HAL Id: jpa-00241498
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241498
Submitted on 1 Jan 1909
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Couches minces et petites gouttes de liquide
Gerrit Bakker
To cite this version:
Gerrit Bakker. Couches minces et petites gouttes de liquide. J. Phys. Theor. Appl., 1909, 8 (1),
pp.81-93. �10.1051/jphystap:01909008008100�. �jpa-00241498�
81
COUCHES MINCES ET PETITES GOUTTES DE LIQUIDE;
Par M. GERRIT BAKKER.
§ 1. A te»ipéiatire constante, la structure d’une cotiche capil-
laire plane, adjacente à la est parfaitement déternzi1u/e.
-Une couche capillaire peut limiter une « grande masse » de liquide
aussi bien qu’une membrane ayant à peine quelques millimicrons
d’épaisseur. On peut se demander si la couche capillaire est la même
dans les deux cas. Dans ce qui suit, je tâcherai de démontrer que la structure de la couche capillaire plane est, en effet, indépendante de
la masse qu’elle limite.
Avec Th. Young, nous considérons la pression hydrostatique en un point d’un liquide comme la .différence entre la pression ther- mique 0 force de Young) et la cohésion ( force of cohesion de Young) (1). En un point de la couche capillaire plane, la pres- sion hydrostatique normale p,1 (2) est égale à la pression de la
vapeur (3). Si donc S,, est la cohésion dans la direction normale à la
surface, on a :
Si nous admettons (Stefan, Fuchs, Rayleigh, van der Waals) que la pression thermique b est indépendante de la direction et ne dépend
que de la densité au point considéré de la couche capillaire, il résulte
de (1), où Pn est la tension de la vapeur, que Sn est également une
fonction de la densité à température constante.
Imaginons dans une même enceinte une « grande masse » de liquide et une série de membranes liquides dont les épaisseurs sont
de l’ordre de celle des taches noires de Newton, et supposons que
ces masses liquides soient en équilibre avec la vapeur. Appelons points correspondants, les points des différentes couches capillaires
où la densité a la même valeur; en ces points, la pression their-
Mique N. 6 et la pression hydrostatique Pn ayant la même valeur, il (1) Th. Phil. W°ans., 180:5.
-On (lén1ontre aisément la justesse de
cette interprétation en considérant l’équilibre d’une 1H’lit" 1> liquide
normale il ....a i, Il 1: : l~~o s.
(2) La pression normale, Illf’!I!tIII’I’S
désignée dorénavant par 1 la
surface sera désignée par p, B au Ileu de /) ~
(3) Voir J. de Phys., 1,, série, t. Y. p. 190t~.
J. due Phys., 4e série, t. t~0~.~ 6
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01909008008100
82
s’ensuit que la cohésion S,t a aussi la même valeur. J’ai démontré ( )
la même propriété pour la cohésion St dans une direction parallèle
à la surface des couches capillaires planes à l’aide des relations :
et
dans lesquelles V est le potentiel des forces de cohésion et p la den-
sité au point considéré. On a donc :
Aux points correspondants des différentes couches capillaires
considérées, à température constante, les grandeurs et V ont
la même valeur.
Flc. 1.
Si donc nous considérons la couche capillaire comme un passage (1) Voir Zeitsclt. f. phys. Clrem., É1, p. 1? : t.
p.37:1908.
83
continu entre deux phases homogènes liquides et vapeur;, l’état de chaque phase étant entièrement d fini par p, Pu et il s’ensuit que toutes les couches capillaires considérées d(iivent avoir la même structure.
Nous avons supposé que la vapeur adjacente à la couche capillaire
était saturée afin que p, ait une valeur déterminée. On voit aisé- ment qu’une couche capillaire plane C0111plète ne peut pas être en
équilibre avec la vapeur sursatur(fe, car un tel équilibre exige non
seulement l’égalité. des pressions hydrostatiques des deux phases qui limitent la couche capillaire, mais encore l’égalité de leurs potentiels thermodynamiques; or la fig. 1 6 de la page 21 i du Journal de Physique de 1908) montre que cette dernière con- dition n’est satisfaite que pour les pllases données par les points Il
et K.
Rappelons que cette figure a la signification suivante. Si, pour
chaque couple de points A et C se rapportant à une même valeur du
potentiel thermodynamique et correspondant à une goutte de liquide
entourée de vapeur (points As et Cs, A1 et C7, situés au-dessus de la partie rectiligne HK de l’isotherme), ou à une bulle de vapeur entourée de liquide (points A, et C~, et A2 et C,,
...situés au-des-
sous de HK), on construit la courbe qui représente la pression hydro- statique moyenne p --- ’t i , en fonction de 2 = , le lieu des points
.
B
minima de ces courbes est la partie labile de l’isotherme théorique.
Une couche capillaire plane complète ne peut donc exister que si la vapeur adjacente est saturée.
D’autre part, j’ai démontré, sans introduire de loiiclt*on parlieu-
.tiére la fonction potentielle des toi-ces qu’une
couche capillaire plane incolnplète, adjacente à une vapeur n’ayant
pas la pression ordinaire, ne peut pas être en équilibre me
contenterai de le démontrer ici en faisant usage de
comme potentiel ~T des forces d’attraction. Soit, en effet, une mem-
brane composée de deux couches capillaires planes se touchant le
t XXB’I. p. il: 1908.
84
long de leur plan de densité maxima. Ce plan est un plan de
trie et partage la membrane en deux couches de même structure. En
un point de ce plan, l’intensité du champ des forces d’attraction doit être nulle ; donc 2013 dh o. D’autre "
*part, p avec la fonction potentielle adoptée, l’écart de la loi de Pascal est proportionnel au carré
de l’intensité du champ de force, car nous avons :
d’où
et
Or, à une température déterminée, la pression hydrostatique dans
une direction normale à la surface d’une couche capillaire complète
ou incomplète doit être une constante. On aura donc, pour un point quelconque du plan considéré,
Mais la courbe représentant p 6 en fonction de v - p 1 aurait la même p
forme que pour une couche capillaire sphérique, car en admettant
la possibilité d’une couche capillaire incomplète adjacente à la
vapeur, saturée ou non, on trouverait encore la relation (3) dans laquelle p désigne le potentiel thermodynamique de la vapeur :
Si l’on considère la déduction de cette équation, on voit immédia- tement qu’elle est indépendante de la courbure de la couche capil- laire, pourvu qu’on suppose avec Stefan, Fuchs, Rayleigh et Van der
Waals que la pression thermique 0 est une fonction unique de la den-
sité au point considéré. Si donc une couche capillaire plane adja-
cente à la vapeur pouvait exister, la relation entre p et devrait être p
la même que pour une couche capillaire courbe limitée par la vapeur à la même tension.
(1) J. de Phys., i,, série, t. VII, p. 208 ; HJ02; 1908. (Parerreur j’ai écritd6== -pdv
au lieu de cl6 = -
85
Or, dans le cas que nous avons imaginé, la courbe donnant la
relation entre p se composerait de deux segnlent:) identiques. En
effet, si l’on considère le segment de la tiq. 1 compris entre C4 et le point à gauche dont l’ordonnée est la même que celle de C;,
ce segment sera la moitié de la courbe cherchée pour la membrane considérée. Comme courbe donnant la relation entre p et 1 on obtien-
.
dra pour la membrane la fig. 2, qui donnerait au point P deux valeurs
différentes de ce qui est impossible. Il n’y a donc pas de couches dv
capilla’ires planes inc01nplètes.
FIG.
De toutes les courbes de la fig. 1, HFK étant la seule pour laquelle
les pressions relatives aux phases homogènes ont la même valeur,
elle est l’unique courbe qui puisse donner la relation entre p et p
p pour une couche capillaire plante. Les autres courbes se rapportent
toutes à des courbes capillaires sphériques.
Ordinairement on considère comme épaisseur d’une couche capil-
laire plane la moitié de l’épaisseur d’une membrane qui a son épais-
seur minima. Il résulte des considérations précédentes qu’une telle conception n’est pas admissible, sans quoi la membrane devrait se
composer de deux couches capillaires s’appuyant réciproquement
sur leur plan de densité maxima, auquel cas le potentiel V des forces
d’attraction et les grandeurs qui en dépendent ne pourraient pas avoir la même valeur que pour le point correspondant d’une couche
capillaire qui limiteune « grande masse » de liquide ; or j’ai démon-
tré plus haut que la couche capillaire plane est entièrement détermi-
née à température constante. t
Conséquence : entre les deux couches capillaires qui limitent une membrccne, on doit toujours avoir une certaine quantité d~ liquide homogène. L’épaisseur d’une membrane d’épaisseur minima doit
donc être supérieure au double de l’épaisseur d’une couche capillaire
86
plane. Le rayon de la sphère d’activité étant du même ordre que-
l’épaisseur de la couche capillaire, on pourrait prendre pour épais-
seur de celle-ci environ le tiers de l’épaisseur minima d’une mem-
brane.
§ ‘. Époisseur cle la couche capillaire plane et tension des mem-
b’ranes
-J’ai trouvé antérieurement pour l’épaisseur h d’une
couche capillaire plane la formule ( ~ ) .
dans laquelle oc et sont des constantes et température réduite.
Pour l’éther on a, en pp :
,A la température de - 39°,3 C., 1n - 11 et l’on a h = 3,6 pp.
~
S’il était permis d’appliquer la loi des états correspondants à l’eau
et à l’éther, les épaisseurs de leurs couches capillaires à des tempé-
ratures correspondantes seraient proportionnelles B’ Pk
aurait:
On en déduirait pour l’eau, à t = 46° C., pour laquelle m = 1, 1 h 3, 6 = 2, 4 Q. l’eau ait des molécules associées jusqu’à
h , ;>
== Quoique l’eau ait des molécules associées jusqu"à
230° C. (van Laar), il est vraisemblable que l’ordre de h diffère peu de la valeur 2,4 p.p, laquelle est en parfait accord avec les expériences
de E -S. Jolionnott jun. (2) qui a étudié 221 membranes d’eau de savon à différentes températures. A l’aide de ses tables, j’ai construit la
courbe représentée par la fig. 3.
Johonnott trouve comme valeur minima de l’épaisseur des mem-
branes 6 p.!l.. L’épaisseur de la couche capillaire étant eizviron le tiers de cette valeur, on trouve 2 pp pour l’épaisseur de la couche capil-
laire d’une membrane d’eau de savon aux températures ordinaires,
--
(1) J. série, t. Y, p. 113 : 1906.
(2) Phil. Jlag., 1. p. 501 : ~.899; et dernière série, t. XI, p. 1906-
87
ce qui est parfaitement d’accord avec la valeur 2,4 pp trouvée théo-
riquement.
Johonnott a trouvé de plus que la tel1s’ion de ses étllit pendante de leur Chaque membrane se composant tou,jours
de deux couches capillaires complètes avec unnoyau liquide, la ten-
sion doit être la même jusqu’à son épaisseur minima égale au double
de la constante de Laplace. A une température donnée, ~la tension
de la membrane a donc une valeur déterminée, par conséquent indé- pendante de son épaisseur.
FIG. 3.
Dans un mémoire antérieure), j’ai essayé d’expliquer la naissance des taches noires de 1BTewton dans les membranes très minces par la disparition des phases qui ne peuvent pas être stables entre elles
(partie labile de l’isotherme théorique). Des considérations qui pré-
cèdent il résulte que les couches capillaires sont toujours complètes, puisque l’épaisseur d’une membrane est toujours supérieure au
double d’une couche capillaire. On ne peut donc interpréter les
taches noires autrement que produites par une évaporation locale
accélérée. La tension capillaire au point considéré étant pour un instant plus petite qu’aux alentours de ce point, la phase homogène
diminue et la membrane devient plus mince au point considéré.
La fig. 4 montre les couches capillaires qui limitent une tache noire ronde dont BC est la méridienne. Sur une bande méridienne d’une unité de largeur deux couples agissent. L’un a pour force la
(1) J. de Phys., série, t. HL 1’. 92 1901.
88
constante H de Laplace (1), le bras de levier mn n’étant autre que la profondeur de l’excavation. D’après la théorie de Kelvin, la pres- sion au point convexe u et aux environs doit être plus petite qu’au point Q, et de même la pression au point concave R et aux
environs doit être plus petite qu’au point S ; on aura donc un couple
FIG. 4..
avec la force p,
-~=?R 2013 P8, couple de signe contraire au pré-
cédent. La tache noire sera en équilibre, si les moments des deux couples ont la même valeur.
§3. capillaire des petites gouttes.
--A une goutte sphé-
°
rique de liquide de rayon donné correspond, à température constante,
une pression déterminée de la vapeur qui entoure la gouttelette (Kelvin). De même que, pour une couche capillaire plane, on peut faire voir que la structure de la courbe capillaire sphérique qui
limite la gouttelette est entièrement définie par la pression de la
vapeur environnante. Cependant il serait difficile de démontrer que la goutte doit avoir un noyau liquide (phase homogène). Tandis
que, pour une couche capillaire plane, la masse de la phase homo- gène liquide est toujours indépendante des couches capillaires qui
la limitent, pour une gouttelette sphérique, la masse de la phase homogène dépend évidemment du rayon de courbure de la couche
capillaire qui la limite; on ne peut donc avoir deux gouttelettes
de même rayon et de masses différentes. Toutefois nous pouvons conclure à la nécessité du noyau liquide. En effet, nous avons vu
que dans les couches capillaires planes les phases métastables de l’isotherme théorique ne pouvaient être en équilibre entre elles et qu’il leur faut de chaque côté l’appui d’une phase homogène (le liquide
d’un côté, la vapeur de l’autre). Cette remarque me parait suffire
( t ~ Plus exactement, c1h doit être remplacé
parce qu’ici, p,, étant petit, l’intégiale p,/lit peut être négligée.
1
89
déjà pour conclure que l’équilibre d’une couche capillaire sphérique
doit être constitué de la même manière que pour une couche plane.
Proposons-nous maintenant de calculer le rayon d’une gouttelette qui a son volume înii2imuni, et montrons qu’il est de l’ordre du rayon de la sphère d’activité.
La formule connue de Kelvin :
dans laquelle H est l’écart de la loi de Pascal (’ ), »i et p, les pres- sions respectives dans le noyau liquide et dans la vapeur, donne une
g randeur R intermédiaire entre les rayons des sphères qui limitent
la couche capillaire sphérique. Le rayon de la gouttelette est du
même ordre que R et un peu plus grand. Les pressions 1>1 et pv, pour le cas que nous étudions, sont données (fig. 1) par les ordonnées des
points As et Cs, dont les abscisses sont les inverses des densités du
liquide et de la vapeur.
Comme nous ne cherchons pas la valeur exacte de R, mais son ordre de grandeur, nous pouvons employer l’équation d’état de Van
der Waals. L’égalité du potentiel thermodynamique aux points As
.et C. donne approximativement :
v 1, 1.,’2 sont respectivement les abscisses des points H, A 8, K,
et C, et p, est la pression de la vapeur saturée correspondante. On peut poser v, - v’l , d’où :
En général, les grandeurs qui déterminent l’état de la gouttelette
ne sont pas faciles à calculer. Cela est aisé à la température absolue
T # 11) ’rk-, pour laquelle l’isotherme est tangente à l’axe des volumes.
32
Pour l’éther, on a alors t = 121,5 C. D’autre part, l’équation d’état
de Van der Waals donne pour les trois volumes spécifiques qui cor- respondent à une même pression:
(1) Pour une goutte d.e rayon H n’est autre que la constante capil-
laire de Laplace.
-90
Z-~. étant le volume critique ; r, f et C2 sont les abscisses des points
H et Il l), tandis que v, donne le troisième point d’intersection de l’isotherme avec HK. Pour l’éther, on a en centimètres cubes :
et d’où
D’autre part,
et l’ordonnée du point qui correspond à A, est ici nulle parce que- l’isotherme est tangente à l’axe des volumes. La règle de Maxwell-
Clausius donne approximativement :
d’où l’on déduit :
Pour avoir la valeur de Vmax dans l’équation (4)a, nous appliquons l’équation (5) pour la pression donnée par l’ordonnée du point Cg :
d’où
L’équation (4)1, devient donc :
d’où :
et
L’équation de Kelvin donne ensuite :
Il est l’écart total de la loi de Pascal et serait égal à la constante
de Laplace si la gouttelette avait un rayon mesurable; en tout cas H
est du même ordre que la constante de Laplace. .1
91
En effet, j’ai trouvé pour l’écart total de la loi de Pascal (’ ) :
En établissant cette expression, j’ai considéré, cornme dans la théorie de Laplace, le liquide comme un agent continu dont les par-
ticules n’agissent qu’à des distances très petites. La fonction de force
r la plus simple pour les forces d’attraction est en ce cas : - f e r
r
dont la constante A intervient dans la formule (3. a est le coefficient de l’expression connue qui mesure la cohésion (pression molécu-
laire de Laplace) d’une pliase homogène de densité p ; V, 0 et p,, ont
leur signification habituelle.
Pour une couche capillaire plane, les limites p, et p~ de l’intégrale correspondent aux points H et K de la fi g, i . Pour la couche capil-
laire sphérique, que nous considérons ici, les limites sont données par les points As et C,. L’équation cl9 donne en intégrant : ».
Or, pour la phase correspondant au point A8,
L’équation (9) devient donc :
La pression thermique 6 étant une fonction unique de la densité,
les valeurs de V aux points de même densité de deux couches capil-
laires plane et sphérique ne peuvent pas différer beaucoup : en effet,
V ne dépend que de la densité au point considéré et de la densité p, de la phase homogène, et les densités correspondant aux points As et
H diffèrent peu. Pour les points cor’espondants des deux couches V2
, capillaires, l’expression - 0 -)- y -est est donc à peu près la même. Au
,
(1) J. de 4 série, t. I, p. 112: 1)Û 2 .
92
contraire, en tous les points de la couche sphérique, pn est plus grand que la pression ordinaire de la vapeur saturée. Le trinôme
’2
’
F
-6 --- - 4a sera donc plus grand pour la couche capillaire de cour-
bure maxima que pour la couche capillaire plane, tout en restant
du même ordre de , grandeur qu’elle q pour la te»ipeb"ature T -37 37 T k.
Si nous adoptons pour la pression thermique l’expression de Van der
W 1
, .Waals e =
v - b on peut écrire :
2013 & "
V2 est l’abscisse de Cs pour la couche capillaire sphérique, et celle
de K s’il s’agit de la couche capillaire plane ; le V2 sphérique est
donc moindre que le v plan .
°le facteur P ositif est plus petit
pour la couche capillaire plane que pour la couche sphérique ; l’in-
verse a lieu pour le radical ; il y a donc sensiblement compensation,
et l’on peut dire que Il reste du même ordre de grandeur pour les deux couches capillaires.
-Pour avoir l’ordre de grandeur de R dans l’équation (7), on peut
donc remplacer H par la constante capillaire de Laplace. Pour l’éther, à t C., 1-1 5 1- dynes 7 d’o ù
cm.
centimètres, sensiblement == 5 uu..
Si l’on calcule l’épaisseur de la couche capillaire plane de l’étlier à 12i°,5 C. par ma formule, on trouve :
R ayant une valeur intermédiaire entre les rayons des sphères qui
limitent la couche sphérique considérée, nous voyons que le rayon de la gouttelette est supérieur à ii uil est donc du même ordre de . grandeur que l’épaisseur de la couche capillaire plane.
De la même façon, j’ai calculé pour l’éther, à t == 12i°,5 C., le
93
rayon minimum d’une bulle de vapeur qui se trouve au milieu du liquider 1 et j’ai trouvé :
-c’est encore du même ordre de grandeur que le rayon de la sphère
d’activité.
J’ai également trouvé, à 0° C., pour le rayon minimum d’une
gouttelette d’éiher :
Si l’on appliquait la loi des états correspondants aux valeurs de R de l’eau et de l’éther, comme on l’a fait pour les épaisseurs de leurs
couches capillaires, on aurait :
A ~.00° C. (qui pour l’eau correspond à 0° C. pour l’éther), l’ordre
de grandeur de R, pour une gouttelette d’eau de volume minimum,
sera donc 6 ou 7 Le rayon de la gouttelette étant supérieur à R,
on peut prendre 10 pp com1ne ordre de grandeur du rayo>1 d’une gouttelette d’eau à 0° C.
Au moyen de l’expérience qui sert à calculer le nombre d’ions
qui se forment dans l’air, sous l’influence des rayons de Rôntgen ou
par l’illumination ultra-violette d’un conducteur chargé d’électricité
négative, J.-J. Thomson. trouve pour le volume des gouttelettes
.
