HAL Id: tel-00004225
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Noyau et métrique de Bergman dans des formules de
représentations pour les convexes de type fini et
applications
Mathieu Fructus
To cite this version:
Mathieu Fructus. Noyau et métrique de Bergman dans des formules de représentations pour les
convexes de type fini et applications. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III,
2003. Français. �tel-00004225�
présentée en vue de l'obtention du
Do torat de l'Université Paul Sabatier de Toulouse
Spé ialité : Mathématiques Pures
par
Mathieu Fru tus
Noyau et métrique de Bergman dans des
formules de représentation pour les onvexes
de type fini et appli ations
Soutenue le 18 Dé embre 2003
devant le jury omposé de :
P. Bonneau Do teur d'Etat, Université de Toulouse III Examinateur J. Bruna Professeur, Université Autonomede Bar elone Rapporteur P. Charpentier Professeur, Université de Bordeaux I Rapporteur A. Cumenge Professeur, Université de Toulouse III Dire tri e J. Mi hel Professeur, Université du Littoral Président P. Thomas Professeur, Université de Toulouse III Examinateur
LaboratoireEmile Pi ard, UMR 5580, UFRMIG, Université PaulSabatier 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse edex 4,Fran e.
Jetiens àremer iervivement AnneCumenge pour m'avoirsoutenutout aulong de e travail, pour le temps qu'elle m'a a ordé et pour e qu'elle m'a appris sur e sujet. Sa disponibilité et surtout sa très grande patien e devant mes errements mathématiqueset moraux m'ont été très pré ieux.
Ce travail doit beau oup à un séjour à l'UAB où j'ai béné ié d'ex ellentes onditions de travail. C'est un grand plaisir de remer ier Joaquim Bruna d'avoir bien voulu rapporter sur ette thèse.
Je suis très honoré quePhilippeCharpentier ait a epté d'é rireun rapport sur e travailetde parti iperau jury.
J'exprime ma plus vive re onnaissan e à Joa him Mi hel pour l'intérêt qu'il a porté à mon travailet pour avoir a epté d'être président du jury.
Je remer ie haleureusement Pas al Thomas et Pierre Bonneau de m'honorer de leur présen e dans le jury. Je remer ie aussi Pas al Thomas d'être si a tif pour favoriser la mobilitédes jeunes, en parti ulier vers Bar elone.
Denombreux thésardsontparti ipésousdiversesformesàmaformation mathé-matiques,etdon d'une ertaine manièreàl'élaborationde etravail.Jedois remer- ier les ompagnons d'analyse omplexeNi o Mar o, Ni oN'Guyen et Tof Dupont pour leurs expli ations et en ouragements. Arnaud Hilion et Manu Opshtein ont aussi grandement ontribué à ma ulture mathématiques en organisant les GDTE. GuyCasale, JulienKeller, GuillaumeRondse sontbeau oup impliquéspour dyna-miserlesthésardsdulabo,jelesenremer ie.JedoisàMathiasSéguyl'apprentissage du pragmatisme : mer i beau oup, 'est utile. J'ai une pensée parti ulière pour les Noeuds-noeuds duGoulag pourl'extraordinaireeerves en e qu'ilssavaient réer. Je souhaite aussi remer ier les thésards bar elonnais pour leur haleureux a ueil qui resteragravé dans mamémoire.
Je dois remer ier les amis pro hes de leur soutien onstant et de m'avoir oert des pausessalutaires:mer i àDavid, Flo,Fabri e,Sandra, Mar , Karyne,Willy,...
Je remer ie en n ma famille, elle dont je viens et elle qui se rée pour leurs en ouragements onstants etsans qui e travailn'auraitjamaisvu lejour.A Stouf, ave tout monamour...
Dans un domaine d'holomorphie D, les groupes de ohomologie H p;q
(D) s'an-nulentpourp=0;:::;netq=1;:::;n. Lesformules dereprésentationsintégralesont permis, dès les annnées 70, de résoudre dans les domaines stri tement pseudo on-vexes à bord su sammentrégulier l'equation:
u=f: (0.0.1)
Ellesont permis d'obtenir des estiméespour u dans des espa es variés : espa es de Lebesgue L
p
, 1 6 p < 1, espa es de Hölder. Nous rappelons quelques résultats que notre travail généralise. Dans le as des domaines stri tement pseudo onvexes, S.G. Krantz [18℄ a obtenu une estimation höldérienne
1 2
de lasolution de Henkin pourf une(0;1) formeà oe ientsbornés(estimationoptimaledansl'é helledes espa es de Lips hitz
).Il ra ne ainsi lerésultatantérieurde G.M.Henkinet A. Romanov [16℄ qui donnait, sous les mêmes hypothèses, une solution dans l'espa e
1 2
"
(0 < " << 1). Plus ré emment, A. Cumenge [4℄ d'une part et K. Diederi h, B. Fis her etJ. Fornaess [10℄ d'autrepart ont généralisé e résultatdans le as des onvexes detype nim,autrementditdesdomaines onvexes àbordC
1
dontl'ordre de onta t en tout point du bord et ave toute droite omplexe est majoré par m (nous dé nirons plus pré isément le type etles propriétés asso iées dans lepremier hapitre). Ils obtiennent un opérateur T qui résout l'équationde Cau hy-Riemann etqui est ontinu de L
1 (0;q) dans 1 m :
Enfait, A.Cumenge [4℄etB. Fis her [11℄ont égalementobtenu des estimations pour u quand la donnée appartient à l'espa e L
p (0;q)
. De plus, même si notre travail ne porte pas sur e type de problème, nous souhaitons signaler que les estimations C
k
danslesdomaines stri tementpseudo onvexes obtenues parI. LiebetM. Range [21℄ viennent d'être généralisées par W. Alexandre [1℄ dans les domaines onvexes de type ni.
S.G.Krantzaaussimontréquelasolutionde(0.0.1)pourunedonnéef
-fermée debidegré(0;1)à oe ientsbornésdanslesdomainesstri tementpseudo onvexes, appartientà l'espa e anisotrope
1 2 ; ~ ~ 1
(i.e. presque dans 1 2 ;1
). Ce résultata ensuite été amélioré par P. Greiner et E. M. Stein [13℄ qui ont obtenu sous les mêmes hy-pothèsesune solutiondans
1 2 ;1
.Ces résultatsindiquentqu'une meilleurerégularité de la solutionest attendue dans lesdire tions tangentes omplexes.
solutionsde (0.0.1)danslesdomainesbornés onvexes detype niàbordlisse.Pour ela, nous utilisons des formules de représentations intégrales qui tiennent ompte de la géométrie de es domaines. En eet, les travaux de Berndtsson et Andersson [2℄donnentune onstru tionde noyauxàpoids trèsgénérauxpour résoudre(0.0.1). Reprenant une idée d'A. Cumenge [5℄, nous introduisons la métrique de Bergman dans es noyaux a n de re éter aussi dèlement que possible leur géométrie. Elle est bien dé nie ar, dans les domaines bornés, la métrique de Bergman est donnée par une matri e dé nie positive. Rappelons que, à moins d'avoir un domaine très symétrique,lenoyaude Bergmanne peut presquejamaisêtre al uléexpli itement. Nous avons pourtant besoin de onnaître son omportement ainsi que elui de la métrique pour valider les formules d'homotopie. Pour ela, nous nous servons très largement des résultats de J. M Neal [23℄ [24℄ qui a obtenu des estimations nes dans les onvexes de type ni pour lenoyauet pour la métriquede Bergman.
Dans lapremière partie de notre travail, nous reprenons laformule de représen-tation intégrale onstruite par A. Cumenge ave des noyaux de type Berndtsson-Andersson où le poids dépend du noyau de Bergman. Elle est semi-géométrique dans le sens où le noyau est onstruit en partie à l'aide du noyau de Bo hner-Martinelliqui,bien qu'universel,ne nous permettra pas apriorid'exploitertoutela géométrie du domainepour lesrésultats lesplus ns. Dans tous les résultats pré i-tés sur les estimations de la solution de (0.0.1), la donnée f est dans l'espa e L
1 . C'estainsilasolutionquiportel'anisotropieinduiteparlagéométriedesstri tement pseudo onvexes oudes onvexes de type ni. Il nousasemblé intéressantde donner aussi une appro he oùladonnée appartientà un espa eanisotrope.Pour ela, nous utilisons lanorme jjjfjjj :=sup z2 jjf(z)jj oùjjf(z)jj
estunenormepon tuelledé nieàpartird'unenormedetypeKobayashi pour les ve teurs introduite dans [3℄. La solution appartient alors à l'espa e de Zygmund isotrope
1
()=fu2C 1
() t. q. 9C; ju(z+h)+u(z h) 2u(z)j6Cjhj; z;zh2g:
Pour montrerleste hniquesusuellesde résolution,etlesdi ultésd'appro hepour les estimations de la partie eu lidienne du noyau résolvant, nous donnons aussi un résultat oùla donnée appartientà l'espa e des (0;1) formes L
1
. Ce résultat n'est pas optimal etnous l'améliorons dans latroisième partie.
La se onde partie donne la onstru tion d'un noyau entièrement géométrique. Il ne fait plus intervenir que le noyau et la métrique de Bergman et nous pouvons espérerêtre don àmêmedel'exploiterpour obtenirlesrésultatslesplus ns.Cette onstru tionestde typeBerndtson-Andersson [2℄en hoisissantune se tiondu bré de Cau hy-Leray basée surlamétriquede Bergmanetun poids en termesdunoyau de Bergman.Ce noyaupermet d'obteniruneformulede représentationvalablepour les(p;q)-formesen généraletnousl'énon eronssous ette forme.Le hoixdupoids,
surlebordquiapparaîtdanslesformulesd'homotopie.En n,nousvoulonssouligner l'intérêt pour notre travail de hoisir des formules de représentations : elles sont universelles et permettent d'espérer, si apparaissent des résultats nouveaux sur la métriquede Bergmandans desdomaines faiblementpseudo onvexes plus généraux, une extension de nos méthodes à es domaines.
Danslatroisièmepartie,nousdonnonsunpremierrésultatquiutilise enoyauen améliorantle se ond résultat du premier hapitre. Nous obtenons un résultat opti-mal:pourunedonnéedansL
1
(),nousmontronsquelasolutionde(0.0.1)estdans l'espa e de fon tions anisotropes
1 m
introduit par M Neal et Stein [25℄. C'est un espa e de type Lips hitz
1 m
pour une métriquefaisantintervenir lapseudométrique de M Neal, don adapté à la géométrie. Dans [25℄, seule une dé nition lo alisée sous formed'unedé omposition dis rète des fon tionsest donnée. Nous avons alors introduit une dé nition dire te, dans l'étatd'esprit de elle de Zygmund.
Bienqueplus n,lenoyauplusgéométriquequenousavons introduitnesimpli e pas l'étude du terme qui porte la singularité maximale, ar il n'est plus possible d'utiliser des te hniques du type Hardy-Littlewood.L'étude dire te de e terme se révèlebienplus te hniqueque elle d'unnoyaude Bo hner-Martinellistandard. Les autres termes du noyau, eux, à la fois très géométriques et moins singuliers, sont très simples àestimer etdonnent l'estimation optimalesouhaitée.
En n,nousterminonspar unese ondeappli ation:nousretrouvons lethéorème de Greiner et Stein [13℄ : pour une (0;1) forme
fermée à oe ients bornés, il existeune solutionude l'équation(0.0.1)quiappartientàl'espa e
1 2 ;1
dans les do-mainesstri tementpseudo onvexes.Il estassez naturelde pouvoiryarriverpuisque notreobje tifest de dominer,à travers notre solutionde (0.0.1),lesaspe ts géomé-triques des domaines. Nous pouvons ainsi illustrer que, même dans e adre, notre noyaupermetd'obtenirlesrésultatsoptimauxetsans utilisertoutelate hni itéliée auxgroupesde Heisenberg.
Enon é des résultats et esquisse des démonstrations
Théorème 1. Soit un domaine onvexe borné, à bord lisse et de type ni m, et f une (0,1)-forme
fermée telle que jjjfjjj <+1. Alors il existe u 2 1 () telle que u=f .
Nous onsidérons un noyau de type Berndtsson-Andersson, ave une se tion de Bo hner-Martinellimaisun poidsgéométrique ommedans [5℄pour obtenirnotre solutiondel'équation(0.0.1).Cettesolutionsedé omposeenunesommedentermes etl'onpeut serestreindreàl'étudede troisde es termesseulement.Lepremierfait l'objet d'une étudedire te; ils'agit en faitde montrer que
R
[BM℄(;z)appartient à
1
, où [BM℄ est le noyau de Bo hner-Martinelli. Pour les deux autres termes, nous utilisons un lemme standard de Hardy-Littlewood [19℄. C'est-à-dire que nous dérivons estermespourvéri erle omportementdeleurdérivéese ondeenfon tion
que ( 1 d(z)
) 2
dans un voisinagedu bord, nous savons que ette appli ationappartient à l'espa e de Lips hitz
1
. Pour ela, nous devons nous pla er sur des ouronnes géométriques P(z;2
`
d(z))n steP(z;2 ` 1
d(z)).Il est ainsi né essairede onnaître le omportement des diérents termes du noyau après dérivation. Les estimations de M Neal [23℄ sont ru iales à ette étape.
Théorème 2. Soit un domaine onvexe borné, à bord lisse et de type ni m, et f une (0,1)-forme
-fermée telleque kf k L
1
<+1. Alors, pour tout 0< < 1 m , il existe u2 () telle que u=f .
Nous démontrons e théorème ave le même type de te hniques. Comme nous n'obtenons pas le résultat optimal, nous n'avons besoin que d'un ritère de type Hardy-Littlewood d'ordre 1, 'est-à-dire ne faisant intervenir que des dérivées pre-mières. Il faut adapter e lemme de Hardy-Littlewood à une situation anisotrope. En eet, omparer le omportement de la dérivée près du bord à elui de
1 d(z)
ne permet pas d'appréhender la géométrie. Nous introduisons pour ela un ritère de omparaisonentredes dérivées dire tionnellesetlesv-rayons (z;v;d(z))introduits par M Neal. Ces v-rayons sont une sorte de métrique de Kobayashi dire tionnelle aupointz,ellessontdon unbonre etdes phénomènesgéométriques.Noustenons à signalerqu'un résultatdu mêmetype a été obtenu par B. Fis her [12℄ àl'aide de la fon tionsupport de Diederi h-Fornaess, mais qu'iln'est pas optimal non plus.
Remarque 1. Nous pouvons ra ner l'estimation du théorème 2 et prouver que, pour toute (0,1)-forme f
fermée dans , il existe une solution u de l'équation u=f telle que : 8;z2; ju() u(z)j.jjfjj 1 (;z) 1 m (ln (;z)) 2 (0.0.2)
Cela n'est ependantpas satisfaisantpuisqu'il n'ya pasd'interprétationgéométrique de e logarithme, 'estpourquoinous préférons énon erlethéorèmesoussapremière forme.
Nous montrons en fait dans la preuve de es deux théorèmes l'existen e d'un opé-rateur intégral T tel que :
Tf =f pour f une (0;1)-forme
-fermée à oe ients bornés dans , T est ontinu de L
1 (0;1);jj:jj eu l () dans (), 0 < < 1 m et de L 1 (0;1);jj:jj () dans 1 ().
Remarque 2. Leproje teurde Bergman deétant ontinude l'espa e 1
() dans lui-mêmeet égalementde toutespa e
() dans lui-mêmed'après [25℄, la solution anonique v de Kohn de l'équation
u =f dans satisfait les mêmes estimations que elles données i i pour u=Tf.
Dans les estimations de la partie eu lidienne du noyau de l'opérateur T, l'ap-paritiondes v-rayons n'est pas naturelle lorsdes dérivations. Cela semble expliquer
se rend alors omptede l'intérêt d'introduire la métrique de Bergman. En eet, les termesquisont onstruits àpartirde ette métriquesonttrès fa ilesàestimerdans e ontexte. Notre appro he va onsister à her her un autre noyau et 'est e que nous faisons dans le hapitre 2,oùl'on onstruit K(;z)tel que:
Théorème 3. Pour toute (p,q)-forme f sur , on a :
f(z)=( 1) p+q+1 Z 2 f()^K p;q (;z)+ z Z 2 f()^K p;q 1 (;z) (0.0.3) pour q>0 et f(z)=( 1) p+1 Z 2 f()^K p;0 (;z)+ Z 2 f()^P p;0 (;z) (0.0.4) pour q=0. K p;q
est le terme de K de bidegré (p;q) en z et (n p;n q 1) en . Il en est de même pour P =dK.
De manièretrès naturelle,enutilisantuneformulede Stokes, onpeutdémontrer desformulesdereprésentationintégrale.Pouréliminerletermeaubord,onutiliseun poidsquitendvers0quandonserappro hedu bord.Nousnepouvonspasappliquer dire tement le résultat de Berndtsson-Andersson. Nous démontrons le résultat en suivant leur démonstration. Nous avons don besoin d'utiliser les hypothèses sur le domaine a n de pouvoir estimer le omportement du noyau près du bord. Cela nous permet, même si s ne véri e pas les onditions satisfaites par les se tions du bré de Cau hy-Leray utiliséesd'ordinaire dans les noyaux de type Berndtsson-Andersson,defaire onvergerlesintégralesintervenantdanslenoyau. Nouspouvons alors appliquer e résultata n d'obtenir :
Théorème 4. Soit un domaine onvexe borné, àbord lisse etde type ni m, etf une (0,1)-forme
-fermée telle que kf k L 1<+1. Alors, il existe u2 1 m () telle que u=f .
Il s'agiti id'utiliserun ritèrede typeHardy-Littlewoodd'ordre2.Celasigni e que, ommepourlethéorème1,nousdevonsdériverdeuxfoispourobtenirlerésultat optimal.Deplus, ommedans lethéorème2,nous devons l'adapterà dessituations anisotropesenfaisantintervenirdes v-rayonsetdesdérivationsdire tionnelles. Seul le terme du noyau ontenant la singularité maximale pose problème puisqu'on ne peut pas le dériver en gardant un noyau intégrable. Nous devons don trouver un ritère dire t pour e terme et pour ela nous dé nissons
1 m
. Il existait déjà une dé nition de et espa e dans l'arti le de M Neal et Stein [25℄, mais ellen'était pas appropriée. Eneet, elleétait basée sur une dé omposition de type
f 2 1 m
oùb k
etg k
doiventvéri erde bonnespropriétés.Or, etypede dé nitionne permet guèredefairedesvéri ationsdire tes.Nousmontronsl'équivalen edesdeux dé ni-tions etnousavons besoinpour ela de fabriquerune approximationde l'unitédont lesupport est adaptéàlagéométrie desdomaines onvexes de type ni.Lamajeure partie du travail restant est de montrer que u
0
véri e ette dé nition. En eet, le reste du noyauest omplètement géométriqueetson omportementest bienadapté pour les dérivations. Tout se démontre alors très naturellement pour es termes là, e quiétait le but.
En n, dans le as des domaines stri tement pseudo onvexes, ela nous permet de retrouver lerésultat de Greiner etStein :
Théorème 5. Soit un domaine stri tement pseudo onvexe borné à bord lisse et f une (0,1)-forme
-fermée telle que k f k L 1< +1. Alors, il existe u 2 1 2 ;1 telle que u=f .
Le s héma de la démonstration est le même que pré édemment, il faut epen-dant adapter en oreune foisun lemmede Hardy-Littlewoodàla dé ompositionde l'espa e tangentT
z
Introdu tion i
Enon é des résultats etesquisse des démonstrations . . . iii
Notations et Rappels 3 0.1 Notations . . . 3
0.2 Géométrie des onvexes de type ni . . . 3
0.2.1 Dé nitions . . . 3
0.2.2 Géométrie des onvexes de type ni . . . 5
0.2.3 Propriétés des "-bases extrémales . . . 6
0.3 Métrique de Bergman . . . 9
0.3.1 Rappels . . . 9
0.3.2 Spé i itédans les onvexes de type ni . . . 9
0.4 Noyaux àpoids de typeBerndtsson-Andersson . . . 10
1 Estimations Höldériennes pour l'équation de Cau hy-Riemann 13 1.1 Préliminaires: noyauxrésolvants etestimations élémentaires . . . 13
1.1.1 Noyaurésolvant . . . 13
1.1.2 Etude des termes élémentaires . . . 14
1.2 Résultatoptimal en norme Kappa . . . 17
1.2.1 Notations-dé nitions . . . 17 1.2.2 Etude du terme u 0 . . . 17 1.2.3 Etude du terme u 1 . . . 20 1.2.4 Etude du terme u n 1 . . . 21 1.3 Preuve du Théorème 2 . . . 24
1.3.1 Une ondition su sante . . . 24
1.3.2 Estimationde u . . . 26
2 Formule de représentation intégrale en métrique de Bergman 31 2.1 Formule de typeKoppelman-Berndtsson-Andersson . . . 31
2.2 Changementde oordonnées . . . 37
3 Appli ation 1 : Estimée anisotrope optimale 39 3.1 Unedé nition équivalentede 1 m . . . 39
3.2 Estimations . . . 45 3.2.1 Rappeldes estimations des termes élémentaires . . . 45 3.2.2 Estimations de u 1 et u n 1 . . . 46 3.2.3 u 0 sur P(z;d(z)), as (z;z+h)=jhj: . . . 50 3.2.4 u 0 sur P(z;d(z)), as (z;z+h)="(z;z+h) : . . . 54 3.2.5 Estimationde u 0 en dehors de P(z,d(z)) . . . 54
4 Appli ation 2 : autre preuve d'un résultat de Greiner et Stein 57 4.1 Petit rappeldu ontexte . . . 57 4.2 Unautre lemme de type Hardy-Littlewood: . . . 58 4.3 Etudede u 1 (z) etu n 1 (z) :. . . 60 4.4 Etudede u 0 (z) :. . . 60 4.4.1 Etude àl'intérieur de P(z;d(z)), as jhj
2
6d(z) : . . . 60 4.4.2 Etude àl'intérieur de P(z;d(z)), as d(z)6jhj
2
: . . . 63 4.4.3 Etude àl'extérieur de P(z;d(z)) : . . . 63
0.1 Notations Pour =( 1 ;:::; n )2N n , nous posons : != 1 !::: n !: et j j= 1 ++ n : Soient">0etz un pointde C n .NousnotonsB(z;")=f 2C n ;j zj<"g: La sphèreunité est notée S
n . Soient i 1 < < i k ; j 1 < < j k
0 des entiers de f1;:::;ng: Les formes diérentielles dz i1 ^^dz i k et dz j1 ^^dz j k 0 de C n
sont respe tivement notées dz I et dz J où I =(i 1 ;:::;i k )et J =(j 1 ;:::;j k 0). Soit un ouvert de C n
.Son bord est noté . Soit U un ouvert de C
n
, p;q 2f1;:::;ng, k un entier >0.Nousnotons C k p;q
(U) l'ensembledes (p;q) formesf =
P jIj=p;jJj=q f IJ dz I ^dz J
oùlesI etJ sontsupposés ordonnés, telles que tous les f
IJ
soient de régularité C k
sur U. Pour z 2 U, nous posons : jjfjj 1 =sup z2 sup jIj=p;jJj=q jf IJ (z)j ! Nous notons T z
l'espa e tangent réel à au point z 2 . L'espa e tangent omplexe est noté T
C z . Pour k=(k 1 ;:::;k q )2N q et=( 1 ;:::; q ),où j 2S n (j =1;:::;q),nous notons D k l'opérateurdiérentiel (D 1 ) k1 :::(D q ) kq . Pour etz dans , on pose hz;i=
P z
i
i
0.2 Géométrie des onvexes de type ni
0.2.1 Dé nitions
Nous supposerons dans tout e travail que le domaine de C n
est un domaine borné, àbord lisse et onvexe de type ni. Pré isons e que nousentendons par là:
Dé nition 6. Soit2C n
un domaine. Nous dirons que a un bord diérentiable de lasse C
k
, k > 0 éventuellement in ni, si, pour tout point p de , il existe un voisinage U de p et une fon tion à valeursréelles r2C
k
tels que :
U \=fx2;r(x)<0g;
grad(r(x))6=0 pour tout x2U \ : (0.2.1)
La fon tionr est appelée fon tiondé nissantelo aleen p.SiU est un voisinage de ,onditquerest une fon tiondé nissante. Nousrappelonslerésultatsuivant:
Proposition 7. Soit un domaine borné et onvexe à bord C k
. Alors il existeune fon tion r dé nissante de lasse C
k
, onvexe et dé nie sur C n
tout entier.
Bien qu'ayant donné les dé nitions pré édentes dans C n
, il s'agit en fait de notions réelles. Le type ni est par ontre une notion spé i quement omplexe. Nous nous intéressons i i autypeau sens de D'Angelo. Nousreprendrons don [7℄.
Dé nition 8. Une ourbe holomorphe est une appli ation holomorphe
z:U !C n
:
où U est un ouvert de C.
Dé nition 9. Considérons le germe en 0 d'une ourbe lisse non triviale:
z :(C;0) !(C n
;0):
Puisque z est non onstant, il existe un plus petit entier naturel v = v(z) pour lequel une dérivation de z ne s'annule pas en zéro. On appelle et entier l'ordre de multipli ité de z en zéro.
Dé nition 10. Soient C n
un domaine à bord lisse, p un point de et r une fon tion dé nissante.Pour les germes z qui ont pour image p, si
1 (;p)=sup z v(z r) v(z) <1;
on dit quele1-type de est ni enp. On dira queest de type ni m si,pour tout point p de ,
1
(;p)6m.
Cettedé nitiondonnel'idéed'ordrede onta tdeave desvariétés omplexes de dimension 1. Dans ette logique, il est naturel d'introduire le type linéaire qui donnel'ordrede onta tuniquementave des droites omplexes. On onsidère don les germeslinéaires, 'est-à-dire de laforme fa+b; 2Cg. J. M Neal adémontré dans [22℄ que es deux dé nitions sont équivalentes pour les domaines onvexes de type ni. Pour ela, il a introduit plusieurs outils géométriques quenous détaillons
0.2.2 Géométrie des onvexes de type ni
Soitun domainebornéde C n
onvexe,detype nim etr unefon tion dé nis-santeglobalede ,derégularitéC
1
,dé nieet onvexesurC n
etdegradientnonnul dans un voisinageborné U de . Plus pré isément, nous prenons une fon tion dé- nissante r onstruite à l'aidede lajauge de , 'est-à-dire j(z)=inf
2R
fz 2g, en supposantbiensûrque0appartientà. Nousposonsalorsr(z)=j(z) 1.Pour 2 R, nous notons
:= f 2 C n
;r() < g et la normale extérieure unitaire en z 2 U à
r(z)
. En n, on peut hoisir un voisinage U et un " > 0 assez petits pour que, pour tout z 2U,
r(z)+"
soittoujours de type ni m. Pour une dire tion v 2C
n
;v 6=0, onpose
(z;v;")=sup f >0=r(z+v) r(z)6";jj6 g:
Nous appelons " le rayon et (z;v;") le v-rayon. Les résultats de J. M Neal sont valablessurunvoisinageU deassezpetit.Nous onsidérons e voisinage xéune fois pour toute. Soit un point z dans U, nous allons onstruire par ré urren e une "-base extrémale de M Neal en z. Le premierve teur v
1
est simplement le ve teur unitaire dans la dire tion du gradient réel de la fon tion dé nissante (en fait, il orrespond à la dire tion normale puisque, pour un voisinage assez petit, on peut supposer que la proje tion de z sur est unique). On note alors p
1
le point d'interse tion de la droiteréelle
!z+v 1
;2R
ave la surfa e de niveau z;"
=f :r()=r(z)+"g: On hoisit alors un point p 2 tel que le disque de entre z et de rayon jp
2
zj soit in lus dans r(z)+"
. De plus, jp
2
zj doit être maximalsous les onditions
r(p 2 )=r(z)+" et (p 2 z)?Ve t (v 1 )
où l'orthogonalité est dé nie pour le produit hermitien standard de C n
. Soit v 2
le ve teur unitaire dans la dire tion p
2
z. Alors v 2
appartient à l'espa e tangent omplexede
z
aupointz et(z;v 2
;")est maximalparmitous les(z;w;")oùw unitaireappartientautangent omplexeà
z
aupoint z. Ensuitenous hoisissons un pointp
3
telqueledisque de entre z etde rayonjp 3
zj soitin lus dans r(z)+"
. De plus, jp
3
zj doit être maximal sous les onditions
r(p 3 )=r(z)+" et (p 3 z)?Ve t (v 1 ;v 2 ): Soit w 3
le ve teurunitairedans ladire tion p 3
z.On ontinue e pro édé jusqu'à obtenirune base v =(v
1 ;:::;v n ) et n points extrémauxp 1 ;:::;p n . Les"- oordonnées extrémales d'un point par rapport à z sont alors dé nies en hoisissant une pa-ramétrisation des droites omplexes passant par z dans les dire tions v
j
telle que
j
=0 orrespondaupointz etquelepointp j
orrespond à(0;:::;0;jp j
zj;0;:::;0) sur l'axe réel du -plan.
Remarque 3. Ladé nitiond'unetellebasen'est pasunique.Dansle asdela boule unité, par exemple,ilexisteune in nité de tellesbases. Deplus, quand" ou z varie, elles peuvent hanger très brusquement. Un exemple de e genre de phénomène est donné dans [14℄.
Nous noterons v i
lesve teurs d'une base extrémalesans référen e au entre z ni aurayon " lorsqu'ils seront lairs dans le ontexte.
Nous dé nissons maintenantlepolydisque de M Neal entré en z etde rayon ".
Dé nition 11. Pour z 2 U et " > 0. Nous hoisissons une "-base extrémale de M Neal en z puis posons
P(z;")=f 2C n ;j i j<(z;v i ;");i=1;:::;ng
où les oordonnées sont prises dans la base extrémale.
De même que pour les bases extrémales, le omportement des polydisques est assez haotique. Lorsqu'ilsinterviennent dansune démonstration, ilest don né es-saire de bien xer leur entre et leur rayon. Ils possèdent ependant des propriétés utiles illustréesdans la se tion suivante.
0.2.3 Propriétés des "-bases extrémales
Nous allons donner un atalogue des diérentes estimations que véri ent les polydisquesetlesbasesextrémales.Ellesdépendentde onstantesuniverselles ( 'est-à-dire ne dépendant nide z ni de ") qu'il est habituelde ne pas é rire. Ainsi,pour A et B deux réels, s'il existe une onstante C indépendante des paramètres utilisés dans les expressions de A et B telle queA6CB, nous noterons A.B.De même, A B signi era A . B et B . A. Les propriétés que nous allons énon er sont données dans les arti les de M Neal [23℄ [22℄ ou dans elui de Bruna-Charpentier-Dupain [3℄. En n, ré emment, T. Hefer [14℄ a montré que plusieurs onstru tions de pseudodistan es de type M Neal-Yu [23℄ [28℄ sont équivalentes et ont des liens étroitsave lemultitypede Catlin.Unepropriété trèsimportanteest le ontr ledes (z;v;d(z)) pour tout v à l'aide d'unebase extrémale:
Proposition 12. Pour ">0 su samment petit, pour tout z 2U et pour v ve teur de C n de oordonnées (a 1 ;:::;a n
) dans une "-base extrémale en z nous avons :
1 (z;v;") n X i=1 ja i j (z;v i ;") :
Nous auronsparfois besoin de omparer les relatifsà des pointsdistin ts:
Proposition 13. Soit z 0
2U. Pour " >0 su sammentpetit, pour tout z 2P "
(z 0
) et pour v ve teur unitaire de C
n
nous avons :
(z;v;")(z 0
;v;"): (0.2.2)
Preuve de la proposition 13. Il s'agit de laproposition2.3 de [23℄.
Intuitivement, les v-rayons donnent la distan e au bord dans haque dire tion. Quantitativement,on peut en déduire :
Proposition 14. Pour ">0 su sammentpetit, pour tout z 2U et pour v ve teur unitaire de C n nous avons : ".(z;v;")." 1 m : (0.2.3)
Si de plus v est un ve teur tangent omplexe, 'est-à-dire v 2T C z r(z) , alors " 1 2 .(z;v;")." 1 m : Si v est la normale en z (z;v;")":
Preuve de la proposition 14. On peut onsulter le lemme 2.1 et ses onsé-quen esdans[3℄.Pour desrésultatspluspré isquirelientles(z;v;")aumultitype,
onliraave bonheur [14℄.
Dans lemême état d'esprit, nous rappelons aussi le résultat
Proposition 15. Soit R 0
su samment petit. Pour 0 < r < R < R 0 et pour tout ve teur v on a r R (z;v;R ) .(z;v;r). r R 1 m (z;v;R ): Si v 2T C z (f;r()=r(z)g) on a r R 1 2 (z;v;R ).(z;v;r):
Il est naturelde pouvoir relierles polydisques de M Neal etles v-rayons :
Proposition 16. Pour ">0 su samment petit, pour tout z 2U et pour (v i
) i
une "-base extrémale en z, nous avons :
n Y i=1 ((z;v i ;")) 2 Vol P(z;"): (0.2.4)
Preuve de la proposition 16. Voir lelemme 2.2 etses onséquen es dans[3℄.
en tenant omptede laproposition 13, il en dé oule:
Proposition 17. Pour " >0 su samment petit et pour tous z; 2 U nous avons uniformément en les variablesz, , " :
P(z;")\P(;")6=;=)Vol P(z;")Vol P(;"):
Nouspouvonsalors dé nirplusieurspseudométriques quivontre éterla géomé-trie du domaine
Dé nition 18. Pour" >0 su samment petit et pour tous z; 2U nous posons
M(z;)=inf n
">0 t.q. 2P(z;") o
:
Nous aurons aussi besoin de pseudométriques qui fassent intervenir la distan e au bord. En notant une proje tion régulière sur , nous posons :
"(z;)=inf n
">0 t.q.;z 2P((z);") o
:
Les estimations suivantes sont rappelées par exempledans [25℄, [5℄:
"(;z) M(;z)+d(z)+d(); M(;z)+d(z);
M(;z)+d(): (0.2.5)
Nous dé omposeronssouvent le domaineen ouronnes a n de fairedes estimations sur ha une d'entre elle. Ce sontdes ouronnes anisotropesdé nies par
Dé nition 19. Pourz 2U on pose
C 0 = 2\U t.q. M(z;)<d(z) et pour ` 2N ? C ` = 2\U= 2 ` 1 d(z)M(z;)<2 ` d(z) :
En n,nousdonnonsmaintenantladé nitiondelapseudodistan eintroduitepar M Neal etStein ([25℄) ave laquelle nous travaillerons
Dé nition 20. Pourtous z; 2 nous posons
(;z)=min n
j zj;"(z;) o
:
Cela signi e moralementque (;z)mesure ladistan e anisotropequand onest près du bord, puis se omporte omme la métrique eu lidienne en dehors de e
0.3 Métrique de Bergman
0.3.1 Rappels
Lorsque l'on onsidère un domaine D dans C n , la proje tion orthogonale de L 2 (D) sur A 2 (D)=L 2
(D)\H (D), H (D)désignant l'ensemble des fon tions holo-morphes sur D, est appelée proje tion de Bergman. Pour f dans L
2
(D), le projeté de Bergman de f est donné par :
Bf(z)= Z
D
B(;z)f()d; z 2D;
oùB(;z)estlenoyaudeBergmanholomorpheenz,anti-holomorpheen etvéri e B(;z)=B(z;).
PourD borné, lamétriquede Bergmanest une métriquehermitienne[17℄ sur D dé niepar lamatri e :
g i;j (z) i;j = 2 z i z j lnB(z;z);z 2D i;j
Celasigni e quele arréde lalongueur d'unve teurtangent w=(w 1
;:::;w n
)en un point z 2D est donné par
jwj 2 B;z = n X i;j=1 g i;j (z)w i w j :
Les dé nitions lassiques de longueur de hemin puis de distan e entre deux points s'ensuivent. Nous ne les rappelons pas.
Deplus,l'hypothèsedepseudo onvexitéetdefrontièrelissepermettentd'assurer qu'ils'agit d'une métrique omplète [26℄.
0.3.2 Spé i ité dans les onvexes de type ni
Les travaux de M Neal [23℄ ont permis d'avoir des estimations pré ises sur la fon tion et lenoyau de Bergman. Nousles redonnons i i dire tement. Nous notons naturellement, pour = ( 1 ;:::; q ), où j 2 S n (j = 1;:::;q) et pour k = (k 1 ;:::;k q )2N q , (z;;) k =(z; 1 ;) k 1 :::(z; q ;) k q :
Tout p 2 possède un voisinage ouvert U(p) tel que, si z; 2 U(p)\, on ait pour tous multi-indi esk ets, tous multi-ve teurs et
0 : jD k D s 0 B(;z)j6 C(k;s)(;;"(;z)) k (; 0 ;"(;z)) s : (0.3.1)
Pour la fon tionde Bergman,le résultatest très pré is :
B(;)
1 VolP(;d())
: (0.3.2)
On véri e aisément( f [5℄) l'estimation i-dessous
jB(;z)j B(;) . Vol P(;d()) Vol P(;"(;z)) . d() "(;z) : (0.3.3)
Nous tenons à faire remarquer que, vu les hypothèses sur le domaine, le noyau de Bergman B(;z) est de lasse C
1 sur n où est la diagonaledu bord.
Lesestimationspré édentespermettentaussid'obtenirdesrésultatssurlesg i;j () pour près de . Pour (v i ) i
une d() baseextrémale en ,ona :
jg i;j ()j. 1 ((;v i ;d()))((;v j ;d())) : (0.3.4)
En n, nous rappelons un résultat très important:
Théorème. (J.M Neal [24℄ 2001) Pour 2U, (v i
) i
une d()-base extrémale asso- iée et pour w dans C
n , w= P n i=1 w i v i on a : n X i;j=1 g i;j ()w i w j ! 1 2 n X i=1 jw i j (;v i ;d()) : (0.3.5)
0.4 Noyaux à poids de type Berndtsson-Andersson
Nous allons donner quelques rappels sur la onstru tion des noyaux à poids de typeBerndtsson-Andersson.Eneet,nousallonsutiliserdire tementleursrésultats dans lepremier hapitre,etla onstru tion de notre noyau dansle se ond hapitre, même si elle n'est pas une appli ation dire te de leurs travaux, est similaire. Plus pré isément, onsidérons un domaineD de C
n
et notons (;z) les oordonnées sur DD. On onsidère trois appli ations, Q, s etF, quivéri ent :
Q:DD !C n
estune appli ationC 1
,holomorpheen lavariablez à xé. s:DD !C
n
est telle que, pour un ompa t K de , ona uniformément en 2 etz 2K :
js(;z)j6Cj zj etjhs(;z); zij> j zj 2
Nous faisons lesidenti ations suivantes
Q : DD !C n
;
vue ommeappli ation dont les omposantes sont lesQ j et Q= n X j=1 Q j d ( j z j ):
etde même pour s. Sous es onditions, on dé nitle noyau :
K(;z)= n n 1 X k=0 (n 1)! k! F (k) (hQ(;z);z i+1) s(;z)^(dQ) k ^(ds) n 1 k hs(;z); zi n k (0.4.2) où n = ( 1) ( n(n 1) 2 +1) (n 1)! . Nousnotons en n dK =P.
Théorème. (Berndtsson-Andersson [2℄, (1982)) Pour toute (p,q)-forme f sur D, on a : f(z)=( 1) p+q Z 2D f()^K p;q (;z) Z 2D f()^K p;q (;z)+ z Z 2D f()^K p;q 1 (;z) pour q>0 et f(z)=( 1) p Z 2D f()^K p;0 (;z) Z 2D f()^K p;0 (;z)+ Z 2D f()^P p;0 (;z)
pour q=0. Les termes K p;q
signi entde bidegré (p;q) en z et (n p;n q 1) en . Il en est de même pour P.
Normalement,ildevraityavoiruntermesupplémentairedanslese ondmembre de la première formule : en eet, l'appli ation du théorème de Stokes impose un terme supplémentaire en
R D
f()^ P p;q
(;z). Cependant, le hoix d'introduire un poids holomorphe en la variable z assureque P
p;q
=0si q>1.
Dans lesdeux formules de représentationsintégralesquenous onsidérons,nous hoisissonsde plus un poids quis'annule aubord, ouplus exa tementqui, à z2 K ompa t xé,tendvers0quand serappro hedubord.Celanouspermetd'annuler le terme d'intégration sur lebord. Rigoureusement, nous devons d'abord appliquer le théorème de Berndtsson-Andersson sur D
= fz 2 D;r(z) < g puis montrer que l'intégrale
R D
Estimations Höldériennes pour
l'équation de Cau hy-Riemann
1.1 Préliminaires : noyaux résolvants et estimations
élémentaires
1.1.1 Noyau résolvant
Nous onsidéronsle noyau suivant :
K(;z) = n 1 X k=0 k;n B(;z) B(;) N k j zj 2 ^ ~ Q k ^ d j zj 2 n k 1 j zj 2n 2k := n 1 X k=0 k;n K (k) (;z) (1.1.1)
oùN 2N, N su samment grand, k;n =( 1) ( n(n 1) 2 +1) N k et ~ Q(;z)= 1 B(;) R 1 0 (1 t) 1 B(;+t(z )) dt: Il s'agit d'un noyau àpoids de type Berndtsson-Andersson. Eneet, le hoixde ~
Q (;z)est telque :
h ~
Q(;z);z i+1=
B(;z) B(;)
Le hoixdes autrestermes est lairF :w7 !w N
et s(;z)= z. Pourf une(0;1)-forme
-ferméeà oe ientsbornésdans,onaalors Tf =f, où( f. [5℄), Tf(z)= Z f()K(;z)
Enfait l'expression onsidérée par A. Cumenge dans [5℄pour B(;) ~ Qest R 1 0 t 1 z B(;+t(z ) d t et l'équation
1)-forme; le hoix légèrement diérent ee tué i idonne de manière stri tement ana-logue une solution de l'équation
u =f pour les (0;1)-formes et est sans in iden e sur la preuve d'estimationsde [5℄ que nous utiliserons.
De plus, on notera u (k) (z) := R f()^K (k) (;z). On gardera éventuellement ette même notationsi onintègre sur C
`
etnon sur tout entier.
1.1.2 Etude des termes élémentaires
Dans les preuves des théorèmes 1 et 2, le terme u 0
sera étudié à la main et nous ne ledériverons pas. Nousaurons par ontre à onsidérer pour k =1;:::;n 1 des dérivées D
u
(k)
d'ordre = 1 ou2 et allons estimer D z
K (k)
. Plus pré isément nous onsidèrerons, en vue de la preuve du théorème 2,et sans perte de généralité, D 1 z;v D 2 K (k) (;z), où 1 ; 2 2 f0;1g et D z;v
désigne une dérivation en z dans la dire tion d'un ve teur unitairedonné v.
Remarque 4. Dans la preuve du théorème 1, nous n'aurons pas besoin de xer a priori une dire tion v de dérivation; aussi utiliserons-noussystématiquement l'esti-mation (z;v;)& (où, suivant les o urren es, =d() ; ="(;z):::). Le as
1 =
2
=1 n'interviendra par ailleursque dans la preuvedu théorème 1.
Un point z = z 0
(toujours noté z pour alléger) étant xé dans \ U, nous nous pla erons en fait,pour obtenirdes estimées pré ises, dans le polydisque C
0 ou une " ouronne" C
`
; sauf autre indi ation, les estimations données i-dessous sont valables pour z2\U, 2C ` (z). Soit e (`) j (z) j une 2 `
d(z)-base extrémale en z, où est une onstante absolue telle que l'on aitpour a
0
>0su sammentpetit :
M(;z)aa 0
=) 2P(z; a):
Les oordonnées de dans ette base seront notées ( 1 ;:::; n ) (on évite ` j pour allégerlesnotations), lesdérivations anti-holomorphesen notées
j
,et . Etpour z l'analogue ave les lettres latines (b
1 ;:::;b
n
). Nous soulignons que le hangement de base est unitaireet nousne pré iseronsdon pas les oe ients de lamatri ede passage.
Les formes diérentielles intervenant, après dérivation en z, dans les termes D z;v K (k) (;z) et D 2 z K (k)
(;z), k 1, seront toutes exprimées relativement à ette nouvellebase e (`) j (z) j .
Toutefois nous ontinuerons à noter par exemple j zj et non j bj pour une meilleurelisibilité. - T 0 = jf()e j 1 (z)j 6 jjjfjjjd() (;e (`) j 1 (z);d())
- Soit T 1;k =D 1 z;v D 2 h B(;z) B(;) N k 1 j zj 2n 2k i .
S'iln'y a au une dérivation, nous utiliserons juste la majoration (0.3.3) pour estimerT
1;k
(à laquelleil sera également faitappel pour les autres as). Nousdéduisons immédiatementde (0.3.1), (0.3.2)et (0.3.3)
D z;v B(;z) B(;) . 1 (z;v;"(;z)) ; ;z 2\U: (1.1.2) Plus généralement, si 1 =1; 2 =0,pour ;z 2\U : jT 1;k j . jB(;z)j B(;) N k 1 1 j zj 2n 2k D z;v B(;z) B(;) B(;z) B(;) D z;v j zj 2 j zj 2 . d() "(;z) N k 1 j zj 2n 2k 1 (z;v;"(;z)) + 1 j zj ; (1.1.3) Lorsque 1 = 2
= 1, nous obtenons après les deux dérivations, en tenant omptede l'estimation(z;v;"(;z))&"(;z), pour ;z 2\U :
jT 1;k j. d() "(;z) N k 1 j zj 2n 2k h 1 "(;z)j zj + 1 "(;z) 2 + 1 j zj 2 i ; (1.1.4) - Pour leterme T 2 = D 1 z;v j zj 2
, ilest lair quejT 2 j.j zj 1 1 . - Etude du terme T 3;k =D 1 z;v D 2 z ~ Q k ,k 1. ~ Q= B(;) B(;) 2 ^ ~ R+ ~ R B(;) ; où ~ R = R 1 0 (1 t) 1 (B(;z t ))dt,z t =+t(z ). D 1 z;v D 2 z ~ R= Z 1 0 (1 t) 1 D 1 z;v D 2 z B(;z t ) d t:
Considérantdon , enparti ulierpourl'é rituredes formesdiérentielles,labase (e
(`) j
) j
, nous obtenons par exemple, en tenant ompte des onventions de notations pré isées au débutde e paragraphe :
D z;v ~ R= n X i=1 Z 1 0 t i D Z ;v (B) (;z t )dtd i oùD Z
signi e quel'on dérive par rapport à lase onde variable. Puisque inf 06t61 "(;z t )& d()et inf 06t61 Vol P(;"(;z t ))&Vol P(;d());
D z;v ~ R = 1 (;v;d()) n X i=1 O(1)d i Vol P(;d())(;e (`) i ;d()) :
Nous pouvons é rire également (en vue de la preuve du théorème 1), en tenant omptede (0.3.2) etde la remarque4 D z;v ~ R B(;) = n X i=1 O(1)d i (;e (`) i ;d()) Z 1 0 tdt "(;z t ) :
On rappelle( f [5℄) que, uniformément en t 2 [0;1℄, z; 2 U \ où U est omme en (0.3.1) "(;z t )&d()+t(jr(z)j+jr(z) r()j)&d()+t(d(z)+d()+jr(z) r()j). Par suite D 1 z;v D 2 z ~ R B(;) = n X i=1 O(1)d i (;e (`) i ;d())[d(z)+d()+jr(z) r()j℄ 1 + 2 :
Suivant une démar he analogue pour estimer
Z 1 0 (1 t) 1 D 1 z;v D 2 z B(;z t ) dt = n X i;j=1 Z 1 0 t 1+2 2 i j D 1 Z ;v D 2 Z B (;z t )dtd i ^d j ;
nous obtenons en n de ompte :
T 3;k = X jIj=jJj=k E I;J d I ^d J ;I =(i 1 ;:::;i k );J =(j 1 ;:::;j k ) ave E I;J . 1 (;v;d()) k Y p=1 1 (;e (`) ip ;d())(;e (`) jp ;d()) si 1 =1et 2 =0 (1.1.5) E I;J . 1 (d(z)+d()+jr(z) r()j) 1 + 2 k Y p=1 1 (;e (`) ip ;d())(;e (`) jp ;d()) (1.1.6)
dans les autres as.
Remarque : en fait l'estimation de R
1 0
t="(;z t
)dt n'est pas indispensable ar la présen e du poids dans le noyau K nous permet d'é rire en utilisant (0.3.3) et la minoration inf 06t61 "(;z t )&d(),pour 1 ; 2 2f0;1g: jB(;z)j B(;) 1+2 E I;J . 1 "(;z) 1 + 2 k Y p=1 1 (;e (`) ip ;d())(;e (`) jp ;d()) : (1.1.7)
1.2 Résultat optimal en norme Kappa
Dans ette partie,nous démontrons leThéorème 1.
Théorème. Soient un domaine onvexe borné, à bord lisse et de type ni m, et f une (0,1)-forme
fermée telle que jjjfjjj <+1. Alors il existe u 2 1 () telle que u=f . 1.2.1 Notations-dé nitions
Dé nition 21. ( f. [3℄) Pour 2 , v un ve teur unitaire de C n et " un réel > 0, on dé nit la norme : (;v;")= d() (;v;") .
Si " est de l'ordrede d(),on noterasimplement(;v).
Dé nition 22. ( f. [3℄) Pour f (0;1)-forme sur on pose : jjf()jj =sup v6=0 jf()(v)j (;v) jjjfjjj =sup 2 (jjf()jj )
Dé nition 23. Soit u une fon tion bornée dé nie sur , on dit queu2 1
() s'il existe une onstante C telle que l'on ait : 8z 2 ;8h 2 C
n
tels que z h 2 , ju(z+h)+u(z h) 2u(z)j6Cjhj.
jjujj 1 () :=jjujj 1
+supfju(z+h)+u(z h) 2u(z)j=jhj; z;zh2;h2C n
nf0gg
La démar he de ladémonstrationsera lasuivante:
Des arguments standards de onvexité ( f [18℄, théorème 4.6) permettent de ne onsidérer que lestermes u
0 ;u 1 etu n 1 . Leterme u 0
est traitédire tementà partir de la dé nition de 1 . Pouru 1 etu n 1
,onsesertd'unlemmed'Hardy-Littlewood.Eneet, D 2 z (u(z)) . 1 d(z) implique queu2 1 ( f [27℄; [19℄ page405). 1.2.2 Etude du terme u 0 Rappelonsqueu 0 (z)= R f()^K (0)
(;z)etnotons[BM℄lenoyaude Bo hner-Martinelli.Nousallonsmontrerquepourz 2,0<h<<1ave z+hetz h 2:
ju 0 (z+h)+u 0 (z h) 2u 0 (z)j. jjfjj 1 jhjjjjfjjj jhj: (1.2.1) Si j zj .jhj, alors j zhj.jhj. E rivons : Z = Z 1 =f=j zj<3jhjg | {z } I + Z 2 =f=j zj>3jhjg | {z } II . étudede I:notonsu (0)
pourlesintégralessur 1
des termesju (0) 1 (z)j,ju (0) 1 (zh)j.Puisque jB(;zh)j B(;)
.1,nous obtenons,par exemple
pour leterme u (0) 1 (z+h) : ju (0) 1 (z+h)j = Z 1 B(;z+h) B(;) N f()^[BM℄(;z+h)d() . jjfjj 1 Z 1 1 j z hj 2n 1 d () . jjfjj 1 jhj.jjjfjjj jhj
étudedeII:Par onvexitéetrégularitédubord dudomaine, onpeut onsidérer lo alement un système de oordonnées omplexes w
1 = 1 z 1 ;:::;w n = n z n tel que Rew 1 = r() r(z) (l'axe des w 1
orrespondant à la dire tion omplexe normale en z à f;r() = r(z)g); nous avons alors "(;z) & d(z)+jw
1 j. Nous notons w=(w 1 ;w 0 )2C C n 1 . On vaalors poser : fw=1>jwj>3jhjg= 3 [ 4 où 3 =fjwj>3jhj etjw 1 j<jhjg et 4 =fjwj>3jhjet jw 1 j >jhjg :
Notant i ipour alléger u 0
les intégralessur 3 , onmajore: ju 0 (z+h)+u 0 (z h) 2u 0 (z)j6ju 0 (z+h) u 0 (z)j+ju 0 (z h) u 0 (z)j :
A n de ne pas alourdir la présentation des al uls, nous gardons par abus la variable dans les premières étapes des estimations. Nous devons don étudier (l'autre termese traitant de manièreidentique) :
J = Z 3 f() B(;z+h) B(;) N [BM℄(;z+h)d() B(;z) B(;) N [BM℄(;z) ! d()
Puisque lafon tion poids B(;z) B(;)
est uniformémentbornée, nous avons
J . jjfjj 1 Z 3 B(;z+h) B(;z) B(;) N 1 X k=0 jB(;z+h)j k jB(;z)j N 1 k B(;) N 1 d() j zj 2n 1 + jjfjj 1 Z j 1 z 1 j<jhj j zj>3jhj 1 j z hj 2n 1 + 1 j zj 2n 1 d() := jjfjj 1 (J 1 +J 2 ): Pour estimer J 1
, remarquons simplementque :
jB(;z+h) B(;z)j B(;) . jhj B(;) Z 1 0 dt "(;z+th)Vol P(;z+th) . jhj : (1.2.2)
puisque l'on a, uniformément en t;z; :
B(;)Vol P(;z+th)&1et "(;z+th) &d():
Commeapparaîtdans l'intégrande de J 1
au moinsun terme jB(;z)j=B(;)ouun terme jB(;z+h)j=B(;), nous avons en tenant omptede (0.3.3) :
J 1 . jhj Z 3 d() "(;z)j zj 2n 1 + jhj Z 3 d() "(;z+h)j zj 2n 1 : En n, jhj Z 3 d "(;z)j zj 2n 1 jhj Z jw 1 j<jhj jw 0 j>jhj d(w) (d(z)+jw 1 j)(jw 1 j+jw 0 j) 2n 1 . jhj Z 1 <jhj 0 >jhj d 1 d 0 ( 0 ) 2 . jhj:
Nous obtenons lemême résultat pour jhj R 3 d "(;z+h)j zj 2n 1 .L'estimation J 2 .jhj est immédiate. Etude de R 4 f()^K (0) (;z): f()^ B(;z) B(;) N [BM℄(;z)= n X j=1 ste(j;n)f j () B(;z) B(;) N j z j j zj 2n n Y i=1 d i d i :
Posons pour tout j =1;:::;n, j (;z)= B(;z) B(;) N j zj j zj 2n .
Supposons j zj > 3jhj, h 6= 0 xé, ave z h 2 ; nous avons d'après la formule de Taylor : j (;z+h)+ j (;z h) 2 j (;z) = Z 1 0 (1 t)d 2 z j (;z+th):h (2) dt + Z 1 0 (1 t)d 2 z j (;z th):h (2) dt: Pour p2N , w= z 2 4
,nous avons d'après(0.3.1), (0.2.4),uniformément en w= z 2
4
, t, z 2\U ,h;jhj <1,pour toute dérivation D p z
D p z B(;z) B(;) zth . Vol P(;d()) Vol P(;"(;zth)) ("(;zth)) p . 1 ("(;zth)) p . 1 j 1 z 1 j+jhj p :
Parsuite,en tenanttoujours omptedelamajorationjB(;zth)j=B(;).1:
jd 2 z j (;zth):h (2) j. jhj 2 j zj 2n 1 1 j zj 2 + 1 j zj(j 1 z 1 j+jhj) + 1 (j 1 z 1 j+jhj) 2 :
Par des al uls immédiats
jhj 2 Z C>jw 1 j>jhj d (w) jwj 2n+1 .jhj jhj 2 Z jw 1 j>jhj d(w) jwj 2n 1 (jw 1 j+jhj) 2 .jhj 2 Z 1 >jhj d 1 2 1 .jhj: 1.2.3 Etude du terme u 1
Nous supposons dans e paragraphe et les suivants que z 2 \ 1 2
U et onsidérons seulement lesintégrales
R \U=[ C ` . Pour 2 C `
, nous avons en tenant ompte de (1.1.1), (0.3.3) et du paragraphe 1.1.2 (en parti ulier des estimations (1.1.3), (1.1.4)et (1.1.7):
D 2 z f()^K (1) (;z) .jjjfjjj n X i;j;p=1 j6=p d() "(;z) N 3 d() (;e (`) j (z);d()) (ED) (;e (`) i (z);d())(;e (`) p (z);d())j zj 2n 3 où (ED)= 1 j zj 2 ou 1 j zj"(;z) ou 1 "(;z) 2 : (1.2.3)
Supposonsparexemplej <p.Rappelonslesestimationssuivantes,valablespour 2C ` P(z; 2 ` d(z)): d() (;e (`) i (z);d()) =O(1) 8i=1;:::;n; d() "(;z)(;e (`) j (z);d()) . 1 "(;z) . 1 2 ` d(z) ; (;e (`) p (z);d())& d() ` (;e (`) p (z); 2 ` d(z)) d() ` (z;e (`) p (z); 2 ` d(z)):
Nousobtenons : Z C ` f()^D 2 z K (1) (;z) . jjjfjjj 2 ` d(z) X p2 1 (z;e (`) p (z);2 ` d(z)) Z C ` (ED) (d()) 2 d() "(;z) 2 j zj 2n 3 :
Enprovenan ede(ED), onsidéronsparexempleleterme"(;z) 2 ;posonspour touti,j i z i j ouplut t j i b i j=r i
etnotonspouralléger i pour(z;e (`) i (z); 2 ` d(z)); nous pouvons é rire puisque p2 :
Z C ` (d()) 2 d() "(;z) 4 j zj 2n 3 . 1 (2 ` d(z)) 2 Z r 1 < 1 rp<p r 1 dr 1 d r p . p : (1.2.4)
(Nous avons utilisé 1 =(z;e (`) 1 (z); 2 ` d(z))2 `
d(z)pour ladernière inégalité). L'intégrale faisant intervenir un terme en (j zj"(;z))
1
se traite de même, ave une estimation naleanalogue.
Ave toujoursles mêmes notations : Z C ` (d()) 2 d() ("(;z)) 2 j zj 2n 1 . Z C ` d() j zj 2n 1 . Z r p < p dr p . p : (1.2.5)
Nousdéduisons de (1.2.4),(1.2.4), (1.2.5) etde la dé nition de u 1 : D 2 z (u 1 ) . jjjfjjj (d(z)) 1 (1.2.6) par suite u 1 2 1 (): 1.2.4 Etude du terme u n 1
Biensûr, dans e as,onsuppose n>3.On vadon examinerletermesuivant:
I n 1 = D 2 z u n 1 (z) = D 2 z Z f()^ j zj 2 ^ ~ Q n 1 j zj 2 B(;z) B(;) N n+1 :
Lesdérivationsenz( ellesnotéesD
j (`
k )
i-dessous)peuventportersurdiérents fa teurs du noyau K
(n 1)
; nous allons en ore intégrer sur haque " ouronne" C (`)
. Suivant ladémar he indiquée dans la se tion 1.1.2, nous sommesamenés à estimer
I ` n 1 = X jIj=n jJj=n Z C ` D 1 (` 0 ) D 2 (` 0 ) " B(;z) B(;) N n+1 1 j zj 2 # i1 D 1 (` 1 ) j zj 2 [f()e j 1 (z)℄ (B(;)) n 1 n Y k=2 Z 1 0 (1 t) 1 2 i k j k [D 1 (` k ) D 2 (` k ) B(;z t )℄dt d I ^d J J ` n 1 = X jIj=n jJj=n Z C ` D 1 (` 0 ) D 2 (` 0 ) " B(;z) B(;) N n+1 1 j zj 2 # i1 D 1 (` 1 ) j zj 2 j 2 1 B(;) Z 1 0 (1 t) 1 i 2 [D 1 (` 2 ) D 2 (` 2 ) B(;z t )℄dt [f()e j 1 (z)℄ (B(;)) n 2 n Y k=3 Z 1 0 (1 t) 1 2 i k j k D 1 (` k ) D 2 (` k ) [B(;z t )℄dt d I ^d J ave les 1 (` k
); k =0;1;:::;ntousnuls,saufunetunseul,quiestégalà1etlamême ondition véri ée pour les
2 (` k ); k = 0;2;:::;n; I = (i 1 ;:::;i n ), J = (j 1 ;:::;j n ), d I =d i1 ^^d in , d J =d j 1 :::d jn . Remarque 5.
Les estimations de la se onde intégrale J ` n 1
seront les mêmes que elles de I ` n 1
, nous n'étudierons quela première intégrale.
Nousutilisonslesestimations élémentaires obtenues danslase tion 1.1.2, e qui donne lamajoration suivante :
I ` n 1 . jjjfjjj k Z C ` d() "(;z) N n+1 1 j zj d() (;e (`) j1 (z);d()) (1.2.7) n Y k=2 1 (;e (`) j k (z);d()) n Y k=2 1 (;e (`) i k (z);d()) (ED)d I ^d J
où(ED) est dé nien (1.2.3).
On va utiliser (0.2.4) ave R = 2 `
d(z) et r = d(). Le poids sert à ompenser lesfa teurs
2 `
d(z) d()
qui apparaissent,puisque 8`0; "(;z)&2 `
d(z)si 2C `
.Nous omettrons en fait souvent (sans préjudi e) d'é rire la onstante . L'intégrande se majorealors par des termesde laforme suivante :
A = d() "(;z) n Y k=2 1 (;e (`) j (z);2 ` d(z))(;e (`) i (z);2 ` d(z)) d() (;e (`) j (z);2 ` d(z)) (ED) j zj
oùfj 1 ;:::;j n g=f1;:::;ng eti 2 ;:::;i n
sont deux à deux distin ts. Soiti 1 telquefi 1 ;:::;i n
g=f1;:::;ng;nousobtenonspour 2C ` P(z; 2 ` d(z)), en tenant omptede (0.2.2), (0.2.3)et (0.2.4): A. (z;e i 1 ;2 ` d(z)) VolP(z;2 ` d(z)) (ED) j zj d() 2 2 ` d(z) :
Suivant le terme en provenan e de (ED) intervenant dans l'intégrande A, nous devrons estimer: (z;e i1 ;2 ` d(z)) Vol P(z;2 ` d(z)) 1 2 ` d(z) Z C ` d() 2 d () j zj 3 (1.2.8) (z;e i 1 ;2 ` d(z)) VolP(z;2 ` d(z)) 1 2 ` d(z) Z C ` d()d() j zj 2 (1.2.9) (z;e i 1 ;2 ` d(z)) Vol P(z;2 ` d(z)) 1 2 ` d(z) Z C ` d () j zj (1.2.10)
Comme (1.2.8) et (1.2.9) se traitent de manière similaire, nous n'étudierons que (1.2.8).En n, ommeles al ulsse ramèneronten partie àl'étudede (1.2.10),nous ommen erons par ette dernière :
Z C ` d() j zj . Z jw i j<(z;e i ;2 ` d(z)) d (w) jw 1 j++jw n j . Z i <(z;e i ;2 ` d(z)) 1 d 1 ::: n d n i 1 . VolP(z;2 ` d(z)) (z;e i 1 ;2 ` d(z)) :
Pour l'étudedu terme (1.2.8),é rivons Z C ` d() 2 d() j zj 3 = Z C ` \fd()2 1 d(z)g ()+ Z C ` \fd()2 1 d(z)g (); où 1
1 est une onstante telle que l'on aitpour d();d(z) 0
, ( 0
pouvantêtre hoisi tel que0<
0 <1): d() 1 d(z)+jr() r(z)j . -Sid(z)d()=2 1
,alorsd()=j zj=O(1)d'oùlapremièreintégrale i-dessus se ramèneà elle de (1.2.10).
- Pour estimerla se onde intégrale, supposons sans perte de généralité que i 1 6=n; n 1 : Z C ` \fd()<2 1d(z)g d() 2 d() j zj 3 . d(z) 2 Z i <(z;e i ;2 ` d(z)) 1 d 1 ::: n 2 d n 2 d n 1 d n i1 . d(z) 2 (z;e n 1 ;2 ` d(z))(z;e n ;2 ` d(z)) Vol P(z;2 ` d(z)) (z;e i1 ;2 ` d(z)) :
Or d(z) 2 ` d(z)t(z;e 1 ;2 ` d(z))(z;e i ;2 `
d(z)); 8 i. D'oùl'estimation souhai-tée pour (1.2.8).
On amontré ainsi que, pour tout ` : D 2 z R C ` f()^K (n 1) . jjjfjjj (2 ` d(z)) 1 . Par suite jju n 1 jj 1 () . jjjfjjj : (1.2.11) 1.3 Preuve du Théorème 2
Nous lerappelons pour la ommodité du le teur:
Théorème (2). Soit un domaine onvexe borné à bord lisse de type ni m et f une (0,1)-forme
-fermée telle que k f k L
1
<+1. Alors, pour tout 0 < < 1 m , il existe u2 () telle que u=f .
1.3.1 Une ondition su sante
Dé nition 24. Pour 0< < 1 m , on dit queu2
() s'il existe une onstanteC telle que pour z; 2,
ju(z) u()jC (z;)
:
M Neal et Stein donnent dans [25℄ une ara térisation lo alisée en termes de onditionsdis rètespourlesfon tionsde
()lorsque0< <1=m.Pourprouver que es onditions impliquent l'appartenan e à l'espa e
() (espa e noté ~ () dans [25℄),lesauteursutilisenten faitseulementdes estimationssur lesdérivées di-re tionnellesd'ordreun.Lapreuvedu résultat i-dessousest ontenueimpli itement dans [25℄, mais nousen redonnonsles élémentsde démonstrationa n de fa iliterla le ture.
Proposition 25. Soit 0< <1=m et u est une fon tion bornée, de lasse C 1 sur telle que jru(z)j.d(z) 1+ et 8v 2C n ; jjvjj=1, jD v u(z)j. d(z) (z;v;d(z)) . Alors u appartient à (). Lemme 26. ([25℄)
Soit 0 < < 1=m et u une fon tion dé nie sur telle que pour tout k 2 N, u=b k +g k ave : (i) jjb k jj 1 .2 k (ii) Si jr(z)j<2 k ;v 2C n ;jjvjj=1: jD v g k (z)j.(z;v;2 k ) 1 :2 k (iii) Si jr(z)j2 k ; jrg k (z)j.2 k :2 k :
Alors u appartient à l'espa e
Preuvedu lemme 26. Soit k tel que(;z)2 k .On suppose que(;z)= "(;z). Don jr()j . 2 k et jr(z)j . 2 k
. Soit le ve teur unitaire de dire tion z, i.e. = z j zj , ju() u(z)j 6 jb k ()j+jb k (z)j+jg k () g k (z)j . 2 k +jD g k ()jj zj
pour un dans lesegment[;z℄ d'aprèsl'inégalitéde lamoyenne. Don ,
ju() u(z)j.2 k +2 k ((;;2 k )) 1 (x;;2 k ); puisque j zj 6 (;;2 k
). De plus, d'après la proposition 13, (;;2 k
) (x;;2
k
)puisqueappartientaupolydisqueP(z;2 k
).Notre hoixdek implique don que
ju() u(z)j.(;z)
:
Dansle asoù(;z)=j zj,onsuitexa tementlemêmes hémadedémonstration
pour on lure.
Preuvede la proposition25. nousallons véri erqueusatisfait les onditions du lemme 26. Soient (U j ; p j ) 1js
une famille nie telle que, pour tout j, U j est voisinage ouvert de p j 2 b, les p j
sont deux à deux distin ts, la réunion V des U j
est un voisinage deb sur lequelest dé nieune proje tion régulière sur betest telque jr(z)j <
1
où 0 < 1
<< 1 pour tout z de V ; on peut supposer l'existen e d'une onstante a> 0telle que, pour 1 j s, si
j
désigne lanormale intérieure en p j à b, alors pour tout z de U
j , 0t a, d(z+t j ) &t etsi z 2 1 2 U j et 0t a alors z+t j 2U j ;siz et 2U j \, M(z;)jz 1 1
j+ :oùles omposantes de z et sont é rites dans une d(z)-base extrémale de M Neal au point z ( est dé ni 1.1.2) .
Soit k xé dans N. Suivant [25℄, posons pour z 2 1 2
V en notant pour simpli er = j si z 2U j : u(z)=b k +g k ave b k = Z 2 k 0 d dt (u(z+t))dt et g k =u(z+2 k ):
L'hypothèse sur ru etla ondition d(z+t)& t impliquentimmédiatement la ondition voulue(i) du lemme 26sur b
k . Supposons jr(z)j<2
k
; alors pour v ve teur unitairede C n : jD v g k (z)j. (d(z+2 k )) (z+2 k ;v;d(z+2 k )) . 2 k (z+2 k ;v;d(z+2 k )) : k k
(z+2 k ;v;d(z+2 k ))(z;v;d(z+2 k ))&(z;v;2 k ) et l'estimation(ii) du lemme 26est montrée.
Supposons jr(z)j2 k ;nous avons jrg k (z)j.[d(z+2 k )℄ 1+ .d(z) 1+ .2 k(1 ) : 1.3.2 Estimation de u
Dans ette partie nous montreronsdon que lasolution u de l'équation u=f qui est la balayée de f par le noyau K ( f (1.1.1)) appartient à des espa es de Lips hitz anisotropes
lorsque f est à oe ients bornés.
u= n 1 X k=0 u (k) où u (k) (z)= Z f()^K (k) (;z): L'estimationde u 0
estimmédiate;rappelonseneetquepourjhj<<1etz près du bord : jhj
m
. M(z;z +h) . "(z;z+h). Nous avons en fait montré en (1.2.1) l'estimation jju 0 jj 1 () . jjfjj 1 ( jjjfjjj
). Par des al uls lassiques (analogues à eux ee tués au début de la se tion 1.2.2), en utilisant (1.2.2) et l'estimation R j[BM℄(;z+h) [BM℄(;z)jd .jhjjlnjhjj, nous obtenons : ju 0 (z+h) u 0 (z)j.jjfjj 1 jhjjlnjhjj pour z;z+h2:
Pour l'étude des autres termes, nous utiliserons laproposition 25. Les u (k)
pour k =0;:::;n 1sontbornéssur et,sik =1;:::;n 1,jru
(k)
(z)j.d(z) 1+1=m
(voir [5℄pour lesdétails de al uls on ernant es résultats).
Nous allons démontrer dans e paragraphe la proposition suivante, e qui on lura la preuve du théorème 2. Proposition 27. jD z;v u (k) (z)j .kf k L 1 d(z) (z;v;d(z)) ; 8 ; 0< < 1 m ; 8k =1;:::;n 1:
Preuvedela proposition27. Ilsu tdeprouverl'estimationdelaproposition pour k=1 etk =n 1. D z;v K (n 1) (;z)=A 1 +A 2 +A 3 , ave : A 1 = B(;z) B(;) N n+1 j zj 2 j zj 2 ^D z;v ~ Q n 1 A 2 = B(;z) N n+1 D z;v j zj 2 2 ^ ~ Q n 1
A 3 =D z;v B(;z) B(;) N n+1 ! j zj 2 j zj 2 ^ ~ Q n 1 :
Il su t d'étudier, toujours pour z 2\ 1 2 U, R \U f()^A j (;z)pour j =1;2. Eneet (1.1.2),(1.1.5), (1.1.7)- ave 1 = 2 =0 - et(0.3.3) prouventque A s = X jIj=jJj=n 1 A (s) I;J d I ^d J ; s =1;2;3 ave pour I =(i 1 ;::;i n 1 );J =(j 1 ;:::;j n 1 ): jA (1) I;J j. d() "(;z) N n+1 1 (;v;d()) 1 j zj n 1 Y p=1 1 (;e (`) i p ;d())(;e (`) j p ;d()) jA (3) I;J j. d() "(;z) N n 1 (z;v;"(;z)) 1 j zj n 1 Y p=1 1 (;e (`) i p ;d())(;e (`) j p ;d()) jA (2) I;J j. d() "(;z) N n+1 1 j zj 2 n 1 Y p=1 1 (;e (`) i p ;d())(;e (`) j p ;d()) :
Comme d()."(;z) et, pour 2C `
P(z; 2 `
d(z)),on a:
(z;v;"(;z))(;v;"(;z))&(;v;d());
ilest inutile de onsidérer A 3
.
Nous avons ( f. (0.2.4)), (;v;d())& d()=2 ` d(z) (;v; 2 ` d(z)) et, pour dans C ` , on a (;v; 2 ` d(z))(z;v; 2 ` d(z))&2 `=m (z;v;d(z)):
Utilisant (0.2.4) omme dans la se tion 1.2.4, nous obtenons en notant toujours j (z;2 ` d(z))ou même j pour (z;e (`) j ; 2 ` d(z)) : jA (1) I;J j. 1 2 `=m (z;v;d(z))j zj n 1 Y p=1 1 i p (z;2 ` d(z)) j p (z;2 ` d(z)) ; z 2\ 1 2 U; 2C ` jA (2) I;J j. 1 j zj 2 n 1 Y p=1 1 i p (z;2 ` d(z)) j p (z;2 ` d(z)) ; z 2\ 1 2 U ; 2C ` (1.3.1) où1i 1 <<i n 1 n, 1j 1 <<j n 1 n. Soient, pour I;J donnés, i
n ;j n tels que fi 1 ;:::;i n g = fj 1 ;:::;j n g = f1;:::;ng. Posons =j b j;8j =1;:::;n (ave lesnotations du paragraphe 1.1.2).
Si i n =j n : Z C 0 jA (1) I;J j . 1 (z;v;d(z)) n 1 Y p=1 1 ip (z;d(z)) 2 Z j < j j=1;:::;n n 1 Y p=1 ip d ip d in . in (z;d(z)) (z;v;d(z)) . d(z) 1=m (z;v;d(z)) : Si i n 6=j n : Z C 0 jA (1) I;J j . 1 (z;v;d(z)) n 1 Y p=1 1 i p j p Z j < j Y k6=i n ;j n k d k in d in d jn . i n (z;d(z)) (z;v;d(z)) . d(z) 1=m (z;v;d(z)) : Parsuite I (0) 1 := Z C 0 f()^A 1 (;z) .jjfjj 1 d(z) 1=m (z;v;d(z)) : (1.3.2) Dansl'estimationdeI (`) 1 := R C (`) f()^A 1 (;z)
,nousallonsa epteruneperte
en d(z)
, arbitrairementpetit, a n d'assurer la onvergen e de lasérie P
I ` 1 . Puisque est borné, et que j zj j zj+2
` d(z) si 2 C ` , ` 1, nous obtenons, en supposant i n =j n par exemple: Z C ` jA (1) I;J j . 1 2 `=m (z;v;d(z)) n 1 Y p=1 1 ( i p (z;2 ` d(z))) 2 Z C ` j zj d() (j zj+2 ` d(z)) 1+ . 1 2 `=m (z;v;d(z)) n 1 Y p=1 1 ( ip (z;2 ` d(z))) 2 1 (2 ` d(z)) Z j<j j=1;:::;n n 1 Y p=1 ip d ip d in . i n (z;2 ` d(z)) 2 `=m (z;v;d(z))(2 ` d(z)) . d(z) 1 m 2 ` (z;v;d(z)) :
Les al ulssont analogues si i n 6=j n ,en sorte que I (`) 1 .jjfjj 1 d(z) 1 m 2 ` (z;v;d(z)) ; >0; arbitrairement petit : (1.3.3) Pour l'étude de I 2 := R \U f()^A 2
(;z),les dérivations portent sur lapartie isotrope (i.e. sur le terme j zj qui représente la distan e eu lidienne dans C
n ), don l'exploitation de la géométrie a peu de han e d'être optimale pour e terme. Nouspourrionsfaireapparaître de manièrenaturelle leterme(z;v;d(z)) dansnos al uls en é rivantj zj dans une d(z) base extrémale. Dans e as,
jD z;v (jz j 2 )j6 n X jv i jj i z i j :
Alors, omme v i i (z;d(z)) . 1 (z;v;d(z)) onobtient jD z;v (jz j 2 )j. 1 (z;v;d(z)) n X i=1 j i z i j i (z;d(z)) :
Cela ne permet ependant pas d'obtenir une meilleure estimation. Pour simpli er la preuve, nous allons don introduire arti iellement le terme (z;v;d(z)) dans nos al uls : nous utilisons (1.3.1) et la majoration (z;v;d(z)) . d(z)
1=m
et nous é rivons, pour I;J tels que i
n =j n par exemple: Z C 0 jA (2) I;J j . d(z) 1=m (z;v;d(z)) n 1 Y p=1 1 ( i p ) 2 Z j < j n 1 Y p=1 ip d ip d in i 1 + i n . d(z) 1=m (z;v;d(z)) 1 i 1 Z i 1 < i 1 in < in d i 1 d in i 1 + i n . d(z) 1=m (z;v;d(z)) 1 i1 Z i 1 < i 1 ( ln( i 1 ))d i 1 . d(z) 1=m jln d(z)j (z;v;d(z)) : (1.3.4) (Si i n 6= j n ou bien si i n = j n mais in max 1pn 1 ip
, nous obtenons une estimation en : O(1)d(z)
1=m
=(z;v;d(z))).
Pardes al ulsanaloguesà eux menantà(1.3.3),en tenanten ore omptede : j zjj zj+2 ` d(z)si 2C ` lorsque ` 1: Z C ` jA (2) I;J j . d(z) 1=m (z;v;d(z)) n 1 Y p=1 1 ( i p (z;2 ` d(z))) 2 Z C ` d (j zj+2 ` d(z)) 2+ . d(z) 1=m (z;v;d(z)) (2 ` d(z)) n 1 Y p=1 1 2 ip Z j < j = j (z;2 ` d(z)) n 1 Y p=1 ip d ip d in i 1 + in . d(z) 1 m 0 2 ` (z;v;d(z)) : Etun résultatanalogue sii n 6=j n . D'où I 2 .jjfjj 1 d(z) 1 m (z;v;d(z)) ; >0 arbitrairementpetit. (1.3.5)
Les al uls on ernant D z;v
u 1
onduisent à lamême estimation pour Z \U f ^D z;v K (1) ;
Comme nous l'avons dit dans l'introdu tion, nous avons en fait la possibilité d'améliorer e résultat.
Le terme u 0
, omme on l'a énon é au paragraphe 1.3.2, véri e une estimation meilleureque elle souhaitée.
Pour u 1
etu (n 1)
,nous utilisonslerésultat suivant :
Proposition 28. Si u est une fon tion bornée, de lasse C 1
sur telle que
jru(z)j.d(z) 1+ 1 m et 8v 2C n ; jvj=1, jD v u(z)j. d(z) 1 m (lnd(z)) 2 (z;v;d(z)) , alors ju() u(z)j. ((;z)) 1 m (ln((;z)) 2 ; ;z 2:
pour démontrer ette proposition on adapte le lemme 26 ave , à la pla e des onditions (i),(ii) ,(iii ):
(i 0 ) jjb k jj 1 .2 k=m ; (ii 0 ) sijr(z)j<2 k ;v 2C n ;jjvjj=1: jD v g k (z)j.k 2 (z;v;2 k ) 1 :2 k=m ; (iii 0 ) sijr(z)j2 k ; jrg k (z)j.2 k :2 k=m :
Maintenant,nouspouvonsutiliserlaproposition28.Nousexaminonsdon lestermes que nous avons étudiés dans la preuve de la proposition 27. Nous pouvons en fait introduireaunumérateur etaudénominateur du ln(j zj)aulieuduj zj.Dans e as, onobtientune expression en
Z C ` jA (2) I;J j.jjfjj 1 d(z) 1=m (z;v;d(z)) 1 jln(2 ` d(z))j n 1 Y p=1 1 ( ip jp ) Z j < j Y k6=in;jn k d k d jn ln( in )d in :
De plus, puisqu'on s'est pla é sur un voisinage du bord U petit, on s'intéresse de fait aux ` tels que 2
`
d(z) 6 1. Don la sommation en ` de es termes impose un jln(d(z))j de plus aunumérateur et onobtient:
I 2 .jjfjj 1 d(z) 1 m (z;v;d(z)) jln(jd(z)j)j 2 : Le termeI 1
setraite de la mêmemanièreet donnemême une meilleureestimation. Nousdémontrons ainsilerésultat(0.0.2)Celan'est ependant passatisfaisant puis-qu'onn'obtientpaslerésultatoptimal,etlaprésen ede elogarithmeapparaitainsi plut t ommeune limite des possibilitésde e noyau.
Formule de représentation intégrale
en métrique de Bergman
Nousallonsdonneruneformuledereprésentationintégralepourles(p;q)-formes. Elle sera onstruite sur le modèle de [2℄, 'est-à-dire une formule d'homotopie ave un noyau à poids. L'intérêt de e noyau est qu'il est intrinsèque d'une part : nous pouvonsutilisern'importequel hoixde oordonnéespourl'estimer.Cesera parti u-lièrementutilelorsquenous utiliseronsles"-basesextrémalesde J.M Neal.D'autre part, e noyau est géométrique, don approprié pour des estimations ave la pseu-dométrique . Nous allons ommen er par montrer qu'il nous permet d'obtenir les solutionsde l'équation(0.0.1) :
2.1 Formule de typeKoppelman-Berndtsson-Andersson
Nous dé nissons une se tiondu bré de Cau hy-Leray qui fait intervenir la mé-trique de Bergman:
Dé nition 29. Pour ;z 2, nous posons
s(;z)= n X j=1 n X k=1 g j;k ()( k z k )d( j z j ): (2.1.1)
C'estpar e hoixdese tionquenotrenoyaudièrede eluidupremier hapitre. Nousreprenons pour fon tion Q:
Q(;z)=(Q 1 ;:::;Q n ) oùQ j = 1 B(;) Z 1 0 Zj B(;+t(z ))dt: Où la notation Z j
signi e que l'on dérive par rapport à la j ième
oordonnée de la se onde variable.
Remarque 6. Nous faisons en ore les identi ations suivantes Q : n !C n ;
vue omme appli ation dont les omposantes sont les Q j et Q= n X j=1 Q j d( j z j ):
Nousutilisonslemêmetyped'identi ationpour s,onvoitalors quehs(;z); zi estuneapproximationàl'ordre2deladistan egéodésiqueau arrépourlamétrique de Bergman.En eet, on a: hs(;z); zi= n X i;j=1 g i;j ()( i z i )( j z j ):
On peut interpréter ette formule omme la norme au arré du ve teur z vu ommeve teurdansT
().Cettenorme estune approximationàl'ordre deuxde la longueur Lau arré des heminsgéodésiques.Plus pré isément,sinous onsidérons le hemin géodésique démarranten ,de ve teurtangentz en ,alors, sinous le suivons durant un temps1, onaura (L
) 2 =hs(;z); zi+o( z) 2 ( f [8℄). C'est en fait une des raisons pour lesquelles nous avons hoisi s sous ette forme. De plus, l'expression hs(;z); zi est en fait le ro het de dualité h;
i pour la métrique in nitésimale sur T
() où
identi é à s est une se tion à valeurs dans le bré otangent des (1;1) formes ([15℄[9℄).
Notons que dans [20℄, I. Lieb et J. Mi hel ont hoisi une se tion dé nie à l'aide d'une métrique hermitienne non né essairement égale à la métrique usuelle de C
n
pour obtenirune formule généralisée de type Bo hner-Martinelli-Koppelman.Nous posons : K(;z) = n 1 X k=0 k;n B(;z) B(;) N k s^ dQ k ^ d s n k 1 hs(;z); zi n k ! (2.1.2) = n 1 X k=0 K k (;z) où k;n =( 1) n(n 1) 2 +1 C k N . On notera dK =P.
Danstoutelasuite,nous onsidéronsuniquement enoyaupourrésoudre l'équa-tion de Cau hy-Riemann, 'estpourquoinous gardons lamême notationK pour le noyau. Nous tenons à pré iser que, puisque la fon tion de Bergman est C
1
sur , les oe ients g
i;j
