Croissances comparées, logarithme

Croissances comparées

Samuel Rochetin

Dimanche 13 mai 2018

Exercice. Déterminer, si elle existe, lim

x→+∞

x − 1 x2 ln x

2_{+ 1
.}

Solution. Traitons cette question avec les outils élémentaires de Terminale S. Notons que le changement de variable u := x2_{+ 1 ne permet pas de conclure.}

Utilisons les propriétés du logarithme. ∀x > 0,x − 1 x2 ln x 2_{+ 1
=} x − 1 x2 ln  x2  1 + 1 x2  = x − 1 x2 ln x 2₊x − 1 x2 ln  1 + 1 x2  = x x2ln x 2₋ln x2 x2 + x − 1 x2 ln  1 + 1 x2  = 2ln x x − ln x2 x2 + x − 1 x2 ln  1 + 1 x2 

Par croissances comparées, lim

x→+∞ ln x x = 0. Le changement de variable u := x 2 donne lim x→+∞ ln x2 x2 =_u→+∞lim ln u

u = 0. Nous avons aisémentx→+∞lim

x − 1 x2 = 0 et lim x→+∞ln  1 + 1 x2 

= 0. Par opérations sur les limites (multiplication par un scalaire, somme et produit), il vient lim

x→+∞

x − 1 x2 ln x