb eitbetrac htetwerden.Fu rkosmologisc heMo delle

FurdasWeltmodellmit3=0undk=0(Einstein-deSitter-Mo dell)erha lt

manausGl.2.1und2.2denAusdruck

= 3 H 2 8 G Da lim R!1 _ R=0 kannman krit denieren  krit = 3 H 2 8 G so da (fur 3 = 0!!) fur  >  krit , _ R eine Nullstelle b ei R = R max hat

(k=+1; dasUniversumkollabiertalso)und fur <

krit ,lim

R!1 _

R>0

(k=01;dasUniversumdehntsichimmerweiteraus). Deshalbdie

Bezeich-nung kritische Dichte. Um diesenSachverhalt in dimensionslosen Gro en

auszudrucken, fuhrtman:=  krit  8  G 3 H 2

ein. (Etwasirrefurend ist,da

man auch von b ei Mo dellen mit 3 6=0 spricht, wo diekritische Dichte

garkeineBedeutunghat. 9

) Esistauchsinnvoll,einezuH 02

prop ortionale

Dichtezudenieren,denndieDichte,diemanmit denmeisten Metho den

mit, ist prop ortional zu H 02

: Wenn man Massen aus dem Virialsatz

b estimmt,dannist

M  v 2 x G x

wo xdiecharakteristischeLa ngeistundv dieGeschwindigk eit. Weil

= M V  M x 3  1 x 2

ist, und(daman vonallen kosmologischenGro enRotverschiebungen am

genauestenmessenkann)La ngenmeistin Einheitenvon c

H

gemessen

wer-den,erha ltman

H 2

so,da schlielic h



H 2

statt die eigentliche Beobachtungsgro e ist. Da = 8  G

3 H 2

ist, sich also

nur um einen konstantenFaktor von 

H 2

unterscheidet, kann man sagen,

daman stattb eobachtet.

9

Fruher war die Groe  := 4 G

3H 2



ublich(siehe, z.B., [ Stabell&Refsdal66]), die

einfac halsdimensionsloserParametereingefuhrtwurde. Sicher,unduntersc heiden

sichlediglic humden Faktor2,aberdieAssoziationmit derkritisc henDichtekomm t

bei  garnicht erst auf, was von Vorteil ist, wenn man auch Mo dellen mit 3 6= 0

betrac htet.IndieserArb eitbenutzeichtrotzdem,weilesdenVergleic hmitanderen

Arb eitenaufdiesemGebiet(sieheAnhangKapitel13)erleic htertund(wichtiger)weil

bereitsfur r

R

inderRobertson-Walker-Metrikbenutztwird(Kapitel1Abschnittii),als

Bezeic hnungfureineGeschwindigkeitsdisp ersion,alsallgemeineBezeic hnungfureinen

Wirkungsquersc hnittundauerdeminderGravitationslinsenphysikalsBezeic hnungfur

ii. Gleichungen

Fur den Rest der Arb eit sind die Gro en mit Index

"

0\ (z.B. H

0 ) die

heutigenWertederallgemeinen Gro en(ohneIndex) (die immergemein t

sind,fallskeinIndexvorhandensind).

Aus Gl.2.4folgt kc 2 =R 2 H 2 0 4 G0H 2 (q+1) 1 (2: 6)

o der,unterBeru cksichtigungvonPunkti

kc 2 =R 2 H 2 (+01 ) (2: 7) darausfolgt k=sign (+01) (2: 8)

MankannauchdenKru mm ungsradiusR b erechnen:

R= c H 1 p +01 (2: 9)

Furk=0 istR erwartungsgemaunendlich;in diesemFalldeniert man

R:= c

H

(2: 10)

dasin diesemFallnur alsMafaktordient. Sola tsich diewichtige

Kon-stante R 0 b erechnen: R 0 := c H 0 1 p 0 + 0 01 (2: 11)

furk6=0. (Furk=0istnaturlichR

0 = c H 0 .)

Wenn man die ob en denierten Gro en in Gl. 2.4 bzw. 2.5 einsetzt,

erha ltman _ R= r 8 G 0 R 3 0 3 R 0R 2 0 H 2 0 ( 0 + 0 01 )+ 0 H 2 0 R 2 (2: 12) bzw.  R=0 4 G 0 R 3 0 3 R 2 + 0 H 2 0 R (2: 13)

Fuhrtmaneinx:= R R0 , sob ekomm tman _ x= s H 2 0  0 x 0 0 +10 0 (10x 2 )  (2: 14) bzw.  x=0 1 2 H 2 0  0 x 2 02  0 x  (2: 15) Mitz:= R 0 R

01erha ltmandieGleichung

_ z= r H 2 0  ( 0 z+1 )(1+z) 2 0 0 (z 2 +2 z)  (1+z) 2 (2: 16)

diedieGrundlage furdieBerechnung dermeistenb eobachtbaren

kosmolo-gischenGro enalsFunktionvonzdarstellt. 10

10

Die Lichtlaufzeit zwischen z

1 undz

2

istgegeb endurch

t 12 = Z t2 t1 dt= Z z2 z1 dt dz dz (2: 17) wob eiz i :=z(t i ). Mit dt dz

ausGl.2.16,erha ltman

t 12 = 1 H 0 Z z 2 z1 1 p P(z) 1 1+z dz (2: 18) wo P(z)= (z+1) 2 ( 0 z+10 0 )+ 0

. DieserAusdruck b erechnet also

dieLichtlaufzeit alsFunktionder Rotverschiebungenund desdurch b

eob-achtbareGro enb eschrieb enen Weltmodells. DerWinkel(Kapitel3

Ab-schnittb Punki)istgegeb endurch

 12 = Z t2 t 1 c R dt= Z z2 z 1 c R dt dz dz= 1 H 0 Z z2 z 1 c(1+z) R 0 1 p P(z) 1 1+z dz (2: 19) bzw.  12 = c H 0 R 0 Z z 2 z 1 1 p P(z) dz (2: 20)

AbgesehehenvondenkonstantenFaktoren,diefurdierichtige

Dimensionie-rungsorgen,istder einzigeUnterschied zwischen den Ausdruckenfur t(z)

und (z) der Faktor1+z, der dadurch zustandekommt,weil von dem

heutigen Kru mm ungsradius R

0

abha ngt; t ha ngt von der durchlaufenen

Streckeab,derindementsprechendenz-IntervallR (z)ist.

EinwichtigesErgebnisdieserRechnungenistderallgemeinerAusdruck

furdasAlterdesUniversums

t 0 = 1 H 0 Z 1 0 1 p P(z) 1 1+z dz (2: 21)

Qualitativsiehtmansofort, daP(z)steigtmitsteigendem.

Zusammenfassung

 DieFriedmann-Lema^tre-Gleichungenfolgenausderallgemeinen

Re-lativitatstheorie mit den Einschra nkungen deskosmologischen

Prin-zips und b eschreib en die Dynamik des Universums. Fur unsere

Zweckeistesnichtno tig,Drucktermezub eru cksichtigen. Die

Mate-rieerhaltungmac htesmoglich,dieFunktionen _ R R und  R R inabha

ngig-keitvon2unabhangigenParameternauszudrucken,na mlich3und

0 .

(Zur vollstandigen Festlegung des Weltmodells braucht man eine

dritteGro e,etwa denWertvon _

R

R

heute.)

 Es ist wichtig, die theoretisch hergeleiteten Friedmann-Lema^

tre-Gleichungen auf b eobachtbare Groen zuru ckzufu hren, damit es

Entfernungen

Zeit,Raum,OrtundBewegungdeniereichnicht,

weilalledamitvertraut sind.

IsaacNewton

Entfernungen spieleneinesehr wichtigeRolle in derKosmologie. Weil

dasUniversumnichteuklidisch (k=0)sein m u,undweildasUniversum

imallgemeinensichmitderZeitausdehnto derinsichzusammenfallt,ha ngt

derWert,denmanfureineEntfernungerha lt,vonderDenitionab:

Ent-fernungen,dieperdenitionem imstatischeneuklidischenFallgleichsind,

sindimallgemeineninderKosmologieverschieden. Weilnichtalle

Entfer-nungenmebarsind(manchmalistsogarnurdieRotverschiebungb ekannt),

sind Zusammenhange zwischen verschieden denierten Entfernungen

des-selb en Objektes (und der Zusammenhang mit der Rotverschiebung) von



a uersterBedeutung.

Zuna chstwerdenub er Mevorschriften verschiedene Entfernungen fur

den statischen euklidischen Fall deniert, und dann werden

Verallgemei-nerungen fur den allgemeinen kosmologischen Fall b etrachtet. In diesem

KapitelsindalleWinkelalskleinzub etrachten(sintan).

a. Entfernungen im statischen euklidischen

Raum

Absolutespace,initsownnature,

withoutrelationtoanythingexternal,

remainsalwayssimilarandimmovable.

IsaacNewton

Im statischen euklidischen Raum sind die folgenden Entfernungen

naturlich alle gleich; wichtig ist, da man versteht, wie eine Entfernung

auseinerMevorschrift folgt,dennimallgemeinenkosmologischenFallist

dieMevorschriftwichtig,weilsievonb eobachtbarenGro enabha ngt.

i. Metrische Entfernung

DieeinfachsteVorstellungeinerEntfernung istwahrscheinlichdie der

me-trischenEntfernung(properdistance),dieeinerphysikalischenMessungmit

inallgemeinerForm D p = D Z 0 dx (3: 1)

wodxdasLa ngenintervallangibt. (DerBetrachteristb ei0unddasObjekt

b endet sich in der Entfernung D ; hier ist D als Ko ordinate in einem

metrischenRaum zuverstehen.)

ii. Koordinatenentfernung

DieKo ordinatenentfernungr(coordinatedistance)b erechnetsich aus

r=R  (3: 2)

wob ei:= r

R

. DieGro eristeinedimensionsloseEntfernung undReinen

Skalenfaktor. Dieserscheint trivial;derSinn einersolchen Denitionwird

inAbschnittb klar.

iii. Winkelgroenentfernung

WeimandiewahreAusdehnungeinesObjektes,undmitmandie

schein-bare Ausdehnung, dann kann man die Winkelgroenentfernung (angular

sizedistance)b erechnen: Aus

:= x

D

(3: 3)

wob ei xdie Ausdehnung des Objektes ist und  der gemessener Winkel,

derdemscheinbarenDurchmesserentspricht,folgt

D= x

(3: 4)

iv. Helligkeitsentfernung

WeimandiewahreHelligk eiteinesObjektes,undmitmandiescheinbare

Helligk eit, dann kann man die Heligkeitsentfernung (luminosity distance)

b erechnen: Aus l= L 4 D 2 L (3: 5)

wo ldie scheinbare undLdieabsoluteLeuchtkraft ist,folgt

D L = r L 4 l (3: 6) v. Lichtlaufzeitentfernung

Weil fast alle Information von Objekten in kosmologischer Entfernung

unsdurchLicht(o der andere elektromagnetischeStrahlung) erreicht, und

weildieLichtgeschwindigk eiteinewichtigeRollein derRelativitatstheorie

spielt, ist es manc hmal sinnvoll, eine Lichtlaufzeitentfernung (light travel

timedistance)zudenieren:

D :=ct (3: 7) wob eit =t 0 0t e

dieZeitzwischenAussendenundEmpfangendesLichtes

ist. 1 1 Die Indizes " 0\ und "

b. Verallgemeinerte Entfernungen

Indiesem Abschnitt b eziehen sich alle Bemerkungen auf den allgemeinen

kosmologischenFall. Zusa tzlich wird angenommen, daalle Gegensta nde

sich mitdemSubstratumb ewegen (_ = _

= _

=0).

i. Metrische Entfernung

Diemetrische Entfernung istnichtb eobachtbar,denndieVorstellung, auf

diesieb eruht(Messung miteinem starrenMastab) sichnichtrealisieren

lat. Sie istjedo ch sehr wichtig,denndie Allgemeine Relativitatstheorie,

die alsGrundlage der Kosmologie dient, basiert auf dieser Denition von

Entfernung; alle anderen Entfernungen sind prinzipiell (nicht ab er

prak-tisch) zweitrangig. Um

"

na her an derBeobachtung zu sein\ wa re es

viel-leicht sinnvoll, eine Theorie zu erstellen, die eine andere Denition von

Entfernung alsAusgangspunktverwendet; diesist ab er no ch nicht

gelun-gen. (Siehe[ Bondi ,S.68{70]fureineDiskussiondieseswichtigenPunktes.)

MitHilfederRobertson-Walker-Metrikla tsichdiemetrischeEntfernung 2

wiefolgtdenieren:

D p =R (t)  Z 0 d (3: 8) bzw. D p =R (t)2 8 < : arcsinh fur k = 01  fur k = 0 arcsin fur k = +1 (3: 9)

wob ei die Gro en dieselb e Bedeutung wie in Kapitel 1 Abschnitt ii

ha-b en. DieAngab eeinermetrischenEntfernungzwischenzweiGegensta nden

b eno tigtnaturlichauchdieAngab edesZeitpunktes.

ii. Koordinatenentfernung

DieKo ordinatenentfernung wurdeob enalsr=R  deniert;diese

Deni-tionwird allgemein gultig, wenn man mit derKo ordinate  undR mit

demSkalenfaktorderRobertson-Walker-Metrikidentiziert. Diemetrische

EntfernungD

p

istnurfurk=0mit ridentisch. DiemetrischeEntfernung

(zwischenMittelpunktundOb er a che)entsprichtanschaulichdemRadius

einerKugel. Ist r eineEntfernung, die



ub er einen Winkel deniert wird,

dann istr6=D

p

furk6=0, denn dieWinkel verhaltensich auf

nichteukli-dische Weise: die SummederWinkeleinesDreiecks istdannnicht,

son-dern>furk=+1bzw.<furk=01 ,wob eiderGradderAbweichung

vonderGroe desDreiecks(b ezogenaufdenKrumm ungsradius)abha ngt.

Weilmanin derPraxismeistGro enmit,diemitWinkelnbzw.mit

Ku-gelober a chen zutun hab en,deniert man r als

"

Radius\ der Kugel. Es

isteinsehrwichtigerPunkt,da Entfernungen, die



ub er einenWinkel

de-niert sind,zu rund nichtzuD

p

prop ortional sind. Die Gro er istalso

deshalbwichtig,weildiemeistenb eobachtbarenEntfernungensichnurum

Faktoren wie (1+z) n

bzw. R

0

von r unterscheiden; ist man also in der

Lage, r fur ein b estimmtes kosmologisches Mo dell sozusagen als

"

Grun-dentfernung\ zu b erechnen, dann sind die meisten ubrigen Entfernungen

durch leichte Umform ungenzub erechnen.

2

"

Aswillbeseenlaterthisconceptleadsincosmologytothemathematically

iii. Winkelgroenentfernung

Bei derWinkelgroenentfernung hatman esmit einerEntfernung zutun,

dieub ereinenWinkeldeniertist,demzufolgem umanDinderDenition

inAbschnitta mitR e identizieren: D:=R e  (3: 10)

bzw.,unterderBeru cksichtigungderDenitionvonz,

D:= R 0  1+z (3: 11) Manm uR e stattR 0

verwenden, dennder Winkel,umden esgeht, wird

durchdieAusdehnungdesGegenstandesundr

e

b estimm t. Winkelbleiben

naturlich b ei einem gleichmaigen Ausdehnen o der Schrumpfen des

Uni-versumserhalten. DieWinkelgroenentfernungspielteinewichtigeRollein

derGravitationslinsentheorie(TeilB).

iv. Helligkeitsentfernung

Die Helligk eitsentfernung m u zu R

0

statt zu R

e

prop ortional sein, denn

der Raum winkel, um den es hier geht, wird durch das Verha ltnis von

L zu l b estimmt, und entscheidend fur l ist die Kugelob er a che, die

durch l=konstantjetzt deniert wird. Es komm tab erno ch etwas dazu:

tatsa chlichistdieHelligk eitsentfernunggegeb endurch

D L =R 0 (1+z) (3: 12) bzw. D L = R 2 0  R e (3: 13)

Der Faktor 1+z in der Entfernung entsteht, weil der Flu im Vergleich

zum statischen Fallumden Faktor(1+z) 2

abgeschwa cht wird, undzwar

ausfolgendenGrunden 3

:

(1) Die Strahlung komm t b eim Beobachter rotverschob en an, und, da

W =

hc



(W ist die Energie eines Lichtquants, h das Planck'sche

Wirkungsquantum und dieWellenlange) und 1+z   0 0 e e , eine

Rotverschiebung von z b ewirkt eine Abschwa chung des

(bolometri-schen! 4

FlussesumdenFaktor(1+z).

(2) Betrachtet man die Rotverschiebung alseineVerringerungder Zahl

derWellenb erge,dieproZeitintervalldenBeobachtererreichen, soist

klar, da dieseVerringerungauch fur die Lichtquantenselbst gelten

m u.

Man erha lt also insgesamt eine Verringerung des Flusses um den

Fak-tor (1+z) 2

, was einem Faktor von (1+z) in derEntfernung entspricht.

Dadie meisteInformation



ub er Entfernungen vonkosmologischen

Objek-ten mittelbar o der unmittelbar aus ihren Helligk eiten stammt, spielt die

Helligk eitsentfernungeineb esondereRolle inderKosmologie.

3

DerAnschaulic hkeithalberwirdhierfurz>0argumen tiert;dasErgebnisgiltaber

entsprec hendfurBlauv erschiebungenmitz<0undVerstarkungdesFlusses.

4

Betrac htetmandenFluineinembestimmtenWellenlangenbereich ,dannhatman

einenzusatzlichen Faktor(1+z )wegenderDehn ungdesWellenlangen bereiches. Dies,

angen-v. Lichtlaufzeitentfernung

Die Lichtlaufzeitentfernung ct ist anschaulich klar; die Zeit t ist gegeb en

durch t= R0 Z Re dR A(R ) (3: 14)

wob ei A(R ) die rechte Seite von Gl. 2.4 ist. Die Lichtlaufzeitentfernung

ist b esonders wichtig in der Behandlung von kosmologischen

Horizon-ten[ Harrison,Kapitel19]

c. Zusammenhange zwischen verschiedenen

Entfernungen

Theprincipleofstrategyis,havingonething,

toknowathousandthings.

Nusashi

i. Begrundung (Beobachtbarkeit)

WieamAnfangdiesesKapitelsb ereitsb emerkt,sindZusammenhange

zwi-schen verschiedenen Entfernungen b esonders wichtig, weil es sehr selten

vorkommt, da man mehrere Entfernungen b eim selb en Objekt b

eobach-ten kann. Manchmal hat man nur die Rotverschiebungen, und deshalb

istesb esonderswichtig,dieAbha ngigkeitderverschiedenenEntfernungen

von der Rotverschiebung zu kennen. Besonders b eim Vergleich zwischen

Theorieund Beobachtung in der Kosmologiesind dieAbha ngigkeitenb

e-obachtbarerGro envonderRotverschiebungwichtig,dennz= R0

Re

01und

entha ltsoInformation



ub erdiezeitlicheEntwicklungdesUniversums.

ii. Gleichungen

WieinAbschnittiischonb emerkt,istdieGroerb esonderswichtig,denn,

bisauf dieLichtlaufzeitentfernung, unterscheidensichalleanderen

Entfer-nungen und r lediglic h um leicht zu b erechnende Faktoren voneinander.

Dieeinzige zusa tzlicheSchwierigkeitb estehtin derMehrdeutigkeit: zu

ei-nem Wert von r gibt es fur k > 0 mehrere Werte einiger Entfernungen,

manc hmalsogarunendlich viele.

Die GleichungenGl.2.11,2.18und2.20ermoglichendieBerechnungen

derLichtlaufzeitentfernung(ct)unddermetrischenEntfernungD

p (R

0 )

alsFunktionderRotverschiebungenz

1 undz

2

unddeskosmologischen

Mo-dells(gegeb en durch H

0 ,

0 und

0

). Ausergibtsichr:

r=R2 8 < : sinh fur k = 01  fur k = 0 sin fur k = +1 (3: 15)

Bei derWinkelgroenentfernung, wieob en b emerkt, spielt die

Entfer-nung zur Zeit des Aussendens des Lichtes die entscheidende Rolle, denn

Winkelbleibenb eieinergleichmaigenAusdehnungdesUniversums

erhal-ten. Esistalso

D xy =R y  xy = R 0  xy (3: 16)

Betrachtetmandieumgek ehrteEntfernung,wiemanc hmalinder

Gravita-tionslinsentheorieno tig,soist

D y x =R 0  xy =D xy (1+z) (3: 17)

DerheutigeAbstandistentscheidendb eiderHelligk eitsentfernung,was

einenFaktor1+zgegenub erD

xy

ausmacht;zusa tzlichhatmandenEekt,

daderFluumdenFaktor(1+z) 2

abgeschwa chtwird,wieob enb

eschrie-b enwurde. Diesmac hteinen zweiten Faktor1+zin derEntfernungaus,

also D L =R 0  xy (1+z) (3: 18)

Daraus folgtdieBeziehung

D L =D xy (1+z) 2 (3: 19)

Dies b edeutet, da die Flachenhelligkeit kosmologisch entfernter

Ob-jekte(1+z) 04

ist.

d. Entfernungen im inhomogenen

Univer-sum

In Abschnitt b wurde no ch angenommen, entsprechend dem

kosmologi-schen Prinzip, dadie Materie imUniversum gleichmaig verteilt ist.

Si-cher, wenn diesstreng genommenderFallwa re, dann wa reesunmoglich,



ub erhaupt etwas zu b eobachten; die Entfernungsdenitionen setzen ab er

eigentlich nur voraus, da Beobachter und b eobachteter Gegenstand die

lokaleMaterieverteilungnichtmebarb eein ussen. Fur dieBeobachtende

Kosmologieistab erdieseEinschra nkung zustark,denn(jenach

Weltmo-dell)esistdurchausmoglich,dadieb eobachtetenGegensta nde(Galaxien,

Quasareusw.) fastalleMaterieimUniversumb einhalten.

Wenn man annimmt, da, obwohl es zwar lokale Verdichtungen von

Materie gibt, das Universum im Groendo ch dem kosmologischen

Prin-zipfolgt,dann latsichdie Lichtausbreitung in ersterNa herungwiefolgt

b eschreib en.

Das Universum hateinemittlere Dichte 

0

, die sich auszweiAnteilen

zusammensetzt

(1) gleichmaig 5

verteilteMaterie,diedenBruchteilderGesam tmaterie

desUniversumsdarstellt

(2) Materie,dieinkompaktenObjektenverteiltist,diedenBruchteil1 0

derGesam tmateriedarstellt

InnerhalbdesLichtkegels,ausdessen 

OnungswinkelmaneineEntfernung

ableitet, b enden sich keine kompakten Objekte; 6

die mittlere Dichte ist

hieralso

0

. AuerhalbdesLichtkegelsistdiemittlereDichte

0

. (Eswird

naturlichvorausgesetzt,dadasVolumendesLichtkegelsvernachla ssigbar

ist gegenu b er dem Volumen der entsprechenden Kugel.) Die kompakten

Objekte sollen sich weit genug von dem Lichtkegel entfernt b enden, so

da man die gesamte Materie durch eine verschmierte Massenverteilung

dermittleren Dichte

0

b eschreib en kann|Eekte einzelnerObjektesind

5

verglic henmitdenMastaben,diefurdieLichtausbreitungeineRollespielen

6

Man beachte die Denition von

"

unb eobachtbar. Fallssich ein kompaktes Objekt do ch amRandebzw.

in-nerhalb des Lichtkegelsb endet, so wird esexplizit durch den

Gravitati-onslinseneektb eru cksichtigt (sieheTeilB).

DasProblementsprichtalsodemGravitationslinseneekteinerScheib e

konstanterDichte(Kapitel6Abschnittiii)inderEb ene(Kleinwinkeln

ahe-rung!), die durch die Phase der Lichtwelledeniert ist, jedo ch m u man

hier die Dichte der Scheib e alsnegativ ansetzen, denninteressant ist das

Verha ltnisderDichteninner- undauerhalbdes Lichtkegels. Anschaulich

ist sofort klar, da eine kleinere lokale Dichte zu einem Divergieren der

Lichtstrahlen(verglichen mit dem homogenen Fall) unddadurch zueiner

Vergroerung derdurchden 

O nungswinkeldesKegels denierten

Entfer-nungfuhrt. [ Kayser85 ] gibteinegute Beschreibung desSachverhaltesan,

und leitet eine Dierentialgleic hung furdie Winkelgroenentfernung D in

Abha ngigkeitvondenRotverschiebungen derQuelle (z

y

) undeinerdurch

diePhase deniertePosition(z

x

)(die imallgemeinen Fallnaturlich nicht

b eiz=0liegen m u). Die Dierentialgleic hunglautet

D 00 +  2 v + g 0 (v ) g(v )  D 0 + 3 0  2 v g 2 (v ) D=0 (3: 20) wob eig (v )= p 0 v 3 +( 0 + 0 01)v 2 + 0

,v=1+zunddieEntfernung

in Einheiten von c

H0

gemessen wird. Da dieseGleichung nichtanalytisch

gelostwerdenkann,istdiequantitativeBetrachtungnichthomogener

Welt-modelleschwierigeralsdiederentsprechendenhomogenenMo delle. (Daich

sehrviel Gebrauch hiervon mac henm ute, programmierte ich ein

schnel-lesLo sungsverfahrenbasierendaufderBulirsch-Sto er-Methode,jedo chmit

Extrap olationmittelsPolynome stattder



ublichenrationalenFunktionen.

Hierzu wurden u.a. Unterprogramme von [ PFTF] b enutzt. Die

Entwick-lungunddasTestendesProgrammshatmehrereWo chenZeitinAnspruch

genommen,warab ereinenotwendigeVoraussetzungfurdieDurchfuhrung

dieser Arb eit und kann naturlich fur andere Arb eiten in Zusammenhang

mitkosmologischenEntfernungen b enutztwerden.)

Entfernungen, die durch die Ausbreitung von Licht gemessen

wer-den,alsodieWinkelgroenentfernungD unddieHelligk eitsentfernungD

L ,

mussenmitHilfevonGl.3.20b erechnetwerden. 7

Entfernungenhingegen,

diesich auf dieglobaleDynamikdesUniversums b eziehen,alsodie

metri-sche Entfernung D

P

, die Ko ordinatenentfernung r und die

Lichtlaufzeit-entfernung, sindunabha ngigvon, alsoim homogenenundinhomogenen

Universumgleich.

Zusammenfassung

 ImstatischeneuklidischenRaumistesmoglich,ub erMevorschriften

verschiedeneEntfernungenzudenieren.

 ImallgemeinenkosmologischenFall,woderRaumwederstatischno ch

euklidisch seinm u,ha ngt die Entfernung einesObjektes davonab,

wiemansiemit.

 Da meistens nur eine Entfernung b eobachtbar ist, o dergar nur die

Rotverschiebung,sinddieZusammenhange verschiedener

Entfernun-gen miteinanderundmitderRotverschiebungsehrwichtig.

7

 Fur realistische Weltmodelle m u man lokale Inhomogenitaten

b eru cksichtigen, obwohl das Universum als Ganzes no ch durch das

Klassische Beobachtende

Kosmologie

IndiesemKapitelsollennurkurz dieklassischenMetho denzur

Bestim-m ungkosmologischerGroenvorgestelltwerden,mitb esonderemBlickauf

dieGenauigkeitderMetho den.

a. H

0

Historisch gesehenist die Beobachtungsgro e H

0

das Verha ltnis zwischen

der Rotverschiebung, ausgedru ckt alsGeschwindigk eit(cz), und der

Ent-fernung, meist als Leuchtkraftentfernung gemessen. 1

Dies ist derGrund,

weshalb manmeistensz gegenm(als Entfernungsma) autra gt,obwohlz

eherdie unabhangigeVariableist. Daman historisch meistmitkleinen

z-Wertenzutunhatte,undweilexakteLo sungenerstnachderEntwicklung

der Beobachtungsmethoden gefunden wurden, mac ht man meistens eine

ReihenentwicklungfurzalsFunktionvonm:

m=M+2505log 10 H 0 +5log 10 cz+1 ;086(10q 0 z)+111 (4: 1)

wob eimdiescheinbareundMdieabsoluteHelligk eitist. (DerFaktor1,086

ist eigentlich 2 ; 5

ln10

.) Die Hubble-Konstante b estimm t man also aus dem

SchnittpunktdieserFunktionmitderz-Achse. (Siehe,z.B.,[ Berry,S.112]

fureineErla uterung.)

Genau sowie eseinem- z-Beziehung gibt, gibteseinezwischen z und

denWinkeldurchmessern vonObjekten, diemanentsprechendfur die

Be-stimm ungvonH

0

verwendenkann.

FurH

0

ndetmanWertezwischen30und110 km

s1 Mp c 2

. Bemerkenswert

ist,dadieWertenichtgleichmaigub erdasIntervallverteiltsind,sondern

1

Essollhiernocheinmalausdrucklichbeton twerden,dadiesesdurc hBeobac htung

gefundene Hubble-Gesetz nichtdas gleic heist wie das theoretischeExpansionsgesetz,

dasmanausderRobertson-Walker-Metrikherleitet(Gl.1.1). AusdieserMetrikkann

manaufD p und _ D p

,alsoaufzweinichtbeobac htbareGroen,schlieen. Lediglic hfur

kleineRotverschiebungen,wie inKapitel2Abschnitt berlautert, gibteseinegewisse



Ubereinstimm ung zwischendem beobac hteten Hubble-Gesetz und dem theoretisc hen

Expansionsgesetz. Eineausfuhrlic heBehandlung diesesThemasndetmanbei

Harri-son[ Harrison,Harrrison93].

2

ImfolgendenwerdenWertevonH

0

,wennnichtandersbemerkt,indiesenEinheiten

sichumWerteum45bzw.85ha ufen. DerWertscheintdavonabzuha ngen,

werdieUntersuchungmac ht,undeskomm tdurchausvor,daverschiedene

Grupp enverschiedeneWerteausdenselben Daten erhalten.

Bei der Bestimm ungder Hubble-Konstanten ausder ob enb eschrieb

e-nenMetho de(mitHelligk eiten)mussensowohldiez-alsauchdiem-Werte

korrigiertwerden. Die z-Korrektur, die dadurch zustandekommt,weil die

Erdesich umdie Sonnedreht,dieSonne sichumdasgalaktischeZentrum

dreht,dieGalaxiseineEigenb ewegunghatusw.istrelativunproblematisch,

denn unsere Geschwindigk eitb ezogen auf das

"

Substratum\ lat sich

re-lativ leichtausderDipolanisotropieder kosmischenHintergrundstrahlung

b erechnen.

SchwierigeristdieKorrektur furm; abgesehenvon

Entwicklungseek-ten, die wahrscheinlich do ch b ei kleinen z-Werten vernachla ssigt werden

durfen,m u man diein Kapitel3 Abschnittiv b eschrieb ene K-Korrektur

b eru cksichtigen, die Wissen



ub er die sp ektrale Energieverteilung

voraus-setzt. HinzukommenKorrekturen furAbsorption. EinweitererPunktist

der sogenannte

"

Malmquist bias\, der dadurch zustandekommt, da die

"

Standardkerzen\ inderPraxiseineHelligk eitsverteilunghab en. Weilman

fastimmermit ub egrenztenSamplesarb eitenm u,fuhrtdiesdazu,da

manb eigro erenEntfernungennurno chdiehellerenObjektesieht,soda

die aus den Beobachtungen hergeleitete Durchschnittshelligkeitgro erist

alsdietatsa chliche.

Bei derBeobachtung vonWinkeldurchmessern hatman weder die

K-Korrektur no ch m u man Absorption b eru cksichtigen. (Es sei denn, der

Winkeldurchmesser ist mit der Helligk eit auf eine Art und Weise

korre-liert,dieAuswahleekteverursacht.) DasVorhandenseineinesEekts,der

demMalmquistbiasentspricht,ha ngtstarkvonderArtderb eobachteten

ObjektensowiederDenitionderWinkelgroeab.

Ab erdasHauptproblemb eidiesenMetho denliegtinderTatsache,da

man fur die Eichung eine Vielzahl von Standardkerzen b eno tigt, die alle

miteigenen Unsicherheitenverbundensind.

b. q

0

AusderAbweichungvonGl.4.1voneinerGeradenkannmanq

0

b estimmen:

furq

0

=1 erwartet mandie Gerade,furandere Werteeine entsprechende

Abweichung. Dasselb ekannmanauchfurdieWinkeldurchmessertun;dies

istinletzter Zeitvonversta rktemInteresse,daKellermann[ Kellerman93]

b ehauptet,Beobachtungenanvon Entwicklungseektenunabhangigen

Ob-jekten b enutzenzuko nnen, umq

0

zub estimmen.

Heuteistman derAnsicht, daesaufdieob en b eschrieb ene Artnicht

moglich ist, q

0

zu b estimmen, weil die q

0

-abhangigen Eekte erst b ei

verha ltnismaiggroenz-Wertenauftreten. Weilhohez-Wertemitgroen

Ruckblickzeitenverbundensind,erreichtmanb ei hohenz-WertenStadien

der Galaxienentwicklung, die so weit zuruckliegen, da die Galaxien sich

vonihrer heutigenFormgenug unterscheiden, umq

0

-Eekteunb

eobacht-barzumac hen.EsscheintauchnichtderFallzusein,dainabsehbarerZeit

dieGalaxienentwicklunggenaugenugverstandenwerdenwird,umfurdiese

Eektekorrigieren zukonnen. (Sieheab er[ Sandage&Tammann93 ].)

Alle Bemerkungen in dem letzten Abschnitt b eziehen sich versta rkt

auf die Bestimm ung von q

0

, denn diese erfordert, da man Objekte b ei

ho herem z b eobachten m u. Zusa tzlich spielt der -Parameter hier eine

b. q 0 29

z

D

1.0

2.0

3.0

4.0

0.2

0.4

0.6

0.8

z

D

1.0

2.0

3.0

4.0

0.2

0.4

0.6

0.8

z

D

1.0

2.0

3.0

4.0

0.2

0.4

0.6

0.8

z

D

1.0

2.0

3.0

4.0

0.2

0.4

0.6

0.8

z

D

1.0

2.0

3.0

4.0

0.2

0.4

0.6

0.8

z

D

1.0

2.0

3.0

4.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Abbildung 4-1. Ein uvon  auf die Bestimm ungvon q

0

Geplottet ist der Wink elgroenentfernung in Einheiten der

Hubble-Lange c

H

0

als Funktion vonz fur verschiedene Weltmo delle. Fur jede

Kurvenscharsind die -Werte,vonoben,0, 1

2

und1. Fu ralleKurven

ist = 1. Hier sieht man, da der Ein u von  gro er ist als der

vonq0 furgroere z-Werte in

"

typischen\ Weltmo dellen.

AlleUntersuchungen, dieversuchen,durchdieAbha ngigkeiteiner

Ent-fernung von z dasWeltmodell zu b estimmen, werden mehr o der weniger

vondem -Parameterb eein ut.  istnichtvergleichbarmit denanderen

kosmologischenParametern,denn kann furverschiedene Objekte

unter-schiedlich sein. Ohne Auswahleekte vollstandig zu verstehen wird man

nichteinmaldieHonunghab enkonnen,da

"

 imMittel1 ist\,waseine

Hilfe b ei statistischen Untersuchungen sein sollte, denn zwei

entgegenge-setzteAuswahleektesindmoglich:

(1) Ein ub egrenztes Sample b evorzugt Objekte, die intrinsisch heller

sind. DadurchkonntenObjekte,furdie>1gilt,b evorzugtwerden.

Dieswa rezuerwarten,wennesvielMateriegibt,diewederabsorbiert

no ch leuchtend ist und, obwohl (kosmologisch gesehen)nicht gleich

verteilt,nichtkompakt genugist,umexplizitdurch einen

Gravitati-onslinseneektb eru cksichtigtzuwerden.

(2) Untersucht man Objekte, z.B. Feldgalaxien, die, um

b evorzugt in das Sample hineingenommen werden, wenn sie mehr

o der weniger allein am Himmel stehen, dann ko nnten Objekte, fur

die  <1 gilt, b evorzugtwerden. Dies wa re zu erwarten, wenn der

Groteil der Materie sich in kompakten Objekten b endet, die

ent-wederleuchteno derabsorbiereno derb eides.

IndieserArb eit wird wono tigb eru cksichtigt. Obwohlkeinfreier

kosmo-logischerParameterindemSinne,gibteineBetrachtungfurverschiedene

-Wertezwischen0 und1 inderGravitationslinsenphysikeineAbscha tzung

furdieUnsicherheit.

c.

0

ImPrinzipistesmoglich,

0

ausderm- z-Beziehung bzw.ausder

entspre-chendenBeziehung furWinkeldurchmesser zub estimmen, ab erdiesistin

derPraxis nichtmoglich,da

0

-abha ngigeTermeerst indritter Ordnung

auftreten.

0

b estimmtman,in dem mandie lokaleDichte (meistmoduloH 02

0 )

mit,z.B.durchGalaxienzahlungengekopp eltmitAbscha tzungenub er die

Masse der Galaxien. (Siehe, z.B., [ Berry, S. 15{17].) (Wie in Kapitel 2

erla utert,b eobachtet manb ei

"

unmittelbaren\ Dichtemessungenmeistens

eher

0 als

0

.) Mankann mit dieser Metho de die Gesamtmasse b

estim-men,diemitleuchtenderMasseenggekoppelt ist. Einentsprechendes

Ver-fahrenb eiGalaxienhaufenfunktioniert analog. Imallgemeinenndet man

mitsolchenMetho den,dadieDichtemitderGro edesb etrachteten

Ge-bieteswa chst. 3

Wasman ab ermit diesen Metho den nur schwieriger b estimmen kann,

ist die Dichte gleichmaig verteilter dunkler Materie. Es gibt Metho den,

die ob ere Grenzen fur die Dichte bestimmter Arten gleichmaig verteilter

dunkler Materie angeb en, ab er es ist nicht moglich, eine Ob ergrenze fur

alle Sortenanzugeb en.

ObwohldieStrahlungsdichteheutevernachla ssigbarist(Kapitel2),ist

es trotzdem moglich, da Dichten, die ausder heutigen Strahlungsdichte

abgeleitetwerdenko nnen,furkosmologischeZweckeerheblichseinko nnen.

Es ist z.B. moglich, die Dichte von Neutrinos aus der Strahlungsdichte

abzuleiten|hierdieBeziehung (ohneBeweis):

n i+i  3 11 n (4: 2) wob ei n 20 ;42T 3 4 ;15210 8 m 01 (4: 3) Die Zahln

istdieheutige Photonenzahlendichte undT

die Temperatur

der kosmischen Hintergrundstrahlung. (Siehe, z.B., [ Weinb erg].) Hab en

NeutrinoseineendlicheRuhemasse, dann istesmoglich,da sieeinen

er-heblichen Anteilan

0

ausmachen. (Bei einersolchen Dichteb estimmung

mitmantatsa chlichdieDichteundnicht  0 H 2 0 .)

Es gibt Metho den, mit denen man

0

b estimmen kann (z.B.

Galaxi-enza hlungen) ab erauch welche, die eigentlich 

0

b estimmen; dazwischen

m u mansorgfa ltigunterscheiden. Aus Galaxienzahlungen, diedie

dyna-mische(stattleuchtende)Massezugrundelegen,komm tmanauf

0 -Werte

3

Dies kann man verstehen dadurch, da dynamisc heMethodendie Materie nicht

messenkonnen,dieaufSkalengroeralsdietypisc heLangedesbetrac htetenSystems