Mesure des coefficients de déplacement de fréquence du rubidium 87 plongé dans l'azote moléculaire (N2)

THÈSE PRÉSENTÉE

À L'ÉCOLE DES GRADUES DE L'UNIVERSITÉ LAVAL

POUR L'OBTENTION

DU GRADE DE MAITRE ES SCIENCES (M.Sc.)

PAR

NORMAND CYR

BACHELIER ES SCIENCES APPLIQUÉES DE L'UNIVERSITÉ LAVAL

FACULTE DES SCIENCES ET DE GENIE

MESURE DES COEFFICIENTS DE DEPLACEMENT DE FREQUENCE DU RUBIDIUM 87 PLONGÉ DANS L'AZOTE MOLÉCULAIRE (N,)

RESUME L e b u t p o u r s u i v i d a n s c e t t e t h è s e e s t l a m e s u r e d u d é p l a c e m e n t d e l a f r é q u e n c e h y p e r f i n e d u R u b i d i u m 8 7 p l o n g é d a n s l ' a z o t e m o l é c u l a i r e (N^) à d i f f é r e n t e s d e n s i t é s , a u t o u r d ' u n e t e m p é r a t u r e T ^ d e 6 0 ° C.Les r é s u l t a t s s o n t r e p r é s e n t é s p a r u n d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e , j u s q u ' a u s e ­ c o n d d e g r é e n ( T T ) . N o u s d o n n o n s l a v a l e u r d e s c o e f f i c i e n t s d e d é -o p l a c e m e n t d e f r é q u e n c e , d é f i n i s c o m m e l e s c o e f f i c i e n t s d e c e d é v e l o p p e ­ m e n t n o r m a l i s é s à l a d e n s i t é d e N . 2 N o u s a v o n s o b s e r v é u n e n o n l i n é a r i t é d u d é p l a c e m e n t d e f r é q u e n c e e n f o n c t i o n d e l a d e n s i t é d e N ^ , q u e n o u s i n t e r p r é t o n s c o m m e d é c o u l a n t d ' u n e e r r e u r s y s t é m a t i q u e s u r l a d e n s i t é . C e t t e i n t e r p r é t a t i o n s ' a p p u i e s u r u n e é v a l u a t i o n t h é o r i q u e d e l a n o n l i n é a r i t é , e t n o u s c o n d u i t à d o n n e r a u c o e f f i c i e n t d e p r e s s i o n l a v a l e u r d e l a p e n t e à l ' o r i g i n e d e l a c o u r b e d u d é p l a c e m e n t d e f r é q u e n c e e n f o n c t i o n d e l a d e n s i t é . N o u s a v o n s a u s s i o b s e r v é u n e v a r i a t i o n s y s t é m a t i q u e d e s c o e f f i ­ c i e n t s d e t e m p é r a t u r e d u p r e m i e r e t s e c o n d d e g r é e n f o n c t i o n d e l a d e n s i t é d e N ^ - C e t t e v a r i a t i o n s ' e x p l i q u e p a r l ' e x i s t e n c e d e c o e f f i ­ c i e n t s d e t e m p é r a t u r e r é s i d u e l s q u i d é c o u l e n t d ' u n e d é p e n d a n c e e n t e m ­ p é r a t u r e d e l a c o n t r i b u t i o n d e s c a u s e s s e c o n d a i r e s d e d é p l a c e m e n t d e f r é q u e n c e , c ' e s t - à - d i r e l e s c a u s e s a u t r e s q u e l e s c o l l i s i o n s a v e c l e s m o l é c u l e s d e · L ' i n f l u e n c e d e s c a u s e s s e c o n d a i r e s d e d é p l a c e m e n t d e f r é q u e n c e e s t d i s c u t é e ; n o u s c o n c l u o n s q u e l e c o e f f i c i e n t d e t e m p é r a ­ t u r e m e s u r é d o i t p r é s e n t e r u n e d é p e n d a n c e l i n é a i r e e n ( l / n ) , o ù n e s t l a d e n s i t é d e N · Cette c o n c l u s i o n é t a n t c o n f i r m é e p a r l e s r é s u l t a t s 2 e x p é r i m e n t a u x , n o u s d o n n o n s a u c o e f f i c i e n t d e t e m p é r a t u r e l a v a l e u r e x ­ t r a p o l é e à d e n s i t é i n f i n i e , c ' e s t - à - d i r e l ' o r d o n n é e à l ' o r i g i n e d e la

d r o i t e o b t e n u e e n t r a ç a n t l e c o e f f i c i e n t d e t e m p é r a t u r e m e s u r é e n f o n c t i o n d e ( l / n ) . C e t t e t h è s e c o n t i e n t a u s s i u n e d e s c r i p t i o n d e l ' o r i g i n e d e la s t r u c t u r e h y p e r f i n e d e l ' é t a t f o n d a m e n t a l 5 S ^ d u R u b i d i u m , l e c a l c u l d e s a s t r u c t u r e Z e e m a n , e t l a d e s c r i p t i o n d e s é t a t s e x c i t é s 5 P e t d e s t r a n s i t i o n s e n t r e c e s é t a t s e x c i t é s e t l ' é t a t f o n d a m e n t a l . N o u s d o n n o n s a u s s i l a d e s c r i p t i o n d u s y s t è m e q u i p e r m e t d e m e s u r e r l a f r é q u e n c e h y ­ p e r f i n e , e t l e s p l a n s d é t a i l l é s d u b a n c d ' e s s a i . ii

REMERCIEMENTS J ' a d r e s s e m e s r e m e r c i e m e n t s l e s p l u s s i n c è r e s a u x p r o f e s s e u r s d u L a b o r a t o i r e d e R e c h e r c h e s u r l e s O s c i l l a t e u r s e t S y s t è m e s . J ' a i e u l ' i n d i c i b l e b o n h e u r d e p o u v o i r m ' i n i t i e r à l a M é c a n i q u e Q u a n t i q u e g r â ­ c e à l a c o l l a b o r a t i o n d e m o n d i r e c t e u r d e t h è s e , l e D r . J e a n - Y v e s S a v a r d J e l e r e m e r c i e a u s s i p o u r s a l e c t u r e c r i t i q u e d e m o n m a n u s c r i t . L e D r . J a c q u e s V a n i e r f û t p o u r m o i u n e s o u r c e i n t a r r i s s a b l e d ' i n f o r m a t i o n . J e n e s a u r a i s t r o p l e r e m e r c i e r d e l ' e n c o u r a g e m e n t q u ' i l s a i t t o u j o u r s m e p r o d i g u e r e t d e l a c o n f i a n c e q u ' i l m e t é m o i g n e . J e r e m e r c i e l e D r . M i ­ c h e l T ê t u p o u r l ' i n t é r ê t q u ' i l a p o r t é à m e s t r a v a u x e n m e p o s a n t s o u ­ v e n t l a q u e s t i o n c l é : " Q u ' a s - t u f a i s j u s q u ' à m a i n t e n a n t ? " . M e s r e m e r c i e ­ m e n t s v o n t a u x é t u d i a n t s g r a d u é s d o n t 1 ' a p p o r t , s o u s f o r m e d e c o n v e r s a ­ t i o n s q u o t i d i e n n e s , n e s a u r a i t ê t r e é v a l u é . J e s o u l i g n e e n p a r t i c u l i e r l ' e m p r e s s e m e n t a v e c l e q u e l m o n s i e u r P i e r r e T r e m b l a y m ' a t o u j o u r s a p ­ p o r t é s o n a i d e , e t l ' i m p o r t a n t e c o n t r i b u t i o n d e m o n s i e u r M a r t i a l D u f o u r à l a c o n c e p t i o n d u m u l t i p l i c a t e u r d e f r é q u e n c e p a r 1 2 . L a c o m p é t e n c e e t l ' i n i t i a t i v e d e m e s s i e u r s R o g e r B l i e r e t Y v o n C h a l i f o u r o n t é t é p r é c i ­ e u s e s d a n s l a r é a l i s a t i o n d u b a n c d ' e s s a i ; j e l e s e n r e m e r c i e . F i n a l e ­ m e n t , j e r e m e r c i e c h a l e u r e u s e m e n t m a d e m o i s e l l e S y l v i e C l o u t i e r , q u i a d a c t y l o g r a p h i é c e t t e t h è s e a v e c g r a n d s o i n ,c o m p é t e n c e e t d i l i g e n c e .

TABLE DES MATIERES

Page REMERCIEMENTS ... i i i

LISTE DES FIGURES ... ix

LISTE DES TABLEAUX ... x iii INTRODUCTION ... 1

CHAPITRE I - NIVEAUX D'ÉNERGIE DU RUBIDIUM ... 6

1.1 Sommaire ... 6

1.2 Structure hyperfine de l 'é t a t fondamental ... 6

1.2.1 Expression de l'ham iltonien hyperfin (Whf) dans l 'é t a t fondamental ... 7

1.2.2 Valeurs et vecteurs propres de ... 13

1.2.3 Levée de la dégénérescence par un^champ magnéto- statique. Structure Zeeman de l'é t a t fondamental. 15 1.3 Diagramme des niveaux d'énergie des états 5S!/ , 5P!/ et 5P3/ ... . ? ... . ? . . . 25

2 ׳ CHAPITRE I I - DETECTION DE LA RESONANCE ... 31

2.1 Sommaire ... 31 2.2 Schéma général ... 31 2.3 Bloc optique ... 32 2.3.1 Le pompage optique ... 32 2.3.2 L'interrog ation ... 37 2.3.2.1 La c e llu le de référence ... 37 2.3.2.2 La cavité y-onde ... 38

2.3.2.3 La c e llu le photodétectrice. Mesure de a . 39 2.3.3 [,e b a r ille t de f ilt r e s neutres ... 45

2.3.4 Ecran magnétique et solénoïde ... 45

2.4 Calcul de A (p, <}>, z) en fonction de la fréquence de l'e x c ita tio n ... ... 46

2.4.1 Q éfinition de la matrice densité ... 46

2.4.2 Equations d'évolution de la matrice densité. Solution ... 48

2.4.2.1 Contribution de l'e x c ita tio n y-onde ... 49

2.4.2.2 Contribution du pompage optique ... 53

2.4.2.3 Contribution des mécanismes de relaxation 54 2.4.2.4 Solution ... 55

2.5 Asservissement de la fréquence de l'o s c illa t e u r à la ré­ férence atomique ... 57

2.5.1 Production du champ magnétique o s cilla n t ... 57

2.5.2 Courant fourni par la photodiode ... 60

2.5.3 Détection synchrone et correction de la fréquence de l 'o s c illa te u r ... 62

2.5.4 Courbe de discrim ination. P ro fil observé ... 66

2.5.5 Pente à l'o r ig in e de la courbe de discrimination. Quelques mesures ... 67

CHAPITRE I I I ־ THÉORIE DU DÉPLACEMENT DE LA FRÉQUENCE HYPERFINE EN PRESENCE D'UN GAZ ETRANGER ... 76

3.1 Sommaire ... 76

3.2 Origine du déplacement de fréquence ... 76

3.2.1 Modification de la constante hyperfine (A). Eléments diagonaux ... 77

3.2.2 Interaction spin-orbite. Eléments hors-diagonale. 77 3.3 Déplacement de fréquence en fonction de la densité du gaz étranger ... 78

3.3.1 Approximations u tilis é e s ... 78

3.3.1.1 Approximation adiabatique ... 78

3.3.1.2 Approximation des chocs ... 80

3.3.2 Expression de la raie ... 81

3.3.2.1 Spectre avec N perturbateurs en fonction du spectre avec un seul perturbateur --- 82

3.3.2.2 La fonction g(x) ... 84

3.3.2.3 Calcul de I(w ) ... 87

3.3.2.4 Déplacement de fréquence, largeur de la raie et assymétrie ... 87

3.3.3 E ffe t des c o llisio n s inélastiques ... 89

3.4 Coefficients de déplacement de fréquence au voisinage d'une température TQ ... 90

CHAPITRE IV - LES TECHNIQUES DE MESURE ET LEUR PRECISION ... 92

4.1 Sommaire ... 92

4.2 Mesure de fréquence ... 93

4.2.1 Système de mesure ... 93

4.2.2 Extrapolation à intensité lumineuse nulle (Estimation de T e rre u r fo rtu ite ) ... 94

Page

4.3 Mesure de température ... 100

4.3.1 Système de mesure et résultats ... 100

4.3.2 Estimation de l'e r r e u r systématique ... 102

4.3.2.1 Erreur lié e à l'étalonnage du thermistor de mesure ... 103

4.3.2.2 Erreur due à 1 'échauffement du thermistor par e ffe t Joule ... 105

4.3.2.3 Erreur provenant de la dissipation de chaleur par les f i l s conducteurs du thermistor ... 108

4.3.2.4 Erreur systématique totale ... 110

4.4 Remplissage des c e llu le s , scellement et mesure de pression ... ... 111

4.4.1 Vide primaire et étuvage ... 111

4.4.2 Migration du Rubidium ... 113

4.4.3 Ajout du gaz tampon et mesure de la pression ... 113

4.4.4 Scellement ... 113

4.4.5 Description des cellu les ... 114

Page CHAPITRE V - INFLUENCE DES CAUSES SECONDAIRES DE DÉPLACEMENT DE FREQUENCE SUR LA MESURE DES COEFFICIENTS ... 116

5.1 Sommaire ... 116

5.2 Influence sur la mesure du co e fficie n t de pression ... 116

5.3 Influence sur la mesure des co efficien ts de température . 117 5.4 Lumière de pompage ... 117

5.4.1 Variation du co e fficie n t de "lig h t s h ift" avec la température du f i l t r e isotopique ... 117

5.4.2 Influence sur la mesure des coefficien ts de tem­ pérature 118

5.5 Champ magnétostatique ... 120

5.5.1 Mesure ... 120

5.5.2 Influence sur la mesure des coefficien ts de tem­ pérature 123

5.6 Déplacement de la fréquence asservie par rapport à la fréquence de la raie ... 123

5.6.1 "O ffset" à la so rtie du détecteur synchrone ou dérive de l'in té g ra te u r^ ... 124

5.6.2 Fuite du signal à la fréquence de modulation ... 126

5.6.3 Distorsion de la modulation ... 126

5.6.4 Importance de la phase de détection (<}>q) ... 129

5.6.5 Influence sur la mesure des coefficien ts de tem­ pérature 129

CHAPITRE VI - RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX ... 132

6.1 Sommaire ... 132

Page

6.2 Mesures ... 132

6.3 Interprétation des résultats ... 147

6.3.1 La relatio n Av(T0) vs Pm ... 147

6.3.1.1 Terme quadratique découlant des c o l l i ­ sions Rb-N^ ... 147

6.3.1.2 Déviation de la lo i des gaz parfaits --- 148

6.3.1.3 Interprétation de la non lin é a rité , c a l­ cul du co e fficie n t de pression et correc­ tion de la pression ... 149

6.3.2 Calcul des co efficien ts de température ... 152

6.3.2.1 Coefficients mesurés pour chaque c e llu le . 152 6.3.2.2 Extrapolation des coefficien ts à pression in fin ie ... 153

6.4 Calcul d'erreur ... 157

6.4.1 Erreur sur 5m et ... 157

6.4.2 Erreur sur 6 et y, obtenus par extrapolation à pression in fin ie ... 159

6.4.3 Erreur sur a ,, la pente à l'o r ig in e de la relation Av(T0) vs P ... 161

6.4.4 Erreur sur les coefficien ts découlant d'une erreur systématique sur la température ... 162

6.4.4.1 Expression générale ... 162

6.4.4.2 Correction de l'e rr e u r due à ré c h a u ffe ­ ment du thermistor par e ffe t Joule ... 163

6.4.5 Erreur totale ... 163

6.5 Valeurs proposées pour les coefficien ts et leurs rapports 165 6.5.1 Valeurs dépendantes de l'e rr e u r systématique sur la pression ... 165

6.5.2 Valeurs obtenues en tenant compte d'une mesure du co e fficie n t de pression exécutée sans scellement . 166 6.6 Mesures précédentes ... 167

6.6.1 Mesures de Stern et Novick ... 167

6.6.2 Mesures de Bean et Lambert ... 168

6.6.3 Mesures de Batygin et Zholnerov ... 168

6.6.4 Mesures de Missout ... 170

CHAPITRE V II - DESCRIPTION DU BANC D'ESSAI ... 171

7.1 Bloc optique ... ... 171

7.1.1 Le support mécanique ... : ... 171

7.1.2 C ellule de référence et cavité y-onde ... 172

7.1.3 Bloc de pompage ... 172

7.1.3.1 F ilt r e isotopique ... 172

7.1.3.2 Lampe ... 173

7.1.3.3 B a r ille t de f ilt r e s neutres ... 173

7.1.4 Écran magnétique et solénoTde ... 173

Page

7.2 Electronique de support ... 173

7.2.1 O scillateu r de la lampe ... 174

7.2.2 Commandes de température ... 174

Z.2.3 Commande du champ magnétostatique ... 174

7.3 Electronique d'asservissement ... 175 7.3.1 Générateur à 6.8 GHz et modulateur ... 175 7.3.2 Détecteur de lumière ... 175 7.3.3 Détecteur synchrone ... 176 7.3.4 Boîte de commande ... 176 CONCLUSION ... 212 BIBLIOGRAPHIE ... ... 213

APPENDICE A : QUELQUES PROPRIÉTÉS DES MOMENTS CINÉTIQUES EN MÉCA­ NIQUE QUANTIQUE ... 217

APPENDICE B : EXPRESSIONS' UNE,FONCTION F(X) EN FONCTION DE SES DEUX PREMIERES DERIVEES ... 221

LISTE DES FIGURES

Page

1.1 Domaines d'intégration V et V' ... 11

1.2 Matrice représentant Sz dans la base { |F,mp>} ... 20

1.3 Matrice représentant I z dans la base {|F,mp>} ... 21

1.4 Structure Zeeman de l 'é t a t fondamental 5 S i/ du Rb87 ... 23

2 ׳ 1.5 Diagramme des transitions aF = 1, Amp = 0,±1 du Rb87 dans sont état fondamental 5Si / ... 24

2 ׳ 1.6 Diagramme des transitions aF = 1, Amp = 0,±1 du Rb87 dans sont état fondamental 5 S i/ . Champ fa ib le (x << 1) ... 26

'2 1.7 Diagramme des niveaux d'énergie du Rubidium et transitions a¿ = 1 permises ... 27

1.8 Disposition et intensité re la tiv e théorique des composantes de structure hyperfine des raires D1 et D2 du Rubidium --- 29

2.1 Bloc optique ... 33

2.2 Bloc de pompage ... 34

2.3 Spectre d'émission de la lampe et spectre d'absorption du f i l t r e ... 36

2.4 Lignes de champ magnétique dans un plan «)» = cte . Cavité cylindrique en mode TEi n ... 40

2.5 Mesure de A ... 41

2.6 Système à deux niveaux ... 48

2.7 Raies a et b ... 53

2.8 Différence de population en fonction d e ja fréquence pour d ifférents S. P ro fil de Lorentz inversé ... 58

2.9 Bloc diagramme de la boucle d'asservissement ... 59

2.10 Courant fourni par la photodiode et signal d'erreur en régime quasi statique ... 63

2.11 Schéma fonctionnel du détecteur synchrone ... 64

2.12 Signal d'erreur; p ro fil observé ... 68

2.13 Signal d'erreur; p ro fil observé ... 69

2.14 Modulation sinusoïdale de phase vM = 10.1 Hz, v = 0.11 . . . . 72

2.15 Modulation sinusoïdale de phase vM = 91 Hz, v = 1 ... 73

2.16 Modulation sinusoïdale de phase = 261 Hz, v = 2.9 ... 74

2.17 Modulation sinusoïdale de phase vM = 333 Hz, v = 3.7 ... 75

4.1 Système de mesure de la fréquence ... 93

4.2 Fréquence vs intensité lumineuse. C ellule NC-302. Tc = 58°C ... 95

4.3 Fréquence vs intensité lumineuse. C ellule NC-302. Tc = 60°C ... 96

4.4 Fréquence vs in tensité lumineuse. C ellule NC-302. Tr = 62°C ... 97

V 4.5 Fréquence vs intensité lumineuse. C ellule NC-302. Tc = 64°C ... 98

4.6 Mesure de température ... 101

4.7 Système de remplissage des cellu les ... ... 112

4.8 Pression lue juste après scellement en fonction de la pression mesurée avant scellement ... 115

5.1 Fréquence vs intensité lumineuse pour différentes tempéra­ tures du f i l t r e . F ilt r e Rb85 avec 80 Torr d'Argon (Ar). C ellule NC-302. T = 60°C ... 119

5.2 Fréquence vs température de la c e llu le pour différentes intensités lumineuses. Mélange N2-Ar ... 121

5.3 Fréquence des transitions (1,0), (0 ,0 ), (-1,0) en fonction du courant dans le solénoïde. NC-302, T = 60°C ... 122

5.4a Déplacement de fréquence découlant d'un "o ffset" ... 125

5.4b Compensation de " l'o f f s e t " ... 125 Page

Page 128 130 134 135 136 137 138 139 140 141 143 144 146 150 155 156 Fonction f ( e : ) ...

Fréquence vs phase de détection. NC-303, T = 60°C

Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . NC-300 ... Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . NC-301 ... Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . NC-302 ... ... Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . NC-303 ... Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . Dépendance quadratique. NC-300 ... Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . Dépendance quadratique. NC-301 ... Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . Dépendance quadratique. NC-302 ... Déplacement de fréquence vs température de la c e llu le . Dépendance quadratique. NC-303 ... Déplacement de fréquence à T = T0 en fonction de la

pression mesurée ... Déplacement de fréquence à T = TQ en fonction de la

pression mesurée; dépendance quadratique ... Pleine largeur à mi-hauteur vs pression de N2 à 25°C pour différentes intensités lumineuses. T = 60°C ... Facteur de compressiblité de l'azo te moléculaire en

fonction de la pression, pour différentes températures ---C oefficient de température du premier ordre^mesuré en fonction de l'in v e rs e de la pression corrigée ... C oefficient de température du second ordre mesuré en

fonction de l'in v e rs e de la pression corrigée ...

7.1 Diagramme du banc d'essai ... 178

7.2 O scillateu r de la lampe ... 179

7.3 Commande de température ... 180

7.4 Commande de température du quartz ... 181

7.5 Enceinte métallique du quartz ... 182

7.6 Commande du champ magnétostatique ... 183

7.7 O scillateu r à quartz et am plificateur accordé ... 184

7.8 Modulateur de phase et suiveur am plificateur ... 185

7.9 M ultip licateur de fréquence par 12 ... 186

7.10 Module de détection de la lumière ... 187

7.11 Boîte de commande ... 188

7.12 Bloc optique ... 189

7.13 Dessin d'assemblage du bloc de pompage ... 190 Page

LISTE DES TABLEAUX

Page

1.1 Structure hyperfine de l 'é t a t fondamental 5 S i/ du Rb87 . . . 15

2 ׳ 1.2 Fréquence et in tensité re la tiv e des composantes de structure hyperfine des raies Dj et D2 du Rubidium ... 30

4.1 Température mesurée pour les 11 réglages de la commande de température ... 102

4.2 Pression de scellement des quatre ce llu le s ... 114

6.1 Résultats expérimentaux ... 133

6.2 Marges d'erreur aF ... 142

6.3 Coefficients C_1, CQ et Cj pour différentes intensités lumineuses ... 145

6.4 Pression corrigée ... 152

6.5 Coefficients de température mesurés pour les quatre ce llu le s ... 153

6.6 Coefficients prcédemment mesurés ... 169

7.1 Résistance à 25°C des thermistors de commande ... 174

INTRODUCTION

Les horloges atomiques ont f a it de la fréquence et du temps les quantités physiques que l'o n peut mesurer avec la plus grande préci­ sion. L'horloge à faisceau de Césium est devenue l'é ta lo n primaire de fréquence et de temps lorsqu'en octobre 1968 la seconde fût définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la tran sitio n entre les deux niveaux hyperfins de l'é t a t fondamental de l'atome de Césium 133. Sa fréquence absolue est connue avec une erreur re la tiv e inférieure à 1013־ . Il est possible de transférer cette précision à d'autres quantités physiques; il s u ffit que la fré ­ quence d'un certain d is p o sitif dépende de cette quantité selon une fonction qui ne f a it in tervenir que des constantes universelles. Citons le cas du mètre dont la nouvelle définition devrait entrer en vigueur en cette année 1983; on dispose maintenant de techniques de m ultiplication de fréquence qui permettent de comparer la fréquence du domaine optique d'un laser à la fréquence du domaine micro-onde de l'horloge à Césium. En donnant à la vitesse c de la lumière une valeur fix e , la longueur d'onde x = c/v de la radiation produite par un laser s ta b ilis é sera u tilis é e pour d é fin ir le mètre.

Les étalons secondaires, que l'o n doit comparer à l'é ta lo n p r i­ maire pour obtenir leur fréquence absolue, ont une s ta b ilité qui permet de mesurer avec précision des phénomènes qui autrement seraient inaccessibles. Par exemple le Maser à Hydrogène, le plus stable des étalons de fréquence, a récemment permis de confirmer avec une préci­ sion de 0.007% la valeur du déplacement gravitationnel vers le rouge

* -

prévue par la r e l a t i v i t é générale . Cette s ta b ilité trouve aussi de nombreuses applications sur le plan technique, dans les systèmes de

2

navigation et lo ca lisa tio n ou en télécommunication, dans la transmis­ sion numérique à grand débit ou dans la technique de multiplexage temporel, pour ne c ite r que quelques exemples.

Un des étalons de fréquence fréquemment u t ilis é est l'horloge passive à vapeur de Rubidium, dont les performances sont inférieures à ce lle s du Maser à Hydrogène ou du faisceau de Césium, mais qui devance ses concurrents sur le plan du coût, du poids et de l'encombrement. Cette m iniaturisation repose sur deux techniques: le pompage optique, qui permet de créer une différence de population chez un ensemble d'atomes contenues dans une c e llu le scellée, et l'a d d itio n d'un gaz inerte, le gaz tampon, qui prévient la relaxation des atomes sur la paroi de la c e llu le . La fréquence observée dépend de l'in te n s ité de la lumière de pompage et surtout de la densité et de la température du gaz tampon. L'étude de l'in flu e n c e du gaz tampon sur la fréquence présente un double in té rê t. Sur le plan technique cela permet de fa ire des mélanges de gaz qui minimisent la dépendance en température. Sur le plan fondamental, i l s 'a g it d'une "mesure" des interactions entre les atomes et les molécules de gaz; en e ffe t, le déplacement de fréquence peut s'exprimer en fonction des potentiels interatomiques; la mesure du déplacement de fréquence sur une grande plage de température constitue une méthode très sensible pour juger des potentiels interatomiques obtenus théoriquement.

But et o rig in a lité de notre étude

Nous nous sommes proposé de déterminer la dépendance en tempéra­ ture de la fréquence hyperfine de l'atome de Rubidium 87 plongé dans l'a z o te moléculaire (N2) à différentes densités, sur une plage de quelques dizaines de degrés centigrade autour d'une température T0 = 333°K (60°C ). Cette dépendance peut être représentée par un déve­ loppement lim ité en puissances de (T - T0). On d é fin it les c o e ffi­ cients de pression et de température comme les coefficien ts de ce déve­ loppement normalisés à la densité du gaz étranger. Les mesures

3

précédentes s 'é ta ie n t lim ité au co e fficie n t de température de premier degré; dans cette étude nous donnons la valeur des co efficien ts de température jusqu'au second degré. La connaissance des coefficien ts de second degré permet en p a rtic u lie r de préciser le comportement d'un mélange de gaz dont le co e fficie n t de premier degré est nul.

L 'o r ig in a lité de cette étude réside en second lieu dans une interprétation des résultats expérimentaux qui nous a permis d'élim iner la contribution de certaines causes d'erreur systématique, jusque là négligées, de l'é va lu a tio n fin a le des coefficien ts de température. Ces causes d'erreur se traduisent par une variation des coefficien ts mesu­ rés en fonction de la densité du gaz étranger. Cette affirmation s'ap­ plique aussi aux rapports entre co e fficie n ts, qui ne devraient pas v a rie r avec la densité, même si la mesure de cette densité é ta it enta­ chée d'une grande erreur. On comprendra ainsi pourquoi les écarts qui existent dans les valeurs des rapports entre coefficients mesurés par différentes équipes ne se situent pas à l'in t é r ie u r des marges d'erreur fo rtu ite .

Notons finalement que les résultats exposés ic i seront mis en conjonction avec les résultats d'une mesure sim ilaire des coefficien ts du Méthane (CH^ ) effectuée sur le même montage expérimental; un nouveau Maser à Rubidium 87 construit dans notre laboratoire u tilis e r a un mélange (N2 - CH^) comme gaz tampon.

Plan de la thèse

Notre tra v a il est divisé en sept chapitres dont nous décrivons ci-bas le contenu.

Le premier chapitre est consacré à l'étude du diagramme des niveaux d'énergie du Rubidium. L'o rig in e des niveaux hyperfins de l ' é t a t fondamental 5S! , , sa structure Zeeman et les transitions entre

9 ׳

l ' é t a t fondamental e t le s premiers états excités 5Ply et 5P3/ sont

2 2

l'o b je t d'une description d é ta illé e .

La technique employée pour déterminer la fréquence hyperfine f a i t l'o b je t du deuxième chapitre. Nous y décrivons le pompage optique et donnons la solution des équations d'évolution de la matrice densité u tilis é e pour représenter l'ensemble d'atomes interrogé. Nous décri­ vons finalement la boucle d'asservissement de la fréquence d'un o s c il­ lateur à la référence atomique.

Nous abordons au troisième chapitre la théorie du déplacement de la fréquence hyperfine en présence d'un gaz étranger. Le point de vue adopté nous permettra d'évaluer la non lin é a rité du déplacement de fréquence en fonction de la densité du gaz étranger. Pour terminer nous donnons la d éfinition des coefficien ts de déplacement de fré ­ quence.

La fréquence de l'o s c illa t e u r , la température de la c e llu le de référence et la densité de l'az o te moléculaire sont les quantités qui interviendront dans le calcul des coefficien ts de déplacement de fré ­ quence et de l'e r r e u r sur ces co efficien ts. En plus de la description des techniques de mesure de ces tro is quantités, le quatrième chapitre contient une évaluation de l'e rr e u r fo rtu ite sur la fréquence et une estimation de l'e r r e u r systématique sur la température. Le remplissage des ce llu le s y est aussi d écrit.

Au cinquième chapitre nous étudions les causes secondaires de déplacement de fréquence, c'est-à-dire les causes autres que les c o l l i ­ sions avec le gaz étranger. Nous discutons en p a rtic u lie r de l ' i n ­ fluence de ces causes secondaires sur la mesure des coefficien ts de température; cette discussion aura un écho dans l'in te rp ré ta tio n des résultats fa ite au sixième chapitre.

5

Nous exposons les résultats expérimentaux au sixième chapitre. Avant d'en a rriv e r à l'é va lu a tio n fin a le des coefficien ts nous in te r­ prétons la non lin é a rité observée dans le déplacement de fréquence en fonction de la densité, et la variation d'une c e llu le à l'a u tr e des co efficien ts de température mesurés. Nous donnons finalement le calcul d'erreur.

Le septième et dernier chapitre est une description du banc d'essai.

CHAPITRE I

NIVEAUX D'ÉNERGIE DU RUBIDIUM

1.1 Sommai re

Ce chapitre est consacré à l'étude du diagramme des niveaux d'énergie du Rubidium. Nous décrivons d'abord l'o rig in e des niveaux h yp erfin s de l'é t a t fondamental 5 S!, , puis donnons le calcul d é ta illé

2

׳

de sa structure Zeeman; la fréquence v0 que nous mesurerons est definie par la différence d'énergie aEq = hvQ entre deux niveaux p a rticu lie rs de cette structure. Nous complétons le diagramme avec la description des niveaux e x c ité s 5P:/ et 5P3/ ; les transitions du domaine

infra-2 ׳ 2

׳

rouge entre ces niveaux excités et l'é t a t fondamental sont mises a p ro fit par la technique de pompage optique (c f. Chap. I I ) employée dans la mesure de v Q.

1.2 Structure hyperfine de l 'é t a t fondamental

Le Rubidium est un des éléments de la première colonne du tableau périodique désignés sous le nom de métaux alcalin s (de l'arabe a l- q u ili, ou cendres des plantes, ces cendres étant riches en carbonate de sodium et de potassium). Sa configuration électronique est l s 2, 2s2 , 2p6 , 3s2, 3p6, 3d10, 4s2 et 5s. Le comportement de Tunique élec­ tron de valence de la sous-couche 5s s u ffit à décrire l'in te ra c tio n de l'atome avec le monde extérieur dans les cas que nous rencontrerons dans cette thèse. Cela permet, dans une description quantique de l'atome, de ne considérer de l'ham iltonien total que le terme corres­

7

pondant à cet électron. De cet hamiltonien nous nous intéresserons au terme qui d écrit les interactions de type magnétique entre l'é le c tro n et le noyau, et plus particulièrement à celui qui est li é au spin du

noyau, ! , hamiltonien hyperfin.

1.2.1 E x p re s s io n de ! 1h a m ilto n ie n h y p e r fin ( W ^ ) dans 1 1 é ta t fondamental

L'étude de l'é le c tro n sans spin, plongé dans le potentiel élec­ trostatique central du noyau, mène à un état fondamental qui a les propriétés suivantes: c 'e s t un état de moment cinétique orbital nul

·k

(a = 0, é ta t S) , non dégénéré, dont la fonction d'onde s é c r it en coordonnées sphériques;

\|> (r , e, <j>) = F (r ) Y (0, $) (1.1) 0

où F (r ) est la fonction d'onde radiale

0 ^ jt|

Y (0, <j> ) est l'harmonique spherique Y , avec 1 = m = 0

0 1

Y° (0, 4,) = cte = 1 / Æ (1.2) 0

En tenant compte des spins de l'é le c tro n ( î ) et du noyau ( î ) , caractérisés respectivement par les nombres quantiques S et I , la d i­ mension du sous-espace z = 0 que constitue l'é t a t fondamental passe de 1 à (2S + 1) (21 + 1). Afin de calculer les énergies de ces états, on peut se lim ite r à un traitement de perturbation au premier ordre; on o b tie n t l'expression de dans l'é t a t fondamental en considérant que

*Nous faisons fréquemment appel dans ce chapitre aux propriétés gé­ nérales des moments cinétiques en mécanique quantique. Ces propriétés et les notations u tilis é e s sont brièvement exposées dans l'appen­ dice A.

8

les (2S + 1) (21 + 1) états qui le forment sont tous caractérisés par la fonction d'onde (1 .1 ).

Aux spins $ et t correspondent le s moments dipolaires magné­ tiques et donnés par;

9c Pd , flL 1.3) ־a) b ־h 9t u r , Pir = - - - - t (1.3b) 1 ־h

où uB est le magnéton de Bohr défini p o s itif

g$, gj sont les facteurs g de l'é le c tro n et du noyau

les définitions (1.3a) et (1.3b) sont te lle s que g^ so it p o s itif et que gj so it p o s itif lorsque le noyau est un proton.

Considérons l'é le c tro n plongé dans le champ magnétique créé par le noyau, immobile à l'o r ig in e des coordonnées. Si le moment cinétique orbital de l'é le c tro n est nul, 1'hamiltonien de ce système est:

Whf = 1 ,4 ) ’ % ־)

où È(ft) est l'in d u ctio n magnétique créé par le noyau à la position de 1'électron.

Pour o b te n ir l'e x p re s s io n de dans l 'é t a t fondamental, il s u f f ir a de c a lc u le r la valeur moyenne de È(ft) dans cet état, à l'a id e de la fonction d'onde (1.1).

(1.5) whf = - · <§(&)>

9

Pour ce fa ire , nous devons d ivise r l'espace en deux domaines: l'e x té rie u r du noyau, où Ê(ft) est l'ind u ctio n d'un dipôle si on néglige les moments m ultipolaires nucléaires d'ordre supérieur à 1, et l 'i n t é ­ rie u r du noyau où È(ft) n 'e st pas connu, mais dont nous serons en mesure de préciser la valeur moyenne. Considérant que l'in t é r ie u r du noyau est le domaine lim ité par une sphère de rayon e, on a;

(1.6a) (1.6b) (1.6c) Ô($) = v x t 4tt R3

S' (ft)

Calculons d'abord <^>r>£> la valeur moyenne de S($) à l'e x t é ­ rieur du noyau.

Si l'o n c h o is it dirigé selon l'ax e des z, les composantes de î(f t ) s'é c riv e n t, pour r > e ; (1.7a) (1.7b) (1.7c) m0 Xz 3 — MT — 4tt 1 R5 ״o YZ 3 — MT — 4tt R5 3Z2 - R2 R5 I ״o — M 4tt

La valeur moyenne d'une des composantes dans l'é t a t S, pour r > e est;

10

_ J ° ° I TT J 2 t Ï ^ r 2 S 1 - n g ^ ¿ g d r ( 1 . 8 )

e 0 0 K

r>e

où le s sont le s composantes de t> obtenues en remplaçant dans les équations (1.7) les opérateurs X, Y, Z et R par leurs valeurs propres x, y, z et r. Les bk peuvent s 'é c rir e sous la forme;

(1.9a) ( 1 . 9 b ) (1.9c) 1 _i ! --- (Y - Y ) 15 r 3 2 2 / _1 ! » ( Y + Y ) 15 r3 2 2 4tt 4tt = 3 1 6tt 1 o -- — Y 5 r 3 2 m

où les Y sont les harmoniques sphériques.

a

La partie angulaire de l'in té g ra le (1.8) nous donnera des termes de la forme;

(1. 10)

m

( Y °) 2 /* f 2ïï Y sin e dÿ do o o

Ces termes sont tous nuls, selon les propriétés générales des harmoniques sphériques. Donc, la symétrie sphérique de l'é t a t S entraîne que: (1.11) = 0 r>e C a lc u lo n s m a in te n a n t <S >r<£» la v a le u r moyenne de §($) à l'in t é r ie u r du noyau. On a;

où V' est le volume sphérique de rayon e.

Si V' est suffisamment p e tit pour que les variations de |^|2 dans le domaine 0 < r < e soient négligeables devant sa valeur moyenne, on peut é crire ;

<Bk> ־ |* )0( |2 ///״, b¿ dv' (1.13)

La n u l li t é du flu x de ê à tra ve rs toute surface fermée permet d'exprimer l'in té g r a le sur V' d'une de ses composantes en fonction d'une in té g ra le de la même composante à l'e x té rie u r de V ', là où § (r) est connu. Plus précisément,

J//v.

où V et V' sont les domaines d'intégration représentés sur la figure

( 1 . 1 )

L 'in té g ra le (1.13) aura par conséquent la même valeur que si la forme (1.6) é ta it valable dans tout l'espace. Écrivons,

bk = Ûk · 5 = Ùk · (V x a) (1.15)

12 y 0 x ^ et a = — — (1.16) 4tt r3 (cf éq. (1.6b) ) Nous avons <Bk> = |i|»(0)|2 ///v , \ · (v x a) dv1. 17) ־)

L'integrande présente une singularité en r = 0. Cependant,

t)k · (v x a) = v ״ (a x ti^) (1.18)

Alors,

<Bk> = |^(0)J2 J J / V, v · (a x 0k) dv' (1.19)

Appliquant le théorème de la divergence on obtient;

<Bk> = |^ (0 )|2 //s (a x Ûk) · n ds (1.20)

où S est la surface de la sphère de rayon e n est la normale à cette surface

L'intégrande est exempt de sing ularité. Introduisant dans (1.20) l'expression (1.16) de a, on obtient: u n 8ti <Bk> = — — (M j)k |^ (0 )|2 (1.21) 4tt 3 y 8 ״tt ou encore <È> = — — |<|>(0) |2 (1.22) 4tt 3

Combinant (1 .3 ), (1 .5 ) et (1 .2 2 ), on o b tie n t pour dans 1,état fondamental ; (1.23) |*(0 )| ( î . î ) 9S 9I 8u ׳h2 3 Ho_ 4tt whf ־ ־ ־

Sous forme condensée,

(1.24) (1.25) U ( 0 ) 2Mn gSgI ul3 ׳h2 A = avec hf 1.2.2 Valeurs et vecteurs propres de W

So it t le moment cinétique to ta l. Dans 11 état S,

(1.26) P = î + S On peut écrire (1.27) Ê2 = î 2 + 2 î . $ + $2 (1.28) (A/2) [ f 2 - t 2 - $2] ou

Les vecteurs |F,mp>, vecteurs propres communs à t 2 et F , avec le s va le u rs propres F(F+l)ti2 et nyti, sont aussi vecteurs propres de t 2 e t t 2 avec le s valeu rs propres re sp e ctive s I ( I + l)1 i2 et S (S + l)ti2.

E = (Ati2/2) [F(F+1) - 1(1+1) ־ S(S+1)] (1.29)

Les règles générales de composition de deux moments cinétiques [1] nous indiquent que F peut prendre les valeurs,

F = (I + S ), (I + S - D ... (I - S) (1.30) si I » S avec !!y = F, F - l. .. -F (1.31) Avec S = h, F = F+ ou F_ (1.32) F+ = (I + h) F . = (I ־ h) ou et, (1.33a) E+ = (Ati2/2) I E_ = - (Ati2/2) (I + 1) (1.33b)

La différence d'énergie est,

aE00 = E+ ־ E_ (1.34a)

AE00 = (Ati2/2) (21 + 1) (1.34b)

Pour Rb87, I = 3/2. On forme le tableau suivant pour les valeurs propres de Whf et les vecteurs propres correspondants;

15

Valeurs propres Vecteurs propres

(Energie) |F, ny> F = 2 12,2 > 12,1 > E+ = — âM |2,0 > 4 12,-1> 12,-2> F = 1 5 E_ = — Ati2 |1,0 > 4 11,1 >

Tableau (1.1) Structure hyperfine de l'é t a t fondamental 5S^ du Rb87.

La dégénérescence des niveaux d'énergie E+ et E_ est respective­ ment de degré 5 et 3. La différence d'énergie est;

4E00 2 ־At,2

1.2.3 Levée de la dégénérescence par un champ magnétostatique. Structure Zeeman de l'é t a t fondamental

Si l'atome est plongé dans un champ magnétostatique, l'ham ilto- ni en s 'e n ric h it de termes qui traduisent le couplage entre le champ et les moments magnétiques de l'é le c tro n et du noyau. Dans l'é t a t fonda­ mental, le moment magnétique orbital est nul et le nouvel hamiltonien

16

H = Whf ־ (fts + fij) · § (1.35)

En choisissant l'ax e de quantification p arallèle au champ, H devient;

H = Wh f + (vig/M Bz (g^Sz - g jlz ) (1.36)

où l'o n a u t ilis é les expressions (1.3) de et ftj.

Afin de calcu ler les valeurs propres de H, nous exprimerons ses éléments de m atrice dans la base { |F,ny>}. Rappelons d'abord que les v e c te u r s |F,mp> s 'é c r iv e n t , dans la base { |mj, m^>} des vecteurs propres communs à l 2 , I , t 2 et S ; (1.37) z ■I S F |F,m > l Ç " |m m > nij m<. V^nijm^mp _ y ç p

ou le s ( m ___ _{v^nij m^ny} sont le s c o e f fic ie n t s de Clebsch-Gordan (ou de Wigner)

L 'a c tio n des opérateurs Sz et I est donnée par les équations sui vantes;

Sz | m j., m^> = m^ti !mj, m$> (1.38a)

I |mI ״ m«-> = nij ti |mj, m^> (1.38b)

Introduisant dans (1.37) les expressions des coefficien ts de Clebsch-Gordan pour S = H [1 ], on obtient;

17 (1.39b) (1.40a) (1.40b) (1.41) |F_, ny> = C+l (nip + H), -h> - C_|mp - h ), h> C+ ־ I + "V ­ז­ h \| (21 + ה I ־ mF + J5 \| (21 + 1) ou

Dans le cas du Rb87, pour lequel I = 3/? ,

|2,2> = I3/2 ’ 1 ^2 >

<

1

י

2

|

/3

₂

₁₁

_/

₂

_י

₁

_/׳

₂

_<

₊

_~

₁

₃

_^

₂

_י

~

l

^

2

<

|2,0>

1

71

1

~

1

/

2

י

1/2

<

11

/

2

«

"

1

^

<

1

,־

2

|

1

2

3

/

<

1/2

~

י

2

^

1

”

1

~

+

<

1/2

’

3/2

־

l

|2,-2>

₌

_l

_־

_3/2

_<

_־

_1/2

_<

11 * 1>

/3

₂

_13/2

_«

^

2

<

־

2

11

^

2

’

1/2

<

|1,0>

₇₁

1

_{11 /2 ’}

~ltz>

~

1 ~1 ^2 ’

1¡2>

1

2

/3

|_1/2’ ■l

y

1

/2

׳

2

<

“

1

3

^

2

י

>

18

Les équations (1.38), (1.39) et (1.40) nous permettent de trou­ ver le s éléments de matrice de Sz et I z dans la base { |F ,mF>}, et par conséquent ceux de H. On remarque d'abord que;

<F, mp|Sz |F',mp> = <F, mp| I z |F’,nip> = 0 si ny + m¿

Donc, les différents sous-espaces de dimension 1 ou 2 définis par une va le u r donnée de ny ne sont pas couplés. Ce f a it permet une sim plification considérable du calcul des valeurs propres de H. En e ffe t, il s u ffira de calculer séparément les valeurs propres des d iffé ­ rentes sous-matrices (1 x 1) ou (2 x 2) correspondant à ces sous- espaces. Les résultats s'é c riro n t sous forme analytique.

Les éléments de matrice non-nuls se calculent aisément et sont, avec la notation sim plifiée |F+, mp> - | + >, |F_, mp> - | - >;

(1.42) (1.43) 4mr (21 + 1)2 1 -4mr ( 2 1

+

\

< + |y . > = < - |!z|

19

Les m atrices représentant Sz et I dans la base {|F , mp>} sont données aux figures (1.2) et (1.3) pour le Rb87.

Les so u s - m a trice s d é fin ie s par une va le u r de mp t e l l e que |mp| < F+, de dimension 2, nous donnent les valeurs propres;

A E r + X2 (1.44) (1.45) 4nipX (21 + 1) 1 + 0 0 ־ 00 A E 2(21 + 1) ״ B (9 S + 9 ! ) E = X = ou 00 AE

Les deux s o u s - m a t r ic e s pour le s q u e lle s |mp | = F+, de dimension 1, nous donnent les valeurs propres;

+ (ub/2) (gs - 2Igj) Bz (1.46a) oo IaE (gs - 2 Ig j) (1.46b) (21 + 1) IaE E = 0 0 (21 + 1) E = m p = F + mp = -F+

Les équations (1.44) et (1.46) peuvent être écrites sous la forme générale suivante, connue sous le nom de formule de Breit-Rabi;

+ X2 (1.47) 4mpX (21 + 1) 1 + AEoo _ aEoo 9 ־iV bBz * 2

\|

|2 ,2 > 2 ,1 > < 1 י 1 | |2 ,0 > * |1 ,0 > _{2, ־ 1< |1, ־1<} ז\ו 1 A < 2 , 2 1 0 0 0 0 0 0 0 < 2 , 1 1 0 _1/2 י / *7 2 0 0 0 0 0 < 1 * 1 1 0 ~ ^ / 2 1! 2 0 0 0 0 0 < 2 , 0 1 0 0 0 0 ־1 0 0 0 < 1 , 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 < 2 , - 1 | 0 0 0 0 0 _{־ 1!2 ־ ^ / 2} 0 | 1 י ־ 1 > 0 0 0 0 0 - /5־/2 1!2 0 A 0י1 י· 1 ז\נ 0 0 0 0 0 0 0 ־1 5856 18 5קך

₉₁

₆

2,2> 2,1> I,1> 2,0> 1,0> 2, ־1< 1,-1> 2, ־2< <2,21 3 0 0 0 0 0 0 0 <2,1-1 0 _{3/2 A/2} 0 0 0 0 0 11 ״ 1 > 0 A/2 5/2 0 0 0 0 0 <2,0| 0 0 0 0 1 0 0 0 <1,0 0 0 0 1 0 0 0 0 <2,-l| 0 0 0 0 0 _{- 3/2} A / 2 0 | 1 . ־ 1 > 0 0 0 0 0 A / 2 - 5/2 0 <2,-2 0 0 0 0 0 0 0 -3

22 ( ־ ) s i F = F _ mp I < F + : ( + ) s i F = F + ny = F+ : ( + ) ( ־ ) quand X > 1 -F+ : (+) quand X < 1 nv Pour le Rb87 on a; (1.48) 1 + nipX + X2 _ ־* Eoo aEoo e = _ _ _ _ 9 i V b b z ± _ _ gç = 2.0023 = 9.954 x 101־♦ 9! avec ( ־ ) si F = 1 ( ־ ) si X > 1 (+) si F = 2 (+) (+) si X < 1 M < 2 ny = 2 m p = 2־

La relation (1.48) est tracée à la figure (1.4), pour 0 < B < 1 Tesla. Notons que les différents états continuent d'être notés à l 'a i d e des nombres quantiques F et ny par simple commodité; en e ffe t, le s é ta ts |F, mp> ne sont plus des états propres de H en présence d'un champ magnétostatique.

On s'intéressera tout au long de cette thèse à la fréquence v Q définie par la différence d'énergie aEq = hvQ entre les sous-niveaux (F = 2, ny = 0) et (F = 1, mp = 0). En absence de toute perturbation,

v Q = v 00 = 6 834 682 612.8 ± 0.5 Hz [2]

La fréquence des différentes transitions permises (Any = 0, ± 1) entre les niveaux F = 2 et F = 1 est tracée à la figure (1.5) pour 0 < B < 1 Tesla. Sur cette figure, les transitions (0,1) et (1,0) sont confondues, de même que les transitions (0,-1) et (-1,0). Leurs

fré-AE/AEq 0 3 B(Tesla) —I--- 1 F = 2 0 F - 1 -1 -2 1 . 0 0.5

vo V

--1

-3

-4

Figure (1.5) Diagramme des transitions aF = 1, Amp = 0, ±1 du 87Rb dans son état fondamental 5 S ! / 2 ·

25

quences ne sont cependant pas rigoureusement égales. Les inductions habituellement appliquées sont de l'o rd re de quelques yTesla. La f i ­ gure (1.6) montre la fréquence des transitions pour 0 < B < 100 yTesla. Nous ferons plus loin appel aux relations approximatives suivantes, obtenues en retenant les premiers termes du développement en série de

1.3 Diagramme des niveaux d'énergie des états 5S! , , 5P! , et 5P^, 2 ' 2 ׳ 2 ׳

Le diagramme des niveaux d'énergie est donné à la figure (1.7) pour les deux isotopes du Rubidium naturel, Rb85 et Rb87. Le

para-Lorsque l'o n considère un noyau sans spin et que l'o n se place dans l'approximation non-relativiste, les différents états qui com­ posent l'é t a t P (sous-espace i = 1) ont tous même énergie. Si Ton tie n t compte des effets re la tiv is te s l'é t a t P se scinde en deux niveaux d'énergie qui forme la structure fine. Les états que regroupent ces deux niveaux d iffèren t par la valeur du nombre quanti que j associé au

(־, 1.48 ) (F+, mp) + (F_, mp) Transition (1.49a) v (o 0) ־־ v 00 + 5.7512 x lOio B2 (

0

0

1

0

1

0

6) Diagramme des transitions AF = 1, Amp = 0, ±1 du 87Rb dans son état fondamental 5Sl7 . Champ faib le (X << 1).

/ 2 2 x 104־ 1 x 10_t+ 0 -1 x 10_t+ -2 x ־IO4־ Figure (1.

PO OO -P » F = Rb85 3/; 5P F = 3

--

V:

(tn>־־a

C:>

c

o

V;

Figure (1.7) Diagramme des niveaux d'énergie du Rubidium et transitions A £ = l permises.

28

moment c in é tiq u e to ta l 3 = t + Les valeurs possibles de j sont Ü + s) et [i - s ), so it j = 3/2 ou 1/2. Les états z = 1 de moment c in é tiq u e to ta l j sont notés P. (P3/ ou Pl l ). Si Ton tie n t compte

2 2

du spin du noyau, chacun des états P. présente une structure hyperfine. Les états que regroupent les différents niveaux hyperfins diffèren t par la valeur du nombre quantique F associé au moment cinétique total

t = 3 + 1. D'après la règ le définie par l'équation (1.30), on aura, pour j < I , (I + j ) < F < (I ־ j ) . Les structures hyperfines des deux isotopes d iffèrent parce que leurs spins nucléaires d iffèrent. I = 3/2 pour Rb87 et I = 5/2 pour Rb85. Le nombre de niveaux hyperfins est cependant le même; en e ffe t ic i on a toujours j < I , et la règle énoncé plus haut nous indique qu'un é ta t P. comporte (2j + 1) valeurs

pos-J

sibles de F. Le nombre et la répartition des niveaux hyperfins sont ainsi expliqués.

L 'é c a rt entre les niveaux de structure fine étant beaucoup plus grand que les écarts hyperfins, Taxe des énergies est coupée. Les structures hyperfines sont cependant représentées à l'é c h e lle . Dans l'é t a t 5S^ les fréquences hyperfines sont;

v00(8?) = 6 834 682 612.8 ± 0.5 Hz [2]

v00(85) = 3 035 732 440.9 ± 0.7 Hz [3]

La figure (1.7) montre aussi les différentes transitions per­ mises (aF = 0,±1) entre les états P et l'é t a t fondamental. Ces tra n s i­ tions du domaine infrarouge se regroupent en deux raies; la raie D^ de longueur d'onde X = 7947A, est formée des transitions (P l7 S1; );

2 ׳ 2

׳

la raie D2 , de longueur d'onde x = 7800a, est formee des transitions ( P3 . ->־ S! , ). La figure (1.8) montre la disposition des différentes

/ 2 2 ׳

-composantes de structure hyperfine et leur intensite re la tiv e théo­ rique. Le zéro de Taxe des fréquences correspond à la fréquence des raies Dj ou D2. Les valeurs numériques sont regroupées dans le tableau qui suit (tableau 1.2).

©

©

-©

©

Figure (1.8) Disposition et in ten sité re la tiv e théorique des composantes de structure hyperfine des raies D1 et D2 du Rubidium.

30 ( v ־ V q ) (MHz) 1r

c

Tableau (1.2) Fréquence et intensité re la tiv e des composantes de structure hyperfine des raies Dx et D2 du Rubidium.

Note: vq : fréquence de la raie ou D2 I : intensité re la tiv e théorique

CHAPITRE I I

DÉTECTION DE LA RÉSONANCE

2.1 Sommai re

Dans ce chapitre nous décrivons la technique employée pour dé­ terminer la fréquence v Q (c f. Chap. I ) . Après avoir dégagé le schéma général de cette technique nous nous attachons à la description du pompage optique. Nous démontrons que l'in te n s ité de la lumière trans­ mise à travers la c e llu le de référence est une mesure de la différence de population et donnons l'expression du courant fourni par la photo­ diode en fonction de la différence de population. Nous donnons ensuite la solution des équations d'évolution des éléments de la matrice densi­ té qui est u tilis é e pour décrire l'ensemble d'atomes interrogé. Fina­ lement, nous décrivons comment la modulation de fréquence du signal d1 interrogation et la détection synchrone permettent une mesure précise de v 0 .

2.2 Schéma général

On interroge l'ensemble d'atomes que forme la vapeur saturée de Rb87 contenue dans une c e llu le de verre scellée. L'observable mesurée pour obtenir un pic de résonance à la fréquence v0 est la différence de population (a) entre les états S(F = 2) et S(F = 1), la population d'un état étant le nombre d'atomes se trouvant dans cet état divisé par le nombre total d'atomes de l'ensemble. Nous verrons comment a est mesuré au paragraphe (2 .3 .2 .3 ). L'interrogation consiste à plonger notre

32

ensemble d'atomes dans un champ magnétique o s cilla n t à une fréquence voisine de v0 et d'en observer l 'e f f e t sur a. L'ex citatio n résonante a pour e ffe t de diminuer la différence de population. Si a0 est la d if­ férence de population en absence d'excitatio n, un e ffe t ne peut être observé que si aq est non nul, et cet e ffe t est d'autant plus important que a q est grand. A l'é q u ilib r e thermodynamique, le rapport des popu­ lations est donné par le facteur de Boltzmann exp [ ־AE/kT], où aE est la différence d'énergie entre les niveaux. Pour les deux niveaux hyperfins que nous considérons i c i , ce facteur est voisin de 1 (0.9990 à 333°K). En pratique i l est nécessaire d 'u t ilis e r un autre moyen pour créer une plus grande différence de population. Nous avons employé le pompage optique, d écrit au paragraphe (2.3.1 ). Les variations de A en fonction de la fréquence de l'e x c ita tio n présentent alors un creux centré en v 0. La formulation mathématique des considérations

précédentes sera donnée au paragraphe (2.4).

2.3 Bloc optique

Le bloc optique comprend la lampe à Rb87, un b a r ille t de f ilt r e s neutres, le f i l t r e hyperfin à Rb85, la cavité y-onde contenant la c e llu le de référence, et la ce llu le photodétectrice; le tout repose sur un support mécanique placé au centre d'un solénoïde et d'un écran ma­ gnétique. L'assemblage de ces pièces est illu s t r é à la figure (2.1). Nous décrivons ic i les fonctions remplies par ces composantes du sys­ tème de détection; le plan d é ta illé des pièces et de leur assemblage est donné au chapitre V II. Le dessin de la figure (2.2) permet d 'illu s t r e r les explications qui suivent.

2.3.1 Le pompage optique

La lampe produit une lumière dont le spectre contient en p a rti­ c u lie r les raies D1 et D2 du Rb87 décrites au paragraphe (1.3). Cette lumière passe à travers une c e llu le contenant du Rb85, le f i l t r e hyper- fin . On peut comprendre l'a c tio n du f i l t r e en considérant l'a llu r e du

Lampe

Fi 1 tre à Rb85

Cavi te

35

spectre d'émission de la lampe et du spectre d'absorption du f i l t r e montrés à la figure (2 .3). Ces spectres sont obtenus en additionnant les différentes composantes de structure hyperfine (c f. section 1.3) dont les p ro fils sont élargis et les fréquences déplacées d'une façon qui sera précisée à la fin de ce paragraphe. On vo it que l'a c tio n du f i l t r e est de diminuer l'in t e n s it é des composantes (b, b ') , correspon­ dant aux transitions P - S( F = 2), par rapport aux composantes (a, a ') , correspondant aux transitions P ~ S(F = 1). La lumière ainsi obtenue é cla ire la c e llu le de référence qui contient notre ensemble d'atomes de Rb87 et induit des transitions de l'é t a t S à l'é t a t P. Les atomes excités retournent à l 'é t a t S en se distribuant également entre les huit sous-niveaux; comme l'in t e n s it é de (a, a ') est plus grande que c e lle de (b, b '), l 'é t a t (F = 1) est dépeuplé à un taux plus grand que (F = 2). Une différence de population se crée au p ro fit des états (F = 2) et a tte in t une valeur a q qui traduit l'é q u ilib re entre le pom­

page et les mécanismes de relaxation. Nous verrons au paragraphe (2.3.2.1) comment minimiser le taux de relaxation.

Le f i l t r e hyperfin que nous avons u t ilis é est une c e llu le de verre contenant le Rb85 et 80 Torr d'Argon (A r). Chacune des compo­ santes de structure hyperfine des raies d'absorption D: et D2 du Rb85 sont élargies par deux contributions; l'élargissem ent Doppler et l ' i n ­ teraction avec le gaz tampon. La température du f i l t r e é ta it d'environ 3 4 0°K , l'é la r g is s e m e n t Doppler correspondant est avq « 500 MHz. L'Argon produit un élargissement d'environ 16 MHz/Torr [4 ], de sorte que 1300 ־־ MHz. L'Argon déplace aussi l'ensemble des composantes d 'e n viro n -6 MHz/Torr. On a donc 6\>^r 480- <־ MHz. Notons que ce dé­ placement est la raison pour laquelle on u t ilis e un gaz qui déplace les raies vers le rouge; on améliore ainsi la coïncidence entre les raies d'émission (b, b ') et les raies d'absorption (B, B ') , et par conséquent l'e f f ic a c it é du f i l t r e . Les spectres d'absorption de la figure (2.3) ont été tracés en donnant à chacune des composantes de structure hyper­ fine un p ro fil de Lorentz de largeur Av = Avq + AvAr « 1800 MHz, et une inten sité égale à leur intensité re la tiv e théorique (c f. tableau

a b

D! ( 7947Â)

8 GHz

B'

Figure (2.3) Spectre d'émission de la lampe et spectre d'absorption du f il t r e .

37

La lampe que nous avons u t ilis é est une ampoule de verre conte­ nant le Rb87 et 3 Torr de Krypton (K r); l'ampoule est placée à l 'i n t é ­ rieu r d'un bobinage alimenté par un o s cilla te u r radio-fréquence (~ 100 MHz). Un plasma se forme dans l'ampoule et la lumière est émise lorsqu'un électron et un ion Rb+ se recombinent. Nous pouvons estimer que Av q 1000 ־־־ MHz à p a rtir du spectre d'émission d'une lampe identique obtenu dans notre laboratoire avec un interféromètre de Fabry-Perot. Le Krypton produit un élargissement d'environ 20 MHz/Torr [4 ], de sorte que AvKr 60 ־־ MHz. Le déplacement des raies est d'environ -7 MHz/Torr [4 ]. On a donc ~ -21 MHz. Les spectres d'émission de la figure (2.3) ont été tracés en donnant à chacune des composantes de structure hyp erfin e un p r o f il gaussien de la rg e u r Av ־־ A v Q 1000 ■־ MHz, et une intensité égale à leur intensité re la tive théorique.

2.3.2 L ' interrogation

2.3.2.1 La c e llu le de référence

La ce llu le de référence contient en plus du Rb87 un gaz inerte dont l ' u t i l i t é est double. Il sert d'abord à minimiser le taux de relaxation. Le taux de relaxation sur la paroi de la ce llu le est en e ffe t proportionnel au taux de c o llisio n d'un atome avec cette paroi et le taux de c o llis io n est inversement proportionnel à la densité du gaz. D'autre part, le taux de relaxation par c o llisio n avec les molécules de gaz est proportionnel à la densité. I l existe alors nécessairement une valeur de la densité où l'a d d itio n de ces deux contributions présente un minimum. En e ffe t, on peut é crire;

Y = an-1 + bn (2.1)

où y est le taux de relaxation n est la densité du gaz

De plus, une proportion importante des atomes qui retournent à l ’état S après avoir été excités par la lumière de pompage transfèrent leur énergie au gaz tampon; c 'e s t le phénomène de "quenching". Cette propriété augmente l'e f f ic a c it é du pompage en empêchant le niveau (F = 2) d'être dépeuplé par la lumière de fluorescence. Nous avons u t ilis é l'azo te moléculaire (N2) parce que nous voulons en mesurer l 'e f f e t sur la fréquence vQ, mais en même temps N2 est l'u n des gaz les plus efficaces du point de vue du "quenching" [5].

2.3.2.2 La cavité p-onde

La c e llu le de référence est placée dans le champ stationnaire d'une cavité y-onde cylindrique dont les dimensions sont te lle s que le mode TEm est excité à 6.8 GHz. Le choix de ce mode n'a pour but que d'avo ir la plus petite cavité possible résonant à cette fréquence. La t r a n s it io n (aF = 1, Amp = 0) à laquelle nous nous intéressons est in­ duite par la composante du champ magnétique o s cilla n t qui est p arallèle au champ magnétostatique; c 'e s t la composante Bz> p arallèle à l'ax e de sym étrie commun de la cavité et du solénoïde. Pour le mode TEm , Bz s 'é c r it en coordonnées cylindriques;

Bz = Bo ( 1 *841p/R) sin U z /¿) cos<j> (2.4)

où R est le rayon de la cavité

39

Quelques lig n e s de champ magnétique dans un plan <j> = cte sont tracées à la figure (2.4 ).

La cavité remplit aussi les rôles d'enceinte régularisée en température et de cage de Faraday.

2.3.3.3 La c e llu le photodétectrice Mesure de a

La c e llu le photodétectrice sert à mesurer l'in te n s ité de la lumière transmise à travers la ce llu le de référence. Nous allons mon­ tre r dans ce paragraphe qu'on obtient ainsi une mesure de la différence de population a.

En présence d'un gaz tampon qui re strein t la diffusion des atomes à travers la c e llu le , la différence de population a varie d'un élément de volume à l'a u tr e . Cette inhomogénéité résulte de tro is causes principales; d'abord, la lumière de pompage est graduellement absorbée à mesure q u 'e lle pénètre plus profondément dans la c e llu le . De plus, l'amplitude de l'e x c ita tio n y ־ onde varie selon l ’ équation

(2 .4 ). Finalement, on peut montrer que la contribution de la paroi au taux de relaxation défini pour un certain élément de volume dépend de sa position. La différence de population est donc une fonction A (p , <}>, Z ).

Considérons le système d écrit à la figure (2.5). La lumière incidente en z = 0 est composée des raies (a) et (b) d'in ten sités res­ p e ctive s I et I. (photons ״ sec־1 ־ m2־). En z = a, les intensités

0 0

sont I (p , <j>, l ) e t I. (p , <j>, i ) . La c e llu le photodétectrice, une

a d

photodiode branchée en co u rt-circu it, fournit un courant i donné par;

(2.5) i = k //s I T (p, <|>) ds

/< z

Figure (2.4) Lignes de champ magnétique dans un plan <j) = Cte. Cavité cylindrique en mode TE ! ! !