Exercice 1 : (3points)
Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes, en justifiant la réponse.
Vrai Faux
1) Soit la fonction définie sur [1,2] par : ( ) = √ − 1 ( )
La courbe représentative de dans un repère orthonormé admet au moins une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
2) Soit ′ =
̅ où est un nombre complexe different de 1.
On a | ′| = 1
3) √3 + − √3 − est un réel
Exercice 2 :(4 points)
Soit la fonction définie sur IR par : ( ) = ! "+
1−
2 < 0 2 + √ " + 1 ≥ 0&
On désigne par ' sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((, )*, +* ).. 1) Montrer que est continue en 0
2) a/ Montrer que pour tout < 0 ,
" ≤ ( ) ≤"+ "
- .
b/ Déduire lim
→ 2 ( ) . Interpréter graphiquement le résultat.
3) a/ Calculer lim
→32 ( ).
b/ Montrer que ' admet une asymptote oblique au voisinage de (+∞) dont on précisera une équation. Exercice 3 :(6 points)
Soit la fonction définie sur ]−∞, 1[ par ( ) = 2 +
√
1) a/ Calculer lim
→ 2 ( ) et lim→ 5 ( ).
b/ Montrer que pour tout ∈ ]−∞, 1[ , ′( ) = 2 + 1 2(√1− )3 c/ Dresser le tableau de variation de .
2) a/ Montrer que l’équation ( ) = 0 admet une unique solution 7 dans ]−∞, 1[ et que −1 < 7 < 0. b/ Déduire le signe de ( ) sur chacun des intervalles ]−∞, 7[ et ]7, 1[
3) Soit la fonction 8: ↦ "− 2√1 −
a/ Vérifier que pour tout ∈ ]−∞, 1[ , 8’( ) = ( ). b/ En déduire les variations de 8 sur ]−∞, 1[ . 4) Soit ℎ la fonction définie sur =0,
"= par ℎ( ) = ( > )
a/ Calculer lim
→?-5ℎ( )
b/ Déterminer ℎ’( ) . En déduire les variations de ℎ sur =0,
"= .
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Lycée Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte
Prof: Mme Bayoudh
Classe Classe Classe
Classe ::::4444èmeèmeèmeème Sciences Sciences Sciences techniqueSciences techniquetechniquetechniquessss1111
DuréeDuréeDuréeDurée :::: 2 heures2 heures2 heures2 heures
WxäÉ|Ü wx
WxäÉ|Ü wx
WxäÉ|Ü wx
Exercice 4 :(7 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ((, @A*, B* ).
On considère les points , C et ' d’affixes respectives : D = −1 + √3 , E = − et F = √3 A tout point G du plan d’affixe ≠ − , on associe le point G’ d’affixe I= 1−−√3
1) a/Vérifier que − I=
−√3
+
b/Déduire l’ensemble des points G tels que ’ soit un réel. 2) a/ Montrer que | ′| = FJ
EJ
b/ Déduire l’ensemble des points G lorsque G’ varie sue le cercle trigonométrique de centre O. 3) Soit le nombre complexe K = ′−−
; ∈ ℂ\N− , O
a/Vérifier que ( − )(1 − ) = − ( "+ 1) b/Déduire que K = −2+1P 4) On pose = QRS ; TU =0, "= a/ Montrer que K = V5WX VWX3V5WX . D
b/ Donner la forme exponentielle de D.
c/ Déduire en fonction de T le module et un argument de K.
.