Sur les erreurs en asservissement visuel

Texte intégral

(1)Sur les erreurs en asservissement visuel Bernard Espiau. To cite this version: Bernard Espiau. Sur les erreurs en asservissement visuel. RR-2619, INRIA. 1995. �inria-00074066�. HAL Id: inria-00074066 https://hal.inria.fr/inria-00074066 Submitted on 24 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. SUR LES ERREURS EN ASSERVISSEMENT VISUEL Bernard ESPIAU. N˚ 2619 Juillet 1995. PROGRAMME 4. ISSN 0249-6399. apport de recherche.

(3)

(4) SUR LES ERREURS EN ASSERVISSEMENT VISUEL Bernard ESPIAU Programme 4 | Robotique, image et vision Projet BIP Rapport de recherche n 2619 | Juillet 1995 | 58 pages. Resume : En asservissement visuel, la commande appliqu

(5) ee a une cam

(6) era utilise un mo-. d ele de la dynamique du syst eme, essentiellement repr

(7) esent

(8) ee par une matrice jacobienne appel

(9) ee matrice d'interaction. Le calcul de celle-ci fait intervenir les param etres intrins eques et extrins eques de la cam

(10) era ainsi que certaines informations sur la g

(11) eom

(12) etrie de la sc ene. L'objet de ce rapport est d'

(13) etudier l'inuence sur le comportement du syst eme boucl

(14) e d'erreurs sur ces param etres. Cette analyse est eectu

(15) ee a partir d'une forme g

(16) en

(17) erale de la matrice d'interaction, mais reste limit

(18) ee sur le plan th

(19) eorique. La majeure partie des r

(20) esultats est obtenue a l'aide d'

(21) etudes syst

(22) ematiques en simulation et en exp

(23) erimentation r

(24) eelle. Par ailleurs, divers points connexes sont abord

(25) es, tels les probl emes de d

(26) etermination de consigne et l'utilisation en stereovision Mots-cle : Vision par ordinateur, commande de robots, asservissement visuel. (Abstract: pto). Unite´ de recherche INRIA Rhoˆne-Alpes 46 avenue Fe´lix Viallet, 38031 GRENOBLE Cedex 1 (France) Te´le´phone : (33) 76 57 47 77 – Te´lećopie : (33) 76 57 47 54.

(27) On Errors in Visual Servoing. Abstract: In the classical framework of visual servoing, the control law to be applied to a. mobile camera uses a model of the dynamics of the system, which is mainly characterized here by a specic jacobian, the interaction matrix. The computation of this matrix requires knowledge of intrinsic and extrinsic parameters and also some information about 3D in the scene. This report is aimed to study the inuence of specic kinds of errors or uncertainties about these parameters on the behavior of the closed-loop system. Although the analysis is performed from a general form of the interaction matrix, the theoretical issues still remain limited. The major part of the results is obtained from systematic experimental studies or simulations. Besides, some other points are addressed, like the determination of set points or the extension to stereovision Key-words: Computer vision, robot control, visual servoing.

(28) Erreurs en asservissement visuel. 3. 1 Introduction Le probl eme de la calibration (

(29) etalonnage) des cam

(30) eras en vision articielle est fr

(31) equemment pr

(32) esent

(33) e comme a la fois incontournable d es que l'obtention d'informations m

(34) etriques est demand

(35) e, et d

(36) elicat de par la relative lourdeur des proc

(37) edures a mettre en oeuvre. Les algorithmes eux-mêmes doivent faire l'objet d'un soin tout particulier si l'on d

(38) esire obtenir une bonne pr

(39) ecision (voir un exemple en 18]). Pour s'aranchir de tels probl emes, plusieurs auteurs se sont r

(40) ecemment int

(41) eress

(42) es a l'

(43) etude de ce qu'il

(44) etait possible de conna^tre ou de reconstruire en l'absence de toute calibration par la simple donn

(45) ee de mise en correspondance d'un certain nombre de points dans un ensemble d'images, en particulier un couple st

(46) er

(47) eoscopique (4, 9]). La calibration est alors quali

(48) ee de "faible" et, par exemple, la reconstruction est eectu

(49) ee au choix d'une base pr es, ce qui peut être susant pour certaines applications. Dans le cas de l'asservissement visuel, le probl eme est un peu di

(50) erent: un vecteur de mesures extraites des images d'un ensemble de cam

(51) eras (ou plus souvent d'une seule) est utilis

(52) e pour calculer a chaque instant une commande, aussitôt appliqu

(53) ee au syst eme, dans le but d'atteindre ou de conserver une situation donn

(54) ee dans les images. Le passage a la reconstruction 3D n'est pas forc

(55) ement n

(56) ecessaire, mais il est par contre important que la boucle ainsi construite pr

(57) esente un comportement acceptable en performance et en abilit

(58) e. Le probl eme se pose alors en termes de robustesse par rapport a des param etres incertains, c'est a dire a des incertitudes sur la calibration, sur certains aspects li

(59) es au 3D ou même sur les consignes dans l'image. L'objet de ce rapport1 est d'

(60) etudier, principalement exp

(61) erimentalement, l'inuence de telles incertitudes sur le comportement d'un asservissement visuel, en consid

(62) erant ici uniquement comme primitives g

(63) eom

(64) etriques un ensemble de points. En premier lieu, on rappellera les principes de l'approche utilis

(65) ee. On pr

(66) esentera ensuite une forme g

(67) en

(68) erale pour la matrice jacobienne du probl eme, connue sous le nom de matrice d'interaction, dans laquelle apparaissent explicitement les contributions des diverses sources d'erreurs. On traitera ensuite quelques exemples, et l'on commentera un ensemble de r

(69) esultats exp

(70) erimentaux et de simulation. On s'int

(71) eressera enn au probl eme de la d

(72) etermination des images cibles en cas de calibration erronn

(73) ee ou absente. En parall ele on

(74) evoquera le probl eme de la calibration faible et de l'utilisation de techniques de reconstruction. Des annexes pr

(75) esentent l'ensemble des r

(76) esultats ainsi que quelques points techniques.. 2 L'approche "asservissement visuel" Nous ne d

(77) ecrirons pas ici en profondeur cette approche, d

(78) esormais classique, et renvoyons pour tous d

(79) etails le lecteur a 2], et 3] . Rappelons en, et de facon simpli

(80) ee, les principes n

(81) ecessaires et susants a la compr

(82) ehension de la suite. 1. Ce travail a ete eectue dans le cadre du projet inter-PRC VIA.. RR n 2619.

(83) 4. B. Espiau. 2.1 Modelisation. Soit un ensemble de cam

(84) eras li

(85) ees rigidement et rendues mobiles par un syst eme quelconque dont la conguration est param

(86) etr

(87) ee par , dim( ) = 6. On suppose que constitue une carte locale de SE(3) et que l'on se situe dans un domaine $ tel que 8 r = f( ) 2 $ @ r soit r

(88) SE3, @ egulier. Dans le cas o u les cam

(89) eras sont port

(90) ees par un robot, cela implique que l'on se situe hors de ses singularit

(91) es g

(92) eom

(93) etriques. On observe dans les images un certain nombre de grandeurs a partir desquelles on construit des "signaux capteurs", s = fsi i = 1::ng, On suppose que ceux-ci ne d

(94) ependent que des d

(95) eplacements relatifs rigides entre les objets de la sc ene qui les engendrent et les cam

(96) eras concern

(97) ees, donc que s peut être mod

(98) elis

(99) ee par une application de SE(3) dans R. Notons qu'une extension r

(100) ecente a cette approche permet de prendre en compte des informations li

(101) ees au mouvement di

(102) erentiel apparent dans les images (voir 21]), mais nous ne la consid

(103) ererons pas ici. Soit maintenant une fonction scalaire h(s) que l'on souhaite minimiser par rapport a . Si un tel minimum m existe, au moins localement, son gradient y sera nul: @h @s @ r = 0 (1) 8 2m : @s @ r @ @ r

(104) Examinons ces di

(105) erents termes. Le jacobien du robot @ etant suppos

(106) e r

(107) egulier, (1) devient: @h @s = 0 (2) 8r 2 f(m) : @s @ r @s , de dimension n 6 et de rang p min(n 6), est not

(108) ee LT . La solution de (2) est @ r donc m tel que: @h 2 Ker (LT ) (3) 8r 2 f(m) : @s Soit par exemple h = 12 (s ; s )T (s ; s ). On a alors @h @s = s ; s . Suivant la dimension n et le rang p il peut ou non exister plusieurs classes de solution a (3), dont: s ; s = 0 (4) seule situation que nous consid

(109) ererons dans la suite. Si les contraintes d

(110) enies par (4) sont compatibles, alors (4) d

(111) enit une liaison virtuelle (cf 2]). Lorsque n > 6 et si les objets vis

(112) es sont li

(113) es rigidement, cette compatibilit

(114) e n'est assur

(115) ee qu'avec un bon choix de s . En d

(116) erivant (4), il vient: (5) s_ = @@sr r_ = 0 De par la d

(117) enition de si , il appara^t que @s@ ri peut être assimil

(118) e a un

(119) el

(120) ement de se3 , dual de l'espace tangent se3 a SE(3), appel

(121) e torseur d'interaction Hi. r_ est quant a lui le torseur cin

(122) ematique = fV #g. L'

(123) equation (5) signie donc que, comme dans une liaison cin

(124) ematique r

(125) eelle, les mouvements localement laiss

(126) es libres par la contrainte (4) sont dans. INRIA.

(127) Erreurs en asservissement visuel. 5. le sous-espace r

(128) eciproque du sous-espace engendr

(129) e par l'ensemble des torseurs d'interaction T fH1 : : : Hng. La forme matricielle associ

(130) ee a cet ensemble n'est autre que @s ee @ r = L , appel

(131) "matrice d'interaction".. 2.2 Une approche du contrôle 2.2.1 Preliminaires. Il faut a pr

(132) esent construire une commande qui permette de r

(133) ealiser la contrainte (4). Consid

(134) erons pour les besoins de l'expos

(135) e un cas tr es simpli

(136) e o u la variable de "commande" n'est autre que le torseur cin

(137) ematique. Supposons s de dimension 6 et les contraintes compatibles et ind

(138) ependantes. En d'autres termes, dans un certain domaine de SE(3), la solution de (4) est unique et la matrice LT est r

(139) eguli ere. En posant e = s ; s , il est clair que, pour assurer la convergence exponentielle de chaque composante de e vers zero, il faut choisir = ;gL;T e (6) g scalaire positif. En eet, on a alors e_ = @@sr = ;ge. Toutefois, et c'est l a le probl eme qui nous int

(140) eresse ici, comme la matrice LT caract

(141) erise l'interaction capteur/environnement, elle d

(142) epend des param etres cam

(143) era et de caract

(144) eristiques 3D de l'environnement. Ces deux classes de grandeurs peuvent être partiellement ou mal connues. D'o u l'utilisation dans la commande d'un mod ele (estim

(145) e en ligne ou donn

(146) e a priori), L^ T . La commande devient alors: L'

(147) evolution de e s'

(148) ecrit: En

(149) ecrivant:. = ;gL^ ;T e. (7). e_ = ;gLT L^ ;T e. (8). d 1 2 T T T ^ ;T (9) dt ( 2 kek ) = e e_ = ;ge L L e on voit qu'une condition susante de d

(150) ecroissance de kek est que la matrice LT L^ ;T soit positive (condition C1). Cela se g

(151) en

(152) eralise a des sch

(153) emas plus complexes, faisant en particulier intervenir la dynamique, comme montr

(154) e en 11].. 2.2.2 Forme generale. Consid

(155) erons a pr

(156) esent le cas o u, n

(157) etant quelconque et les contraintes restant compatibles, on a: rang (LT ) = p < 6. Les contraintes (4) ne susent alors pas a fournir une solution unique. On montre qu'une facon pertinente de poser ce probl eme consiste a chercher a r

(158) eguler a zero une fonction e impliquant la satisfaction de (4), tout en protant des degr

(159) es de libert

(160) e restants pour minimiser un coût scalaire secondaire hs repr

(161) esentant par exemple un suivi de trajectoire. Formellement (11]), cela s'exprime par la r

(162) egulation de: s e = W ye1 + (I6 ; W yW) @h (10) @r RR n 2619.

(163) 6. B. Espiau. o u e1 est, dans notre cas, une fonction des variables s explicit

(164) ee plus loin, un scalaire positif et W une matrice telle que R(W T ) = R(( @e@ r1 )T ) (propri

(165) et

(166) e P1). Dans le cas de l'utilisation de capteurs, la fonction e1 a donc la forme suivante: e1 = D(s ; s ) (11) o u D est une matrice p n dite "de combinaison" a d

(167) eterminer telle que la matrice DLT soit de rang plein. Voyons a pr

(168) esent ce que devient la condition de positivit

(169) e C1 dans ce sch

(170) ema. On peut montrer que si (condition C2): DLT W T > 0 (12) et si n'est pas trop grand, alors la matrice jacobienne @@er est positive. Si l'on choisit maintenant un sch

(171) ema de commande du type (7), c'est- a-dire de la forme ^ ;1 (13) = ;g( @@er ) e il appara^t que l'on peut assurer la convergence du syst eme en choisissant simplement On a alors:. ^ ;1 ( @@er ) = I6. (14). d 1 2 T @e (15) dt ( 2 kek ) = ;ge @ r e < 0 On aura donc par exemple int

(172) erêt a choisir D = WL pour satisfaire la condition C2. La propri

(173) et

(174) e P1 devient alors: "W T est une matrice dont les vecteurs colonnes forment une base du sous-espace engendr

(175) e par l'ensemble des torseurs d'interaction fH1 : : : Hng". Comme pr

(176) ec

(177) edemment, nous devons a pr

(178) esent prendre en compte le fait que L peut être mal connue. La condition C2 s'

(179) ecrit alors: W L^ LT W T > 0 (16) c'est- a-dire (condition C3): L^ LT 0 (17) A noter que la propri

(180) et

(181) e P1 telle qu'

(182) enonc

(183) ee ci-dessus peut être souvent satisfaite en pratique car la connaissance qu'elle n

(184) ecessite sur L est minimale et g

(185) en

(186) eralement disponible. En remarquant que L^ LT = L^ LT (L^ ;T L^ T ), on constate que les conditions C1 et C3 s'expriment nalement sous des formes analogues.. Remarque Une breve approche du cas de l'asservissement visuel en stereovision est proposee. en annexe A.. INRIA.

(187) Erreurs en asservissement visuel. 7. 2.3 Probleme considere. Revenons au probl eme des erreurs en asservissement visuel. Nous allons restreindre notre

(188) etude au cas o u le vecteur s ne comporte que des coordonn

(189) ees r

(190) etiniennes de points 3D projet

(191) es. La matrice LT est alors la matrice du ot optique correspondant, appel

(192) ee aussi jacobien de l'image. La plupart des erreurs que nous consid

(193) erons seront concentr

(194) ees dans cette matrice: incertitudes explicites sur les param etres, erreurs d'estimation en ligne, etc... Par ailleurs, nous nous int

(195) eresserons a des sch

(196) emas de commande de type (2) ou (7) suivant les cas. Dans ce cadre, notre objectif sera la r

(197) egulation autour d'une valeur s constante, suppos

(198) ee telle que l'utilisateur consid ere son objectif comme atteint d es que s = s . Cela n'est pas anodin: en eet, il n'est ni toujours facile, ni forc

(199) ement plus sûr d'exprimer un objectif de cette mani ere, c'est- a-dire sans recourir explicitement a une sp

(200) ecication 3D. Nous reviendrons plus loin sur cet aspect.. 3 Formes de la matrice d'interaction 3.1 Calcul direct. Soit R0 un rep ere de r

(201) ef

(202) erence d'origine Oo (rep ere de commande, souvent appel

(203) e rep ere de l'eecteur) et Rc le rep ere associ

(204) e a la cam

(205) era concern

(206) ee et ayant son centre optique Oc pour origine. Soit s = (u v)T le vecteur des coordonn

(207) ees r

(208) etiniennes de la projection d'un point M de coordonn

(209) ees X T = (X Y Z )T dans R0. En utilisant les coordonn

(210) ees projectives, on peut

(211) ecrire: q = PM. s. X o u q = 1 et M = 1 , P

(212) etant la matrice de projection perspective: P t P=. (18). 1 (19) p3 T t3 o u dim (P1) = 2 3, dim (t)=2 1, dim (p3 ) = 3 1 et t3 est scalaire. P est d

(213) enie a un facteur d'

(214) echelle pr es, et donc par 11 param etres. Les

(215) equations (18) et (19) donnent: (20) s = T 1 (P1X + t) p3 X + t3 D'o u: s_ = p T X1 + t (P1 ; sp3 T )X_ (21) 3 3 ~ sous la forme En

(216) ecrivant X~_ = V~ (O) + #~ OM. RR n 2619.

(217) 8. B. Espiau. X_ = V + As(X)# (22) o u As(X) est la matrice antisym

(218) etrique associ

(219) ee au produit vectoriel par X, il vient nalement: ; (23) LT = p T X1 + t (P1 ; sp3 T ) I3 j As(X) 3 3 Remarque Nous avons considere ici une projection perspective on trouvera par contre en (cf 24]) un exemple de calcul de matrice d'interaction dans un cadre a

(220) ne.. 3.2 Forme "canonique". L'expression (23) permet le calcul explicite de la matrice d'interaction pour une forme quelconque de P . Elle ne se prête toutefois pas ais

(221) ement a l'analyse. Nous en allons donc en

(222) etablir une autre version. On sait en eet que toute matrice de projection perspective peut se factoriser de mani ere unique sous la forme (13]): o u:. P = APc D. (24). { A est une matrice de changement de coordonn

(223) ees r

(224) etiniennes. Elle est de la forme 0 ;fk fk cot u 1 u u 0 A 11 fk v A @ (25) A= v0 = 0 0 1 0 ; sin 0 0 1 dont les param etres, appel

(225) es intrinseques, sont: { f: distance focale { ku et kv : facteurs d'

(226) echelle sur les axes u et v { u0 et v0 : coordonn

(227) ees de l'intersection de l'axe optique et du plan r

(228) etinien { : angle entre les axes du rep ere image En posant u = fku et v = fkv , il appara^t que A est d

(229) enie par 5 param etres ind

(230) ependants. Nous ne prenons pas en compte dans ce mod ele la distorsion radiale, bien que celle-ci puisse parfois être non n

(231) egligeable (cas des courtes focales), { Pc = (I3 j 0) est la matrice normalis

(232) ee de projection perspective. INRIA.

(233) Erreurs en asservissement visuel. 9. { D est une matrice 44 caract

(234) erisant le changement de rep ere R0 D = 0 R0c0 0 Oc1O0]c Les 6 param etres associ

(235) es sont appel

(236) es extrinseques. On a donc: X q = APcD 1 qui s'

(237) ecrit aussi: 0 A;1 q = Pc X1 avec 0 M 0 = X1 = D X1 = DM coordonn

(238) ees de M dans le rep ere Rc . D'apr es (25) on a : ;1 A ;A11 ;1 11 ;1 A = 0 1 On a alors, d'apr es (28), (29) et la d

(239) enition de q:. 0 X 0 =Z 0 Y 0=Z 0 A11 ;1s ; A11;1 = P B cB @ 1 1 1=Z. En posant. s0 =. (31) et (32) conduisent a:. u0 v0. s_ = A11 0. . ;1. Rc :. RR n 2619. ;1=Z 0. 0. (27) (28) (29) (30). 1 CC A. X 0 =Z 0 Y 0=Z 0. (31). 0 X 0 =Z 02 X 0 Y 0=Z 0 2 ;1=Z 0 Y 0 =Z 02 1 + Y 0 2 =Z 02. (32). . d X 0 =Z 0 = L T (X 0 ) (R )j 0 c Rc dt Y 0 =Z 0 L0 T

(240) etant la forme la plus simple de matrice d'interaction pour un point: L0T (X 0 ) =. (26). = A11;1 s ; A11;1 . s_ = dtd. . o u:. 0. !. ;(1 + X 0 2 =Z 02) Y 0 =Z 0 ;X 0 Y 0=Z 0 2 ;X 0 =Z 0. (33) (34). . (35).

(241) 10. B. Espiau. Les lignes de L0 T

(242) etant des torseurs, il sut d'appliquer l'op

(243) erateur de changement de rep ere associ

(244) e pour obtenir la forme g

(245) en

(246) erale de matrice d'interaction: LT = A11 L0 T (X 0 )( o u X 0 d

(247) epend de D(R0 =Rc) et de M a travers (29), et:. (36). . c O0]0 ( = R0c0 ;Rc0 AsO (37) Rc0 On peut remarquer que se tromper sur ( revient a se tromper sur le rep ere de commande, c'est- a-dire celui auquel on imprime le mouvement . Nous voyons appara^tre dans (36) les sources possibles d'incertitudes: { 6 param etres extrins eques dans ( et L0 T . { 3 param etres intrins eques dans A11. { 3 variables 3D pour chaque point M dans L0 . Si l'on veut se cantoner a l'analyse de la contribution des erreurs de calibration seules, alors on peut supposer, pour l' etude uniquement, que ces variables sont connues. Cependant, en pratique, la relation (32) est utilis

(248) ee dans le calcul de L0 . D'o u l'apparition dans ce cas de la contribution des 5 param etres intrins eques dans L0 T (Z 0 s0 ).. 4 Inuence des erreurs Nous allons

(249) etudier a pr

(250) esent successivement les trois types d'erreurs susceptibles d'appara^tre dans l'asservissement visuel, en mettant toutefois essentiellement l'accent sur les premi eres: 1. les erreurs de calibration (param etres intrins eques) param etres extrins eques)) 2. les erreurs dues a une mauvaise d

(251) etermination de la consigne) 3. les incertitudes sur la g

(252) eom

(253) etrie 3D. Dans chaque cas, on

(254) etudiera l'eet de telles erreurs et l'on

(255) evoquera si n

(256) ecessaire des m

(257) ethodes permettant d'am

(258) eliorer les r

(259) esultats.. 4.1 Erreurs de calibration. On consid ere dans cette section le cas d'une seule cam

(260) era.. 4.1.1 Embryon d'etude analytique. Traitons successivement trois cas tr es simples.. INRIA.

(261) Erreurs en asservissement visuel. 11. Exemple 1 Consid

(262) erons un asservissement sur trois points, dans les conditions suivantes:. les param etres extrins eques sont connus, ainsi que les coordonn

(263) ees 3D. Bien que cela soit peu r

(264) ealiste, supposons que ces derni eres sont explicitement utilis

(265) ees dans le calcul des matrices L0 . En utilisant la commande (7), avec ^ 0T ( L^ T = AL (38) o u 0 A^ 0 0 1 11 A^ = @ 0 A^11 0 A (39) 0 0 A^11 et 0 L T (X 0 ) 1 0 1 (40) L0 T = @ L0 T (X 0 2) A L0 T (X 0 3) l'

(266) equation du syst eme reboucl

(267) e est e_ = ;gAA^;1 e (41) qui est stable si et seulement si les les parties r

(268) eelles des valeurs propres de la matrice constante AA^;1 sont positives, c'est- a-dire simplement si { f^ kû k^v sont de même signe que f ku kv respectivement) cette condition est

(269) evidemment respect

(270) ee. sin ^ > 0. Comme est voisin de , cette derni ere condition est toujours v

(271) eri

(272) ee en { sin 2 pratique.. Exemple 2 Consid

(273) erons deux points de même 3 eme coordonn

(274) ee Z > 0 a l'

(275) equilibre. Sup-. posons que l'on ne se d

(276) eplace qu'en translation (mouvement V ) et que les seules inconnues soient Z et les param etres intrins eques. Soient s1 et s2 les 4 coordonn

(277) ees r

(278) etiniennes des deux projections, avec s1 6= s2 . Nous supposons de plus que l'on reste proche d'une position d'

(279) equilibre (s1 ,s2 ), et que la matrice d'interaction peut donc être consid

(280) er

(281) ee comme constante. En

(282) ecrivant e0 = L^ (s ; s ) et en choisissant la commande V = ;ge0 , g scalaire positif, le comportement r

(283) esultant du syst eme lin

(284) eaire e_0 = ;gL^ LT e0 est stable si et seulement si les parties r

(285) eelles des valeurs propres de L^ LT sont positives. Comme ;I A ;1s ; u 1 A 0 11 2 11 1 0 T L =Z 0 A (42) ;I2 A11;1s2 ; v0 11. RR n 2619.

(286) 12. B. Espiau. il vient: L^ L = 1 ^ ZZ T. . 2A^11T A11 ;(s1 + s2 ; (u0 + v0 ))T A11 (s1. ;A^11. !. T. (s1 + s2 ; (u0 + v0 )) ; u0 )T (s1 ; u0) + (s2 ; v0 )T (s2. ; v0 ). (43) En utilisant le crit ere de Routh sur le polynôme caract

(287) eristique de (43), des conditions sur les param etres peuvent ainsi être obtenues. Par exemple, si = 2 , on montre qu'il sut de choisir des valeurs positives pour les autres param etres et bien entendu pour Z^ pour obtenir une matrice stable a l'

(288) equilibre. Le même r

(289) esultat est obtenu lorsque les points sont sym

(290) etriques par rapport a l'origine du rep ere l'image (s1 ; u0 = ;s2 + v0 ), même lorsque 6= 2 .. Exemple 3 Soit un ensemble de 3 points non align

(291) es de même 3 eme coordonn

(292) ee Z > 0 a l'

(293) equilibre, conduisant aux mesures s1 , s2 , s3 dans l'image. On suppose a pr

(294) esent que tous les mouvements sont autoris

(295) es, et que la seule inconnue est Z > 0. Le syst eme

(296) etant 6 6, on peut cette fois

(297) etudier la matrice B = LT L^ ;T qui repr

(298) esente la dynamique du syst eme. Comme pr

(299) ec

(300) edemment, on va consid

(301) erer la matrice d'interaction comme constante autour de la position d'

(302) equilibre. En supposant pour simplier que la matrice de d

(303) eplacement D est l'identit

(304) e et que u0 = v0 = 0, et apr es avoir r

(305) eordonn

(306) e les lignes de s, B s'

(307) ecrit a l'

(308) equilibre (cf 2]): 0 I 1 0 0 2 C B 0 B=B (44) @ 0 A11 0 1 A11;1 0 CA 0 0 I2 o u = ZZ^ . En utilisant (25) et en posant = uv , on obtient: ;1 A11 0 10 A11;1 = 0 1cos (45) B est donc stable a l'

(309) equilibre pour tout > 0. A noter que si l'on s'

(310) etait int

(311) eress

(312) e a la positivit

(313) e de B, on aurait obtenu la condition plus restrictive, mais alors seulement susante: p p 0 < ;2(1 + 2 ; 1 + 22 ) < < ;2(1 + 2 + 1 + 22 ) (46) o u = cos , condition se r

(314) eduisant a > 0 lorsque = 0. Bien que laissant augurer de bonnes propri

(315) etes de robustesse, ces trois exemples demeurent extrêmement simples. En outre, il a

(316) et

(317) e fait dans les deux derniers une approximation (LT constante). Cependant, nous devons reconna^tre humblement qu'il nous a

(318) et

(319) e dicile de pousser un tant soit peu plus loin l'

(320) etude analytique. En eet, la condition de positivit

(321) e g

(322) en

(323) erale dans le cas des 3 points s'

(324) ecrit:. INRIA.

(325) Erreurs en asservissement visuel. o u L0 T est donn

(326) ee par (40) et:. 13. AL0 T ((^ ;1 L^0 ;T A^;1 > 0. (47). 0A 0 0 1 11 A = @ 0 A11 0 A. (48). 0. 0. A11. Les diverses incertitudes interviennent dans (47) d'une mani ere non triviale. De fait, d es que l'on essaie d'examiner l'inuence de l'une d'elles dans le cas g

(327) en

(328) eral, l'analyse formelle devient vite inextricable. De plus, la condition (47) n'est, rappelons-le, que susante, et comme cela est constat

(329) e en 2], les domaines de stabilit

(330) e sont souvent en pratique beaucoup plus grands que ce qu'elle indique. Cela nous a donc incit

(331) e a approcher l'

(332) etude du probl eme d'une mani ere exp

(333) erimentale, telle que d

(334) ecrite dans le paragraphe suivant.. 4.1.2 Etude en simulation. Nous avons choisi d'

(335) evaluer l'inuence des diverses sources d'incertitudes dans un asservissement visuel en utilisant le syst eme de simulation de 2]. Les conditions op

(336) eratoires sont les suivantes:. Syst eme: On consid ere quatre points coplanaires formant un carr

(337) e de côt

(338) e 20 dans l'espace. Les param etres de la cam

(339) era sont: A = I3) Rc0 = I3 ) OcO0] = 0. La position de r

(340) ef

(341) erence est obtenue lorsque les 4 points forment dans l'image un carr

(342) e centr

(343) e dont les côt

(344) es sont parall eles aux axes, correspondant a une distance Z = 30 Commande: Elle est de la forme: = ;gL^ T y (s ; s ) o u g = 0:1, s T = ( 13 13 ) 31 ; 31 ) ; 13 31 ) ; 13 ; 13 ), et:. (49). L^ T = A^L^0 T (^ avec:. et:. 0 A^11 0 0 B 0 A^11 0 A^ = B @ ^ 0 0. 0 0. A11 0. (50) 0 0 0 A^11. 0 ^ T ^0 ^ ;1 1 L0 (Z 1 A11 s^1 ) C B B L^0 T (Z^0 2 A^11;1 s^2 ) C L^0 T = B B@ L^0T (Z^03 A^11;1s^3) CCA T ;1 L^0 (Z^0 4 A^11 s^4 ). RR n 2619. 1 CC A. (51). (52).

(345) 14 expression dans laquelle on a:. Z^0 i = âT Xi + t^3 a^T

(346) etant la derniere ligne de R^c0 et t^3 l'estimation de la translation en Z.. B. Espiau. (53). Procedure d'evaluation et resultats: On consid ere deux types de commande: l'une. utilise une remise a jour de la matrice d'interaction a chaque pas en fonction des mesures s) l'autre, g

(347) en

(348) eralement moins performante mais plus simple, utilise une valeur constante de L^T calcul

(349) ee a l'

(350) equilibre s (cf 2]). Pour chacune, on

(351) evalue individuellement la contribution de chaque erreur param

(352) etrique dans diverses conditions initiales en rotation et en translation. On examine

(353) egalement leurs eets combin

(354) es dans quelques cas, soit "extrêmes" soit "raisonnables". Les r

(355) esultats sont d

(356) etaill

(357) es en annexe D et l'on peut en tirer les conclusions suivantes: { l'inuence des erreurs d'oset est n

(358) egligeable) { une erreur d'un facteur 2 ou même 3 sur la distance focale modie seulement le temps de convergence dans un rapport voisin, mais ne change pas son allure) { l'eet d'une erreur sur l'orientation des axes du rep ere image ne devient perceptible que lorsque celle-ci est bien au-del a d'une valeur r

(359) ealiste) { les erreurs sur la situation r

(360) eelle du rep ere de la cam

(361) era peuvent avoir un eet signicatif lorsqu'elles sont susamment importantes, par exemple selon les cas 25 a 40 degr

(362) es d'erreur de rotation. Concernant la translation, une erreur en z est plus sensible qu'une erreur en x ou y) { une erreur sur la rotation introduit une modication globale du comportement transitoire et des couplages nouveaux, alors que, comme d

(363) ej a mentionn

(364) e une erreur sur la distance focale joue presque comme un facteur scalaire multiplicatif) { en cas de grandes erreurs de calibration, la convergence est plus facile a assurer lorsque les

(365) ecarts initiaux de positionnement sont petits. { les simulations ne permettent pas de d

(366) ecider si l'un des deux types de commande test

(367) es est plus robuste que l'autre: les r

(368) esultats des s

(369) eries 6 et 8 sont a cet

(370) egard contradictoires. On r

(371) esumera donc en indiquant qu'il semble se d

(372) egager a la vue de ces r

(373) esultats une bonne robustesse du syst eme: la convergence est assur

(374) ee pour des erreurs de calibration raisonnables, voire même assez importantes.. INRIA.

(375) Erreurs en asservissement visuel. 15. 4.1.3 Etude experimentale. Elle a

(376) et

(377) e men

(378) ee dans des conditions analogues a celles de l'

(379) etude en simulation. Les r

(380) esultats en sont pr

(381) esent

(382) es en annexe C. Ils conrment dans l'ensemble les r

(383) esultats de simulation, avec toutefois une sensibilit

(384) e parfois plus grande aux erreurs, même si l'on reste dans des domaines de robustesse tr es largement acceptables en pratique. On notera en particulier une conrmation de l'eet sur la convergence des erreurs de distance focale. Egalement, le choix entre les deux types de commande reste incertain.. 4.2 Erreurs de positionnement nal dues aux incertitudes de calibration. Le sch

(385) ema de contrôle utilis

(386) e dans ce rapport a pour objectif l'atteinte d'une valeur s . On peut s'interroger sur la facon d'obtenir cette valeur. Une premi ere approche consiste a se placer explicitement et r

(387) eellement dans la situation correspondant a la satisfaction de l'objectif utilisateur, et a mesurer le vecteur s associ

(388) e. Il s'agit ici en quelque sorte d'

(389) etalonner l'application plutôt que la cam

(390) era. Une deuxi eme solution consiste a calculer le s a partir du mod ele dont on dispose. Mais lorsque l'on va vouloir appliquer une commande au vrai syst eme pour converger vers ce s , il n'est d'abord pas certain que cette valeur soit atteignable et, si elle l'est, une erreur de positionnement 3D r

(391) esultera de l'erreur de calibration. Nous examinons ces deux points dans la suite.. 4.2.1 Position du probl eme. Soit un ensemble de n points 3D de coordonn

(392) ees euclidiennes Xi , les coordonn

(393) ees r

(394) etiniennes associ

(395) ees

(396) etant si . On a l'expression g

(397) en

(398) erale habituelle: s X i i i 1 = APc Dc D 1 (54) o u D est une matrice de d

(399) eplacement permettant le changement de rep ere d'expression des coordonn

(400) ees des points. Supposons a pr

(401) esent que les coordonn

(402) ees r

(403) etiniennes a atteindre sont calcul

(404) ees, pour les mêmes points 3D de coordonn

(405) ees Xi , a partir d'un mod ele de cam

(406) era erron

(407) e. Nous devons alors chercher s'il existe un ensemble de si identiques a ceux de l'

(408) equation (54) et un d

(409) eplacement D0 tels que: ^ cD^c D0 Xi i 0 s1i = AP (55) 1 D'o u:. RR n 2619.

(410) 16. B. Espiau. APc Dc D. Xi 1. . ^ cD^c D0 = i AP. Xi 1. . (56). o u i = ii0 . Examinons a pr

(411) esent deux questions.. 1- Quand le deplacement dû aux erreurs de calibration est-il independant des points utilises? En posant D1 = fR1 t1g = DcD, D2 = fR2 t2g = D^cD0 et * = A^;1A, l '

(412) equation (56) s'

(413) ecrit:. *(R1 Xi + t1) = i (R2Xi + t2 ) Celle-ci est v

(414) eri

(415) ee pour tout Xi si et seulement si:. *R = R 1 i 2 *t1 = i t2. (57) (58). La premi ere condition indique que ;1 etre une matrice de rotation. Or, d'apr es la i * doit ^ forme de A (

(416) equation (25)), la derni ere ligne de * est (0 0 1). Nous devons donc avoir i = 1 pour tout i et * matrice de rotation. Cela n'est donc possible que si les seules erreurs de calibration portent sur les param etres extrins eques. Alors, * = I3 et les erreurs de positionnement associ

(417) ees sont:. R0 = R^;1R R c c (59) ^ t0 = R^ ;1 c (Rc t + tc ; tc ). 2- Quel est, pour un ensemble de points donne, le deplacement dû aux erreurs de calibration? En r

(418) eutilisant les notations pr

(419) ec

(420) edentes et le partitionnement A=. . A11 0 1. (60). les

(421) equations (54) et (55) donnent respectivement: si = A11 R1 T1Xi + t13 + (61) r3 Xi + t1 et (62) si = A^11 R2 T2Xi + t23 + ^ r3 Xi + t2 o u tij est la i eme composante du vecteur tj et r3j la 3 eme ligne de la matrice Rj (j = 1 2).. INRIA.

(422) Erreurs en asservissement visuel. 17. L'

(423) egalit

(424) e des

(425) equations (61) et (62) donne deux

(426) equations par point Xi , pour 3 inconnues en rotation dans R2 et 3 en translation dans t2. Dans le cas g

(427) en

(428) eral, il est n

(429) ecessaire de r

(430) esoudre ces

(431) equations num

(432) eriquement. Auparavant, il faut s'assurer de l'existence d'une ou plusieurs solutions a ce probl eme, ce qui n'est pas simple a-priori. Donnons-en une interpr

(433) etation g

(434) eom

(435) etrique. Partons de l'

(436) equation (54) et posons: Mi = Dc D X1i (63) ainsi que, comme en (32) 0 s0 = uv0 = A11;1 s ; A11;1 (64) L'


(438) ecrit alors: 0 s i (65) i 1 = Pc Mi De facon analogue, (55) peut s'

(439) ecrire:. 00 i 0 s1i. o u D00 = D^ c D0 D;1 Dc;1 et:. . = PcD00 Mi. . (66). . si 00 = * si 0 (67) 1 1 Il s'agit donc d'

(440) etudier le passage de l'

(441) equation (65) a l'

(442) equation 66), autrement dit l'existence de D00 pour un ensemble de points Mi et une valeur de * donn

(443) es. Il appara^t que le probl eme est

(444) equivalent a l'

(445) enonc

(446) e suivant: etant donn e n points 3D et une con

(447) guration arbitraire de n points distincts dans l'image, existe-t-il une situation de la cam era telle que les points dans l'image soient les projections des points 3D? Cette question est illustr

(448) ee dans les gures

(449) equivalentes 1 et 2. Pour n=2, il existe une innit

(450) e de solutions r

(451) eelles et pour n > 4 en g

(452) en

(453) eral aucune. Il semble que pour n = 3, l'on ne sache encore rien dire de complet sur les conditions d'existence et le nombre des solutions r

(454) eelles. Consid

(455) erons a pr

(456) esent deux cas particuliers: 1- PETITES ERREURS DE CALIBRATION. La matrice * est ici suppos

(457) ee proche de l'identit

(458) e. On l'ecrira, sous forme partitionn

(459) ee: I 2 + E2 *= (68) 0 1 o u E2 et sont suppos

(460) es petits.. RR n 2619.

(461) 18. B. Espiau M i. .o o o. D’’. s’ i s’’ i. Fig.. o. o o. 1 - : Cas n = 3: premi ere interpr

(462) etation g

(463) eom

(464) etrique: mouvement des points 3D. s’ i o. D’’. o. o. Mi. −1. s’’i. o. o o. Fig.. 2 - : Cas n = 3: deuxi eme interpr

(465) etation g

(466) eom

(467) etrique: mouvement de la cam

(468) era. INRIA.

(469) Erreurs en asservissement visuel. 19. On va chercher le mouvement di

(470) erentiel qui fait passer de si 0 a si 00. On consid ere uniquement le cas de trois points. Comme la solution existe pour l'ensemble fs1 0 s20 s3 0g et que l'on s'int

(471) eresse a un petit d

(472) eplacement, elle existera aussi pour l'ensemble voisin fs1 00 s200 s3 00g si l'on ne se situe pas initialement sur une singularit

(473) e telle que caract

(474) eris

(475) ee en 14]. En d

(476) eveloppant au premier ordre on a: D'o u, en utilisant (68): D

(477) erivons a pr

(478) esent (65):. si 00 = si 0 + T s_i 0 + :::. (69). s_i 0 ' (E2 si 0 + ). (70). . s_i 0 = LT0 (Mi ) V# (71) En posant E2 = diag(E2 E2 E2), T = (T T T )T , s = (s1 0 s2 0 s3 0 )T et L = ( L0 (M1 ) L0 (M2 ) L0 (M3 ) ), il vient nalement: V ' 1 L;T (E s + ) = 1 bv (72) 2 # T T b Soit comme pr

(479) ec

(480) edemment D00 = fR00 t00 g le mouvement cherch

(481) e. On repr

(482) esente la rotation R00 par son angle et son vecteur u: R00 = exp( As(u)). Comme, d'apr es (72), V et # sont a peu pr es constants, on peut

(483) ecrire: t = 00. ZT 0. V d = bv. et. R00 () = exp(As(#)) D'o u: As(#)T = As(u) et, nalement, la rotation cherch

(484) ee:. = kb k u = kbbk. (73) (74) (75). 2- CAS DE POINTS COPLANAIRES. On sait (5]) que lorsque plusieurs points 3D appartiennent a un même plan, on a pour chacun la relation, d


(486) echelle pr es: si 0 = H si 00 (76) i 1 1. RR n 2619.

(487) 20. B. Espiau. o u les si 00 sont les coordonn

(488) ees r

(489) etiniennes obtenues apr es un d

(490) eplacement D = fR tg de la cam

(491) era, et avec: H = dR + tnT (77) o u n est la normale au plan et d la distance, par rapport au rep ere avant d

(492) eplacement. En utilisant (67), l'


(494) ecrit:. . si 0 = H* si 0 i 1 1 et l'on est amen

(495) e a chercher les solutions de l'

(496) equation:. . (78). i H* = I3. (79). qui s'

(497) ecrit aussi:. (80) R = 1d ( 1 *;1 ; tnT ) Consid

(498) erons par exemple le cas o u le rep ere de la cam

(499) era est le rep ere de r

(500) ef

(501) erence (Dc D = I4 ) et o u le plan est perpendiculaire a l'axe z (nT = (0 0 1)). En raison de la forme de A, la forme g

(502) en

(503) erale de *;1 est: 0 1 11 12 13 * = @ 0 22 23 A (81) 0 0 1 En utilisant (81), il appara^t alors que la matrice. 0. 1. t1 1 @ 011 12 13 ; (82) 22 23 ; t2 A d 0 0 1 ; t3 doit être une matrice de rotation. On constate alors ais

(504) ement que la seule solution est l'identit

(505) e, et qu'elle n

(506) ecessite d'une part que l'angle entre les axes (cf

(507) equation (25)) soit connu et

(508) egal a 2 , d'autre part que les coecients u et v soient

(509) egaux (on note u = v = . On a alors 12 = 0, 22 = 11 = ^ , 13 = u^0 ; u0 , 23 = v^0 ; v0 et la solution est la translation: 8 > < t1 = d. 111323 (83) > tt23 == dd( 111 ; 1) :. 11 d pour un facteur d'

(510) echelle valant = 11 .. INRIA.

(511) Erreurs en asservissement visuel. 21. 4.2.2 En pratique. De l'analyse ci-dessus, il ressort que le calcul de s a partir d'un mod ele n'est g

(512) en

(513) eralement pas la meilleure facon de proc

(514) eder en pr

(515) esence d'erreurs de calibration. On recommandera donc plutôt en g

(516) en

(517) eral la d

(518) etermination exp erimentale du s correspondant a l'objectif exprim

(519) e par l'utilisateur. Il existe cependant une situation o u l'on peut r

(520) esoudre

(521) el

(522) egamment le probl eme de la d

(523) etermination de la consigne dans l'image a partir d'une sp

(524) ecication 3D sans tenir compte de la calibration. Cette m

(525) ethode a

(526) et

(527) e imagin

(528) ee par R. Horaud et est utilis

(529) ee dans 18]. Consid

(530) erons le cas d'une cam

(531) era non calibr ee, qui observe simultan

(532) ement deux objets, dont l'un est xe par rapport a un rep ere sc ene et l'autre mobile, c'est- a-dire en fait command

(533) e. Le rep ere cam

(534) era Rc est li

(535) e rigidement a l'un ou l'autre par un d

(536) eplacement constant inconnu. Choisissons le cas o u la cam

(537) era est xe par rapport a l'objet dans la sc ene. Cet objet est caract

(538) eris

(539) e par un ensemble de n points, de coordonn

(540) ees homog enes Mi connues dans un rep ere associ

(541) e, RS (rep ere sc ene). L'objet mobile (appelons-le pince) est caract

(542) eris

(543) e par m points, de coordonn

(544) ees homog enes Nj connues dans le rep ere associ

(545) e Rp . L'objectif de l'utilisateur (par exemple contrainte d'alignement pour une bonne saisie) est sp

(546) eci

(547) e par la donn

(548) ee d'une matrice de d

(549) eplacement d

(550) esir

(551) ee, D , entre Rp et RS . En notant P p la matrice 44 d'une application de l'espace euclidien 3D vers l'espace projectif 3D, d


(553) echelle pr es, on peut

(554) ecrire: Mip = P p Mi. (84). En imposant aux 5 premiers points Mip de former la base canonique de l'espace projectif 3D: (0 0 0 1) (1 0 0 1) (0 1 0 1) (0 0 1 1) (1 1 1 1) (85) p et en ajoutant une contrainte monodimensionnelle sur les coecients de P pour lever l'ind

(555) etermination, la r

(556) esolution du syst eme (84) permet d'obtenir P p. Il est alors possible de calculer l'image des points Nj de la pince dans l'espace projectif 3D par la transformation: Njp = P p D Nj. (86). Comme ces op

(557) erations sont ind

(558) ependantes des positions eectives de l'objet et de la pince par rapport a la cam

(559) era, elles peuvent être eectu

(560) ees hors ligne. L'ensemble fMip i = 1 : : :n ) Njp j = 1 : : :mg est appel

(561) e l'invariant projectif correspondant a l'objectif de positionnement relatif D . Le probl eme est correctement pos

(562) e si, de plus, m 4, pour assurer l'unicit

(563) e du positionnement relatif , et n 6 pour une raison expos

(564) ee ci-dessous. Il reste a pr

(565) esent a trouver s , c'est- a-dire l'ensemble des coordonn

(566) ees dans l'image des points de la pince a atteindre

(567) etant donn

(568) ee une image de l'objet vis

(569) e, de position inconnue a priori. Notons Q la matrice 34 de l'application permettant de passer de l'espace projectif 3D a l'espace projectif 2D. Appliqu

(570) ee a l'objet, elle s'

(571) ecrit:. RR n 2619.

(572) 22. B. Espiau. . si = QM p (87) i 1 Pour identier les 12 coecients de Q, il faut donc conna^tre 6 points Mip et mesurer leurs coordonn

(573) ees si dans l'image. On utilisera les 5 points de la base canonique, et le sixi eme sera calcul

(574) e par (84). Une fois Q obtenue, le vecteur objectif est donn

(575) e par:. sj = QNjp j = 1 : : :m. (88). Dans le cas o u la cam

(576) era est xe dans le rep ere pince Rp , l'approche pr

(577) ec

(578) edente reste valide en inversant les rôles des points M et N.. 4.3 E

(579) et des incertitudes sur le 3D. Ces incertitudes concernent les coordonn

(580) ees Xi des points de la cible dans le rep ere RS (cf. section 3). Sans entrer dans une

(581) etude exhaustive de l'

(582) etat de l'art sur le probl eme de reconstruction de la g

(583) eom

(584) etrie 3D, qui sortirait du cadre d'un rapport focalis

(585) e sur les probl emes de calibration, nous pouvons cependant distinguer deux cas principaux.. 4.3.1 Calibration connue Zi .. Dans cette hypoth ese, les incertitudes se ram enent a la m

(586) econnaissance des profondeurs. Dans le cas de d

(587) eplacements rigides nis, ce probl eme peut être r

(588) esolu en utilisant les techniques de calcul de la g

(589) eom

(590) etrie 3D utilis

(591) ees en st

(592) er

(593) eovision classique. Il est toutefois n

(594) ecessaire que la mise en correspondance soit correcte, ce qui est imm

(595) ediat dans notre cas si nous traitons une image de 4 points. Ainsi, consid

(596) erons l'un de ces points et notons: u1 0 = XZ1100 (89) 0 v1 0 = ZY11 0 o u l'indice 1 note l'instant initial, les coordonn

(597) ees 3D, qui sont requises dans le calcul de LT ,

(598) etant d

(599) enies en (29) et les coordonn

(600) ees images r

(601) eduites en (32). Notons u20 v2 0 les coordonn

(602) ees images r

(603) eduites obtenues apr es un d

(604) eplacement rigide suppos

(605) e connu (mesure du mouvement eectu

(606) e en mono cam

(607) era, ou st

(608) er

(609) eovision statique calibr

(610) ee). On note rkT ) k = 1 2 3 les lignes de la matrice de rotation associ

(611) ee et t1 t2 t3 les composantes du vecteur de translation. On a alors ais

(612) ement: 0 0 2 )t3 Z1 0 = < (u 0 + v 0t)r1 +;t2r;;(ur2 + v(u (90) 0 0 2 2 3 1 2 1 v1 1) > Cette technique est par exemple utilis

(613) ee en 8]. Elle fonctionne tr es bien en st

(614) er

(615) eovision, mais il faut souligner que lorsqu'elle est appliqu

(616) ee a une s

(617) equence convergente d'images. INRIA.

(618) Erreurs en asservissement visuel. 23. monoculaires (et c'est l'objectif vis

(619) e en asservissement visuel), le syst eme devient mal conditionn

(620) e, la disparit

(621) e

(622) etant alors tr es faible. Lorsque l'on s'int

(623) eresse a des mouvements di

(624) erentiels, il est alors possible d'utiliser des mesures de champs de d

(625) eplacement pour remonter au 3D. On trouvera un exemple de cette approche en 22].. Cible connue Lorsque les coordonn

(626) ees des points sont connues dans un rep ere li

(627) e a l'objet. ou a la sc ene, on est ramen

(628) e a un probl eme de calcul de "pose", qu'il est même parfois possible d'eectuer a partir d'une seule image. La principale dicult

(629) e r

(630) eside alors dans la mise au point d'algorithmes a la fois simples et robustes. A titre d'exemple, pr

(631) esentons rapidement la m

(632) ethode propos

(633) ee dans 18]. Soit les 3 rep eres: Rs, li

(634) e a l'objet) Ro , li

(635) e a l'eecteur) Rc, li

(636) e a la cam

(637) era. On consid ere n points de coordonn

(638) ees Xjs , connues dans Rs. On a par ailleurs, dans Ro : et dans Rc :. Xjo = Dos Xjs. (91). Xjc = DDos Xjs (92) D est la matrice (ici connue) des param etres extrins eques, et Dos est la transformation a trouver, a partir de la connaissance de Xjs et de la mesure de la projection de Xjc . On notera D^ = DDos , dont 0r 1 1 R^ = @ r2 A (93) r3 et 0t 1 1 t^ = @ t2 A (94) t3 notent respectivement la matrice de rotation et le vecteur de translation.. Remarque Notons que si l'on applique a chaque instant k a l'e ecteur un mouvement relatif connu par rapport a l'objet, Dv (k), on se ramene toujours a chercher un seul deplacement inconnu. On peut en e et ecrire, en changeant de repere objet a chaque pas: X jc (k + 1) = Dv;1 (k)X jc (k) (95) qui est donc connu puisque X jc (0) l'est, et l'equation (92) reste valide.. RR n 2619.

(639) 24. B. Espiau. En utilisant l'

(640) equation (32), on calcule a partir des mesures dans l'image les coordonn

(641) ees dans le plan cam

(642) era: c. u0j = XZjjc c v0 j = YZjjc. Notons:. (96). I = t1 r1 ) J = I = t1 r2 3. 3. u0 0 = tt1 ) v0 0 = tt2. (98). j = t1 r3T Xjs. (99). 3. et: On a alors: Ces

(643) equations se r

(644) e

(645) ecrivent: o u et nous avons donc:. (97). 3. 3. T s. 0. u0j = I X1+j + ju 0 T s 0 v0 j = J X1+j +j v 0. (100). (u0j ; u00 )(1 + j ) = IpT Xjs (v0 j ; v0 0 )(1 + j ) = JpT Xjs. (101). Ip = t13 (r1 ; u0 0r3 ) Jp = t13 (r2 ; v0 0 r3). (102). p. p. 0 2 0 2 (103) t3 = 21 ( 1k +I uk 0 + k1 J+ vk0 ) p p A noter que ces

(646) equations s'interpr etent physiquement par le passage a une approximation paraperspective de la projection. La r

(647) esolution propos

(648) ee dans 18] est it

(649) erative: on part de j (0) = 0) comme u0 j ; u00 et v0 j ; v0 0 sont mesur

(650) es et Xjs connus, on calcule Ip et Jp par (101), soit en utilisant une pseudo-inverse, soit par une m

(651) ethode sp

(652) ecique si les points sont coplanaires) on obtient ensuite t3 par (103) et t1 t2 par (98)) on calcule alors r3 en utilisant la propri

(653) et

(654) e r3 = r1 r2 dans (102), puis r1 r2 avec les mêmes

(655) equations. On calcule alors j (1) par (99), et l'on it ere jusqu' a convergence. Les coordonn

(656) ees 3D a utiliser dans la matrice d'interaction sont alors obtenues par (92). Dans 18], cette m

(657) ethode est utilis

(658) ee avec une cam

(659) era xe qui observe sur la même image la pince d'un robot et l'objet cible. Les param etres extrins eques n'interviennent donc pas dans l'analyse. Une m

(660) ethode analogue, mais bas

(661) ee sur une reconstruction ane est pr

(662) esent

(663) ee en 17].. INRIA.