Développement de cavités Fabry-Perot ultra-stables pour références de fréquence optique de nouvelle génération

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pour références de fréquence optique de nouvelle

génération

Alexandre Didier

To cite this version:

Alexandre Didier. Développement de cavités Fabry-Perot ultra-stables pour références de fréquence optique de nouvelle génération. Optique [physics.optics]. Université de Franche-Comté, 2016. Français. �NNT : 2016BESA2016�. �tel-01461475�

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

n

D ´eveloppement de cavit ´es

Fabry-Perot ultra-stables pour

r ´ef ´erences de fr ´equence optique de

nouvelle g ´en ´eration

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

TH `

ESE pr ´esent ´ee par

A

LEXANDRE

DIDIER

pour obtenir le

Grade de Docteur de

l’Universit ´e de Franche-Comt ´e

Sp ´ecialit ´e :Sciences pour l’ing ´enieur

D ´eveloppement de cavit ´es Fabry-Perot ultra-stables

pour r ´ef ´erences de fr ´equence optique de nouvelle

g ´en ´eration

Unit ´e de Recherche :

Institut Femto-st / D ´epartement Temps-Fr ´equence

Soutenue publiquement le 06/06/2016 devant le Jury compos ´e de : ANNEAMY-KLEIN Rapportrice Professeur des Universit ´es

MARTINA KNOOP Rapportrice Charg ´ee de recherche CNRS NOEL¨ DIMARCQ Examinateur Directeur de recherche CNRS YANN LECOQ Examinateur Ing ´enieur de recherche CNRS J ´EROMEˆ DELPORTE Examinateur Ing ´enieur CNES

YANN KERSALE´ Directeur de th `ese Professeur ENSMM

JACQUES MILLO Membre invit ´e Ing ´enieur de recherche ENSMM

Je souhaite remercier ici l’ensemble des personnes qui ont contribu ´e d’une mani `ere ou d’une autre `a ces travaux de th `ese.

En premier lieu, merci aux membres du jury, qui ont pris le temps de lire ce document, et qui m’ ´ecouteront lors de ma soutenance de th `ese.

Je me dois ´egalement de remercier mon directeur de th `ese Yann, toujours disponible, qui m’a guid ´e et instruit depuis le d ´ebut de ma th `ese. Ses connaissances dans le domaine de la m ´etrologie des fr ´equences et ses capacit ´es de direction m’ont offert un environnement de th `ese id ´eal o `u j’ai pu m’ ´epanouir pleinement. Je me souviens encore d’une phrase qu’il avait prononc ´ee, alors que j’ ´etais encore l’un de ses ´etudiants :faites un boulot qui

vous donne envie de vous lever le matin. Cette phrase m’est rest ´ee et c’est une des

raisons principales pour lesquelles je me dirige vers la recherche. Je garderai aussi un souvenir ´emu de mon premier barbecue au d ´epartement, et ma t ˆete conservera, elle, une belle bosse `a cause de sa rencontre malencontreuse avec le fond du jacuzzi.

Merci `a Jacques, que je consid `ere comme un directeur de th `ese-bis, de m’avoir accom-pagn ´e dans toutes les exp ´eriences associ ´ees `a cette th `ese. Cet expert des lasers ultra-stables a stimul ´e l’ensemble des projets li ´es `a la m ´etrologie des fr ´equences du labora-toire. Encore f ´elicitations pour ton poste, c’est m ´erit ´e ! J’esp `ere avoir encore l’occasion dans le futur d’ ˆetre ton compagnon de cord ´ee, ou d’ ˆetre encore une fois ler ˆaleur des

vestiairesau foot le mardi midi. D’ailleurs, ton talent au foot n’a d’ ´egale que ta capacit ´e

`a terminer tes phrases. En attendant, t’oublieras pas hein !

Et je ne pourrais ´ecrire ces remerciements sans mentionner Cl ´ement, ´egalement pour moi un directeur de th `ese-ter, dont les connaissances ´etendues en optique ont ´et ´e un socle indispensable `a ces travaux. Sa bonne humeur journali `ere et son analyse sur les exp ´eriences r ´ealis ´ees, `a r ´ealiser, ou comment les pr ´esenter `a l’oral ou `a l’ ´ecrit, m’ont accompagn ´e depuis le d ´ebut de ma th `ese. Merci `a toi, et bon courage pour la r ´ealisation de ton horloge optique compacte.

Merci `a Enrico, toujours disponible pour r ´epondre `a une question. Il nous a notamment bien d ´epann ´es dans la compr ´ehension de plusieurs effets observ ´es durant ces travaux de th `ese. Je reste impressionn ´e par l’ ´etendue de ses connaissances, qui vont du transistor au bruit de phase, en passant par la radio amateur ! En particulier, c’est lui qui est `a l’origine du projet de cavit ´e ultra-compacte, objet du chapitre 2 de cette th `ese.

Merci `a Rodolphe,Bonnnssssoouuuuaaaarrrrr, qui m’a bien fait rigoler presque tous

les jours. D ´etenteur du cahier des citations caf ´e, passant `a la post ´erit ´e la plupart de mes divagations (Ce n’est pas dehors parce qu’il n’y a pas d’herbe, ou encore :les gens

qui font le plus d’erreurs sont finalement ceux qui ont le plus d’exp ´erience). Il m’a

notam-ment bien d ´epann ´e au d ´ebut de nos manips, lorsque les commandes tardaient `a arriver, et plus g ´en ´eralement pour essayer de comprendre lesbugsdans nos exp ´eriences.

Je remercie ´egalement Eric, Mouss, et Ma ¨el, mes coll `egues de bureau, avec qui j’ai pu

discuter de sciences et de rien, mais toujours en rigolant. Je vous souhaite le meilleur pour la poursuite de vos th `eses, post-doc, etc.

Merci `a Benny, et ´egalement `a Serge (qui est d ´esormais en Suisse), pour leur aide avec beaucoup d’ ´electronique et d’appareils essentiels aux projets de ma th `ese. C’est aussi leur compagnie et leur bonne humeur `a la pause caf ´e que je retiendrai.

Merci `a Pyb pour son aide essentielle dans la r ´ealisation des programmes en C qui m’ont permis de monitorer des signaux pendant des semaines sans faire planter (ou presque) l’ordinateur de manip un peu `a la peine.

Je remercie aussi les autres th ´esards de l’ ´equipe, notamment Christophe, qui en connaˆıt un rayon sur les cryo CSO. Il ´etait toujours l `a pour donner un coup de main, surtout sur la partie cryog ´enie de la cavit ´e en silicium. Sinon, de bonnes discussionsbien classes,

c¸a va me manquer !

Je souhaite ´egalement remercier Cyrus, membre du service commun ´electronique, qui a r ´ealis ´e l’ ´electronique de commande de la diode RIO, et le contr ˆole de temp ´erature (utilis ´es dans le chapitre 2). De m ˆeme, merci `a Jean-Louis, dont la proximit ´e et la

m ´ecanique `a l’ancienneont ´et ´e appr ´eciables durant cette th `ese. Merci aussi `a Yannick

pour ses mesures, notamment le bruit de phase des amplificateurs micro-ondes.

Merci `a Ly `es, autre th ´esard du d ´epartement, pour ta bonne humeur, la sortie alpi en Suisse et tes dribbles au foot. Bon courage pour la suite. Merci aussi `a tous les autres th ´esards, et ceux que je connais au d ´epartement d’optique, avec qui j’ai pu particip ´e aux

24h du tempsou `a la grandebattle femto.

Merci `a Baptiste, nouveau th ´esard qui s’attachera d ´esormais `a poursuivre le projet sur la cavit ´e cryog ´enique en silicium. On a d ´ej `a r ´eussi `a refroidir, c¸a ne peut que marcher ! Merci `a Jean-Michel pour ses s ´eminaires pleins `a craquer, et plus g ´en ´eralement tous les membres du d ´epartement, j’oublie s ˆurement du monde.

Enfin, merci aux potos Thomas, Robin, Adrien, c¸a fait du bien de vous avoir. Un petit coup decarabine canardavec destek moutardle week-end, il n’y a rien de mieux pour

repartir du bon pied pour une nouvelle semaine de 72h :D !

Merci `a Aur ´elien, mon pote de toujours, je te connais depuis presque 28 ans d ´esormais, c¸a fait plaisir ! Encore f ´elicitations pour Soren !

Enfin, je remercie mes parents, dont l’aide m’a ´et ´e essentielle durant ma th `ese, et plus largement depuis que je suis n ´e. Ils ont toujours donn ´e tout ce dont ils disposaient pour nous pousser, mes fr `eres et moi, `a faire ce que nous voulions vraiment, ou les ´etudes qu’eux n’avaient pas faites. Trois fils ing ´enieurs, je crois que c’est bien la preuve de votre soutien. Merci pour le logement, les petits plats, l’aide avec la voiture, et tout le reste, tout c¸a m’a bien soulag ´e durant les grosses semaines, et il y en a eu. Merci aussi papa pour la relecture et les corrections.

J’ai une pens ´ee pour mes grands-parents, et plus particuli `erement pour mon grand-p `ere paternel. J’imagine la discussion que j’aurais avec lui s’il assistait `a ma soutenance, lui ce grand passionn ´e de thermique, physique, avec toujours la bonne question, et souvent la r ´eponse qui va bien.

Plus largement, merci `a la famille, c’est toujours bon de se retrouver tous ensembles. On finit toujours par le meilleur, alors merci Nadine ! Mir sin syt drei Johr zamme, und ich hoff mir k ¨onnt no lang zamme bliebe. S war worschinlich di Helle f ¨ur di wen i zu dir gang

bi und het nur welle schaffe. Jetzt wirds chli besser si wenn mir zamme wohne.

Merci Heinz, Christine, Simi, Tomy, Mariana, Elina, Laila, ¨Ami, Paul und Rose-Marie, Harry und die ganze Familie. S isch so angenehm gseh, sich am Wuchenend z ents-pannen. Dank euch sinn mini Wuchenend in dr Schwiiz sehr guet gseh.

Pour finir, merci `a tous ceux qui auront le courage de continuer la lecture de ce document, et qui y trouveront quelque chose qui leur servira.

Introduction . . . 1

1 Contexte des lasers ultra-stables 3 1.1 La m ´etrologie des fr ´equences et ses applications . . . 3

1.2 Laser stabilis ´e en fr ´equence : principes de fonctionnement . . . 5

1.2.1 Cavit ´e Fabry-Perot . . . 6

1.2.2 Asservissement en fr ´equence du laser . . . 9

1.3 Limites des lasers ultra-stables . . . 11

1.3.1 Vide et fluctuations d’indice de r ´efraction optique . . . 11

1.3.2 Expansion thermique des mat ´eriaux . . . 12

1.3.3 Sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique . . . 13

1.3.4 Bruit thermique . . . 16

1.3.5 Bruit ´electronique tol ´er ´e . . . 21

1.3.6 Modulation d’amplitude r ´esiduelle (RAM) dans les modulateurs ´electro-optiques . . . 22

1.4 Objectifs de la th `ese . . . 24

2 Conception des cavit ´es stables et application `a une cavit ´e ultra-compacte 25 2.1 Conception de la cavit ´e ultra-stable . . . 26

2.1.1 Longueur de la cavit ´e . . . 26

2.1.2 Miroirs de la cavit ´e . . . 27

2.1.2.1 Choix du rayon de courbure des miroirs . . . 28

2.1.2.2 Type de traitement . . . 31

2.1.3 G ´eom ´etrie de la cale d’espacement . . . 35

2.1.3.1 D ´eformations de la cavit ´e . . . 36

2.1.3.2 M ´ethode de simulation par ´el ´ements finis . . . 39

2.1.3.3 R ´esultats de simulation . . . 43

2.1.3.4 Optimisation de la g ´eom ´etrie . . . 46

2.1.4 Temp ´erature d’inversion . . . 49

2.1.5 Comparaison avec des g ´eom ´etries classiques . . . 53 ix

2.1.6 Sensibilit ´e au placement des doigts de maintien . . . 55

2.2 Enceinte `a vide . . . 58

2.2.1 Maintien m ´ecanique de la cavit ´e . . . 59

2.2.2 Conception thermique . . . 61

2.3 Montage exp ´erimental . . . 71

2.4 R ´esultats exp ´erimentaux . . . 73

2.4.1 Couplage du laser dans la cavit ´e . . . 73

2.4.2 Banc de mesure des coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique . . 74

2.5 Perspectives . . . 76

3 G ´en ´eration de signaux micro-ondes `a tr `es haute puret ´e spectrale depuis l’optique 77 3.1 Principes - Transfert de stabilit ´e de l’optique vers les micro-ondes . . . 78

3.1.1 Principes du laser femtoseconde . . . 78

3.1.2 Stabilisation du peigne de fr ´equence . . . 79

3.2 Laser ultra-stable . . . 83

3.2.1 Description du syst `eme . . . 83

3.2.2 Finesse de la cavit ´e . . . 87

3.2.3 Temp ´erature d’inversion . . . 88

3.2.4 Isolation thermique du syst `eme . . . 89

3.3 Lien compens ´e pour le transfert du signal ultra-stable optique . . . 92

3.4 Asservissement du peigne de fr ´equence sur la cavit ´e ultra-stable . . . 93

3.5 G ´en ´eration de micro-ondes . . . 96

3.6 Perspectives . . . 103

4 Cavit ´e cryog ´enique en silicium 105 4.1 Conception de la cavit ´e . . . 107

4.1.1 Anisotropie du silicium mono-cristallin . . . 107

4.1.2 G ´eom ´etrie de la cavit ´e . . . 108

4.1.3 Optimisation des dimensions de la cavit ´e . . . 109

4.1.4 Sensibilit ´e au placement du maintien . . . 112

4.1.4.1 Sensibilit ´e au placement longitudinal . . . 112

4.1.4.2 Sensibilit ´e au placement angulaire . . . 113

4.1.5 Usinage de la cavit ´e . . . 114

4.1.6 Miroirs de la cavit ´e . . . 117

4.2.1 Support de la cavit ´e . . . 124

4.2.2 Positionnement de la cavit ´e . . . 126

4.3 Modulation d’amplitude r ´esiduelle (RAM) . . . 128

4.3.1 Origine de la RAM . . . 128

4.3.2 Effets sur l’asservissement de fr ´equence . . . 132

4.3.3 Banc de test des modulateurs ´electro-optiques . . . 134

4.3.4 Variation de la RAM avec la temp ´erature . . . 135

4.3.5 R ´eduction de la modulation d’amplitude r ´esiduelle . . . 138

4.4 Perspectives . . . 139

Conclusions et perspectives . . . 141

A Ultra-low phase noise all-optical microwave generation setup based on com-mercial devices. 147 B Design of an ultra-compact reference ULE cavity. 153 Bibliographie . . . 161

Disposer d’un signal p ´eriodique stable est devenu `a l’heure actuelle un pr ´e-requis pour qui souhaite utiliser les outils technologiques du monde moderne. Ce type de signal est g ´en ´er ´e par un oscillateur, dont la fr ´equence est asservie sur celle d’un r ´esonateur. On peut alors utiliser cette stabilit ´e pour synchroniser des appareils entre eux, dans les t ´el ´ecommunications, ou rep ´erer des objets lointains, dans les radars. Dans le cas de stabilit ´es extr ˆemes, il est possible d’observer les variations infimes de constantes fon-damentales ou de quantit ´es affectant la fr ´equence de l’oscillateur. Des applications en physique fondamentale, notamment pour tester l’invariance de Lorentz, peuvent alors

ˆetre r ´ealis ´ees.

Ces r ´esonateurs souffrent n ´eanmoins de pertes d’ ´energie. Pour se le repr ´esenter, on peut prendre l’exemple d’un pendule oscillant `a une fr ´equence qui semble constante. En r ´ealit ´e, les frottements m ´ecaniques avec l’air font diminuer l’amplitude des oscillations et conduisent `a l’arr ˆet du syst `eme. Les oscillateurs performants sont ainsi r ´ealis ´es `a partir d’ ´el ´ements oscillants disposant de faibles pertes d’ ´energie. Pour s’assurer de ces faibles pertes, on tire notamment profit de ph ´enom `enes de r ´esonance, apparaissant `a l’int ´erieur des r ´esonateurs. On peut citer l’exemple d’un quartz excit ´e par un champ ´electrique `a une fr ´equence donn ´ee. A la fr ´equence de r ´esonance d’un mode du quartz, la r ´eponse m ´ecanique de ce dernier est bien sup ´erieure `a celle obtenue aux fr ´equences plus loin-taines. Les pertes y sont finalement plus faibles, et on optimise les oscillations produites par le r ´esonateur. Ces faibles pertes sont repr ´esent ´ees par le facteur de qualit ´e, `a la fr ´equence consid ´er ´ee. Dans les oscillateurs saphir cryog ´eniques, ce facteur de qualit ´e avoisine le milliard. A titre de comparaison, le facteur de qualit ´e d’un simple oscillateur

´electrique (circuit RLC par exemple) est de l’ordre de 10.

Les hauts facteurs de qualit ´e des r ´esonateurs peuvent ˆetre mis `a profit pour am ´eliorer la stabilit ´e relative de fr ´equence de l’oscillateur. Cependant, les perturbations apport ´ees par l’environnement font varier la fr ´equence des r ´esonateurs. On peut citer le cas des montres automatiques, dans lesquelles un balancier est support ´e par un assemblage m ´ecanique. Ses mat ´eriaux constitutifs se d ´eforment avec la temp ´erature et modifient la fr ´equence d’oscillation du balancier. Pour compenser ces d ´eformations, des mat ´eriaux `a faible coefficient de dilatation thermique (invar) sont sp ´ecialement choisis pour les parties les plus critiques, et la structure de maintien est optimis ´ee pour r ´eduire ces d ´eformations sur la plage de temp ´erature d’utilisation habituelle. Certains oscillateurs `a quartz sont m ˆeme contr ˆol ´es en temp ´erature (OCXO) pour que leur fr ´equence reste la plus stable possible au cours du temps. La r ´ealisation d’un oscillateur est ainsi fortement centr ´ee sur le contr ˆole de son environnement et la diminution de la sensibilit ´e des r ´esonateurs aux perturbations ext ´erieures.

Ces deux probl ´ematiques r ´esument la difficult ´e associ ´ee `a la r ´ealisation d’oscilla-teurs performants, dont la stabilit ´e relative de fr ´equence peut toujours ˆetre am ´elior ´ee. D ´esormais, il est possible de cr ´eer des oscillateurs optiques. La fr ´equence des oscilla-tions est alors obtenue `a partir d’un laser, asservi sur une r ´ef ´erence optique. Les travaux

pr ´esent ´es dans ce document s’inscrivent dans cette derni `ere cat ´egorie, et apportent leur contribution `a un domaine relativement nouveau de la m ´etrologie des fr ´equences, celui des r ´ef ´erences de fr ´equence optiques, aussi appel ´ees : lasers ultra-stables.

Le chapitre 1 d ´ecrit le contexte dans lequel s’inscrivent ces travaux de th `ese. Le principe de fonctionnement d’un laser ultra-stable y est pr ´esent ´e. Celui-ci est obtenu en asser-vissant sa fr ´equence sur celle d’une cavit ´e Fabry-Perot de haute finesse. Les limites de stabilit ´e relative de fr ´equence de la cavit ´e d ´efinissent les performances atteignables avec un laser ultra-stable. On retiendra que ces cavit ´es sont des ´etalons de longueur, dont le bruit de longueur est ´egal au bruit de fr ´equence. Les performances ultimes sont alors d ´etermin ´ees par le bruit thermique de la cavit ´e. Une principale source de bruit r ´eside dans les acc ´el ´erations subies par la cavit ´e, qui en d ´egradent la stabilit ´e relative de longueur. La r ´eduction de ces deux pr ´ec ´edentes sources de bruit ont accompagn ´e la majorit ´e des d ´eveloppements majeurs dans le domaine des r ´ef ´erences de fr ´equences optiques. Enfin, les objectifs de cette th `ese y seront d ´etaill ´es.

Le chapitre 2 pr ´esente la conception d’une cavit ´e Fabry-Perot compacte. Celle-ci sera int ´egr ´ee dans un laser ultra-stable compacte et transportable. On d ´etaillera les choix technologiques associ ´es aux miroirs de cette cavit ´e et le d ´eveloppement d’une nouvelle g ´eom ´etrie de cavit ´e, dont la sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique simul ´ee est tr `es faible. Les simu-lations m ´ecaniques et thermiques par ´el ´ements finis, ayant conduit `a la r ´ealisation de la cavit ´e, y seront pr ´esent ´ees. Une enceinte `a vide de faible encombrement sera pr ´esent ´ee dans ce chapitre, et accueillera la cavit ´e. Le montage exp ´erimental actuel sera ´egalement

´evoqu ´e.

Le chapitre 3 sera consacr ´e `a la g ´en ´eration de signaux micro-ondes `a haute puret ´e spectrale depuis l’optique. Le signal optique est g ´en ´er ´e par un laser ultra-stable dont le d ´eveloppement sera pr ´esent ´e. Celui-ci est notamment compos ´e d’un laser continu `a 1, 5 µm dont la fr ´equence est asservie sur une cavit ´e sph ´erique. La g ´en ´eration du signal micro-onde `a partir du signal optique sera d ´etaill ´ee. Notamment, un laser femtoseconde sera asservi en phase sur un laser ultra-stable, et un signal micro-onde sera obtenu `a partir de la d ´etection du peigne de fr ´equence. Le bruit de phase de ce signal a ´et ´e me-sur ´e par rapport `a celui d’un oscillateur saphir cryog ´enique. Il sera ´egalement pr ´esent ´e dans ce chapitre.

Enfin, le chapitre 4 d ´etaille la conception d’une cavit ´e en silicium cryog ´enique. Le but est ici d’atteindre la meilleure stabilit ´e relative de fr ´equence possible pour les lasers ultra-stables. La cavit ´e sera ainsi refroidie `a une temp ´erature de 17 K, o `u son coefficient d’ex-pansion thermique s’annule au premier ordre. Les simulations m ´ecaniques associ ´ees `a la sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique de la cavit ´e seront pr ´esent ´ees dans ce chapitre. En outre, un cryog ´en ´erateur `a faibles vibrations sera utilis ´e, et la conception de la chambre exp ´erimentale qui le compose sera d ´ecrite. La fin du chapitre sera consacr ´ee `a la modu-lation d’amplitude r ´esiduelle g ´en ´er ´ee par le modulateur ´electro-optique utilis ´e dans l’as-servissement de fr ´equence. Nous verrons notamment qu’il s’agit d’une limite importante pour l’atteinte d’une stabilit ´e relative de fr ´equence dans la gamme des 10−17_.

C

ONTEXTE DES LASERS

ULTRA

-

STABLES

1.1/

L

´

´

La m ´etrologie des fr ´equences consiste en la r ´ealisation et la caract ´erisation d’ ´etalons pri-maires (horloges atomiques bas ´ees sur l’atome de c ´esium) et secondaires de fr ´equence (horloges et oscillateurs).

Les principales applications des horloges atomiques se trouvent dans la navigation (GPS), la d ´efinition du temps l ´egal national (d ´efini `a partir de l’ ´echelle de temps UTC(OP) construite `a l’observatoire de Paris) et international (TAI), en physique fondamentale [1, 2] et r ´ecemment en g ´eod ´esie. Pour les r ´ef ´erences de fr ´equence secondaires, les ap-plications r ´esident dans le domaine des radars [3], t ´el ´ecom, la spectroscopie haute r ´esolution [4, 5], l’interf ´erom ´etrie `a tr `es longue base (VLBI) [6, 7, 8], ou encore le suivi des sondes spatiales par l’interm ´ediaire du r ´eseau de communication avec l’espace lointain. Une horloge atomique est compos ´ee d’un oscillateur local, de fr ´equence νosc, et d’un r ´esonateur atomique dont la fr ´equence ν0est universelle [9]. Celui-ci peut ˆetre compos ´e d’ions ou d’atomes. L’oscillateur local sonde le r ´esonateur atomique `a la fr ´equence de transition entre deux niveaux d’ ´energie des ions ou atomes (voir figure 1.1).

Lors de l’interrogation de la transition d’horloge, les fr ´equences νoscet ν0 ´etant l ´eg `erement diff ´erentes, on peut acqu ´erir un signal repr ´esentant le d ´esaccord de fr ´equence :  = νosc − ν0. La fr ´equence de l’oscillateur local est alors corrig ´ee de mani `ere `a annuler , lui transf´erant ainsi l’exactitude et la stabilit´e de la r´ef´erence atomique.

FIGURE1.1 – Sch ´ema de principe d’une horloge atomique. Un oscilla-teur local est utilis ´e pour interroger un r ´esonaoscilla-teur atomique. Un signal d’erreur est d ´etect ´e pour asservir la fr ´equence de l’oscillateur νoscsur la fr ´equence de r ´esonance atomique ν0.

Une horloge primaire au c ´esium [10] est caract ´eris ´ee par son exactitude (incertitude sur l’ ´ecart entre la fr ´equence de l’horloge et la valeur th ´eorique de la fr ´equence de transition entre les deux niveaux hyperfins F=3 et F=4 de l’ ´etat fondamental 6 S1/2 [11]), et par sa stabilit ´e relative de fr ´equence. Celle-ci est estim ´ee par l’ ´ecart-type d’Allan [12] et corres-pond aux fluctuations relatives de fr ´equence δν_ν. Cet outil statistique permet d’ ´evaluer l’ ´ecart-type d’un nuage de points en fonction d’une dur ´ee d’int ´egration τ. En trac¸ant l’ ´ecart-type d’Allan des fluctuations relatives de fr ´equence (not ´e σy) d’une r ´ef ´erence, on peut ´evaluer sa stabilit ´e court-terme, d ´egrad ´ee par des ph ´enom `enes ext ´erieurs rapides, et sa stabilit ´e long terme, d ´egrad ´ee par des perturbations lentes.

La stabilit ´e relative de fr ´equence limite th ´eorique d’une horloge atomique est donn ´ee par la formule suivante ( ´equation 1.1) :

σy(τ)= ∆ν 0 ν0 × 1 SNR×τ −1/2 _(1.1)

∆ν0 est la largeur de raie de la transition atomique `a une fr ´equence ν0, et SNR est le rapport signal `a bruit de d ´etection de la transition atomique dans une bande de 1 Hz. Dans la plupart des horloges, le bruit de fr ´equence de l’oscillateur local d ´egrade le bruit de fr ´equence de l’horloge, par l’interm ´ediaire de l’effet Dick.

En g ´en ´eral, le bruit de fr ´equence proche de la porteuse a une influence pr ´edominante, l’oscillateur local doit donc avoir un faible bruit de fr ´equence pour des temps d’int ´egration courts (dur ´ee de l’ordre de 10 ms pour les horloges `a jet de c ´esium).

Historiquement, les oscillateurs `a quartz ´etaient utilis ´es pour interroger les atomes de c ´esium 133. Les meilleures performances ´etaient obtenues avec les quartz BVA pour les horloges `a jet de c ´esium.

En 1997, C. C. Tannoudji, S. Chu et W. D. Phillips obtiennent le prix Nobel de physique pour leurs travaux sur le refroidissement des atomes par lasers. Cette technique est ap-pliqu ´ee aux horloges avec le d ´eveloppement de fontaines atomiques, dans lesquelles les atomes sont pi ´eg ´es pour ˆetre interrog ´es. L’oscillateur local historique pose alors probl `eme car il limite la performance de ces fontaines (par effet Dick, d ˆu au r ´egime puls ´e des

fon-taines atomiques) [13]. De nouvelles sources sont ainsi d ´evelopp ´ees, directement dans le domaine de fr ´equence utilis ´e pour le c ´esium (fr ´equences micro-ondes). Les oscillateurs saphir cryog ´eniques permettront d’atteindre les limites fondamentales des fontaines [14] (bruit de projection quantique). La stabilit ´e relative de fr ´equence obtenue est alors de l’ordre de 2 × 10−14 τ−1/2. D ´esormais, les performances des horloges micro-ondes sont arriv ´ees `a leurs limites.

A partir de l’ ´equation 1.1, on voit que, pour une largeur de raie et un rapport signal `a bruit donn ´es, l’am ´elioration des performances des horloges atomiques passe par une aug-mentation de la fr ´equence de transition d’horloge. En pratique, la contribution de certains effets (Doppler, Zeeman) augmente avec la fr ´equence, mais il est possible de s’en affran-chir. Ainsi, depuis 2001 et la premi `ere horloge optique [15], les principaux laboratoires de m ´etrologie se sont lanc ´es dans la r ´ealisation d’horloges atomiques optiques. Diff ´erents types d’horloge ont ainsi ´et ´e d ´evelopp ´es, de mani `ere `a pi ´eger des ions [16], ou des atomes neutres, notamment par l’interm ´ediaire d’un r ´eseau optique [17]. Les exactitudes estim ´ees de ce type d’horloge entrent d ´esormais dans le domaine des 10−18 [18, 19]. Toutes ces horloges n ´ecessitent des oscillateurs locaux ultra-stables directement dans le domaine optique, autrement dit : des lasers ultra-stables.

La possibilit ´e d’obtenir des stabilit ´es relatives de fr ´equence de l’ordre de 10−16 <sub>`a court</sub> terme pour des lasers stabilis ´es sur des cavit ´es Fabry-Perot de haute finesse a ´et ´e d ´emontr ´ee exp ´erimentalement en 1988 par Salomon et al. au JILA (USA) [20]. Dans cette ´etude, les diff ´erentes sources de bruit et limites pratiques sont examin ´ees. Deux lasers sont stabilis ´es en fr ´equence sur deux r ´esonances adjacentes d’une m ˆeme cavit ´e Fabry-Perot de haute finesse. Le battement entre les deux lasers renseigne sur les per-formances atteignables avec ce type de technologie, en rejetant le bruit commun de la cavit ´e. Depuis, de nombreux travaux ont ´et ´e r ´ealis ´es de mani `ere `a atteindre des sta-bilit ´es relatives de fr ´equence court terme jusque dans la gamme des 10−17 [21]. Les d ´eveloppements continuent aujourd’hui, dans la mesure o `u les performances des hor-loges optiques sont encore limit ´ees par le bruit de leur oscillateur local [18].

Cette th `ese s’inscrit dans cette dynamique, et apporte sa contribution au domaine des la-sers ultra-stables par le d ´eveloppement de lala-sers stabilis ´es en fr ´equence sur des cavit ´es Fabry-Perot.

1.2/

L

´

´

:

Avant de d ´etailler les performances et limites des lasers stabilis ´es en fr ´equence, il convient d’en pr ´eciser le fonctionnement. En g ´en ´eral, un laser stabilis ´e en fr ´equence est constitu ´e d’un laser continu dont la fr ´equence est asservie sur une r ´ef ´erence de fr ´equence au moyen d’un circuit de correction.

Cette r ´ef ´erence de fr ´equence peut ˆetre obtenue avec des terres rares en matrices cris-tallines, par la technique du spectral hole burning [22, 23, 24]. Ce type de mat ´eriau

pr ´esente des raies d’absorption lumineuse, `a temp ´erature cryog ´enique, `a environ 4 K. Gr ˆace `a un laser pr ´e-stabilis ´e en fr ´equence, on peut imprimer destrous spectrauxpar

photo-inscription dans le mat ´eriau. On peut ensuite asservir ce m ˆeme laser sur les trous spectraux r ´ealis ´es. Le laser sera alors alternativement utilis ´e pour imprimer les trous spectraux, puis comme laser principal asservi sur les raies spectrales. Cette technique

prometteuse permet l’obtention de tr `es bonnes stabilit ´es relatives de fr ´equences, avec une faible d ´erive. Thorpe et al. ont ainsi obtenu en 2011 une stabilit ´e relative de fr ´equence de 6 × 10−16<sub>entre 2 et 8 s [25]. Une stabilit ´e relative de fr ´equence allant jusqu’ `a environ</sub> 8, 5 × 10−17a ´egalement ´et ´e observ ´ee par Cook et al. pour un temps d’int ´egration de 73 s, gr ˆace `a un contr ˆole efficace de la modulation d’amplitude r ´esiduelle et d’autres effets perturbateurs [26].

Une autre technique consiste `a utiliser une mol ´ecule comme r ´ef ´erence de fr ´equence. Un laser est asservi sur la fr ´equence d’une raie d’absorption d’une mol ´ecule, comme le di-iode [27] ou le m ´ethane. Cette m ´ethode se veut m ´ecaniquement plus robuste que la stabilisation sur une cavit ´e Fabry-Perot, notamment pour viser des applications spa-tiales [28].

Des travaux ont ´egalement ´et ´e entrepris pour stabiliser la fr ´equence d’un laser en utilisant une fibre optique, gr ˆace `a une structure d’interf ´erom `etre de Michelson [29]. Le signal op-tique issu du laser est s ´epar ´e dans deux fibres opop-tiques. Une premi `ere partie est utilis ´ee comme ligne `a retard optique et pour moduler en phase le laser, tandis que l’autre est utilis ´ee comme r ´ef ´erence de longueur. On obtient alors un signal d’erreur permettant de stabiliser la fr ´equence du laser. En particulier, disposer d’une tr `es grande diff ´erence de longueur entre les deux bras permet d’obtenir une bonne sensibilit ´e sur le discriminateur de fr ´equence. Ainsi, des travaux r ´ecents ont permis d’obtenir des lasers `a tr `es faible bruit de phase, comparable `a celui obtenu avec des lasers stabilis ´es sur cavit ´es Fabry-Perot ultra-stables [30, 31, 32].

Enfin, une technique suppl ´ementaire pour stabiliser la fr ´equence d’un laser consiste `a utiliser un micro-r ´esonateur optique comme r ´ef ´erence de fr ´equence [33, 34]. Cette tech-nique peut permettre de disposer de lasers stabilis ´es en fr ´equence de faible encombre-ment.

La r ´ef ´erence de fr ´equence utilis ´ee durant cette th `ese est une cavit ´e Fabry-Perot de tr `es haute finesse, dont nous exposons les principes dans la suite de ce chapitre.

1.2.1/ CAVITE´ FABRY-PEROT

Les cavit ´es Fabry-Perot sont largement utilis ´ees dans nombre d’applications, notamment pour le filtrage fr ´equentiel de lasers, la r ´ealisation de multiplexeurs optiques, ou pour la d ´etection d’ondes gravitationnelles [8, 35]. Elles sont constitu ´ees d’au moins deux mi-roirs align ´es finement en regard l’un de l’autre, faces r ´efl ´echissantes vers l’int ´erieur de la cavit ´e. Sous certaines conditions et pour certaines fr ´equences, il existe des modes r ´esonants `a l’int ´erieur de la cavit ´e. Une formule fondamentale associ ´ee `a ces compo-sants optiques concerne la relation entre le bruit de longueur optique de ces cavit ´es, et le bruit de fr ´equence de leurs modes r ´esonants, exprim ´ee par leurs densit ´es spectrales de puissances avec l’ ´equation 1.2.

Sνc

ν2 c

= SL

L2 (1.2)

Si l’on parvient `a limiter les fluctuations de longueur de la cavit ´e, celle-ci devient un ´etalon de longueur, et donc une r ´ef ´erence de fr ´equence. Tout l’objet de la conception d’une ca-vit ´e Fabry-Perot pour des applications en m ´etrologie des fr ´equences est donc de stabi-liser la longueur de la cavit ´e. On transf ´erera ensuite la stabilit ´e de longueur de la cavit ´e

`a un laser asservi `a une fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e. La cavit ´e Fabry-Perot utilis ´ee dans le domaine de la m ´etrologie des fr ´equences est donc form ´ee par l’assem-blage de deux miroirs sur une cale d’espacement rigide. Comme nous le verrons dans la suite de ce chapitre, cette configuration est optimale pour permettre la r ´eduction de ses fluctuations de longueur.

L’apparition d’un ph ´enom `ene de r ´esonance `a l’int ´erieur de la cavit ´e est fonction de la courbure de ses miroirs. La relation 1.3 est la condition de stabilit ´e et lie la longueur de la cavit ´e et le rayon de courbure des miroirs. L correspond `a la longueur de la cavit ´e. R1 et R₂correspondent respectivement au rayon de courbure du premier et du second miroir.

0 < (1 − L R1

)(1 − L R2

) < 1 (1.3)

A l’heure actuelle, une majorit ´e de cavit ´es sont h ´emisph ´eriques. Le premier miroir de la cavit ´e est plan et le deuxi `eme est un miroir concave. Cette configuration donne les m ˆemes fr ´equences de r ´esonance qu’une cavit ´e munie de deux miroirs sph ´eriques, mais de longueur deux fois plus grande. Un avantage potentiel de cette configuration r ´eside dans la meilleure qualit ´e d’usinage des substrats de miroirs plans par rapport aux miroirs sph ´eriques.

En effet, l’usinage de la courbure du miroir introduit une source d’erreur suppl ´ementaire, pouvant d ´ecaler l’axe optique de la cavit ´e. D’autre part, l’alignement d’une cavit ´e h ´emisph ´erique est a priori moins difficile qu’avec une cavit ´e dot ´ee de deux miroirs concaves [36]. L’inconv ´enient principal de cette configuration r ´eside dans la taille des waists sur les miroirs de la cavit ´e, plus petits sur le miroir plan que sur les miroirs concaves. Nous verrons dans la suite de ce chapitre que des waists plus grands sur les miroirs permettent de r ´eduire l’instabilit ´e relative de fr ´equence des cavit ´es.

Lorsque l’in ´egalit ´e 1.3 est satisfaite, il existe des fr ´equences pour lesquelles l’onde arri-vant dans la cavit ´e est en phase avec l’onde qui a d ´ej `a effectu ´e un aller-retour `a l’int ´erieur de la cavit ´e. Des interf ´erences constructives apparaissent `a l’int ´erieur et en sortie de la cavit ´e, tandis que des interf ´erences destructives interviennent en entr ´ee de la cavit ´e. Les fr ´equences remplissant ces conditions sont appel ´ees ”modes” de la cavit ´e. On obtient ainsi la r ´eponse en fr ´equence de la cavit ´e Fabry-Perot en transmission, visible sur la figure 1.2.

En r ´eflexion, on obtient le compl ´ement de la courbe de la figure 1.2 avec des annulations de puissance optique aux fr ´equences de r ´esonance (voir figure 1.3).

Chaque fr ´equence de r ´esonance est s ´epar ´ee d’une autre par un intervalle spectral libre (ISL). L’ISL est donn ´e par l’ ´equation 1.4, o `u c est la c ´el ´erit ´e de la lumi `ere dans le vide, et Lla longueur de la cavit ´e, qui est plac ´ee sous vide.

ISL= c

2L (1.4)

La finesse et la longueur de la cavit ´e d ´eterminent la largeur `a mi-hauteur,∆νc, de chaque mode ( ´equation 1.5).

F = ISL ∆νc

1 9 4 , 0 0 2 1 9 4 , 0 0 4 1 9 4 , 0 0 6 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 Tr an sm iss io n de la c av ité F ab ry -P ér ot (% ) Fréquence (THz)

ISL

FIGURE 1.2 – R ´eponse en fr ´equence d’une cavit ´e Fabry-Perot id ´eale (en transmission). Les pics de r ´esonance sont s ´epar ´es par un Intervalle Spectral Libre (ISL). Plus la finesse de la cavit ´e est grande, plus la largeur `a mi-hauteur du pic de r ´esonance sera petite. La finesse utilis ´ee ici est de 25. 1 9 4 , 0 0 2 1 9 4 , 0 0 4 1 9 4 , 0 0 6 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 Ph as e de la ré fle xio n (ra d) Ré fle xio n de la c av ité F ab ry -P er ot (% ) Fréquence (THz)

ISL

FIGURE 1.3 – Evolution de l’intensit ´e du signal r ´efl ´echi par la cavit ´e Fabry-Perot (courbe bleu), et de sa phase (courbe rouge), en fonction de la fr ´equence de la porteuse optique.

Pour une longueur de cavit ´e donn ´ee, sa finesse rev ˆet une importance pour d ´eterminer la largeur `a mi-hauteur de ses modes. Elle d ´epend directement du coefficient de r ´eflexion

de ses miroirs. Si on consid `ere des miroirs ayant un identique coefficient de r ´eflexion en amplitude r tr `es ´elev ´e, on peut approximer la finesse de la cavit ´e avec la relation 1.6.

F ≈π/(1 − r2) (1.6)

On cherchera donc `a disposer de coefficients de r ´eflexion les plus ´elev ´es possible pour les miroirs constituant les cavit ´es Fabry-Perot utilis ´ees comme r ´ef ´erences de fr ´equences.

1.2.2/ ASSERVISSEMENT EN FREQUENCE DU LASER´

Diff ´erents sch ´emas permettant la d ´etection du d ´esaccord δ entre la fr ´equence du laser et la fr ´equence de r ´esonance d’un mode de la cavit ´e Fabry-Perot νc existent.

Une m ´ethode classique [37] consiste `a asservir la fr ´equence du laser sur un flanc de frange d’un pic de transmission de la cavit ´e Fabry-Perot, en acqu ´erant sa puissance optique en sortie gr ˆace `a une photodiode. Cette m ´ethode pr ´esente une grande sensibilit ´e `a la puissance optique arrivant jusqu’ `a la cavit ´e. Celle-ci peut ˆetre d ´egrad ´ee par le bruit d’intensit ´e relatif du laser utilis ´e, ou par des fluctuations de polarisation sur le montage, se traduisant par des fluctuations d’intensit ´e optique en entr ´ee de la cavit ´e. De plus, un d ´elai est impos ´e aux corrections de fr ´equences de l’asservissement. En effet, la tr `es haute finesse de la cavit ´e augmente le nombre de r ´eflexions du faisceau optique sur les miroirs de la cavit ´e, allongeant ainsi le temps de stockage de la lumi `ere dans le r ´esonateur. On peut ´egalement citer la technique de H ¨ansch-Couillaud [38]. Un ´el ´ement polarisant est plac ´e `a l’int ´erieur de la cavit ´e Fabry-Perot, de mani `ere `a cr ´eer une polarisation elliptique de la lumi `ere dans la cavit ´e, d ´ependante de la fr ´equence. A une fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e, les composantes perpendiculaires et parall `eles du champ sont en phase. Un cube s ´eparateur de polarisation s ´epare en deux le signal r ´efl ´echi par la cavit ´e, permettant ainsi la d ´etection du d ´esaccord de phase entre les deux directions de polarisation dans la cavit ´e, lorsque la fr ´equence du laser est diff ´erente de la fr ´equence de r ´esonance d’un mode de la cavit ´e. Cette m ´ethode pr ´esente l’avantage de ne pas n ´ecessiter la modulation du laser. N ´eanmoins, la pr ´esence d’un polariseur `a l’int ´erieur de la cavit ´e perturbe son bruit de longueur et r ´eduit sa finesse.

Enfin, la technique la plus couramment utilis ´ee, en m ´etrologie des fr ´equences, pour as-servir la fr ´equence d’un laser sur une fr ´equence de r ´esonance d’une cavit ´e Fabry-Perot est la technique de Pound-Drever-Hall [39, 40], que j’ai utilis ´ee durant ma th `ese. Le sch ´ema de principe d’un montage fr ´equemment r ´ealis ´e est pr ´esent ´e sur la figure 1.4. D’autres montages existent, mais c’est celui-ci qui a ´et ´e utilis ´e dans cette th `ese.

Le laser est modul ´e en phase au moyen d’un modulateur ´electro-optique, cr ´eant ainsi deux bandes lat ´erales en fr ´equence autour de la porteuse optique, disposant d’une re-lation de phase fixe avec celle-ci. Ce signal est alors inject ´e dans la cavit ´e Fabry-Perot, qui se comporte comme un filtre passe-bande optique tr `es s ´electif. Dans le cas d’une fr ´equence de modulation ´elev ´ee, les bandes lat ´erales sont hors de la bande passante de la cavit ´e. Elles sont ainsi compl `etement r ´efl ´echies lorsque la fr ´equence du laser est proche de la fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e. La porteuse optique est, par ailleurs, compl `etement transmise, au coefficient de couplage pr `es, lorsque la fr ´equence du laser

´egale la fr ´equence de r ´esonance.

FIGURE 1.4 – Sch ´ema de fonctionnement d’un laser stabilis ´e sur une cavit ´e Fabry-Perot. La fr ´equence d’un laser est stabilis ´ee sur une fr ´equence de r ´esonance d’une cavit ´e Fabry-Perot au moyen d’un circuit de correction. AOM : modulateur acousto-optique ; EOM : modulateur

´electro-optique ; VCO : Oscillateur contr ˆolable en tension.

perd alors, dans sa partie DC, l’information du d ´esaccord de fr ´equence laser/cavit ´e. N ´eanmoins, il subsiste dans sa partie RF, `a la fr ´equence de modulation du modula-teur ´electro-optique, l’information sur la phase du signal r ´efl ´echi, image du d ´esaccord de fr ´equence δ.

Une d ´emodulation `a cette fr ´equence en permet l’extraction, et la cr ´eation d’un signal d’erreur  permettant l’asservissement de la fr ´equence du laser sur la fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e. Il est int ´eressant de noter qu’il est possible d’acqu ´erir par cette m ´ethode une information sur la porteuse optique, alors que celle-ci est transmise dans la cavit ´e et physiquement absente du signal r ´efl ´echi par la cavit ´e. Au voisinage de la fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e, le signal d’erreur est proportionnel au d ´esaccord de fr ´equence δ [41] : = D × δ. D est appel´e le discriminant de fr´equence.

Un avantage majeur de cette technique r ´eside dans son insensibilit ´e `a la puissance op-tique entrant dans la cavit ´e (au bruit de d ´etection de la photodiode pr `es). On d ´etecte la phase du signal r ´efl ´echi contenue dans la partie RF du signal. Les fluctuations de la puissance optique du laser auront comme cons ´equence de modifier le gain de l’as-servissement, mais n’auront pas d’effets sur le signal d’erreur. Un autre avantage de la technique de Pound-Drever-Hall r ´eside dans sa rapidit ´e de r ´eaction. Si la d ´etection du d ´esaccord de fr ´equence laser - cavit ´e est r ´ealis ´ee en sortie de la cavit ´e Fabry-Perot, un d ´elai est impos ´e aux corrections de fr ´equences de l’asservissement. Avec la d ´etection du signal r ´efl ´echi par la cavit ´e, on peut corriger la fr ´equence du laser plus rapidement que le temps de r ´eponse de la cavit ´e Fabry-Perot. Enfin, d ´etecter la partie utile du signal r ´efl ´echi dans le domaine RF permet de s’ ´eloigner suffisamment du domaine DC, o `u un bruit flicker important parasite la d ´etection. A basses fr ´equences, celle-ci est ´egalement plus sensible aux d ´erives lentes, dues aux fluctuations de temp ´erature et de pression.

Les corrections `a hautes fr ´equences de Fourier peuvent ˆetre appliqu ´ees sur un os-cillateur contr ˆolable en tension (VCO), pilotant un modulateur acousto-optique (AOM). L’ordre +1 ou -1 en sortie du modulateur est d ´ecal ´e en fr ´equence et contient les corrections de fr ´equence. L’AOM permet la correction de fr ´equences avec une petite dynamique, mais avec une grande rapidit ´e. Les corrections `a basses fr ´equences de Fourier sont appliqu ´ees sur une alimentation haute-tension commandant un module pi ´ezo ´electrique intra-cavit ´e dans le laser continu. La grande dynamique offerte par le module pi ´ezo ´electrique sur les corrections permet la compensation de grands ´ecarts de fr ´equences, comme la d ´erive de la source laser. Ces corrections sont n ´eanmoins lentes, du fait de la faible vitesse de d ´eplacement du module pi ´ezo ´electrique.

Un asservissement id ´eal transf ´erera la densit ´e spectrale de puissance des fluctuations relatives de la fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e Fabry-Perot `a celle du laser. Cela revient `a transf ´erer la stabilit ´e relative de longueur de la cavit ´e Fabry-Perot `a la stabilit ´e relative de fr ´equence du laser. Si la cavit ´e optique utilis ´ee est un tr `es bon ´etalon de longueur, on parlera de cavit ´e ultra-stable. Le laser stabilis ´e en fr ´equence sur cette cavit ´e sera alors un laser ultra-stable.

1.3/

L

-

Les limites de stabilit ´e relative de fr ´equence d’un laser ultra-stable sont conditionn ´ees par les limites des cavit ´es Fabry-Perot, ainsi que par la qualit ´e de l’asservissement de la fr ´equence du laser sur la fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e.

1.3.1/ VIDE ET FLUCTUATIONS D’INDICE DE REFRACTION OPTIQUE´

La fr ´equence de r ´esonance d’une cavit ´e Fabry-Perot est sensible `a la pr ´esence de gaz ou de particules sur le trajet de la lumi `ere entre ses deux miroirs. Des particules, de tailles diff ´erentes, peuvent se d ´eposer sur les miroirs et en d ´egrader la r ´eflectivit ´e, par absorption et diffraction de la lumi `ere. Cela se traduit notamment par une diminution de la finesse de la cavit ´e au cours du temps, au fur et `a mesure de la fixation des particules sur ses miroirs. Ce ph ´enom `ene est incompatible avec l’utilisation d’une cavit ´e Fabry-Perot pour la stabilisation `a long terme de la fr ´equence d’un laser, ce qui n ´ecessite de prot ´eger les miroirs de leur environnement.

D’autre part, la pr ´esence de gaz autour et `a l’int ´erieur de la cavit ´e en limite les perfor-mances. La pr ´esence de gaz autour du syst `eme laisse libre court `a la convection ther-mique entre la cavit ´e et son environnement. Celle-ci est g ´en ´eratrice de fortes fluctuations de temp ´eratures, d ´egradant la longueur de la cavit ´e par effet d’expansion thermique. De plus, l’inhomog ´en ´eit ´e et les mouvements du gaz pr ´esent entre les miroirs de la cavit ´e se traduisent par des fluctuations de pression, qui cr ´eent alors des fluctuations d’indice de r ´efraction optique du milieu interne `a la cavit ´e. Celles-ci modifient le chemin optique vu par le faisceau laser, ce qui d ´eplace la fr ´equence de r ´esonance de la cavit ´e. La stabilit ´e relative de fr ´equence est alors d ´egrad ´ee.

Pour ´eliminer ces probl `emes, la cavit ´e est mise sous vide. Elle est pourvue de trous de d ´egazage permettant d’avoir une homog ´en ´eit ´e de pression entre l’int ´erieur de la cavit ´e et l’enceinte `a vide. N ´eanmoins, le niveau de vide atteint peut ˆetre sujet `a des variations de pression plus ou moins importantes.

La loi de Gladstone-Dale indique que l’indice de r ´efraction optique de l’air varie lin ´eairement avec la masse volumique ρ de l’air : n= 1 + kρ, avec n l’indice de r´efraction optique, et k la r ´efractivit ´e sp ´ecifique de l’air en m3_{/kg. Pour de l’air pur, on peut} l’ap-proximer `a environ 2, 2 × 10−4 m3/kg. Pour des faibles pressions, on peut consid´erer le comportement cin ´etique de l’air comme celui d’un gaz parfait. A temp ´erature et volume constant, on peut donc exprimer la masse volumique par : ρ = PM<sub>RT</sub>. P est la pression en Pa, M la masse molaire de l’air exprim ´ee en kg/mol, R la constante universelle des gaz parfaits et T la temp ´erature en K. La loi de Gladstone-Dale devient alors une fonction lin ´eaire de la pression : n = 1 + kPM<sub>RT</sub>. On remarquera que les fluctuations d’indice sont inversement proportionnelles `a la temp ´erature, ce qui indique une plus grande sensibilit ´e

`a la pression `a basses temp ´eratures qu’ `a hautes temp ´eratures.

On obtient alors la relation 1.7 entre les fluctuations d’indice de r ´efraction optique et les variations de pression `a temp ´erature ambiante :

∆n = 2, 6 × 10−9_{∆P (1.7)}

Pour une cavit ´e Fabry-Perot, dont la stabilit ´e relative de fr ´equence vis ´ee est de 10−15_{, les} fluctuations de pression doivent ˆetre inf ´erieures `a 3, 8 × 10−7Pa.

Si on se place dans le cas d ´efavorable de fluctuations relatives de pression de 10%, il est donc n ´ecessaire d’abaisser le niveau de pression interne `a l’enceinte `a vide, en dessous de 3, 8 × 10−8 _{mbar pour ne pas limiter la stabilit ´e relative de fr ´equence de la cavit ´e au} dessus de 10−15. Ce niveau de pression n ´ecessite la mise sous ultra-vide de la cavit ´e et une conception appropri ´ee de l’enceinte `a vide.

1.3.2/ EXPANSION THERMIQUE DES MATERIAUX´

Les fluctuations thermiques de la cavit ´e vont provoquer une expansion thermique de ses mat ´eriaux constitutifs, changeant ainsi la longueur de r ´ef ´erence de la cavit ´e. La majorit ´e des m ´etaux et verre ont un coefficient d’expansion thermique de l’ordre de 10−6K−1. Un bon asservissement de temp ´erature corrige la temp ´erature `a un niveau de fluctuations court-terme en dessous du mK, ce qui donne des fluctuations relatives de fr ´equence de l’ordre de 10−9. Ce niveau est ´evidemment trop ´elev ´e et limite la performance des cavit ´es. Dans sa d ´emonstration de faisabilit ´e d’asservissement d’un laser sur une cavit ´e Fabry-Perot, Salomon et al. utilise en 1988 une cavit ´e en Zerodur [42]. Ce mat ´eriau pr ´esente la propri ´et ´e d’avoir un coefficient d’expansion thermique bien plus faible que la plupart des mat ´eriaux existants `a l’ ´epoque (de l’ordre de 2 × 10−8 _K−1_{). Dans les m ˆemes conditions,} l’expansion thermique d’une cavit ´e enti `erement en Zerodur limiterait la stabilit ´e relative de fr ´equence `a 2 × 10−11. Ce mat ´eriau fut ensuite remplac ´e par le verre ULE [43], qui dispose d’un coefficient d’expansion thermique s’annulant au premier ordre `a une temp ´erature appel ´ee ”temp ´erature d’inversion”, situ ´ee aux environs de la temp ´erature ambiante. On note αU LE le coefficient d’expansion thermique du verre ULE, donn ´e en K−1, tel que les variations de longueur infinit ´esimales sont donn ´ees par : dL(T )= L αU LE dT. Pour un ´ecart de temp ´erature donn ´e, on peut donc ´ecrire : ∆L<sub>L</sub> = αU LE(T )∆T. Autour de son point d’inversion T0, on peut l’approximer par : αU LE = a(T − T0), avec a= 2, 4 × 10−9K−2[45]. Les variations relatives de longueur correspondantes deviennent alors : ∆L<sub>L</sub> = a(T − T0)2. Si on consid `ere toujours un asservissement autour du mK, et une erreur de temp ´erature

´egalement de l’ordre du mK, on limite les variations relatives de fr ´equence de la cavit ´e `a un niveau de l’ordre de 2, 4 × 10−15. Pour atteindre de meilleures performances, il est n ´ecessaire d’utiliser des blindages thermiques permettant de limiter les fluctuations de temp ´erature `a un niveau inf ´erieure au mK.

De m ˆeme, le silicium dispose de deux temp ´eratures d’inversion [46], aux temp ´eratures cryog ´eniques de 17 K et 124 K. Comme nous le verrons dans le chapitre 4, ce mat ´eriau est d ´esormais utilis ´e comme constituant d’une nouvelle g ´en ´eration de cavit ´es Fabry-Perot. Dans les m ˆemes conditions que pr ´ec ´edemment, `a 124 K, son coefficient d’ex-pansion thermique [47] limite les fluctuations relatives de fr ´equence `a 8, 6 × 10−15. A 17 K, celles-ci sont limit ´ees `a environ 3 × 10−16. L’atteinte des performances ultimes de ces ca-vit ´es n’est alors possible qu’avec l’utilisation d’importants blindages thermiques. Enfin, on peut noter qu’une mesure du coefficient d’expansion thermique du silicium a ´et ´e r ´ealis ´ee `a 1,6 K [48], de l’ordre de 4, 6 × 10−13K−1. Des fluctuations de temp ´erature de l’ordre du mK et une erreur de temp ´erature du m ˆeme ordre de grandeur conduisent ainsi `a une in-stabilit ´e relative de fr ´equence de 4, 6 × 10−16. On peut ´egalement noter que ce coefficient d’expansion thermique diminue au fur et `a mesure qu’on se rapproche du z ´ero absolu.

1.3.3/ SENSIBILITE ACC´ EL´ EROM´ ETRIQUE´

Les vibrations transmises `a la cavit ´e par ses supports de fixation sont une cause ma-jeure de fluctuations de longueur de la cavit ´e. Ces vibrations peuvent ˆetre d’origine sis-mique, acoustique ou provenir de chocs et vibrations dans l’environnement proche ou lointain de la cavit ´e. Pour caract ´eriser la r ´eponse d’une cavit ´e aux acc ´el ´erations qu’elle subit, on utilise les coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etriques ki tels que d ´efinis dans l’ ´equation 1.8. Il existe un coefficient de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique dans chaque direc-tion i d’un rep `ere orthonorm ´e attach ´e au syst `eme. Chaque coefficient permet de convertir le bruit d’acc ´el ´eration Sai, dans la direction consid ´er ´ee, en bruit de fr ´equence sur la

ca-vit ´e. Le bruit total de fr ´equence d ˆu aux acc ´el ´erations subies par la caca-vit ´e est constitu ´e de la somme de la contribution de chaque direction.

Sνc ν2 c =X i k2_iSai (1.8)

Si l’on consid `ere des coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique identiques suivant chaque direction, et un niveau de bruit d’acc ´el ´eration identique suivant les trois direc-tions, on peut estimer l’impact des acc ´el ´erations sur le bruit de fr ´equence de la cavit ´e (voir ´equation 1.9). Sνc ν2 c = 3k2_S a (1.9)

Dans un laboratoire relativement peu perturb ´e, on peut consid ´erer que le niveau de bruit d’acc ´el ´eration `a 1 Hz est de l’ordre de -80 dB(m/s2)2/Hz. Une cavit ´e Fabry-Perot dont les coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique sont tous de 10−11<sub>/(m/s</sub>2<sub>) sera perturb ´ee par</sub> ce niveau de bruit ambiant. On peut estimer que le bruit d’acc ´el ´eration `a 1 Hz se traduira alors par une fluctuation relative de fr ´equence de l’ordre de 2 × 10−15 `a 1 s.

Entre 10 et 100 Hz, le bruit d’acc ´el ´eration provient principalement de perturbations acous-tiques et peut ˆetre r ´eduit par de l’isolation acoustique autour de la cavit ´e. Les

perturba-tions en dessous de ces fr ´equences sont les plus compliqu ´ees `a r ´eduire et sont souvent d’origine sismique.

Les coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etriques de la cavit ´e deviennent alors r ´eellement essentiels, surtout dans un environnement perturb ´e o `u les niveaux d’acc ´el ´erations su-bis par la cavit ´e peuvent ˆetre beaucoup plus importants que les valeurs donn ´ees pr ´ec ´edemment.

Les diff ´erents d ´eveloppements importants dans le domaine des cavit ´es ultra-stables ont d’ailleurs ´et ´e conditionn ´es par la r ´eduction de cette sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique. En pre-mier lieu, on cherche `a avoir un mat ´eriau rigide pour la cale d’espacement pour ´eviter l’ex-citation d’ ´eventuelles r ´esonances `a basses fr ´equences, et limiter les d ´eformations au ni-veau de l’emplacement des miroirs. De plus, on effectue une adh ´esion par contact optique des miroirs, de mani `ere `a ´eviter la pr ´esence de colle entre la cale et les miroirs. Cette couche peut ajouter un angle entre les deux miroirs, et ´egalement une couche ´elastique entre les miroirs et la cale d’espacement, g ´en ´eratrice de sensibilit ´es acc ´el ´erom ´etriques importantes. Par ailleurs, le bruit thermique de ce genre de mat ´eriau est important, et limiterait les performances de la cavit ´e.

Dans un premier temps, c’est l’isolation de la cavit ´e de toute perturbation ext ´erieure qui a ´et ´e mise en oeuvre. En 1992, J. Dirscherl et al. d ´eveloppent un laser stabilis ´e sur une cavit ´e Fabry-Perot, avec une stabilit ´e relative de fr ´equence σy(τ)= 10−14pour des temps d’int ´egration allant de 10−5 <sub>`a 1 s [49]. Une cavit ´e cylindrique en Zerodur de 23 cm de</sub> longueur est suspendue `a l’int ´erieur de son enceinte `a vide par des ressorts. Le montage est fix ´e sur une table optique de forte masse, et une boˆıte d’isolation acoustique en bois entoure le syst `eme. Le tout est pos ´e sur une dalle de 300 tonnes flottante par rapport au reste du b ˆatiment.

Dans le m ˆeme esprit, B. C. Young et al. d ´eveloppent en 1999 [50] une cavit ´e optique r ´ealis ´ee en verre ULE avec une stabilit ´e relative de fr ´equence de 3 × 10−16 `a 1 s. La cavit ´e est maintenue sur quatre pastilles en Viton fix ´ees sur un support en aluminium en forme de V. Les pastilles en Viton jouent un r ˆole d’absorbant m ´ecanique et participent `a l’isola-tion thermique entre la cavit ´e et le reste du syst `eme. L’enceinte `a vide est plac ´ee sur une table d’isolation passive, suspendue au plafond par des tubes en polym `ere. Un contr ˆole actif de position de la table est impl ´ement ´e avec des modules chauffants plac ´es sur les tubes. Un amortissement visqueux est ´egalement plac ´e sur chaque coin de la table pour en am ´eliorer la r ´eponse m ´ecanique. L’ensemble est isol ´e acoustiquement par une boˆıte en bois [51]. Cette cavit ´e dispose d’un coefficient de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique de 2 × 10−10/(m/s2).

En 2005, M. Nottcutt et al. modifient le montage de la cavit ´e pour cr ´eer une cavit ´e en ULE maintenue verticalement [52]. La cavit ´e cylindrique de 5 cm est maintenue dans son plan m ´edian par un disque en verre ULE, coll ´e `a la cavit ´e avec du silicone. La cavit ´e a volontai-rement une longueur plus petite que celle des cavit ´es utilis ´ees pr ´ec ´edemment. En effet, la variation relative de longueur due aux acc ´el ´erations appliqu ´ees diminue avec la lon-gueur de la cavit ´e. Le disque repose sur une structure de montage en Aluminium par l’in-term ´ediaire de trois plot pos ´es dans des logements usin ´es dans le disque en ULE. Cette configuration verticale permet la r ´eduction des effets d’une acc ´el ´eration suivant l’axe op-tique par rapport `a une configuration horizontale. En praop-tique, la moiti ´e sup ´erieure de la cavit ´e subira ainsi approximativement les m ˆemes d ´eplacements que ceux de la moiti ´e inf ´erieure. Une table d’isolation mont ´ee sur coussins d’air est ´egalement utilis ´ee. Un ajus-tement du centre de gravit ´e de la cavit ´e est r ´ealis ´e `a l’aide de l ´egers poids. Le coefficient

de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique suivant l’axe optique est ainsi r ´eduit `a 3, 55 × 10−11/(m/s2). En 2006, une nouvelle m ´ethode de conception des cavit ´es Fabry-Perot est impl ´ement ´ee par T. Nazarova et al. [53]. En utilisant une m ´ethode de simulation par ´el ´ements finis, les d ´eformations de la cavit ´e sous l’effet d’une acc ´el ´eration sont simul ´ees. De cette mani `ere, la position des points de maintien est ajust ´ee pour optimiser les coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique. Des logements sont usin ´es dans les flancs de la ca-vit ´e en verre ULE de forme cylindrique. Celle-ci repose sur des pastilles en Viton te-nues par des ressorts fix ´es sur un cylindre de cuivre entourant la cavit ´e. Les coef-ficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique sont cette fois mesur ´es suivant chaque direc-tion : de l’ordre de 3 × 10−12/(m/s2_{) pour la direction verticale, 10}−11_/(m/s2_{) pour la} direc-tion axiale et 2, 4 × 10−11_/(m/s2_{) pour la direction transverse. A ce niveau de sensibilit ´e} acc ´el ´erom ´etrique, ce sont les rotations des miroirs qui ont l’effet pr ´epond ´erant.

La m ˆeme ann ´ee, L. Chen et al. r ´ealisent des simulations par ´el ´ements finis sur plusieurs formes de cavit ´es utilis ´ees dans le cadre de la spectroscopie laser [54]. Une cavit ´e verti-cale de forme cylindrique tronqu ´ee est notamment conc¸ue (voir figure 1.5). La cavit ´e est maintenue dans son plan m ´edian par un anneau usin ´e autour de la cavit ´e. Cette confi-guration conduit `a des coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etriques simul ´es de l’ordre de 7 × 10−11/(m/s2) suivant l’axe optique. Cette g ´eom ´etrie a ´et ´e utilis ´ee par A. D. Ludlow et al. en 2007 pour fabriquer une cavit ´e avec des sensibilit ´es acc ´el ´erom ´etriques me-sur ´ees de : 7, 5 × 10−11/(m/s2) suivant la direction verticale, et entre 1, 25 × 10−11/(m/s2) et 5 × 10−11/(m/s2) suivant la direction horizontale [55].

En 2007 et 2008, S. A. Webster et al. d ´eveloppent deux cavit ´es dans lesquelles des ´epaulements ont ´et ´e usin ´es [56, 57] (voir figure 1.5). Celles-ci reposent sur quatre sph `eres en Viton. Des simulations en ´el ´ements finis ont ´et ´e r ´ealis ´ees pour choisir un optimum entre les param `etres g ´eom ´etriques constitu ´es par la profondeur d’ ´epaulement et la position des sph `eres en Viton (suivant les deux directions planes). Les coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique de chacune des deux cavit ´es ont ´et ´e mesur ´es. Pour la ca-vit ´e la moins sensible des deux : 3 × 10−12/(m/s2), 1, 2 × 10−11/(m/s2) et 3, 4 × 10−12/(m/s2) pour les directions verticale, horizontale et transverse respectivement.

FIGURE 1.5 – Cavit ´es utilis ´ees pour la stabilisation en fr ´equence de lasers. A gauche : Repr ´esentation sch ´ematique d’une cavit ´e cylindrique tronqu ´ee verticale, issue de [54]. Un ´epaulement est r ´ealis ´e sur la cavit ´e pour en permettre le maintien. Au milieu : Repr ´esentation sch ´ematique d’une cavit ´e cylindrique dans laquelle des ´epaulements ont ´et ´e usin ´es, issue de [56]. A droite : image d’une cavit ´e cubique, issue de [60].

En 2011, D. R. Leibrandt et al. cr ´eent une cavit ´e sph ´erique en verre ULE [58]. La cavit ´e sph ´erique est maintenue en deux points, dont la position a ´et ´e optimis ´ee gr ˆace `a une mod ´elisation par ´el ´ements finis. La sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique associ ´ee `a cette cavit ´e

est de : 4, 1 × 10−12/(m/s2), 1, 6 × 10−11/(m/s2) et 3, 2 × 10−11/(m/s2) pour les directions verticale et horizontales respectivement. La m ˆeme ann ´ee, ils r ´ealisent une version trans-portable d’un laser stabilis ´e sur cette cavit ´e [59]. Un syst `eme actif de correction des vibrations est mis en oeuvre pour r ´eduire les coefficients de sensibilit ´e au niveau de : 1, 1 × 10−12/(m/s2), 6, 1 × 10−13/(m/s2) et 4, 1 × 10−13/(m/s2) pour les directions verticale et horizontales respectivement.

Plus tard cette m ˆeme ann ´ee, S. Webster et al. r ´ealisent une cavit ´e cubique maintenue en quatre points [60]. Les coins de la cavit ´e sont d ´ecoup ´es pour usiner des plans permettant son maintien (voir figure 1.5). Les param `etres g ´eom ´etriques de la cavit ´e sont optimis ´es par ´el ´ements finis, dont notamment la profondeur de d ´ecoupe des plans permettant le maintien de la cavit ´e. Cette cavit ´e pr ´esente la particularit ´e d’ ˆetre insensible `a la valeur des forces de compression appliqu ´ees pour la maintenir. La sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique maximale associ ´ee `a cette cavit ´e est de 2, 5 × 10−12/(m/s2<sub>), ce qui en fait la cavit ´e passive</sub> la moins sensible aux acc ´el ´erations `a l’heure actuelle.

En 2012, Leibdrandt et al. cr ´eent un syst `eme de maintien am ´elior ´e de leur cavit ´e sph ´erique [61]. Les coefficients de sensibilit ´e acc ´el ´erom ´etrique sont tous inf ´erieurs `a 2 × 10−12/(m/s2) dans la gamme 0-50 Hz, et r ´eduits en dessous de 10−13/(m/s2) par une correction active des vibrations, meilleures valeurs obtenues `a ce jour pour un syst `eme actif. La m ˆeme ann ´ee, B. Argence et al. signent un prototype de cavit ´e ultra-stable pour des applications spatiales [62]. L’accent est surtout mis sur le maintien de la cavit ´e. Ce maintien est optimis ´e par des simulations par ´el ´ements finis pour supporter les tr `es fortes contraintes du d ´ecollage de la fus ´ee. La cavit ´e est mont ´ee verticalement et des sensibi-lit ´es acc ´el ´erom ´etriques inf ´erieures `a 4 × 10−11/(m/s2) sont mesur ´ees.

1.3.4/ BRUIT THERMIQUE

Le bruit thermique naˆıt du mouvement Brownien des atomes constituant la cavit ´e, d ˆu `a leur agitation thermique. Ces modifications infimes de longueur de la cavit ´e constituent la limite ultime de bruit de fr ´equence des cavit ´es Fabry-Perot ultra-stables.

Le th ´eor `eme de fluctuation-dissipation [63] permet de donner la relation existant entre les fluctuations de volume d’un syst `eme `a l’ ´equilibre et la fonction caract ´erisant la r ´eponse du syst `eme aux forces appliqu ´ees, et notamment la dissipation d’ ´energie dans ce syst `eme. C’est donc une relation caract ´erisant le bruit thermique d’un mat ´eriau par rapport `a ses pertes m ´ecaniques.

Utilisant ce th ´eor `eme, K. Numata et al. en 2004 et T. Kessler et al. en 2011 ont pos ´e les ´equations adapt ´ees au bruit thermique des cavit ´es Fabry-Perot rigides [64, 65]. Chaque ´el ´ement composant la cavit ´e (substrat des miroirs, traitement r ´efl ´echissant, cale d’espa-cement) aura une contribution au bruit thermique total de la cavit ´e. Pour simplifier les calculs du bruit thermique de la cavit ´e, ils ont consid ´er ´e que chaque ´el ´ement n’avait pas d’influence sur les autres, de telle sorte que le bruit thermique total soit la somme des bruits thermiques apport ´es par chaque ´el ´ement. La densit ´e spectrale de bruit de longueur d’une cavit ´e s’exprime ainsi avec l’ ´equation 1.10 :

Sx( f )= Scalex ( f )+ 2 · Ssubx ( f )+ 2 · Scoatx ( f ) (1.10) Le bruit thermique du substrat est donn ´e par l’ ´equation 1.11 :

Ssub_x ( f )= 4kBT π f · 1 − σ2 2√πEwφsub (1.11) Avec : – kBla constante de Boltzman – T la temp ´erature du substrat

– σ le coefficient de Poisson du mat ´eriau du substrat – E le module d’Young du mat ´eriau du substrat – w le waist du laser au niveau du substrat

– φsubles pertes m ´ecaniques du mat ´eriau du substrat

Le bruit thermique du traitement r ´efl ´echissant d ´epos ´e sur le miroir est estim ´e `a partir du bruit thermique du substrat ( ´equation 1.12) :

Scoat_x ( f )= Ssubx ( f ) 2 √ π 1 − 2σ 1 − σ φcoat φsub dcoat w (1.12)

dcoat est l’ ´epaisseur du traitement r ´efl ´echissant. Cette valeur n’est pas toujours indiqu ´ee par les fabricants et peut limiter l’estimation r ´ealis ´ee. En g ´en ´eral, l’ ´epaisseur de traite-ment est sup ´erieure pour des longueurs d’onde plus ´elev ´ees. φcoatcorrespond aux pertes m ´ecaniques du traitement r ´efl ´echissant.

Enfin, le bruit thermique de la cale d’espacement d ´epend de la g ´eom ´etrie du spacer. Pour un cylindre de longueur L, de rayon Rc, de trou central (permettant la propagation du faisceau dans le vide) de rayon rc, le bruit thermique est donn ´e par l’ ´equation 1.13 :

Scale_x ( f )= 4kBT π f

L 2πE(R2c − r2c)

φcale (1.13)

L’ ´equation 1.13 permet de donner une approximation de la contribution de la cale d’espa-cement pour des g ´eom ´etries voisines du cylindre utilis ´e pour le calcul. φcale correspond aux pertes m ´ecaniques du mat ´eriau de la cale d’espacement. En g ´en ´eral, la contribution de la cale d’espacement sur le bruit total de la cavit ´e est minime. On peut ´egalement noter que le support de maintien de la cavit ´e a une contribution sur son bruit thermique total [65]. Celui-ci est n ´eanmoins n ´egligeable pour les cavit ´es classiques en verre ULE, lorsque les surfaces de maintien sont petites par rapport `a la taille de la cavit ´e.

Le bruit thermique total de la cavit ´e est la superposition des bruits thermiques de ses ´el ´ements constitutifs. Celui-ci est un bruit Flicker de fr ´equence, avec une pente en 1/ f . La correspondance avec la stabilit ´e relative de fr ´equence, estim ´ee par l’ ´ecart-type d’Allan, conduit `a un plancher flicker, quelle que soit la dur ´ee d’int ´egration, dont l’estimation est donn ´ee par l’ ´equation 1.14 :

σy(1s)= q

2 ln (2) Sy(1Hz) (1.14)

Enfin, on constate qu’on peut diminuer ce bruit thermique en utilisant des mat ´eriaux `a faibles pertes m ´ecaniques, et fort module d’Young. Une autre constatation ´evidente est que ce bruit baisse avec la temp ´erature.

Ces constatations ont ´et ´e faites tr `es t ˆot et des travaux en ce sens ont ´et ´e entrepris. Pour bien se rendre compte des avanc ´ees effectu ´ees, nous consid ´ererons dans toute cette partie le cas d’une cavit ´e h ´emisph ´erique (plan-concave)t ´emoinconstitu ´ee de miroirs

de 25,4 mm de diam `etre et de 6,3 mm d’ ´epaisseur, plac ´es sur une cale d’espacement cy-lindrique de 100 mm de longueur et de 100 mm de diam `etre. Un trou de diam `etre 20 mm permet le passage du faisceau, de waist 385 µm plac ´e sur le miroir plan. On consid ´erera une estimation pessimiste des bruits thermiques en supposant que le faisceau atteint les deux miroirs avec le m ˆeme waist. En effet, le bruit thermique diminue si on r ´epartit l’ ´energie sur une surface plus grande. Les diff ´erentes estimations sont regroup ´ees dans le tableau de la figure 1.6.

FIGURE1.6 – Estimations du bruit thermique de diff ´erentes cavit ´es avec traitements r ´efl ´echissants di ´electriques. On consid `ere une ´epaisseur de di ´electrique de 2 µm et des pertes m ´ecaniques de 4 × 10−4.

Les premi `eres cavit ´es ont ´et ´e r ´ealis ´ees enti `erement en Zerodur [20][49]. Avec des pertes m ´ecaniques de l’ordre de φZerodur = 3, 2 × 10−4 [64] et un module d’Young de 90,3 GPa pour un coefficient de Poisson de 0,24 [66], le bruit thermique de notre cavit ´e t ´emoin (enti `erement en Zerodur) est estim ´e `a Sx( f )= 2, 5461 × 10−32f−1m2/Hz, ce qui ´equivaut `a un palier de stabilit ´e relative de fr ´equence de σy(τ)= 1, 9 × 10−15.

Le verre ULE l’a rapidement remplac ´e [50], avec ses pertes m ´ecaniques de l’ordre de φULE = 1, 6 × 10−5 et son module d’Young plus ´elev ´e (63 GPa) [65]. La stabilit ´e rela-tive de fr ´equence correspondante pour notre cavit ´e t ´emoin (enti `erement en ULE) est de 5, 2 × 10−16. On notera dans le tableau en figure 1.6 la contribution majoritaire des sub-strats de la cavit ´e au bruit thermique global.

En 2009, J. Millo et al. d ´eveloppent deux cavit ´es Fabry-Perot dont la cale d’espacement est en verre ULE, tandis que les substrats des miroirs sont en silice fondue [67]. Les stabi-lit ´es relatives de fr ´equence obtenues sont toutes deux de 4 × 10−16pour les temps courts. Les pertes m ´ecaniques de la silice fondue sont plus de dix fois plus faibles (φFS = 10−6) que celles de l’ULE. Le module d’Young (73,0 GPa) et le coefficient de Poisson (0, 16) res-tent proches [65] des valeurs de l’ULE. Pour notre cavit ´e t ´emoin (cale ULE, substrats en silice fondue), la stabilit ´e relative de fr ´equence correspondante est de 2, 04 × 10−16_{. Cette} configuration hybride pr ´esente n ´eanmoins un d ´esavantage. Les deux mat ´eriaux utilis ´es pour assembler la cavit ´e disposent de coefficients de sensibilit ´e thermique sensiblement