Etude des systèmes de Coxeter

Etude des systèmes de Coxeter

ROUSSEL Anthony

1 Groupes de Coxeter et Systèmes de Tits 4

1.1 Groupesde Coxeter . . . 4

1.1.1 Longueur et dé ompositions réduites . . . 4

1.1.2 Les Groupes diédraux . . . 5

1.1.3 Premières propriétésdes groupes de Coxeter . . . 9

1.1.4 Dé omposition réduites dans un groupede Coxeter . . 12

1.1.5 La ondition d'é hange . . . 22

1.1.6 Familles de partitions. . . 23

1.1.7 Sous-groupesde Coxeter . . . 26

1.1.8 Matri es et graphesde Coxeter . . . 27

1.2 Systèmes Tits . . . 29

1.2.1 Dénition etpremières propriétés . . . 29

1.2.2 Dé omposition de

G

en doubles lasses . . . 30

L'objet de mon TER onsiste à étudier les groupes engendrés par des

éléments d'ordre 2,appelés aussi groupesde Coxeter, à travers les hapitres

4, 5 et 6 du livre " Groupes et algèbres de Lie " de Ni olas BOURBAKI.

D'unpointde vuegéométrique, elà revientàétudierlesgroupesengendréés

par des réexions.

Tout aulong de e TER, on dénit e que sontles système de Coxeter, puis

onen dégagerades propriétéspropresà es système qu'onillustreraave des

groupes biens onnus, qui satisfont à la dénition d'un système de Coxeter,

Groupes de Coxeter et Systèmes

de Tits

1.1 Groupes de Coxeter

Danstout e paragraphe,ondésigne par

W

un groupenoté multipli ati-vement d'élément neutre

1

, et par

S

un sous-ensemble générateur de

W

tel que

S = S

−1

et

1 /

∈ S

.De plus, tout élements de

W

est produit d'une suite nie d'élement de

S

.

1.1.1 Longueur et dé ompositions réduites

Dénition. Soit

w ∈ W

.On appellelongueur de

w

par rapportà

S

, etl'on note

l

S

(w)

(ou tout simplement

l(w)

s'iln'ya pasd'ambiguitésur

S

)leplus petit entier

q ≥ 0

telque

w

soitle produit d'unesuite de

q

éléments de

S

. On appelle dé omposition réduite de

w

par rapport à

S

toute suite s

=

(s

1

, . . . , s

q

)

d'éléments de

S

telle que

w = s

1

. . . s

q

et

q = l(w)

.

Remarque.

1

est l'uniqueélément de longueur0,et

S

se ompose d'élements de longueur 1.

Remarque. Un élément

w ∈ W

ne possèdepas for émentune unique dé om-positionréduite.

Exemple. Un exemple simplepour lemontrer :

Soient

S

4

le groupe des permutations de

{1, 2, 3, 4}

dans lui-mêmê et

S =

{(12), (23), (34)}

. Soit

w = (12)(34)

, alors

((12), (34))

et

((34), (12))

sont deux dé ompositionsréduites de

w

par rapportà

S

.

On verra par la suite qu'une propriété nommé ondition d'é hange nous

Proposition 1. Soient

w, w

′

_{∈ W}

. On a les formules suivantes :

1.

l(ww

′

_{) ≤ l(w) + l(w}

′

₎

2.

l(w

−1

_{) = l(w)}

3.

| l(w) − l(w

′

_{) |≤ l(ww}

′

₎

Remarque. En remplaçant

w

par

ww

′−1

dans la proposition pré èdente on

obtient: 4.

l(w) − l(w

′

_{) ≤ l(ww}

′−1

₎

5.

l(ww

′−1

_{) = l(w}

′

_w

−1

₎

Remarque.

l'appli ation d:

W × W 7−→ N

est une distan e sur

W

,

(w, w

′

_{) 7−→ l}

S

(ww

′

)

invariante par translation adroite.

Corollaire1. Soients

= (s

1

, ·, s

p

)

ets'

= (s

′

1

, . . . , s

′

q

)

deuxsuitesd'éléments de

S

telles que

w = s

1

. . . s

p

et

w = s

′

1

. . . s

′

p

. Si lasuite

(s

1

, . . . , s

p

, s

′

1

, . . . , s

′

q

)

estune dé omopositionréduitede

ww

′

,alors

s est une dé omposition réduite de

w

, et s' en est une de

w

′

.

1.1.2 Les Groupes diédraux

Produit dire t et produit semi-dire t

Dénition. Soient

N, H

deux groupes.

On appelle produit dire tde groupe legroupe

G = N × H = {(n, h) | n ∈ N, h ∈ H}

muni de la loiproduit

(n, h).(n

′

_{, h}

′

_{) = (nn}

′

_{, hh}

′

₎

Dénition. Soient

N, H

deux groupes.

Soit

ϕ : H −→ Aut(N)

un homomorphisme qui a

h ∈ H

asso ie un auto-morphisme sur

N ϕ(h)

.

On dénitle groupe produit semi-dire t

N ⋊ H = {(n, h) | n ∈ N, h ∈ H}

muni de la loiproduit

(n, h).(n

′

_{, h}

′

_{) = (n.ϕ(h)(n}

′

_{), hh}

′

₎

Remarque. Si

ϕ

est trivial ( i.e : si

ϕ(h) = Id

N

,

∀h ∈ H

), alors la loi de

Dénition. Soient

N, G, H

trois groupes, etsoient

i : N → G

et

p : G → H

deux homomorphismes.

On dénitune suite exa te

1 −→ N

i

−→ G

−→ H −→ 1

p

si

i)

i

est inje tif ii)

p

est surje tif iii)

Im(i) = Ker(p)

Remarque. Si les groupes sont abéliens et noté additivement, on note les

suites exa tes ave des 0 :

0 −→ N −→ G −→ H −→ 0

Remarque. Dans un adre plus général,si

N

et

H

sont deux groupes alors 

1 −→ N −→ N × H −→ H −→ 1



1 −→ N −→ N ⋊ H −→ H −→ 1

dénissent des suites exa tes.

Proposition 2. Critères de dé omposition en produit :

Si on a une suite exa te :

1 −→ N

−→ G

i

−→ H −→ 1

p

et s'il existe un relèvement

H

de

H

(i.e : un sous-groupe

H

de

G

tel que la restri tiondelaproje tion

p

à

H

soit un isomorphismede

H

dans

H

),alors le groupe

G

est isomorphe à un produit semi-dire t

N ⋊ H

.

Exemple. Legroupesymétrique

S

n

estmunid'unhomomorphismesurje tif appelésignature etnoté

ε : S

n

−→ {−1, 1}

et telque



ε(x) = −1

si

x

est une transposition 

ε(x) = (−1)

k+1

si

x

est un y le d'ordre

k

Le noyau de

ε

est formé des permutations paires ( i.e : de signature égale à

1

). L' ensemble de es permutations forment un groupe de ardinal

n!/2

appelégroupealterné etest noté

U

n

.

On obtient don une suite exa te :

1 −→ U

n

i

−→ S

n

ε

−→ {−1, 1} −→ 1

où

i

est l'inje tion anonique.

De plus, ona

{Id, (12)}

quiest en relèvement de

{−1, 1}

et don d'après le ritèrede dé ompositionen produit,onaque

S

n

est isomorpheàun produit dire t

U

n

⋊

{−1, 1}

.

Dénition. On dit qu'un groupe est indé omposable s'il n'est pas produit

dire t de manièrenon banale.

Remarque. Lesgroupesde Coxeter indé omposableontété entièrement

las-siés, mais lesnotions dénies dans e TER ne sont pas susantes pour les

Lesgroupesdiédraux représentent une lasse de groupe très intéressante

ar ils sont isomorphes au groupes des isométries préservant un polygone a

n

otés. On verra par lasuite que lesgroupes diédraux sont des groupes de Coxeter.

Dénition. On appelle groupe diédral tout groupe engendré par deux

élé-ments d'ordre2, distin ts.

Remarque. Cette dénition trés simple des groupes diédraux n'est pas trés

ourante, ar ellene met pas en éviden e ertaines propriétés qui sont plus

utiliséesdu pointde vuealgébriquelorsdel'étudede es groupes. Uneautre

Dénition. On appelle groupe diédral D

m

, un groupe engendré par deux éléments distin ts

t

et

s

vériant :

1.

card(

D

m

) = 2m

2.

o(s) = 2

et

o(t) = m

etD

m

=< s > ∪ s. < t >

. 3.

stst = Id

Constru tion d'un groupe diédral

Soit D

n

le groupe diédral engendré par deux éléments d'ordre 2

s

et

s

′

tels que

(ss

′

₎

n

_{= 1}

. Soit

i : Z/nZ −→

D

n

x

−→ (ss

′

₎

x

et

p :

D

n

−→

{−1, 1}

x

−→ (−1)

l

S

(x)

. On obtient ainsi une suite exa te :

1 −→ Z/nZ

−→

i

D

n

p

−→ {−1, 1} −→ 1

De plus, on a un relèvement

{Id, s}

de

{−1, 1}

e qui implique que D

n

est isomorphe à un produit semi-dire t

Z

/nZ ⋊ {−1, 1}

.

On muni

Z

/nZ ⋊ {−1, 1}

de laloi

(x, ε).(x

′

_{, ε}

′

_{) = (x + ϕ(ε)(x}

′

_{), εε}

′

₎

où

ϕ(ε)(x

′

_{) =}



x si ε = 1

−x si ε = −1

On note

¯1

la lasse de

1

modulo

n

, etl'on pose

ρ = (−1, 0), ρ

′

= (−1, ¯1), π = (1, ¯1)

On aalors

ρ

2

_{= ρ}

′2

_{= 1}

et

π = ρρ

′

. Les formules

π

k

= (1, k¯1), ρπ

k

= (−1, k¯1)

montrentque D

n

est un groupe diédralengendré par

{ρ, ρ

′

_}

.

Remarque. Pour fairelelienentrelesdeux dénitionsdonnéssurlesgroupes

diédraux, ilest très fa iled'identier

s = ρ

,et

t = π

.

De plus, on omprend mieux pourquoi la première dénition est préférable

diédraux à l'aidede polygones réguliers:

Laproposition suivante nous permet de faire un lienentre lesdeux

dé-nitions d'un groupe diédralénon ées pré èdemment.

Proposition 3. On suppose que

S

se ompose de deux éléments distin ts

s

et

s

′

d'ordre 2.

1. Le sous-groupe

P

de

W

engendré par

p = ss

′

est distingué, et

W

est produit semi-dire t du sous-groupe

T = {1, s}

et de

P

.

De plus, on a

(W : P ) = 2

. 2. Soit

m

l'ordre (ni ou non) de

p

.

On a

m ≥ 2

et

card(W ) = 2m

.

Il existe un unique isomorphisme

ϕ

de D

m

sur

W

tel que

ϕ(ρ) = s

et

ϕ(ρ

′

_{) = s}

′

1.1.3 Premières propriétés des groupes de Coxeter

Àpartirdemaintenant,onsupposéquetouslesélémentsde

S

sontd'ordre 2.

Dénition. On dit que

(W, S)

est un système de Coxeter s'il satifait à la ondition suivante : (C) Pour

s, s

′

dans

S

, soit

m(s, s

′

₎

l'ordrede

ss

′

;

Soit

I

l'ensemble des ouples

(s, s

′

)

tels que

m(s, s

′

)

soitni. L'ensemblegénérateur

S

etlesrelations

(ss

′

₎

m(s,s

′

₎

= 1

pour

(s, s

′

₎

dans

I

forment une représentation du groupe

W

.

Lorsque

(W, S)

estun systèmede Coxeter,onditaussi,par abusde langage, que

W

est un groupe de Coxeter.

D'après Ni olas BOURBAKI, ela signie que

(W, S)

satisfait à la pro-priété universelle suivante:

" Soit

G

un groupe et soit

f

une appli ation de

S

dans

G

telle que

(f (s)f (s

′

_{) = 1)}

m(s,s

′

₎

pour

(s, s

′

₎

dans

I

, il existe un unique homomorphisme

g

prolongeant

f

."

Cet homomorphismeest unique ar

S

engendre

W

. Une formeéquivalentede ette propriété est :

" Soient

W

¯

un groupe,

f

un homomorphisme de

W

¯

sur

W

,et

h

une appli ation de

S

dans

W

¯

telle que

f (h(s)) = s

et

(h(s)h(s

′

₎₎

m(s,s

′

₎

= 1

pour

(s, s

′

)

dans

I

et que les

h(s)

(pour

s

dans

I

)engendre

W

¯

; alors

f

est inje tif (don un isomorphismede

W

¯

dans

W

)."

Une manière équivalentes de dé rire es propriétés équivalentes est de dire

que l'on peut entièrement déterminer un groupe à partir de l'image de ses

éléments générateurs.

Exemple. exemples de représentation de groupeCoxeter

 Reprenons le as du groupe diédralD

m

:

On a déjàvu dans la onstru tionde e groupe,peu importequ'il soit

ni ou non, qu'il était engendré par

S = {ρ = (−1, ¯0), ρ

′

_{= (−1, ¯1)}}

.

Don une représentation du groupediédral est

< ρ, ρ

′

| ρ

2

, ρ

′2

, (ρρ

′

)

m

_>

 Unautre groupetrés onnurentre dansle adredes systemesde

Coxe-ter. Il s'agit des groupes symétriques

S

n

.

Prenons par exemple

S

4

: elui- i peut-etre engendré par l'ensemble

S = {(12), (23), (34)}

.Les éléments de

S

sont lairement d'ordre 2, et une représentation de

S

4

serait :

< (12), (23), (34) | (12)

2

, (23)

2

, (34)

2

, ((12)(23))

3

, ((12)(34))

2

, ((23)(34))

3

>

Remarque. Grâ eà esreprésentationsdesgroupesde Coxeter, onpeut

iden-tier si deux groupesde Coxeter sont isomorphes ounon.

Prenons par exemple legroupediédral D

3

et legroupesymétrique

S

3

: on avu que D

3

admet pour représentation

< ρ, ρ

′

_{| ρ}

2

_{, ρ}

′2

_{, (ρρ}

′

₎

3

_>

,

et sion pose

a = ρ

et

b = ρ

′

onobtientalors la représentation suivante :

Maintenant onsidérons

S

3

,ainsiqu'unensemblegénérateur

S = {(13), (23)}

de

S

3

.On obtient don lareprésentation suivantepour

S

3

< (13), (23) | (13)

2

_{, (23)}

2

_{, ((13)(23))}

3

_>

etsionpose

a = (13)

et

b = (23)

onobtientalorslareprésentationsuivante:

< a, b | a

2

_{, b}

2

_{, (ab)}

3

_>

.

On obtient don deux représentations identiques pour es deux groupes, et

don en déduirequ'ils sont isomorphes.

Remarque. Soit

(W, S)

un système de Coxeter. Il existe un homomorphisme

ε

de

W

dans le groupe

{−1, 1}

ara térisé par

ε(s) = −1

pour tout

s ∈ S

. On ditque

ε(w)

est lasignature de

w

; elleest égale a

(−1)

l

S

(w)

.

Laformule

ε(ww

′

_{) = ε(w).ε(w}

′

₎

setraduitalorspar

l(ww

′

_{) ≡ l(w)+l(w}

′

_)mod(2)

.

Proposition 4. Soit

(W, S)

un système de Coxeter. Pour que deux éléments

s

et

s

′

de

S

soient onjugués dans

W

, il faut et il sut quela ondition suivante soit remplie:

(I) Il existe une suite nie

(s

1

, . . . , s

q

)

d'éléments de

S

telle que

s

1

= s

et

s

q

= s

′

et que

s

j

s

j+1

soit d'ordre ni impaire pour

1 ≤ j ≤ q

.

Produit dire t de groupes de Coxeter

→

Il est lair que le produit dire t de deux groupes de Coxeter est un groupede Coxeter :

Soient

(W, S), (W

′

_{, S}

′

₎

deuxsystèmesdeCoxeter,ona lairementque

(W

′′

_{, S}

′′

₎

est un système de Coxeter où

W

′′

_{= W × W}

′

et

S

′′

_{= {(1}

W

, s

′

) , (s, 1

W

′

) |

s ∈ S , s

′

_{∈ S}

′

_}

.

→

Enrevan he, leproduit semi-dire tde deux groupesde Coxeter n'est pas un groupe de Coxeter :

soit

w ∈ W

et

w

′

_{∈ W}

′

, her hons si des éléments d'ordre 2 peuvent

engen-drés

W ⋊ W

′

.

(w, w

′

_{).(w, w}

′

_{) = (1}

W

, 1

W

′

) ⇔ (w.ϕ(w

′

)(w), w

′

w

′

) = (1

_W

, 1

_W

′

)

e quièquivautàdireque

ϕ(w

′

_{)(w) = w , ∀w}

′

_{∈ W}

′

etdon que

ϕ

est trivial. On adon queseulle produitdire tde groupesdeCoxeter est un groupe de

ter

On onsidere

(W, S)

un systeme de Coxeter. On pose

T

l'ensembledes onjuguésde

S

dans

W

, 'est à dire

T = {wsw

−1

_{, w ∈ W, s ∈ S}}

.

Pour toute suite nie s

= (s

1

, . . . , s

q

)

d'éléments de

S

, on note

Φ(s)

la suite

(t

1

, . . . , t

q

)

d'élémentsde

T

dénie par :

t

j

= (s

1

. . . s

j−1

)s

j

(s

1

. . . s

j−1

)

−1

, pour1 ≤ j ≤ q

Remarque. On a

t

1

= s

1

et

s

1

. . . s

j

= t

q

t

q−1

. . . t

1

Pour tout élément

t ∈ T

on note

n(

s

, t)

le nombre d'entier

j

tel que

1 ≤ j ≤ q

et

t

j

= t

. Enn onpose

R = {−1, 1} × T

.

Lemme 1. 1. Soient

w ∈ W

et

t ∈ T

. Le nombre

(−1)

n(

s

,t)

a la même

valeur que

η(w, t)

pour toutes suites s

= (s

1

, . . . , s

q

)

d'éléments de

S

telles que

w = s

1

. . . s

q

.

2. Pour

w ∈ W

, soit

U

w

l'appli ation de

R

dans lui-même dénie par :

U

w

(ε, t) = (ε.η(w, t), wtw

−1

)

(ε = ±1, i ∈ T ).

L'appli ation

w −→ U

w

est un homomorphisme de

W

dans le groupe des permutations de

R

.

Lemme 2. Soient s

= (s

1

, . . . , s

q

)

,

Φ(

s

) = (t

1

, . . . , t

q

)

et

w = s

1

. . . s

q

. Soit

T

w

l'ensemble des éléments

t ∈ T

telsque

η(w, t) = −1

. Pour que

s

soit une dé omposition réduite de

w

, il faut et il sut que les

t

i

soient distints; on a alors

T

w

= {t

1

, . . . , t

q

}

et

Card(T

w

) = l(w)

.

L'énon é de e lemme 2 est parti ulièrement intéressant ar il permet

de trouvé la dé omposition réduite d'un élément d'un groupe de Coxeter

W

, via un de ses ensemble générateur

S

préalablement déni, de manière algorithmique.

De plus,on onstateque etalgorithme dégagedeux propriétésintéressantes

sur lamanièredont onpeut réduireun éléments

w ∈ W

1. Soit s

= (s

1

, . . . , s

q

)

une suite nie d'éléments de

S

telle que

w =

s

1

. . . s

q

, alors ona

l

S

(w) ≡ q(2)

.

2. Ilexisteunesuitestri tement roissante

j(1), . . . , j(k)

d'entiers ompris entre

1

et

q

telleque

(s

j(1)

, . . . , s

j(k)

)

soitune dé ompositionréduitede

rithme en langage informatiquem'a sembléintéressante!

Pour ela, j'ai utilisé le langage informatique Python pour on rétiser ette

représentationainsiquelesgroupesdiédrauxetsym

triques ommeexemples; Dans un premiertemps, j'ai du onstruire es groupes pour pouvoirensuite

générerses élémentsdemanièrealéatoireouprédénie,puisdénir

manuelle-mentunlesystèmegénérateur

S

dans ha undes as,pourensuiteappliquer l'algorithme permettant de réduire l'élément ainsi que d'a her les étapes

suivies par leprogramme.

Voi ile ode sour ede mon programmeutilisantles groupes diédraux:

import random M=[

−

1,1℄ S=[[

−

1,0℄,[

−

1,1℄℄ lass Z n Z: def __init__(self ,n): self .Z=[i for i in range(n)℄ lass GrD: """ r

ation du groupe di

dral """ def __init__(self ,n): self .n=n self .W=[ [i , j℄ for i in M for j in Z n Z(n).Z ℄ #self .w = [S[random.randint(0,len(S)

−

1)℄ for i in range(taillew )℄ #self .w = [S[1℄ ,S[0℄ ,S[1℄ ,S[0℄ ,S[1℄,S[0℄ ,S[1℄℄ self .w = [S[0℄ ,S[1℄ ,S[0℄ ,S[1℄ ,S[0℄ ,S[1℄℄ def inverse(self ,w): if w[0℄ ==

−

1 : a =

−

1 else : a = 1 b = (

−

a

∗

w[1℄)%n return [a,b℄ def produit(self ,a,b): return [a[0℄

∗

b[0℄ ,(a[1℄

∗

b[0℄+b[1℄)%n℄ def __str__(self ):

"""Ensemble des onjugu

s T = {wosow^

−

1; w in W, s in S}""" T=[℄ for s in S: for w in self .W: onjugue = self .produit(w, self .produit(s, self .inverse(w))) if onjugue not in T: T.append( onjugue) return T def reationPHI(self ,w): """Ensemble des ti""" phi = [℄ for i in range(len(w)) : a = w[0℄ for j in range(1,i) : a = self .produit(a,w[ j ℄) phi.append(self .produit(a, self .produit(w[i ℄ , self .inverse(a)))) return phi def getTw(self ): """T_w = T inter PHI""" self .phi = self . reationPHI(self .w) self .T = self .ensembleT() return [t for t in self .T if t in self .phi if self .phi. ount(t)%2 == 1℄ def redu tion(self ): """ reu tion du mot w """ a = self .w Tw = self .getTw() l= self . reationPHI(a) print("

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

") print(a) print("

tapes de redu tion du mot w") while len(a) != len(Tw): for i in range(len(l)

−

1) : for j in range(i+1,len(l)) : if a[i ℄ == a[ j℄ : a.pop( j)

print(a) break break l = self . reationPHI(a) print("

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

") return a n=6 taillew =8 W= GrD(n) T =W.ensembleT() phi =W. reationPHI(W.w) Tw =W.getTw() print("Soit (W,S) le systeme de oxeter suivant:") print("W =",W) print("S =",S) print()

print("L'ensemble des onjugu

s de S dans W est T =",T) print() print("on hoisit w =",W.w) print() print("L'ensemble des ti est phi(s) =",phi) print() print(" On obtient Tw =",Tw,"don w peut etre reduit a", len(Tw), "element(s)") print() Rw =W.redu tion() print("Apres de omposition w =",Rw )

Voi iquelques exemples de sortiedu programme :

1. I i on onsidère un éléments de taille5 dans D

5

Soit

(W, S)

lesystème de oxeter suivant :

W = [[−1, 0], [−1, 1], [−1, 2], [−1, 3], [−1, 4], 6[1, 0], [1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]]

S = [[−1, 0], [−1, 1]]

L'ensembledes onjuguésde

S

dans

W

est

T = [[−1, 0], [−1, 2], [−1, 4], [−1, 1], [−1, 3]]

on hoisit

w = [[−1, 1], [−1, 0], [−1, 0], [−1, 0], [−1, 1]]

On obtient

T

w

= [[−1, 2], [−1, 1], [−1, 3]]

don

w

peut être réduit a 3 élément(s)

-[[−1, 1], [−1, 0], [−1, 0], [−1, 0], [−1, 1]]

étapesde rédu tion du mot

w

[[−1, 0], [−1, 0], [−1, 0]]

-Apres de omposition

w = [[−1, 0], [−1, 0], [−1, 0]]

2. I i on onsidère un éléments de taille5 dans D

6

Soit (W,S) lesystème de oxeter suivant :

W = [[−1, 0], [−1, 1], [−1, 2], [−1, 3], [−1, 4], [−1, 5]

,

[1, 0], [1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5]]

S = [[−1, 0], [−1, 1]]

L'ensemble des onjugués de

S

dans

W

est

T = [[−1, 0], [−1, 2], [−1, 4], [−1, 5], [−1, 1], [−1, 3]]

on hoisit

w = [[−1, 1], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 0]]

L'ensemble des

t

i

est

phi(s) = [[−1, 1], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 0]]

On obtient

T

w

= [[−1, 0]]

don

w

peut être réduita 1 élément(s)

-[[−1, 1], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 0]]

étapesde rédu tion du mot

w

[[−1, 1], [−1, 1], [−1, 0]]

[[−1, 0]]

-Apres de omposition

w = [[−1, 0]]

3. I i on onsidère un éléments de taille8 dans D

6

Soit

(W, S)

lesystème de oxeter suivant :

W = [[−1, 0], [−1, 1], [−1, 2], [−1, 3], [−1, 4],

[−1, 5], [1, 0], [1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5]]

S = [[−1, 0], [−1, 1]]

L'ensemble des onjugués de

S

dans

W

est

T = [[−1, 0], [−1, 2], [−1, 4], [−1, 5], [−1, 1], [−1, 3]]

on hoisit

w = [[−1, 1], [−1, 0], [−1, 1], [−1, 0], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 0], [−1, 0]]

L'ensembledes

t

i

est

phi(s) = [[−1, 1], [−1, 2], [−1, 3], [−1, 4], [−1, 5], [−1, 5], [−1, 4], [−1, 4]]

On obtient

T

w

= [[−1, 2], [−1, 4], [−1, 1], [−1, 3]]

don

w

peut être ré-duit a 4 élément(s)

-[[−1, 1], [−1, 0], [−1, 1], [−1, 0], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 0], [−1, 0]]

étapesde rédu tion du mot

w

[[−1, 0], [−1, 0], [−1, 1], [−1, 1], [−1, 0], [−1, 0]]

[[−1, 1], [−1, 1], [−1, 0], [−1, 0]]

-Apres dé omposition

w = [[−1, 1], [−1, 1], [−1, 0], [−1, 0]]

Voi ile odesour edemonprogrammeutilisantlesgroupessymétriques:

import random # boa (a et b deux listes) def omposition(a,b): return [ b[a[i℄

−

1℄ for i in range(len(a))℄ lass Permutation: def __init__(self , L): self .L = L self .de ompo_ y les() def extraire_ y le(self ): def f(i): for (k,e) in enumerate(self .h): if e[0℄==i : return k g = [ self .h[0℄[0℄ , self .h[0℄[1℄℄ k = f(g[

−

1℄) while g[0℄!= self .h[k℄[1℄: g.append(self .h[k℄[1℄)

−

return g

def de ompo_ y les(self ):

l = self .L[:℄ y les = [℄ self .h = [(i+1,j) for (i , j) in enumerate(l) if i+ 1 ! =j ℄ while self .h: y les .append(self .extraire_ y le()) #print("L", y les) self .dl = y les def inverse(self ): = [( i+1,j) for (i ,j) in enumerate(self .L)℄ def tri(e): return e[0℄ d = [(j , i) for (i , j) in ℄ d.sort(key =tri) return Permutation([ j for (i , j) in d℄) def affi her(self ): print(self .dl) def rond(self ,a): return Permutation( omposition(a.L, self .L)) def __str__(self ): return str(self .L) def __eq__(self , other): return self .L==other def __len__(self ): return len(self .L) #d

finition ensemble des permutations lass Symetrique: def __init__(self ,n): NMAX = 7 if n>=NMAX :

print("dans __init__ sym

trique : n est trop grand ! ") print(" hoisir n plus petit que", NMAX) self .n = n self .l = [℄ self ._remplir([℄ ,[ i+1 for i in range(n)℄) def _remplir(self ,l ,g): if not g: self .l .append(Permutation(l [:℄)) return for j in g: l.append(j) g.remove(j) self ._remplir(l ,g) l.pop() g.append(j) g.sort() def affi her(self ): for k in self . l: k. affi her def __len__(self ): return self .n def __getitem__(self ,n): return self . l[n℄ def __str__(self ): return str(self . l) def ensembleT(W, S): """Ensemble des onjugu

s T = {wosow^

−

1; w in W, s in S}""" X = [[0 ,w℄ for w in W℄ T = [℄ for s in S: for w in W: onjugue = w.rond(s.rond(w. inverse ())) if onjugue not in T:

#print(w,"rond",s," rond ",w. inverse()," = ", onjugue) return T def reationPHI(w): """Ensemble des ti""" phi = [℄ for (i ,wi) in enumerate(w): a = w[0℄ for j in range(1,i ): a = a.rond(w[j ℄)

phi.append(a.rond(w[i ℄).rond(a. inverse ()))

return phi

def getTOM(phi , T):

"""T_w = T inter PHI""" return [w for w in T if w in phi if phi. ount(w)%2 == 1℄ def longmin(w, W, S): """Longueur minimale de w""" phi = reationPHI(w) T = ensembleT(W, S) l = getTOM(phi , T) Tw = [p for p in l if phi. ount(p)%2℄ return len(Tw) def fon tion(w): phi = reationPHI(w) T = ensembleT(W, S) l = getTOM(phi , T) Tw = [p for p in l if phi. ount(p)%2℄ return (phi, len(Tw)) def re her he_doublons(phi): for (i ,p) in enumerate(phi): for j in range(i+1,len(phi)): if phi[i℄==phi[j ℄: #print("j 'ai trouv

le doublon",i ,j) return (j , i)

S = [Permutation([2,1 ,3,4℄) , \ Permutation([1,3 ,2,4℄) , \ Permutation([1,2 ,4 ,3℄)℄ T = ensembleT(W, S) #w = [S[0℄ ,S[2℄ ,S[1℄ ,S[0℄ ,S[1℄ ,S[2℄℄ #w= [S[0℄ ,S[0℄℄ w = [S[random.randint(0,len(S)

−

1)℄ for i in range(10)℄ print("w de d

part") for p in w: p. affi her() long =longmin(w,W,S) print("w est de longueur r

duite", long) while len(w) != long: (phi, long) =fon tion(w) doublon = re her he_doublons(phi) for i in doublon: w.pop(i) print("w aprs r

du tion finale") for p in w: p. affi her() print("T=") for p in T: p. affi her()

Lemme 3. Soient

w ∈ W

et

s ∈ S

tels que

l(sw) ≤ l(w)

. Pour toute suite s

= (s

1

, . . . , s

q

)

d'éléments de

S

ave

w = s

1

. . . s

q

, il existe un entier

j

tel que

1 ≤ j ≤ q

et

ss

1

. . . s

j−1

= s

1

. . . s

j

Remarque. L'ensemble

T

w

,déni aulemme 2 se ompose des élémentsde la forme

w

′′

_sw

′′−1

orrespondant auxtriplets

(w

′

_{, w}

′′

_{, s) ∈ W × W × S}

tels que

w = w

′′

_sw

′

et

l(w

′′

_{) + l(w}

′

_{) + 1 = l(w)}

. 1.1.5 La ondition d'é hange

Ondésignesouslenom de ondition d'é hange l'assertionsuivantequi

a déjàété énon é dans le lemme 3:

(E) Soient

w ∈ W

et

s ∈ S

tels que

l(sw) ≤ l(w)

.

Pour toute suite s

= (s

1

, . . . , s

q

)

d'éléments de

S

ave

w = s

1

. . . s

q

, il existe un entier

j

tel que

1 ≤ j ≤ q

et

ss

1

. . . s

j−1

= s

1

. . . s

j

On supposera que dans ette se tion

(W, S)

satisfait à(E).

D'après le lemme 3, on a déjà vu que si

(W, S)

est un système de Coxeter alorsilsatisfaisaità(E).Onpourradon appliquer esrésultatsauxsystèmes

de Coxeter.

Proposition 5. Soient

s ∈ S

,

w ∈ W

et s

= (s

1

, . . . , s

q

)

une dé omposition réduite de

w

.

Deux as seulement sont possibles:

1.

l(sw) = l(w) + 1

et

(s, s

1

, . . . , s

q

)

est une dé omposition réduite de

sw

. 2.

l(sw) = l(w) − 1

et il existe un entier

j

,

1 ≤ j ≤ q

, tel que

(s

1

, . . . , s

j−1

, s

j

, . . . , s

q

)

soit une dé omposition réduite de

sw

et quela suite

(s, s

1

, . . . , s

j−1

, s

j

, . . . , s

q

)

soit une dé omposition réduite de

w

.

Plusieurs dé ompositions réduites d'un élément

Lorsdelapremièrepartiesurleslongueursetlesdé ompositionsréduites,

j'avais donné un exemple très simple pour dire qu'un élément d'un groupe

ver diérentes dé ompositionsréduites pour un élément.

Considérons le groupe symétrique

S

4

et un de ses ensembles générateurs

S = {(12), (23), (34)}

. Le ouple

(S

4

, S)

est un système de Coxeter, nous le démontrerons plus tard.

Dans esystème,

(14) = (34)(23)(12)(23)(34)

etlasuites

= ((34), (23), (12), (23), (34))

est une dé ompositionréduite de

(14)

.

Si on ompose à gau he

(14)

par

(12)

, onobtient:

(12)(14) = (12)(34)(23)(12)(23)(34) = (34)(23)(12)(34)

On a don que

l

S

((12)(14)) = l

S

((14)) − 1

et on peut don appliquer la ondition d'é hange.

Toutd'abord,onremarquequesionre omposeàgau hepar

(12)

,onobtient

(14) = (34)(23)(12)(23)(34) = (12)(34)(23)(12)(34)

.

Enn, la ondition d'é hange nous dit qu'il existe un entier

1 ≤ j ≤ 5

tel que

ss

1

· · · s

j−1

= s

1

· · · s

j

= w

et tel que les suites s

= (s, s

1

, · · · , s

j−1

)

et s'

= (s

1

, · · · , s

j

)

. Eneet ona

(12)(34)(23)(12) = (34)(23)(12)(34)

.

Ainsi on a obtenu diérentes dé omposition réduites pour deux éléments

distin ts qui sont



(14) = (34)(23)(12)(23)(34) = (12)(34)(23)(12)(34)



(143) = (12)(34)(23)(12) = (34)(23)(12)(34)

Théorème 1. Pourque

(W, S)

soitun système deCoxeter, ilfaut etilsut qu'il satisfasse à la ondition d'é hange (E).

1.1.6 Familles de partitions

Soit

(W, S)

unsystèmedeCoxeter.Pourtous

s ∈ S

,onnote

P

s

l'ensemble des éléments

w ∈ W

tel que

l(sw) l(w)

, 'est à dire l'ensemble des

w ∈ W

qui ne sont pas rédu tible lorsqu'ils sont omposés àgau he ave

s

.

On ales propriétés suivantes :

(A) On a

T

s∈S

P

s

= 1

.

Démonstration. En eet, soit

w ∈ W

et soit

(s

1

, . . . , s

q

)

une dé ompo-sition réduite de

w

. On a

q ≥ 1

, et

(s

2

, . . . , s

q

)

est une dé omposition réduitede

s

1

w

,d'où

l(w) = q

,

l(s

1

w) = q − 1

. Ce quirevient àdire que

w /

∈ P

s

1

.

Démonstration. Soit

w ∈ W

et

s ∈ S

.

On avait vu que la ondition d'é hange impliquait deux résultats

pos-sibles sur lalongueur de

l(sw)

: (a)

l(ws) = l(w) + 1

,et don

w ∈ P

s

. (b)

l(ws) = l(w)−1

,etdon onpose

w

′

_{= sw}

:onaalors

l(w

′

_{) < l(sw}

′

₎

, d'où

w

′

_{∈ sP}

s

. (C) Soient

s, s

′

dans

S

, et

w

dans

W

. Si on a

w ∈ P

s

et

ws

′

_{∈ P}

_/

s

, on a

sw = ws

′

Démonstration. Soit

q

la longueur de

w

. De

w ∈ P

s

, on en déduit

l(sw) = q + 1

, de

ws

′

_{∈ P}

_/

s

on déduit

l(sws

′

_{) = l(ws}

′

_{) − 1 ≤ q}

, et omme on a

l(sws

′

_{) = l(sw) ± 1}

, on a nalement

l(ws

′

_{) = q + 1}

et

l(sws

′

_{) = q}

.

Soient

(s

1

, . . . , s

q

)

une dé omposition réduite de

w

et

s

q+1

= s

′

; alors

(s

1

, . . . , s

q+1

)

est une dé omposition réduite de l'élément

ws

′

de

lon-gueur

q + 1

. D'après la ondition d'é hange, il existe un entier

j

ave

1 ≤ j ≤ q + 1

telque

ss

1

. . . s

j−1

= s

1

. . . s

j

.

Don si l'on avait

1 ≤ j ≤ q

, alors on aurait

sw = s

1

s

j−1

s

j+1

s

q

et ela serait ontraire à laformule

l(sw) = q + 1

Ré iproquement ona lerésultat suivant:

Proposition 6. Soit

(P

s

)

s∈S

une famille de partie de

W

satisfaisant a (C) et aux onditions suivantes :

(A') On a

1 ∈ P

s

pour tout

s ∈ S

.

(B') Les ensembles

P

s

et

sP

s

sont disjoints pour tout

s ∈ S

.

Alors

(W, S)

est un système de Coxeter et

P

s

se ompose des éléments de

w

de

W

tels que

l(sw) > l(w)

.

Démonstration. Soient

s ∈ S

et

w ∈ W

. De deux hoses l'une:

1.

w /

∈ P

s

. Soit

(s

1

, . . . , s

q

)

une dé omposition réduite de

W

, on pose

w

j

= s

1

. . . s

j

pour

1 ≤ j ≤ qS

et

w

0

= 1

.

Commeon a

w

0

∈ P

s

,il existe

j

ave

1 ≤ j ≤ q

telque

wj − 1 ∈ P

s

et que

w = w

q

∈ P

/

s

. Don d'après (C) ona

sw

j−1

= w

j−1

s

j

.

On a don montré la formule de la ondition d'é hange, d'où

sw =

2.

w ∈ P

s

. On pose

w

′

_{= sw}

, d'où

w

′

_{∈ P}

_/

s

. On a don

l(sw

′

_{) ≤ l(w}

′

₎

, 'est à dire

l(w) < l(sw)

.

On a don prouvé que

P

s

se ompose des éléments

w ∈ W

tels que

l(w) <

l(sw)

.

Le résultat prouvant que

(W, S)

est un système de Coxeter provient du fait que

(W, S)

satisfait à la ondition d'é hange montrer dans lea).

Exemple. Appli ationde laproposition auxgroupessymétriques :

Soit

n ≥ 2

, et on pose

S = {s

i

= (i, i + 1), pour 1 ≤ i ≤ n − 1}

et

H

i

= {w ∈ S

n

tels que

w

−1

_{(i) < w}

−1

_{(i + 1)}}

.

Montrons que

(S

n

, S)

est un système de Coxeter.

Dans un premier temps, montrons que la familles

(H

i

)

1≤i≤n

satisfait à la ondition (C) :

→

Soit

i, j ∈ {1, · · · , n}

tels que



w ∈ H

i

ws

j

∈ H

/

i

(1)



w

−1

_{(i) < w}

−1

_{(i + 1)}

(ws

j

)

−1

(i) < (ws

j

)

−1

(i + 1) ⇔ s

j

w

−1

(i) < s

j

w

−1

(i + 1)

Montrons que

s

1

w = ws

j

⇔ s

i

= ws

j

w

−1

_{⇔ (i, i + 1) = (w(j), w(j + 1))}

. On a(1)

⇒ s

j

= (w

−1

_{(i), w}

−1

_{(i + 1))}

.

•

si

x /

∈ {(i, i + 1)}

on a

w

−1

_{(x) /}

_{∈ {w}

−1

_{(i), w}

−1

_{(i + 1)}}

, et don

ws

j

w

−1

_{(x) = x}

.

•

si

x = i ⇒ w

−1

_{(x) = w}

−1

_(i)

, et don

ws

j

w

−1

_{(x) = i + 1}

.

•

si

x = i + 1

ona

ws

j

w

−1

_{(x) = i}

. D'où

s

i

= ws

j

w

−1

, e qui vérie la ondition (C).

→

la ondition (A')est évidente.

→

Il ne reste plus qu'àmontrer la ondition (B'): Soit

w ∈ H

i

∩ s

i

H

i

,

on adon



w

−1

_{(i) < w}

−1

_{(i + 1)}

∃z ∈ H

i

telque

w = s

i

z

On adon d'une part que

z ∈ H

i

⇔ z

−1

(i) < z

−1

(i + 1)

,

et d'une autrepart que

w ∈ H

i

⇔ z

−1

s

i

(i) < z

−1

s

i

(i + 1) ⇔ z

−1

(i + 1) < z

−1

(i)

.

On adon une ontradi tion, e qui montre que

∀i

,

H

i

∩ s

i

H

i

= ∅

.

Soit

(W, S)

un système de Coxeter. Pour toute partie

X

de

S

, on note

W

X

lesous-groupe de

W

engendré par

X

.

Proposition 7. Soit

w

dans

W

. Il existe une partie

S

w

de

S

telle que l'on ait

S

w

= {s

1

, . . . , s

q

}

pour toute dé ompositionréduite

(s

1

, . . . , s

q

)

de

w

. Corollaire2. Pourtoutepartie

X

de

S

,lesous-groupe

W

X

de

W

se ompose des éléments

w

de

W

tels que

S

w

⊂ W

.

Démonstration. Si

w = s

1

· · · s

q

ave

s

1

, · · · , s

q

∈ S

, ona

w

−1

_{= s}

q

· · · s

1

, on en déduit que

S

w

−1

= S

w

.

La proposition 5 dans la partie sur la ondition d'é hange, montre que l'on

a

S

ww

′

⊂ {s} ∪ S

w

′

pour

s ∈ S

et

w ∈ W

, d'où laformule

S

ww

′

= S

_w

∪ S

_w

′

par ré urren esur lalongueur de

w

.

Onobtientdon l'ensemble

U

des

w ∈ W

telsque

S

x

⊂ X

estunsous-groupe de

W

;on a

X ⊂ U ⊂ W

X

,d'où

U = W

X

.

Corollaire 3. Pour toute partie

X

de

S

, on a

W

X

∩ S = X

.

Démonstration. Celarésulte du orollaire1pré èdent et de la formule

S

s

=

{s}

pour

s

dans

S

.

Corollaire 4. L'ensemble

S

est un ensemble générateur minimal de

W

Démonstration. Si

X ⊂ S

engendre

W

,ona

W = W

X

,d'où

X = S∩W

X

= S

d'après le orollaire2 pré èdent.

Corollaire 5. Pour toute partie

X

de

S

et tout

w

dans

W

X

, lalongueur de

w

par rapport à l'ensemble générateur

X

de

W

X

est égale à

l

S

(w)

.

Démonstration. Soit

(s

1

, · · · , s

q

)

une dé omposition réduite de

w

onsidéré ommeélémentde

W

;ona

w = s

1

· · · s

q

et

s

j

∈ X

pour

1 ≤ j ≤ q

( orollaire 1); par ailleurs,

w

ne peut-être produit de

q

′

< q

éléments de

X ⊂ S

par dénition de

q = l

S

(w)

.

Théorème 2.

i) Pourtoute partie

X

de

S

, le ouple

(W

X

, X)

est un systèmede Coxeter. ii) Soit

(X

i

)

i∈I

une famille de parties de

S

.

Si

X =

T

i∈I

X

i

, on a

W

X

=

T

i∈I

W

X

i

iii) Soit

X

et

X

′

deux parties de

S

. On a

W

X

⊂ W

X

′

(resp.

W

X

= W

X

′

) si et seulement si

X ⊂ X

′

(resp.

X = X

′

).

Démonstration. Tout élément de

X

d'ordre 2 et

X

engendre

W

X

. Soient

x ∈ X

et

w ∈ W

ave

l

X

(xw) ≤ l

X

(w) = q

.D'après le orollaire4,onadon

l

S

(xw) ≤ l

S

(w) = q

.

Soient

x

1

, · · · , s

q

∈ X

tels que

w = x

1

· · · x

q

; omme

(W, S)

satisfait à la ondition d'é hange, il existe un entier

j

telque

1 ≤ j ≤ q

et

xx

1

· · · x

j−1

=

x

1

· · · x

j

.Parsuite,

(W

X

, X)

satisfait àla ondition d'é hange,don 'est un système de Coxeter d'où (i).

Les assertions (ii)et (iii)résultent dire tement du orollaire1.

1.1.8 Matri es et graphes de Coxeter

Dénition. Soit

I

un ensemble. On appelle matri e de Coxeter de type

I

toute matri e arrée symétrique

M = (m

i,j

)

i,j∈I

dont les éléments sont des entiers ou

+∞

satisfaisantaux relations:



m

ii

= 1

, pour tout

i ∈ I

.



m

ij

≥ 2

, pour tout

i, j ∈ I

ave

i 6= j

Onappelle(parabusdelangage)graphedeCoxeterdetpe

I

un oupleformé d'un graphe

Γ(∗)

ayant

I

omme ensemblede sommetsetd'une appli ation

f

de l'ensemble des arêtes de e graphe formé de

∞

et des entiers

≥ 3

. On dit que

Γ

est le graphe sous-adja ent augraphe de Coxeter

(Γ, f )

Àtoutematri ede Coxeter

M

de type

I

,onasso ieungraphede Coxeter

(Γ, f )

de lamanièresuivante :

le graphe

Γ

a pour ensemble de sommets

I

et pour ensemble d'arêtes les parties

{i, j}

de

I

telles que

m

i,j

≥ 3

, l'appli ation

f

asso ie à l'arê

{i, j}

l'élément orrespondant

m

ij

de

M

.

Il est lair que l'on obtient ainsi une bije tion de l'ensembledes matri es de

Coxeter de type

I

sur l'ensembledes graphesde Coxeter de type

I

.

Exemple. Considérons le groupe symétrique

S

n

ainsi que l'ensemble

S =

{s

i

= (i, i + 1) | 1 ≤ i ≤ n − 1}

générateur de

S

n

. On pose

f : S × S −→ N

qui à tout ouple

(s, s

′

_{) ∈ S}

2

asso iel'ordre de

ss

′

On aalors

M =























1

3

· · · 3

3

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 · · · ·

3

1























legraphe asso iéest

Exemple. Considérons le groupe diédralD

m

omme dénition dans la se -tion 2, et la fon tion

f :

D

m

×

D

m

−→ N

qui à tout ouple

(s, s

′

_{) ∈}

D

m

2

asso ie l'ordrede

ss

′

. On aalors

M =



1

m

m

1



Dans e paragraphe, les lettres

G, B, N, S, T, W

ontla signi ation indi-quée dans lapartie suivante.

1.2.1 Dénition et premières propriétés

Soient

G

un groupe et

B

un sous-groupede

G

. On fait opérer le groupe

B × B

sur

G

par laloi

(b, b

′

_{).g = bgb}

−1

pour

b, b

′

_{∈ B}

et

g ∈ G

. Les orbites de

B × B

dans

G

sont les ensembles

BgB

−1

, pour

g ∈ G

, qu'on appelle doubles lassesde

G

suivant

B

.Ellesformentune partitionde

G

;l'ensemble quotient orrespondantsenote

B \G/B

.Si

C

et

C

′

sontdeuxdoubles lasses,

CC

′

est réunion de doubles lasses.

Dénition. OnappellesystèmedeTitsun quadruplet

(G, B, N, S)

où

G

est un groupe,

B

et

N

deux sous-groupes de

G

et

S

une partie de

N/(B ∩ N)

, satisfaisantà aux axiomes suivants :

(T1) l'ensemble

B ∪ N

engendre

G

et

B ∩ N

est un sous-groupe distingué de

N

.

(T2) l'ensemble

N

engendre legroupe

W = N/(B ∩ N)

etse ompose d'élé-mentsd'ordre 2.

(T3) on a

sBw ⊂ BswB

pour

s ∈ S

, et

w ∈ W

. (T4) Pour tout

s ∈ S

, ona

sBs 6⊂ B

.

Legroupe

W

estaussiappelélegroupedeWeyldusystèmedeTits

(G, B, N, S)

. Dans e paragraphe,

(G, B, N, S)

désigne un système de Tits.

On pose

T = B ∩ N

et

W = N/T

.Pardouble lasse,onentenddouble lasse de

G

suivant

B

.Pour tout

w ∈ W

,on pose

C(w) = BwB

; 'est une double lasse.

Nous allons déduire quelques onséquen es élémentaires des axiomes (T1) à

(T4). On note

w, w

′

_{, . . .}

des éléments de

W

et

s, s

′

_{, . . .}

des éléments de

S

. On ales relationssuivantes :

(1)

C(1) = B

,

C(ww

′

_{) ⊂ C(w) ∪ C(w}

′

₎

,

C(w

−1

_{) = C(w)}

−1

.

(2) l'axiome(T3) s'é rit aussi sous la forme

C(s).C(w) ⊂ C(w) ∩ C(sw)

.

(3) omme

C(sw) ⊂ C(s) ∪ C(w

′

₎

d'après(1) et que

C(s).C(w)

est réunion de doubles lasses,il n'y aque deux possibilités.

C(s).C(w) =



(4) On a

B 6= C(s).C(s)

d'après (T4); faisant

w = s

dans (3) et utilisant larelation

s

2

_{= 1}

, onobtient

C(s).C(s) = B ∪ C(s)

.

(5) Cetteformulemontreque

B ∪ C(s)

est unsous-groupedeG.Multiplions lesdeux membres de (4)  droite par

C(w)

, utilisonsla formule (3) et larelation

B.C(w) = C(w)

;

onobtient

C(s).C(s).C(w) = C(w) ∪ C(sw)

.

Sil'onprend lesinversesdes ensembles intervenantdanslesformules(2), (3)

et (5)et qu'on y rempla e

w

par

w

−1

onobtientles formules

(2')

C(w).C(s) ⊂ C(w) ∩ C(ws)

. (3')

C(w).C(s) =



C(ws)

si C(w) 6⊂ C(w).C(s)

C(w) ∪ C(ws) si C(w) ⊂ C(w).C(s)

(5')

C(w).C(s).C(s) = C(w) ∪ C(ws)

.

Lemme 4. Soient

s

1

, · · · , s

q

∈ S

et soit

w ∈ W

. On a

C(s

1

· · · s

q

)).C(w)

S

_i

₁

_{,··· ,i}

_p

C(s

i

1

· · · s

i

q

w)

où

(i

1

, · · · , i

p

)

dé rit l'ensemble des suites stri tement roissantes d'entiers de l'intervalle

[1, q]

Démonstration. On raisonne par ré urren esur

q

, le as

q = 0

étant tri-vial. Si

q ≥ 1

, on a

C(s

1

· · · s

q

).C(w) ⊂ C(s

1

).C(s

2

· · · s

q

).C(w)

. D'après l'hypothèse de ré urren e,

C(s

2

· · · s

q

).C(w)

est ontenu dans laréunion des

C(s

j

1

· · · s

j

p

w)

, où

2 ≤ j

1

< · · · < j

p

≤ q

.

1.2.2 Dé omposition de

G

en doubles lasses

Théorème 3. On a

G = BW B

. L'appli ation

w −→ C(w)

est une bije tion de

W

sur l'ensemble

B G/B

des doubles lasses de

G

suivant

B

.

Théorème 4. Le ouple

(W, S)

estun système de Coxeter.De plus, pour

s ∈

S

et

w ∈ W

, les relations

C(sw) = C(s).C(w)

et

l

S

(sw) > l

S

(w)

sont équivalentes.

Démonstration.

∀s ∈ S

,soit

P

s

l'ensemble des éléments

w ∈ W

tels que

C(s).C(w) = C(sw).

Nous allons vérier que les

P

s

satisfont aux onditions (A'), (B') et (C) de la proposition6 dans lapartie sur les famillesde partitions.

→

la ondition (A')est évidente.

→

vérions (B').

Si onavait

w ∈ P

s

∩ sP

s

, alors onaurait

C(s).C(w) = C(sw)

et

C(s).C(sw) = C(w)

.

On en déduirait

C(s).C(s).C(w) = C(w)

et, d'après la formule (5), e i impliquerait

C(w) = C(sw)

!!! ontradi tion ave lethéorème 3.

=⇒

Vérions(C). Soient

s, s

′

_{∈ S}

et

w, w

′

_{∈ W}

ave

w

′

_{= ws}

′

. On fait l'hypothèse que

w ∈ P

s

et

w

′

_{∈ P}

_/

s

d'où

(6) C(sw) = C(s).C(w)

(7) C(w

′

_{) ⊂ C(s).C(w}

′

₎

d'après laformule(3). De (7) etde larelation

w = w

′

_s

′

onen déduit

(8) C(s)w

′

_s

′

_{B = C(sw).}

D'après la formule(2'), on a

C(w

′

).C(s

′

) ⊂ C(w

′

) ∩ C(w

′

s

′

)

, d'où immédia-tement

(9) C(w

′

_)s

′

_{B ⊂ C(ws}

′

_{) ∩ C(w).}

Comme

C(w

′

₎

est réunionde lasses à gau he

gB

et quel'on a

C(s)C(w

′

_{) = C(s)w}

′

_B,

laformule(7)montreque

C(s)w

′

ren ontre C(w')etafortiorique

C(s)w

′

_s

′

_B

ren ontre

C(w

′

_)s

′

_B

. Il résulte alors des formules (8) et (9) que la double

lasse

C(sw)

est égale à l'une des doubles lasses

C(ws

′

₎

et

C(w)

; omme on a

sw 6= w

, le théorème 3permetde onb lure que

sw = ws

′

 " Elément de mathématique : Groupeset algèbres de Lie, Chapitre 4,

5, 6" de N.BOURBAKI (1981).

édition MASSON .

 " Cours d'algèbre "de DanielPERRIN (2004).