Propriétés élastiques des olivines riches en fer

Texte intégral

(1)5)µ4& &OWVFEFMPCUFOUJPOEV. %0$503"5%&-6/*7&34*5²%&506-064& %ÏMJWSÏQBS Université Toulouse 3 Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier). 1SÏTFOUÏFFUTPVUFOVFQBS Nicolas TERCÉ le. 10/11/2016. 5JUSF. . Propriétés élastiques des olivines riches en fer. ²DPMF EPDUPSBMF et discipline ou spécialité . . ED SDU2E : Sciences de la Terre et des Planètes Solides. 6OJUÏEFSFDIFSDIF Institut de Recherche en Astrophysique et Planétologie (IRAP - UMR 5277). %JSFDUFVSUSJDF T EFʾÒTF Frédéric BÉJINA et Micha BYSTRICKY Jury : Jennifer KUNG, Professeur Associé Nathalie BOLFAN-CASANOVA, Chargée de Recherche Jannick INGRIN, Directeur de Recherche.

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(3) Abstract. Except for the fayalite end-member, elastic properties of iron-rich olivine (Fe,Mg)2SiO4 have never been fully studied despite their aknowledged natural existence on Earth and Mars. The purpose of this thesis is to investigate on the evolution of elastic properties with regard to the iron content of olivines. Fine-grained polycrystalline aggregates of four different compositions (Fa44, Fa63, Fa81 and Fa100) were sintered by Spark Plasma Sintering (SPS) from nano-powder olivines synthesised under controlled atmosphere. These samples were then studied at pressures up to 6,4 GPa using the DIA press at X17B2 beamline of the late National Synchrotron Light Source at Brookhaven National Laboratory. Unit cell of the samples and NaCl pressure calibrant were determined using X-ray diffraction and used to calculate the isothermal bulk modulus ( ) by fitting to a BirchMurnaghan equation of state. Despite our best efforts to apply a hydrostatic pressure on the sample, a high level of deviatoric stress was observed in every experiment. Correction for the deviatoric stress on the d-spacing data was applied using the 10 detectors setup of the beamline and the calculations from Singh (1993) but is not sufficient to calculate a precise pressure derivative . These corrected data combined with literature allow us to propose a two level evolution of , with constant values of ~128 GPa for the Mg-rich olivines and ~135 GPa for the Fe-rich olivines, connected by a quick raise between Fa50 and Fa70. In addition, we conducted ultrasonic interferometric measurements combined with Xray imaging on the Fa81 and Fa100 samples. The adiabatic bulk modulus ( ) and shear modulus () were calculated from compression and shear wave velocities. When converted into , values are significantly lower than the X-ray diffraction ones. On the opposite, values are in good agreement with the linear evolution with iron content of olivines calculated by Liu et al. (2005).. Key-words : Iron-rich olivines, Equation of State, High-pressure, X-ray diffraction, Ultrasonic interferometry, Deviatoric stress, Spark Plasma Sintering. . .

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(5) Résumé. Si on excepte le pôle fayalite, les propriétés élastiques des olivines (Fe,Mg)2SiO4 riches en fer n’ont pratiquement pas été étudiées malgré leur existence avérée sur Terre et sur Mars. Le but de cette thèse est donc d’étudier l’évolution des propriétés élastiques en fonction de la teneur en fer des olivines. Des agrégats polycristallins à grains fins ont été densifiés à l’aide de la technique de frittage flash (SPS) pour quatre compositions différentes (Fa44, Fa63, Fa81 and Fa100) à partir de poudre nanométriques d’oxydes synthétisées en atmosphère contrôlée. Les échantillons ont été étudiés jusqu’à des pressions de 6,4 GPa sur la presse DIA de la ligne X17B2 du National Synchrotron Light Source au Brookhaven National Laboratory. Les volumes de maille des échantillons et du NaCl (pour la calibration en pression) ont été déterminés par diffraction des rayons X afin de calculer le module de compressibilité isotherme ( ) à l’aide de l’équation d’état de Birch-Murnaghan. Malgré nos efforts pour obtenir une pression hydrostatique, nous observons une importante contrainte déviatorique dans toutes les expériences. Grâce au réseau de 10 détecteurs de la ligne expérimentale et à la méthode de Singh (1993), nous avons tenté de corriger les valeurs de distance interréticulaire des effets de la contrainte déviatorique. Les données corrigées ne sont toutefois pas suffisantes pour déterminer une valeur de la dérivée en pression . Elle nous permettent cependant de proposer, en lien avec les valeurs de la littérature, un évolution de en deux palier : les compositions proches des pôles purs auraient des valeurs constantes de ~128 GPa pour les olivines riches en Mg et de ~135 GPa pour les olivines riches en Fe, alors que la valeur augmenterait rapidement d’un palier à l’autre entre Fa50 and Fa70. Pour les échantillons Fa81 et Fa100, nous avons également effectué des mesures à l’aide d’interférométrie ultrason combinée à de l’imagerie en rayons X. Les modules de compressibilité adiabatique ( ) et de cisaillement () ont été calculés à partir des vitesse de propagation des ondes P et S. Les valeurs obtenues une fois les valeurs converties en sont significativement plus basses que les valeurs de diffraction des rayons X. Par contre, les valeurs de s’accordent bien avec l’évolution linéaire en fonction de la teneur en fer des olivines proposée par Liu et al. (2005).. Mots-clés: Olivines riches en Fe, Équation d’état, Hautes pressions, diffraction des rayons X, Interférométrie ultrason, Contrainte déviatorique, frittage flash SPS.. . ).

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(7) Sommaire. "#!#--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- )"$)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% &"$!"-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------& &"#$&----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------& #!$#--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 #!6 ."##)#%"--------------------------------------------------------------------------------------------: 6-6 ))!#)""$!""#!$#$!""(#"#$! $"----------------------------------------------------< 6-7 "##)#) $#"/)##----------------------------------------------------------------------------------------------------65 >5?5> "!#'&"! !'(*7.&''.555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555>= >5?5? """.!.%&.55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555>? >5?5?5>

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(11) Index des figures Figure 1.1 : Tailles relatives et structures internes des planètes telluriques............................... 7 Figure 1.2 : Structure interne de la Terre ................................................................................... 8 Figure 1.3 : Modèle pyrolitique de composition minéralogique du manteau ............................ 9 Figure 1.4 : Comparaisons des structures et minéralogies de Mars et de la Terre ..................... 9 Figure 1.5 : Ellipsoïdes des contraintes et des déformations ................................................... 11 Figure 1.6 : Diagramme déformation-contrainte d’un matériau. ............................................. 12 Figure 1.7 : Représentation des contraintes sur les faces d’un cube. ....................................... 13 Figure 1.8 : Mouvements de la structure d’un solide traversé par des ondes P et S. ............... 16 Figure 1.9 : Diagramme de composition des olivines selon 4 pôles purs ................................ 23 Figure 1.10 : Vues de la structure cristallographique de la fayalite. ........................................ 23 Figure 1.11 : Diagramme de phase de l’olivine à 1600°C. ...................................................... 24 Figure 1.12 :Diagrammes de phase P-T de la forstérite et de la fayalite ................................. 25 Figure 1.13 : Corrélation entre et à température constante pour Fo et Fa. ..................... 27 Figure 1.14 : , , et en fonction XFe dans les olivines de la littérature ..................... 31 Figure 1.15 : Compilation de de la littérature en fonction de la teneur en fer. ................. 32 Figure 2.1 : Schémas des fours à 1 atm : .................................................................................. 42 Figure 2.2 : Domaine de stabilité T- fO2 des olivines .............................................................. 43 Figure 2.3 : Analyse thermogravimétrique des poudres nanométriques .................................. 44 Figure 2.4 : Section d’un assemblage pour frittage flash. ........................................................ 46 Figure 2.5 : Evolution des paramètres durant le frittage de l’échantillon AM066.. ................. 47 . . *.

(12) Figure 2.6 : Champs de pression-température couverts par les différents types de presses..... 49 Figure 2.7 : Exemple de module multi-enclumes de type T-Cup. ........................................... 49 Figure 2.8 : Vue des enclumes latérales et de l’assemblage avant le début de l’expérience.. . 50 Figure 2.9 : Schéma de l’installation autour de la presse D-DIA de la ligne X17B2 .............. 51 Figure 2.10 : Illustration du principe de diffraction dans les conditions de Bragg. ................. 52 Figure 2.11 : Assemblage de l’expérience Oli_58. .................................................................. 53 Figure 2.12 : Distance interréticulaire du pic (130) de l’olivine en fonction de l’angle ...................................................................................................................... 57 Figure 2.13 : Schéma d’acquisition des mesures ultrasoniques ............................................... 59 Figure 2.14 : Assemblages des expériences Fay_63 et Fay_64 pour les expériences d’interférométrie ultrasons ............................................................................................... 61 Figure 3.1 : Analyses sous rayons X des poudres .................................................................... 66 Figure 3.2 : Images MEB des microstructures des échantillons frittés .................................... 68 Figure 3.3 : Images EBSD des échantillons Fa44, Fa81, et Fa100 ............................................... 70 Figure 3.4 : Schéma à l’échelle de l’assemblage de l’expérience Oli_53 ................................ 72 Figure 3.5 : Ensemble des points de mesure de l’expérience Fay_64 par rapport au diagramme de phase P-T de Fe2SiO4.. ................................................................................................ 73 Figure 3.6 : Évolution de la distance interréticulaire des pics (112), (130), (131), (132), (133), (222) et (241) de l’olivine au cours du temps pour l’expérience Fay_63 (Fa81). ............. 74 Figure 3.7 : Évolution de la distance interréticulaire des pics (112), (130), (131), (132), (133), (222) et (241) de l’olivine en fonction de l’angle ......................................................... 76 Figure 3.8 : État des contraintes dans les assemblages expérimentaux Fay_63 et Fay_64. ..... 77 Figure 3.9 : Exemple d’ajustement correct (à gauche) et problématique (à droite) des pics de diffraction (222) en rouge et (240) en vert à l’aide du logiciel plot85 ............................. 78 Figure 3.10 : Évolution du bruit de fond au cours de l’expérience Oli_58. ............................. 79 Figure 3.11 : Erreur liée à la calibration. .................................................................................. 80 Figure 3.12 : pour les quatre échantillons ................................................................. 91 Figure 3.13 : Comparaison par rapport à la première chauffe de l'échantillon ......... 92 * .

(13) Figure 3.14 : a/a0, b/b0, et c/c0 en fonction de la pression. ....................................................... 93 Figure 3.15 : Représentations normalisées - . .................................................................... 94 Figure 3.16 : Signaux acoustiques de P et S............................................................................. 96 Figure 3.17 : Exemple de calcul du temps de trajet d'une onde P. ........................................... 97 Figure 3.18 : Évolution de la longueur de l’échantillon Fa100 .................................................. 98 Figure 3.19 : Vp et Vs en fonction de la pression pour Fa81 et Fa100. .................................... 103 Figure 3.20 : KS et G en fonction de la pression pour Fa81 et Fa100. ...................................... 104 Figure 3.21 : L et G en fonction de pour Fa81 et Fa100 .................................................. 106 Figure 4.1 : , , et en fonction XFe comparé à la littérature..................................... 111 Figure 4.2 : Distance interréticulaire du pic (130) en fonction de la teneur en fer ................ 111 Figure 4.3 : K comparé à la littérature et proposition d'une évolution en fonction de la teneur en Fe des olivines .......................................................................................................... 113 Figure 4.4 : G comparé à la littérature et proposition d'une évolution en fonction de la teneur en Fe des olivines ........................................................................................................... 113 Figure 4.5 : Comparaisons des KT issus diffraction RX et ultrason, avec différentes échelles de pression ...................................................................................................................... 117 Figure 4.6 : KS / KS0 vs ρ / ρ 0................................................................................................. 119. . *.

(14) . * .

(15) Index des tableaux Tableau 1.1 : Nombre de paramètres indépendants pour chaque groupe de symétrie ............. 14 Tableau 1.2 : Récapitulatif de données de la littérature concernant la forstérite ………….33 Tableau 1.3 : Récapitulatif de données de la littérature concernant la fayalite ……….……34 Tableau 1.4 : Récapitulatif de données de la littérature concernant les olivines intermédiaires………… ………………..……………………………………………….36 Tableau 3.1: Caractéristiques des pastilles frittées. .................................................................. 67 Tableau 3.2 : Résumé des expériences ..................................................................................... 78 Tableau 3.3 : Données de l’expérience Oli_58 (Fa44) .............................................................. 83 Tableau 3.4 : Données de l’expérience Oli_53 (Fa63) .............................................................. 84 Tableau 3.5 : Données de l’expérience Fay_63 (Fa81) ............................................................. 85 Tableau 3.6 : Données de l’expérience Fay_64 (Fa100) ............................................................ 86 Tableau 3.7 : Paramètres calculés pour Oli_58 ........................................................................ 89 Tableau 3.8 : Paramètres calculés pour Oli_53 ........................................................................ 89 Tableau 3.9 : Paramètres calculés pour Fay_63 ....................................................................... 90 Tableau 3.10 : Paramètres calculés pour Fay_64 ..................................................................... 90 Tableau 3.11 : Récapitulatif des KT0 et K' obtenus par l’ajustement des données sous la forme - ................................................................................................................................. 95 Tableau 3.12 : Récapitulatif des données ultrason de l’expérience Fay_63 (Fa81). ............... 101 Tableau 3.13 : Récapitulatif des données ultrason de l’expérience Fay_64 (Fa100). .............. 102 Tableau 3.14 : KS et G et leurs dérivées en pression de l’expérience Fay_63 (Fa81) pour les données ajustées à l’aide de la pression. . ...................................................................... 104 . . *.

(16) Tableau 3.15 : KS et G et leurs dérivées en pression pour l’expérience Fay_64 (Fa100) avec les données ajustées à l’aide de la pression ......................................................................... 105 Tableau 3.16 : KS et G et leurs dérivées en pression des l’expérience Fay_63 (Fa81) et Fay_64 (Fa100) pour les données ajustées sans calcul de la pression. ......................................... 105 Tableau 4.1 : Vitesses de propagation des ondes P et S de la fayalite pour des expériences de la littérature en échantillons polycristallins et monocristallins. ..................................... 114. *).

(17) . . . *).

(18)

(19) . Introduction. L’étude des intérieurs planétaires est une tâche compliquée pour les géologues, même sur notre Terre, de part l’impossibilité d’aller observer directement les roches dans leurs conditions de pression et de température naturelles. La compréhension des propriétés physicochimiques du manteau et du noyau se fait donc très largement par des méthodes indirectes. Les échantillons naturels remontés à la surface à l’aide de concours de circonstance exceptionnels (xénolithes, inclusions, amincissement crustal, obduction) permettent de contraindre la chimie du manteau supérieur. Concernant les propriétés physiques, on se tourne généralement vers la sismologie, qui permet de déterminer la structure interne de la Terre et de ses sous structures. La résolution spatiale des techniques sismologiques s’est grandement améliorée avec les méthodes de plus en plus précises de tomographie sismique ou de description de la coda et nécessitent une connaissance détaillée des propriétés physiques des minéraux du manteau. La géologie expérimentale, justement, permet de déterminer les propriétés des minéraux et des roches en fonction des conditions caractéristiques des intérieurs planétaires. Les technologies de hautes pressions se sont améliorées avec les années pour permettre d’étudier les influences de la pression, de la température, de la déformation, de la teneur en eau, sur tous types de matériaux. Parmi les minéraux du manteau, peu ont autant d’importance que l’olivine, une solution solide de composition (Fe,Mg)2SiO4, constituant majoritaire jusqu’à près de 400 km de profondeur. Plus largement, l’olivine est pressentie comme l’un des principaux minéraux des manteaux des corps telluriques du système solaire. Les propriétés élastiques des olivines jouent donc nécessairement un rôle crucial dans les propriétés physiques du manteau supérieur. Il se trouve que la grande majorité des études portant sur l’élasticité des olivines concernent 3 compositions d’olivines, à savoir les pôles purs ferreux et magnésien, ainsi qu’une composition intermédiaire, avec 10% molaire de fer, la plus fréquemment trouvée dans les échantillons mantelliques. Cela laisse un large champ de compositions, notamment les plus riches en fer, pratiquement inexplorées, alors que toutes les compositions entre les pôles purs existent dans la nature. L’objectif principal de cette thèse sera donc de combler le . >.

(20) manque de données en déterminant les équations d’état des olivines riches en fer afin de proposer une évolution des modules de compressibilité et de cisaillement par rapport à la composition en fer. Ce manuscrit présente les résultats obtenus à basse température à partir de quatre échantillons d’olivines synthétiques, de pourcentages molaire en fer de 44%, 63%, 81% et 100%, mis dans une presse à large volume de type DIA, jusqu’à des pressions de 6,4 GPa et installés devant une lumière synchrotron (NSLS). Nos expériences s’attacheront particulièrement à décrire et à corriger les effets de la contrainte différentielle dans les expériences réalisées en presse multi-enclumes, souvent ignorée dans la littérature. Après avoir décrit les structures des planètes telluriques et notamment celle du manteau supérieur terrestre, le chapitre 1 détaille les bases théoriques de l’élasticité. Les principales équations d’état sont ensuite comparées avant de décrire les propriétés cristallographiques des olivines. Le chapitre se termine par une compilation détaillée des propriétés élastiques déterminées par expérience pour les compositions des pôles purs (Fe, Mg) ainsi que pour les olivines de composition intermédiaire. La deuxième partie détaille l’ensemble des techniques utilisées lors de nos expériences. D’abord, les méthodes de synthèse de poudres d’olivine en atmosphère réductrice. Ensuite, les densifications des échantillons par frittage flash ou « Spark Plasma Sintering » (SPS), effectuées au laboratoire CIRIMAT (Toulouse) sur la plateforme nationale de frittage flash (PNF2), dont un a par ailleurs servi lors d’expériences de déformation sous haute pression et haute température et fait l’objet d’une soumission d’article dans le journal American Mineralogist (août 2016). Puis les expériences de haute pression en presse multienclumes DIA sur la ligne X17B2 au synchrotron NSLS (Brookhaven National Laboratory, New York). Le chapitre détaille les techniques de diffraction des rayons X par dispersion en énergie, ainsi que la mesure de la pression, puis s’attarde particulièrement sur la détermination expérimentale de la contrainte. Enfin, la dernière partie concerne le dispositif de mesure des ondes acoustiques ultrason et notamment les contraintes de préparation des échantillons nécessaires à l’obtention de données de qualité. Le chapitre 3 décrit les résultats obtenus grâce à nos expériences. On commence par y analyser les microstructures des échantillons avant et après expériences afin de contrôler l’homogénéité de la taille et de la forme des grains. Les compositions des échantillons y sont par ailleurs détaillées. Pour chacune des deux techniques (diffraction des rayons X, ultrasons) on détaille les conditions expérimentales et les spécificités analytiques, les calculs d’incertitudes, et enfin les valeurs des volumes de maille, vitesse de propagation des ondes, modules d’élasticité isotherme et adiabatique ainsi que les modules de cisaillement obtenus grâce à nos expériences pour chaque méthode analytique. Enfin, le dernier chapitre apporte un regard critique sur nos résultats. Les données obtenues avec les différentes méthodes expérimentales et analytiques sont débattues et critiquées afin de ne garder que les valeurs les plus cohérentes. Puis, nos valeurs sont mises en perspective les mettant en lien avec les données de la littérature ce qui nous permet de ? .

(21) proposer des modèles d’évolution des modules de compressibilité et de cisaillement en fonction de la teneur en fer des olivines.. . . . @.

(22) . A . .

(23) Chapitre 1 -. Élasticité et olivines. Sommaire. . 6-6 ))!#)""$!""#!$#$!""(#"#$! $"----------------------------------------------------< 6-7 "##)#) $#"/)##----------------------------------------------------------------------------------------------------65 >5?5> "!#'&"! !'(*7.&''.555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555>= >5?5? """.!.%&.55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555>? >5?5?5>

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(26) . C . .

(27) 1.1 Généralités sur les structures des planètes telluriques. Il y a environ 4,57 milliards d’années naissait notre système solaire. Il était alors constitué d’une étoile venant à peine d’être créée, le soleil, entouré d’un disque protoplanétaire composé de poussières (plus près du soleil) et de gaz (plus loin du soleil). Par accrétion, ces poussières finirent par former les corps telluriques que nous connaissons : planètes, lunes et astéroïdes. Tous ces corps présentent une grande variété d’histoires géologiques et de structures. Les plus gros corps (Figure 1.1), de plus de 100 km de diamètre, ont pu subir le processus de différenciation magmatique : l’énergie cinétique dégagée lors de l’accrétion planétaire conduit à la formation d’un magma dans lequel vont se ségréger les éléments légers et les éléments lourds. Les premiers vont former le cœur de la planète tandis que les seconds vont migrer vers la surface.. Figure 1.1 : Tailles relatives et structures internes des planètes telluriques du système solaire et de la lune.. L’exemple le plus étudié de corps planétaire est bien évidemment celui de notre Terre. La structure de la Terre est essentiellement connue grâce à la sismologie. Les profils en profondeur des vitesses de propagation des ondes sismiques compressives ( ) et de cisaillement ( ) montrent la présence de sauts de densité marquant les limites entre les couches principales de la Terre et permettent d’établir des modèles sismiques comme PREM (Preliminary Reference Earth Model, Dziewonski et Anderson, 1981) (Figure 1.2). La discontinuité de Mohorovičič (Moho), représente la base de la croûte terrestre et se situe à 30 km de profondeur moyenne pour la croute continentale et 8 km pour la croute océanique. En dessous se trouve le manteau, dont le volume représente près de 85% du volume total de la Terre, séparé du noyau par la limite de Gutemberg ou CMB (Core-Mantle Boundary) située à 2900 km de profondeur. Le manteau est constamment perturbé par de lents mouvements de convection causés par le fort gradient thermique entre sa base, chauffée à environ 3500°C, et la lithosphère, couche supérieure rigide composée de la croûte et de la partie non ductile du manteau supérieur, à environ 1200°C. Les mouvements de convection, découplés entre de larges mouvements dans le manteau inférieur et des cellules plus petites dans le manteau . D.

(28) asthénosphérique (ductile), évacuent la chaleur interne issue de l’accrétion primordiale, du tri gravitationnel lors de la ségrégation noyau-manteau, de la chaleur latente de cristallisation ou encore de la radioactivité naturelle. Ces mouvements ont un rôle crucial dans la structure de surface de notre Terre puisqu’ils sont responsables d’une bonne partie du magmatisme et qu’ils contribuent à la tectonique des plaques, causant un resurfaçage régulier de la croûte faisant de la Terre une planète très active. Les modèles sismiques n’apportent pas d’information directe sur la composition minéralogique mais quelques échantillons de roches mantelliques existent à la surface. Dans certaines zones du globe, les phénomènes d’obduction (ophiolites) ou d’amincissement crustal (lherzolites pyrénéennes) font directement apparaître un peu de manteau en surface, fournissant des échantillons sur la partie superficielle du manteau supérieur. Un autre moyen est d’étudier les xénolithes ou les inclusions minérales qui sont de petites fractions de manteau piégées dans des roches ou des minéraux. Enfin, les météorites chondritiques permettent de comprendre le matériau originel à partir duquel la Terre et les autres planètes ont été formées. C’est à partir de ces informations et des modèles sismiques que Ringwood (1962a,b) puis Green et Ringwood (1963) ont développé un modèle maintenant largement accepté dit pyrolitique, du nom de la roche théorique à l’origine de la formation du manteau terrestre. Ce modèle, combiné aux données de PREM montre que le manteau supérieur est principalement composé d’olivine (près de 60%), associée au grenat et aux pyroxènes (Figure 1.3). Les sauts de densité constatés par le modèle PREM dans la zone de transition entre 410 km et 660 km sont expliqués par la transition de l’olivine vers ses phases de haute pression, plus denses, que sont la wadsleyite et la ringwoodite.. Figure 1.2 : Structure interne de la Terre comparée aux profils de vitesses des ondes sismiques (VP et VS) et de densité ( ) d’après le modèle PREM. ZT = Zone de Transition, CMB = Core-Mantle Boundary (© C. Nisr). E .

(29) Figure 1.3 : Modèle pyrolitique de composition minéralogique du manteau (d’après Kaminsky, 2012). Opx = orthopyroxène, Cpx = Clinopyroxène.. Figure 1.4 : Comparaisons des structures et minéralogies de Mars (à gauche) et de la Terre (à droite). D’après Bertka et Fei (1997). L’olivine joue nécessairement un rôle crucial dans les processus physico-chimiques du manteau terrestre et la définition de ses paramètres physique semble essentielle à la compréhension des mécanismes du manteau. L’importance de l’olivine ne se limite pas à notre Terre car les modèles de structures planétaires prédisent que les manteaux des autres planètes telluriques contiennent probablement de grandes quantités d’olivine. C’est notamment le cas de Mars, la planète la plus étudiée après la Terre. Mars ne possède pas encore de capteur sismique pour étudier sa structure interne, ce qui devrait changer avec l’arrivée prochaine de la mission Insight. Mais des hypothèses ont déjà été faites quant à sa. . F.

(30) sur la structure interne et elles prédisent un manteau supérieur très épais et majoritairement composé d’olivines (Figure 1.4). Parmi les éléments à prendre en compte dans l’étude des olivines, la proportion en fer joue un rôle important, une olivine magnésienne n’ayant pas exactement les mêmes propriétés physiques qu’une olivine ferreuse. C’est d’autant plus intéressant qu’on suppose que les manteaux planétaires présentent des quantités de FeO différentes, s’accroissant au fur et à mesure qu’on s’éloigne du soleil. On passerait de 2-3% pour Mercure, à 7-8% pour Vénus et la Terre et 15-20 % pour Mars ou Vesta. Le but de ce travail sera donc d’étudier les propriétés élastiques fer (telles que les modules de compressibilité isotherme et adiabatique, ou encore le module de cisaillement) des olivines riches en fer, pour lesquelles les données ne sont que parcellaires, afin de comprendre l’influence qu’elles pourraient avoir sur la physique des manteaux planétaires.. 1.2 Élasticité et équations d’état. 1.2.1. Concepts fondamentaux de l’élasticité. L’élasticité des minéraux est fondamentale pour comprendre les propriétés physiques des différentes enveloppes constituant les planètes telluriques, en particulier la Terre. L’immense majorité des informations dont nous disposons sur l’intérieur de la Terre provient des données sismiques. Les ondes sismiques se propagent selon des vitesses qui dépendent directement des propriétés physiques des milieux traversés. Ce sont des ondes élastiques. Les équations d’état sont directement liées à la théorie de l’élasticité et il est donc essentiel de bien en comprendre les notions fondamentales. Des informations plus détaillées concernant l’élasticité des minéraux peuvent être trouvées dans Nye (1957), Poirier (1991), ou encore dans Angel et al. (2009). Quand un matériau solide est soumis à des contraintes extérieures celui-ci va se déformer de diverses manières. La contrainte est par définition un élément de force appliquée sur une surface et est donc équivalente à une pression. Dans un repère orthonormé, les contraintes appliquées sur un solide sont décomposées selon les trois axes comme un ellipsoïde des contraintes (Figure 1.5) avec la contrainte principale, la contrainte minimale et une contrainte intermédiaire normale aux deux autres. Il en résulte un ellipsoïde des déformations qui est l’inverse de celle des contraintes. À noter que ce formalisme, courant dans la communauté des géologues, est généralement inversé chez les physiciens avec la contrainte minimale et la contrainte maximale. Sous Terre, la contrainte totale est souvent la somme d’une contrainte lithostatique et d’une éventuelle contrainte déviatorique liée aux mouvements tectoniques. Pour des faibles déformations, le lien entre les contraintes et les déformations est établi grâce à l’élasticité. >= .

(31) Les propriétés élastiques d’un matériau définissent sa capacité à retrouver sa forme initiale une fois que les forces ont été supprimées (Figure 1.6). La déformation élastique est donc entièrement réversible. Lorsque les forces appliquées deviennent trop importantes, les défauts et impuretés du minéral vont s’accumuler et on atteint la limite d’élasticité (« yield strength » en anglais). On entre alors dans le domaine des déformations plastiques qui, elles, sont irréversibles. Dans le cas du travail sur les équations d’état, le but est de rester dans le domaine des déformations élastiques de faible amplitude, c’est-à-dire celles qui concernent l’élasticité linéaire n’incluant par la viscosité du matériau. Ce sont donc des déformations instantanée, indépendante du temps. Ce domaine est régi par la loi de Hooke qui, dans cas d’une déformation purement compressive ou extensive, relie , la contrainte extensive/compressive qui s’applique sur le matériau à la déformation , paramètre sans dimension qui représente l’allongement relatif : (1.1) , avec , le module de Young (la pente de la droite). La loi de Hooke peut également être exprimée pour une déformation en cisaillement pur où est la contrainte de cisaillement, l’angle de déformation relative et le module de cisaillement (ou module de Coulomb) :. .. (1.2). Les contraintes compressive et de cisaillement ainsi que les modules de Young et de Coulomb s’expriment en Pa, équivalent à une pression, est un angle en radians.. Figure 1.5 : Ellipsoïdes des contraintes (à gauche) et des déformations (à droite) selon un formalisme de géologue ( = contrainte maximale, = contrainte minimale). Les déformations sont à l’opposé des contraintes : plus la contrainte selon un axe est faible, plus celui-ci se déforme.. Dans cette thèse, les déformations élastiques seront représentées par les variations du volume de la maille cristalline avec la pression. Prenons le cas d’une augmentation de pression sur une maille d’un cristal de volume , il va en résulter une diminution du volume . Les matériaux ont des volumes de maille différents et si on veut pouvoir comparer les valeurs de variation de volume entre elles, il convient de travailler avec un normaliser la différence de volume par le volume initial pour avoir en fonction de . . >>.

(32) Si on prend le cas d’une variation infinitésimale, on peut considérer que la variation entre contrainte et déformation est linéaire et on a donc qui peut être transformé en : . . (1.3). où est défini comme le module de « souplesse » et , son inverse, comme le module d’incompressibilité, ou de rigidité (bulk modulus en anglais). Des deux modules, le module d’incompressibilité est le plus utilisé : . . (1.4). Figure 1.6 : Diagramme déformation-contrainte d’un matériau. Le point A représente la limite d’élasticité linéaire, le point B la limite d’élasticité à partir de laquelle débute la déformation plastique. Au delà, u est la contrainte ultime en traction et f le point de rupture.. 1.2.2. Loi de Hooke généralisée. 1.2.2.1 Notation tensorielle. Dans le paragraphe précédent, on considérait que la pression s’appliquant sur un matériau était hydrostatique, i.e. la même dans toutes les directions de l’espace. Dans un cas plus réaliste, il faut considérer que des forces locales s’exerçant sur un objet peuvent être différentes selon la direction et que les déformations sont non homogènes. Prenons le cas le plus simple possible d’un cube de longueur unitaire dans un repère orthonormé x, y z (Figure 1.7). On définit comme le tenseur des contraintes, à savoir une matrice 3×3 dont les >? .

(33) valeurs = 1, 2, 3 correspondent respectivement aux axes x, y, z. Cet exemple permet de différencier deux types de contraintes. Le cas d’une contrainte normale est exprimé par où les forces s’appliquent perpendiculairement à chaque axe selon la normale de chaque face du cube ( selon l’axe x, selon l’axe y et selon l’axe z). Les contraintes de cisaillement sont toutes les autres valeurs de pour lesquelles i ≠ j. Le système peut être simplifié en présumant que les faces opposées du cube sont soumises aux mêmes forces et réagissent de la même façon. On peut également considérer qu’il n’y a pas de mouvements de rotation ce qui revient à égaliser les contraintes de cisaillement . Finalement, le tenseur des contraintes est composé de 9 paramètres dont 6 sont égaux deux à deux, soit un total de 6 paramètres indépendants.. Figure 1.7 : Représentation des contraintes sur les faces d’un cube dans un repère cartésien (d’après Angel et al., 2009).. Les mêmes conventions s’appliquent au tenseur des déformations . Allongements ou raccourcissements du cube selon les axes x, y et z, autrement dit les déformations normales, se traduiront par les valeurs , et . Pour une déformation , on aura . Par convention, le raccourcissement est une valeur négative de la déformation et l’allongement une valeur positive. Comme pour la contrainte, les déformations en cisaillement vont être de même valeur deux à deux ( ) puisqu’on suppose qu’il n’y a aucune torsion. Avec cette nouvelle notation, on peut écrire la loi de Hooke sous sa forme généralisée comme : . . (1.5). . . >@.

(34) où est le tenseur de rigidité, d’ordre 4, qui comprend au maximum 81 coefficients élastiques, puisque reliant deux tenseurs à 9 composants chacun. Par symétrie, représente le tenseur de souplesse qui exprime la déformation issue d’une contrainte donnée : . . (1.6). . Cependant, les mêmes suppositions sont faites pour que pour les tenseurs des contraintes ou des déformations. Le nombre de paramètre indépendants se réduit à ainsi à 36 (6 x 6), et même 21 si on considère que les et doivent être égaux à cause des propriétés sur l’énergie et le travail (Angel et al., 2009). À noter que les dans le cas où i ≠ j doivent en fait être égal à pour que l’équation 1.5 soit équilibrée : . . . . . . . . (1.7). avec comme paramètres indépendants de les valeurs diagonales (en noir) et la moitié des valeurs (en rouge) hors de la diagonale. La symétrie du cristal peut encore réduire le nombre de paramètres indépendants, jusqu’à un minimum de 3 pour une maille cubique, celle qui a le plus de symétries (Tableau 1.1). Tableau 1.1 : Nombre de paramètres indépendants pour chaque groupe de symétrie de réseaux de Bravais. Réseaux cristallin Triclinique Monoclinique Orthorhombique Trigonal Quadratique (Tétragonal) Hexagonal Cubique. Nombre de paramètres indépendants 21 13 9 6 ou 7 6 ou 7 5 3. 1.2.2.2 Notation de Voigt La notation de Voigt est spécifiquement adaptée aux tenseurs dans lesquels les paramètres . Elle permet notamment de simplifier l’écriture de la matrice des (équation 1.7) et des . Le principe est de rassembler les indices deux à deux afin de numéroter de 1 à 6 les paramètres indépendants des tenseurs : >A .

(35) . . Chaque contrainte peut donc être simplifié comme dans cet exemple avec : . 1.2.3. (1.8). Pression hydrostatique et agrégats polycristallins. L’étude des équations d’état des minéraux doit se faire sous pression hydrostatique, un état de contraintes dans lequel seules les contraintes normales sont non nulles et égales à la pression . Il n’y a pas de contraintes cisallantes. Dans le cas d’une pression hydrostatique, lorsqu’on cherche à estimer la contrainte moyenne ressentie par un agrégat polycristallin dont les grains sont orientés de manière aléatoire, deux bornes théoriques servent de limites aux calculs des modules d’élasticité et de cisaillement. Dans le premier cas, on suppose que tous les grains subissent individuellement la même contrainte, considérant que les grains glissent parfaitement les uns part rapport aux autres. C’est la limite de Reuss, pour laquelle on surestime le tenseur de souplesse et qui sert de limite supérieure. Dans le second cas, la limite de Voigt, les grains sont parfaitement bloqués les uns contre les autres et la déformation du réseau est uniforme dans tout l’agrégat, surestimant cette fois le tenseur de rigidité . C’est la limite inférieure de l’estimation du module d’élasticité qui ne diffère normalement que de quelques pourcents par rapport à la limite de Reuss. . . (1.9). . . (1.10). C’est la première estimation, celle de Reuss, qui est généralement retenue dans les calculs (Angel et al., 2014).. . >B.

(36) 1.2.4. Paramètres élastiques en sismologie. Nous avons vu au paragraphe 1.2.1, que les paramètres élastiques de la Terre pouvaient être calculés à partir des mesures de temps de trajet des ondes sismiques. Les vitesses des ondes acoustiques sont en effet directement liées aux propriétés élastiques du matériau qu’elles traversent. Certaines expériences « de sismologie de laboratoire » comme l’interférométrie ultrason (Li et Liebermann, 2007) permettent donc de calculer directement les paramètres élastiques d’après les vitesses de propagation des ondes acoustiques. Une revue détaillée de cette sismologie de laboratoire est fait par Li et Liebermann (2014). Si on excepte les ondes de surface, qui pour des raisons évidentes ne nous intéressent pas, et les ondes réfléchies, il existe deux types d’ondes acoustiques (Figure 1.8). Les ondes P (Primaires) sont des ondes de compression pour lesquelles le déplacement des particules est longitudinal par rapport à la direction de propagation de l’onde. Les ondes S (Secondaires) encore dénommées ondes de cisaillement, sont des ondes transversales qui se propagent avec un mouvement des particules perpendiculaire à la direction de propagation. Les forces de rappel entre les particules provoquées par les micro-déplacements engendrés par les ondes sont évidemment liées aux propriétés élastiques du matériau ainsi qu’à la densité du matériau traversé sous la forme :. . (1.11). Figure 1.8 : Mouvements de la structure d’un solide traversé par des ondes P et S. Chaque petit cube représente un élément de volume du matériau qui peut symboliquement être relié aux éléments adjacents par des petits ressorts pouvant être comprimés ou dilatés les 3 axes principaux. Pour les ondes P, les particules se compressent et se dilatent dans la même direction que la propagation. Pour les ondes S, ce déplacement est orthogonal à la direction de propagation. >C .

(37) En sismologie, les vitesses des ondes P et S sont reliées aux modules d’élasticité adiabatique et au module de cisaillement par les équations suivantes :. . . (1.12). . (1.13). où est la densité du matériau.. 1.2.5. Les équations d’état. 1.2.5.1 Base théorique. L’état thermodynamique d’un système à l’équilibre est relié par des variables d’état, qui forment une équation d’état (ou EoS, pour « Equation of State »). Par exemple, une EoS peut relier la pression , la température et le volume . À partir de cette équation décrivant l’état physique du système étudié, on peut théoriquement calculer toutes les quantités thermodynamiques caractéristiques du système et en déduire ses propriétés physiques, (comme l’élasticité). Les EoS ne reliant que quelques variables entre elles afin d’étudier un type de propriété physique, il peut donc y avoir plusieurs équations différentes pour un même objet, décrivant chacune un type de propriété physique du système. L’une des équations d’état les mieux connues est celle des gaz parfaits : . (1.14). Il faut noter la forme de l’EoS d’un solide n’a aucune base thermodynamique puisque ce sont des équations empiriques s’appuyant sur quelques suppositions initiales qui ne peuvent être corroborées qu’avec le bon ajustement de l’équation aux données expérimentales (Angel, 2000). Les EoS décrites traduisent généralement l’évolution de (équation 1.4), le module d’incompressibilité à pression ambiante et ses dérivées première et seconde, et . Selon les expériences, le module d’élasticité mesuré sera soit isotherme, (expériences de diffraction des rayons X), soit adiabatique (expériences d’interférométrie ultrasons). Les deux peuvent être reliés à l’aide de la température , du paramètre de Grüneisen thermodynamique (qui définit la variation de la pression avec l’énergie interne à volume constant) et du coefficient d’expansion thermique par : . >D.

(38) . (1.15). avec , pour lequel est la densité à température et pression ambiantes, la capacité calorifique à pression constante et la capacité calorifique à volume constant. Dans le paragraphe suivant, on s’intéressera aux principales EoS utilisées pour décrire l’évolution du volume de la maille cristalline des minéraux terrestres sous haute pression. Nous ne parlerons pas par exemple des équations , des ondes de choc ou des calculs ab initio. Pour une description plus exhaustive des EoS pour les solides, on peut se tourner par exemple vers Angel et al., 2014 ou Anderson, 1995.. 1.2.5.2 Équation de Murnaghan. La plus simple façon d’obtenir une EoS reliant la pression et le volume est de supposer que est indépendant de la pression et de la déformation comme décrit dans la loi de Hooke. Cependant, les expériences montrent qu’un solide comprimé de moins en moins compressible. Dans son EoS, Murnaghan, (1937) suppose ainsi que le module d’incompressibilité varie linéairement avec la pression à savoir que . On peut ainsi intégrer cette équation pour obtenir. . . . . . (1.16). . (1.17). ou . . . Les expériences ont démontré que l’EoS de Murnaghan reste suffisamment efficace tant que la le rapport de compression reste supérieur à 0,9. Au delà, les différences avec les valeurs réelles deviennent trop importantes et sont mieux décrites par d’autres équations. En effet, les expériences montrent que le a tendance à diminuer légèrement avec la pression, ce qui revient à dire que a une valeur négative alors que l’équation de Murnaghan implique que = 0 .. 1.2.5.3 Équation de Birch-Murnaghan. L’équation de Birch-Murnaghan (Birch, 1947), que l’on pourra abréger par BM, est la plus répandue pour décrire les matériaux géologiques puisque l’une de celles qui décrit le >E .

(39) mieux le comportement d’un solide sur la plus grande gamme de pressions et de volumes. L’EoS de BM est basée sur un développement en série de Taylor de l’énergie libre en fonction de la contrainte finie calculée par la méthode d’Euler: . . . . . (1.18). . En conséquence, l’équation de Birch-Murnaghan au 3ème ordre (BM3) s’écrit :. . . . . . . . . . . . . (1.19). . . . . (1.20). Dans les cas les plus exceptionnels de données sur une large gamme de pressions, il est possible d’ajuster l’équation au 4ème ordre (voir dans Boffa Ballaran, 2010 ou Angel, 2000) mais malheureusement, la qualité des données et la gamme de couverte obligent souvent à se limiter au deuxième ordre (BM2). Dans ce cas, la dérivée première est fixée à 4.. 1.2.5.4 Équation logarithmique de « contrainte naturelle ». Cette équation plus récente, développée par Poirier et Tarantola (1998), est fondée sur la contrainte linéaire de Hencky, ou « contrainte naturelle », : . (1.21). Au troisième ordre, l’équation d’état s’écrit : . . . . . . (1.22). Tout comme l’équation de BM, cette équation peut être exprimée au deuxième ordre en fixant la valeur à . Il faut noter que, dans le cas de BM au deuxième ordre, . Cela montre qu’il est souvent délicat de comparer des valeurs de et obtenues avec des EoS différentes. . >F.