VRAIS ET FAUX VECTEURS
?
DES PIÈGES POUR NOS ÉLÈVES ...
Tous les mécaniciens sont habitués à l'utilisation de représentation par des flèches de grandeurs très variées : résultante et moment d'une action mécanique, vitesse, vitesse angulaire, résultante et moment ciné-tique ou dynamique etc ...
Leur attention n'a cependant pas toujours été attirée sur les conséquences paradoxales de ces repré-sentations.
Qui n'a pas observé chez ses élèves la confusion, une fois ou l'autre entre la résultante d'un torseur cinématique relatif à un solide et la vitesse en un point du solide, alors que cette vitesse est en réalité le moment, au point considéré du torseur cinématique.
Qui n'a pas dérouté quelques élèves en affirmant que, si un ensemble d'actions mécaniques admet une symétrie plane, le torseur résultant à la particularité
Elcmc<1ts de réduction d:unc action mécllnique dans Je plon .P.
t
Ré<ulunto M~~ment
Elements de réduction associés à un mouvement dans le plan P.
sont dans le plan.
d'avoir sa résultante générale dans le plan de symétrie et son moment résultant, en un point du plan de symétrie, perpendi-culaire à ce plan. Alors que si l'on envi-sage un solide en mouvement cinéma-tique plan, c'est la résultante cinéma-tique (vitesse angu-laire) qui est perpen-diculaire au plan, et les moments (en tout point de l'espace) qui On parle, dans l'un· et l'autre cas d'un problème plan (mécanique ou cinématique) et les conséquences sur les propriétés des torseurs associés sont très diffé-rentes.
par Jean
MOUIS
Grandeurs polaires,
grandeurs axiales axiales
Les exemples ci-dessus révèlent en fait qu'on utilise des flèches, auxquelles on associe un modèle mathématique: le vecteur<!), pour représenter des gran-deurs de natures fondamentalement différentes : les grandeurs polaires et les grandeurs axiales.
Ce sont les grandeurs polaires dont la représenta-tion par une flèche est le plus naturel : on appelle en effet grandeur polaire une gran-Grandeur polaire deur caractérisée par la
di-rection d'une droite, un sens §!!! cette droite et une me-sure, ou un module, ou une intensité. Une telle gran-deur peut donc être représentée par une flèche de même direction et de même sens et dont la longueur est proportionnelle à la mesure de la grandeur représentée. Cette flèche est aussi représentative d'un vecteur, ainsi associé à la grandeur représentée.
Les grandeurs axiales sont, quant à elles, caractéri-sées par la direction d'une droite (leur "axe"), une orien-tation autour de cet axe et une mesure. Leur représentation Grandeur axiale par une flèche n'est donc pas naturelle : la flèche
représenta-(JJ On appelle vecteur, dans cet article, sans plus de
préci-sion, un élément de l'espace vectoriel associé à l'espace af-fine de la physique ou de la géométn'e élémentaire. Ce sont
les vecteurs standard que nos élèves sont habitués à manipu-ler.
aptep-info N°69 - octobre 1996
tive sera portée par l'axe mais son orientation fait appel nécessairement à une convention. Ce peut-être la règle du tire-bouchon standard (éviter les magasins de farces et attrapes !), ou des trois doigts de la main droite (gauchers, attention!), ou du Bonhomme d'Ampère ( qui valse toujours à gauche), selon les goûts, conven-tions qui donnent, heureusement, le même résultat.
C'est à cette flèche, d'orientation convention-nelle, qu'est associé le vecteur qui modélise la gran-deur.
Ainsi, alors que le sens de la flèche qui repré-sente une grandeur polaire est indépendante de toute convention, celle qui représente une grandeur axiale dépend d'une convention (du tire-bouchon, des trois doigts ou du Bonhomme d'Ampère).
On dira que l'orientation de la flèche qui représente une grandeur axiale, et donc le sens du vecteur associé à cette grandeur, dépendent de la convention d'orientation de l'espace.
EHet d'une symétrie par rapport
à
un plan.
Dans la symétrie par rapport à un plan, on constate qu'une flèche du plan de symétrie est conser-vée, alors qu'une flèche perpendiculaire au plan de symétrie est transformée en une flèche de même direc-tion et de même longueur, mais de sens contraire.
De la même façon, une grandeur polaire du
Tr sformation par symétrie es flêches et des grandeurs polaires
plan de symétrie est conservée, alors qu'une gran-deur polaire perpendiculaire au plan de symétrie est transformée en son opposé.
Plus généralement, une grandeur polaire de
di-rection quelconque se transforme comme le vecteur qui la modélise : si on décompose le vecteur, ou la gran-deur polaire en une composante dans le plan de symé-trie et une composante perpendiculaire au plan de symétrie, la première est· conservée et la deuxième est remplacée par son opposé. Il en résulte que les seules grandeurs polaires conservées par une symétrie par rapport à un plan sont celles qui appartiennent à ce plan.
Les grandeurs axiales ne se transforment pas de la même façon. Si l'on prend l'exemple de la vitesse angulaire d'un solide en rota-tion d'axe fixe, on observe que si l'axe appar-tient au plan de symétrie, la ro-tation qui lui est symétrique par
T formation par symétrie rapport au plan
es grandeurs axiales est la rotation de sens inverse
(autour du
même axe) et qu'au contraire, la rotation symétrique d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan de symétrie est la rotation de même sens.
La symétrie , par rapport à ,un plan de l'un des deux demi-espaces limités par ce plan est en effet l'autre demi-espace limité par ce même plan. Mais la symétrie a pour effet de changer l'orientation de l'es-pace. L'image de l'espace donnée par un miroir plan, de la même façon, est orientée en sens inverse de l'espace "réel" : l'image d'un tire-bouchon à droite y est un tire-bouchon à gauche, l'image d'un homme qui lève les trois doigts de sa main droite y est un homme qui lève les trois doigts de sa main gauche et l'image du Bon-homme d'Ampère qui valse, comme il se doit à gauche
y est un Bonhomme d'Ampère qui valse à droite ... Du moins est-ce ainsi que l'observateur, placé dans l'espace "réel" décrit les choses, dans l'espace qui lui est propre, et avec les notions de droite et de gauche qui lui sont propres.
Cet observateur, qui a notre langage et notre convention de la droite et de la gauche, représente alors par la même flèche deux rotations symétriques par rapport au plan si elles ont le même axe perpendicu-laire au plan et par des flèches opposées deux rotations symétriques par rapport au plan s'effect)lant autour du même axe du plan de symétrie.
Si l'on conserve la même orientation de
l'es-aptep-info N°69- octobre 1996
ésentation fléchée de andeurs axiales symétriques par un même observateur
pace, les vecteurs associés à des grandeurs axiales d'axe perpendiculaire au plan de symétrie sont conservées dans la symétrie par rapport au plan et les vecteurs associés aux grandeurs axiales dont la direction de l'axe est dans le plan de symétrie sont inversés.
Dans les mêmes conditions, et plus générale-ment, une grandeur axiale, à laquelle une orientation de l'espace associe un vecteur, est transformée par symétrie en une autre grandeur axiale, à la quelle la même orientation de l'espace associe un vecteur ayant même projection sur la perpendiculai!e au plan de symétrie et une projection opposée dahs le plan de symétrie.
Il en résulte que les seules grandeurs axiales qui soient conservées dans la symétrie par rapport à
un plan sont celles dont l'axe est perpendiculaire au plan de symétrie.
Une lorme de relalivité
Si deux espaces symétriques par rapport à un plan sont munis chacun d'un observateur, les deux observateurs étant eux-mêmes symétriques par rapport au plan, ces deux observateurs doivent donner tous deux des événements symétriques qui se déroulent dans leur propre demi-espace, la même description puisqu'il n'y en a pas un qui soit plus "absolu " que l'autre.
Mais il faut se souvenir que ces deux observa-teurs vont orienter chacun son demi-espace à sa façon, ces deux façons étant symétriques, étant entendu que leurs cerveaux sont symétriques, de même que leurs tire-bouchons ou leurs "mains droites" (si bien que chacun prétend que l'autre lève la main gauche quand on lui demande de lever la main droite !).
Alors, si l'on considère deux rotations de même sens, d'axes perpendiculaires au plan de symétrie, ef-fectuées dans chacun des deux demi-espaces, les deux observateurs, qui voient le même sens de rotation, vont le représenter par deux flèches opposées (puisque leurs conventions d'orientation sont opposées)
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ésentations fléchées de deurs axiales symétriques par deux observateurs "symétriques"
Et si l'on considère deux rotations symétriques, autour d'une même direction du plan de symétrie, rotations de sens opposées, les deux observateurs vont en donner la représentation par la même flèche.
Ainsi, les deux représentations, faites chacune avec la convention du sous espace qui lui est propre obéiront aux mêmes règles de symétrie que les vecteurs polaires, et les relations qui s'établiront de part et d'autres entre grandeurs obéiront aux mêmes lois que les grandeurs soient polaires ou axiales.
Un oulil menant en relation grandeurs
polaires et grandeurs axiales :
le produit vectoriel.
Les lois physiques ou mécaniques ne peuvent évidemment établir d'égalité qu'entre grandeurs de même nature (polaire ou axiale) puisque les vecteurs associées aux unes ne se transforment pas de la même façon que les autres par symétrie.
Le produit vectoriel fournit un moyen d'établir des relations entre grandeurs polaires et grandeurs axiales.
Le produit vectoriel permet d'associer à un couple ordonné de vecteurs, un troisième vecteur, porté par un axe perpendiculaire au plan des deux premiers et dont l'orientation sur cet axe est défini à partir de la même convention que celle qui permet de représenter une grandeur axiale par une flèche.
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Ainsi, le produit vectoriel des vecteurs associés à deux grandeurs polaires change de sens avec le change-ment d'orientation de l'espace : c'est une grandeur axiale. Le produit vectoriel d'une grandeur polaire et d'une grandeur axiale change deux fois de sens avec le changement d'orientation de l'espace, et par conséquent reprend le même sens : c'est une grandeur polaire.
Le produit vectoriel de deux grandeurs axiales change trois fois de sens - ce qui revient à changer de sens, une fois - avec le changement d'orientation de l'espace : c'est une grandeur axiale.
On retrouve ainsi la nature axiale d'un moment d'action mécanique (homogène au produit vectoriel OMAF) ou la nature polaire du moment cinématique (vitesse en un point - homogène au produit vectoriel OAOM).
On vérifie également qu'il existe deux familles de torseurs, qu'on pourrait peut-être appeler torseurs po-laires (résultante polaire, moment axial) et torseurs axiaux (résultante axiale et moment polaire).
On doit évidemment pouvoir vérifier, chaque fois qu'on écrit une égalité entre deux torseurs qu'ils appar-tiennent à la même catégorie.
Conséquences praUques_,
Je ne pense pas qu'il soit nécessaire d'infliger à nos élèves les considérations théoriques qui ont été exposées ici. On risquerait d'y perdre peut-être beaucoup de temps pour un profit limité.
En revanche, je pense qu'il est indispensable que le professeur aient bien assimilé cette distinction entre grandeurs axiales et grandeurs polaires, et ses consé-quences. Il pourra alors lever les obstacles que les confusions données en exemple, au début de cet article, peuvent installer dans la tête des élèves. Et déjà, sensibi-lisé à ces difficultés, il diagnostiquera peut-être plus vite ces confusions et leur origine.
JeanMOUIS
Pourquoi ce titre ? Les grandeurs dont il est question dans cet article sont toutes des grandeurs vectorielles, qu'il s'agisse de grandeurs axiales ou de grandeurs polaires et les vecteurs qui leur sont associés de vrais vecteurs. Certains auteurs appellent cependant "pseudo-vecteurs les "pseudo-vecteurs associés aux grandeurs axiales. Ce n'est pas cependant la nature des grandeurs qui est en cause, mais leur repré-sentation. De même, le produit vectoriel, également appelé produit extérieur, n'appartient pas au même espace vectoriel que les vecteurs qui le composent. C'est l'application qui lui fait correspondre un vecteur de l'espace d'origine qui fait appel à la convention d'orienta-tion. Quant au sous-titre, je pense qu'il se passe d'explication, pour qui pratique l'enseignement de la mécanique! ...
J.M
La Villette,
Cité des Sciences
et de
l'Industrie
nous tient informé de ses activités
TECHNOCITÉ :Outil pédagogique à destination des classes de la 6ème
à la 3ème, Technocité apporte des clés pour com-prendre les systèmes techniques fondamentaux et pour appréhender les différentes phases d'un projet industriel.
Dans le cadre d'une séance d' 1 h 30, le groupe scot-laire accède à l'un des thèmes réservés :
- "Des mécanismes en mouvements", -"Concevoir un logiciel",
- "Mise au point d'un prototype", - "Techniques de fabrication", - "Capteurs et automatismes". AUTOMOBILE
Ouverture le 7 novembre 1996
Cette nouvelle exposition permanente vous conduira de la conception-production de l'automobile aux no-tions de sécurité et d'environnement
LES INGÉNIEURS DU CIEL 13 décembre 1996 - fm juin 1997
A travers un parcours spectaculaire et poétique, cette exposition sensibilise le visiteur aux activités d'études et de recherches sur les objets volants menées par l'ONERA (Office National d'Etudes et de Recherches Aérospatiales).
