STRUCTURATION MATHEMATIQUE DES
REPRESENTATIONS DES ELEVES
SCIENTIFIQUES A PROPOS DES GRANDEURS
PHYSIQUES VECTORIELLES
Christiane GENIN, Andrée PELLET,
Jacques MICHAUD-BONNET
Groupe de Recherche en Didactique de la Physique
Université de Provence
MOTS CLEFS
modélisation - vecteurs - dlliactlque - grandeurs physiques vector ielles - représentations
RESUME
Les étudiants Qui entrent è l'université (DEUG A), en I.UT(Mesure Physique), en classes préparatoires scientffiques ont encore des difficultés pour résoudre des problémes portant sur les grandeurs phYSIques vectorielles (GPV.) lorsque ceux-ci sortent du cadre scolaire. Or. l'actIVité de modélisationdesGPV durant le
secondcycledeslycées s'appUIe sur une structure mathématique introduitedesla classe de quatrleme Il semble que celle ectivlté soit Insuffisante pour assurer des représentations stablesdeséleves.
Students entering the university still have difficulties for solvlng problems concernlng physlca! vectors (PV) when these problems stand outSlde the schocl scope Hie a::tlvity of P y modellzallOn durlng the lycee cursus
Enselgnontlo Physique en DEUG scientifique œpuls un certaIn nombre d'onnees, nous llVons été OO1frontés en permonenceAla dHflcu Ité Que represente pour les étudiants la mise en œuvre dans les prob lemes des grondeurs physiques vectorielles
Il nous a paru Intéressant de faire une rochercht!il ce sujet en fin de classe terminale scientifique cette recherche0 été effectuée dans le coore d'uneA.TP sur les "Transl\ions dans le Systéme EducatIf" [I} Les résultats œ cette étude nous ont condUits
a
poursuivre notre recherche en classede seconœ griola
un oontrat du MIR"Recherche en EducatIOn et FormatIOn"
A ETUDE EN fiN DE
TERNlli.&L 1ntroduettonDe filÇOn générale, les enseignants
œ
PtlyslQue mettent, dans une certaine mesure, les dWlcultés Qu'lIs rencontrent sur le compte du decalill}': entre le moment où Ils ont beSOinde l'outil mathématique et le moment où celui-cI est~Isponlblechezl'eleve2 Svnchronlsatlon de l'wselgnemen! MolhérnatlQues- Physique Dlfflcultés spécifiques do Jo
Physique,
Ce manque d'antlcipalll)n est réel pour Îlntroouclion d'un certain nombre œ granœurs physIques (GP), par contre la synchronisatIon en ceqUIconcerne les grandeurs PhYSIques vectorielles (GPV ) semble bIen réalisée
En effet, la structure ,,,"ctc,rI81Ie est IntrodUite en cJosse de quatnéme, les principales operal1ons en tro1siéme et seconœ, laxlomatlque,je1espace vectoriel est etudiee en premlere S Cette structure vectorielle devrait tilnc au niveaudesclasses
œ
t"rrninale être suffisamment asSise, pour que les éleves n'aient i! ce moment-Ii!, pas de difficulté d'ordre mathematlque dans la manipulatIOn œs vecteursDansce:;condltlo", Il est olors pOSSibledemettre en eVlœnce les blocages dus 11 la mOOéIIS<ltion vectorlelle des grandeurs pllyslques ({lile lrônscrlpllon rencontre OOS 8eU811sdeplUSieurs types
- dlfflculte que repr'esent" le ian()i:!je noturel de la PhYSIque, qui peut faire ressurgir œs représentations prédl(loctiQues œ leleve
- difficulté qui vlenl de Id rn Ise en relallon des grandeurs phystques, relation QUI dcil êtrt dlmensionnel1ement cohérente
-multlpllcite des gr~nœurs phYS1>weS que loperatlOn de mesure plonge dans un nombre restreint d'espaces mathématiques R, R2, R3 Les ,jlfIIC'Jltes CIIt:eS CI' œssus sont prooresàtoutes les granœurs phySIQUes
On peut discerner, plus speclalen,ent pour !es GPV des difficultés qUI leur sont partlcul1eres En 8ffet, le vecteur mathemilllQue, elèrnentde
R
3, ià nor me de ce vecteur, élementdeR',
la mesure algébriquedela grandeur, elernent œR,peuvent exprimer, œns des contextes appropries, là grandeur phYSIque Toutes ces transcriptions, OOslgnèes par le méme vocable, peuVe!i appôremment sulflre sUivant le centexte a la œSCrlptlOndela GPV,Le niveaudeIran~:rIp 110"IT,,,Ihèmôt :que nous rense igner a sur la distance entre la représentatIOndel'éléve et le mOOèle de iexpert
3. Holre Rechfrcbe Le Questionnaire Résultais.
Unoes butsdenotre recherche est d'essayer d'evaluer au mieUX, les représentatIOns des èleves, en fin de Terminale, sur les Grandeurs Physiques Vectorielles avec leSQuelles ils ontàfaire
Pour cela. un Questionnaire Il été proposéà366éléves SOit en fin de terminale (C ou Dl, SOit en elasse préparatoire scientifique, en IUT (Mesures phYSIQUes) et en DEUGAavant tout enseignement.
3 1 Le gyestIOnnalre
Cequestionnaire comporte diverses parties
- Dans "une d'elles, une liste de22 GP Introûultes dans le secondaire est proposee aux eleves, en ,)Jnnant a la fOIS leur nom et leur symbole nabltuel i ";1:IOivent attr ibuerdees grandeurs >Olt le earoctére vectOriel, salt le caroctere scailme, A travers cette é1CtlVita nous voulons savoir SI les représentations des éléves peuvent reponllre, et dans quelle mesure, a la seule évocatIOn du nom ou du symbole de la GP, par un processus de tri en GPV. ou G.P.S. (Grandeurs Physiques SCalaires)
Ce questionnement est du même type Que celui Qu'avalent effectué Malgrange, Saltiel et Viennot en1973[21 On notera onze ans aprés une évolution nettement positive par rapport aux résultats de leur étude. En effet, les résultats Que nous avons obtenus se sItuent àun bon niveau de réussite: 18 grandeurs sur 22 sont bien earoctérlsées par plus de80:i:des eléves
On peut donc conclure l'évocation, par son nom, d'une grandeur physique étudiée peut œclancher chez la plupart des élèves de Terminale scientifique (C ou D) une bonne eatègon;ation en GPS. et GPV
- Dans une autre partie du QuestIOnnaIre, les grandeurs PhYSIques apparaissent il traversdes situatIOns -exercices. analOJues quant a leur modellsatlon matMmatlQue, mais presentant des "habill6;)es" différents sortant plus ou mOins du cadre scalaIre
Le but de cette partie est de rendre compte dans Quelle mesure les élévesQul sont capables, pour la plupart, d'idenUfler le caractere vectoriel de certaines grandeurs phYSIques, peuvent mettre en œuvre ces GPV dansdes Situations <bnt la modellsdllon mathematiQue fait appelà
a) l'inégalitédedeux vecteurs <bntladIrection est différente - . ' - '
--.
-..b)l'inégalltétriangulaJre
IIW\ • W211
~IIWill • IIW
211
c) la dérivation vectorielle,ft dt
Cetle mOOélisation peut être appréhendéeàdes nlYeaux moins formels chez les élêves
- Un niveau Intermédiaire: par exemple pour e) on trouve l'explicitation Immédiate de la derlveedela vitesse dans la base intrmsèQue
a=~;.
'12ri
dt R
- Un nIveau procédural . au lieu de parler de l'Inégalité triangulaire, l'élève dira Que la longueur d'un côté d'un tr iangle est inférieureàla somme des deux autres.
Au sujetdela der Ivalion vectorielle, on trouvera une grandeur phYSIque vectorielle (la vitesse en
~
.,. ~ l'occurenee) de mesure constante mais dont la direction varie est variable, / Sil(Jerlvee ( l'aceelérdtlOn) n'est <bne pas nulle
3 2
Les RésultatsPour les exercices relevant de l'inégalité tr langulalre, 8à9 élèves sur 10 oonnent une réponse correcte. nous n'Insisterons pllS
C'estil travers trois exercices de clnemaliQue Que l'on
a
cherchéil tester - la variabilité d'une6PV.et- la œrlvatton vectorielle
321 Au sUjet des réponses sur la vitesse
- Un élève sur troIs semb le decr Ire tout mouvement uniforme avec un vecteur vltes>B constant, ce QUI, bien sùr. est errone pourIJnmouvement cur'llligne uniforme
- Un éleve sur trois aune ooub le représentation de la vitesse vecteur vitesse œns une représentalion didactique et vitesse scalaire dans une representallon prédldoctlQue
- Enfin, un elève sur troIS a une représentatIOn dldoctiQue stable, à nature yector lelle,
œ
la vitesse.3 22.Au sUjet des réponses sur l'dCCélération
- Comme pour la vitessa , la représentation prédldoctiQue QUI1lSSCCle au mouvement Uniforme, une vitesse constonte et une acœlèration nulle est Ires presante (enlre un tiers et la moitiédesélèves suivant l'exercice)
- Un eléve sur trois semb le utiliser une representation vectorielle de l'accélération, représentation qui n'est peso contrairementil la vitesse. déstabilisée par la différence de vocabulaire. cette remarque montre que lorsqu'une
GPV a un contenu prooldoctlque marqué (la vitesse) la modélisatIOn en est d'autant plus difficile,
B ETUDE EH
FINDE SECONDE
Introduçljon,L'etude que nous ayons faite sur des éléves de fin de terminale SCientifique et de debut d'enseignement supérieur met Olnc en eVldence une certaine Instabilité de la modélisation des GP V. Il nous a paru essentiel de rechercher' les causes de ces difficultés. Nous avons alors choisi comme cadre d'étude la classe de seconde et ceci pour deux raisons'
- l'enseignement de la phYSique ne débute pas en seconde, mais la tr anspos1tIon dldoct Ique [3 et 4) est profondément modifié lors du pasS<l()B troIsième-seconde. la phYSIque est totalement oemattlématlsee au collège, par contre la formalisation s'impose dés les premiers cours de mécamque en secondé
- comme nous l'avons Olt preceDemment l'argument de non antérIOrité des mathematlques sur la phYSIque ne peut être InVOQué iCI pour expliquer les dlff!cultes Que rencontrent les élèves au sujet des grandeurs phySiques vector ie Iles.
Dans un premier temps nous avons essayé de mettre en évidence les conceptIOns des élèves en débutdela classeIleseconde élvélnl tout enseignementdemalnemallque et de physique Nous exposons plus particulièrement Ici ce qUI concerne les relatIOns matnematiQues-physlQue c'est-à-dire les différences et ressemblances entre les représentations dés eteyes au sujetde GPY et les représentations des eleves sur le modéle mathématique correspondant les VECTEURS
2,
Méthodologie.
Un Quesllonrnllre e été proposé àSIX classas ll3 seconll3 dans ll3ux Iycaes ll3 Marseille (œux classes expér imentales et QUatre classes test, soit deux cent dix élèves au total)
Au sujet des classes expérimentales, nous avons, en collaboral1on avec leurs professeurs de mathematiQues et lle physique, élaboré quelques séquences d'enseignement lle mathématiques sur les bipolOts et les vecteurs et un cours lle mécanique.
Un premier questionnaire (QI) a éte proposé aux élèves avant tout enseignement lle mathémal1ques etde physique. un second(~) a été passé aprés l'enseignement desmathématiques sur les bipolnts et vecteurs Un trOisième (Q3) est pr évu lorsque l'enseignement
œ
la mécanique sera terminele questlOnnalre est composé de diX sept Items portant sur les sulets sUIVants. - équipollence de deux blpoints
- égaillé lle lleux vecteurs - somme lle deux vecteurs
3 Résultats,
3
1. EaulQollence li> li>ux bIDotnts éaalitédeOOux vecteursChi)1ue Item met en jeu deux vecteurs qUI ne sont pas egaux ou deux bipoints Que ne sont pas~ulpollents. chaque item concernant les O'polnts est analogue a un Item concernant les vecteurs (même disposition dans l'espace) les items proposés mettent en jeu des vecteurs différents par leur direction, leur sens ou leur norme
a) le pourcentage de reponses justes est toujours plus grand pour les Items "vecteurs" Que pour les items "blpoints" Ceci peut être expliqué par l'anal09ue des JustificatIOns des reponses . un grand nombre d'élèves(2/3
environ) Jusl1flent la non éqUipollence de deux OlpOtntS par le recoursàdes tralisdesurface lles vecteurs (norme, direct ion et sens) Or ces critéres sont beaucoup mteux mis en évidence dans la schémat isallon d'un vecteur (trait, flèche) que dans celle d'un blpoint, ce qui peut expliquer le taux de suœés mOins grand.
On peut alors remarquer, au passage. que l'introduction du concept de vecteur par celu i de bipolnt (Qui est une construction tres satlsfaisente pour les mathématicIens) ne porte pas ses frUits œns l'enseIgnement puiSQu'il ne laisse pas beaucoup de traces dans la mémoire de l'éléve.
b) Il ressort des Just Ificatlons oonnéesàcertaines réponses Que le crllere sens est uli Ilsé pour différencier deux vecteurs même lorsque la directIOn de ces derniers est différente. le critère sens peut avoir. dans ce ClIS, la signification droite gauche.
c) Il paraît surprenant a priori que les éléves aient un taux de réussite moins importantil l'exercice relatif a l'inégalitédedeux vecteurs de norme différente
32
Eœlltéde l1eux vecteurs' eaalité de l1eux Qranl1eurs ohysiQYes vectoflelles.Cinq items concernent l'éyallté des GP V soitdedirectIOns différentes soitdesens différents
les élèves oolvent dessiner des vecteurs vitesse ou des vecleurs force et répondre ensuite par vrai ou fauxil une affirmationdetype
3.2.1 les différences
œ
tauxœ
réussite entre les lIems concarnant les OP V. el caux concarnont les vecteurs sont très importants, en moyenne 42 ~pour les premiers et 76~pour les autresEn première 1lnalyse on peut faire les hypothèses suivantes. les résultats obtenus sont dusélUfalt Que - les vecteurs reprèsentant les 0 PV ne sont pas oonnès sur le schéma propose. Cette premlere hypothèse peut être él lm inée En effet si l'on ne s'Intéresse Qu'aux élèves 8'Yanl procluit un schéma c'est -il-dire 8'Yant su représenter les GPV, le taux ce réUSSite nest pas meIlleur pour cal échantillon.
- le schéma phYSIque est perturbé par
ces
traits annexes, hors du champ mathématique (I1ynamométre, tracéde route ) Les résultats du Questionnaire O2 devraient permettre de vérifier cette hypothèse en effet les vecteurs matnematlQues a etudier sont diSposes dans des figures qeometrlQues- les diSpositIOns relatives oes1eux 'lecteurs a comparer sont dlfferenles en mathematlQues et en phYSIque. Nous essaierons ce supprimer cette différence dans le QuestIOnnaire 03
SI aucune de ces trOIS hypothéses n'était cepab le d'exp 1iQuer les lauxderéUSSite différents, il faudrait alors s'interroger plus préclsement sur le rôle Que peuvent Jouer le lanl}6;jEl, le contenu réel
ces
calcepts, les représentatIOns predidoctlQues dans l'activité ces mOOillsatlonsces
0 P V322 l'Inégalité
ces
grandeurs phYSIQuesœ
sens diffèrent est moins bien perçue Que celleces
grandeurs physiques de direction différente Il semble Qu'en phYSIque le crllére de sens solt perçu comme moins pertlnent Qu'en mathématiques, ceci peut être Illustré par la Question d'un élève lorsœ
la passation du Questionnaire: "Est-ca Que çacompte le sens en PhYSIque?"CONCLUSION
L'étude faite en début de classe de seconde montre Que le mOOile mathématique Qui nous intéresse Ici semble être correctement apprehendé des le debut de cette classe par un grand nombre d'éleves. Néanmoins, l'étude falle lors ce la transilion Iycee- un Iverslté prouve Que le processus ce mildellsatlondeSgrandeurs phYSIques, processus QUI adebuté des la classe de trolsleme, n'est pas encore acheveill'universite
REFERENCES
[Il M. Benarroche, C O9nlO, J Mlchaud-Bonnet, A. Fellet (1985) "Problemes poses par l'utilisalion œs granœurs vectorielles lors ae la transition Lycée-Universite" AT P Les tranSItIOns dans le systeme éducatif
[2J JL. Malgrange, E Salt lei , L Ylennot (1973) "Vecteurs, scalaires et grandeurs phYSIques". Encarts pedagx;J1Ques. Bulletin de la Scx:lété française œ Physique
[3J y Chevallè.rd (1980) "La transpositIOn didactique" Cours il la premiére école d'été de Didactique
ces
Mathématiques ':hamrousse[41 S Johsua, ,)J DUPin (1986) 'Amblgultés du fonctionnement œ la PhYSIque au Collège" A paraître dans la Revue françaNdePedagogie
