et
Université de Montréal
Cyclicité nie des boucles homoclines dans R
3
non
dégénérées avec valeurs propres principales réelles
en résonance 1:1
par
Louis-Sébastien Guimond
LaboratoiredetopologieU.M.R.5584,départementdemathématiques
UFRdessciencesettechniques
et
Départementdemathématiquesetdestatistique
Facultédesartsetdessciences
Thèse dedoctorateectuéeencotutelleprésentéeà
l'UFRdessciencesettechniques
envuedel'obtentiondugradede
Docteurde l'Université deBourgogne
enmathématiques
et
laFacultédesétudessupérieures
envuedel'obtentiondugradede
Philosophiæ Doctor(Ph.D.)
enmathématiques
Orientationmathématiquespures
Janvier 1999
c
UFR des sciences ettechniques
et
Université de Montréal
Faculté des études supérieures
Cettethèse intitulée
Cyclicité nie des boucles homoclines dans R
3
non
dégénérées avec valeurs propres principales réelles
en résonance 1:1
présentée par
Louis-Sébastien Guimond
et soutenue publiquement, aété évaluée par un jury composé des personnes suivantes :
Dana Schlomiuk
(président-rapporteurdel'UniversitédeMontréal)
Christiane Rousseau
(codirectricederechercheàl'UniversitédeMontréal)
Robert Roussarie
(codirecteurderechercheàl'UniversitédeBourgogne)
Pavao Mardesic
(membredujurydel'UniversitédeBourgogne)
Freddy Dumortier
(examinateurexterne)
JiriTichmann
(représentantdudoyendelaFESdel'UniversitédeMontréal)
Dans cette thèse nous étudions les bifurcations des boucles homoclines des
champs de vecteurs dans R 3
qui sont non dégénérées ausens de Deng [Den93],
twistées et dont les valeurs propres principales sont en résonance 1:1. De tels
champs de vecteurs possèdent une 2-variété M
invariante dépendant du
para-mètre et contenant la boucle homocline
0
pour la valeur nulle du paramètre
ainsi que toutes les orbites périodiques créées par perturbations de
0 (voir
[Hom96],[San96 ] ou[RR96]). Cette variété est un anneau (cas non twisté) ou
un ruban de Möbius (cas twisté). La dynamique est alors donnée par une
appli-cation unidimensionnelle P
(t) et toutes les orbites périodiques sont de période
1 ou 2.Notre résultat principalest le calcul d'une borne explicite de la cyclicité
absoluedece typede bouclehomoclinedanslecastwisté,i.e.lenombred'orbites
périodiques générées par perturbation . Pour démontrer ce résultat nous
calcu-lons ledéveloppementasymptotiqued'unefonction V
(t)liéeàP 2
(t) t,puis en
bornons lenombre de zéros.
Dans notrepremierarticle,nous considéronslescas de petites codimensions.
Pour calculerlaborne, nous projetons la dynamiquesur M
puis appliquonsles
techniques exposées par Jebrane etMourtada [JM94] pour l'étude de laboucle
en huitdansleplan.Danslesecondarticle,nousétudions lecasgénéral.Dansce
cadre nous ne pouvons projeter la dynamique sur M
. Les calculs pour obtenir
la borne sont alors beaucoup plus techniques et reposent sur une généralisation
de Khovanski [Kho91] permettant de réduire l'étude d'un système d'équations
La thèse que vous lisez expose le résultat de mes recherches des quatre
der-nières années. Une aventure qui eu ses hauts et ses bas, mais surtout des hauts
grâce aux nombreuses personnes qui y ont contribué de près, parfois même de
très près. Je voudrais prendre ces quelques lignes, voire même un peu plus, a n
de les en remercier.
Il yabientôtsept ansj'entrais pour lapremière foisdanslebureaude
Chris-tianeRousseau, un bureauquidepuism'atoujours étéouvert. Alorssur
Darling-ton, j'y rencontraiRobert Roussarieet l'idée d'une cotutelley prit forme.
Merci à vous mes codirecteurs de m'avoir proposé un sujet captivant; merci
d'avoir enfoncé sipatiemmentces murs quime semblaientautantd'obstacles
in-surmontablesetderrièrelesquelslessolutions eurissaienttoujours;mercid'avoir
toujours su m'accorder votre temps, et ce malgré vos lourdestâches
administra-tives(particulièrementalorsquevousétiezrespectivementdirectriceetdirecteur);
mercidem'avoirpermisdeparticiperauxdiérentscongrèsauxquelsvousm'avez
convié.
Je te remercie Christiane pour cette simple phrase dite au café alors que je
débutaismarecherche:Eneet,l'étudiantabesoindudirecteur,maisledirecteur
a aussi besoin de l'étudiant.
Je te remercie Robert pour ces échanges si chaleureux à Dijon qui me
sti-mulaient et pour le soutien administratif qui me fut nécessaire, moi étudiant
Alorsquecettethèseprenaitforme,laSciences'unissaitàl'Art.Aucoursdes
deux dernières années, laScience vécu des moments di ciles etmêmes des
hos-pitalisations;malgré tout,l'Artn'a cessé de l'encourager,de l'aimer.Ses conseils
furent précieux.Merci Julie.
Etoui, en n leur lsdépose sathèse. PierretteetClauden'y pensaientpas
alors quece petit de 9 livresetdes poussières braillaità gorgedéployée. Non,ils
voulaient simplement le calmer un peu et le chérir. Maintenant, 28 années plus
tard et 200 livres en plus, je les remercie pour leur con ance en moi et surtout
pour l'intérêtqu'ils ontmontré à toutes mes réalisations, àfortiori mathèse.
Merci aux membres du DMS et du Laboratoire de Topologie avec lesquels
j'aibeaucoupdeplaisiràdiscuter.J'aimeraisparticulièrementremercierMarlène,
Pavao,Raouf etYvan.
Il y a aussi La double vie dijonnaise de Louis-Sébastien, une bien longue
saga dont les scènes principales s'étalent sur deux années. Une distribution
ex-ceptionnelle!Entre autreily alajunteestudiantineainsi quelachoraleSing All.
J'aiété bien plus que comblé par cette expérience.
J'aimeraisremercierlessecrétariatsduDMS ainsiqueceluidu laboratoirede
topologie pour tout ce qu'ilsont fait pour moi, mais surtoutpour leurs sourires.
Sommaire ... iv
Remerciements... vi
Introduction... 1
Chapitre 1. Premier article: Homoclinic Loop Bifurcations on a Möbius Band ... 9
Chapitre2. Second article:Finite Cyclicityof FiniteCodimension NondegenerateHomoclinicLoopswithRealEigenvalues in R 3 ... 33 Conclusion... 73 Bibliographie... 75 Résumé... 77
Je suppose que pour =0, la courbe K soit fermée, mais qu'elle cesse
de l'être pour les petites valeurs de .
Soit A
0
un point de K. La position de ce point dépendra de ; pour
=0,lacourbe K est fermée, desorte que,aprèsavoirparcourucettecourbe
à partir de A
0
, on revient au point A
0
; si est très petit, il n'en sera plus
de même, mais on reviendra passer très près de A
0 ...
Henri Poincaré, 1899
Voilà un siècle, Poincaré proposait d'étudier la dynamique d'un champ de
vecteurs au voisinage d'une orbite périodique à l'aide de l'application premier
retour, aussi appelée maintenant l'application de Poincaré. Ses travaux lui
per-mirent de constater qu'il y avait deux types de dynamiques, que nous appelons
aujourd'hui chaotiques et non chaotiques. Motivé par l'étude du problème des
trois corps, Poincaré constate que l'existence de courbeshomoclinespeut
engen-drer une dynamique chaotique. En 1972, Gavrilov et
Sil'nikov [G
S72] montrent
quelesbifurcationshomoclinespeuventdonnernaissanceàdes fers-à-cheval bien
que ces bifurcationssoient parmisles phénomènesglobaux les plus simples.
Le résultat de Gavrilov et
Sil'nikov est lié au fait que le point de selle s
par lequel passe la boucle homocline peut posséder des valeurs propres dont les
parties imaginaires sont grandes. En 1963
Sil'nikov [
voisinage su samment petit de la boucle, de petites perturbations du système
engendrent au plus une unique orbite périodique.
Plus récemment, beaucoup ont étudié la famille des champs de vecteurs de
R 3
ayant une boucle homocline
0
passant par un point singulier hyperbolique
dontles valeurs propres sontréelles. (Sans perte de généralité, onpeut supposer
qu'il y a une unique valeur propre positive.) La boucle homocline est dite non
dégénérée au sens de Deng [Den93] si: (1) elle rentre en s le long du vecteur
propre principal stable; (2) la variété stable et son espace tangent approchent
l'originedans la directionde la variété fortement stable lelong de
0 .
Si la boucle homocline est non dégénérée et la somme des valeurs propres
principalesest nonnulle,alorselleestde codimensionundanslafamille.Ilexiste
troiscasdecodimension2.Dansdeuxdecescaslabouclehomoclineestdégénérée
ausensdeDeng.Dansletroisièmecas,elleestnon-dégénéréeausensdeDengetla
sommedesvaleurspropresprincipalesestnulle.Ilyaunedizained'années,Chow,
Deng et Fiedler [CDF90] ont étudié ce cas, obtenu les courbes de bifurcations
du diagrammede bifurcationetmontré que,sous certaineshypothèses, laboucle
homocline
0
est de cyclicité absolue nie (i.e. donne naissance àun nombre ni
d'orbitrespériodiquesdanstout perturbation).Desétudesultérieuresontpermis
de leverces hypothèseset d'obtenir le diagramme de bifurcationcomplet du cas
nondégénéré ausens deDengde codimension2.Quelquesannéesplus tardDeng
[Den93 ] àmontré que si
0
est dégénérée, alors ladynamique est chaotique.
Il est maintenant connu que les familles de systèmes d'un multi-paramètre
possédant une boucle homocline
0
non dégénérée pour lavaleur nulle du
para-mètrepossèdentune2-variétéinvariantedépendantduparamètreetcontenant
0
pour la valeur nulle du paramètre ainsi que toutes les orbites périodiques créées
par perturbations de
0
cettevariétéinvarianteest importantecar elleimpose quelesorbitespériodiques
soientde période au plus deux.
Dans le cas où la 2-variété invariante est un anneau orientable (cas non
twisté), Roussarie et Rousseau [RR96] ont montré que pour tout entier naturel
k,une boucle homocline non dégénéréede codimension k est de cyclicité absolue
nie. De plus ils ont donné une borne explicite (fonction de k) de la cyclicité
absolue.Leur approche du problème aceci de nouveau, dans l'étudedes champs
de vecteurs dans R 3
,qu'ilsutilisentle calculexplicitede l'applicationde premier
retourpour obtenirleur résultat,latechnique étantutiliséecourammentpour les
problèmes de cyclicité planaires. En eet, dans le cas non twisté, la dynamique
est donnée par les points xes d'une application unidimensionnelle admettant
un développement asymptotique similaire à ceux des applications de retour de
certainsgraphiques planaires(cf. [RR96]).
Considérantlecastwisté,i.e.pourlequellavariétéinvarianteestunrubande
Möbius, Yanagida[Yan87] a montré queles boucles homoclines de codimension
supérieure à un peuvent engendrer des orbites périodiques de période deux. En
eet, Chow, Deng etFiedler [CDF90 ] ontdémontré l'existence de telles orbites
dans le cas de codimension deux. Comme l'existence de lavariété invariante
im-pose des orbites périodiques de période inférieure ouégale à deux, il est naturel,
dans l'étude de la cyclicité du cas twisté, de considérer une fonction V
(t) liée à
P 2
(t) t et d'en borner lenombre de zéros.
Dans cettethèse, nousétudions lesbifurcationsdes boucleshomoclines
twis-tées, non dégénérées ausens de Dengetdont lesvaleurs propresprincipales sont
réellesenrésonance1:1.Notreapprocheconsiste,dansunpremiertemps,àutiliser
des techniques planairesa n d'obtenir le développement asymptotique de V
(t),
puis,subdivisantl'étudeendeuxcas,àutilisersoitdesalgorithmesde
dérivation-division soitlathéoriedes fewnomialsde Khovanski a n d'obtenirune borne au
nombre de solutions périodiques pouvant être générées par perturbationde
0 .
Certaines techniques planairesnous seront fort utiles et ce malgré que toute
solution périodique d'un champ planaire soit de période un. En eet, la
di -culté de l'étude des orbites de période 2 n'est pas tant leur période mais bien
qu'elles passent deux fois au voisinage de la singularité, ceci compliquant alors
lecalcul du développement asymptotiquede V
(t).Cette di culté est également
présentedansl'étudedecertainsgraphiquesplanaires,entreautredansl'étudedes
grands cycles générés par des perturbations de la boucle en huit (cf. [JM94 ]
and [KR96]).
Dans le premier article, nous étudions les cas de petite codimension. Nous
pouvons projeterladynamiquesur la2-variétéinvarianteetainsiobtenirle
déve-loppement asymptotiquede V
(t), un développement similaire àcelui de
l'appli-cation premierretour de laboucle planaireen huit. La codimension de laboucle
homoclineest dé nie àl'aide de ce développement asymptotiquedont lepremier
termenon nul est intrinsèque.Notre objectif est de borner lenombrede zéros de
cette application.
Le problème technique auquel nous devons faireface etqui est aussi présent
dans l'étude de la boucle planaire en huit est l'étude des zéros d'une fonction
au voisinage de l'origine dont le développement asymptotique possède non pas
un mais bien deux types de monômes généralisés non analytiques en l'origine
(voir chapitre 1). L'approche proposée par Jebrane et Mourtada [JM94] est de
faireunéclatementdes coordonnées.L'éclatementdoit êtretelqueledomainede
dé nition de la variable d'éclatement soit un intervalle I compact indépendant
de monômesgénéralisés soitnon analytique.Lagéométrie inhéranteauproblème
suggère l'éclatement.
L'étude de la cyclicité est équivalente à l'étude des zéros de la fonction sur
l'intervalleetun argumentgéométrique nous permetde nous limiterà deux cas:
l'étude des zéros de V
(t) au voisinage de t = 0, puis l'étude des zéros de V
(t)
dans un sous intervallecompact I 0 , I 0 (I. L'étudedeV
(t)auvoisinagedel'origineconsisteàréécrireledéveloppement
d'un certaine dérivée V (k)
(t) de V
(t) de telle sorte que tous les monômes du
développement formentun ensemblede Tchebychev. Nous pouvons alors utiliser
l'algorithme de dérivation-division exposé dans [Rou86] et obtenir une borne
explicite pour le nombre de zéros de la fonction auvoisinagede l'origine.
L'étudedeszérosdeV
(t)surunsousintervallecompactI 0
peutêtreramenée
à l'étude des zéros d'un polynôme. En eet nous pouvons réécrire le
développe-mentasymptotiquedeV (k)
(t)commelaperturbationd'unpolynôme(nontrivial)
et pouvons ainsi obtenirune borne en appliquant lethéorème de Rolleet un
ar-gument de [JM94].
Finalement, utilisant un argument de compacité, nous pouvons obtenir une
borne dunombre dezérosde V
(t)sur[0;1]. Notrerésultatacommecorollairede
démontrer la complétude du diagramme de bifurcation du cas non dégénéré de
codimension deux proposé par Chow, DengetFiedler[CDF90](complétudequi
a entre autre été montrée dans [KKO93]). De plus il peut être généralisé aux
boucles homoclinesdu mêmetype dans R n
.
Dans le second article, nous étudions le cas général et obtenons une borne
explicite de la cyclité absolue d'une boucle homocline non dégénérée au sens de
Dansletraitementdu casgénéral,lafaiblediérentiabilitéde lavariété
inva-riantenenouspermetpasd'yprojeterladynamiqueetnousdevonsalorstravailler
avec une applicationde Poincaré bidimensionnelleP
(Y;Z). Lesproblèmes
tech-niquesquiseposentalors ànoussontnonseulementlaprésence dedeux typesde
monômes généralisés (commedans lecas de petitecodimension), mais de plus le
faitqueces monômessontfonctionsdesdeux variables.Finalement,l'application
de Dulac n'est pas inversible en l'origine.
L'étude de la cyclicité est faite en deux temps. En premier lieu nous
appli-quons le théorème des fonctions implicitesa n de ramener l'étude à celle d'une
applicationunidimensionnelle.Poursefaire,premièrementnouscherchons,parmi
les changements de paramétrages sur les sections laissant invariante lastructure
de laformenormale,un paramétragepour lequel chaque type de monômes
géné-ralisés est fonction d'uneunique variable. Nousutilisonsaussi un éclatementdes
variables (Y;Z)= (s;t) nous permettant d'étendre l'inverse de l'application de
Dulac en l'origine. La fonction Æ (s;t) = Æ 1; (s;t);Æ 2; (s;t)
que nous obtenons n'est cependant
pas une fonction diérentiable de (s;t). Suivant l'idée exposée dans [Rou97],
nous remarquons que le développement asymptotiquede Æ
2;
(s;t) correspond au
développement asymptotique d'une fonction diérentiable F(s;t;
1 ; 2 ; 3 ) où les i
sontdesmonômes généralisésnedépendantquede lavariablet.Nouspouvons
alors appliquer le théorème des fonctions implicites pour résoudre s en fonction
de t et des trois monômes généralisés, i.e nous pouvons exprimer s comme une
fonction s(t) de t. La codimension de la boucle homocline est dé nie à l'aide du
développement asymptotique de Æ
1;
(s(t);t) dont le premier terme non nul est
Commedanslepremierarticle,lafonctionunidimensionnelleV
(t)=Æ
1;
(s(t);t)
est dé nie sur un intervalle compact, l'étude de la cyclicité est équivalente à
l'étude des zéros de la fonction sur cet intervalle et un argument géométrique
nouspermetde limiternotreétudeauvoisinagedel'origineetaunsous-intervalle
compact du premier.
L'étude de Æ
1;
(s(t);t) auvoisinagede l'origine consisteàréécrire le
dévelop-pementd'unedérivéeÆ (k)
1;
(s(t);t)deÆ
1;
(s(t);t)detellesortequetouslesmonômes
dudéveloppementformentunensembledeTchebychev.Nouspouvonsalors
utili-ser l'algorithmede dérivation-divisionexposé dans [RR96](ou une légère
adap-tation) et obtenir une borne explicite pour le nombre de zéros de la fonction au
voisinagede l'origine.
Contrairement à l'étude des petites codimensions, l'étude des zéros sur un
sous intervallecompact ne peut être ramenée àl'étude des zéros d'un polynôme.
Danslecasgénéral,nouspouvonsréécrireledéveloppementdeÆ (k)
1;
(s(t);t)comme
une fonction G
dont la partie principale est polynomiale en les trois types de
monômes suivant: t, t
et (1 t)
avec (0) irrationnel.
A nd'obteniruneborneexplicitepourlenombredezérosdeG t;t
;(1 t)
,
nous considérons lapartie principale de la fonction commeun système composé
d'une fonction polynomialeà trois variables G(t;y;z) et de deux fonctions
trans-cendantes y t
etz (1 t)
. Nousappliquonsalors laméthodede Khovanski
qui nous permet de réduire l'étude d'un système d'équations transcendantes à
l'étude de systèmes polynomiaux non dégénérés. Il est intéressant de noter que
notre cas est parmi lescas non triviaux les plus simples de la théorie.Les
équa-tionstranscendantesdusystèmedoiventvéri ercertainespropriétées,l'uned'elles
La méthode de Khovanski, dont nous exposons une partie en appendice du
second article,est composée de quatre étapes principales.
i. Nousdevonspremièrementvéri erquelesystèmeinitialpossèdeun nombre
ni de solutions quisont dès lorsisolées.
ii. Nous déployons ce système transcendant a n d'éliminer toute
dégénéres-cence.
iii. Utilisantle fait quechaque équation transcendante du système dé nitune
solutionintégraled'unsystèmepolynomiald'équations de Pfa,nous
plon-geonslesystèmedans unsystèmeS nondégénéré d'équationspolynomiales
de Pfa.
iv. Finalement nous itérons ce processus a n de borner le nombre de zéros du
systèmeS parlenombrederacinesdesystèmespolynomiauxnondégénérés
auxquels nous pouvons appliquerle théorème de Bezout.
Nous obtenons ainsi une borne explicite(non optimale)pour lacyclicité des
boucleshomoclinesnondégénéréestwistéesetdontlesvaleurspropresprincipales
sont réelles en résonance 1:1. Utilisant un argumentde compacité nous pouvons
obtenirune borne du nombre de zéros de Æ
1;
PREMIER ARTICLE: HOMOCLINIC LOOP
BIFURCATIONS ON A MÖBIUS BAND
L'article Homoclinic Loop Bifurcations on a Möbius Band a été rédigé par
LOUIS-SÉBASTIEN GUIMOND
DépartementdeMathématiques et deStatistique
Universitéde Montréal
and
Laboratoire deTopologie,U.M.R. 5584 duC.N.R.S.
UniversitédeBourgogne
Streszczenie. In thispaper, westudy1-homoclinicloopbifurcations on a
non-orientable2-manifold:theMöbiusband.Thetechnicsforstudying
bifur-catingdynamicsofthe 1-homocliniclooponthismanifoldaresimilarto the
onesfora gureeightloopinthe plane. Weadaptthe technics exposed in
apaper ofJebraneand Mourtada [JM94]treating thesubject: weareable,
studyingthe 2-returnmap whereitexists, togivean explicitboundfor the
cyclicity ofthe 1-homoclinicloop for all arbitrary nitecodimensions. The
keyingredientisablow-up.Asimplecorollaryistoprovethecompletenessof
thebifurcationdiagramgivenbyChow,DengandFiedlerin[CDF90].
Introduction
Since M.M.Peixoto[Pei62], it iswellknownthat aplanarvector eld having
ahomoclinicloopisstructurallyunstable. Thestudyofthebifurcationsof
homo-clinic loops requires powerful mathematicaltools. In 1986, using expansionwith
generelizedmonomials,Roussarie[Rou86]gaveanasymptoticexpansionofthe
fam-ily ofDulac mapsinduced byafamilyof planarvector elds havingahyperbolic
saddlepoints. Hewasthenabletoshowthatgenericplanarhomoclinicloopshad
nite cyclicity. (In [Rou86], Roussarie givesan explicitbound forthe cyclicity of
homoclinicloops,Joyal[Joy88]andIl'yashenkoandYakovenko[IY91]provedthat
thebound isoptimal.)
Thebifurcationofhomoclinicloopsin R 3
,asonecouldexpect,isamuch more
di cultproblem. Alreadyin1972,Gavrilovand
Sil'nikov[G
S72]provedthata
ho-moclinic loopcanleadto horseshoesand, inparticular, to chaos. Howevervector
eldshavingaloopthroughasaddlepoint,thetwoprincipaleigenvaluesofwhich
are real, present great similarities with the planar case when generic geometric
assumptionsareadded. Ourstudyislinkedtothestudyofonesubfamilyof
codi-mension2cases: whenthetwoprincipaleigenvaluesarein1:1resonanceandno
otherresonancesoccur(wesaythevector eldisstrongly1-resonant). Thegeneric
case,when thesumofthe principaleigenvaluesdoesnotvanish, was rst studied
by
Sil'nikov [
Sil63]. In1987, Yanagida[Yan87] showed that resonant bifurcation
Date:11wrze±nia1999.
ThisworkwassupportedbyLeMinistèredel'ÉducationNationaledel'EnseignementSupérieur
leads systematicallyto the birth of periodic curvesof period 2. In 1990, Chow,
DengandFiedler[CDF90]studied thecodimension2strongly1-resonantcase.
Homoclinic loops of higher codimensions were later studied by Roussarie and
Rousseau [RR96]. They noticed that the heuristic argumentused ona model in
section 2 of [CDF90] could be transformed verbatim into a proof using planar
technics: the exact calculation of the transition map in a neighbourhood of the
saddle point composed with a C k
-dieomorphism gives the rst return map. A
derivation-division algorithm is then used to bound the number of xed points.
Thequestionoftheoptimalityoftheboundwasnotconsidered. Theywereableto
reducetheproblemtothestudyofhomoclinicloopsbifurcationsona2-dimensional
manifold(eitheranopencylinderinthenon-twistedcase,oraMöbiusbandinthe
twisted case), yielding the non-existenceof n-orbits for n >1 (non-twisted case)
orn >2 (twistedcase). They then specialized to the non-twisted caseand gave
an explicitbound forthe cyclicityin all nite codimensions. Theydid notstudy
thetwistedcasewhichpresentadditionaldi cultiessincetheseconditerateofthe
Poincarémapmustbeconsidered.
The existence of an invariant 2-manifold containing the bifurcating dynamics,
which isthe keyingredient in the work of Roussarieand Rousseau, wasdone
in-dependently in twoother papers,namely thethesisof Homburg [Hom96] andthe
thesisofSandstede[San93]. Letusalsonotethatthenon-existenceofN-homoclinic
orN-periodicorbitswithN >2inthenon-twistedcaseandN>3inthetwisted
casewasalsoprovenbyKisaka,Kokubu,andOka[KKO93].
In this paper we rst prove the nite cyclicity property of nite codimension
homoclinicloopsonaC K
-Möbiusbandandgiveanexplicitbound(theorem7). A
simplecorollary is to provethecompleteness ofthe bifurcation diagramgivenby
Chow,DengandFiedlerin[CDF90]ofcodimension2homoclinicloopsinR 3
under
anadditionalsmoothnesscondition: theband mustbeat leastC 6
. Anadditional
consequenceisaresult of nite cyclicity fortwistedhomoclinicloops in R n
when
thecodimensionissu cientlysmallinfrontofthenon-principaleigenvalues.
Thepaperisdividedin threepartsasfollows.
Inthe rsttwopartswelookat1-homoclinicloopsonaC K
-Möbiusband. The
rstpartcontainspreliminaryresults. Thesecond partis devoted to theproofof
the nitecyclicitypropertyofagenericloop.
Finally,in thelastpartwegivearesultaboutstrongly 1-resonantvector elds
inR n
.
Cz¦±¢ 1. Setting up theproof ofthe C K
-Möbiuscase.
1.1. Notionsandvisualization
DEFINITION 1. Let beanorbitofavector eldX
0
(x)onamanifold M. We
havethe followinggeneral de nitions:
1. If the limitsetand! limitsetof areoneandthe samesaddle points,
thenwecall [f0gahomoclinic loop.
2. Let
0
be ahomoclinicloopof X
0
(x). FixU asmalltubularneighborhoodof
0
. Assume U with someorbit ofX
(x)intersectingasectionofU N
times. If isahomoclinic loop thenit iscalledan N-homoclinic loop. If
Remark. AslongasU ischosensmallenough,theabovede nitionsare
indepen-dentofthechoiceofU andarevalidforsmallperturbationsX
(x) ofX
0 (x).
TohelpvisualizethedynamicsontheMöbiusband,weusetheprojectionofthe
bandillustratedin gure1.
(a)Projectionoftheband.
1 T1
(b)Projectionofthevector eld.
Rysunek 1. SingularprojectionoftheMöbiusbandontheplane.
Moreprecisely,wewillbeworkinginthefollowingframework.
DEFINITION 2(FrameworkforthedierentiableMöbiusband). LetM 2
beaC K
-smoothMöbius band,andX
:M 2 0 !TM 2 beaC K
-smoothp-parameterlocal
familyofvector eldsonM 2
( 0
isaneighborhoodoftheorigininR p
). Lets2M 2
beahyperbolicsaddlepointwitheigenvalues
1 ;
2
satisfying, for =0,the
res-onance relation 0< 2 = 1 . Let 0
be a homoclinic loop of the vector eld X
0
throughthesaddlesandturningaroundtheMöbiusband,andletU beasu ciently
small tubular neighborhood of
0 . Let 1 be a transversal of X intersecting the
localstablemanifoldofsandintersecting@U intwopoints, andT
1
atransversalof
X
intersectingthe local unstablemanifold of s andintersecting @U intwopoints
and this for all 2 0
. We parametrize
1
(resp. T
1
) so that the origin
corre-spondstothe intersection pointwiththe invariant stable (resp. unstable)manifold
andwithorientation asin gure 1(b).
Takeachartin M 2
arounds inwhich sistheorigin. Since(0;0)2R 2
0
is
hyperbolic,wetakeasmall neighborhood 0
of=0such that thesaddle point
haseigenvalues 1 ()<0< 2 (),where i (0)= i .
DEFINITION 3. The hyperbolicity ratior() ofthe saddlepoint(0;) is
de- nedas r()= 1 () 2 () : DEFINITION 4. Let X 2 0 be a family of C K vector elds on M 2 . Let be a compact subset of M 2 invariant by X 0
. We say that has nite cyclicity
in the family X 2 0
if thereexists N 2N, >0and aneighborhood
0 of
0
in 0
suchthat for all2
0
,the number n(;) of limit cycles(isolatedperiodic
orbits) of X
with dist
H
( ; ) islessthanN,wheredist
H
isthe Haussdor
distance oncompact sets.
UsingthenotationofJebraneandMourtada,let
n(; 0 )= sup 20 n(;) : (1)
Wecanthusde nethecyclicityof in thefamily X 2 0 tobetheminimum integern(; 0
)whenandthediameterof
0
goto0.
1.2. Geometrical results
Thepurposeofthissectionistogivegeometricconditions(proofscanbefound
in [Gui99]) for theexistence of periodic solutions which will be of importance to
simplify theproofofthe nitecyclicityproperty.
LetP
(x)bethe rstreturnmapon
1
. ThenontheMöbiusband M 2
:
1. there is at most one 1-periodic curve bifurcating from a homoclinic loop
([RR96]);
2. ifthereisa2-curve,thenthereexistsone1-periodiccurvewhichcoexistswith
the2-curve: letx
1 andx
2
bethe intersectionpointsofthe2-curvewith
1 ,
the xedpointofP
islocatedbetweenx 1 andx 2 ;
3. we only haveto look for N-curveswith N =1 orN = 2intersecting some
compactintervalof
1 .
Thusto havelimitcycles, there must existsa1-curve. From13we havethat
Cycl(
0
)is exactlythenumberof2-curvesplus1.
LEMMA 5. Letx
0
()bethe xedpointofP
(x)with2,asmallneighborhood
of theorigin, andZ
= x2 1 jP 2 (x)=x and0<x<x 0 () . Let N =sup 2 Card Z : (2) The cyclicityof 0 isequal toN+1. LetR
(y)betheregulartransition mapfrom T
1 to
1
de ned bythe ow. In
fact,R (y)isC K sinceX isofclassC K
,anditsTaylorexpansionis
R (y)=d 0 ()+ K 1 X i=1 d i ()y i +O y K ; (3) whered 0 (0)=0andd 1 (0)<0(orientationreversing). Remark. Sinced 1
(0)<0,thereexistsadieomorphismH(y)suchthat:
HÆR ÆH 1 (y)=d 0 ()+ [K=2] X i=1 d 2i 1 ()y i +O y K : (4)
PROPOSITION6. Let the above framework be assumed. Denote by () the
rstintersection ofthe unstablemanifold ofthe origin with
1
(i.e. ()=d
0 ()),
andlet ()~ bethesecond(ifitexists)intersection(withreversetime)ofthestable
manifold ofthe origin with
1
(cf. gure 2). We havethe following results:
1. In ordertohave an N-curve,itisnecessary tohave ()0, inwhich case
~
() existsand ispositive. The case ()=0corresponds to havingonly a
1-homoclinic curve.
2. If x 2
1
belongs toan N-curve then x 2[0; ()], the returnmap P
(x) is
wellde nedon[0; ()], andthe seconditerate ofthe rstreturnmap(callit
the2-returnmaporthesecondreturnmap) P 2
(x)iswellde nedon[0; ()].~
Moreover, the xedpointsof P 2
(x) (ifthey exist)arecontainedin [0;m()],
wherem() def
() ~ () 1 T1 (a) ()~ < () ~ ()= () 1 T1 (b) ()~ = () () ~ () 1 T 1 (c) ()~ > ()
Rysunek 2. Notationforproposition6.
Cz¦±¢ 2. Proof ofthe nitecyclicity property.
Inthis partwegiveade nition of thecodimension forahomoclinic loopon a
Möbius band (de nition 11). This de nition depends onlyon X
0
andnot onthe
family. Weprovethefollowingtheoremwhichisoneofourmainresults:
THEOREM7. Let
0
asin de nition 2. If
0
isof nite codimension andthe
band issu ciently smooth (i.e. K su ciently large), then
0
has nite cyclicity.
If
0
is of codimension 3k and K8k+2, then Cycl(
0
) 3k. If
0 is of
codimensionN(whereN =3k+1orN =3k+2)andK8k+6,thenCycl(
0 )
3k+2.
COROLLARY 8. Let
0
beof codimension 3k or3k+2, thenCycl(
0
)co
di-mension of
0 .
From corollary 8, we expect the bounds for the cyclicity of
0
to be optimal
whentheloopisofcodimensions3kand3k+2. Unfortunatelytheboundsarenot
optimalforloopsofcodimension3k+1.
2.1. Generelized monomialsandthe definition of codimension
Weareinterestedincountingthe xedpointsofP 2
,i.e. thezeroesofP
P
1
.
Oneimportantplanartechnicis to viewthe Poincarémap P
asthecomposition
oftheregularmapR
(cf. equation(3))and atransitionmapD
nearthesaddle
point.
Thetransitionmapnearasaddlepointintheplanehasbeenthoroughlystudied.
Its asymptotic expansionuses generalizedmonomials which are well ordered and
behaveadequatlyunderdierentiation(cf. [Rou86],[Mou89],[EM93]and[Rou98]).
Thesegeneralizedmonomialshavetheform x i ! j (x;) where: 1 ()=1 r() (5) !(x;)= 8 > < > : x 1 () 1 1 () if 1 ()6=0 ln(x) if 1 ()=0 (6)
Thegeneralizedmonomialshavethepropertythatforallk>0,
lim 1 ()!0 x k ! j (x;)= x k ln j (x);
DEFINITION 9([Mou89]). LetK2N, (x;)aC K
-functionon]0;[
0 such
that (0;0)=0, and apositive continuous function (x;) with (0;) =0. We
saythat (x;) isI K
0
(x;)
if forevery n2N suchthat nK,wehave
lim x!0 n (x;) @ n (x;) @x n =0 uniformlyon 0 .
Thegeneralizedmonomialsx k !(x;)areI K 0 (x;) ,where(x;)=x 1+ 1() !(x;).
PROPOSITION10 ([Rou86]). LetthefamilyX
asde nedinde nition2. Then
there exists a decreasing positive sequence of positive numbers fÆ
n g n1 and C 1 -functions n () de nedon n = 2 0 n 1 () <Æ n
such that for all K 2N,
there exists >0, a neighborhood
0 of =0, and transversals 1 and T 1 C K
-parameterizedby x andy respectivelysuch that the Dulacmap de nedfrom
1 to
T
1
canbe writteninthe following form:
D (x)=x+ K X i=1 i ()x i !(x;) 1+ i (x;) + K (x;): (7) Thefunction K isC K
andK- atatx=0. Thefunctions
i areI K 0 (x;) ;more
precisely, they are nite linear combinations of monomials
x n
! m
(x;)withcoef cientsbeingpolynomialsin
l
()whereilKandm2Z.
TheinversefunctionD 1
(y)isnoweasilycomputed. Insteadofinverting
equa-tion(7), itisbetterto applyproposition10 tothe eld withreversetime. Under
the hypothesis of proposition 10, the inverse function D 1
(y) is of the following
form: D 1 (y)=y+ K X i=1 i ()y i !(y;) 1+ i (y;) + K (y;); (8) with 1 ()=1 1=r(), i ()= i ()+p i (),p i ()beingpolynomialsin j () withj<i. Moreover !(y;)= 8 > < > : y 1() 1 1 () if 1 ()6=0 ln(y) if 1 ()=0 ; (9) functions i areI K 0 (y;) , where (y;)=y 1+ 1() !(y;), and K is C K and K- ataty =0.
Geometrically,thefunctions R
(y):T 1 ! 1 andD
(x)aregivenin gure3.
D (x) 1 (y)T 1 R Rysunek 3. ApplicationsR (y)andD (x).
Wenowwanttogiveasuitablede nitionofthecodimensionofahomoclinicloop
onM 2
itseemsnecessarytousetheasymptoticexpansionofthe2-returnmaptogivethis
de nition. Tosimplify thecomputations,weconsider afunctionassociatedtothe
2-return map. We rst need to extend equation (8) to the negative values of y.
Thisextensioncanbefoundin[R91](recalledin[Gui99])and,parameterizing
2
ason gure4,isofthefollowingform:
D 1 (y)= " y+ K X i=1 i ()y i ! jyj; 1+ i (y;) + K (y;) # : (10) Nowlet Z (y) def = D 1 (y) G (y) G (y) def = R ÆD ÆR (y) : (11)
Using equation (10),fonction Z
(y) is well de ned at least onfy 2 T
1
jy 0g.
Fromproposition6,when ()0,thereexistsb()0with ()=0,b()=0
suchthat Z :fy 2T 1 jy b()g ! 1
. Moreover,the2-return map isde ned
onlyon theinterval[0;b()] (orasubinterval) on which it has,for allsu ciently
small,thesamenumberof xedpointsasthenumberofzeroesoffunctionZ
(y). FunctionsG 0 (y)andD 1 0
(y)areillustratedin gure4.
1 T 1 x y 2 G 0 D 1 0 Rysunek 4. ApplicationG 0 (y)andD 1 0 (y).
Since we have the expansionof R
0
(y) on the whole section T
1
, from
proposi-tion10wecangettheasymptoticexpansionofG
0 (y).
Aswewillshowinthenextsection,inanyparameterization,Z
(y)at=0has
thefollowingform:
Z 0 (y)= K X i=0 i y i + K X i=1 i y i ln (jyj)+Æ y K ; (12) where 1 (0) = 1+1=d 1 (0), i (0) = i (0) jd 1 (0)j 1 i +( 1) i , with i (0) to be de nedlater. DEFINITION 11. Let 0
asgiven inde nition 2,andletthe
i ()and i ()as given inequation (12). 1. 0
isnon-degenerateof nitecodimension ifoneofthe
i
()or
i
() does
notvanish at=0.
2. If thereexistsk suchthat
i (0)=0= i (0) for ik and k +1 (0)6=0,then wesay that 0
islogarithmicoforderk+1, notedO
L 0
=k+1.
3. Ifthereexistsksuchthat
i (0)= i (0)=0fori<2k+1, 2k +1 (0)=0,and
(0)6=0,thenwesaythat isanalyticoforderk,notedO
4.
0
isofcodimension3kifitislogarithmicoforder2k;codimension3k+1
ifitislogarithmicoforder2k+1;
0
isofcodimension3k+2ifitisanalytic
of order2k+1.
PROPOSITION12. De nitions 11.2,11.3and 11.4 areintrinsic.
Proof. There is a totalorder on the monomials appearing in Z
0
(y) and also in
D 0 (x)andD 1 0 (y) , 1 ylnjyj y y 2 lnjyj y 2 ::: (13)
The de nitions correspond to the one de ned on an expansion such as (13) by
meansofthelowestordertermwithnon-vanishingcoe cient. Thisisknowntobe
invariantundercomposition byC k
-dieomorphisms.
2.2. Parameterization andthe blow-up
Themajor di cultythat weencounter comes from theterms! R
(y) in the expansionof function D ÆR (y). Tosimplify ! R (y) , we rst need to nd a
niceparameterization forwhich R
(y) isan a nemap. Thenweuse aproperty
(stated belowin lemma 13) of function !(x;) to get a niceexpansion of D
in thatparameterization. LEMMA 13([JM94]). Letf(x;)beaC K -functionon[0;x 0 [suchthatf(0;)=0.
Then there exists a C K
-function, g(x;), with g(0;) = 0 and such that for all
a>0,wehave ! ax(1+f); = h a+O( 1 () i !(x;)+g(x;) ln(a) h 1+O 1 () i : (14) Wehave ()=R (0)andb()=R 1 (0). Letx 1 2 1
. Wenotebyyitsimage
onT 1 bythedieomorphismR 1 , i.e. y=R 1 (x 1 ). Wehavethat y=b()+r (x 1 ); (15) where r (0)=0, andr
(x) isa smoothdieomorphism. A priori, b() and ()
neednotbethesame,butsinceR
ÆR
1
(x) issmooth,wehavethefollowing:
@ x r (0)=@ x R 1 (0)<0 (since R isorientationreversing) = 1 @ y R (y 1 ) y 1 =b() = 1 d 1 ()+O b() ;
forasu cientlysmallneighborhoodof=0.
Set x= r (x 1 )=S (x 1 ) (16)
asthenewparameterizationof
1
(itissmooth). Letusnoteby ~
R
(y)thefunction
R
(y) expressed in the new parameterization, i.e. ~ R (y) = r R (y) =S Æ R
(y),andsimilarly ~
R 1
(x)=b() x.
Wecansupposethatx variesinadomain[0;x
0 ]whichisindependentof2. Wehavethat x 1 =r 1 ( x)=a()x+ K X i ()x i +r ;K (x); (17)
wherea 1 ()= d 1 ()+O b() andthe i
()arepolynomialsinb()andd
j ()
withji,thefunction r
;K isC
K
andK- atatx=0.
Inparameterization(16),wehavethat
~ R (0)= r () : (18)
Therefore,intheparameterizationwehaveintroduced, ~
R
(y)isthea nemap
~ R (y)= r () yand thus0= ~ R Æ ~ R 1 (0)= r ( ()) b(),i.e. ~ R (0)=b()= ~ R 1 (0) and ~ R (y)=b() y:
Rewriting equationsin parameterization(16),theDulac maphas amore
com-plicatedexpansionthanequation(7)sinceitiscomposedwithaC k
-map.
LEMMA 14. Let the transversal
1 . ~ D (x) = D ÆS 1 (x) is of the following form: ~ D (x)= K X i=1 i ()x i + K X i=1 i ()a i ()x i !(x;) 1+h i (x;) +H K (x;); (19) whereh i is aC K
-functionin xand verifying I K 0 (x;) . Thefunction H K (x;) is K- at at x = 0; a 1 () = d 1 ()+O b() ; 1 () = a() and i () are polynomialsin i (), j
()(ji)andb(). Thisresultisvalidfor allKlessthan
the dierentiability of X
.
Proof. Byproposition10,wehave
D (x 1 )=x 1 + K X i=1 i ()x i 1 !(x 1 ;) 1+ i (x 1 ;) + ~ K (x 1 ;): (20)
Using equation (17) and lemma 13, the Dulac map is of the following form in
parameterization(16): (21) ~ D (x)= K X i=1 i ()x i + K X i=1 i ()a i ()x i 1+ h 1;i (x;) h 1+ + 1 () h 2 (x;) !(x;)+ h 3 (x;) i + ~ H K (x;); where 1 ()=a(),the h 1;i (x;)areC K and verifyI K 0 (x;) . Setting f i (x;)= h 2 (x;) 1+ h 1;i (x;) g i (x;)= h 3 (x;) 1+ h 1;i (x;) ;
weobtainthefollowingexpressionforD
(x): (22) ~ D (x)= K X i=1 i ()x i + K X i=1 i ()a i ()x i h 1+ 1 () f i (x;) !(x;)+ +g i (x;) i + H K (x;); where the f i (x;) areC K and verifyI K 0 (x;)
. Toget the nal form (19), we
expand,usingTaylorseries,thefunctions
f
i
andaddtheK- rsttermstothe rst
termontherightsideofequation(22)andtherestto
LEMMA 15. Letx2
1
. Thefunction G
(y)has the following form:
(23) G (y)= () b()+y+ K X i=1 i ()x i + K X i=1 i ()d 1 ()a i ()x i !(x;) 1+ +h i (x;) +H K (x;); where x = b() y, 1 () = 1 a() and i () are polynomials in b(), j (), j ()and d j ()with ji. Proof. Since G (y) = R Æ ~ D Æ ~ R
(y), from equations (3) and (19) we get an
expansionoftheform ofequation(23). Theresultcomesfrom thefact that
(24) K X i=1 i ()x i + K X i=1 i ()a i ()x i !(x;) 1+ f i (x;) + F K (x;) ! j = K X i=1 i ()x i + K X i=1 i ()a i ()x i !(x;) 1+ h i (x;) + H K (x;):
Fromlemma15andequation(8), wehavethefollowingproposition:
PROPOSITION16. Inthenormalformcoordinates,thezeroesofZ
(y)coincide
withthe zeroesof thefunction (y;), where
(25) (y;)= k X i=0 i ()x i + k X i=1 i ()d 1 ()a i ()x i !(x;) 1+ ~ f i (x;) + i ()y i !(y;) 1+ ~ f i (y;) +H k (x;)+ K (y;); with 0 ()= () b(),x=b() y. The i
aretheonesgiveninequation(23),
and the
i
() are the ones given in equation (8). They are C 1 in . The ~ f i and ~ f i are I K 0 (x;) andI K 0 (y;) respectively.
Remark. ThedierentiabilityclassKisarbitrarilychosenbutsu cientlylargeto
allowallneededdierentiations. Let
0
oforder k,takingasmallerneighborhood
of=0,wemaytakeK4k+2ifkisoddandK4k+6ifkiseven(Kisthe
dierentiabilityclassofM 2
.). Thusforthecodimensiontwocase,K6.
To provetheorem7, webound the number ofzeroesof (y;) on theinterval
giveninproposition6,i.e.
0;b()
withb()>0. (Itisofcoursesu cienttowork
on
0;m()
,butforsimplicityreasons,weworkonapossiblylargerinterval.) We
will haveto work with terms in ! b() y
, a function of the twoindependant
variables b() and y, both arbitrarily small. To simplify these terms, and then
simplify the equation of its derivative, we blow-up the x and y variables in the
followingway: weset
y=b() 1 t() andx=t()b() ; (26)
PROPOSITION17. Choosing su cientlysmall,there exists>0suchthat Cycl( 0 )sup 2 t2[0;1 ] b()(1 t); =0 ; (27)
i.e. weonlyneedtobounduniformlyonthe numberofzeroesof b()(1 t);)
on[0;1 ] toboundthe cyclicityof
0 . Proof. Let y 0 () =b() 1 t 0 ()
bethe xed point of P
(y) on T 1 : t 0 () is a zeroof: ~ D ~ R 1 bt =b(t 1)+abt[(bt) 1() 1]+O bt +O bt!(bt;) : (28) Moreover ~ D ~ R 1 b()t t=0 b() = 1; (29)
thus, forsu ciently small and by continuityof equation (28)with respect to t
andthereexists
1 >0suchthatt 0 ()> 1 on.
Theresultfollowsfrom lemma5with=1
1 .
2.3. The finite cyclicity property: a proof
2.3.1. Proof of Theorem 7: case
0
is logarithmic. This is the case where
d 1 (0)= 1, i (0)= i (0)=0forik 1and k (0)6=0.
We rsthomogenizetheprincipalpartof b()(1 t);
withrespecttob()
bymeansofablow-upofthecoe cients
i
()withik. Moreprecisely,following
theideain [JM94],wede ne thefollowingfunctions t
i () forik. i ()=t i ()b k i ()for1ik (30) Thet i
()arenotbounded,butsince
k
(0)6=0,wehavethatforaneighborhood
of=0su cientlysmalland2,thereexistsÆ>0suchthat
L()= k X i=1 t 2 i () ! 1=2 >Æ:
Wecanthencompactify thecoe cientsspacebysetting
i def = t i L ; where i ()
1for allik, 2, and P k i=1 2 i
() =1for all2,i.e. the
newcoe cientspaceisasubsetofS k
.
Theblow-updestroystheorderrelationbetweenthecoe cients. Thereforeitis
necessarytodivideourstudyinthefollowingconesintheparameterspace. Forall
1j k,welet E j def = 2= j () = sup i () : (31)
Our rststepistocomputethe(k+1) th
derivativeof (y;)usingequation(25).
Wehavethat d! dx (x;)= x 1 1 () = x 1 1 ()!(x;)+1 (32) @ j x x i != x i j 1() i<j 1+! i=j (33) @ k +1 x i ! 1+ ~ f i (x;) @x k +1 =x i (k +1) 1() A i ()+ ~ F i (x;) ; (34) where A i (0) 6=0, ~ f i (0;) = 0= ~ F i
(0;), and arenon-vanishing functions of .
Sincewewillonlybeinterestedinthebehavioroffunctions ~
F
i
(x;)forsmallx,to
simplify thenotationwewillsimplywrite
@ k +1 x i ! 1+ ~ f i (x;) @x k +1 =x i (k +1) 1() A i ()+ ~ f i (x;) ; (35)
noting that now the new ~ f i (x;) is only I K (k +1) 0 (x;)
. We then have the
followingexpressionforthe(k+1) th derivativeofequation(25): (36) @ k +1 (y;) @y k +1 = k X i=1 ( 1) k i ()x i (k +1) 1() A i ()+ ~ f i (x;) i ()y i (k +1) 1() B i ()+ ~ f i (y;) + ~ f k +1 (x;)+ ~ f k +1 (y;); where ~ f k +1 (x;) resp. ~ f k +1 (y;) isC K (k +1)
and1- atatx=0(resp. y =0);
A i (0)=B i (0)6=0. LEMMA 18. Let (37) T k +1 (t;)= k X i=1 i ()t i (k +1) 1 () A i ()+f i (t;) + +( 1) k +1 i ()b 1 () 1 () (1 t) i (k +1) 1 () B i ()+f i (t;) ; with i ()= i ()+p i (),p i
()arepolynomialsin b()andin
j () with j<i suchthatp i (0)=0. Thefunctionsf i (t;)areI K (k +1) 0
(t)andthefunctionsf
i (t;) areI K (k +1) 0 (1 t) .
There exists a function of the form of equation (37) such that the number of
zeroesof @ k +1
y
(y;)inasmallneighborhoodof (0;0) inR 0
isthesameasthe
number of zeroes of T
k +1
(t;) in [0;1], where is a small neighborhood of 0
in 0
.
Proof. We rst multiply equation (36) by ( 1) k +1
b 1()+1
()=L() and use the
coordinates(26). Itisequivalenttothefollowingequation:
(38) @ k +1 (t;) @t k +1 = k X i=1 i ()t i (k +1) 1 () A i ()+f i (t;) + +( 1) k +1 i ()b 1() 1() (1 t) i (k +1) 1() B i ()+f i (t;) + +f k +1 (t;)+f (t;):
Looking at E
j
6=;with j <k+1,wecan include thefunction f
k +1
(t;) in the
termwithcoe cient
j
() byletting thefollowing:
f new j (t;)=f old j (t;)+ f k +1 (t;) j () t j+(k +1)+ 1() : (39)
(Tosimplifythenotation,weagainletf
i =f
new
i
). Wedothesamewiththefunction
f
k +1
(t;), i.e. we include it in the function f
j (t;). That functions f i (t;) are I K (k +1) 0 (t)andfunctionsf i (t;)areI K (k +1) 0
(1 t)canbeshownasfollows. In
equation (38), thefunctions ~ f i (x;) are I K (k +1) 0 (x;) , thefunctions ~ f i (x;) areI K (k +1) 0 (y;) ,and ~ f k +1 (x;) isofclass C K (k +1)
and 1- atatx=0;i.e.
wehaveforall0nK (k+1)
lim x!0 x 1+ 1 () ! n @ n ~ f i (x;) @x n =0= lim y!0 y 1+ 1 () ! n @ n ~ f i (y;) @y n (40)
uniformlyfor2. Sincex=x 1+
1 ()
!(x;)isbounded,wethenhavethefollowing
limits: lim x!0 x n @ n ~ f i (x;) @x n =0=lim y!0 y n @ n ~ f i (y;) @y n : (41)
Usingthevariables(26),thefollowingrelationsareeasilyobtainedforall0n
K (k+1): lim b()!0 @ n f i (t;) @t n =0= lim b()!0 @ n f i (t;) @t n ; (42) lim t!0 t n @ n f i (t;) @t n =0=lim t!1 (1 t) n @ n f i (t;) @t n (43)
thelastlimitsbeinguniformin.
From lemma 18, we see that coe cient b()
1() 1()
will be of some
impor-tance. Since both b() and
1
() tend to zero with the parameter,the quantity
b()
1() 1()
couldleadto someseriousproblems. Letusshow:
LEMMA 19. Ifthe2-returnmaphasa xedpointforsmallt,thenb()
1() 1()
isboundedfromabove.
Proof. Indeed,since
1 (0)= 1 (0), i.e. 1 () 1 ()s2 1 (), b() 1() 1()
is not bounded precisely when
1
() is negative, in which case b()
1 ()
is not
bounded. Usingproposition16wehavethat
(44) (b(1 t);))j t=0 = ()+b() h 1 b() 1 () 1 1+f i (b();) +O b 2 ()[1+!(b();)] : Assume b 1()
isnot bounded and canthus betakenaslargeasnecessary. Since
b() 1()
, () and b() canbe taken su ciently small, we have that for
su -ciently small neighborhood of =0,there exists aconstant M >b 1
() such
thatforallsu cientlysmallt>0, b()(1 t);
Fromproposition17andsincey=b()(1 t), weonlyhavetostudythezeroes
ofequation(37)ontheintervals[0;
1 ]and[ 2 ;1 2 ]with 1 2 >0su ciently small.
PROPOSITION20. There exists
1
> 0and a neighborhood
0
of = 0
suchthat for all 2 E
j \ 0 ,the equation T k +1 (t;)=0has, on [0; 1 ], atmost (j 1) roots.
Proof. We rstmultiplyequation(37)byt k + 1()
toobtainthefollowingequation:
~ T k +1 (t;)= k X i=1 t i 1 i ()A i ()+h i (t;) : (45)
Fromequations(42)and(43),
lim t!0 t n @ n f(t;) @t n =0= lim b()!0 @ n f(t;) @t n ; (46) 0nK (k+1). Moreover,sinceb() 1 () 1 () is bounded on[0; 1 ] for 1
su cientlysmall(bylemma 19),wehavethat
lim t!0 t n @ n h i (t;) @t n =0; i.e. theh i (t;) are I K 0
(t). Havingsuch functions allows us to dierentiate j 1
times and show that, for some small neighborhood
0
of = 0, the number of
zeroes of equation (45)in the set E
j \ 0 with t 1 for 1 su ciently small is boundedbyj 1.
Thefollowinglemma states that under somehypothesis, thenumber ofzeroes
ofequation(37)isboundedbythenumberofzeroes(countedwithmultiplicity)of
apolynomialonanintervaloftheform[t
2 ;t 3 ]witht i >0: LEMMA 21(cf. [JM94]). Let0<t 2 <t 3 . If T(t;) def = P(t;)+f(t;) where
P(t;) issome polynomial of degree k with coe cients in and f(t;) such that
for allnk wehaveon [t
2 ;t 3 ], lim !0 @ n f(t;) @t n =0; (47)
then existsaneighborhood
P
of =0suchthat for all2
P ,the number of zeroesof T(t;)on [t 2 ;t 3
]isboundedby thenumber ofzeroesof P(t;).
PROPOSITION22. Let t
1
2 (0;1=2). There exists a neighborhood
1
of
=0suchthatfor all2E
j \ 1 ,the equationT k +1 (t;)=0has,on [t 1 ;1 t 1 ], atmost2k 1roots.
Proof. First we write T
k +1
(t;) as apolynomial plus someK (k+1)- at rest
f(t;)andthenprovethestatementusinglemma21. Wewillbeworkingwiththe
twofunctions F k +1 (t;)andP(t;),with F k +1 (t;)= t k + 1() (1 t) k + 1() T k +1 (t;): (48)
P(t;) isthefollowing(non-trivial)polynomial: P(t;)= k 1 X i=0 i+1 t i (1 t) k A i+1 +( 1) k b 1 1 t k (1 t) i B i+1 (49) = k 1 X i=0 c i ()t i +o t k 1 ; (50) where if V 1 = (c 0 ;c 2 t;:::;c k t k 1 ), V 2 = ( 1 ; 2 ;:::; k
) and M(t;) is the lower
triangularkbykmatrixwithm
ij (t;)=A j ()t i 1 (ij),thenV T 1 =M(t;) V T 2
. P(t;) is non-identically zerosince V
2
6=0 and M(t;) is inversible for all
(t;)2[t 1 ;1 t 1 ]. WethenhaveF k +1 (t;)=P(t;)+f(t;),with (51) f(t;)= k 1 X i=0 i+1 t i (1 t) k A i+1 (1 t) 1 () 1 + +(1 t) 1 () f i+1 (t;) +( 1) k b 1 1 t k (1 t) i B i+1 t 1 () 1 +t 1 () f i+1 (t;) ; 0nK (k+1), lim !0 @ n t f(t;)=0uniformlyfort2[t 1 ;1 t 1 ]. Toprovethis
limit,whichisvalidforthef
i
(t;)andthef
i
(t;),weonlyneedtoshowthatitis
validfortermsofthefollowingform:
A i+1 (1 t) 1() 1 and B i+1 t 1() 1 : (52)
We now use the fact that
1
() and
1
() converge to zero with , and that
t 2[t
1 ;1 t
1
]. Thecasen=0followsdirectly from equation (52). Forthe cases
n> 0,both termsin equation (52) areof the form
1
()h(t;) and
1
()h (t;)
respectively,where h(t;) and h(t;) areanalytic on[t
1 ;1 t
1
]. We thus obtain
thelimit.
Letequation(37)andt
1 >0. Ontheinterval[t 1 ;1 t 1 ],thezeroesofT k +1 (t;)
are given bythe zeroesof F
k +1
(t;). The proposition followsfrom lemma 21 by
taking t 2 =t 1 , t 3 =1 t 1
sinceP(t;) isa (non-trivial)polynomialof degreeat
most2k+1vanishingat0and1.
Frompropositions20and22wehavethatT
k +1
(t;) has,forsomesmall
neigh-borhood
0
of=0,3k 1rootson[0;1 ],forsomesmall. Consequently,
if
0
islogarithmicoforderkthen,fromproposition17Cycl(
0
)3k+1.
PROPOSITION23. There exists a neighborhood of = 0 such that for all
2E
j
\, the equation T
k +1
(t;) =0 has atmost 2k 1roots on [0;1] for all
1j k.
Proof. Let1jk. AssumethatT
k +1
(t;)hasdzeroes(dbeingthemaximum)
on E j . Choose a sequence f n g n2N
converging to 0 such that T
k +1 (t;
n ) has d
zeroes. Ofthosedzeroes,assumem
0 goto0andm 1 goto1(the m i canofcourse be0). Let 1 t 1
bethe lowerbound of the set of roots that goto 1and t
2 the
upperboundoftheset ofrootsthatgo to0. Note
2 =min ft 1 ;t 2 g,theminimum
ofthetwo. Wehavetwocases: whenb()
1() 1()
(i)Suppose b() 1 () 1 ()
isboundedby somepositiveconstantM>0. Taking
aconvergingsubsequence,wehavethat
lim n!1 b( n ) 1(n) 1(n) =v 0 2[0;M]:
Wethenhavethat T
k +1
(t;0)isofthefollowingform:
(53) T k +1 (t;0)= k 1 X i=0 i+1 A i+1 t m0 (1 t) m1 t i m0 (1 t) k m1 +( 1) k +1 v 0 t k m0 (1 t) i m1 ;
ThenumberofrootsofT
k +1
(t;0)witht2[
2 ;1
2
]isthusboundedbythenumber
ofrootsofthepolynomialP
k +1 (t),where (54) P k +1 (t)= k (m0+1) X i=0 i+m0+1 (0)A i+m0+1 (0)t i (1 t) k m1 + k (m 1 +1) X i=0 ( 1) k i+m 1 +1 (0)A i+m 1 +1 (0)v 0 t k m 0 (1 t) i :
Theresultfollowsfromthefactthat P(t;0) isa(non-trivial) polynomialof
de-gree2k (m
0 +m
1
+1)andthatin theworstcasescenario,m
0
(0)=0=m
1 (0).
(ii) From equation (50), in thecase where b() 1 () 1 () is not bounded, t is a zeroofP(t; n )on[ 2 ;1 2 ]onlyifitisazeroof ~ P(t; n )= k 1 X i=0 i+1 ( n )B i+1 ( n )(1 t) i ; (55) and ~
P(t;0)isofthefollowingform:
~ P(t;0)= k 1 m 0 X i=m1 i+1 ( n )B i+1 ( n )(1 t) i ; (56) i.e. ~ P(t;0) isof degreeatmostk (m 0 +m 1 +1).
Usingproposition 17,partoneoftheorem 7isacorollaryofproposition23.
COROLLARY 24.
1. If
0
isofcodimension3k,i.e
0
islogarithmic oforder2k,thenCycl(
0 ) 3k. 2. If 0 is of codimension 3k+1, i.e 0
is logarithmic of order 2k+1, then
Cycl(
0
)3k+2.
Asweannounced,weexpect thebound to beoptimalforloopsofcodimension
3k, but forloops of codimension3k+1, thebound is not optimal. For thecase
of codimension1 (k= 0), it is shown in [Kuz95] (c.f. theorem 6.4, p. 197) that
thehomoclinicloophascyclicity1andnot2. Thereasonofnon-optimalitycomes
from our method itself in which we take one to many derivative: in the case of
codimension1,westudythesecondderivativeof (y;),whereastheresultcanbe
obtaineddirectlybylooking atthe rst derivativewhich isof theformt 1 1 1+ O() when (0)>0or(1 t)t 1+ 1 1+O() otherwise.
2.3.2. ProofofTheorem7: case
0
isanalytic. Thisisthecasewhere
i (0)= 0= i (0)forik 1, k (0)=0and k (0)6=0(withk odd).
Asforthe previouscase,wehomogenizetheprincipalpartof b()(1 t);
with respect to b()variables andcompactify the spaceof coe cients
i () with ikand k (): i ()=t i ()b k i ()for1ik andt k +1 ()= k (): (57) Thet i
()arenotbounded,butsince
k
(0)6=0,wecompactifythecoe cientspace
as describedin theprevioussection. Moreoverwe usethesamecones(takingthe
supover1ik+1).
Our rst stepis to computethek th
derivativeof (y;) using equations(25),
(32),(33)and(34). Ifk2,weobtainthefollowingequation:
(58) @ k (y;) @y k = k 1 X i=1 ( 1) k +1 i ()x i k 1 () A i ()+ ~ fi(x;) i ()y i k 1() B i ()+ ~ f i (y;) +( 1) k +1 k ()!(x;) A k () + ~ f k (x;) k ()!(y;) B k ()+ ~ f k (y;) + k () k!+ ~ F k +1 (x;)+ ~ F k +1 (y;) ; wherefunctions ~ f i (x;)areI K k 0 (x;) andfunctions ~ f i (y;)areI K k 0 (y;) , ~ F(x;)and ~ F k +1
(y;) arek atatx=0andy=0respectively,andby
hypoth-esis
k
(0)6=0. (Notethattherestfunctionshavebeenincludedinthe
k -term.) Let,fork>1, (59) T k (t;)= k 1 X i=1 i ()t i k 1 b 1 A i +f i (t;) ( 1) k i ()b 1 (1 t) i k 1 B i +f i (t;) + k ()!(x;) A k +f k (t;) ( 1) k k !(y;) B k +f i (t;) + k +1 k!+F k +1 (t;)+F k +1 (y;) ;
wherethefunctionsf
i
(t;) areI K k
0
(t)andthefunctions f
i
(t;)areI K k
0
(1 t).
Looking atequation(59), weseewhythiscaseis morecomplicated than
equa-tion(37): wehavetodealwithtermsin!(x;) and!(y;). Fortunately,weonly
needtolookatt2[0;1 ]forsomesmall. Forvaluesoftin [;1 ],wedivide
the proof in two cases: whether all
i
()=0 for i k or not. Fort in [0;], we
usethesamedierentiation-divisionalgorithmasforequation(37)since!(y;)is
analyticint inthisinterval.
First, we prove that if t 2 [;1 ], then the number of zeroes of T
k (t;) is
bounded. Tosimplify ourstudy, wewill divide the setE
k +1
in thetwofollowing
subsets: E 1 k +1 = 2E k +1 j i ()=0; ik and E 2 k +1 =E k +1 nE 1 k +1 : (Note: E 1 k +1 = 2E k +1 j k +1 ()=1
andthat for2E 2 k +1 ,thereexistsik forwhich i ()6=0.)
Then,wehavethefollowingproposition:
PROPOSITION25. Let
2
2(0;1=2). Thereexistsaneighborhood
2 of =0such that: 1. Forall2E 1 \ ,the function T k (t;) hasno zeroes on[ 2 ;1 2 ].
2. Forall2E 2 k +1 \ 2 ,the functionT k
(t;)has atmost2k zeroeson[
2 ;1 2 ]. Proof. Let 2 2(0;1=2)andt2[ 2 ;1 2
],thenall!(x;),!(y;)andf
i
(t;)are
analytic.
First,weeasilyseethattherearenozeroesonE 1 k +1 . ThestudyonE 2 k +1 andonE j
withj<k+1ismorecomplicated. Firstwedivide
T k (t;) by theunit k!+F k +1 (t;)+F k +1 (t;)
(but usethe samenotationfor
T
k
(t;))anddierentiateonceagain thiskillsthetermwithcoe cient
k +1 ()
.
Knowingthat@=@t=b()@=@x,ifk2,wegetthefollowing:
(60) @T k (t;) @t = k X i=1 i ()b 1() t i (k +1) 1() A i ()+g i (t;) + +( 1) k i ()b 1() (1 t) i (k +1) 1() B i ()+g i (t;) ; withA i =A i ,B i =B i
wherearenon-vanishingfunctions of,andforeach
thereexists anikwith
i
()6=0. Tosimplify, weagainsubdividethesetE 2
k +1
inthefollowingsubsets:
E 2 k +1;j = ( 2E 2 k +1 j () = sup i=1;2;:::;k i () >0 ) :
Sinceequation(60)issimilar toequation(37),wecanusethemethodexposed
in the proof of proposition 22to bound the zeroesof @
t T k (t;) on [ 2 ;1 2 ] for 2 2 = 0 .
PROPOSITION26. There exists 0 <
1 < 1 and a neighborhood 0 1 of
=0such that for all 2 0 1 \E j ,the function T k
(t;) has atmost k roots on
(0;
1 ).
Proof. Firstofall,fromlemma19wecansupposethatbothb 1 () ()andb 1 () ()
arebounded. Inthis case,havingT
k (t;)=0isequivalentto T k (t;)=0,where ifk2: (61) T k (t;)= k 1 X i=1 t i k 1() i () A i ()+h i (t;) + +b 1 () k ()!(x;) A k ()+f k (t;) + ( 1) k k ()!(y;) B k ()+f k (t;) + k +1 () k!+F k +1 (t;)+F k +1 (t;) : Let 2 E j
, we canthen include function F
k +1
(t;) in the termwith the factor
j ().
Togetridofthetermsin thesummation,weuseadierentiation-division
algo-rithm: wedierentiateT
k
(t;)(k 1)-times andbeforethei th
dierentiation,we
dividebytheunit(1+h
i
). Takingasmallerneighborhoodof=0,wehavethat
thefollowingfunction: (62) k ()!(x;) A k ()+f k (t;) + +( 1) k k ()!(y;) B k ()+f k (t;) + k +1 () k!+F k +1 (t;) =0
(wehavemultipliedbyb 1() t 1() ). Asthefunctionf k (t;),thefunctionf k (t;)nowisI 1 0 (tb) ,!(y;)=! b(1 t);
isanalyticforsmallvaluesoft,andF
k +1
(t;)is1- atatt=0. Toeliminate
the problem with the f
k
, wenow divide the equation (62) bythe unit B
k ()+ f k (t;)
. Wegetthefollowingequation:
(63) k ()!(x;) A k ()+ f k (t;) +( 1) k k ()!(y;)+ k +1 () C k +1 ()+ F k +1 (t;) =0: Dividing by !(x;) A k ()+ f k (t;) +( 1) k k ()!(y;) (which is non-zero
sincey=(1 t)b()withsmallt)anddierentiatingonelasttimewithrespectto
tweobtainanequationequivalenttothesimpli edequation
(64) C k +1 + F k +1 (t;) A k + f k (t;)+O(x 1+ 1() ) +O x 1+ 1() !(x;) +O F 0 k +1 (t;) :
(Thisresultisalsotruefork=1.) Wenowhavethefollowinglimits:
lim t!0 f k (t;)=0=lim t!0 F k +1 (t;)=lim t!0 F 0 k +1 (t;)=lim t!0 x: (65) Thuschoosing 1
su cientlysmall,equation(64)isequivalenttoC
k +1 ()A
k ()6=
0: We hence have that the number of zeroes of T
k
(t;) in (0;
1
) is bounded by
k.
From propositions 25 and 26, we havethat T
k
(t;) has,for somesmall
neigh-borhood
0
of=0,3k+2rootson[0;1 ],forsomesmall. Consequently
fromproposition17,if
0
isanalyticoforderk,thenCycl(
0
)3(k+1).
PROPOSITION27. There exists a neighborhood of = 0 such that for all
2E
j
\, the equation T
k
(t;) = 0 has at most 2k roots on [0;1], this for all
1j k.
Proof. Theproof of this proposition isessentially thesameasfor proposition 23.
Howeverthere are some dierences: in equation (59), wehave to deal with both
b 1() andb 1() . Asbefore wenote 2 =min ft 1 ;t 2 gandlet n
be aconvergingsequencesuch
Multiplyingequation(59)byt k
(1 t) k
,wegetthefollowingequation:
(66) S k (t;)= k 1 X i=1 i () t i 1() (1 t) k b 1() A i ()+f i (t;) + +( 1) k +1 b 1 () t k (1 t) i 1 () B i ()+f i (t;) k ()t k (1 t) k h !(x;) A k ()+f k (t;) + +( 1) k +1 k ()!(y;) B k ()+f i (t;) + k +1 () k!+f k +1 (t;) i : (i)Assumeb 1() orb 1()
diverges,thenusingthetechnicsusedtoprove
propo-sition23,weshowthatS
k (t;)hasatmostk (m 0 +m 1 +1)zeroeson[ 2 ;1 2 ]. (ii)Assumeb 1 () andb 1 ()
bothconverge. Wethenhavetwocases.
1. Assume lim n!1 k +1 n = 1: Since k
(0) = 0, at the limit we get that
S
k
(t;0) isequivalentto apolynomialin tofdegree2kand thus hasatmost
2krootsontheinterval.
2. When lim n!1 n 2E 2 k +1
,wecanthenusethesametechnicsasforequation(60).
Weobtainapolynomialofdegreeat most2k 1whosenumberofzeroesis
equal to the number of zeroes of T
k
(t;) on [
2 ;1
2
], minus one. Again
usingthetechnicsusedtoproveproposition23,wecanshowthatS
k (t;)has atmost2k (m 0 +m 1 )zeroeson[ 2 ;1 2 ].
Wegetthesecondpartoftheorem7.
COROLLARY 28. If
0
ofcodimension3k+2,i.e. analyticoforder2k+1,then
Cycl(
0
)3k+2.
NotethatJebraneandMourtada([JM94])forgot,inwritingtheexplicitbound,
that they where working with the k th
derivativeand thus their bound is in fact
2(2k+1) insteadof 3k+2. Thislater bound canbeimprovedusing aproof like
in proposition 27 and would give that Cycl(
0
) = 3k, i.e. the sameas in their
logarithmiccase.
Cz¦±¢ 3. Applications: bifurcationof almostplanartwisted homoclinic
loop of smallcodimendionin R n
In[San93],andalsoin[San96],Sanstedestudieshomoclinicloopsofvector elds
in R n
. He shows that if the vector eld is su ciently smooth and satis es
cer-tainglobalconditions,thenthereexists aC
k ;minifig k
two-dimensionalinvariant
manifold homeomorphicto aMöbius band,where =(
1 ; 2 ;:::; n 2 )are the
nonprincipaleigenvaluesandk<min
i f
i
g,i.e. theMöbiusbandisofclassatleast
C [min i f i g] .
Fromtheremarkafterproposition16,wegetthefollowing:
PROPOSITION29. Let X
(x) be a strongly 1-resonant vector eld in R n
. Let
0
beahomoclinic loop ofX
0
(x) passingthroughahyperbolicsaddleatthe origin,
genericgeometric assumptionsholds:
0
isneitheroforbit ip nor inclination ip
type[Nau96].
If
0
is ofcodimension 3k and
i
8k+2for all i,thenCycl(
0
)3k. If
0
isof codimension N (whereN =3k+1or3k+2) and
i
8k+6foralli,then
Cycl(
0
)3k+2.
Letusconsiderthecaseofcodimension2. Inlemma6.2of[CDF90],theauthors
showthe existenceofauniqueC M
-curveofperioddoublingof the1-periodic(cf.
gure5),thusthefollowingresultisatrivialcorollaryofproposition29andtheorem
Bin[CDF90]:
COROLLARY 30. Underthehypothesisofproposition29,if
0
isofcodimension
2(i.e. of analytic order 1, cf. de nition 11),then Cycl(
0
)=2, i.e. we haveat
mostoneorbit ofperiod1andoneorbit ofperiod2andthusthere arenomultiple
orbits ofperiod2. Thebifurcation diagramisgiven in gure 5.
~ ()
0 ()
one1-periodiccurve
one1-periodiccurve one1-periodiccurve
(perioddoubling)
one1-homoclinicloop
noN-curves
one1-periodiccurve
and
one2-periodiccurve one1-periodiccurve
andone
2-homoclinicloop
Rysunek 5. Codimension2 bifurcationdiagram. When
1 (0) < 2, then ()~ = 1 (), and when 2< 1 (0)< 1then ()~ = 1 ().
3.1. Directions forfurther research
A numberof interestingquestions remain to bestudied. Let us mention some
directionsforfurtherresearch.
1. For the non-twistedcase it waspossible to bound the cyclicity in the high
codimensioncasesevenin caseswith smallvaluesof (cf. [RR96]). Indeed
thedynamicscouldbeprojectedontheplane,allowingtoby-passthelackof
smoothness of theinvariantring. Asimilar, although moreinvolved,
proce-durecan beusedin thetwistedcase. Themaindierenceisthatwehaveto
work withgeneralizedmonomialsin twovariables: xand y. This resultwill
appearin [GR98].
2. Whatare exactlytheindependant coe cientsin thedevelopment(25), and
whatistheexactcyclicity?
As a nal remark,letus note that theorem 7canbeextended to thestudy of
homoclinicloopbifurcationsdierentiablesurfaces. Infact,onnon-orientable
