Les graphes expanseurs.

TER : Les Graphes Expanseurs

Jana Zaherddine, Miora Rajaonarivelo

Dirigé par Matthieu Fradelizi

UPEM - MASTER 1 - Mathématiques et Applications

Année universitaire 2018-2019

Remerciements

Nous tenons à remercier chaleureusement Monsieur Matthieu Fradelizi, pour sa patience, sa disponibilité et surtout ses judicieux conseils, qui ont contribué à alimenter notre réexion.

Table des matières

0.1 Généralités sur les graphes . . . 4

0.2 Un peu d'histoire . . . 4

0.3 Importance des graphes expanseurs . . . 4

1 Graphes expanseurs 6 1.1 Analyse Spectrale et expansion . . . 6

1.1.1 Constante de Cheeger . . . 7

1.1.2 Exemples . . . 7

1.1.3 Première borne supérieure pour l'expansion . . . 8

1.1.4 Première valeur propre et degré maximum . . . 9

1.2 Inégalité de Cheeger . . . 10

1.2.1 Quotient de Rayleigh . . . 10

1.2.2 Inégalité de Cheeger . . . 11

1.3 Les Graphes expanseurs . . . 13

1.3.1 Dénition . . . 13

1.3.2 Exemple de Graphes expanseurs . . . 14

2 Construction des Graphes expanseurs 15 2.1 Construction Algébrique : Les Margulis-Gabber-Galil Expanseurs 15 2.1.1 Etape 1 : Le Graphe continu Rn . . . 16

2.1.2 Etape 2 : Le Graphe dénombrable . . . 18

2.1.3 Etape 3 : Une inégalité de Cheeger pour les graphes dé-nombrables . . . 20

2.1.4 Etape 4 : Expansion de Z . . . 22

2.2.1 Les Graphes aléatoires "Random Graphs" . . . 23

3 Propriétés des graphes expanseurs 27 3.1 Diamètres des Graphes expanseurs . . . 27

3.2 Convergence des marches aléatoires . . . 28

3.2.1 Etude de la Convergence . . . 28

3.2.2 Chaînes de Markov et mesure invariante . . . 29

Introduction

0.1 Généralités sur les graphes

Dénition 1. Un graphe est un ensemble de sommets et des arêtes qui joignent certaines paires de sommets (parfois des arêtes multiples, parfois avec des boucles).Les arêtes peuvent être orientées ou non orientées.

Quelques notions importantes pour la suite

Un chemin est une suite d'arêtes successives, et sa longueur est le nombre d'arêtes parcourues. Si les arêtes sont orientées, il faut en tenir compte.

La distance entre deux sommets est la longueur du plus petit chemin qui les relie, s'il en existe.

Un graphe est connexe s'il existe au moins un chemin entre n'importe quelle paire de sommets.

Le diamètreest alors la plus grande distance entre deux sommets du graphe.

0.2 Un peu d'histoire

La notion de graphe expanseur et de taux d'expansion remonte aux an-nées 1970. La motivation initiale était de construire des réseaux (téléphoniques ou informatiques) robustes. En mathématiques, on retrouve cette notion pour graphes de Cayley de certains groupes de matrices. On la rencontre aussi dans les taux de convergence des chaînes de Markov. Enn, elle joue un rôle dans le problème isopérimétrique.

0.3 Importance des graphes expanseurs

Les expanseurs jouent un rôle important dans de nombreux domaines des mathématiques, de l'informatique ou de la physique. En informatique, il n'est pas surprenant que les expandeurs soient utiles à la conception de réseaux de communication, ils apparaissent aussi dans bien d'autres domaines de manière à priori moins évidente. On les retrouve aussi dans la théorie des codes correcteurs

d'erreurs. L'expansion est également fortement liée à la vitesse de convergence des chaines de Markov. Cette liste d'applications des expanseurs est non ex-haustive et continue à croitre.

Chapitre 1

Graphes expanseurs

1.1 Analyse Spectrale et expansion

Soit G = (V, E) un graphe, avec V l'ensemble des sommets et E l'en-semble des arêtes. Soit S,T ⊂ V . L'enl'en-semble des arêtes internes à S est dénoté E(S) = {uv; u ∈ S, v ∈ S, uv ∈ E}. L'ensemble d'arêtes entre S et T est dénoté E(S, T ) = {uv; u ∈ S, v ∈ T, uv ∈ E}. Le bord d'un ensemble de sommets S est l'ensemble E(S, S) = ∂S d'arêtes ayant exactement une extrémité dans S. Le degré d'un sommet v, noté d(v), est le nombre d'arêtes incidents à v. Ainsi, s'il n'y a pas de boucle en v, d(v) = |E({v} , {v})|. Le degré maximal de G, noté ∆(G), est déni par ∆(G) = maxv∈V d(v).

Dans toute la suite, on ne considèrera que les graphes non orientés. On note Asa matrice d'adjacence telle que Ai,j soit le nombre d'arêtes reliant les

som-mets vi et vj. Remarquons que si le graphe est sans boucle, alors la diagonale

est nulle. Comme la matrice A est réelle et symétrique, elle possède n valeurs propres réelles λ1≤ λ2≤ . . . λn. L'ensemble des valeurs propres de A est appelé

"spectre de G". On dit qu'un graphe est k-régulier si chaque sommet de G est de degré k.

1.1.1 Constante de Cheeger

Parfois, il ne sut pas d'avoir un graphe avec un petit diamètre, s'il sut d'enlever quelques arêtes pour couper le graphe en plusieurs morceaux. On me-sure la "robustesse" d'un graphe non orienté dont l'ensemble de sommets est V 6= ∅par son expansion appelée aussi constante de Cheeger :

h(G) = min_1≤|S|≤|V | 2 S⊂V

|∂S| |S|

Propriété 1. On a posé h = min1≤|S|≤|V |₂

S⊂V

|∂S|

|S| ≥ 0 si |V | ≥ 2.

La constante de Cheeger est strictement positive si et seulement si le graphe est connexe.

Démonstration. Montrons : h > 0 =⇒ G connexe.

Par l'absurde, si G n'est pas connexe alors, il existe S ⊂ V , avec S 6= ∅ et V \S 6= ∅tel qu'il n'existe pas d'arêtes entre S et V \S. Donc, nous avons 0 < |S| < n et ∂S = ∅. Si |S| ≤ n

2, alors on obtient une contradiction parce que

0 < h ≤ |∂S|_|S| = 0. Si |S| ≥ n₂, alors on obtient la même contradiction en considérant V \S au lieu de S.

Montrons : G connexe =⇒ h > 0.

Par contraposée, supposons h = 0, alors il existe S ⊂ V , 1 ≤ |S| ≤ n

2 tel que

|∂S| = 0c.à.d il n'existe aucun arête qui sort de S. S 6= V car |S| ≤ n

2, alors il existe vi ∈ V tel que vi ∈ S/ et comme vi ∈ S/ et

|∂S| = 0, alors, il n'existe pas de vj ∈ S tel que vivj ∈ E. D'où, G n'est pas

connexe.

1.1.2 Exemples

1. Graphes Complets

Dénition 2. Un graphe complet est un graphe dont tous les sommets sont adjacents, c'est-à-dire que tout couple de sommets disjoints est relié par une arête.

L'expansion du graphe complet Kn à n sommets est dn₂e. En eet, pour

tout ensemble S ⊂ V (Kn), on a |∂S| = |S|(n − |S|) car tous les sommets

sont adjacents. Donc |∂S|

|S| = n − k où k = |S|, d'où min|S|≤n2

|∂S| |S| = mink≤n 2(n − k) = n − d n 2e = d n 2e.

2. Graphes Bipartis complets

Dénition 3. Un graphe est dit biparti s'il existe une partition de son ensemble de sommets en deux sous-ensembles U et V telle que chaque arête ait une extrémité dans U et l'autre dans V . Un graphe biparti permet notamment de représenter une relation binaire.

Pour n = 2p, l'expansion d'un graphe biparti Kp,pest p = n₂. En eet, si

S a k sommets dans une partie de la bipartition et l dans l'autre partie, |∂S| = k(p − l) + l(p − k) = p(k + l) − 2kl.

1.1.3 Première borne supérieure pour l'expansion

Pour S ⊂ V , le vecteur caractéristique de S est I = (z1, z2, . . . , zn)T, avec

zi= 1si vi∈ S et zi= 0sinon.

Soit S un ensemble de sommets. Nous pouvons exprimer son expansion en fonc-tion de I. En eet, |S| = Pn

i=1zi et |∂S| = Pvivj∈E,i<j|zi− zj|.

Par dénition, h(G) ≤ h(S) pour tout S tel que |S| ≤ n

2. Ainsi, pour tout

vec-teur z = (z1, z2, . . . , zn)T de {0, 1} dont au moins la moitié de ses coordonnées

sont nulles, nous avons h(G) ≤

P

vivj ∈E,i<j|zi−zj|

Pn

i=1zi . Nous allons maintenant

mon-trer que cette inégalité est également vériée pour les vecteurs à valeurs dans R+ dont au moins la moitié des coordonnées sont nulles.

un vecteur de (R+₎n_.

Si au moins n

2 des zi sont nuls alors :

h(G) ≤

P

vivj ∈E,i<j|zi−zj|

Pn i=1zi

Démonstration. Quitte à réindexer les sommets, on peut supposer z1 ≥ z2 ≥

· · · ≥ zn. Mettons chaque sommet vi sur l'intervalle [0,z1] avec coordonnée zi.

Considérons la fonction f, dénie sur [0,z1], qui associe à chaque réel t ∈[0,z1] le

nombre d'arcs vivj de G tel que vi < t ≤ vj. C'est une fonction constante

par morceaux qui vaut |∂Vi| sur ]zi+1,zi] avec Vi = {v1, v2, . . . , vn}. Ainsi,

Rz1

0 f (t)dt =

Pn−1

i=1(zi− zi+1)|∂Vi|.

Comme zi = 0si i ≥ n₂ et chaque Vi, 1 ≤ i ≤ n₂, est de taille i, |∂Vi| ≥ h(G)i,

on obtient : Rz1

0 f (t)dt ≥ h(G)

Pn−1

i=1 i.(zi − zi+1) = h(G)(P n−1 i=1 i.zi−P n i=2(i − 1)zi) = h(G)Pn i=1zi

D'autre part, une arête vivj, avec i < j compte 1 pour f sur ]zj,zi] et 0 sinon.

Ainsi :

Rz1

0 f (t)dt =

P

vivj∈E,i<j(zi− zj)

1.1.4 Première valeur propre et degré maximum

Théorème 1. Soit A la matrice d'adjacence d'un graphe G. Si λ est une valeur propre de A alors |λ| ≤ ∆(G).

Démonstration. Soit x = (x1, x2, . . . , xn)T un vecteur propre de A associé à la

valeur propre λ. Alors Ax = λx. Soit i tel que |xi| = maxi≤j≤n|xj|.

Alors, |λ||xi| = |(Ax)i| = |P n j=1ai,jxj| ≤ |xi|P n j=1ai,j= |xi|d(vi) ≤ |xi|∆(G) Ainsi, |λ| ≤ ∆(G).

Pour les graphes k-réguliers, ∆(G) = k est trivialement une valeur propre (et donc |λ| ≤ k ∀λ ∈ Sp(G)). En eet, la somme sur chaque ligne vaut k et

Théorème 2. Si G est un graphe k-régulier, alors k est une valeur propre de Aavec multiplicité le nombre de composantes connexes de G.

Démonstration. Soient C1, C2, . . . , Cples composantes connexes de G.

Considé-rons les vecteurs caractéristiques ICl des Cl. Clairement, ces vecteurs sont des

vecteurs propres orthogonaux et associés à k.

Considérons maintenant un vecteur propre x = (x1, x2, . . . , xn)T associé à k.

Soit |xi| = max1≤j≤n|xj|. Sans perte de généralité, on peut suppose xi > 0.

Alors, kxi =P n

j=1ai,jxj ≤P n

j=1ai,jxi = kxi. Ainsi, pour tout j pour lequel

ai,j6= 0, nous avons xi = xj. C'est le cas pour tous les j tels que vivj soit une

arête. Répètant l'argument de proche en proche, pour tous les sommets vj de

la même composante connexe que vi, on a xi= xj.

Appliquant cet argument pour chaque composante connexe, on montre que x est une combinaison linéaire des ICl.

1.2 Inégalité de Cheeger

1.2.1 Quotient de Rayleigh

Proposition 1. On note λ1 ≤ λ2 ≤ . . . λn les valeurs propres de A, et u1,

u2. . . un une base orthonormée de vecteurs propres associés aux valeurs propres

précédentes.

On a : λ1= infx6=0hAx,xi_kxk2 , λ2= inf x6=0

hx,u1i=0 hAx,xi kxk2 et λn= supx6=0 hAx,xi kxk2 Démonstration. ∀x ∈ Rn_{, x = P}n i=1hx, uiiui Ax =Pn i=1hx, uiiλi.ui d'où hAx, xi = Pn

i=1hx, uii2λi ainsi λ1kxk2 ≤ hAx, xi ≤ λnkxk2 et on a

λ1kxk2= hAx, xi si x = u1et λnkxk2= hAx, xisi x = un.

D'où les égalités λ1= infx6=0hAx,xi_kxk2 et λn= supx6=0 hAx,xi

kxk2 .

Si λ1est valeur propre simple, et si hx, u1i = 0, alors < Ax, x >= Pi≥2λihx, uii2≥

λ2Pi≥2hx, uii2 = λ2Pi≥1hx, uii2= λ2kxk2 car hx, u1i = 0. D'où la troisième

égalité λ2= inf x6=0

<x,u1>=0

hAx,xi kxk2 .

1.2.2 Inégalité de Cheeger

Le théorème suivant montre que l'expansion d'un graphe k-régulier est for-tement liée à l'"écart spectral", c'est-à-dire à la diérence λ1− λ2= k − λ2entre

sa première et sa deuxième valeur propre.

Théorème 3. Soit G un graphe k-régulier et k = λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn les

valeurs propres de A. Alors,

k−λ2

2 ≤ h(G) ≤p2k(k − λ2)

Démonstration. Pour prouver ce théorème, nous devons prouver deux inégalités. • k−λ2

2 ≤ h(G): Pour prouver cette inégalité, nous avons besoin du théorème de

Rayleigh-Ritz ou plus précisément d'un de ses corollaires. Ce théorème arme que λ1 = maxx6=0x

T_Ax

kxk2 . Rappelons que kxk

2 _{= x}T_{x. Comme dans un graphe}

k-régulier, I = (1, 1, . . . , 1)T _{est un vecteur propre associé à λ}

1= k, un corollaire

immédiat est λ2 = maxx6=0,xT_I=0x T_Ax

kxk2. Il nous faut donc exhiber un vecteur x

orthogonal à I tel que xTAx

kxk2 ≥ k − 2h(G).

Soit S un ensemble de taille au plus n

2 tel que h(G) = h(S). Considérons le

vecteur x = |S|IS− |S|I_S. On a :

kxk2_{= |S|}2_{|S| + |S|}2_{|S| = |S||S|(|S| + |S|) = n|S||S|,}

xT_{Ax = 2(|S|}2_{|E(S)| + |S|}2_{|E(S)| − |S||S||∂S|)}

Comme G est k-régulier, nous avons : 2|E(S)| = k|S| − |∂S|,

2|E(S)| = k|S| − |∂S|

Introduisant ces égalités dans les équations précédentes, il vient :

xTAx kxk2 = nk|S||S|−n2_|∂S| n|S||S| = k − n|∂S| |S||S|. Comme |S| ≥n 2, il vient xTAx

kxk2 ≥ k − 2h(G). De plus, il est facile de vérier que

xTI = 0. On a donc bien λ2≥ k − 2h(G).

•h(G) ≤p2k(k − λ2): D'après le lemme 1, pour tout vecteur z = (z1, z2, . . . , zn)

tel que au moins la moitié de ses coordonnées sont nulles, α(z) =

P

vivj ∈E,i<j|zi−zj|

Pn i=1zi

est une borne supérieure de l'expansion de G. Nous allons donc trouver un vec-teur z tel que α(z) ≤ p2k(k − λ2).

Pour cela, considérons un vecteur propre x associé à λ2. Notons que x est

or-thogonal à I donc il a des coordonnées à la fois positives et négatives. Soit I+ = {i|xi> 0} et y le vecteur déni par yi = max(xi, 0). Quitte à considérer

−x (qui est également vecteur propre associé à λ2) à la place de x, on peut

supposer que |I+_{| ≤} n

2. Soit z le vecteur déni par zi= yi2.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons : X vivj∈E,i<j |y2 i − y 2 j| = X vivj∈E,i<j |yi+ yj||yi− yj| ≤ s X vivj∈E,i<j (yi+ yj)2. s X vivj∈E,i<j (yi− yj)2

Evaluons maintenant les deux facteurs du membre droit de cette inégalité. s X vivj∈E,i<j (yi+ yj)2≤ s 2 X vivj∈E,i<j (y2 i + yj2) = v u u t2 n X i=1 y2 i = √ 2kkyk

Nous avons Puiuj∈E,i<j(yi− yj)

2 _{= y}T_{Ly où L = kI − A (appelée Laplacien}

de G) avec I la matrice identité. Or pour tout i ∈ I+_,

(Ly)i= kyi− n X j=1 ai,jyj = kxi− X j∈I+ ai,jxj ≤ kxi− n X j=1 ai,jxj= (Lx)i= (k − λ2)xi

Comme yi= 0pour i /∈ I+, on obtient : yTLy = n X i=1 yi(Ly)i ≤ (k − λ2) X i∈I+ x2_i = (k − λ2) X i∈I+ y_i2 = (k − λ2)kyk2 Donc : s X uiuj∈E,i<j (yi− yj)2≤ p k − λ2kyk

En reportant, les deux dernières inégalités dans la première , on obtient α(z) ≤ p2k(k − λ2).

1.3 Les Graphes expanseurs

1.3.1 Dénition

Dénition 4. une suite de graphes (non orientés, sans boucle, nis) (Gn)n≥1

est une famille de graphes expanseurs si :

1. Le nombre de sommets de Gn tend vers +∞ quand n tend vers +∞.

2. ∃k ≥ 1 tel que le degré de chaque sommet de chaque graphe est au plus k.

3. ∃β > 0 tel que h(Gn) ≥ β ∀n c'est-à-dire la constante de Cheeger est

minorée uniformément.

Dénition 5. On dit qu'un graphe k-régulier est ε-expanseur d'un côté (one-sided ε-expander) si λ2 ≤ (1 − ε)k, et ε-expanseur de deux côtés (two-sided

1.3.2 Exemple de Graphes expanseurs

Graphe de Ramanujan

Un graphe de Ramanujan, nommé d'après Srinivasa Ramanujan, est un graphe régulier dont le trou spectral (spectral gap) est presque aussi grand que possible. De tels graphes sont d'excellents graphes expanseurs. Autrement dit, il s'agit d'une famille de graphes où chaque sommet a un même degré (régulier) et où les deux valeurs propres les plus élevées ont une diérence presque aussi grande que possible. Parmi les graphes de Ramanujan, on compte :

1. les cliques

Dénition 6. Une clique d'un graphe non orienté est, en théorie des graphes, un sous-ensemble des sommets de ce graphe dont le sous-graphe induit est complet, c'est-à-dire que deux sommets quelconques de la clique sont toujours adjacents.

2. les bipartis complets Kn,n

3. le graphe de Petersen qui est un graphe particulier possédant 10 sommets et 15 arêtes.

Chapitre 2

Construction des Graphes

expanseurs

2.1 Construction Algébrique : Les

Margulis-Gabber-Galil Expanseurs

Nous présentons une construction de graphes expanseurs due à Margulis, qui fut la première construction d'expanseurs, et son analyse due à Gabber et Galil. Pour chaque n, nous construisons des graphes avec n2 _{sommets, et nous}

pre-nons Zn× Zn l'ensemble des sommets (le groupe de paires de {0, ..., n − 1} ×

{0, ..., n − 1}.

On dénit les fonctions S(a, b) := (a, a + b) et T (a, b) := (a + b, b), où toutes les opérations sont modulo n. Alors l'ensemble des sommets du graphe Gn(Vn, En)

est Vn:= (Z/nZ × Z/nZ), et le sommet (a, b) est connecté aux sommets :

(a + 1, b), (a − 1, b), (a, b + 1), (a, b − 1), S(a, b), S−1(a, b) = (a, b − a), T (a, b), T−1(a, b) = (a − b, b)

de sorte que Gn est un graphe 8-régulier.

Nous allons prouver qu'il existe une constante c > 0 telle que λ2(Gn) ≥ c ∀n.

L'analyse se fera en quatre étapes et fera référence à certains "graphes" innis. Nous dénissons une famille innie de graphes Rn, de sorte que son ensemble de

sommets est (R/nZ × R/nZ), c'est-à-dire chaque sommet de Rn est un couple

(x, y), avec x et y des éléments du groupe R/nZ muni de l'addition modulo n vériant 0 ≤ x < n et 0 ≤ y < n. Tout sommet de Rn est relié aux sommets :

S(x, y), S−1(x, y), T (x, y), T−1(x, y) d'où Rn est 4-régulier.

Nous dénirons également le graphe Z, dont l'ensemble de sommets est Z × Z\ {0} et tel que le sommet (a, b) est relié à :

S(a, b), S−1(a, b), T (a, b), T−1(a, b)

de sorte que Z est aussi 4-régulier. Notons Φ(Z) la constante d'expansion de Z. La preuve de l'expansion de Gn procédera en établissant les quatre inégalités

suivantes : 1. λ2(Gn) ≥1₃λ2(Rn) 2. λ2(Rn) ≥ λ1(Z) 3. Φ(Z) ≤ p2λ1(Z) 4. Φ(Z) ≥ 1 7

2.1.1 Etape 1 : Le Graphe continu R

La première étape consistera en un argument de discrétisation, montrant qu'un vecteur test de petit quotient de Rayleigh pour Gn peut être transformé

en une fonction de test du petit quotient de Rayleigh pour Rn.

Soit l2([0, n]2)l'ensemble des fonctions f : [0, n]2→ R tel queR_[0,n]2(f (x, y))

2_dxdy

est bien déni et ni. Ensuite, nous dénissons la quantité suivante : λ2(Rn) := inf f ∈l2([0,n]2);R[0,n]2f =0 R [0,n]2|f (x, y) − f (S(x, y))| 2_{+ |f (x, y) − f (T (x, y))|}2_dxdy 4R [0,n]2(f (x, y))2dxdy Théorème 4. λ2(Gn) ≥ 1₃λ2(Rn)

Démonstration. Soit f une fonction telle que λ2(G) = P c∈Z2 n|f (c) − f (S(c))| 2_{+ |f (c) − f (T (c))|}2_{+ |f (c) − f (c + (0, 1))|}2_{+ |f (c) − f (c + (1, 0))|}2 8P c∈Z2 nf 2_(c)

Pour un point (x, y) ∈ [0, n]2_{, on pose bx, yc := (bxc, byc). On prolonge f en}

une fonction g : [0, n]2_{→ R en dénissant g(z) := f(bzc). Cela signie que nous}

divisons le carré [0, n]2 _{en plusieurs carrés dont les coins sont des coordonnées}

entières, et que g est constante sur chaque carré, et elle est égale à la valeur de f au point situé en bas du carré à gauche.

Il est immédiat de voir que R_[0,n]2g

2_{(z)dz =} P

c∈Z2 nf

2_{(c). D'où l'égalité}

sui-vante : dénominateur(QRRn(g)) =

1

2dénominateur(QRG(f )), où QR :=

Quo-tient de Rayleigh.

Il reste à lier les numérateurs.

Notons que pour tout z ∈ [0, 1]2_{, nous avons bS(z)c est égale à S(bzc) ou à}

S(bzc) + (0, 1), et bT (z)c est égale à T (bzc) ou à T (bzc) + (1, 0). Le numérateur du quotient de Rayleigh de g est :

X c=(a,b)∈Z2 n Z [a,a+1).[b,b+1) |g(z) − g(S(z))|2_{+ |g(z) − g(T (z))|}2_dz = 1 2 X c∈Z2 n |f (c) − f (S(c))|2_{+ |f (c) − f (S(c) + (0, 1))|}2_{+ |f (c) − f (T (c))|}2 + |f (c) − f (T (c) + (1, 0))|2

car pour (x, y) choisi aléatoirement dans le carré [a, a + 1] × [b, b + 1], nous avons bx + yc = bxc + byc avec une probabilité 1

2 (et de même pour bx + yc =

bxc + byc + 1).

Maintenant, nous pouvons utiliser "l'inégalité triangulaire" : |α − β|2_{≤ 2|α − γ|}2_{+ 2|γ − β|}2

pour majorer la quantité mentionnée ci-dessus ≤ 1 2 X c∈Z2 n |f (c) − f (S(c))|2₊ 2|f (c) − f (c + (0, 1))|2+ 2|f (c + (0, 1)) − f (S(c) + (0, 1))|2+ |f (c) − f (T (c))|2₊ 2|f (c) − f (c + (1, 0))|2+ 2|f (c + (1, 0)) − f (T (c) + (1, 0))|2

qui est égale à : 1 2 X c∈Z2 n 3|f (c) − f (S(c))|2+ 3|f (c) − f (T (c))|2+ 2|f (c) − f (c + (0, 1))|2+ 2|f (c) − f (c + (1, 0))|2 ≤ 3 2num(QRG(f )) D'où λ2(G) = inf N um(QRG(f )) Denom(QRG(f )) ≥ inf 2 3N um(QRRn(g)) 2Denom(QRRn(g)) = 1 3inf(QRRn(g)) = 1 3λ2(Rn)

2.1.2 Etape 2 : Le Graphe dénombrable

Dénissons maintenant le graphe Z dont l'ensemble de sommets est Z × Z\ {(0, 0)}, où chaque sommet (a, b) est relié à :

(a, a + b), (a, a − b), (a + b, a), (a − b, a)

Pour un graphe d-régulier G = (V, E), avec un ensemble inni de vecteurs, nous dénissons l2(V ) comme étant l'ensemble des fonctions f : V → R telles

que Pv∈V f

2_{(v) est nie, et nous dénissons la plus petite valeur propre de G}

comme : λ1(G) := inf f ∈l2(V ) P (u,v)∈V |f (u) − f (v)| 2 dP vf2(v) d'où : λ1(Z) := inf f ∈l2(Z2\{(0,0)}) P

a,b|f (a, b) − f (a, a + b)|

2_{+ |f (a, b) − f (a + b, a)|}2

4P

a,bf2(a, b)

Nous allons prouver le résultat suivant. Théorème 5. ∀n, λ2(Rn) ≥ λ1(Z)

Démonstration. Ce sera la partie la plus intéressante de l'argument. Soit f ∈ l2([0, n)2)une fonction telle que R (f) = 0, nous allons montrer que la

transfor-mée de Fourier ˆfde f a un quotient de Rayleigh pour Z qui est égal au quotient de Rayleigh de f pour Rn(c'est-à-dire QRZ( ˆf ) = QRRn(f )).

Premièrement, rappelons la dénition des transformées de Fourier. Si f : [0, n)2_→

R est telle que :

R

z∈[0,n)2f2(z)dz < ∞

alors, nous pouvons écrire la combinaison linéaire : f (z) =P c∈Z2f (c).χˆ c(z) avec : χa,b(x, y) = n1e 2πi.(ax+by) _{et : ˆf (c) = hf, χ} a,bi := R [0,n)2f (z)χc(z)dz

La condition R (f) = 0 nous donne : ˆf (0, 0) = 0. Et l'identité de Parseval donne :

X c6=(0,0) ˆ f2(c) =X c ˆ f2(c) = Z f2(z)dz

Ainsi, nous avons denom(QRRn(f ))=4 R f

2_{(z)dz = 4}P _ˆ

f2(c) =denom(QRZ( ˆf )).

L'étude des numérateurs est plus compliqué, nous allons écrire le numérateur du quotient de Rayleigh de f comme :

R s2_{(z)dz +R t}2_(z)dz

où s(z) := f(z) − f(S(z)) et t(z) := f(z) − f(T (z)), et nous pouvons utiliser l'identité de Parseval pour l'écrire comme :

X c ˆ s2(c) + ˆt2(c) =X c | ˆf (c) − \(f ◦ S)(c)|2+ | ˆf (c) − \(f ◦ T )(c)|2

Les coecients de Fourier de la fonction (f ◦ S)(z) = f(S(z)) peuvent être calculés de la manière suivante :

\ (f ◦ S)(a, b) = 1 n Z f (S(x, y))e2πi(ax+by) = 1 n Z f (x, x + y)e2πi(ax+by) = 1 n Z f (x, y0)e2πi(ax+by0−bx) = ˆf (a − b, b)

où on a utilisé le changement de variable y0 _{← x + y.}

De même, on a \(f ◦ T )(a, b) = ˆf (a, b − a). Cela signie que le numérateur du quotient de Rayleigh de f pour Rn est égal au numérateur du quotient de

Rayleigh de ˆf pour Z.

2.1.3 Etape 3 : Une inégalité de Cheeger pour les graphes

dénombrables

Dénissons l'expansion de bord d'un graphe d-régulier G = (V, E) avec un ensemble inni de sommets comme :

Φ(G) = inf

A⊂V,Af ini

|∂A| d|A|

Théorème 6. Inégalité de Cheeger pour les graphes dénombrables Pour tout graphe G = (V, E) avec un ensemble dénombrable de sommets, nous avons :

Φ(G) ≤p2λ1(G)

Démonstration. Cette preuve est similaire à la preuve pour les graphes nis, avec la simplication que nous n'avons pas besoin de prendre un ensemble contenant au plus la moitié des sommets.

Soit f ∈ l2(Z2). Nous montrerons que Φ est inférieure à

√ 2r, où : r := P (u,v)∈E|f (u) − f (v)| 2 dP v∈V f2(v)

est le quotient de Rayleigh de f.

Pour tout t ≥ tmin:= infv∈V f2(v), dénissons l'ensemble St⊂ V comme :

St:=v; f2(v) > t

et notons que chaque ensemble est ni car Pvf

2_{(v) est ni. Nous avons, pour}

tout t > tmin, Φ(G) ≥ |∂S_d|St|

t| et pour tout t ≥ 0, |St|.Φ(G) ≤

|∂St|

d

l'ex-pression ci-dessus, et nous allons trouver le numérateur et le dénominateur du quotient de Rayleigh r. Z ∞ 0 |St|dt = X v∈V Z ∞ 0 If2_(v)>tdt =X v∈V f2(v) et : Z ∞ 0 |∂St|dt = X (u,v)∈E Z ∞ 0 If2_(u)<t<f2_(v)dt = X (u,v) |f2_{(u) − f}2_(v)| ce qui signie : Φ ≤ P u,v|f 2_{(u) − f}2_(v)| dP vf2(v)

Maintenant, on applique Cauchy-Schwarz : X

(u,v)∈E

|f2_{(u) − f}2_{(v)| =} X

(u,v)∈E

|f (u) − f (u)||f (u) + f (v)|

≤ s X (u,v)∈E |f (u) − f (v)|2 s X (u,v)∈E |f (u) + f (v)|2 ≤ s X (u,v)∈E |f (u) − f (v)|2 s X (u,v)∈E 2f2_{(u) + 2f}2_(v) = s X (u,v)∈E |f (u) − f (v)|2_. s X v∈V 2df2_(v)

et nous avons ainsi : Φ ≤ q_P (u,v)∈E|f (u) − f (v)|2. √ 2d dpP_v∈V f2_(v) = √ 2r

2.1.4 Etape 4 : Expansion de Z

Théorème 7. Φ(Z) ≥ 1 7

Démonstration. Soit A un sous ensemble ni de Z2_{\ {(0, 0)}.}

Soit A0 l'ensemble des éléments de A qui ont un zéro en coordonnée. Soit

A1,A2,A3,A4 l'ensemble des éléments de A de coordonées non nulles

appar-tenant aux 1er, 2ème, 3ème et 4ème quadrant.(Le premier étant l'ensemble des points dont deux coordonnées sont positives et en numérotant les quadrants restants dans le sens des aiguilles d'une montre.)

Lemme 2. |E(A\A0, A)| ≥ |A\A0| = |A|\|A0|.

Démonstration. Considérons les ensembles S(A1)et T (A1), où S et T sont des

permutations et donc |S(A1)| = |T (A1)| = |A1|. De plus, S(A1) et T (A1)sont

disjoints, car si nous avons (a, a + b) = (a0_{+ b}0_{, b}0_{), alors nous aurions b = −a}0

alors que toutes les coordonnées sont strictement positives. Finalement, S(A1)

et T (A1)sont contenus dans le 1er quadrant et donc au moins |A1| des arêtes

sortantes de A1 arrivent en dehors de A. Nous pouvons raisonner de la même

manière pour les autres quadrants, en considérant les ensembles S−1_(A 2) et

T−1(A2)dans le second quadrant, les ensembles S(A3)et T (A3)dans le 3ème,

et S−1_(A

4)dans le 4ème.

Lemme 3. |E(A0, A)| ≥ 4|A0| − 3|A\A0| = 7|A0| − 3|A|

Démonstration. Toutes les arêtes qui ont une extrémité dans A0 ont l'autre

en dehors de A0. Certaines de ces arêtes peuvent toutefois arriver dans A\A0.

Globalement, A\A0 peut représenter au plus 4|A\A0arêtes, et nous avons déjà

calculé que au moins |A\A0| d'eux arrivent dans A, donc A\A0 peut absorber

au plus 3|A\A0|des arêtes sortantes de A0.

D'où, d'après ces deux lemmes, nous avons : λ2(Gn) ≥ 1 3λ2(Rn) ≥ 1 3λ1(Z) ≥ 1 3 1 2Φ(Z) 2_≥ 1 3 1 2 1 72∀n

or par l'inégalité de Cheeger, on a : λ2 2 ≤ Φ(G) ≤ p 2λ2 d'où : Φ(Gn) ≥c₂ où c = 1₃1₂(1₇)2 donc : h(Gn) d ≥ c 2 d'où : h(Gn) ≥ cd2 ∀n

d'où la 3ème condition des graphes expanseurs est vériée. Ainsi, (Gn)est bien une famille de graphes expanseurs.

2.2 Construction Probabiliste

2.2.1 Les Graphes aléatoires "Random Graphs"

Nous passons maintenant à la construction probabiliste des familles de graphes expanseurs.

Nous allons voir comment utiliser la construction probabiliste pour montrer que des graphes aléatoires choisis parmi une distribution de probabilité appropriée, sont des expanseurs avec haute probabilité. Le choix de la distribution est très important. En eet, si on choisit aléatoirement un graphe selon la distribution Erdos-Renyi, qui consiste à sélectionner indépendemment chaque couple (u, v) comme un arête avec probabilité p, on n'obtient pas un graphe régulier, même pas un graphe de degré borné. Cela signie que nous devons étudier les distri-butions des graphes dans lesquels il existe des corrélations (liaisons contredisant leur indépendance) entre les arêtes.

Nous pourrions étudier l'expansion des graphes aléatoires d-réguliers. Les dis-tributions sur des graphes d-réguliers sont généralement considérées sur un

en-semble de sommet V . Deux méthodes de construction probabiliste sont pos-sibles :

1. Choisir au hasard d correspondances parfaites sur V et prendre E leur réunion.

2. Choisir au hasardd

2 permutations f1,. . . ,fd₂, et relier chaque paire v,fi(v),

pour i = 1,. . . ,d 2

La première méthode est applicable lorsque n est pair et la seconde méthode est applicable lorsque d est pair.(Lorsque n et d sont tous les deux impairs, il n'est pas possible d'avoir un graphe d-régulier à n sommet, car le nombre d'arêtes dans un tel graphe est dn

2.)

Nous étudierons l'expansion des graphes générés selon la première distribution, et montrer qu'il existe un entier d et c > 0, tel qu'un graphe aléatoir d-régulier à n sommets ait une probabilité au moins 1 − O(1

n2)d'avoir une expansion d'au

moins c.( c'est-à-dire P[h(G) ≥ c] ≥ 1 − O(1 n2))

En particulier, nous montrerons que pour d = 18, la probabilité qu'un graphe aléatoire 18-régulier ait une expansion ≥ 1

108 est supérieure à 1 − O( 1

n2). Nous

devons montrer que, avec une grande probabilité, chaque ensemble de sommets S ⊂ V avec |S| ≤|V |₂ a au moins c.d.|S| arêtes sortant.

L'approche courante pour prouver qu'un objet aléatoire satisfait une certaine collection de propriétés est de prouver que chaque propriété est valable avec une probabilité élevée, puis d'utiliser une union montrant que toutes les pro-priétés sont simultanément vraies avec une probabilité élevée. Dans un graphe d-régulier,pour avoir une expansion c, nous voulons que chaque ensemble S de taille ≤n

2 ait au moins c.d.|S| bords sortants ;une approche naïve consisterait à

montrer qu'une telle propriété est valable pour chaque ensemble xe sauf avec probabilité au plus 1

2n, puis prendre une union liée sur les 2n−1 ensembles de

taille ≤ n 2.

Malheureusement,l'approche naïve ne fonctionne pas, car la probabilité que de petits ensembles ne soient pas des expanseurs est beaucoup plus élevée que 2n−1_.

Par exemple, la probabilité qu'un ensemble xe de d+1 noeuds forme une clique est au moins de l'ordre de 1

nd. Heureusement, le nombre des ensembles de

pas expanseur est au plus 1 n k

2, donc, en prenant une union liée sur tous les ensembles de taille k, la probabilité qu'il y ait un ensemble non expanseur de taille k est au plus 1

k n

, et donc en prenant une union liée sur les tailles k, on obtient que la probabilité qu'il y ait un ensemble non expanseur est au plus l'inverse d'un polynôme en n.

Soit Γ(S) l'ensemble des noeuds ayant au moins un voisin dans S. Si |Γ(S)−S| ≤ t, alors il y a au plus t arêtes sortantes de S. An de majorer la probabilité qu'il y ait au plus 1

2|S|arêtes sortantes de S, nous allons majorer la probabilité que

|Γ(S) − S| ≤ 1 2|S|.

Il sera utile d'avoir à l'esprit le modèle suivant pour déterminer comment un couplage parfait aléatoire est choisi.Soit v1,v2,. . . ,vn un ordre aléatoire de

som-mets tels que S = {v1, . . . , vn}, alors l'algorithme suivant échantillonne une

correspondance parfaite aléatoire sur V : • M := ∅, C := ∅

•Tant que C 6= V :

-prendre v le plus petit indice n'ayant pas de voisin dans V \C.

-sélectionner w aléatoirement parmis les sommets n'ayant pas de voisin dans V \(C ∪ {v}).

-M := M ∪ {v, w} ; C := C ∪ {v, w}. •Renvoyer M.

L'algorithme ci-dessus a (n − 1).(n − 3) . . . 3.1 sorties possibles, et ce nombre est aussi le nombre de correspondances parfaites sur l'ensemble de n sommets, de sorte que l'algorithme échantillonne une correspondance parfaite uniforme. Maintenant, xons un ensemble S de taille k ≤ n

2 et un ensemble T ∈ V \S de

taille k

6. La probabilité que, dans une correspondance aléatoire, les sommets de

S soient tous liés aux sommets de S ∪ T est au plus la probabilité que, durant les premières k

2 exécutions de la boucle, le sommet aléatoirement sélectionné vj

soit dans S ∪ T . Pour i = 1,. . . ,k

2, conditionné par les premières itérations i − 1 prenant un

sommet w ∈ S ∪ T , la probabilité que cela se produise à la i-ème itérations est le nombre de sommets non appariés dans (S ∪ T )\(C ∪ {v}) qui est 7k

divisé par le nombre total de sommets non appariés dans V \(C ∪ {v}), qui est n − 2i + 1.

Ainsi, la probabilité que, dans une correspondance aléatoire, tous les sommets de S soient appariés à des sommets dans S ∪ T est au plus :

k 2 Y i=1 7k 6 − 2i + 1 n − 2i + 1 < k 2 Y i=k 3+1 5k 5n = ( k n) k 6

Lorsque nous choisissons G comme l'union de d appariements aléatoires, la pro-babilité que tous les voisins de S soient dans S∪T est au plus (k

n) dk 6, c'est-à-dire : P[Γ(S) ⊂ S ∪ T ] ≤ (k n) dk 6

et en prenant une union liée à tous les choix de S de taille k et tous les choix de T de taille k 6, nous avons : P[∃S; |S| = k, h(S) ≤ 1 6d] ≤ P[∃S; |S| = k, |Γ(S) − S| ≤ k 6] ≤ (k n) dk 6 _.n k 6  .n k  ≤ (k n) dk 6 .n k 2 ≤n k −d6 .n k 2

Maintenant, pour d = 18, en prenant une union liée sur tout les k ≥ 2, nous obtenons, P[h(G) ≤ 1 18.6] ≤ n 2 X k=2 1 n k  ≤ O( 1 n2)

Chapitre 3

Propriétés des graphes

expanseurs

3.1 Diamètres des Graphes expanseurs

Soit G = (V, E) un graphe avec |V | = n, d ≥ 2 et hV > 0où

hV = min S⊂V ;0<|S|≤n

2

|∂VS|

|S|

avec, ∂VS est l'ensemble des sommets vi∈ S tels que ∃vj∈ S/ ; vivj∈ E. Donc

hV ≤ h, et d'après la propriété 1, comme hV > 0, G est connexe.

Proposition 2. Soit a ∈ V et r ≥ 0. Soit B(a, r) = {x ∈ V ; d(x, a) ≤ r}. Si |B(a, r − 1)| ≤n

2, alors, |B(a, r)| ≥ (1 + hV)

r _{et diam(G) ≤} 2 log(n) log(1+hV).

Démonstration. Notons que ∂VB(a, r − 1) = {x; d(x, a) = r}, donc en

appli-quant la dénition de hV à S = B(a, r − 1), on obtient | {x; d(x, a) = r} | =

|∂VB(a, r−1)| ≥ h|B(a, r−1)|. Donc, |B(a, r)| = |B(a, r−1)|+|∂VB(a, r−1)| ≥

(1 + hV)|B(a, r − 1)|.

Comme |B(a, 0)| = 1, on obtient |B(a, r)| ≥ (1 + hV)r, pour tout r tel que

|B(a, r − 1)| ≤ n 2.

Prouvons maintenant que diam(G) ≤ 2 log(n)

log(1+hV). Soit a,b ∈ V , tels que diam(V ) =

|B(a, r)| > n

2 et n ≥ |B(a, r)| ≥ (1 + hV)

r_{. D'où, r ≤} log(n)

log(1+hV). De la

même manière, soit s le rayon maximal vériant |B(b, s − 1)| ≤ n

2. Donc, on

a |B(b, s)| > n

2 et s ≤

log(n)

log(1+hV). Comme |B(a, r)| >

n

2 et |B(b, s)| > n 2, on a

B(a, r) ∩ B(b, s) 6= ∅. D'où : diam(G) = d(a, b) ≤ s + t ≤_log(1+h2 log(n)

V).

Proposition 3. Soit h = minS⊂V ;0<|S|<n 2

|∂S|

|S| l'expansion de G.

Alors : diam(G) ≤ 2 log(n) log(1+h d.

Démonstration. Pour tout S ⊂ V on a |∂VS| ≤ |∂S| ≤ d|∂VS|, donc hV ≤ h ≤

dhV. On obtient

diam(G) ≤ 2 log(n) log(1 + hV)

≤ 2 log(n) log(1 +h_d)

Proposition 4. Pour tout r ≥ 1 nous avons |B(a, r + 1)| ≤ d|B(a, r)|. D'où, diam(G) ≥ 2 log(2n3

log(d)

Démonstration. Comme G est connexe, on déduit que B(a, r) est connexe pour tout r. Donc, tout sommet x ∈ B(a, r) est relié à au moins un sommet dans B(a, r). Donc, il a au plus d − 1 voisins en dehors de B(a, r). Cela signie que |∂VB(a, r)| ≤ (d−1)|B(a, r)|. Donc, |B(a, r+1)| ≤ dr−1(d+1) = dr(1+1_d) ≤3₂dr

car d ≥ 2. D'où, r ≥ log( 2|B(a,r)| 3 ) log(d) En prenant, r = ddiam(G)

2 eet a bien choisi, on obtient que |B(a, r)| = n. D'où :

diam(G) ≥ 2ddiam(G)₂ e = 2r ≥ 2 log(2n3)

log(d)

3.2 Convergence des marches aléatoires

3.2.1 Etude de la Convergence

Soit G un graphe sur les sommets v1, v2, . . . , vn. Une marche aléatoire sur G

consiste à se balader sur les sommets de G en suivant ses arcs selon une proba-bilité de transition. Plus précisemment pour chaque sommet vi de G, une fois

qu'on est sur vi, on suppose qu'avec une probabilité pi,jstrictement positive, on

se déplace vers le sommet vj. Ainsi, si vivj ∈ E(G)/ , la probabilité de transition

pi,j est nulle.

Soit P la matrice de la marche aléatoire, dont les coordonnées sont pi,j. Pour

tout i, le vecteur (pi,1, . . . , pi,n)est une loi de probabilité, i.e. P n

j=1pi,j = 1.

On a donc : P 1=1. Ceci prouve que 1 est une valeur propre de P. Le sommet de départ de la marche peut être xé mais peut aussi être donné selon une loi de probabilité initiale. Dans tous les cas, on suppose que le vecteur π0 _désigne

la loi de départ. Par πk_{, on désigne la distribution des probabilités de présence}

sur les sommets de G à l'instant k, i.e. πk

i = P[après k étapes, on est en vi].

πk _{peut se calculer facilement à partir de π}k−1_{. En eet, la probabilité de}

pré-sence sur vi à l'instant k est la somme sur j de la probabilité de présence sur vj

à l'instant k − 1 multiplié par la probabilité de transition de vj vers vi.

Formel-lement, πk i = Pn j=1π k−1 j pj,i. Donc, πk = πk−1P.

On s'intéresse aux distributions stationnaires de notre marche aléatoire, i.e. les distributions qui restent inchangées d'une étape à l'autre. Ce sont les distribu-tions π telles que π = πP . De telles distribudistribu-tions existent. En eet, nous avons vu que 1 est valeur propre de P et donc également de PT_{. Ainsi, un vecteur}

propre π associé à 1 et de norme 1 est une distribution stationnaire.

Nous allons montrer que pour un graphe G connexe, la distribution stationnaire est unique (qui est évident dans le cas où G est ni car c'est une chaine irréduc-tible ni donc irréducirréduc-tible récurrente positive). De plus, nous verrons que sous certaines conditions d'apériodicité, toutes les marches aléatoires convergent vers cette distribution stationnaire à l'inni. De plus, nous bornerons la vitesse de convergence en fonction de la seconde valeur propre de G en valeur absolue. Cette estimation montre que les expanseurs sont des graphes dont la vitesse de convergence est la plus grande.

3.2.2 Chaînes de Markov et mesure invariante

Théorème 8. Soit (Xn) une chaîne de Markov de fonction de transition

ré-currente et irréductible.

Démonstration. Montrons d'abord l'invariance. Soit x ∈ E et γx _=(γx

y,y ∈ E) où ∀y ∈ E, γyx = Ex(P Tx

k=11Xk=y) où Tx =

inf {n ∈ N∗; Xn= x}. Donc, γyx est le nombre moyen de visites à l'état y entre

2 passages à l'état x. On va montrer que γx_{= γ}x_{P, c.à.d γ}x_{est invariante pour}

P, (∀y ∈ E γx y = P z∈Eγ x zPzy). On a : γx_{y = E}x( ∞ X k=1 1Xk=y1k≤Tx) =X k≥1 Px(Xk = y, k ≤ T x) =X k≥1 X z∈E Px(Xk = y, Xk−1= z, k − 1 < Tx) =X z∈E X k≥1 Px(X16= x, . . . , Xk−16= x, Xk−1= z, Xk = y) =X z∈E X k≥1 P(Xk= y|Xk−1= z)Px(Tx> k − 1, Xk−1= z) =X z∈E PzyEx( X k≥0 1Tx>k1Xk=z) =X z∈E PzyEx( Tx−1 X k=0 1Xk=z)

Or la chaîne de Markov est récurrente donc Tx < ∞ Px p.s, donc : sous Px,

1X0=z= 1x=z= 1XTx=zp.s, d'où, Ex( PTx−1 k=0 1Xk=z) = Ex( PTx k=11Xk=z) = γ x z, et donc ∀y ∈ E, γx y = P

z∈EPzyγzx. D'où l'invariance de γxpar P .

Montrons maintenant l'unicité. Nous avons le lemme suivant.

Lemme 4. Soit (Xn) une chaîne de Markov homogène (P(Xk+1 = y|Xk =

x) = P(X1 = y|X0 = x)) et irréductible de fonction de transition P . Soit λ

une mesure invariante par P telle que λx= 1. Alors λ ≥ γx et si la chaîne est

Démonstration. On a λ = λP . Donc, ∀y ∈ E, λy= X z∈E λzPzy = Pxy+ X z1∈E;z16=x λz1Pz1y = Pxy+ X z16=x Pxz1Pz1y+ X z1,z26=x λz2Pz2z1Pz1y En itérant : λy= Pxy+ X n≥1 X z1,...,zn6=x PxznPznzn−1. . . Pz1y+ X z1,...,zn6=x . . . Donc : λy≥ Pxy+ X n≥1 X z1,...,zn6=x PxznPznzn−1. . . Pz1y = Px(X1= y) + X n≥1 X z1,...,zn6=x Px(X1= z1, . . . , Xn= zn, Xn+1= y) = Px(X1= y) + X n≥1 Px(Tx> n, Xn+1= y) =X n≥0 Px(Tx≥ n + 1, Xn+1= y) =X n≥1 Ex(1Tx≥n1Xn=y) = Ex( Tx X n=1 1Xn=y)

Donc, λy ≥ γyx. Soit α = λ − γx. Si la chaîne est récurrente irréductible, γx est

une mesure invariante par P donc α est une mesure invariante par P (comme diérence de 2 mesures invariantes). De plus, αx= λx− γxx= 1 − 1 = 0.

Montrons que ∀y ∈ E, αy= 0.

Soit y ∈ E, comme la chaîne est irréductible, donc y conduit à x c.à.d ∃n ∈ N tel que (Pn₎

yx > 0. On a : 0 = αx = (αPn)x=Pz∈Eαx(Pn)zx ≥ αy(Pn)yx,

donc, 0 ≥ αy(Pn)yx, donc αy = 0.

les trois assertions suivantes sont équivalentes :

1. tous les états sont récurrents positifs (Ex(Tx) < ∞).

2. il existe au moins un état récurrent positif. 3. (Xn) admet une probabilité invariante π.

Si une de ces assertions est réalisée, π est unique. Démonstration. Montrons 2 =⇒ 3.

Soit x un état récurrent positif, alors, si on pose ∀y ∈ E, πy = γx

y

γx_(E) est une

probabilité invariante.

3 =⇒ 1c.à.d ∀x ∈ E, Ex(Tx) < ∞.

Soit π la probabilité invariante et x ∈ E. ∃y ∈ E, tel que πy > 0. Comme π est

invariante par P , elle est invariante par toute puissance de P et en particulier par Pn _{où n est tel que (P}n₎

yx> 0(un tel existe car la chaîne est irréductible).

D'où πx= (πPn)x =Pz∈Eπz(Pn)zx≥ πy(Pn)yx> 0. Soit λ = _ππ_x donc λ est

une mesure invariante par P telle que λx= 1.

Remarque. Un graphe connexe est une chaîne de Markov irréductible. Si ce graphe est ni alors il existe une unique probabilité invariante car une chaîne irréductible nie est récurrente positive.

Théorème 10. Théorème ergodique

Supposons la chaîne irréductible récurrente, positive et notons π son unique probabilité invariante. Si f : E → R est mesurable positive ou π intégrable (c.à.d π(|f|) = Px∈E|f (x)|πx< ∞). Alors : 1 n n X k=1 f (Xk) −→ n→+∞π(f ) = X x∈E f (x)πx p.s, ∀ loi initiale. Démonstration. ∀x ∈ E P1_Xk=x n = Nx(n) n → 1_Sx<∞ Ex(Tx)p.s où Sx= inf {n ≥ 0; Xn = x}.

Comme la chaîne est récurrente irréductible, 1Sx<∞ = 1p.s. Ainsi, comme la

chaîne est irréductible récurrente positive, (∗)Nx(n)

n →

1

1Ex(Tx) = πx> 0p.s

Notons que (∗) entraine en particulier Nx(n) → ∞p.s.

Soit f mesurable positive, posons : Y1 =PT_k=1x f (Xk), Yl =P T(l)

x

k=Tx(l−1)

k ≥ 2où Tx(1)= Txet ∀l ≥ 2, T (l) x = inf

n

n > Tx(l−1); Xn = xo.

(Yl)l≥1sont des variables aléatoires indépendantes et telles que ∀l ≥ 2, Yla pour

loi la loi de Y1sous Px. Par ailleurs, on a T (Nx(n))

x ≤ n < Tx(Nx(n)+1). Comme f

est supposée positive, 1 n Tx(Nx(n)) X k=1 f (Xk) ≤ 1 n n X k=1 f (Xk) ≤ 1 n Tx(Nx(n)+1) X k=1 f (Xk) i.e 1 n Nx(n) X l=1 Yl≤ 1 n n X k=1 f (Xk) ≤ 1 n Nx(n)+1 X l=1 Yl

D'après la loi forte des grands nombres on obtient, 1 n n X l=2 Yl→ E(Y2) p.s. Or : E(Y2) = Ex(Y1) = Ex( Tx X k=1 f (Xk)) = Ex( Tx X k=1 X y∈E 1Xk=yf (y)) =X_{f (y)E}x( Tx X k=1 1Xk=y) = 1 πx X y∈E f (y)πy= π(f ) πx Ainsi, 1 n PNx(n) l=1 Yl_n→+∞−→ π(f )p.s. De même, 1 n Pn

k=1f (Xk) → π(f )p.s. Dans le cas où f est π intégrable, on écrit

On a alors, 1 n Pn k=1f +−_(X k) → π(f+−)p.s donc, 1 n n X k=1 f (Xk) → π(f+) − π(f−) = π(f ) p.s.

Théorème 11. Supposons P irréductible, récurrente, positive et apériodique. Soit π l'unique probabilité invariante. Alors : si (Xn)est une chaîne de Markov

(µ,P ), alors :

P(Xn= x) −→

n→+∞πx∀x ∈ E

Remarque. Une chaîne est dite apériodique si ∀x, dx= 1avec dx= pgcd {n ≥ 1; (Pn)xx> 0}.

Tous les états d'une chaîne irréductible ont la même période d.

Finalement, un graphe expanseur G est connexe donc peut être représenté comme une chaîne irréductible.

1. Si G est ni, alors il existe une unique probabilité stationnaire.

2. Si G possède au moins une boucle, alors la chaîne est apériodique, d'où la convergence vers la distribution stationnaire.

Remarque. L'existence et l'unicité de la probabilité stationnaire se démontre-ront dans le cas inni à l'aide des théorèmes de Perron-Frobenius.

3.3 Marches aléatoires sur les graphes expanseurs

Une propriété clé de la marche aléatoire sur un graphe expanseur est qu'elle converge rapidement à sa distribution limite.

Une marche sur un graphe G = (V, E) est une suite de sommets v1,v2,· · · ∈

V telle que vi+1 est un voisin de vi pour tout i. Quand vi+1 est sélectionné

aléatoirement parmis les voisins de vi, indépendemment pour tout i, on appelle

cela marche aléatoire sur G.

Nous initialisons ce processus aléatoire en sélectionnant le premier sommet v1

probabilité de distribution πi sur V de sorte que la probabilité que vi = x ∈

V = πi(x)∀ i, x.

Proposition 5. Ker(A + dI) 6= {0} si et seulement si G est un graphe biparti. Démonstration. ⇐ Si G = (V, E) est biparti, alors V = V1∪ V2avec E(V1) = ∅

et E(V2) = ∅.

On pose x = 1V1− 1V2 alors xi= xj ∀(i, j) ∈ E donc x ∈ ker(A + dI) et x 6= 0.

⇒Si ker(A + dI) 6= {0} alors ∃x 6= 0 tel que, xi = xj ∀(i, j) ∈ E.

On prend V1= {i ∈ V ; xi > 0}et V2= {i ∈ V ; xi< 0}.

Donc, si G est non biparti, alors −d n'est pas une valeur propre de G, or h(dI + A)x, xi ≥ 0, donc Sp(dI + A) ⊂ R+_{. Par suite, ∀ λ ∈ Sp(A), λ ≥ −d or}

−d /∈ Sp(A) donc λ > −d.

Théorème 12. Pour tout graphe ni connexe non biparti G, la loi converge vers la mesure invariante.

De plus, si G est régulier, elle converge vers la mesure uniforme.

Démonstration. Soit A une matrice symétrique, soit u1,u2,. . . ,un une base

or-thonormée de vecteurs propres et λ1≥,. . . ,≥ λn valeurs propres associées.

∀ x ∈ Rn_{, x = P}n i=1hx, uiiui donc Ax = P n i=1λihx, uiiui ainsi, λnkxk2 ≤ hAx, xi =Pn i=1λihx, uii2≤ λ1P n i=1hx, uii2= λ1kxk2.

Si hx, u1i = 0, alors λnkxk2≤ hAx, xi ≤ λ2kxk2d'où kAxk2=P n i=2λ

2

ihx, uii2≤

max(λ22, lambda21)kxk2 (car si λ2≥ 0alors λ21≥ λ22).

Donc, kAxk ≤ max(|λ2|, |λ1|)kxk. Or, d'après la proposition précédente, si G

est non biparti alors λn > −d. De plus, si G est connexe, λ2 < dcar si G est

connexe alors d est de multiplicité 1 (Théorème 2).

Donc max(|λ2|, |λn|) < d. Or, pn+1= pnA_d avec A la matrice d'adjacence de G.

Donc, soit I = (1, . . . , 1) on a : kpm−n1Ik2= kpm−1Ad − t I n A dk2 (car t I n A d = t I n car A d nI = nI)

d'où : kpm− 1 nIk2= k(pm−1− t I n) A dk2 = 1 dkA( t_p m−1− I n)k2 = 1 dkAxk2 ≤ max(λ2, −λn) d k t_p m−1− I nk2 ≤ (max(λ2, −λn) d ) m kp0− I nk2 or (max(λ2, −λn) d ) m < 1 donc (max(λ2, −λn) d ) m_kp 0− I nk2m→+∞−→ 0 Par conséquent : kpm−1_nIk2 −→ m→+∞0.

Conclusion

Ce projet nous montre ainsi l'importance des graphes expanseurs. De plus, nous avons vu comment créer une famille de graphes expanseurs par deux mé-thodes diérentes (algébrique et probabiliste). Ce type de graphes a beaucoup de propriétés très utiles. La motivation initiale de la construction de tels graphes fut de construire des réseaux robustes. Ils ont cependant pleins d'autres utilités. Nous les retrouvons par exemple dans la convergence des chaînes de Markov. On les utilise également en informatique pour construire les familles de codes correcteurs d'erreur.

Bibliographie

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[4] Laurent Demonet et Camille Wormser, Graphes expanseurs, sujet proposé par Yves Benoist 1er juillet 2002.

[5] Omid Amini, Frederic Havet, Introduction aux expandeurs, Octobre 2006. [6] Yves COLIN de VERDIERE, Spectre de Graphes.

[7] Luca Trevisan, University of Clifornia, Berkeley, Lecture Notes on Graph Partitioning, Expanders and Spectral Methods.