HAL Id: inria-00107614
https://hal.inria.fr/inria-00107614
Submitted on 19 Oct 2006
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Fiabilité, maintenance, simulation et combinatoire
Guillaume Thisselin
To cite this version:
Guillaume Thisselin. Fiabilité, maintenance, simulation et combinatoire. [Stage] A02-R-393 || thisselin02c, 2002, 49 p. �inria-00107614�
! "# $ % & ' ( ) ! * + " * , - . ! / ! " 0 1 " " 0 " 2 " ! " $ 3 " 4 % 2 " * 5) 6 ' * # $ % & $ & ' % " . % 7 ' . % 2 %% +' ! ' % " ( # 0 " - % 3 83 9+ : % 3 % 3 ! 83 9+ : " $ ) & * 0 " - "# $ ; " < $ + = 3 ( = 2 > ? > " " 4 = 2 4 = @ * = 2 .
! " #$" ! # % # & $ ' ( # & $ & ) " " # $ ) * + $ " # $ $ & $ $ " * ! # & $ + ) $ & $ " '# , # & !! *
( -
. / /
0
1 2
3
$ ( $ $ !! $ #$" 0 # 0 * 0 ) ) ! 4 $ % % + 5* 0 & $ #$" # + 6 $ % + #$& ! % + % + * & # ++ ! & #- & $ 0 & 7 $
& 8998 ! ( : ! & $ # %* 0 # ! $ , $ % + 3 " & ; % + " % + # ! " $ * ( , $ ! ) ) + 6 • 0 % + 3 $ ' ! $ )$ $ , ! $ % + < 3 ! $ 3 , $ , ! $ ! 3$ =* 0# $ ! $ # ' * 0# $& & ) * + )$ $ !! $ $ $ & # + * • 0# % + 3 $ * " % + 3 $ 3 " # > $ & " , $ < $ & $ ? =* + $ $ " * • 0 $ $& * # $ , $ ! & % + 3 # $& $) $! 3 & ; # $! * -# $ , % + 3 # & , , " % + * ( & $ + & $) $ + & ' ! ! , % + 3 $ * " % + # ) + $ $ " ! " $ $& * # # $ ! $ , < " & = $) # $ #$& % + $) " * - & $ $ )$ $ $ ! *
8 2 0
+
$ $
! "
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
)%*+,!)-.
/0$
$&1"%"!'.
(
&"#
*1
/
( -
D 0E
( -
F
0
G
@@
-
(
F - H
H
*1*1 2 ( $!
#
% +
3
- % + ! " & ! $ ! $ ! " $ * " # % + < $ $! = " # # 3$ ! " $ $ I J1K* 0 $! # % + & ; + !!$ % + 6 $ + & ? 0 " % + $ , * ! # & & < # ) = # $ < # $ =* " $! , 6 , $ ) , , $ **1*8
$
#
% +
+
!
= ( ) ! $ $! 3 3 $ % + 3 6 ) ! $ $! * , ! " + " " ! "- ) ! $ ) * 0 ) $ % + * 0 ) $) $ 3 ! 6 $ * 0 ) ! $ " % + ! # 3 & " ! * ( % + $ #% $ ) ! $* - $! ! $ " $&$ $ " $! % + * 3 % + " ) ! $ L " # > " # ! L #% ! !* # 3 # % + M " ! 8 M ! * & + # 3 & $! " # $ ! $ $ ! % + " ! $ 3 ' * = + 3 # % + 3 - # $ ) ! $* - + # + " ; * 0 % + 3 ! # + ! < 3 " ! =* $! $ $* 3 # ) 8+ $! * - " + * -" # ; * 0 % + 3 # 3 < 3 " =* $! $ $* 3 # ) 1 $! *
*1*M N %
+
)$ $
'
!
= ' ! $ % + 3 " & * " $ % + $ " 3 $ ! $ * ' ! % ! % + + " * # " !! & & % + , * & + L 3 & $ " % + *$ 3 6 • $ " # $ $ $ $ * • $ ; # # $ $ $* = N % + , 3 " " ! 3 , $ ) ; , , $ * & ) O ! ) 6 • $ $ $ * • $ $ $ * • $ $ $ * • $ $ * " 4 $ $ 5 # $ + " # ! " # $ $ # " # $& $ * " # $ ! * , -./0012013454,0-13674313 , 7180367431324,2012013 , 718001201324,2-69.,01310., 7180367431324,2-69.,013 42-1-69.,04:1 , -./0-69.,0137.8301201394/2 ., 7180367431324,2-69.,013 1-69.,04:1, 4;4,0</18=817.83 1>>1?08138, 0120<1?.@0-1-69.,04:1 7180A031/,?<82-4,2<1?.@0-10120 , 718001201324,2-69.,01394/2 ., -./0-69.,0137.833674313 1-69.,04:1, 4;4,0</18=817.83 1>>1?08138,13674340/., <1?.@0-1-69.,04:1 7180A031/,?<82-4,2<1?.@0-13674340/., , -./0-69.,0137.83 012013107.833674313 .991<10120120.B</:40./31454,0 <43674340/., ., /,?<80<1?.@0-1 -69.,04:1-4,2<1?.@0-10120 ?42?3/0/=81 ( " , $ ) , , $ ; $ !! $ * $ # , 3 , $ 6 , $ " $' $ $ , " # # * " , $ ) # 3 , * " 3 , 6 $ *
*1*O 2
& 3 3
+ & & )$ $ $ % + 3 " " " # 3 , < $ $ ) = ' + 3 $$ * # & &$ ) & 3
!! $ & ( : P & ( * & &$ 3 " * ; + # + 3 L " ) ( * & $) &$ 3 % + $ $ J8K* ) . ( : $ $ +
& 4 5 JOK* 0 !!$ & ! " # #% " ,
" % + $ * ( $ $ $ 3 & , L $ * ( JQK $ $ $ L $ * $ 3 $ $ JOK # 3 + " # $ + < $ 3 =*
*8
D
(
/
N /
7
-*8*1
)
% +
3 *
0 % + # ) 3 * % # ) 4 5* ( & ' " # & $ $ ! % + * 0 $" # # & $ ! ! #$ ! $ $' $ * + ) % $ " $ # &$ ) ! $ **8*8
0 $" $ $ ) % " * # " " # !! + > ! $ R1+ * #$ ! # & ) * + ! 3 & " # ! SO* ! S1 ! SM* # $ !!$ ' " # & ! " ! * ! ! " < ! 3" & " % + ! =* ! & $ * ! # # & 6+ "
*8*M
$
$
"
) ! # " " < & $ ! = , % + # $ $ " , < * * $ $ " # =* ' ! # $ $ " * 0# $ $ " # $ & & +) $ $ *$#0"&2)*$#*$
!"#).
+&(
)%$3'4&$
*1 2
/
D - 0
0# ' ! & $ 4 ) 5 ) < * * 3 = " # 3$ $ $ " 4 ) 5 < $ ! =* & # * # ) # + * $ + % ) 3 ) ! $ $ 3 6 • 0# 3 3 < $ $ 3 = " $ $ & " * • 0# 3 < $ $ $ = " ! " # $' $ $ !! $ <$ = " # & " # # <$ =* $ # 3 ) 6 • 0 $ $ $& < = JTK • 0 ) % " JTK • 0 ) JUK ( $ $ $ 3 * 0 + # 3 3 # * 0 3 # !!$ # " # $ ) * ! $ # & " + $ $* ! + $ % ) % " **8
-
(
0# D
(
0
-H 0
H 0
(
0#
D 0 (
0-*8*1 2 .
)
#
= # * " # V ! $ $ !! * = V & V $! ! 0# + $ & * 0 $ & V " " # " # ! $ $ < " = $ * ( # # " $ $ " " $ " * ; A% < 3 " " & $ & 6 • - 4 $ 5* # ) ! " # ! $ * D # 3 " $ % + & $' !! $ * • ( * " $ * # # & $ & " # $ & $* $& # $ $ " " & ! & # $ $ " $! !* = ) Arbre construireArbreTestsExplicite() {// vérification de l’état de fonctionnement du système
si (système fonctionne) alors
return Feuille(erreur)
fsi
// construction des sous-arbres virtuels
si (réparation possible) alors
listeSousArbresVirtuels += Feuille(réparation)
fsi
E = ensemble des composants non encore testés Pour tout c ∈ E faire
mettre c à l’état de fonctionnement « panne »
arbreGauche = construireArbreTestsExplicite() mettre c à l’état de fonctionnement « marche » arbreDroit = construireArbreTestsExplicite()
listeSousArbresVirtuels += <arbreGauche,c,arbreDroit> mettre c à l’état de fonctionnement « indéterminé » finpour
// choix d’un sous-arbre définitif
return meilleurSousArbreVirtuel(listeSousArbresVirtuels) } = 3 $ # ) % + 3 * < = 3 $ $ " % + $ $ $* ) ! # ) " $ 3 3 3 $ + * ( 6 < = W <1= R 8* * < 1=* $ & " < = W <8 * X=* ( % + 3 $ <8 * X=*
*8*8 2
$
$
$
$
# !!
$
#
*
= 0 $ ! * 0 # " # " V& ; & & #
% + ! # $ " 3*
$! $ $ " $ V & *
" % + ! Y 6 0# $ & $ $'
3 !!$ % + ! * & & $ $ " # % &
3 !!$ % + ! 6 + ! + $ * " $ Y 6 0 + $ " # & ) $ " " ! 4 5* $ $ # + * $ " ! $ 4 5 L " " & " % + " # + $ * 0 $ " # & ) $ 4 " 5* $ $ $ $ * $ " ! $ 4 " 5 " + L 3 & % + *
= $ # + 3 # & % + ! $ $& " ' $ $ + 3* $ + 3 $ % + * $ $ + 3 ; 3 * # 3 & 6 $ " & % + ! $ + 3 # $ % , * ! $! $ $ * = - ) ! $ % + 0 ) ! $ # % + ) * & ) $ % + ! $ " , ) * & , $ % < JZK=* # & & $ $ 3 % + " $ ) ! $ " * ( & $ $ ! " % + * 0 !!$ $ % ) ! $ $ $ 3 6 120.B</:40./31 454,03674340/., 120>4?8<040/> 454,03674340/., 20?1=81<12;20C91>.,?0/.,,1D ,,1E1 ,13674340/., ?1304/,11201<<17.22/B<1D ,,1E1 0.8F.832 ,13674340/., =842/ ?1304/,11201<<17.22/B<1D ,,1E1 ,,1E1 81<120<1?.@0-1<491/<<1831 3674340/., ?1304/,17.22/B<1D ,,1E1 ,,1E1 81<120<1?.@0-1<491/<<1831 3674340/., =842/ ?1304/,17.22/B<1D ,,1E1$ ,,1E1
*M
-
(
0# D
(
0
-H 0
0
(
0#
D 0 (
0-*M*1 2
$
$
= $ )$ $ * # 3 $ $ 6 ; A % < # 3 3 & & " # % $ < * * # $ $ " =* & + , 3& ; , # & " # &
# * = D $ ) !$ * $ 6 • $ ) D " ' # $ $ " $ * • !$ D " $* D $ # $ $ " $ " # ! ; * " D [ D * ) ! " # # $ $ " $ # $ $ " # * , " # # *
= )
Arbre construireArbreTestsImplicite() {
// vérification de l’état de fonctionnement du système
si (système fonctionne) alors
return Feuille(erreur)
fsi
// construction des sous-arbres virtuels
borneSup = calculerBorneSup() meilleurSousArbreVirtuel = null
si (réparation possible) alors
meilleurSousArbreVirtuel += Feuille(réparation)
mettre à jour borneSup fsi
E = ensemble des composants non encore testés Pour tout c ∈ E faire
borneInf = calculerBorneInf(c)
si (borneInf ≤ borneSup) alors
mettre c à l’état de fonctionnement « panne »
arbreGauche = construireArbreTestsImplicite() mettre c à l’état de fonctionnement « marche » arbreDroit = construireArbreTestsImplicite()
mettre c à l’état de fonctionnement « indéterminé » sousArbre = <arbreGauche,c,arbreDroit>
si (sousArbre est meilleur que meilleurSousArbreVirtuel) alors meilleurSousArbreVirtuel = sousArbre
mettre à jour borneSup fsi fsi finpour return meilleurSousArbreVirtuel }
*M*8
$
)
& " $ 4 ! 5 $ * ) # ) " " # % 3 !!$ $ ) 6 < & & = ' + " & < ' $ & & =* $ # " ! * ! % + !! 4 5 + * $ $ $ $ " + 3 L # $! # $ $ " # # $ $ " , 4 5 * 7 " % + & " $ $ * " L # ) * # ) " $ # ! ); # " # # ) " # * " & $ Y " $ * !! # $ $ " # * ! ) 3 6• 1 6 $' $ % * ! #$ $ $ $ * 0# ! ! $ & # & 6 • 8 6 $' $ ! * ! $) #$ $ $ $ 3 " * 1 " # # $ ; $ * ! ! ) & $ # < # =* 0# ! ! $ & # & < " Q " , $ = 6 0 $ $ " $ " ! & 6
?42 %
G
H?.80
?,0I 73.B4
?,0J?.80
?,0K I
?.80
?.97.24,02 ,., 012062?,0 ?7 ?.97.24,02 1, 74,,1?7?42 %
G
H?.80
?,0I 73.B4
?,0J ?.80
?,0K I
73.B4
/, H?.80
K
?.97.24,02 ,., 012062?,0 ?,0 ?.97.24,0 ,., 012062 ?.97.24,02 ,., 012062 ?,0∏
J
*M*M 0
!$
*
= 0 " ) & $ I " " * \ $* # ) " \ I $ $ $ , 3* 0 ! +B1+ % + , $ * ( # $ $ " $ $ $) , $ , 3* ( !$ * $ \ % 4 5 & $ \ $) !$ * $ $ # & ) " # # $ $ " \ & 3 * !! # " " \ ; # $ " # L $ * 6H
-JK G
/, H
H
J H?LKK
?L19/,2?L -" # $! < \< == $* ) & $ $ * ! & # " # $ $ " * . " # $! JOK* ! ] * J^K ^+ $ # $ $ " 6H
-J H?LKK G
/,
?.80
?
J
73.B4
?.97.24,02? ? MNO /G M/O N NG ,H
K
+
∏
= 0 " & $ ! ! ( L # ) # & &$ ! # $ $ " * )$ < X L # =* & ) # !! ! 8 < 3 $ < _ == $ & 9*$ % 4 0 ^ 5 )$ $ $ 3 " $ $ $ $ $ *
*M*O 2
3 $
+ % + * = $ ) 0 # $ $ " # ! < =* $ ! < * = = !$ * % + & S1 !$ ! $) < * = ; " $ $ * % + & S8 # ! < X= < _ =*M*Q 2
V
&
& & " & $ ) $ $ $
+ " # V & * ( $) " #
V & * " # # $ $
$ $ ) ( $ " # #% !
*O 2 /
0-
( #-
D 0E
0-
. / /
0 6
N
(
P
.
( P
7
-*O*1 2 ( $!
+
$
= $ " * " % + & + ! * #$ ! # * 0 #$ ! * ' ! ! % + , " $ $ $ * $" " # $' #$ * # $ 1+ $ # ! $ * ! & * 0# ) # 3 * " & * 0# $ " ! ) % + * " $ $ $ % M ! ) % + * = + " 6 $ ! ) % + & $ " " ! ) $ % + * ! $ !! M $ ! 6 9 1 8 $ $* ! $ & 19* ! ) 9 ! " % + ! ) M 21 ! " % + $ $ $* ( + # S " ! ) S % + **O*8 2
!
$
&
= M & M ! $ 3 $ $ $ * & ) % " * ) $ & 63 " # S8888M< * * $ $ $= $ $ $ # < = 3 3 3 ! ) + <8889M6 O A8881M 6 O $ =* " " # S ! " # ! ) S " * !! & #$ $ ) * " $ $ & 8 " + <9 1=* $ ) % " ! ) S* = V & V $! ! $ # S & $ $ $ & 6 • - 4 $ 5* $ $ $ # 3 " $ % + & $' !! $ * • ( * " $ * ! $ $ $& # $ $ " " ) * = $ construireArbresDeTestsDynamique() {
Pour tout i de 0 à 3n-1 faire
// construction de l’arbre de tests n°i
placer le système dans la configuration n°i
si (système fonctionne) alors
arbreTests[i]=Feuille(erreur) sinon
listeSousArbresVirtuels = vide
listeSousArbresVirtuels += Feuille(réparation)
fsi
E = ensemble des composants non encore testés Pour tout c ∈ E faire
k n° de configuration tel que c soit en panne arbreGauche = arbreTests[k]
k n° de configuration tel que c soit en marche arbreDroit = arbreTests[k] listeSousArbresVirtuels += <arbreGauche,c,arbreDroit> finpour arbreTests[i] = meilleurSousArbreVirtuel(listeSousArbresVirtuels) fsi finpour }
*O*M
3 $
= 3 $ # ) % + 3 * M * " # & " $ * ( 3 $ $ < *M =* = 3 $ # ) % + 3 * & ^ M * 7 " # & ' " # 8 21 $ $ " # ^ ) $ & ; * ! # & $ # 3 4 5* ( ^ " 3 & * ( ^$ + & " # ^ M 8*M **O*O
&
)
&$
$
0# & ) $ & ! " & ;
!! $ ! & ; " % + * + " & !! $ " ! ) % + & & 4 $ 5 # * $ $ & # " " " $ * & ) # &$ * 0 # ^ ) $ 3 * $ $ % + 4 5 < 3 1Q =*
$+!(
#&(
5+$*$!"#).
+&(
)%
',,!)42"$
*1 2
/
D - 0 6
0 -
0
/ N (
(
/
0-
N /
$ ! $ $ $ 6 • 0 * • 0 & ) * • 0 $ " 3 % 6 • ( $& $ 3 3 6 # ) #$ $ $ ! # $ 3 3 * • # % $ " $ + # $ ( $ $ ! # 3 3 $ $ $ $ **8 2 / N (
(
/
0-
N /
-
0
0
( - 0
: N
(
*8*1
$
" *
& & " $ $ 3 " # $ # & )
$ + + # &$ #; 3 $ 3 * 0# $ $ 3 % + < 3 " B = $ $ $ % + $" *
*8*8 0
4 0 ^
5
" ! $ ^ # # ! ^* 4 ! ^ 5 ! 3 ' $ ^* # ) $ ! $ ^ ! 4 5* ! # " # $ $ " $ * 0# 3 & ! M 8 " # * + " ? ? 0 ^ # 3 6 4 # ! ^ # #; " " ^ ) " ! # ! 5 " 0 ^ ! ^ $ !! ! $ ) * D ) ! 3 $ & $ **8*M 0 !
#
# & $ $ $ ! ! # ' C + * ! " ! & & + # $ $ " $ * ! # $ ) $ $ $ $ 3 3 **8*O 0# )
4 0 ^
5
0# ) $ + $ + $ $ 3 * 0 !!$ & ! " # $ " ! # & * Arbre LookAhead(entier k) {// vérification de l’état de fonctionnement du système
si (profondeur==0) alors return Feuille(estimation)
fsi
si (système fonctionne) alors
return Feuille(erreur)
fsi
// construction des sous-arbres virtuels
listeSousArbresVirtuels = vide
si (réparation possible) alors
listeSousArbresVirtuels += Feuille(réparation)
fsi
E = ensemble des composants non encore testés Pour tout c ∈ E faire
mettre c à l’état de fonctionnement « panne »
arbreGauche = construireArbreTests(profondeur-1) mettre c à l’état de fonctionnement « marche » arbreDroit = construireArbreTests(profondeur-1) listeSousArbresVirtuels += <arbreGauche,c,arbreDroit> mettre c à l’état de fonctionnement « indéterminé » finpour
// choix d’un sous-arbre définitif
return meilleurSousArbreVirtuel(listeSousArbresVirtuels) } 0# ) # 0 ^ & 6 Arbre construireArbreLA(entier k) { // construction de la racine arbreLookAhead = LookAhead(k)
si (arbreLookAhead = Réparation ou Erreur) alors return arbreLookAhead
sinon
c = racine(arbreLookAhead)
mettre c à l’état de fonctionnement « panne » arbreGauche = construireArbreLA(k)
mettre c à l’état de fonctionnement « marche » arbreDroit = construireArbreLA(k)
mettre c à l’état de fonctionnement « indéterminé » fsi
*M 2
N
N
( #-
D
@/
-
. 0 D 0 (
0#
/
( -
`
(
N
( -
P
E
*M*1 2
$
"
'
!
0 0 ^ $ $ $ * ! &
$ & $ 3*
# & $' $& " $ $ $ $ $ 3 & $
" % + * $& ! 0 ^ " * $ I ; $ ) # ' ) " # & * & 6 !$ * !! !$ ) # $ $ " , % + ' #$ $ * 0# ' ! & !$ !! ] < !$ # " & & =*
*M*8 2 7
!$
Y
( $ $ 3 3 & $ $ !$ * # ) # $ & $) $ * $ " $* # " !$ * ( $ $ & # ! ^* 0# $ $ $ ! $ ^ ! 4 5* ! # !$ $ $ # !$ ) * !$ ) !! $ # ) 0 ^ ! # !$ < $ $ # 3 =* $ $ !$ # " ! ^ ) *F *1 2 0
( # H /
F *1*1 2 0
% +
$
D " % $ !!$ $ 3 % + < % + $ % + + ? = " $ < % + 3 " $ = $ $ " M % + JMK* $ " ) ! $ + % + % + * $ JMK = - % + & # = - $ " = > $ " & ) #F *1*8 2
,
,
$
$
*
" )$ $ $ , , $ $ ! * 3 $ $ $ " $ $ * ( " # & * !! + $ & + ! # & ! $" , *F *1*M 2
+
" % + & )$ $ $ ' 3 $ * " ' $ & $ 6 • ! $ % + • # $ $ " % + ) % " < $ $ M= • # $ $ " $ " 0 ^ ! ^ < & ^ & # 3 $= • !$ ) " 0 ^ D !$ ! ^ < & ^ & # 3 $=* ! " % + % $ $ !$ ) ! ^*F *8 2 / - 0
F *8*1 2 %
+
$
" % + 3 $ $ & )$ $ $ Q9 ' 3 $ !!$ * 0 $ $ $ $ 3 < 3 : 0=* $ % + $ * = 0 ) % " % + & # $ !$ * # $ " &a*TU 1T*UQ * ! > $ " & ) #
' $ $ " $ & # 8 * = 0 $ $ 0 ^ 0 $ " # " ' $ <O 3 # = $ ! 0 ^ ! ^R1 " $ ! 0 ^ ! ^* ( 3 L $ $ # &$ ! $ #$ 3 $ $ " ' $ 9 99M b * 6 " ! " $ 3 ) % " $ $ " 0 ^ * 0 " ) % " #$ < > $ " & ) = ' # % 33 33 b ' 3 %% %% b * & $) " $ $ ' # ! $ % + * = & $ $ !$ ! ^
Système de protecton contre la survitesse d'une turbine
15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5 20 1 2 3 4 5 6 Force k E s p é ra n c e m a th é m a ti q u e
Solution approchée Borne inférieure
Alimentation électrique 12 12,5 13 13,5 14 14,5 15 15,5 16 16,5 17 1 2 3 4 5 6 Force k E s p é ra n c e m a th é m a ti q u e
Chaîne cinématique de levage d'un pont roulant
63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 1 2 3 4 5 6 Force k E s p é ra n c e m a th é m a ti q u e
Solution approchée Borne inférieure
F *8*8 2
= 0 ) % " > ) % " $ # $ * " # " " ) % " < % + 1Q = + + * ( " $ $ ! ) % + ! * = 0 $ $ 0 ^ 0 ! " # $ $ " $ $ $ " $ ! ^ # $ * 0 ! " $ $ &$ ! $ & " ! # $ * > $ " & ) ' # $ 33 b * $ $ * # " " # & ) & ^ ) * ) #$& $ $ !$ ! ^ 3 " !$ # ;& ) " ^WQ " # & 0 ^ & <
0-
F
( ) ( & # & $ $ 3 * 0 + $ < 3 3 = $ & * 3 # " " ' ; % + * 0 $ < 3 % = + $ # !! 4 5* $ " $ % + * ( ! $ ! , $ $ % + * , $ )+ !! * ! + + $ I < 3 % ) ( % " = $ )$ $ $ + 3 $ % + * 3 3 + $ $ # $ # $ * !! 1Q $ # B # $ !! * & ! $ # # $ < 3 " # = # ! " # $ & ! $ % + * & $) & $ $ $ !$ ) $ 0 ^ * 0# $ )$ $ $ $ + " # ! 3 ! 3$ # & $ 3 $ !$ * 0 ! $ & ! " # $ $ $ < $ = ' ! 3 ! 3$ * " ! " & 3 # &$ $ " $ ! 0 ^ $ 3 * % + ) $ 3 # !$ ) ' # $ * ' # MMb *& & " # % & $ ' # ! $ % + *
% ! " 4 & $ 5 ! # !$ * & & * # " ! ! & 3 $& # $ $ !!$ 3 $ ! !!$ $ $ * -) $ $ % + 3 $ $ $ $ " " $ $ 3 % ) % " , $ " $ $ * " # " $ $ 3 % + ! $ $ $ * ! $ ! , % + $ * # & $' $ $ " # $ ! $ * ! % # $ $ B % ) L ! L % + * ! & ! 3$ " ! , % + ; ! % + ! $ , *
H
6
7 -
0
P
E
@
Y
" % + ! + ! * # ) & # 3 3 # + ! * ) ! $ + & & " # 3 ! # $ * ! & $ # 3 # * 3 % + ! * $ " % + ! , " # &$*H
D 6-
/
00
D 0 Y
0 + & # $ $ $ *
! & & ) $ % + 3 &
& $ " # ! * # 3 & # & " # + $ * # ) # ) $ % * 3 6 $ % + 3 ) $ & 6 " # # $' $ 1 M O* 3 & 6 $ *
H
6-
/
7
-00
D 0
N
7 -
0
D 0 .
F
0
/
Y
! & & $ * + ' ) $ % + 3 * $ $ & ! & * + " # $ ) & $ < " # 3 & =* $ & * & & & # " + $ < 3 =* $ $ $ % * 3 6 $ % + 3 ) $ & 6 " # # $ 8 Q * 6 & " # 3 6 4 O M 5* " O $) $ 6 ! # 3 & * ( " $ *H
( 6-
/
7
-00
D 0
N
7 -
0
#
D 0 .
F
0
/
Y
$ $ " & $ * ( ; $ " 3 $ ! M* ! " # # & $ & " # < $ =*H
6
( /
0P
0 0
00 -
/
D 0
0
7 -
0
D 0 .
F
0
/
Y
# & $' $ $ " # $ " $ * ! & $ , * - ! & ) $ % + 3 * & $' $ * & " 6 9 ! , $ * , & * 0 # , ) % * 3 6 $ % + 3 ) $ & 6 " # # $ 1 M O Q* " 1 O ! * 6 ( 3 $ 6 4 O M 5 4 1 Q 5* 0 $ 4 O M 5 " , " 1 $ 8 4 1 Q 5*H
@ 6
( /
0P
0 0
00 -
/
D 0
0
7 -
0
#
D 0 .
F
0
/
Y
& & " % + & S8 $ $
$ ' * ! " # $ $ $
# ; # * (
$ *
0 $ ; " $ $ * !
& $ <& " $ = & $
H
. 6
( /
0P
0 0
00 -
/
7 -
D 0
0
7 -
0
D 0 .
F
0
/
Y
$ * $ $ & * 1* 7 " # $ " " & # $' $ * " Y 3 " * $ ! M* " # $ $ " " & $ " $ " * 8* " " + " # 3 $ < = 3 * ( # + $ $ $ 1* $ $ $ $ < = 3 , $ " & * !! $) $ * M* ! $ " $ < = 3 $ * 0 $ B * & ) $ % + * & # $ * - $ 3 $ + " $ & & * + ! # $ *H
N 6
( /
0P
0 0
00 -
/
7 -
D 0
0
7 -
0
#
D 0 .
F
0
/
Y
1* 7 " # $ " " & # < $ =* " Y 3 " * $ ! M* " #$ ! $ $ $ " " & $ " $ " * 8* " " + " # 3 $ < = 3 * ( # + $ $ $ 1* $ $ $ < = 3 , $ " & * M* ! $ " $ < = 3 * 0 $ B * & ) $ % + * & # * - $ 3 + " $ & & * + ! # $ *H
6
7 -
0
- 0 -
0
(
-
0
-
0#
0
/
(
0
0-
- F / Y
( 3 ; $ * 0 1Wc1 8d 8WcM Od < " ) " # $ =* " $ & 3 1 $ $ 1* ( 3 ! ) $ 6 1 * # $ # ; # $ cM Od* 1 8 " " $ # ; < " 1 " # $ " 8 =* ( # $ $ " $ W R <1 =*3 " " # % $ " 1 M ! % + , * % $ " $ $ " W 8* > B $& " # 3 & 3 " 8 e R <1 =3*D D 0
.
N
J1K * * 0 f 1aUT* % ) ) g % h f P ^
J8K * * * * D * * D %*( ) )% ! %
% & *Ma 1aa9 8TM 8U9
JMK * )+ * . *@ $ % + * % 1aU9*
JOK * . * & ) * ( - & $ 0 & 7 $
JQK * * ( * : * , $ ) ! $* #91 & 8991 % JZK * . * 3*. ) * M $ * % 1aaQ* JTK * N * :* ) B* B 6 ) 3 % 1aU8* JUK :* * * ^ %* ) ) f * 1aaU*