Etude expérimentale et modélisation des écoulements liquide-liquide en conduite horizontale

N° d’ordre : 2463

THÈSE

présentée au

LABORATOIRE DE GÉNIE CHIMIQUE DE TOULOUSE en vue de l’obtention du titre de

DOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE

École doctorale : Transfert, Dynamique des fluides, Énergétique et Procédés Spécialité : Génie des Procédés et de l’Environnement

par

Christophe

C

ONAN Ingénieur ENSICA

Sujet de la thèse :

É

TUDE EXP

É

RIMENTALE ET MOD

É

LISATION

DES

É

COULEMENTS LIQUIDE

-

LIQUIDE

EN CONDUITE HORIZONTALE

Soutenue le 23 mars 2007 devant le jury composé de :

MM. René V.A. OLIEMANS Rapporteur

Jean Pierre HULIN Rapporteur

Mmes Elisabeth GUAZZELLI Examinateur

Catherine COLIN Président

Sandrine DECARRE Examinateur

MM. Olivier MASBERNAT Directeur de thèse

Je vais tenter, comme le veut la tradition, de satisfaire au difficile exercice des remerciements, peut-être la tâche la plus ardue de ces années de thèse. Non pas qu’exprimer ma gratitude soit contre ma nature, la difficulté tient plutôt dans le fait de n’oublier personne. C’est pourquoi je remercie par avance ceux dont le nom n’apparaît pas dans cette page et qui m’ont aidé d’une manière ou d’une autre. Ils se reconnaitront.

Mon travail de thèse s’est déroulé dans le cadre de l’Ecole doctorale TYFEP, au sein du Laboratoire de Génie Chimique de Toulouse. Je remercie son directeur, Monsieur Joël Bertrand, de m’y avoir accueilli.

Mes remerciements vont aussi à Sandrine Decarre, ma responsable IFP, pour la confiance qu’elle m’a accordé.

Je tiens à remercier très chaleureusement mon directeur de thèse Olivier Masbernat qui m’a fait partager son expérience et qui a su me laisser la liberté nécessaire à l'accomplissement de mes travaux, tout en y gardant un œil critique et avisé. Nos interminables discussions parfois contradictions ou confrontations ont sûrement été la clé de la réussite de cette thèse. Les Barbecues et les bières ingurgitées après de longues journées de manips ont fait, qu’au-delà d’un directeur de thèse, il est devenu un ami.

Je remercie également Alain Liné qui a co-encadré ce travail. S’il est beaucoup de personnes que l'on qualifie à tort de sage ou de savant, ce n'est pas le cas d’Alain. Il sait, invente, transmet; il écoute, comprend, tempère. Il a toujours montré de l'intérêt pour mes travaux et répondu à mes sollicitations lorsque le besoin s'en faisait sentir.

J'espère que cette thèse sera un remerciement suffisant au soutien et à la confiance sans cesse renouvelée dont ils ont tous les deux fait preuve à mon égard. Je les remercie particulièrement tous les deux d'avoir fait de moi leur Padawan et leur souhaite une bonne continuation ainsi qu’à leur famille respective.

Merci à tous les membres du jury pour leur collaboration durant l’examen de ce travail et pour leur participation à ma soutenance. Je remercie particulièrement Messieurs René Oliemans et Jean Pierre Hulin, d’avoir accepté de rapporter ce travail de thèse et de leur lecture attentive. J’éprouve un profond respect pour leurs travaux et leur parcours et suis fier d’avoir pu partager avec eux mon travail.

Merci à Madame Elisabeth Guazzelli pour l’intérêt qu’elle à bien voulu porter à ce travail et bien sûr à Madame Catherine Colin pour m’avoir fait l’honneur de présider ce jury.

Cette thèse expérimentale n’aurait pas eu lieu sans la participation active de l’équipe technique du laboratoire. Je tiens donc à remercier Lachen Farhi, Jacques Labadie et Alain Muller pour leur disponibilité et leur aide précieuse.

Merci à Emmanuel Cid et à Sébastien Cazin pour leurs conseils et leur aide dans la prise en main de la chaine PIV.

Je remercie les membres (passés et présents) du laboratoire et particulièrement les locataires du bureau dans lequel j’ai passé trois de mes meilleures années : Sébastien, Shila, Sophie, Mallorie, Nelson, Romain, Flavie, Ricardo, Amélie, Nicolas, Soualo, Alicia, Micheline, Alice et tous les autres. Merci à tous de votre sympathie.

Merci aussi à Eric Climent, Pascal Guiraud ainsi qu’Olivier Simonin pour les discussions que l’on a pu avoir ensemble et à Dany et Claudine pour leur gentillesse et leur disponibilité.

Je désire aussi passer une dédicace spéciale à mes amis toulousains que je quitte avec regret. Je reviendrai vous plumer au poker aussi souvent que possible !!

Finalement j’adresse un grand merci à mes parents qui ont toujours été présents lorsque j’en ai eu besoin et à Luli, la princesse que j’ai eu le bonheur de rencontrer au cours de cette thèse. Luli je te remercie pour ton aide, ta patience et ton amour.

Lettres latines

A section débitante totale m2

Ak section débitante de la phase k m2

Acap Section d’un tube capillaire m2

CD coefficient de traînée -

D diamètre de la conduite =2R m

d diamètre moyen des gouttes m

dinj diamètre interne des tubes capillaires m

Dhk diamètre hydraulique de la phase k m

dmax diamètre maximum stable des gouttes m

f facteur de friction -

g accélération de la pesanteur m2/s2

It intensité turbulente -

k énergie cinétique turbulente m2/s2

lk échelle de Kolmogorov m

P pression statique Pa

PI périmètre interfacial m

Pk périmètre mouillé par la phase k m

Pr production turbulente m2/s3

Qk débit de la phase k m3/s

Qt débit total m3/s

Rf fonction d’autocorrélations de la fonction f -

St nombre de Stokes -

td temps de relaxation d’une goutte S

tt temps caractéristique de la turbulence s

Uk vitesse débitante de la phase k m/s

Um vitesse de mélange m/s

Usk vitesse superficielle de la phase k m/s

v vitesse fluctuante m/s

V vitesse locale moyenne m/s

v* vitesse de frottement pariétale m/s

vcap vitesse dans un tube capillaire m/s

Lettres grecques

Λ macro échelle de Taylor m

Ω angle au centre rad

αk taux de présence de la phase k -

δ distance à la paroi m

ε dissipation turbulente m2/s3

εk rapport des surfaces mouillées =Ak/A -

γ_& taux de cisaillement s-1

κ rapport des viscosités (Chap. I) constante de Kolmogorov

=μd/μc

=0.41 -

λ micro échelle de Taylor m

μk viscosité dynamique de la phase k kg/m/s

ρk masse volumique de la phase k kg/m

3

σ tension interfaciale Pa.m

τ contrainte de cisaillement Pa

τ0 contrainte seuil Pa

τI contrainte de cisaillement interfaciale -

τp contrainte pariétale Pa

τk contrainte pariétale de la phase k Pa

δ épaisseur de lubrification

distance à la paroi (chap.II) m

Nombres adimensionnels Ca nombre capillaire = σ γ μ 2 d c& -

gD ρ Δ Re nombre de Reynolds μ ρUD = - Wec nombre de Weber σ ρ 2 m cU D = -

φk rapport des débits relatif à la phase k =Qk/Qt -

St nombre de Stokes =td/tt -

EöD nombre d’Eötvös basé sur le diamètre de la

conduite σ ρ 4 2 gD Δ = Indices c phase continue d phase dispersée w phase aqueuse o _{phase organique}

Sommaire

SOMMAIRE

Introduction générale 1

I. État de l’art 9

I.1 Définitions des différents régimes d’écoulement 11

I.2 Carte des régimes d’écoulement 13

I.2.a Ecoulements stratifiés 17

I.2.b Ecoulements dispersés-stratifiés 20 I.2.c Ecoulements pleinement dispersés 21

Bilan 23

I.3 Description et modélisation de l’hydrodynamique des écoulements dispersés 24

I.3.a Viscosité d’une suspension en écoulement 25 I.3.b Perte de charge dans les écoulements horizontaux pleinement dispersés 34

I.4 Modélisation et hydrodynamique des écoulements stratifiés à phases séparées 39

I.4.a Modèle 1D à deux fluides 39

I.4.b Les contraintes de frottement pariétal 40 I.4.c Les contraintes de frottement interfacial 41 I.4.d Confrontation du modèle à deux fluides aux expériences 44

I.5 Quelques résultats concernant les écoulements dispersés-stratifiés 47

II. Dispositif expérimental et techniques de mesures 55

II.1 Dispositif expérimental 57

II.1.a La boucle liquide-liquide 57

II.1.b Le système des phases 61

II.1.c Le dispositif de mesure de perte de charge 62

II.2 Techniques de mesures 65

II.2.a Choix techniques liés à l’acquisition des images 65

II.2.b Profils de concentration 71

II.2.c Calcul du champ de vitesse instantanée 72

II.3 Qualification du dispositif expérimental et validation des mesures PIV 77

II.3.a Injection de la phase dispersée dans la conduite 77 II.3.b Validation des mesures PIV en écoulement monophasique 79

Conclusions 87

III. Caractérisation des écoulements 93

III.1 Description générale des écoulements 94

III.1.a Cartes des régimes d’écoulement 94 III.1.b Structure 3D de l’écoulement 96 III.1.c Coupes verticales de l’écoulement : structure 2D et profils de concentration 98

III.2 Etude de la perte de charge 117

III.2.a Evolution du gradient de pression en fonction de Um et φo 117

III.2.b Viscosité effective de mélange 124 III.2.c Paramètres de Lockhart et Martinelli 127

Sommaire

IV. Profils hydrodynamiques des écoulements 141

IV.1 Etude du champ moyen 143

IV.1.a Profils verticaux de vitesse longitudinale 143 IV.1.b Profils verticaux de la vitesse verticale 152 IV.1.c Profils de vitesse dans le plan horizontal 160

IV.2 Etude du champ fluctuant 167

IV.2.a Profils des corrélations croisées 167

IV.2.b Profils de vitesse rms 176

Conclusions 185

V. Analyse et modélisation dans la couche L1 189

“Experimental study of local hydrodynamics in a dispersed-stratified liquid-liquid pipe flow” 191

VI Analyse de la couche dispersée L2 227

VI.1 Etude locale de la zone dispersée dense 229

VI.1.a Profils horizontaux de vitesse longitudinale 229 VI.1.b Profils verticaux de vitesse longitudinale 234 VI.1.c Visualisation du comportement à seuil 238

VI.2 Bilan global dans la couche dense 241

VI.2.a Contrainte pariétale moyenne 241 VI.2.b Lubrification de la couche dense 244

Conclusions 247

Conclusion générale 249

INTRODUCTION GENERALE

1. Avant Propos

Plusieurs facteurs sont avancés pour expliquer la flambée des cours du pétrole observée depuis 2004 : la forte demande mondiale émanant notamment de la Chine, désormais second importateur derrière les Etats-Unis ; les tensions géopolitiques (Venezuela, Nigeria, la situation au Moyen-Orient, l’affaire Ioukos en Russie, la faiblesse des stocks pétroliers, l’insuffisance des investissements dans les capacités de raffinage aux Etats-Unis…), puis, à plus court terme, la vague de froid en Europe et aux Etats-Unis, début 2005, qui aurait poussé à des achats massifs de nature spéculative. Pour faire face aux défis posés par une consommation importante d’énergie et qui augmente durablement dans un contexte de raréfaction des énergies fossiles, l’industrie pétrolière doit faire un effort important dans le domaine de l’innovation et de la recherche.

C’est la problématique liée au transport polyphasique dans les conduites de production et les puits d’extraction pétroliers qui a défini le contexte des recherches présentées dans ce rapport. Ces recherches ont été menées en partenariat entre l’IFP, le Laboratoire de Génie Chimique de Toulouse et le Laboratoire d’Ingénierie des Systèmes Biologiques et des Procédés.

2. Contexte industriel

Les réservoirs pétroliers sont des roches poreuses et perméables (telles que les grès argileux ou encore les roches calcaires ou dolomitiques) dans lesquelles sont piégés des hydrocarbures sous forme gazeuse et/ou liquide. Les réservoirs sont en général composés de trois couches distinctes disposées selon leur masse volumique: du gaz dans la partie supérieure, de l’huile au milieu et de l’eau dans la partie basse.

En début de vie de l'exploitation d’un gisement pétrolier, les puits produisent majoritairement du gaz et de l’huile. Afin de maintenir le débit de production au cours de l’exploitation, la perte de pression dans le réservoir peut être compensée par l’injection d’eau dans la couche aquifère via un autre puits. Il devient alors difficile d’empêcher la présence d’eau dans les puits d’extraction et les conduites de production.

Cette présence d’eau peut alors engendrer la corrosion prématurée des conduites ainsi que la formation de dépôts salins ou d'hydrates cristallins, qui altèrent la production et peuvent dans certains cas la stopper. Par ailleurs, la présence d’eau complexifie la situation traditionnelle de production et transport diphasique gaz-liquide. L’écoulement simultané d’une nouvelle phase non miscible modifie la distribution des phases, en particulier les transferts pariétaux de l’écoulement et par conséquent la perte de charge. L’étude des écoulements diphasiques eau-huile est donc nécessaire afin d’améliorer les outils dédiés à l’optimisation de la production et au dimensionnement des unités de production (« flow assurance »).

Cette étude s'inscrit dans le contexte des écoulements diphasiques en conduites horizontales, pour lesquelles la différence entre les masses volumiques des fluides joue un rôle majeur dans la distribution spatiale des phases. Les portions de lignes horizontales sont de plus en plus présentes dans le développement des forages dirigés (puits fortement inclinés, voire même horizontaux sur plusieurs kilomètres de long, permettant l'accès à des zones dites sensibles et augmentant la récupération d'huile dans certains gisements (cf. Figure 1)) et des champs marginaux, que l'on rattache à des unités flottantes éloignées de plusieurs dizaines de kilomètres (cf. Figure 2).

Figure 1:Configurations de réservoirs pouvant mener à la réalisation de forages horizontaux (source :

Schlumberger)

Figure 2 : champ de production off-shore (source : IFP)

3. Enjeux scientifiques

En situation réelle, la phénoménologie du transport dans les puits d’extraction et les lignes de production est variée et complexe : présence de singularités (restrictions, coudes), présence de tensio-actifs, présence d’une troisième phase gazeuse, voire même d’une quatrième phase solide (sable, argile, sulfures de fer,…). L’étude présentée ici est délibérément simplifiée, de façon à analyser les mécanismes de transport pour un système liquide-liquide contrôlé. Ce système doit répondre à des critères liés à la manipulation des fluides en laboratoire (sécurité, toxicité), à leur aptitude à se séparer, ainsi qu’à des contraintes liées aux métrologies utilisées (vidéo, PIV).

Le premier chapitre de ce rapport fait un état des lieux des études menées sur les écoulements liquide-liquide en conduite horizontale. Cette analyse bibliographique permet de limiter au nombre de trois les principaux régimes d’écoulement rencontrés: le régime pleinement dispersé, le régime stratifié et le régime dispersé-stratifié. On montre que ce sont les écoulements dispersés-stratifiés qui sont les plus mal compris mais aussi les plus critiques en termes de perte de charge. C’est pourquoi nous avons ciblé notre étude sur ce régime. Nous proposons dans ce travail de réaliser une banque de données détaillée concernant les écoulements dispersés-stratifiés. Dans cet objectif, un dispositif expérimental permettant de générer une dispersion de gouttes calibrées dans une conduite cylindrique horizontale a été mis en place. Ce dispositif, ainsi que les techniques de mesures employées (perte de charge, visualisation des écoulements et champs hydrodynamiques de l’écoulement) sont détaillés dans le chapitre II.

Le dispositif expérimental, associé aux éléments de métrologie mis en œuvre pour cette étude, fournit les conditions nécessaires à une description précise des régimes d’écoulements. Ces régimes ont été obtenus pour des plages de débits compris entre 0 et 12 m3

/h pour la phase

aqueuse et entre 0 et 6 m3

/h pour la phase organique. Le dispositif expérimental est constitué

d’une conduite horizontale transparente (PMMA) de 8 m de long et de 5 cm de diamètre, adaptée à l’observation et à la mesure des pertes de charge des écoulements. Le système diphasique est constitué d’une phase aqueuse (eau ou mélange eau-glycérol 50% vol.), et d’une phase organique (n-heptane), injectée à co-courant sous forme dispersée, via un réseau de tubes capillaires. Les indices optiques des deux phases liquides peuvent être ajustés, ce qui permet de mesurer les champs hydrodynamiques de l’écoulement par une technique de vélocimétrie par images de particules. De plus, les images réalisées avec le plan laser permettent de distinguer la structure 2D des écoulements diphasiques et de déterminer les profils de taux de présence des

Le chapitre III est consacré à la description générale des écoulements obtenus dans le cas du système 1 (eau/heptane) et dans le cas du système 2 (eau-glycérol/heptane) et à la présentation des mesures de perte de charge associées. Cette caractérisation globale des écoulements met en évidence la formation d’une émulsion concentrée s’écoulant au-dessus d’une couche continue de phase aqueuse. Cette émulsion reste stable durant le transport lorsque la vitesse de mélange n’est pas trop faible. Une troisième couche composée d’heptane sous forme continue, formée au niveau du système d’injection, apparaît pour les fractions volumiques en huile plus élevées. De façon générale, on note que la perte de charge associée à ces régimes d’écoulement augmente fortement dès l’introduction d’une faible quantité de phase dispersée. Une modélisation très simple peut être mise en œuvre en considérant le mélange de fluides homogène, ce qui revient à déterminer une viscosité effective du mélange. Une représentation des données en fonction des paramètres de Lockhart et Martinelli permet de proposer une corrélation qui dépend peu du système étudié. Ce type de corrélation masque cependant la physique des écoulements. Pour ces raisons, la poursuite du travail a comme objectif de modéliser les phénomènes sous l’angle du modèle à deux fluides.

Le chapitre IV regroupe l’ensemble des profils hydrodynamiques mesurés en configuration dispersée-stratifiée. Ces profils ont été effectués en majorité, dans le plan médian vertical de la conduite, quelques profils ont également été réalisés dans des plans horizontaux. Leur analyse permet de préciser la structure locale de l’hydrodynamique dans la zone continue ainsi que dans la zone dispersée dense.

A partir de ces résultats, nous tentons de déterminer dans le chapitre V, les lois de frottement pariétal et interfacial dans la couche continue.

Finalement, le chapitre VI est consacré à l’analyse du comportement de la zone dispersée dense. En particulier, l’analyse des profils de vitesse permet de déterminer une loi rhéologique de l’émulsion composant la couche dense.

Chapitre I :

ÉTAT DE L’ART

I. État de l’art 9

I.1 Définitions des différents régimes d’écoulement 11

I.2 Carte des régimes d’écoulement 13

I.2.a Ecoulements stratifiés 17

I.2.b Ecoulements dispersés-stratifiés 20

I.2.c Ecoulements pleinement dispersés 21

Bilan 23

I.3 Description et modélisation de l’hydrodynamique des écoulements dispersés 25

I.3.a Viscosité d’une suspension en écoulement 26

I.3.b Perte de charge dans les écoulements horizontaux pleinement dispersés 35

I.4 Modélisation et hydrodynamique des écoulements stratifiés à phases séparées 39

I.4.a Modèle 1D à deux fluides 39

I.4.b Les contraintes de frottement pariétal 40

I.4.c Les contraintes de frottement interfacial 41

I.4.d Confrontation du modèle à deux fluides aux expériences 44

I. État de l’art

Ce chapitre est consacré à la présentation des différents travaux concernant les écoulements liquide-liquide en conduite horizontale. Les principaux régimes d’écoulement rencontrés dans la littérature ainsi que l’effet de certains paramètres sur leur domaine d’existence seront d’abord décrits. Cette première analyse permet de limiter au nombre de 3 les régimes d’écoulement pouvant se produire lorsque les fluides ont des masses volumiques distinctes: le régime pleinement dispersé, le régime stratifié et le régime dispersé-stratifié.

La suite de ce chapitre porte sur l’étude et l’analyse des modèles couramment utilisés pour décrire ces régimes. La troisième partie concerne la description des différentes lois de viscosité de mélange classiquement utilisées pour décrire les écoulements pleinement dispersés. Nous verrons, à l’aide de quelques résultats expérimentaux, que ces écoulements restent malgré tout mal compris.

La quatrième partie est dédiée à la présentation du modèle à deux fluides 1D, couramment employé pour la modélisation des écoulements stratifiés à phases séparées. En écoulement liquide-liquide, ce modèle permet de prédire avec un bon niveau d’approximation la perte de charge et le glissement entre phases, même lorsque l’interface devient perturbée (apparition de vagues).

Enfin, les quelques résultats obtenus avec des écoulements intermédiaires, dispersés-stratifiés, seront exposés. On montre que ce sont ces écoulements qui sont les plus mal compris mais aussi les plus critiques en termes de perte de charge. C’est pourquoi nous axerons notre étude sur leur compréhension.

I.1 Définitions des différents régimes d’écoulement

Le transport de deux phases non miscibles dans un milieu confiné tel que les puits d’extraction pétroliers donne lieu, en régime permanent et établi, à la formation de différentes configurations d’écoulement. Pour un système diphasique donné, ces régimes d'écoulement diphasiques sont caractérisés par la détermination de « points de fonctionnement » correspondant aux conditions d'écoulement imposées en entrée de conduite. Ces points de fonctionnement sont des couples de paramètres: vitesse superficielle de la phase 1, vitesse superficielle de la phase 2 (Us1, Us2), ou encore, de façon totalement équivalente, vitesse de

mélange, rapport entre le débit de la phase k et le débit total (Um, φk), avec:

k k sk k U A U A Q = . = . (I-1)

∑

= = k sk m t U A A U Q . . (I-2) m sk t k k U U Q Q = = φ (I-3)

où A est la section totale de conduite, Ak la section de la phase k et Qt=ΣQk le débit total en

entrée. La représentation graphique de ces points de fonctionnement génère ce que l'on appelle une « carte des régimes d'écoulement ».

Les schémas présentés sur la Figure I.1 regroupent de façon exhaustive les différents régimes d’écoulement diphasiques identifiés. De façon très générale, ils peuvent être classés en 3 catégories distinctes :

-les écoulements à « phases séparées » : les fluides s’écoulent de façon stratifiée en deux couches continues disposées selon leur densité et séparées par une interface plus ou moins perturbée (schémas a et b). Un cas particulier est l’écoulement annulaire, composé de deux couches continues s’écoulant concentriquement (schémas k et l). En écoulement liquide-liquide, l’existence de ce régime annulaire est importante lorsque l’on envisage de transporter une huile très visqueuse. L’addition d’une phase moins visqueuse, lubrifiante, dans les conditions d’existence de ce régime, permet de réduire largement la perte de charge.

sous catégories: le régime « pleinement dispersé », où les gouttes sont présentes dans toute la section de la conduite de façon plus ou moins homogène (schémas i et j) et le régime « dispersé-stratifié », comprenant une zone dispersée plus ou moins dense et une ou deux couches continues (schémas c, d, et h). Dans certains cas, ces régimes dispersés peuvent aussi s’écouler de façon annulaire (m, n et o).

-enfin, les phases peuvent aussi s’écouler sous la forme de grandes « poches », ou de « bouchons » (schémas p, q et r). Ces régimes intermittents apparaissent en général lorsque les différences de masses volumiques des fluides sont faibles (Charles et al. (1961), Arirachakaran et al. (1989)).

I.2 Carte des régimes d’écoulement

Les propriétés physiques d’un système diphasique (masses volumiques, viscosités dynamiques et tension interfaciale), l’inclinaison de la conduite, son diamètre ainsi que les propriétés de mouillabilité des parois sont autant de paramètres pouvant modifier la carte des régimes d'écoulement, aussi bien dans la position des frontières que dans l’existence même de certains régimes.

En configuration horizontale, la gravité joue un rôle important sur la répartition des phases. Les expériences menées par Russel et al. (1959), Angeli (1996, 2000) Trallero (1995), Nalder et Mewes (1997) ou encore Elseth (2001) et réalisées avec des systèmes liquide-liquide présentant des différences de densité de l’ordre de 250 à 300 kg/m3 _{, dans des tubes dont les}

diamètres varient de 2.4 à 6 cm et pour des vitesses de phases toujours inférieures à 2 m/s, montrent que les régimes observés dans ces conditions sont le régime stratifié à phases séparées, le régime dispersé-stratifié et le régime pleinement dispersé (inhomogène et homogène). A titre d’exemple la carte des régimes d’écoulement d’Elseth (2001) est présentée sur la Figure I.2.

Par ailleurs, les expériences réalisées en conduite verticale ou fortement inclinée (Oddie et al. (2003)), ou encore les expériences en conduite horizontale à faible différence de densité (Charles et al. (1961), Arirachakaran et al. (1989)), montrent la disparition du régime stratifié et l’apparition de régimes ayant de plus fortes propriétés d’axisymétrie. Par exemple, la carte des régimes réalisée par Charles et al. (1961) (conduite horizontale et Δρ=0) présentée Figure I.3, montre l’existence d’un régime annulaire avec une dispersion eau dans huile dans le cœur de l’écoulement. Les auteurs observent aussi des régimes intermittents, certainement issus de la déstabilisation de l’écoulement annulaire, et un régime pleinement dispersé homogène. A partir de l’analyse d’un ensemble de résultats expérimentaux, Banwart (2001) propose un critère basé sur un nombre d’Eötvös pour déterminer une condition d’existence des régimes annulaires en écoulements horizontaux : 8 4 2 ≤ Δ = σ ε ρ π gD Eö_D (I-5)

avec ε la fraction volumique de la phase formant le cœur de l'écoulement. Ce critère peut être interprété comme le rapport entre les forces de gravité qui tendent à faire perdre la symétrie de

l’écoulement et une force due à la tension interfaciale, s’opposant à la déstabilisation de l’interface entre la phase composant le cœur de l’écoulement et la phase composant l’anneau lubrifiant. Cette condition d’existence du régime annulaire n’est évidemment pas suffisante car elle ne prend pas en compte les effets d’inertie des phases qui peuvent déstabiliser l’interface. Joseph et al. (1996) proposent un critère pour déterminer la configuration annulaire stable. Selon eux, le cœur doit être composé d’une phase ayant une viscosité effective (viscosité moléculaire + viscosité turbulente) plus élevée que l’anneau qui l’entoure. Ainsi, on comprend que l’existence de ce régime est favorisée lorsque les fluides ont des viscosités très différentes (Arirachakaran et al. (1989)).

Nous nous intéresserons dans cette étude à des systèmes de fluides de densités différentes (de l’ordre de quelques centaines de kg/m3_{). Le diamètre réel des puits de forage (au} minimum 10-12 cm) nous engage donc à nous focaliser sur la compréhension des écoulements apparaissant pour des nombres d’Eötvös élevés. Par conséquent, nous limiterons notre analyse aux 3 régimes d’écoulement suivants:

- les régimes stratifiés à phases séparées (lisses et perturbés) - les régimes pleinement dispersés

Figure I.2 : carte des régimes d’écoulement selon Elseth (2001) ● SS : stratifié « lisse » ;

■ SW : stratifié à vague ;

▲ SM : dispersé-stratifié (mixte), couche dispersée au milieu de deux couches continues;

○ Do-DP : dispersé-stratifié avec une couche dispersée eau dans huile et une couche d’huile continue ; □ Dw-DP : dispersé-stratifié avec une couche dispersée huile dans eau et une couche d’eau continue ; △ Do-I : pleinement dispersé, huile dans eau inhomogène ;

◇ Dw-I : pleinement dispersé, eau dans huile inhomogène ; Ⅹ Dw-H : pleinement dispersé de façon homogène eau dans huile

Figure I.3 : carte des régimes d’écoulement pour un système eau/huile de rapport de densité 1 et des rapports de viscosité de 6 et 16. Charles

I.2.a

Ecoulements stratifiés

La configuration stratifiée à phases séparées est la configuration stable des écoulements diphasiques en conduite horizontale lorsque les vitesses sont nulles. Les travaux sur la stabilité de ces écoulements montrent que les domaines d’existence des régimes stratifiés « lisses » et « à vagues » sont définis par une courbe nommée ZNS (zero neutral stability) (Brauner et Moalem Maron (1992a)) ou encore VKH (viscous Kelvin-Helmholtz) (Trallero (1995)). Cette courbe est issue de l’étude des instabilités de type Kelvin-Helmholtz, réalisée à partir de la formulation temporelle des équations du modèle à deux fluides. Les effets visqueux sont pris en compte par modélisation des contraintes de frottement pariétale et interfaciale. Ce modèle est présenté dans le paragraphe I.4.a dans le cas « permanent établi ». La courbe ZNS correspond aux conditions pour lesquelles une perturbation de l’écoulement de base n’est ni amplifiée, ni atténuée. Au-delà de la zone définie par cette courbe, les perturbations de l’interface sont amplifiées de façon exponentielle et l’approximation linéaire n’est plus valable. L’écoulement reste stratifié mais l’interface se présente sous forme de vagues avec une couche de gouttes, dont la taille augmente lorsque la différence de vitesses entre les phases s’accroit (régime dispersé-stratifié à 3 couches, couramment nommé régime stratifié mixte (SM) dans la littérature). Les résultats expérimentaux de Trallero (1995) sont confrontés aux modèles théoriques de transitions entre différents régimes proposées par Brauner (Brauner (1992) par exemple). La prédiction du domaine d’existence du régime stratifié lisse est en très bon accord avec les données expérimentales (courbe 1, Figure I.4).

Une seconde frontière, correspondant aux conditions pour lesquelles la formulation « à deux fluides » devient mal posée, est proposée par Brauner et Moalem Maron (1992a,b). Cette frontière, caractérisée par une courbe nommée ZRC (zero real characteristic), correspond aussi aux résultats du problème de stabilité non visqueux (IKH) (inviscid Kelvin-Helmholtz) proposé par Barnea (1987). La justification physique des domaines ainsi définis est cependant assez hasardeuse. Selon Brauner, au-delà de cette courbe il ne peut plus y avoir coexistence de deux couches continues. Aucun écoulement stratifié, qu’il soit à vague ou avec une zone dispersée à l’interface ne peut se produire. Ces courbes correspondent donc théoriquement à la transition entre le régime stratifié mixte, c’est-à dire avec une couche dispersée entre les deux couches continues, et les régimes dispersés-stratifiés à 2 couches (notés Do-DP et Dw-DP sur la carte d’Elseth (Figure I.2) et Do/w&w et Do/w&w/o sur la carte de Trallero (1995) (Figure I.4)). Les

résultats obtenus lors de la confrontation de ce modèle avec les résultats expérimentaux de Trallero sont acceptables (courbes 2w et 2o de la Figure I.4).

Ces travaux théoriques permettent aussi de généraliser les tendances observées expérimentalement (Russel et al. (1959), Arirachakaran et al. (1989), Angeli (1996), Trallero (1995), Nälder et Mewes (1997), Elseth (2001)) concernant l’influence de certains paramètres sur le domaine d’existence des régimes stratifiés. On notera que la taille de ce domaine décroit lorsque le rapport des densités tend vers 1, lorsque les viscosités sont très différentes (Figure I.5) ou encore lorsque le diamètre de la conduite décroît (Figure I.6).

Figure I.4 : Confrontations des mesures de Trallero (1995) et des études de stabilités menées par Brauner (1992). 1 : courbe ZNS ; 3w et 3o : courbe ZRC ; 4 et 5: frontière entre les régimes dispersés-stratifiés et

Figure I.5 : influence du rapport des densités et des viscosités sur les domaines des régimes stratifiés (Brauner et Moalem Maron (1992b). La zone grisée correspond au régime stratifié lisse délimité par la courbe ZNS. Les deux autres courbes sont les ZRC définissant la frontière entre régimes à deux couches continues et les régimes

à une ou sans couche continue

I.2.b

Ecoulements dispersés-stratifiés

Ces régimes d’écoulement apparaissent fréquemment en conditions réelles car les puits de forage possèdent de nombreux éléments susceptibles de former une dispersion (coudes, restrictions, vannes…). Lorsque l’écoulement n’est pas suffisamment turbulent, cette dispersion se stratifie et forme une zone dense en gouttes.

La modélisation précédente décrit le passage d’un écoulement stratifié à un écoulement dispersé-stratifié. La transition inverse, c'est-à-dire le passage d’un régime dispersé à un régime stratifié, doit être modélisée en rendant compte du mécanisme de coalescence. En toute rigueur, ce modèle doit donc faire intervenir la description du drainage dans la zone dispersée. Cependant, en supposant que ce mécanisme de drainage aboutit au bout d’un temps suffisamment long à la coalescence des gouttes, Brauner et Moalem Maron (1992c) proposent un critère basé sur un nombre d’Eötvös et valable en régime établi :

σ ρ 6 2 gd Eö_d = Δ (I-6)

Ce nombre quantifie la déformation des gouttes soumises uniquement à la force de gravité en fonction de leur diamètre. On suppose ici que les forces visqueuses et inertielles n’ont pas d’influence sur la coalescence.

Ainsi, les gouttes dont le diamètre est supérieur à un diamètre critique dcr sont soumises à

une déformation importante, ce qui engendre un processus de drainage puis la formation d’une couche continue. En comparant la surface utile maximale d’une goutte à la section de la couche dispersée, Brauner et Moalem Maron (1992c) proposent alors un critère permettant de tracer la frontière entre le régime dispersé-stratifié à deux couches et le régime dispersé-stratifié à trois couches (ou stratifié-mixte, SM). Selon ce critère, si la section de la couche dispersée est inférieure au diamètre critique précédemment décrit, alors il ne peut pas y avoir coalescence et formation d’une couche continue:

4 ) , , , , , ( 2 cr d c d c ds cs d d U U A ρ ρ μ μ ≤π (I-7)

La relation entre la surface mouillée par la couche dispersée Ad et les conditions de débits de

l’écoulement, est déterminée grâce aux équations gouvernant l’écoulement stratifié à phases séparées (ces équations seront présentées dans la partie I.4.a de ce chapitre). Ce critère est représenté par les courbes 2o et 2w sur la Figure I.4.

I.2.c

Ecoulements pleinement dispersés

Lorsque les forces inertielles deviennent prépondérantes sur la gravité, les gouttes présentent une répartition quasi-homogène dans la section de la conduite. Nous mentionnons ici deux critères de transition entre ces deux écoulements.

Selon Brauner et Moalem Maron (1992c), la modélisation de la transition entre le régime dispersé-stratifié et le régime pleinement dispersé peut être envisagée en comparant le diamètre critique précédemment défini avec le diamètre maximal résultant du processus de rupture. Le diamètre maximum dmax des gouttes en écoulement turbulent peut être déterminé par la théorie

de Hinze (1955). Il est directement relié au taux de dissipation de l’énergie turbulence ε par l’expression : 5 / 3 5 / 2 1 max ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − c C d ρ σ ε avec D fU_m3 2 = ε (I-8a) et 4 / 1 079 . 0 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = c m cDU f μ ρ , (I-8b)

où μc et ρc sont respectivement la viscosité et la masse volumique de la phase continue. C1est

une constante généralement reliée à la fraction volumique locale. Le rapport du diamètre critique et du diamètre maximal stable s’écrit alors :

1 . 0 5 . 0 1 . 0 2 max Re ) ( d c c c cr Fr We C d d _{= φ} − − _{, (I-9a)} avec σ ρ 2 m c c U D We = , gD U Fr c m c ρ ρ Δ = 2 , c m c c D U μ ρ = Re (I-9b)

Selon les auteurs, si dmax/dcr>1, alors la turbulence ne peut fragmenter les plus grosses gouttes

avant qu’elles ne coalescent pour constituer une zone continue. Lorsque dmax/dcr<1, le niveau de

turbulence est assez élevé pour empêcher la formation d’une couche continue. Ce critère est représenté sur la carte de la Figure I.4 par les courbes 4 et 5.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 7 . 0 7 . 0 1 38 σ μ σ μcUm dUm We avec σ ρ 2 max cUm d We= , (I-10)

où μd est la viscosité de la phase dispersée. Cette relation conduit à une valeur du dmax stable plus grand que celui déduite de la théorie de Hinze, tendant à déplacer vers le haut la frontière 4 de la Figure I.4.

Un second critère proposé par Trallero (1995), repose sur la comparaison des forces de flottation et des forces d’agitation des gouttes engendrées par la turbulence de la phase continue. Trallero définit la transition entre l’écoulement dispersé-stratifié et l’écoulement pleinement dispersé par une condition sur la vitesse de la phase continue :

g I d U t c c 2 3 4 ρ ρ Δ > , (I-11)

où It est l’intensité turbulente de l’écoulement et d le diamètre des gouttes, pris égal au diamètre

maximum stable défini précédemment.

On notera que la relation (I-11) est équivalente à une relation du type :

t

U

u'> , (I-12)

où Ut est la vitesse limite de chute d’une goutte et u’ la moyenne quadratique des fluctuations de

vitesse turbulentes (le coefficient de traînée est de l’ordre de l’unité).

Ce critère donne des résultats proches de celui proposé par Brauner et Moalem Maron. Dans les deux cas, on compare l’effet de la turbulence à celui de la gravité sur le mouvement des gouttes. Brauner et Moalem Maron (1992c) traduisent ces effets en termes de diamètre de goutte et Trallero (1995) en termes de forces.

Bilan

Les différents régimes d’écoulements présentés dans cette partie ont une hydrodynamique qui leur est propre et sont notamment associés à des comportements de la perte de charge, des coefficients de transfert thermique et de répartition de phases très différents. Par une méthode inverse, la perte de charge peut être un outil de diagnostic pour déterminer la nature du régime d’écoulement (Rodriguez et al. (2004)). Cependant, les modèles généralisés couvrant l’intégralité des régimes d’écoulement (Charles et Lillelcht (1966), Theissing (1980) pour la perte de charge par exemple) ne peuvent fournir que des estimations relativement grossières. Nous proposons dans la suite de ce chapitre une description des modèles utilisés pour décrire les différents régimes et nous discuterons de leur efficacité vis-à-vis de la prédiction de la perte de charge et/ ou de la distribution des phases.

I.3 Description et modélisation de l’hydrodynamique des

écoulements dispersés

Suivant les rapports entre les échelles caractéristiques (de temps et de longueur) de la phase dispersée et de la phase continue, les interactions hydrodynamiques entre phases dans un écoulement dispersé turbulent peuvent être décrites soit à l’aide de propriétés de mélange (ex: viscosité effective), soit par la modélisation du transfert interfacial entre les mouvements propres de chaque phase (moyen et fluctuant).

Lorsqu’il n’y a pas de mouvement relatif entre les phases, le mélange dispersé peut être considéré comme une phase homogène, dont le comportement rhéologique dépend de la concentration, de la taille et de la déformation des inclusions. Par exemple, la perte de charge d’un écoulement dispersé peut être s’exprimer en fonction des variables de mélange de l’écoulement (modèle homogène):

R f U dx dP m m m 2 ρ = (I-13)

où fm est le facteur de friction de l’écoulement dispersé. Si le mélange se comporte comme un

fluide newtonien, fm pourra être modélisé par la loi de Hagen-Poiseuille en régime laminaire, ou

par la loi de Blasius en écoulement turbulent.

Nous verrons que ce modèle ne mène pas toujours à une description satisfaisante de la perte de charge. Les écarts observés résultent d’une description inadéquate de la rhéologie de la dispersion ou d’interactions fortes entre la phase dispersée et les échelles turbulentes de la phase continue. Lorsque les gouttes ont une inertie importante (diamètre et/ou différence de masse volumique importants), les mouvements de la phase continue et celui de la phase dispersée ne sont plus totalement corrélés (même en l’absence d’un mouvement relatif moyen entre les phases). Dans ce cas, l’écriture d’un modèle diphasique traduisant le transfert interfacial de quantité de mouvement et d’énergie cinétique fluctuante est nécessaire.

I.3.a

Viscosité d’une suspension en écoulement

Suspension diluée de gouttes sphériques

Nous considérons ici un écoulement sans glissement entre phases et à faible nombre de Stokes, rapport entre le temps de relaxation d’une inclusion et le temps caractéristique de la turbulence (

t p

t t

St = ). Si l’on peut définir un volume V contenant un nombre suffisant de

particules, mais de faible dimension devant l’échelle de longueur caractéristique de l’écoulement, la dispersion peut être alors assimilée à un fluide homogène, possédant des propriétés de « mélange » (Figure I.7).

m m μ ρ , d d μ ρ , c c μ ρ , g m m μ ρ , d d μ ρ , c c μ ρ , g V V=V_d+V_c m m μ ρ , d d μ ρ , c c μ ρ , g m m μ ρ , d d μ ρ , c c μ ρ , g V V=V_d+V_c

Figure I.7 : assimilation de l'écoulement diphasique en écoulement monophasique « moyen »

La masse volumique de ce pseudo-fluide est la moyenne des masses volumiques des deux phases pondérée par la fraction volumique :

c d d d m α ρ α ρ ρ = +(1− ) , (I-14)

où αd est la fraction volumique de la phase dispersée, ρd et ρc les masses volumiques respectives

des phases dispersée et continue.

La viscosité de mélange résulte de la perturbation par les inclusions, de la contrainte exercée dans un écoulement monophasique. En écoulement de Stokes, la contrainte effective du milieu dispersé dans le volume V s’écrit alors:

(

)

∫

∫

∫

= − + + = = c d V V c V eff dV V dV e I p V dV V τ μ τ τ τ 1 1 2 1 =− + +

∫

d V c dV V e I p 2μ 1 τ (I-15)

où e est le tenseur de déformation. Dans cette équation, on décompose l’intégrale des contraintes sur le volume V du mélange en somme de l’intégrale des contraintes dans le volume de phase continue Vc et de l’intégrale des contraintes dans le volume occupé par la dispersion Vd.

Dans le cas d’un cisaillement pur, le dernier terme de la relation (I-15) peut se mettre sous la forme:

∑

∫

= N₌ i V S V dV V d 1 1 1 _τ (I-16)

où S est la partie symétrique du dipôle de force issu du développement de la solution de l’équation de Stokes (Batchelor et Green (1972)). Ce terme (ou « stresslet ») est proportionnel au couple exercé par une inclusion sur le fluide environnant :

dA v n n v n x I n x S i A c

∫

− − + = [rτ.r 1₃ r.τ.r μ (r.r r.r)] _(I-17)

avec Ai la surface de l’inclusion i, xr est un vecteur dont la norme correspond à la distance entre

la surface et le centre de l’inclusion dirigé vers l’intérieur de l’inclusion. nr est le vecteur unitaire normal à l’interface et dirigé vers l’extérieur de la goutte. I est le tenseur unité et vr la vitesse de l’écoulement.

Dans le cas d’une dispersion très diluée composée d’inclusions identiques, l’équation (I-16) devient : S V N dV V d V =

∫

τ 1 , (I-18)

où S est le stresslet d’une goutte isolée dans un fluide infini, dans lequel la contrainte de déformation loin de la goutte est e . Batchelor et Green (1972) ont montré que dans le cas de gouttes sphériques, ce terme pouvait s’écrire selon :

e d S μ_c κ κ π _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ) 1 ( 5 2 5 2 3 20 3 (I-19) où κ =μd /μc.

En reportant (I-19) dans (I-15), on obtient l’expression de la viscosité de mélange dans la limite des suspensions de gouttes diluée (loi de Taylor (1932)):

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = _{c d} m _κ α κ μ μ ) 1 ( 2 2 5 1 (I-20)

Pour un mélange dilué de sphères dures (κ→∞), on retrouve la relation d’Einstein (1906) : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = c d m μ α μ 2 5 1 (I-21)

Lorsque κ→0, (dispersion de bulles dans un liquide, par exemple), on obtient :

(

d

)

c

m μ α

μ = 1+ (I-22)

Effet de la concentration

αd

sur la viscosité apparente du mélange

Lorsque la concentration en phase dispersée devient supérieure à quelques pourcents, l’équation (I-18) ne s’applique plus. Dans le cas d’une suspension de sphères dures soumise à une déformation pure, la prise en compte des interactions dipôle-dipôle conduit à l’expression suivante de la viscosité de mélange (développement limité à l’ordre 2):

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = 2 6 . 7 2 5 1 d d c m μ α α μ (I-23)

De nombreuses relations empiriques ou semi-empiriques ont également été proposées pour décrire la viscosité de cisaillement d’une dispersion concentrée. Dans le cas de sphères dures dans un écoulement quelconque, Roscoe (1952) a montré que la relation d’Einstein pouvait être étendue à des suspensions plus concentrées (jusqu’à 50% environ) à l’aide d’une relation semi-empirique: 5 . 2 ) 1 ( − − = c d m μ α μ . (I-24)

Pham-Thien et Pham (1997) ont proposé une extension de la relation de Taylor (équation (I-20)) en milieu concentré: max 5 . 2 max 2 / 3 ) / 1 ( 5 2 5 2 _d d d m m α α α κ κ μ μ _{= −} − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + , (I-25)

où αdmax est la concentration de compacité maximale. Lorsqueκ →∞, la relation (I-25) devient

l’équation de Krieger et Dougherty (1959) déterminée pour les suspensions solides concentrées. L’évaluation de la viscosité relative μr =μm/μc donnée par la relation (I-25), est représentée

On remarque que µr augmente de façon quasi-linéaire lorsque κ varie entre 0.1 et 10. En dehors

de cet intervalle, µr est indépendant de κ.

κ

r

μ

70 . 0 = d α 50 . 0 = d α 30 . 0 = d α 15 . 0 = d α

κ

r

μ

70 . 0 = d α 50 . 0 = d α 30 . 0 = d α 15 . 0 = d α

Figure I.8 : évaluation de la loi de viscosité relative de Pham-Thien and Pham (1997), issue de Pal (2003)

Effet du nombre capillaire sur la viscosité apparente d’une dispersion

Les relations proposées ci-dessus ont été établies pour des inclusions sphériques. Mikulencak et Morris (2004) montrent que le stresslet d’une particule rigide de forme ellipsoïdale est inférieur à celui d’une particule sphérique. Le nombre capillaire Ca exprime le rapport entre la force hydrodynamique tendant à déformer la goutte et la force de rappel qui tend à la maintenir la goutte sphérique. Dans le cas d’une goutte de diamètre d soumise à un cisaillementγ& , ce nombre s’écrit:

σ γ μ 2 d Ca= c& _{, (I-26)}

où σ est la tension interfaciale entre la goutte et le fluide porteur.

Pal (2003) propose un modèle qui décrit l’effet de la déformation des inclusions sur la viscosité relative d’une dispersion. L’approche est fondée sur une analogie avec le module d’Young d’un matériau composite. Ce modèle montre en particulier, que quelque soit la concentration en phase dispersée, il existe une plage du nombre capillaire pour laquelle la viscosité décroit lorsque le nombre capillaire augmente: l’émulsion présente donc un

concentration en phase dispersée αd constante, et pour les faibles valeurs du rapport des

viscosités κ, la viscosité du mélange peut devenir inférieure à la viscosité de la phase continue pour des valeurs élevées du nombre capillaire (Figure I.9). Les résultats de ce modèle sont en bon accord avec les résultats expérimentaux (courbe 3 sur la Figure I.10). Les courbes de droite de la Figure I.10 indiquent également que lorsque la viscosité relative est inférieure à 1, elle est une fonction décroissante de αd. Notons toutefois, que dans les cas expérimentaux présentés, Pal

ne précise pas la valeur critique du nombre capillaire vis-à-vis de la rupture des gouttes. Dans le cas des écoulements pétroliers, une valeur typique du nombre capillaire critique est de l’ordre de 0.1.

Figure I.10 : confrontation entre modèles et expériences: κ->0 (Pal, 2003)

Cas des émulsions très concentrées (0.64<

αd<1)

Les résultats précédents montrent qu’une émulsion peut avoir un comportement dont le caractère non-newtonien dépend de la concentration en phase dispersée αd et du nombre

capillaire. Cependant, ces résultats ne s’appliquent qu’à des dispersions dont la concentration n’excède pas une valeur maximale estimée à 0.64, correspondant à un empilement aléatoire de sphères dures monodisperses. C’est également la concentration en dessous de laquelle le nombre de contacts moyen entre les gouttes est insuffisant pour conférer à l’émulsion une élasticité statique (Tewari et al. 1999). Au-delà de 0.64, les gouttes commencent à se déformer et prennent une forme polyédrique de plus en plus prononcée lorsque αd tend vers 1 (Figures I.11 et I.12).

Selon la contrainte qui leur est appliquée, de telles émulsions se comportent soit comme un solide élastique, soit comme un fluide visqueux non newtonien. La transition entre ces deux régimes se traduit par une valeur seuil de la contrainte, notée τ0:

Si τ < alors τ0 γ&=0 (I-27)

Si τ > , τ τ τ γn

& +

où K=K(αd, d32, σ, μc) est la « consistance », τ0= τ0(αd, d32, σ), la contrainte seuil et d32, le

diamètre de Sauter de la dispersion.

Les travaux pionniers de Princen (1983) sur les mousses et les émulsions concentrées permettent de détailler l’expression de τ0: 32 3 / 1 0 2σαd Y(αd)/d τ = (I-29)

où Y est une fonction déterminée expérimentalement. Dans le cas d’une émulsion eau dans huile, Princen and Kiss (1989) proposent :

) 1 log( 114 . 0 080 . 0 ) ( _{d d} Y α =− − −α (I-30)

Dans ces mêmes expériences, Princen et Kiss (1989) ont également développé une expression de la consistance K : 2 / 1 32 2 ) 73 . 0 ( 32 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = d K d c σ μ α (I-31)

Ces résultats ont été validés pour αd> 0.73 et pour des valeurs du nombre capillaire inférieures à

10-4.

Mason et al. (1996) montrent qu’une émulsion concentrée monodispersée suit une loi puissance dont l’exposant varie de 2/3 à 1/2 lorsque la concentration αd varie entre 0.58 et 0.65.

Au-delà de cette concentration, l’émulsion devient inhomogène (à cause des phénomènes de drainage et de coalescence). Selon ces auteurs, la loi puissance reste vérifiée à faible cisaillement (exposant inférieur à ½).

Ces phénomènes de drainage et de coalescence donnent aux émulsions concentrées un caractère thixotrope, c’est-à-dire des propriétés rhéologiques qui varient au cours du temps.

85 . 0 = d α_d =0.85 α_d =0.9 α_d =0.95 α_d =1 α α_d =0.9 α_d =0.95 α_d =1

Figure I.11 : évolution de la structure 2D d’une émulsion concentrée en fonction du taux de présence en phase dispersée (simulation numérique de Bolton (1990))

Figure I.12 : représentation 3D d’une structure mono dispersée dense (αd=1)

Phénomène de lubrification

En milieu confiné, l’existence d’un film mince de phase continue lubrifiant entre la paroi et la structure rend difficile l’étude de la rhéologie des émulsions et des mousses. En particulier, il faut prendre en compte la vitesse de glissement de l’émulsion le long de la paroi UΣ (voir

Herzhaft (2002), par exemple).

Dans ce film mince, il est classique de considérer que la contrainte de cisaillement est constante et égale à :

δ μ τ ₌ cUΣ

p (I-32)

où δ est l'épaisseur du film lubrifiant (voir Figure I.13). Dans le cas d’une conduite de section circulaire dans laquelle s’écoule une émulsion concentrée homogène et si δ <<D, on peut écrire: R U R dx dP p c δ μ τ _Σ = ≈ (I-33)

Lorsque la contrainte subie par la mousse ou l’émulsion concentrée est inférieure à la contrainte seuil τ0, celle-ci est transportée « en bloc » dans la conduite. Dans ce cas, la vitesse de lubrification est égale à la vitesse moyenne de l’émulsion Um=UΣ . L’équation (I-33) donne alors

une relation directe entre le gradient de pression et Um.

En mesurant la perte de charge dans une mousse en écoulement, Briceño et Joseph (2003) ont pu estimer l’épaisseur du film de lubrification à quelques microns (5-10μm). Bécu et al.

(2004) parviennent à des valeurs bien plus faibles dans le cas d’une d’émulsion concentrée (0.01-μ

Σ

U

δ paroi Émulsion ou mousse c c μ ρ , Σ

U

δ paroi Émulsion ou mousse Σ

U

δ paroi Émulsion ou mousse c c μ ρ , Σ

U

δ paroi Émulsion ou mousse c c μ ρ , Σ

U

δ paroi Émulsion ou mousse Σ

U

δ paroi Émulsion ou mousse c c μ ρ ,

Figure I.13 : schéma de l’écoulement d’une émulsion concentrée en conduite

I.3.b

Perte de charge dans les écoulements horizontaux pleinement

dispersés

L’étude de Pal (1993) sur le facteur de friction d’une dispersion liquide-liquide concentrée en conduite horizontale illustre la complexité de cet écoulement.

La Figure I.14 représente l’évolution du facteur de friction (noté f) issu des mesures de perte de charge de Pal, en fonction d’un nombre de Reynolds (noté Rem) basé sur la viscosité de

mélange d’Einstein (I-21) :

2 / m mU dx RdP f ρ − = (I-34) et m m m m D U μ ρ = Re (I-35)

A faibles nombres de Reynolds, les résultats suivent bien la loi de Hagen-Poiseuille quelque soit la concentration en phase dispersée. On peut conclure que le modèle homogène est validé dans ces conditions d’écoulement.

En revanche, pour des nombres de Reynolds plus élevés (>2000), les données expérimentales sont surestimées par la loi de Blasius. Par ailleurs, l’écart observé augmente avec la fraction volumique en phase dispersée. On constate également un retard à l’apparition de la turbulence puisqu’aux fortes concentrations (αd >0.35), les données sont correctement décrites

par la loi de Hagen-Poiseuille jusqu’à des de Reynolds proches de 5000. Ce comportement n’est pas reproduit lorsque l’émulsion est stabilisée par des surfactants. Dans ce cas, le facteur de friction est bien prédit par la loi de Blasius. Pal appelle ce phénomène « réduction de traînée » et l’attribue à des effets de rupture et de coalescence des gouttes.

Des résultats similaires ont été obtenus par Angeli (1996) et Elseth (2001) dans le cas de mélanges non stabilisés (gouttes millimétriques) en écoulement pleinement dispersé. Les valeurs mesurées de la perte de charge

* ⎟ ⎠ ⎞ dx dP

, normalisées par celles de l’écoulement monophasique (φo=0), s’écartent également des prédictions du modèle homogène basé sur une viscosité de

Figure I.14: facteur de friction d’une dispersion eau dans huile non stabilisée en fonction du nombre de Reynolds (Pal (1993)). Le nombre de Reynolds est bâti avec une viscosité de mélange déterminée par la relation

d’Einstein 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Inv e rs io n de pha se ↑ d φ φd↑ o

φ

)

* / dx dP 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Inv e rs io n de pha se ↑ d φ φd↑ o

φ

)

* / dx dP

Figure I.15: confrontation des données Angeli (1996) et Elseth (2001) (points) avec le modèle homogène (trait plein). La viscosité de mélange est déterminée par le modèle de Taylor. Les différents symboles correspondent à

différentes valeurs de la vitesse de mélange. L’inversion de phase correspond la transition d’un écoulement eau dans huile à un écoulement huile dans eau

Au vu de ces résultats, on peut s’interroger sur l’origine des écarts observés entre le modèle homogène et les données expérimentales du facteur de friction.

En premier lieu, on peut envisager que le phénomène de réduction de traînée est dû au caractère rhéofluidifiant des dispersions (décrit dans le paragraphe précédent). Les modèles de type Einstein ou Taylor surestimeraient dans ce cas la viscosité de mélange.

D’autre part, l’inertie des gouttes peut générer une décorrélation entre leur mouvement et celui de la phase continue. Cet effet est traduit par le nombre de Stokes, rapport entre le temps de relaxation des gouttes td et entre le temps caractéristique de la turbulence tt de l’écoulement

porteur t d t t St = (I-36) Avec: ε k t_t ∝ (I-37)

où k et ε sont respectivement l’énergie cinétique et la dissipation d’énergie turbulente, et 1 |) | ( 3 4 = D r − c d d C v d t ρ ρ (I-38) où CDest le coefficient de traînée de la goutte et vr la vitesse relative entre les phases.

Pour une dispersion millimétrique d’huile (ρd~800kg/m3) dans un écoulement turbulent en

conduite (Re=20000), le nombre de Stokes est de l’ordre de 1. Dans ces conditions, le transfert interfacial d’énergie est susceptible de modifier la turbulence de la phase continue.

En écoulement gaz-solide, Balzer et Simonin montrent que lorsque les deux phases ont une vitesse relative moyenne nulle (ce qui est le cas en écoulement horizontal), il est possible d’assimiler l’effet de la traînée fluctuante à une diminution de la viscosité turbulente effective de l’écoulement. L’équation de transport des corrélations moyennes des vitesses fluctuantes vc,ivc,j

dans la phase continue s’écrit selon:

ij c ij c ij c ij c ij c j c i c m m c v v D P x U t , ] , , = , , , , , [ + +Π +Φ −ε ∂ ∂ + ∂ ∂ (I-39)

où Dc,ij, Pc,ij, Φ et c,ij εc,ij sont respectivement les termes de diffusion, de production, de

redistribution et de dissipation. Π est le terme de production interfacial prenant en compte c,ij

l’effet de la phase dispersée sur la turbulence de la phase continue. En négligeant les forces autres que la force de traînée, et en supposant que l’écoulement présente une répartition homogène en phase dispersée, on peut déduire de l’équation (I-39) un modèle algébrique de la perte de charge (Conan(2003), rapport IFP). Dans le cas d’un cisaillement simple, ce modèle prédit bien une diminution de la perte de charge avec l’augmentation de la concentration en phase dispersée, dans la limite du régime dilué.

I.4 Modélisation et hydrodynamique des écoulements stratifiés à

phases séparées

I.4.a

Modèle 1D à deux fluides

La modélisation filaire des écoulements stratifiés résulte de l’intégration dans la section de la conduite, des équations du mouvement dans chaque phase. Dans le cas d’un écoulement permanent, établi et parallèle et lorsque la courbure de l’interface est suffisamment faible pour pouvoir négliger la variation de pression entre les deux fluides (loi de Laplace) :

sk k k k k k AU AU AU Q = =ε = , (I-40a) I k I k k p k P P dx dP A =τ +τ − (I-40b)

où Uk est la vitesse moyenne longitudinale, τ et kp k I

τ sont les contraintes moyennes de frottement pariétal et interfacial, Ak la section occupée par la phase k, Pk le périmètre mouillé, PI

le périmètre interfacial et εk, le taux de présence de la phase k.

1 / = =

∑

∑

A A k k k k ε (I-40c)

De plus, la condition de saut à l’interface s’écrit en première approximation :

∑

=

k k I 0

τ (I-40d)

L’interface entre les deux fluides possède une courbure d’autant plus prononcée que la tension interfaciale est élevée. Le sens de cette courbure (concave ou convexe) dépend des propriétés de mouillabilité de la conduite (angle de contact fluides/paroi) et du rapport des surfaces occupées (Brauner et al. 1996). Même si la courbure de l’interface peut être introduite dans le modèle à deux fluides (Brauner et al. 1998), une première approche est de considérer l’interface plane. Dans ce cas, les grandeurs géométriques Ak, Pk et PI s’expriment à l’aide d’un

paramètre unique, Ω, l’angle au centre défini par l’interface (Figure I.16):

π 2 sinΩ − Ω = A A_c 2 D Pc =Ω 2 sinΩ = D PI ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ Ω = 2 cos 1 2 D zI (I-41)

Cette approximation est d’autant plus justifiée que le nombre d’Eötvös EöD est élevé. Afin

de résoudre complètement le système, il est nécessaire de définir des lois de fermetures pour les contraintes moyennes de frottement pariétal et interfacial.

Ω

Figure I.16 : Schéma relatif au modèle à deux fluides

I.4.b

Les contraintes de frottement pariétal

Conventionnellement, les frottements pariétaux dans chaque phase s’expriment en fonction du facteur de friction fk :

2 / k k k k k p f ρ U U τ =− , avec n k k hk k U D C f − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ν (I-42)

Les expressions de la constante C et de l’exposant n dépendent du régime hydrodynamique (laminaire ou turbulent) de la phase considérée. Les nombres de Reynolds relatifs aux deux fluides sont estimés avec des diamètres hydrauliques définis selon la vitesse relative des couches.