L67 [V2-VàC] – Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

9

Exemples d’utilisation d’un logiciel

de calcul formel

67

notions de programmation, notions d’arithmétique (PGCD), notions d’analyse (fonctions, croissance), suites, équations différentielles, lois normales, notions de probabilités (calcul de probabilités et loi forte des grands nombres), calcul matri-ciel, résolution de systèmes d’équations

Références [50], [170], [177], [178]

On utilise principalement un logiciel de calcul formel pour vérifier des résultats ou pour faire découvrir de nouvelles notions aux élèves.

Dans cette leçon nous allons utiliser le logiciel de calcul formel XCAS (disponible ici :http: //www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html.)

Bien entendu, il existe d’autres logiciels de calcul formel comme MAPLE, MAXIMA ou encore MATHEMATICA.

67.1

Arithmétique et algèbre linéaire

67.1.1 Introduction du PGCD en 3e

Voici une activité donnée à des élèves de 3e_{qui permet de découvrir le}PGCD. Comme

l’utilisa-tion de Xcas n’est pas recommandé en classe de collège, il y a des indical’utilisa-tions pour taper les bonnes commandes.

1. Trouver tous les diviseurs de145 (on pourra utiliser la commande L:=divisors(145) qui crée une liste L qui contient tous les diviseurs de145).

2. Trouver tous les diviseurs de464 (on pourra utiliser la commande M:=divisors(464) qui crée une liste M qui contient tous les diviseurs de464).

3. Quels sont les éléments communs de L et de M ? (pour obtenir les éléments communs de deux listes, on peut taper la commande I := L intersect M) ?

4. Quel est le plus grand élément de la liste I ? (pour obtenir le plus grand élément d’une liste I, on peut taper la commande max(I)).

5. On appelle PGCD de deux entiers naturels (Plus grand commun diviseur), le plus grand di-viseur communs de ces deux nombres. Quel est le PGCD de145 et 464 ? (on peut obtenir le PGCD de a et b, on peut taper la commande gcd(a,b)).

6. Choisir deux entiers naturels non nuls. Quel est leurPGCD ?

Dv Éléments de réponses sur l’activité

1. L := divisors(145)

[1, 5, 29, 145] 2. M := divisors(464)

3. I := L intersect M [1, 29] 4. max(I) 29 5. gcd(145,464) 29 6. gcd(27,125) 1 67.1.2 Egalité de Bézout

Définition 67.1 — Egalité de Bézout. On appelle égalité de Bézout, une équation du type :

ax+ by = PGCD(a, b)

avec a et b deux entiers naturels non nuls et x et y deux entiers inconnus.

Dv Théorie sur l’égalité de Bézout

Théorème 67.2— Bachet-Bézout. Étant donnés deux entiers relatifs a et b, si d est lePGCD de

aet b alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax+ by = d.

R 67.3 aet b sont premiers entre eux si et seulement si deux entiers relatifs x et y tels que ax+ by = 1.

Théorème 67.4— Résolution des équations diophantiennes. On se donne une équation diophan-tienne :

ax+ by = c

1. Si δ = PGCD(a, b) - c alors l’équation n’a pas de solution.

2. Si δ | c alors les solutions de cette équation sont les couples d’entiers relatifs de la forme :

 U + b δ × k, V − a δ × k 

où k est un entier relatif et(U, V ) les solutions particulières de l’égalité ax + by = c. On souhaite résoudre l’égalité de Bézout suivante :45x + 75y = 15. Xcas permet de donner une solution particulière de l’égalité de Bézout grâce à la commande bezout_entiers.

Dv Résolution de l’égalité de Bézout45x + 75y = 15 On remarque quePGCD(45, 75) = 15 grâce à l’algorithme d’Euclide. Donc l’équation diophan-tienne45x + 75y = 15 est équivalente à 3x + 5y = 1. Une solution particulière peut être donnée grâce à Xcas :

67.1 Arithmétique et algèbre linéaire 11 bezout_entiers(45,75) [2,-1,15] (x = 2, y = −1), Ainsi : 3(x − 2) + 5(y + 1) = 0. On en déduit que : 3(2 − x) = 5(y + 1)

Les nombres3 et 5 étant premiers, 3 divise (y + 1) et 5 divise (2 − x). Il existe donc deux entiers

ket k0tels que :

2 − x = 5k et y + 1 = 3k0 Si on remplace dans la précédente équation :

3 × 5k = 5 × 3k0_, ceci montre que k = k0_{et donc :}

2 − x = 5k et y + 1 = 3k, ou encore :

x= −5k + 2 et y = 3k − 1.

Réciproquement, on voit que :

3(−5k + 2) + 5(3k − 1) = −15k + 6 + 15k − 5 = 1. Les solutions sont donc exactement les couples :

(x = −5k + 2; y = 3k − 1).

67.1.3 Résolution de systèmes d’équations

On souhaite résoudre le système d’équations suivant :

       x+ y + z = 150 3x + 2y − z = 100 −2x + 3y + 2z = 300

On peut résoudre ce système d’équations grâce à la méthode du Pivot de Gauss. Nous allons dans cette leçon, utiliser le logiciel XCAS pour résoudre ce système linéaire par deux méthodes :

1. résolution directe du système linéaire

resoudre_systeme_lineaire([x+y+z=150,3*x+2*y-z=100

,-2*x+3*y+2*z=300],[x,y,z]) 125/8 125/2 575/8

2. par le calcul matriciel

  13 12 −11 −2 3 2   det(A) 16 inv(A)   7 16 161 −163 −₁₃14 14 14 16 −165 −161   B := [150,100,300] [150,100,300] inv(A)*B [125/8,125/2,575/8]

67.2

Analyse et probabilité

Soit la suite(un) définie sur N par : (

u0= 1

un+1= √1 + un

Calculer les5 premiers termes de la suite ? Quelle est la limite de (un) quand n → +∞ ? On donne un petit programme pour obtenir les termes de la suite(un) :

u(n):={ si n==0 alors 1; sinon sqrt(1+u(n-1)); fsi } :;

seq([u(k),evalf(u(k))],k=0..4)

[1, 1.0], [√2,1.41421356237],[p1 + √2,1.55377397403],[q1 +p1 +√2,1.59805318248], [

r

1 +q1 +p1 +√2,1.61184775413] La suite semble converger vers :

u(1000)

1.61803398875 qui correspond au nombre d’or :

ϕ= 1 +√5

2 ≈ 1, 618.

67.2.2 Étude d’une fonction

67.2 Analyse et probabilité 13

Exercice 67.5 À tout nombre réel m, on associe la fonction fmdéfinie sur R \ {1} par :

fm(x) =

x2+ m x_{− 1} .

1. (a) Déterminer la fonction dérivée de fm.

(b) Suivant les valeurs de m, dresser le tableau de variation de fm.

2. Pour quelles valeurs de m, la fonction fm admet-elle un maximum et un minimum locaux ?  Dv •Solution — f(m,x) := (x^2+m)/(x-1) (m, x) → x_x2+ m − 1 1. (a) diff(f(m,x),x) 2 ∗ x x_{− 1} − x2+ m (x − 1)2 (b) Si m <1 : resoudre(2*x/(x-1)-(x^2-2)/(x-1)^2>0) [x < 1, x > 1]

la dérivée de fmest toujours positive donc f est strictement croissante sur R \ {1}. Si m= −1 :

resoudre(2*x/(x-1)-(x^2-1)/(x-1)^2>0) Inéquation est constante par rapport à x

[x] Si m > −1 : resoudre(2*x/(x-1)-(x^2)/(x-1)^2>0) // m=0 [x < 0, x > 2] resoudre(2*x/(x-1)-(x^2+2)/(x-1)^2>0) // m=2 [x < (−(√3) + 1),x > (√3 + 1)]

La fonction dérivée fm est négative sur l’intervalle I = [−√m + 1 , √m + 1] et positive sur J _{= R \ I.}

(Faire les tableaux de variations en exercice).

Pour tracer la fonction f0dans un repère orthonormé(O, #»ı, #»), on peut taper :

2. fmadmet un maximum et un minimum locaux quand m ≥ −1 atteint en x = −√m+ 1 et x= √m + 1. (-sqrt(m)+1,f(-sqrt(m)+1,m))  −(√m) + 1,m 2_{− (}√_{m) + 1} m_{− 1}  (sqrt(m)+1,f(sqrt(m)+1,m)) _√ m+ 1,m 2_{+ √m + 1} m_{− 1}  •

67.2.3 Résolution d’équations différentielles

Résoudre les équations différentielles suivantes sur le logiciel Xcas :

1. ₍ y0+ y ∗ cos(t) = 1₂sin(2t) y(0) = 1 2. y00_{− 9y = 6e}−3x Dv •Solution — 1. deSolve([y’+y*cos(t)=sin(2*t)/2,y(0)=1],y) sin(2 ∗ t) −exp(−x∗cos(t))∗cos(t)∗(−2∗cos(t)+sin(2∗t))cos(t)

2 ∗ cos(t) 2. deSolve(y’’-9y=6*exp(-3x),y) − exp(−3 ∗ x) − 6 ∗ x ∗ exp(−3 ∗ x) 6 + c0∗ exp(3 ∗ x) + c1∗ exp(−3 ∗ x) • 67.2.4 Probabiltés

Simuler un lancer de pièces ou un lancer de dés Pour simuler un lancer de

67.2 Analyse et probabilité 15

— pièces (2 faces : pile (0) ou face (1)) :

rand(1)

0

— dès (6 faces : (1, 2, 3, 4, 5, 6)) :

rand(6) + 1

5

1. Calculer la fréquence d’apparition du3 dans un lancer de dés.

2. On considère une pièce biaisée telle que la face pile à 1 chance sur 5 de tomber et la face « face » à4 chances sur 5 de tomber.

Donner un programme qui permet de simuler ce lancer. Dv •Solution — 1. freq3(n) fonction local k,r,nb; k := 1; nb := 0; tantque k <> n faire r := rand(6)+1; si r = 3 alors nb := nb + 1; fsi k := k+1; ftantque retourne (nb/n); ffonction:;

Pour obtenir la fréquence d’apparition de3, il faut exécuter le programme pour de grandes valeurs de n (résultat de la loi forte des grandes nombres).

freq3(20000)

Temps mis pour l’évaluation: 0.68 831 5000

evalf(831/5000)

0.1662 proche de1₆ ≈ 0, 1666.

2. Le programme ci-dessous permet de simuler un lancer de cette pièce biaisé. lancerpiecebiaise() fonction

local k;

k := rand(5)+1

retourne("pile") sinon retourne("face") fsi ffonction:; lancerpiecebiaise() face • Lois normales

Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite, on a :

P(X <= x) = normal_cdf(x)

et

P(x <= X <= y) = normal_cdf(x,y)

Exercice 67.6 À l’aide de Xcas, calculer P(3400 ≤ X ≤ 4000) si X ∼ N(< 3700, 182). 

Dv

•Démonstration —On centre la variable aléatoire :

P(3400 ≤ X ≤ 4000) = P 3400 − 3700 182 ≤ X− 3700 182 ≤4000 − 3700182  . Soit T = X−3700 182 ∼ N(0, 1), donc : P(3400 ≤ X ≤ 4000) = P 3400 − 3700₁₈₂ ≤ T ≤ 4000 − 3700₁₈₂  = P−300_{182 ≤}T≤ 300₁₈₂  .

On utilise ensuite la propriété suivante P(−a ≤ T ≤ a) = 2Φ(a) − 1.

P(3400 ≤ X ≤ 4000) = 2Φ 300 182  − 1. On calculeΦ 300 182
sur Xcas : evalf(normal_cdf(300/182)) 0.950359734043 et donc : P(3400 ≤ X ≤ 4000) ≈ 2 × 0, 95 − 1 ≈ 0, 9. •

67.3 Algorithmes 17

67.3

Algorithmes

67.3.1 Algorithme d’Euclide

Soient a et b deux entiers relatifs. L’algorithme d’Euclide permet de calculer le plus grand commun diviseur des entiers a et b.

R 67.7 Puisque l’algorithme a pour objet le calcul d’unPGCD, il est possible de se restreindre aux entiers positifs, unPGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.

Description de l’algorithme.

— Le cas où a et b est nul est trivial carPGCD(a, 0) = a.

— On définit une suite(an)n∈N par récurrence telle que a0 = a et a1 = b puis tant que an+1 n’est pas nul, an+2est défini comme le reste de la division euclidienne de anpar an+1. On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu’on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r et on réapplique le procédé depuis le début.

On obtient ainsi une suite, qui vaut0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précé-dent de la suite.

Dv

•Démonstration —On montre que l’algorithme s’arrête à un moment donné.

La définition même de la suite(an) par division euclidienne montre que, pour tout n tel que

an+1est non nul, il existe un entier qn+2 tel que an = qn+2× an+1+ an+2avec de plus 0 ≤ an+2< an+1pour tout n tel que an+1non nul. La suite d’entiers naturels(an) est donc strictement décroissante (tant qu’elle est non nulle) à partir du rang 1, et donc vaut 0 à un certain rang. L’existence d’un dernier reste non nul est ainsi établie. •

 Exemple 67.8 On calcule, par exemple, le PGCD de 1071 et de 1029 à l’aide de l’algorithme

d’Euclide :

1071 = 1029 × 1 + 42 1029 = 42 × 24 + 21

42 = 21 × 2 + 0

Il faut prendre le dernier reste avant le zéro doncPGCD(1071, 1029) = 21. 

Voici l’algorithme implémenté sur Xcas :

pgcdeuclide(a,b):={ local r; tantque b <> 0 faire r := irem(a,b) a := b b := r ftantque retourne(a) } pgcdeuclide(1071,1029) 21

67.3.2 Dichotomie

Problème

Soient I = [a, b] un intervalle de R et f : I → R une fonction continue telle que f(a) < f(b). On veut calculer m tel que f(m) = 0. Pour cela, on construit deux suites (an) et (bn) convergentes vers

m.

Principe

— On pose a0 = a et b0= b. — Soit m0le milieu de[a, b] :

— Si f(m0) > 0 alors on pose a1 = a0 et b1= m0 — Sinon on pose a1 = m0et b1 = b0.

— Ainsi de suite, si on veut construire le ke _{terme de la suite, on pose m}

k−1 le milieu de [ak−1, bk−1] :

— Si f(mk−1) > 0 alors ak= ak−1et bk= mk−1 — Sinon on pose ak = mk−1et bk= bk−1. L’algorithme sur Xcas

dicho(F,p,a,b):={ local aa,bb,k,f; aa:=a; bb:=b; epsilon:=1e-100; f:=unapply(F,x); k:=0;

tantque evalf(bb-aa,p)>10^(-p) faire

si sign(evalf(f((bb+aa)/2),p))==sign(evalf(f(bb),p))

alors bb:=evalf((aa+bb)/2,p);

sinon aa:=evalf((aa+bb)/2,p); k:=k+1;

fsi;

ftantque;

retourne evalf((bb+aa)/2,p)+" est la solution trouvée après " +k+ " itérations"; }:;

dicho(x^4-x^2+x-4,5,0,5)

1.47198 est la solution trouvée après 11 itérations

et sa version récursive :

dicho_rec(f,a,b,eps,compteur):={

si evalf(b-a)<eps alors 0.5*(b+a),compteur+1

sinon si f(a)*f(0.5*(b+a))>0 alors dicho_rec(f,0.5*(b+a),b,eps,compteur+1) sinon dicho_rec(f,a,0.5*(b+a),eps,compteur+1) fsi fsi }:; dicho_rec(x->x^4-x^2+x-4,0,5,10^(-6),0) (1.47198408842,24)

67.3 Algorithmes 19

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 67.9— Théorème des valeurs intermédiaires. Soient I un intervalle, a et b dans I tels que

a < b. Soit f une application continue sur l’intervalle I. Soit λ, un réel compris entre f(a) et f(b).

Alors il existe (au moins) un réel c dans[a , b] tel que f(c) = λ.

Dv

•Démonstration du théorème67.9—Supposons f(a) < f(b). Nous allons construire deux suites adjacentes(an)n∈N∗et(bn)n∈N∗par l’algorithme suivant :

— Si le milieu m de l’intervalle[a , b] est tel que f(m) ≥ m alors on pose a1= a et b1= m.

— Sinon, on pose a1= m et b1= b.

On recommence le découpage :

— Si le milieu m de l’intervalle[a1, b1] est tel que f(m) ≥ λ alors on pose a2 = a1 et

b2= m. — Sinon, on pose a2= m et b2= b1. On a ainsi : a_{≤ a}1≤ a2≤ b2≤ b1≤ b et f(a2) ≤ λ ≤ f(b2). a f (a) b f (b) ? λ Cf b1 a1 ? b2 b1

En réitérant le procédé, on construit ainsi une suite de segments emboîtésa_: [a , b] ⊃ [a1, b1] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊃ · · · .

De plus, par construction, la longueur de[an, bn] est b₂−an . Les segments [an, bn] ont donc

des longueurs qui tendent vers0. Les suites (an)_n∈N∗et(bn)_n∈N∗sont donc adjacentes.

Notons c leur limite commune (ce réel c est dans l’intervalle[a , b]). Montrons que f(c) = λ. On a, pour tout n ∈ N∗_:

f(an) ≤ λ ≤ f(bn) et par passage à la limite :

lim

Or, f est continue en c donc :

f(c) ≤ λ ≤ f(c)

et ainsi f(c) = λ. On a bien montré qu’il existe un réel c dans [a , b] tel que f(c) = λ. • a. Il s’agit d’une méthode de dichotomie.

R 67.10

1. Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que l’équation f(x) = λ (f(a) < λ < f(b)) admet au moins une solution dans[a , b].

2. L’hypothèse de continuité est indispensable dans le théorème. Essayer d’applique le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction « partie entière » avec a= 0, b = 1 et λ = 1

2. . . a f (a) b f (b) c λ Cf

FIGURE67.1 – Cas d’une fonction monotone

a f (a) b f (b) c λ Cf

FIGURE67.2 – Cas d’une fonction non monotone

 Exemple 67.11 Tout polynôme de polynôme P (à coefficients réels) de degré impair admet (au

moins) une racine réelle. En effet, comme le degré de P est impair, on a : lim

67.3 Algorithmes 21

En conséquence, il existe un réel a ∈ R tel que pour tout x < a, on ait P (x) < 0 et un réel b ∈ R tel que pour tout x > b, on ait P(x) > 0. Comme P est une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer l’existence d’un réel c ∈ ]a , b[ tel que P (c) = 0. 

R 67.12 Le théorème des valeurs intermédiaires n’admet pas de réciproque. Une fonction f peut très bien vérifier la propriété des valeurs intermédiaires sans être continue. Considérer par exemple la fonction f définie sur

I= R par : f(x) = ( sin1 x si x 6= 0 x0 si x= 0 où x0∈ [−1 , 1].

On peut montrer (en exercice) que la fonction f est non continue en0 et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires. En effet, soient a et b deux réels avec a < b.

— Si a et b sont non nuls et de même signe, alors c’est immédiat (puisque dans ce cas f est continue sur [a , b]).

— Si a= 0 (et b > 0) alors on prend un réel λ compris entre f(a) = x0et f(b). Comme λ ∈ [−1 , 1], on

peut toujours trouver un réel X ≥ 1b tel quesin X = λ. En posant x = X1, il vient bien f(x) = λ avec

x_{∈ [a , b].}

— On raisonne de même si on a un intervalle[a , 0] ou [a , b] lorsqu’il contient 0.

C’est plus, c’est moins !

L’utilisateur du programme choisit un nombre au hasard entre1 et 100. Donner un algorithme qui permet à l’ordinateur de détecter le nombre choisi par l’utilisateur.

Pour cela, on va utiliser la méthode de dichotomie.

plusmoins(n) fonction local a,b,m; a := 0; b := 100; m := (a+b)/2; tantque m <> n faire si m < n alors a := m+1; m := floor((a+b)/2) sinon b := m-1; m := floor((a+b)/2) fsi ftantque retourne(m) ffonction:; plusmoins(80) 80

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http:// bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL : http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011. [16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015. http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/

TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no_{503, 2013. URL : http://}

publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_ JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010. [36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012. http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

BIBLIOGRAPHIE 25

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL : http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_ cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes. URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien. herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.

[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[50] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[52] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001. [53] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000. [54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr

[55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[56] M. LENZEN, Leçon no_{14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.}

capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques, 2006-2007.

[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp

[60] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.

[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://

tehessin.tuxfamily.org

[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/ 21ganal.pdf.

[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/ coorgeo.pdf.

[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net. [67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah.

jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf [68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.

[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.

[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http: //perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf. [72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont

de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_ Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.

[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/ Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.

[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf

[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF

[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.

[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf

[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.

[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf

[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF

[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone. voila.net/Brevet/syst.3.html

[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES.http://mathweb. fr.

[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah. jo.free.fr/seconde/regionalpha.php

[84] Programmation linéaire,http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/ 500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf [85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),

Programme 1999, Didier.

BIBLIOGRAPHIE 27

[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL :http://serge.mehl. free.fr/anx/dtes_p.html

[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_ Droites_secantes.pdf

[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/ CAPES/geometrie/droites2012.pdf.

[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/ acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf

[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL :http://pierrelux.net/documents/ cours/2/espace.pdf

[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/ Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf

[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/ lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.

[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e ₃e_{, Playermath. URL : http://www.}

playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.

[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000. free.fr/4C/4C-02.pdf

[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia. [97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.

[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http: //math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_ cartesiennes.pdf

[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL :http://www.hexomaths. fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf

[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.

[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau. pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.

[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.

[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www. xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf

[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/ produitscalaire.pdf

[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf

[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015.http://www. ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf [108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/

[109] Propriété de Thalès, 3e_{. URL :http://melusine.eu.org}

[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL :http://mathadoc.com. [111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.

[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.

[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace. URL :http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf

[114] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/ cours/3_Trigonometrie_C.pdf

[115] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S.http://bacamaths. net

[116] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http:// bacmaths.net

[117] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.

[118] M. LENZEN, Leçon no32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications. URL :http://capes-de-maths.com

[119] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart. pagesperso-orange.fr

[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. De Boeck, 2000.

[121] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http:// bacamaths.net.

[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x. maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01. [124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf [126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux.

net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf [128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net

[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free. fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.

[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne. URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/ AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf

BIBLIOGRAPHIE 29

[133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/ exposes/suites/suites.htm

[134] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S.http://bacmaths.net

[135] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL :http://www.xm1math.net/ premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf

[136] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL :amemath.o2switch.net/ ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.

[137] A. SAMIER& C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011. [138] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL :http://mathweb.fr.

[139] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonctionln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon. URL :http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf

[140] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL :http://xmaths. free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[141] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL :http://bacamaths.net.

[142] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.

[143] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl :http://bacamaths.net. [144] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment.

Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle. Leçon no_{60 du CAPES 2010. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.}

html.

[145] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths. net

[146] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSdericours&page=01

[147] G. COSTANTINI, Exercices rédigés sur les exponentielles et les logarithmes. URL : http: //bacamaths.net.

[148] G. COSTANTINI, Fonctions logarithmes, Cours de Terminale S. URL : http:// bacamaths.net.

[149] J.-E. VISCA, Les croissances comparées. URL :http://visca.pagesperso-orange. fr/html/aide/comparees.pdf

[150] R. GALANTE, Croissance comparée des fonctions x 7→ ex, x 7→ xaet x 7→ ln x au voisinage de+∞. Application. URL :http://leahpar.etnalag.free.fr/images/cours/ analyse_oral/croiss_comp.pdf

[151] T. CUESTA, Cours de mathématiques BTS IRIS. URL : http://cuestamath.perso. sfr.fr/cours_bts_iris.pdf

[152] G. COSTANTINI, Calcul intégral, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [153] Leçon 84 : Calcul approché d’intégrales, Université Claude Bernard-Lyon I, CAPES de Ma-thématiques : Oral, Année 2004–2005. URL :http://math.univ-lyon1.fr/capes/ IMG/pdf/integrales.pdf.

[154] M. LENZEN, Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice., 2011. URL : http://capes-de-maths.com

[155] F. THIRIOUX, BTS Electronique, Cours de Mathématiques, Lycée René Perrin, Ugine.https: //drive.google.com/file/d/0BwDBipKCbVR0ZzRVd3RvVGJxb00/view. [156] C. CHERRUAU& F. CHERRUAU, Maths, BTS Groupement A, Contrôle Continue Ellipses. [157] G. COSTANTINI, Exercices sur les équations différentielles, Terminale S. URL :http://

bacamaths.net.

[158] M. CUAZ, Plan d’étude d’une fonction numérique, Terminale S. URL :http://mathscyr. free.fr.

[159] X. DELAHAYE, Exercices d’étude de fonctions, Terminale ES. URL : http://xmaths. free.fr/TES/exos/index.php

[160] G. COSTANTINI, Étude de la fonction tangente, DM de Terminale S. URL : http:// bacamaths.net.

[161] Contributeurs de Wikipédia, Transformation de Laplace, Wikipédia.

[162] M.-N. SANZ& al., Physique, Tout-en-Un, PSI-PSI*, 2e_{année, Dunod, 2010.}

[163] G. CONNAN, Une année de MAPLE en MPSI, Ch. 4, 2011-2012. URL : http:// download.tuxfamily.org/tehessinmath/les%20pdf/PolyMaple10.pdf. [164] Dissections de polygones, la construction de Henry Ernest Dudeney (1857-1930),

URL : http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Panoplie/ Dissect/dudeney.htm.

[165] URL : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire_ college_classique.html.

[166] Contributeurs de Wikipédia, Médiane (géométrie), Wikipédia.

[167] APMEP, Démontrer par les aires, Journée régionale de Grenoble, 17 mars 2004. [168] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pick, Wikipédia.

[169] Contributeurs de Wikipédia, Algorithmique, Wikipédia.

[170] ALGOBOX, Gallerie d’algorithmes. URL : http://www.xm1math.net/algobox/ gallerie.html.

[171] Contributeurs de Wikipédia, Flocon de Koch, Wikipédia.

[172] F. BAYART, Code César. URL : http://www.bibmath.net/crypto/substi/ cesar.php3

[173] Codage en code César. URL : http://www.ac-noumea.nc/maths/spip.php? article295.

[174] J. HERNANDO, Activités sur un tableur. URL :http://juliette.hernando.free. fr/tableur.php.

[175] X. DELAHAYE, Utilisation d’un tableur. URL : http://xmaths.free.fr/tice/ tableur/

[176] Régression linéaire à l’aide d’un tableur Excel. URL : http://omareli.com/pdf/ linear_fit_excel.pdf?ckattempt=1

BIBLIOGRAPHIE 31

[177] C. BOULONNE, Les maths en stage, 2010-2012. URL : https://cboumaths.files. wordpress.com/2012/09/mathsenstage.pdf

[178] G. CONNAN, Faire des mathématiques au lycée en programmant, 2010. URL : http: //download.tuxfamily.org/tehessinmath/les%20pdf/PafAlgo.pdf.