Modeling and estimation of the cardiac electromechanical activity

Texte intégral

(1)Modeling and estimation of the cardiac electromechanical activity Jacques Sainte-Marie, Dominique Chapelle, R. Cimrman, Michel Sorine. To cite this version: Jacques Sainte-Marie, Dominique Chapelle, R. Cimrman, Michel Sorine. Modeling and estimation of the cardiac electromechanical activity. [Research Report] 2006. �inria-00001248v2�. HAL Id: inria-00001248 https://hal.inria.fr/inria-00001248v2 Submitted on 19 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) .

(3) "!# $ %!&$# ' $( ) +* ,.1/ 0$243%576 8:9<;>=?3)@>5A9 † B%C$D 0"EGFH3)I"9KJ7JL9 † C"M 0EN57OP@QOR3%6 ‡ 3%6HST=U0$2WV @Q5A619 † ; V]\_^`4961\V `1@a8 C$b 0dce0gfKhWi Cjlk f&i%monp9qEGF49r:6H3Kst\9KS19<u Cv @:3)61\9 † XZY M X[ M E(wyxz={w vy| n Y~} w C EGFH3l8QV ` C$v @:3)61\9 B 615L'9K@Qr:5L8ZsV)9Kr>8 b V'F19KOP573 C c JL_9 ˇ6 C E_9K\.F M 9KIH`1HJA57\ ‡ l"1Z<._] C 5A6IH@>9Kr:r ∗. ¡ Z¢>£¤: ©¶+¬»µK³Q¯>°G°¥z¬»²©Z¦gª ¯>³.§º_©¡¦¡&¦¡¨ ¦«§<©«µKÁª+¯Z¬®ª #¾¦p¦e¬»³Q¬®°N¯>ª°±³>³Q¿&ª ¯>§¶+²¦«µ_²ª"¦1ª ¶ ³´µ_³¯Q¦Z© ¯>²#µª+¦«¶Zª,¶+À¿dµK³Q¯>¯>ª+°_¶H¸Ä§·H¶ ¯>¦g³p°N²Á_¬»ª ¨ §³Q¦H¦«²&°¶+³:µ_¶+¨¬Æ¦HÅK¦g¸¹©Z¶ ¯>³³.¶+§¬»¸¹³Q¦«°º.³.¬®§³>°¹¦«¿'ºl¯Â¶+¶+µ_§_µ_¦p¯>¦¶²K¯¦«¯>º»ª¯Q¦¡¯>©«¨ ¸¹¶+¨+ª ¬®¸ ³Q¦«¶ ¸¹¬®¦«ºÃ¯aª ¦½¨¼¼ ¯>¯Q°_©«¶+§¹¬®¾:¨ ¯>¶¶ ¯>¦¡¶ §¹¦:Ç©¡³QÈ°µ_¶+¦"ª¯Q¸¹©«¶+³¬»§³Q°¦«º®¬®ºÃ°¯¡·ÌÉ³>¿Í¿#³Qª+¶+¸µ_¦ÁºÃµ_¯>¦Z¶ ¯>¦¡ª+§ ¶]¾.¶+¬»¬Ã¨ ¯Â¨+¸Á_¦"Á¬»º®¨]¶+¬»K¨ ©Z¯Q¯>¨ º»¦¡¦$§¹©¡³Q³Q°Ê°_¨+¯>¬»§°¦«¦«ªº»¯>¦¡¶+©«¬»¶+³Qª+°_¬»©Z¨1¯>¯>º®º®°_Ë§ ¼ ¬»¨Á©¡¬®ª ³Q¦«°_¸¹¨ ¬»¦«¨+°¶ ¦«¶ ¨Z°ÇÐ¶Â·"È¬®µ_¶+µ±¦±¾QÉ:¯>º»³Qª+¬»K³Q¯>Á_ºp¨µ_²¦Zµ¯>Ë<ª+¨+¶Ê¬»³Q¨+º»Ë<³Q¨+É:¶ ¬»¦«©Z¸Ñ¯>º ¯>¯>°_º»¨ §G³~¶+¬®µ_°_¦«©¡ª+³Q¸¹ª+²#³Q³Q¸¹ª¯>¦¡©¶ ¦¡µK¨N¯>°¯¬»©Z¨+¯>¬®ºW¸ Î´²¦«º®ËÊ¬ÆÅKª ¦¡¦½§ ¼ º®Ï¨+Á¬®¸¸ Á²#ºÃ¦¡¯>§¹¶+¬»³Q¸¹°_³.¨¹§¯>¦«°_º®¬®§°É³Q³>°Ò¿l¾Q¶+µ_¯>º®¦"¬»§_¯>º»³.¶+¬»³³Q§¹°_¨y©¡³Q³>¸ ¿$²K³Q¯>Áª+ª¶+¸¹¸¹¦«³°§¶ ¦«¨ZºHÇ¬®¥z°¦"ª ¦½ª ¿Í¦«¦«²#ª ¦«³Q°_ª+¶4©¡¦G³Q°¹¯>°_°§zÁ¸¹²K¦«¯>ª+¶+¬»µ_©Z³>¯>¼º º»¬®°³QÉ:¶ ¦«¬»©Z°_¯>§º¦¡§Ê©¡³Q¶ °_³§<É:¬®¶+¬®¬»¾´³Q¦p°_¯Q¨ZÇ©¡©¡¦¡Ó¨Á¨]ª+¶ ¶+³ µ_¦«ª+ÁK¸¹¯>°³Qª ¶+¦:¬®¶+ÀÂ¬»¦¡¶+¨µ_³>¦¿%§_¬®°¯>¶ ¶¦«¯Òª ¦¡¯Q¨+¨ ¶4¨+¿Í¬®³Q¸ ª1¬®ºÃ§<¯>¬Ã¶+¯>¬»É:³Q°_°Ô³:¨ ²¬»ª ¨4³²©¡Á¦¡§<ª+²#Á³:ª ¦Õ¨ ¦¡¨Z¬»¨ À ¯>°_§G·H¦²ª ¦¡¨ ¦«°¶$¨ ³Q¸¹¦²ª ³Q¸ Ï ¬»¨+¬®°Éª ¦¡¨+Áº®¶ ¨¬®°G¶+µ¬»¨§<¬®ª ¦¡©«¶+¬»³Q°%Ç ÖØè.áðî#×åaÙWîzÚNî#Û%ádÜè.Ý4ñ.é#Þ.ßtâ<ê½áãàpê áãâ<äåaæ¡çlè.é#áãæ>êaë ç#åQè.ìízäâKî#åaïðáðé&ñ#ëîlèí¡èPè.ê½êáðä(áðïðèí«áãâ<éWëæ>â<ä(ò#ó&í½å>ìô õ ö)÷±øù1ú(ûüzýÂø]þÿúÊ÷ çé#á#

(4) _åó#åa_êé#âeïðåaî#ñ<%åó#âïãí½Wì«í«è.ç&êâ<åó#ç#é#å>îè.ìâ<íì'åaçlè g Káðáðâ<äìÂè.è.ñ<é#åaî(ê í«ç# "å!(ò'ç#âèÂ .å>åìpñ<â ìWåQîlèèí½ï$í«#~èáãè.äæ

(5) _ò&ó#ì½âáðê <áãåaí«áãîØâ<é±î#ó&í«å>ì½áðæ¡é&çKñ ô ∗. %'& ()(+*-,).&0/2134/6587:9;+<6&0(>=. ✉. ? &0@A34/63CB 92*0DE%'<27:.*GF4FH*"IJ3H/2()3C76D KL( M.

(6) . í«èç##åyïðåïðè.Lâ<êíÂìî#æ>åaïãáðæQé#è.áãî#æQåaè.êï1 ò#+ó#éìô+ò' â<á <êâÊå>ê ä #å>è.ó&ê½íÊó#ê½ìâ<å>ä(ä(å±å>éæ>í«ìêpó#âæ>Wáðè.í«ï ç&å#áðæQâ<èïãâ<ì½î#ñ<áãáðæQè.è.æyï è.

(7) _æÿólí«á è. éáÃíí«#(áÃí«áðè.åaì½êåè <ì½åaå(ì-# çlè. .ì½èî&ïðóï$# ô âòlè..ì«ìèäé#â.åÿíí«å>èìíêyè.í«ïãçlï èí è.äÕæ>æa è å>#Òêê½ì½á å &#ïðåå>æa%íèAê òlèLâ<í«ìç#â<å ïãâ<è.ñ<ä(áãå>ò#ê ïðå +êé í«ìâ<å>ìê½î#êå>å> êìy'í½ò#â~ìå>ì½êåQê½èó#æ¡ìçqå>êí½ç#â<å>ìêæ>å â<

(8) Ké&ó#êí«è.áÃéí«í«ó&áãí½í½$á áð .åaåê ò#äç âK#î#êå>áðæ>ïãáðè.é#ï ñ ò# áðç&êgå>+ìéoé#åâ<

(9) _òlä(ó#èáðå>ììé#í«å>áãî èæ>ó#áðéïðyè. <ì¹é~â.$ï í«í« <ç#ç#åaå å î âáðé±è.í«ç#ìí«áðåaâ<ç&ìgó&åçlêç#è.îlå>é#è.èî~ìí«8í è í½ç#'Aå åaæaçlâ<æ> èé#â< êä(í«áãâ<áãò#í½ìÂïãó&å è.í«ì½á <áãåí å #ÕèÊò#è.äè.é#ì«èîzè.ä(â<î#ì$á åa <æ¡í½å>çlå>ììè.ê½ê áÃïðíïãå># )é#ââ<ñ.]ó#å é#í«Lç&â<îåìô èä.ì-âK#î#æ>å>â.ïãêé#î#æQáãè.í½é&áðâ<é#é&â.êí ))è.åé#î î&åaêí«âÕåaì½â<ä(é áð!eé#é#åaîåaæ>åaê½ê«èì-#Òí½âÕò)å>ìGLâ<ì½äè.æaæ>ó#ì½èí«åÊê½áðäó#ïdèí½áðâ<é&êâí«ç&å í«çéKç#ó&#å äå åaAÂî&ì½áðâ<áðæ>ê>ì è.í½ì½ï $á ò##êáðì½ó&äNåaí«ê½åaó&åaî ïdé_è!Õí½í½å>áðå>â<î ïãé#å>áðæÿê$éí«âì½í«â.]ç#äí«áãç&êyåaåyæ¡è.çläìè.í«âKáãé#æ>î#áãïðæQå¹åaè.ï+çlïKèç#)êå>å>é#íç#æaÂè å â~ Kí«áãâ<ââGìz â â&å>Êæÿí«í«è.í½á áð <ç#é å>å êèN ç#ò#åQçç è##ìêåíáðæ>#è.è.ì½é#ïðêïîí#_ô áðí«lêeâPè.í«êâò)å>îå>ä(Gì L æâKâ<>î#ì½è.ä ìå>ô ï î#áðé#ádñ~è.æÊæaê½ïðáðáãé&äNáðæQó#èïdèï4í«î#â<èì í¡"è 'í«Íç#í«åGåaì êáðè.äNî#ó# å

(10) _ïðèólí«èâ.í«ìåGæ>æ>è.è.é ïð$á #'ì«åNèó&í«áðê½â.å>éÒîqè.áðéÒé&î òl è.è.ìí½ïðáãáðîlæaó#èïdí«è.áãâ<ìéí«â~â "ìå>í«ò#ç#ìåå>ê½äåaéâKíÊî#å>êï4â<ó#ä(ê å ô òlïðâKèæQí«è.ç&ï4â<äNïðâ<ó#ñ.êáðå>æ>êó#ïðè.ìyåå ñ qæaáãí¡è. è éo#áðáðïãé áãíA#è.ì½è.æÿí«é#å>î îPæaèâ<ì½éåQí«èÌì«èèæaêNí«áãïðì½áÃå í l# å>æÿí«å>èîRé#î áðéLó#è ìí½î#ç#ì«å>è.ìäí«âzèí½è.áðæÕêê½î&å>êå>êæ>ìí½åQç#è.åNêåzáãä±âô òláðä(è.æaò#í(ïðåaâ äåaèÌé_í«ñ<è$á í« .áãâ<å>éoé í«ìçåQ#èí½åaäì½å åaLâ.éì½í å(Lè.ê½ó#é æ¡áðçÐä(è.ò'ê±â.ìê½í¡ó&èì½é_ñ<íyåa-ì ò'#oåaì½â<ê½ì ò)å> .æÿå>í«éá <í«ìå±áðæ>âó&$ïdè.í«ìGç#áãòlê èè.æ>ò#áðé&ò#ñìâ!Êè.ò#æ¡ìçqáðâ<áðìNêyí½í½ââ ò#ì½â Káðî#åè.éØè.êê½áðêí¡è.é&æ>å í«âKâ<ï í½â(ä(å>î&áðæQèï î#åaæ>áðêáðâ<éKô+äè _áðé#ñ ç+á å #_å~í«âNê½åaó#æ>êâ<åyé#îoí«ç#âå äå>âKæÿî#í«åa$á .ï'å~áãé~áðêèí«îlâ è+æí«>èNâ<è.ó#êò&ê½ïðáðå ä(±áðïðí½èç#í«å áãâ<ä(éGâò#î&ìâå>ïæaå>eî#áãó#í«ìç åyáðéÕâ<ì½î#åaìÂä(í½âNåQèò'ê½ó#åa-ì ìLå>â<ä(ìä å>éí«è. ê é áðâ î#eåaáðé_éí½í«á åalì½æ>åaèêí«í áãâ<Lé~â.ìÊâî#]áðí«è.ç&ñ<åé#ò#â.ê½è.áðì«êè.ä(ò#ó#åaìí½ò'å>â.ìêeê½å>è. ê é#îzçê_í«èó#í«êå lí½ç#ç#åÕå>é#æ¡æaç#å è.í«ïðïãâ±å>é#ñ<ñ<á$ .å å¹Âè.å æ>æaò#å>ó#êêìê½í½ó#âå

(11) Keó#áÃè.í«éçÔí«áãí½í½ç#áðåaáðêê âå>é Kå>áðì½æÿâ.í«é#á <äåÒåaáãéêGí í«â #ó#áðïãîRè +æ>â<ä(ò#ó&í½å>ìô+è.áðî&å>îPî#ádèñ<é#â<êáðê Õí«âKâ<ïó#ê å Ló#ïeáðéÐè æ>ïðáãé#áðæ>è.ï ç

(12) Kó&#áãå±í«åqêí¡è.èî í« .åGèâ é#æ>åaí«îç&å±è.è.é#ìî í¹ì å>è.ñêè.í ìyî#êáðå>é&å ñÕLí«â<ç#ì~åGå ç&åQè.è.ä(ìí ò##ïðå áðâ<ä(å>æ¡ ç#M è.é# áðæ>è.ï4äè.âKé#î#îå>ïãí«áðç#é#å ñì½áðê¹å0Lè.å>ïãìì½å>å>é#è.æaî å># ê í«áðéç#í«åaåaì½é#å>îÐáãé í½âq+éPä(å>í«åÿç#íåØè.è.ïðò#ïpò&í½ì½ç#âåzè.æ¡æ¡çÐçlè.ò#ïãïðì½å>â.é&ò'ñ<â<å>êê(å>îÐè.é#áðîRéPå>í«é&ç#æ>áãê(â<ä(ò#è.òlò'è.åaêê(ì í½Âç#å åzäÕâ è.é #Pæ>â<èó&ê½ì½ò)ê½åå>æaí½êî& â â é#í«ç&âåí lLâ<å>ïðïãïãî 6â e áãé#ñå0 <í åaÂìí«âç&áãå>î#ïðåaåQê½èê ê 4í½ç#åLâæaó#ê¹è.é#î â<ìáðñ<áãélè.ïðáÃí #zâ$â<ó#ì Ââ<ì>ÒäÕè.áãé#ï$#ïãáðå>êáðé í«ç&å ïdæQè.è.ìå~ï_ñ<äNågò#ó&ì½êâ<í«ïãí«ì«ò)áãèê½â<áðæ>êé#è.åzê"ïðåä(è.æaéPââ<î&é#è.å>êæaï#áðí½î#$á â .åa)åì«æ>èè.í½å>ì½áðâ<ïãî#å>é#áðæaè.ê4í½ægì½è.áãí«é&æQáãè.îÊê½ïãê$ïæaó##â<åô é#è.ì½ê½æÿáãáãí«ñ<êá â<í½ .å>ì½èéâ.í«íJó#å>ê½îeï 1#áÃí«ïðçî#è.åaì½.ñ<ì½å0á åÕ <#å>î#í½î ç#áðêLå>ò#ì½ìïdâ.äè.ä æaâ.å>äò#ä(ç åaå>#Kæ¡éçlê½í«áãè.êNâ<é#ïðè.â<áãæQé#ñ.è.áÃî ôï ì½ å

(13) Kó&áðì½åaäåaéí«ê>ë í«çæQâÕè.#ïãáí½å #ç#ì½åLèâ<í«é#ì½áãäèâ<í«éó#ó#ïdìèeåGí½áðáãè.â<í½çØé#é î èè.è.é# Käî?áðå0â.{æ>ó#â<éí½ä(íâ(ò#â î#ïð$èå í¡ è è(áã í è.#tè.áãê½ïdè êâ áð#ä(ïãå í«áðç&ïðäèå í«å>áãò#â<è.ìéê½â<ó& ò)ì½å>â<ä(ê½åaå>î éí½ä(êyâé#î&å>å>æaï å>êáðê«êzè.Gì è#î Ló#â<ìêí½áãå>í«î ê . . . .

(14) . . . . . . !. #" %$. . . . . . &. ". (')'*. +. . ,. -". /.1020. . 43 %0 35. . . . 76. 8. • 9. •. :. . 0.

(15) çLâ<#ì½äNåÊó&â.ó&ïdèí«í½ïãáðáðâ<é#éoåyâ â1í½í«ç#ç#å¹åòlæ>è.â.ò)äå>ìeò#ïãáðåaêeí½åè.êA Lâ.ïðïð!Nâeå ê æaáãçí¡è#í«å áðâ.Léâ<ô+ìæaí½â<ç#éæ>í«â<ì«ä(èæaáðé&í«áãñGâ<éPê½å>äæÿí«âKáãâ<î#ézåaï+ò# ì½åaçê½å>#éåØí½êé&í«å ç&åí êí«½å>ç#æÿåaí«éÒáãâ<ò#éìå>áðê½êÊåaéî#í«å ê .â.î&í«åaåaí¡îèáðí«ïðåaâÒîØí½êç#áðåÕäNî&ó&å>ïdèê½æaí½áðì½â<áãò&é í«ìáãâ<å>éêó#âïãí½êî&â áðê½æaç#ì½å>åÿè.í«ïãá í½>ç è#í«áãâ<èéÔé#îØêí«ò#ì½èèí«í«åaç#ñ<â.áðïðåaâ<êñ< áãæQKè.å>ï'æa'í½åaáðâ<çlé è ô áðê½â<â<ìä(ê å+ò#é ìå>ïãåaáðä(æaí«áðáãélâ<éè.Gì #Âìå>åê½ó&î&ïãå>í«êê½æaâ ì½á$&'í«å¹è.áðâ<é#ó#åaìî îleèáÃí«í«è±ç è.áÃê½ í ê áðä(Háðáðé#ïdèè.í«ïðáðï â.# é Âè.åNò#ò&ñ<$áì½ .âåè.æ¡êçÒâ<äè.é#åîæ>â.ì½é#åaò'æ>ïãâ<ó#ìî#íáðâ<é&éñ ì½å>äè.-ì Kêeáãé Kå>æaí½áðâ<é ù4ø ú(û +éâ<ìî#å>ìGí«âqæ>â.é#êí½ì½ó#æÿí è äâKî#åaïgî#å>êæ>ìá #áãé#ñqí½ç#åzí«ç#ìå>åÿô,î#áðä(å>é&ê½áðâ.élè.ï !Gå>ïãå>æÿô í«

(16) Kì½ó&â.áðäì½åaåaî æ¡çlè.é#áãæQè.ï )å>çlè Káðâ<ìâ1í«ç#åÊç#åQè.ìí lí«ç&å Lâ<ïãïðâeáðé#ñGäè â<ìeáãé#ñ<ì½åaî#áðåaéí«êè.ì½åì½åZô áðèzé~æ>í«â<ç&é#å êí«)áÃí«å>ó&ç#í½è $á K <áãå(â<ìïd è â 4í«è.ç#æ>å¹æaâ<äNó#ó#éêí«æ>áãé#ïãå ñ L#â<ìì½åa'ê>ëâ.í½çqí½ç#åè.æaí½$á <å(è.é&îÔòlè.êê½á <åè.ê½ò)å>æÿí«ê èí«á <ìå±å>ò#ïdì è å> ê½åaéí¡í½èçlí½áðèâ<íé æQ â è.Wé í«ç#)åå(å>â ïã&å>æaí¡í½è.ì½áãáãé#æQå>è.î ï%è.Lì½æÿâ.í«áä .èä(í«áðâ.âé î#åaïðáãí«é#ç#ñ~åè.áðé#ò#ò#ò&óì½âípè.áãæ¡éç&í«å>ç&êå â æ>â. é#è.êìí½áðáãâ<í«ó#óKêô í #Kò'åaêè.é&îØæaâ<äò&ïðå áÃí«áðåaê>ë ò'èØâ.ñ.ì«å>èâ<í½ä(áðé#åañNí½ì½í½áðç#æ>å è.ï #Aâ.ì½ìå¹ èî#.áãélì½åaèæaí½í«â<áãäâ<é#áãêaæQëè.ï G!eî#å>êæ>ì½áãò&í«áãâ<éÔ â gí«ç#åä #<âKæQèì½î#áãó#äÑáðé&æ>â<ì ô èè.é#ä(îâè.î&ïãå>ê½âGïKâ èN#í«ä(ç&âAå î&#å>ïðï âKî&âKå>îê½æ>æaáãì½ì½á$æa#ó#áðé#ïdèñÊí½áðí«â<ç#éå áðâ<é&ò)ê½áðå>î&é&åpáðé#è.ñGé&îNèé#â<îzó&í½æ>ê½ïðáðâ.î&ê½ågó#âìåy#í½âç#]ågí«ç#ç#åå>è. ìè.íHï æQ < è åa Kêpáãí«í«çláãå>è ê í ê½åaòlè.ì«èí«åí«ç#åeæ>è KáÃí«áðåaê Lì½â<ä åQè.æ¡ç(â.í½ç#å>ì$è.é#î Lìâ<ä í½ç#åeå í«åaì½élè.ïlæaáðìæ>ó#ïðèí«áãâ<é å¹é#â î&áðê½æaó#ê½êåQèæ¡çÒâ 4í«ç#åaê½å¹áãí½å>ä(êáðézî#åÿí¡è.áãïðê , " ' ÂK!# ) ¡"!P&T- !& Øâ<êí4å áãêí½áðé#ñä(âî&å>ïðê'â Kä #<â #ì½åå æaáãí«èí«áãâ<éô+æaâ<éí«ì½è.æaí½áðâ<éäÕè.áãé#$ï #ìå>$ï #â<é¹ç#åaó#ì½áãêô í«ïðå áðæg .å>è.ï ò#ò#ìM âKè.æ¡â<ç#ì$åaáðêéè.â<é#ì½î±î#åaå ì$í½ò)âå>ì½áãáãî#äå>éåaí«éá í¡ è.#GïKí«í«ç#å>åêí«èáãé#í½í«ñ è.æ¡eç#ç#ä(åÿå>í«éç#ípåaìè.é#î#îáðìå>î#æaåÿí½í¡$ï #Êè.æ¡èç&íäí½åaç#é_åípäì«èè.í½æ>å>ìêÂâ<ê½âæaWâ<í«ò#ç&áðåæ è.æaí½áðéô,ä #<â<êáðé #ìáðî#ñ<åaêáðé~í«ç&åê½è.ì½æaâ<ä(å>ì½åaê à #(æ>â<éí«ì½è.êí &â<ó&ìpè.ò&ò#ì½âèæ¡ç Lâ<ïãïðâ eê"í«ç#åòlèí«çâ<ò)å>é#åaî # ó ïð0å # eç#âNçlèê êí«½ç#ì«èâ æaeí«áãéâ<é ç#â ò#ç#åaè.é#æÿâ<í«áãä(éô+å>ä élè~#.â<â<ê½é áãé í«#ç#ìåGáðî#ê½ñ.è.åyì½æaî â<#Kä(élå>è.ì½ä(å±áðêæaæQêè.è.ïãå ïðïãâ eè.êÂé&í«î âGWî&èå>çlê½æaè.ì½ïd$á è ' åyí½ç#åyäNó#eêç#æ>ïãâåyó#æ>êâ<å>éKî ô í«ç#å ä(åaí½ç#âKîâ eä(â<äåaéí«ê eáÃí«ç &ì½áðî&ñ<åÕî #Kélèäáãæ>êNáãéÔâ<ìî#å>ìí½â î#åaê½æ>ìá )å äNó#êæ>ïãå . . . . . .

(17). . . . . . . . . . . 8. •. . . •. . . ". •. . •. . 9. !. "$#. %. '&. (. . . . 0 5. *). ,+.-. . . ./ 0 5. . 21. 43. . .100 5 . .5 6 5 . .

(18) æ>æ>â<â<ééí«í«ì½ìâ<è.æaïðïãí½å>áðî â<é?æ>â<â<é#éêí«í«áÃí«ç#ó&å í½á$ä <å#.â ïdè #ìâå gê½æQæQè.èìïðî#åádè.æ(yä ó##.ìzâ ä#âKìî#å åaïyäáðåaê æ¡çllè.èé#ê½å>áãæ>î êÊâ<áðéé í«ìèPâî#æ¡ó&ç&æ>å>å>ä(î áðæQáðé èïðï$#ô èáð.é#é#ñzîê«æaèâ<ì½é#æ>êâ.áðäêí½åaå>ì½éå±í eî #Káãí«élç è.í½ä(ç#áðå æaê)å>ç#èî& Kå>áãì½â<á <ì]åaâ î #ä #q#.â<è.ê½ò#áãéÊò&ï$ä(#Káðâ<é#ïãñ å>æ>í½ó&ç#ïdå±è.ì'ääâ.â.äí½â<åaì½é_ê íô+êæQè. ïãáðçé#ñ &åÂä(ìåaå>í½ê½ç#ó&âKïãíî ô eáãí«ç í½ç#å lìêí í Ââä(â<ä(å>éí«êæ>â<ìì½å>êò'â.é#î#áðé&ñ í«âè.æaí½á$ .åNêí½á é#å>êê¹è.é#î êí½ì½å>êê]ê½åaå á ðêáðòlétè.ìèí«ñ<áãæ>ì½ó#åaå>ïðè.ä(ì¹å>æ¡éç#í â<áðeæaåÕáÃí«çâ í½í½ç#ç#å å êèïðí½áãí¡î#èáðæ¡é#ç#ñ älåaïðéè.í±äè.åaé#éîíÕçî&#Kåaí¡ò'èâæ¡í«ç#ç#äåaê½åaáðéê íGáãì«éèí«í½ì½å>âKêÊî#áðó#êæaäå>îtè.î#áãé å ê½å â±

(19) _ólí«èçlí½èáðíâ<é#ê áðïðLïâ<ìÂê í½Lâ<ç#ì½åæaåÿä(ô+ <åaå>í½ç#ïãââKæaî áãí #Õâ ì½ä(å>ïðâ<èí«ä(áãâ<å>é#éê8í« ê L â.ìçáð#ê½áðâêÂí«â<æ¡ç#é#â<áãæyáãæ>æ>åyâ.áãé_êpí½èì«è.êæÿïðí«áãáãñ<â<çé íÂ)ä(å>âKæaî#â<ä(á lå æ>èæ>í«ïðáãâ.â<ê½é(ó#ìâ å í«ê«çlè.ìèæ>íâ<ää(è.å>ìî#ååêáðí«é ì½è.áðé #â.ó&ì íè.ïãê½âGgó#ç#ò)åaâ<ì½åézí«í«ç#ç#åaå¹ê½åêí«ì½ì«èèí«áðåaézêyì«è.èìí½åÊå é&â.íå¹â.ì½é#å>$ï æ>#zè.ïðî#ï'åaí«ò'ç#åaáãé#êî#äåaé_âKíyî#å>ó#ï ò'#â.ì½éØáãå í«ç&#å lïdéÒè.ä(èå>ä(éí½áðêæa ì½â<êæ>â<ç#ò#åaáãéæ¹ê½æQèïðå lí½Íç#í«ç#åå ê½è.Lì½ó#æaåaâ<ï äâåaÊì½åí½ç#áðåêäÕæ>åaèïðïî#!Õå¹áãó#êzò è .â è1áðí«ïdè ç##áãéÒïðåÒè.è.é&é#îÒîtí«ç#í«áãç#"æ å ~ïãòlå è. <ì½åaè.ï¹ïðïãâå>ï áðè.éé#í«îtì½è.ì½æ>åaåaïdïðèïðó&ïdèè.í½ìNáðâ<æ>éÐè.ïðáðæaéáðó#í½ä ç#å 'â.ê½è.ó#ì½é#æaîRâ<äâ<åaéRì½åaí½"ê ì½!â<ò)ìâ<åQè.é#æ¡áãéç#åaêzèÔLí½í«ç#ç#åzìå>æ>êâ<ç#éâ<í«ïðìî â<ï â í«ç#åæ>â<éí½ì«è.!0æÿí«í«áðâ.ç&é å äí«ç##<å(â<í«êç#áðéqáãé ç#låQèïdèî#äêÊåaâ é_pí í«ç& å±í½ç#áðæ" lïdè.Lâ<ä(ìå>ê½éâ.í¹äí«å(ç#èäíáãè.æ>ì½ìâ<å±ê½é#æaâ<âò#íáðí½æ(âêâ í½ì«Aè.è.áãì é !0Lì â<)ä å>æ>è.â.æÿäí«áðåé ïðêá áãí«å>åaï ê¹#Ìâ<í«éâ #áðé#î eáãí½ç~í«ç#å #áãé#î#áðé&ñGì«èí½å æQè.é ïãæ>#áðáðó&é&ä î#áðé#ò#ñó#ä(áðê¹ò#î#ê"ó&ó#å±é&î#í½âå>ì"í½í«ç#ç&å(ågäÕí«ç#è.ìæaå>ì½ê½â<ç&êâ<æ>ïðâ<î ò&áðæ±Kêâ.í½ìHì«è.í«áãâ¹éqïdèì½èì½ñ<í«å8å è.]ïãó#â<å>ì ê"í« â âz í«ç# åç#è.æÿåeí«ó#áðâ.é éq#áã â é#pî#í«áãé#ç&ñå ì« eèí½ç#å åaáðì½ê å çáãêg#í«å¹ç#ò#å¹ìæ¡å çl Kè.áðâ<ì½ó&è.êæaí½æaå>â<ìé#áðêî#í½áðáÃæí«áãâ<Ló#é#é&êæaè.í«ìáãâ<åézí«ì½â è.4é#í«êç#ïdèå¹í½å>ê½åÿîzí áðéí«! âNí½ç#å Lâ<ïãïðâeáðé#ñ Lâ<ì½äó#ïdè.å *. . *. ./ 5. .10. . . ./ 5 .0 0 5. 5. . . &. . #". $. . 1. +. . 00 5. .5 6 5 8. . 9. . . $. 9. . . CaT nC ≥ C¯. . . ξ ∈ [0, 1] f. . ε˙c. C¯. ξ. g IS. S. .5 5 8. f (ξ, t) = kAT P .ICaT nC ≥C¯ .Iξ∈[0,1] , g(ξ, t) = α|ε˙c | + kSR .ICaT nC <C¯ + kAT P .ICaT nC ≥C¯ .Iξ∈[0,1] . /. çå>é##åaå±ì½ñòl# è.ì«Lìèâ<ääåÿí«í½å>ç#ì å±ç #î&ì½â<ìå>ï #ò#êìáðå>ê êå>âé í«êí«ç#?å±í½ì«â~èí«í«åGç#å±âä(í«â<ç&ïðå(åaæ>æ¡ó#ç&ïðå>è.ä(ìáðä(æQèâ.ïí½â<ì½å>ì½è.êyæaáãí½éÌáðâ<í«éÌç#åGò#ìê½âè. ì½áãæaî#â<áðä±é&ñ ô ì½å>åaì½í½ å áãáðê æaeó#î#ïðáðç&ó#ä(å>ä ì½å>å>é&è.ò#ê½ê áðó&â.äé#ïðò#åaêê½êî&ì½å>å>è.ä(é#é&â.îØâí½ Kå>ò)áðêé#â<ê½í«ñ áÃç#í«æ>åá <è.ì«ïðåæaè áðí½ó#åÊä â áãâ<#é#ì½áãêî#Lñ<ìå¹â<ä î#åaêí«í«ç#ìåNó#æaí½í½ì½áðâ<â<ò)éØâ<é#î#áãó#é åí«çâÕ&ê½åGè.ì½òlæaè.â<ì«ò#èïðäè.ê½åÿä(í«å>áðæì ,í eáãïð'ï 'å¹æ>â.é .å>é#áãå>éíí«â±î#å #é#åèGé#0å Tæ>â.é_í½ì½â<ï è.ìádè &ïðå kAT P. $. . kSR. α. . ½ê â í«çlèí èé#î è.é#î eç#åaì½å í«è.á$ì½ .å å>ï # Pæ>â.é#ê½ó#ä(ò&í½áðâ<é ì½èí«åaêgî#ó#ìáðé#ñÊæ>â<éí½ì«è.æÿí«áðâ.é~è.é#îzè.æÿí«á <åyìå>ïdè èí«áðâ.éìå>ê½ò)å>æZô çäN#ó#åÊê½æaáãïðéåNí«å>æaì½â<è.éæaí«í½ì½áðè.â<æaé~í½áðò)â<éâ.í½å>æaéâ<í«ì½ìáðè.å>ïêò'â<é&î#áðé#â ñ1í½í«ç#âÕåí½ç#è.æaåNí½áðé#éåaô,ñä è#<í«áâ< <êå áðé~ .èêG#ïðó#êåaí«åaêäâ"áãêí½ç#ì½åNåaê½äò)â<è.é#æ>ìê½â<á$#ê½ïðæaå â<ò#Lâ<áðæì u(t) = kAT P .ICaT nC (t)≥C¯ − kSR .ICaT nC (t)<C¯. f (ξ, t) = |u(t)|+ .Iξ∈[0,1] f (ξ, t) + g(ξ, t) = α|ε˙c| + |u(t)| |u|+ = max(0, u) = kAT P .ICaT nC (t)≥C¯ |u|− = max(0, −u) = kSR .ICaT nC (t)<C¯ $. . . W am. .

(20) ê]åí«ÿì½í è.áðé #î å>ê'æ>åzìá#í«ç#áãé#åñÊî#í½åaç#é#åê½áÃìí å>#Ðïdèâ í«á$ .åæ>ìêâ<ïðê½áãî#ê ô áð#é#ìñ¹áðî#âñ< åaí«ê ç#åeè.áÃí«æaçRí½áðéÕêí½âì« .è.å>áãé ìpí½ç#åèí(ä í«#.áãâ<äê½áãå é l ïðè.çä(#å>åaéé í ó ïðå0# êäâKî#aå ïWáðê 1. . !. εc n(ξ, t). ξ. 8. . ∂n ∂n + ε˙c = (1 − n)f − ng, ∂t ∂ξ. σc (t) = −d(εc ). Z. +∞. t. ∂W am ndξ + µc ε˙c . ∂ξ. lò è.è.é#ì«î è 'â<ïãáðè.æ ì½å±ì½åaïdèí½áãå>êNîÌæ¡ç#í«â~â<êí½å>ç#éRå±áðéKé ó&ä'åaìè.é#î êí½á é#å>êêÊâpè è.áðïð è#çïðå#å~è.æaò#í½è.áðéì«è.ô,ä ä(#<åaâ.í½å>ê½áðìé ê ææ>>â<ì½â.é#ê½êêí¡ô è.#éì½íáãî# ñ<çåaê#å±áãézê½æ>í½ç#è.ïðå¹áãé#ê«ñÕè.ìí½æ>å>â<æ¡ä(ç#é#å>ìá$

(21) _åó# åGí«â~áðêæ>èâ.ä Káðò#êæ>óâ<í«êå áãí #zòlïðå>è.è.ì½î#è.ä(êí½åaâ~í«åaáðìeéè.í«ìé#âî î#ó&æ>áðáðé&êeñ è±êí½ì«èè.é#áãîé lìå>ê½ò)å>æÿí«á <å>ï #zò#ì½â.ò'â<ìí«áãâ<élè.ï%í«â±í«ç#å aå>ì½â(è.é&î lìêíô+â<ìî#å>ìeä(â<äåaéí«êâ $. .5 5 8. W am. k0. am. − ∂W∂ξ. σ0. −∞. = k 0 ξ0 + σ 0 ξ . µc. ξ0. &. . τc. σc. kc. n. 8. .è é#î çî#á #åå>ìì½å>å>éêó#í«áðïãè.í½áðïWé#åñ

(22) _æaólâ<èé#í«áðêâ.í«é#áãí½ê ó&í«á <å"ìå>ïdèí«áðâ.éyáðêñ<á <åaé #yí½ç#å Lâ<ïãïðâeáðé#ñÂê-#Kêí½å>äTââ<ìî#áðélèì-# kc (t) = k0. Z. +∞. n(ξ, t)dξ. τc (t) = σ0. −∞. Z. +∞. ξn(ξ, t)dξ.. −∞. 8. .   τ˙c = kc ε˙c − (α|ε˙c | + |u|)τc + σ0 |u|+ , k˙ = −(α|ε˙c | + |u|)kc + k0 |u|+ ,  c σc = d(εc )(τc + kc ξ0 ) + µc ε˙c ,. τc (0) = τc0 , kc (0) = kc0 ,. M!. eí«ì«ç#èå>í«áðìâ.å é âî&]å>æQé#èâ.ïðæ>í½áãå>ó#êä í«ç#)åeâ<åaó#ïðå>é#æÿî~í«ìâ<áðæQé èí½ïlç#áðé#åò#í½óì½â<í ò)â<æaé#â<áãéì½ìôGå> ê½ò)â<eé#î&áãí«áðçé#ñ í«âÊè¹é#î&â<ó#ì½ì½äáãé#è.ñNïãá >æ>åaâ.îGé_í½æ>ì«â<è.é&æÿæ>í«å>áãâ<éKé ô èáð.é é#î å>æÿí«áãâ<é î#ó#±ìáðè.é#é#ñ±î~èí½æaç#í«å¹á <äå¹ì½å>åaè.ïdé#è áðé&èñGí½áðââ< é ç#åáãêäî#âKáðî#êæ>å>ó#ïãáðêé#ê½ñåaîÒâ áðé~í½áðç#êAå¹Ló#é#ìå í«ç#íåaìeê½åaå>æaïdí«è áã'â<â<é ì½ èí«åaî Ü