Etude d'un système d'équations non - linéaire modélisant la convection de l'atmosphère

(1)

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE et POPULAIRE. Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique.

UNIVERSIT ´E MOULOUD MAMMERI de TIZI-OUZOU

Faculté des Sciences Département de Mathématiques

M´

emoire de Master

en

Math´

ematiques

Option

Analyse Math´

ematique et Applications

Th`

eme

´

Etude d’un syst`

eme d’´

equations non-lin´

eaire

mod´

elisant la convection de l’atmosph`

ere.

Pr´esent´e par

Melle HADID Nedjma Propos´e et dirig´e par Mme TALEB Lynda Devant le jury

M. MORSLI Mohamed Professeur UMMTO Pr´esident

Mme TALEB Lynda MCB UMMTO Rapporteur

Mme HANNACHI Leila. Professeur UMMTO Examinatrice

M. MENGUELTI Ali MAA UMMTO Examinateur

(2)

Remerciements

Je rends grace à Dieu qui m’a donné la volonté, la patience et le courage pour accomplir ce modeste travail.

Je remercie tout particuli`erement Mme _{Taleb Lynda} _{pour m’avoir propos´}_e

ce sujet de master et ce modeste travail et ses pr´ecieux conseils.

Mes vifs remerciements aux membres du jury pour avoir accepté d’examiner ce travail, ainsi que, qui ont contribué à ma formation,

`

a tout les enseignants du d´epartement de math´ematiques.

Je tiens à remercier toute ma famille, mes très chers parents qui sont toujours à mes cotés, mes très chers frères et soeur qui m’ont toujours soutenue,

ainsi que mes amis(es), en particulier Nina, Linda, Soraya, mes tantes mat´ernelles, Kaltoum,

pour leur soutien moral.

Je remercie tous celles et ceux qui, de prés ou de loin, par leurs avis et leurs opinions ont contribué à la réalisation de ce travail.

(3)

R´

esum´

e

Ce mémoire consacre l’étude d’un système d’équations non linéaire d’un fluide visqueux compressible et calorifère, modélisant la convection de l’atmosphère avec la donnée d’une distribution non-homogène de la température, proche de l’état hydrostatique.On démontre l’éxistence d’une solution stationnaire pour ce système dans un voisinage proche de l’état hydrostatique.La démonstration se fait par l’application du théorème du point fixe de Schauder, dans des espaces de Sobolev adéquats, sur un opérateur construit à base des ´

equations linéarisées.Pour ce faire, il est essentiel d’obtenir des estimations à priori pour le vecteur vitesse, la densité et la température.

Mots-cl´es

Equations de l’atmosphère, état hydrostatique, mouvement de convection de l’air, solution stationnaire, théorème du point fixe de Schauder...

(4)

Table des mati`

eres

Introduction 1

1 Pr´eliminaires 3

1.1 Généralités de l’atmosphère . . . 3

1.2 Op´erateurs diff´erentiels . . . 4

1.3 Espaces fonctionnels . . . 4

1.4 Quelques in´egalit´es . . . 8

1.5 Le syst`eme de Lam´e . . . 8

1.6 Le probl`eme de Stokes dans des domaines born´es . . . 9

2 Existence d’une solution stationnaire 14 2.1 Position du probl`eme . . . 14

2.2 R´esultat d’existence d’une solution stationnaire . . . 16

2.3 Stratégie de la démonstration du résultat . . . 16

2.3.1 D´efinition de l’´etat hydrostatique . . . 17

2.3.2 Lin´earisation du syst`eme . . . 17

2.3.3 Position des équations linéarisées . . . 22

2.3.4 Construction de l’op´erateur non lin´eaire Φ . . . 24

2.3.5 Application du th´eor`eme du point fixe de Schauder . . . 24

2.3.5.1 Φ est bien d´efini . . . 24

2.3.5.2 Φ est continu . . . 24

(5)

2.3.5.4 Estimation à priori . . . 26 2.4 Démonstration du résultat . . . 46

Conclusion 48

(6)

Introduction

Dans l’atmosphère, une des fa¸cons dont la chaleur est transférée à travers l’air est la convection, elle se produit quand une couche d’air, en contact avec une surface chaude, chauffée par la conduction devient plus flottable. La température de l’air, étant généralement plus haute au niveau du sol, diminue avec l’altitude. Cette différence verticale de la température crée un soulévement ségnificatif de l’air qui entraˆıne avec lui de l’énergie. Le phénomène de convection auquel on s’intéresse est le mouvement stationnaire, c’est-` a-dire, étant donnée la température sur la frontière d’un domaine, on s’intéresse à l’existence d’un mouvement stationnaire de l’air. Remarquons aussi que dans l’atmosphère réelle la diffusion de la chaleur et l’effet thermique de la friction interne sont relativement petits.De se fait le déplacement vertical de l’air engendre une variation de pression et de température assez proche du processus adiabatique, ce qui induit une distribution de la pression, de la densité et de la température assez proche de la distribution de l’état hydrostatique. Notons que même dans le cas d’un gaz renfermé entre deux plans horizontaux,si la température et la densité varie sensiblement, l’analyse de l’équation de mouvement du gaz présente des difficultés. Pour cela, dans notre étude de la convection nous supposons que l’air de l’atmosphère est contenu dans un domaine bien précis. Dans ce travial, nous considérons un système d’équations aux dérivées partielles décrivant le mouvement de convection d’un fluide visqueux compressible et calorifère avec la donnée d’une distribution non-homogène de la température proche de l’état hydrostatique. Nous montrons l’existence d’une solution stationnaire de ce système d’équations dans un état proche de l’état hydrostatique. Pour cela, nous avons organisé l’ordre suivant,nous commen¸cons par donner l’introduction où l’on donne un bref hystorique sur la problématique.

(7)

outils et résultats classiques utilisés afin de réaliser ce travail.

Le deuxième chapitre consacre l’étude de l’existence d’une solution stationnaire du problème. Dans la première partie, nous donnons la position du problème et son interprétation ainsi qu’un résultat d’éxistence de cette solution. Dans la deuxième partie, nous donnons la stratégie de la démonstration de ce dernier, dans un premier temps, nous définissons l’état hydrostatique et nous linéarisons le système. Dans un second temps, nous donnons la po-sition des équations linéarisées. Dans un dernier temps, nous appliquons le théorème du point fixe de Schauder, pour cela, il est nécessaire de montrer que : Φ est bien défini, Φ est continu, Φ est une contraction, et pour montrer cette dérnière, on a besoin des estimations `

a priori.

Dans la dernière partie, nous démontrons enfin notre résultat principal.Nous terminons ce travail par une petite conclusion.

(8)

Chapitre 1

Pr´

eliminaires

On donnera quelques généralités de l’atmosphère. On rappelera quelques notions ba-siques des mathématiques qui seront utilisées dans ce mémoire, un grand nombre de ces notions sont des résultats classiques bien connus.

1.1 G´

en´

eralit´

es de l’atmosph`

ere

L’atmosphère présente des caractéristiques physiques différentes, en particulier de la pression et de la température, mais aussi une composition chimique très complexe.Les différences des caractéristiques physiques observées ont conduit à la division convention-nelle de l’atmosphère :troposphère,statosphère,mésosphère et thermosphère.La couche qui se trouve immédiatement au dessus de la surface terrestre est la troposphère ;elle est ca-ractérisée par la décroissance presque linéaire de la température suivant la hauteur.Cette décroissance est expliquée par la présence du mouvement vertical de l’air (et donc le mélange de l’air entre les parties supérieure et inférieure de la troposphère) dans lequel la variation de la pression et de la température ne s’écarte pas beaucoup de celle de la trans-formation adiabatique.La troposphère peut être considérée comme le siège des phénomènes météorologiques.

(9)

1.2 Op´

erateurs diff´

erentiels

Pour n un entier ,on note x = (x1, ..., xn) un vecteur de Rn. On appelle champ

de vecteur sur Rn _{une application υ : R}n_{→ R}n _{qui `}_{a x = (x}

1, ...., xn) associe υ(x) =

(υ(x1), ..., υ(xn)). Pour une fonction u : Rn → R, son gradient est le champ de vecteur

d´efinie par :

grad u(x) = ∇u(x) = (∂u ∂x1 (x), ∂u ∂x2 (x), , ...., ∂u ∂xn (x))

Pour un champ de vecteur υ : Rn _{→ R}n_{, on appelle divergence de υ la fonction d´}_efinie

par : div υ(x) = ∇.(υ(x)) = ∂υ1 ∂x1 (x) + ∂υ2 ∂x2 (x) + ... +∂υn ∂xn (x).

Le laplacien vectoriel d’un champ de vecteurs quelconque A a pour composantes le laplacien des composantes de A. Dans un espace `a trois dimentions, si l’on ´ecrit :

A = Ax1_e x1 + A x2_e x2 + A x3_e x3 o`u (ex1, ex2, ex3) la base canonique de R

3 _{,alors le laplacien vecteriel de A s’´}_{ecrit :}

∆A = (∆Ax1_)e x1 + (∆A x2_)e x2 + (∆A x3_)e x3

1.3 Espaces fonctionnels

Espace de Lebesque :

Soit Ω un ouvert born´_{e de R}n_{,soit t > 0 et p un r´}_{eel v´}_{erifiant 1 ≤ p ≤ +∞.}

D´efinition 1.1. (voir[1]) On d´esigne par _Lp_(Ω) _{l’ensemble des fonctions d´}_efinies

sur Ω `a valeurs r´eelles , mesurable pour la mesure de Lebesgue telles que : Si 1 ≤ p < ∞, kf kp,Ω = ( Z Ω |f |p_dx)1p _{< ∞} Si p = ∞, kf k∞,Ω = sup x |f (x)| < ∞ On d´_{efint les espaces L([0, t[×Ω), si 1 ≤ p < ∞, comme suit :}

kf kp,Ω×[0,t[ = ( Z t 0 Z Ω |f |p_dxdt)1_p _{< ∞.}

(10)

Espaces de Sobolev :

Pour plus de d´etail on pourra consulter par exemple [2], [3], [4], [5].

Soit Ω un ouvert de Rn, k ≥ 0 un entier naturel et 1 ≤ p ≤ ∞ .On d´efinit les espaces de Sobolev :

Wk,p_{(Ω) = {u ∈ L}p(Ω) : Dα_{u ∈ L}p(Ω), 0 ≤ |α| ≤ k}.

où Dαu est une dérivée partielle de u au sens des distributions. et on introduit la norme suivante pour l’espace vectorielle Wk,p_(Ω)

kukk,p = ( X 0≤|α|≤k kDα_ukp Lp) 1 p si 1 ≤ p < ∞. (1.1) kukk,∞ = max 0≤|α|≤kkD α ukL∞ si p = ∞.

L’espace Wk,p_{(Ω) muni de la norme (1.1) est un espace de Banach,s´}_{eparable pour 1 ≤}

p < ∞ et reflexif pour 1 < p < ∞ .Nous d´efinissons aussi l’espace W₀k,p(Ω) comme ´

etant le complété de l’espace C_c∞(Ω) par rapport à la norme (1.1) .Dans le cas où p = 2 l’espace Wk,2_{(Ω) est un espace de Hilbert et on le note usuellement H}k_(Ω). _{Dans la}

suite on aura souvent à faire `_{a des fonctions u : R}n_{→ R}n. Théorème 1.1. (Meyers-Serrin)

Soit Ω un domain quelconque de Rn, soit u ∈ Wm,q(Ω), 1 ≤ q < ∞, alors il existe une suite un telle que un∈ Cm(Ω) ∩ Wm,q(Ω) qui converge vers u dans Wm,q(Ω). De

plus,si Ω est localement lipschitzien,alors on peut choisir un∈ Cc∞(Ω).

On introduit la semi-norme suivant d´efinit sur tout espace de Sobolev Wk,p(Ω) |u|k,p= ( X |α=k| kDα_ukp Lp) 1 p , si 1 ≤ p < ∞. (1.2) kukk,∞ = max |α|=kkD α_uk L∞ si p = ∞

Le r´esultat suivant afirme que la semi-norme |.|k,2 est au fait une norme dans H0k(Ω), ´equivalente

`

a la norme k.kk,2.

(11)

Si Ω est un domain born´e de _Rn_, _{alors pour tout entier} _{k ≥ 0,} _{il existe une}

constante C = C(k, Ω) > 0 tel que

kυkk,2≤ C|υ|k,2 pour tout υ ∈ H01(Ω) (1.3)

1. Dual des espaces de Sobolev Si 1 ≤ p < ∞, p0 son conjugu´e (1_p + 1

p0 = 1) On note par W

−k,p0_{(Ω) l’espace dual}

de W₀k,p(Ω). La norme correspondante est not´ee par k.k_−k,p0 et elle est d´efini par :

kf k_−k,p0 = sup

υ∈W₀k,p(Ω)υ6=0

< f, υ > kυkk,p

Les théorèmes suivants caractérisant les fonctions de W−k,p

0

(Ω).

Th´eor`eme 1.2. Soit 1 < p < ∞ et f ∈ W−k,p(Ω). Alors il existe une unique uf ∈

W₀k,p(Ω) tel que < f, υ >= Z Ω k X |α|=0 DαufDαυdx, υ ∈ Wk,p 0 0 (Ω) (1.4)

De plus,il existe une constante c(N, k, p, Ω) > 0 tel que

ckufkk,p≤ kf k−k,p≤ kufkk,p (1.5)

Th´eor`eme 1.3. Soit 1 < p < ∞ et f ∈ W−k,p(Ω). Alors il existe une famille {fα}|α|≤k fα ∈

Lp(Ω) tel que f = k X |α|=0 (−1)|α|Dαfα dans D 0 (Ω) (1.6) De plus kf k−k,p≤ inf k X |α|=0 kf αkp, (1.7)

où l’infinimum est pris sur toutes les familles {fα}|α|≤k telle que (1.4) est vérifiée.

2. La notion de trace des fonctions de Wm,p

Théorème 1.4. Soit 1 ≤ p < ∞, et Ω un domain localement lipschitzien.Alors,il existe une application linéaire et continue.

(12)

γ0(υ) = υ|∂Ω pour tout υ ∈ C∞(Ω)

L’espace W₀1,p(Ω), 1 ≤ p < ∞ est caract´eris´e par :

W₀1,p(Ω) = {υ ∈ W1,p(Ω); γ0(υ) = 0}

Notons par W1−1q,q(∂Ω) le sous espace de Lq(∂Ω) constitu´e de fonctions u tel que

kuk₁₋1 q,q(Ω)≡ kukq,∂Ω+ [u]1− 1 q,q < ∞; (1.8) o`u [u]₁₋1 q,q ≡ ( Z ∂Ω Z ∂Ω |u(y) − u(y0|q |y − y0 |n−2+q dσydσy0) 1 q _(1.9)

On montre que W1−1q,q_{(∂Ω) est un sous ensemble dense dans de L(∂Ω) est complet par}

la norme (1.2). On a le théorème suivant dû à Gagliardo.

Th´eor`eme 1.5. Supposons Ω localement lipschitzien et soit q ∈]1, ∞[. Si u ∈ W1,q(Ω), alors γ0(u) ∈

W1−1q,q_{(∂Ω) et}

kγ0(u)k1−1_q,q(∂Ω) ≤ c1kuk1,q,Ω (1.10)

Inversement,il existe un op´erateur L lin´eaire et continue L : W1−1q,q(∂Ω) → W1,q(Ω) tel que γ0(L(u)) = u µ − pp dans ∂Ω, u ∈ W1− 1 q,q(∂Ω) et on a kL(u)k1,q,Ω≤ c2kuk1−1_q,q(∂Ω) (1.11)

Les constantes ci i = 1, 2 d´ependent seulement de n, q et Ω.

3. Th´eor`eme de l’immersion de Sobolev

Théorème 1.6. (théorème de l’injection de Sobolev) :

Soit Ω un domain localement lipschitzien de Rn, m > 0 et k ≤ m, alors

(13)

Wm,p(Ω) ,→,→ Wk,q(Ω) si 1 ≤ q < np/(n − (m − k)p) Wm,p(Ω) ,→,→ Wk,q(Ω) ∀q ∈ [1, ∞[ quand n = (m − k)p

Les symboles ,→ d´esigne une injection continue et ,→,→ d´esigne une injection compacte.

1.4 Quelques in´

egalit´

es

On rappelle quelques in´egalit´es qui serviront dans la suite :

A. Inégalité de Young : Soit > 0 ab ≤ a 2 2 + b2 2 B. Inégalité de Hölder :

Soit q, p ∈ [1, +∞[, pour toute f ∈ Lp et g ∈ Lq, alors la fonction (f.g) est µ-int´egrable (f.g) ∈ L1 _{et on a}

Z

|f g|dµ ≤ kf kLpkgk_Lq

p et q sont deux exposants conjugu´es,c’est-`a-dire 1_p +1_q = 1. C. Formule de Green :

Soit Ω un ouvert borné régulier de classe C1. Si u ∈ H2(Ω) et υ ∈ H1(Ω), on a : Z Ω ∆u.υdx = − Z Ω ∇u∇υdx + Z ∂Ω ∂u ∂η.υds où η est la normale unitaire extérieure à Ω.

1.5 Le syst`

eme de Lam´

e

(14)

On considère le système d’équations aux dérivées partielles suivant :

−η∆u − (η + λ)∇(∇.u) = F dans Ω (1.13)

avec la condition aux limites :

u(x) = 0 x ∈ ∂Ω. (1.14)

Th´eor`_{eme 1.7. Soit 1 < p < ∞ et Ω ⊂ R}3 _{un domaine born´}_e,supposons

η > 0 , 4η + 3λ > 0. (1.15)

(i) Si

Ω ∈ C2, F ∈ W−1,p(Ω), (1.16)

alors il existe une unique fonction u ∈ W₀1,p(Ω) qui satisfait (1.13) au sens des distri-butions et on a l’estimation suivante

kuk1,p ≤ c(p, Ω)kF k−1,p. (1.17)

(ii) Si

Ω ∈ Ck+2, F ∈ Wk,p(Ω), k = 1, 2, ..., (1.18) alors u ∈ Wk+2,p(Ω) et

kukk+2,p ≤ c(k, p, Ω)kF kk,p. (1.19)

1.6 Le probl`

eme de Stokes dans des domaines born´

es

Le traitement du probl`eme de Stokes requiert certains espaces de fonctions impliquant l’op´erateur de divergence de fonctions vectorielles. Soit ν l’espace :

ν = {u ∈ C₀∞(Ω) : ∇.u = 0}. On d´efinit alors l’espace suivant :

(15)

Le système de Stokes modélise un écoulement d’un fluide visqueux incompressible de mou-vement indéfiniment lent, il s’agit d’une approximation du système d’équations de Navier-Stokes incompressible(ou le terme non linéaire est négligé).

Nous allons consid´erer le cas stationnaire.Soit Ω un domaine born´_{e de R}n_{, le probl`}_eme

de Stokes est d´ecrit par le syst`eme suivant : 

 

∆v = ∇p + f,

∇.v = g, (1.20)

dans Ω, avec les conditions aux limites suivantes :

v = v0 dans ∂Ω (1.21)

Et comme Ω est born´e,la fonction v0 doit satisfaire la condition de compatibilit´e :

Z ∂Ω v0.ndσx = Z Ω gdx. (1.22) • Formulation variationnelle :

Considérons le cas homogène,i.e, g = 0 et v0 = 0, alors on a la définition suivante :

D´efinition :

une fonction v : Ω → Rn est dite solution faible pour le probl`eme de Stokes ssi (i) v ∈ V.

(ii) v v´erifie l’identit´e :

(∇v, ∇ϕ) = − < f, ϕ >, pour tout ϕ ∈ V. Remarque :

Pour justifier la formulation variationnelle du probl`eme on proc`ede formellement comme suit ; soit v, p deux solutions classiques de (1.20). Multiplions (1.20) par une fonction ϕ ∈ C₀∞(Ω) telle que ∇.ϕ = 0, i.e., ϕ ∈ ν. On trouve :

Z Ω ∆v.ϕdx = Z Ω ∇p.ϕdx + Z Ω f.ϕdx en intégrant par partie les deux membres de l’égalité, on trouve :

Z Ω ∇v.∇ϕdx − Z ∂Ω ∂v ∂η.ϕdσ(x) = Z Ω p∇.ϕdx − Z ∂Ω pn.ϕdσ(x) − Z Ω f.ϕdx.

(16)

= − Z ∂Ω pn.ϕdσ(x) − Z Ω f.ϕdx. en tenant comptede (1.20), on obtient :

(∗) (∇v, ∇ϕ) = Z Ω ∇v.∇ϕ = − Z Ω f.ϕdx = −(f, ϕ) ∀ϕ ∈ ν Et donc par continuité l’égalité (∗) est vérifiée dans la fermeture de ν dans H1

0(Ω). Si le

domaine Ω est localement lipschitzien alors par (1.21) v ∈ H1

0(Ω) et comme ∇.v = 0 on

en déduit grâce au théorème suivant : Théorème :

Soit Ω un domaine born´_{e localement lipschitzien de R. Alors} V = {u ∈ H₀1(Ω) : ∇.u = 0}. on déduit de ce théorème que v ∈ V.

Remarquons que la fonction p n’apparait pas dans (∗) , `a vraie dire, dans le calcul servant `a trouver (∗), si ϕ ∈ C₀∞(Ω) non necessairement solenoidale, on trouve au lieu de (∗) :

(∗∗) (∇v, ∇ϕ) = − < f, ϕ > +(p, ∇.ϕ), pour tout ϕ ∈ C₀∞(Ω).

On peut, au fait pour f assez régulière associer à tout solution faible v une fontion p, qui dans notre cas la pression, tel que (∗∗) soit vérifiée, plus précisement on a le lemme suivant : Lemme :

Soit Ω un domaine born´_{e et localement lipschitzien de R}n_{, n ≥ 2, et f ∈ H}−1_{(Ω), 1 <}

q < ∞.Une fonction vectorielle v ∈ V satisfait (∗) si et seulement si il existe une fonction p ∈ L2_{(Ω) tel que (∗∗) est v´}_erifi´_{ee pour tout ϕ ∈ C}∞

0 (Ω).

Th´eor`eme :

Soit Ω un domaine born´_{e localement lipschitzien de R}n_{. Consid´}_{erons le probl`}_{eme de}

Stokes (1.20) − (1.21) et supposons f ∈ H−1(Ω), g ∈ L2(Ω), v0 ∈ H

1

2(Ω), tel

que (1.22) est vérifiée.Alors le problème (1.20), (1.21) admet une solution v ∈ H1(Ω), p ∈ L2(Ω).

(17)

D´emonstration

Dans le cas où v0 = 0 et g = 0 on a vu que le problème est réduit à trouver v ∈

V vérifiant (∗). le théorème de Lax Milgran appliqué sur la forme bilinéaire a(u, v) = (∇u, ∇v) et la forme linéaire b(v) = − < f, v > dans l’espace de Hilbert V (V est séparable car il est un sous-espace fermé de H1

0(Ω)) nous donne une solution unique v au

problème homogène. Considérons le cas non homogène.D’après le corollaire suivant : Corollaire :

Consid´erons le probl`eme suivant :        ∇.v = F, v ∈ W1,q(Ω), dans Ω v = a, sur ∂Ω,

o`_{u Ω un domaine localement lipschitzien de R}n, n ≥ 2, 1 < q < ∞. Supposons F ∈ Lq(Ω), a ∈ W1−1q,q_{(∂Ω), 1 < q < ∞,} tel que Z Ω F = Z ∂Ω a.n.

Alors, le probl`eme admet une solution v et on a l’estimation suivante : kvk1,q≤ c(kF kq+ kak1−1_q,q(∂Ω)).

D’apr`es ce corollaire,il existe v1 ∈ H1(Ω) tel que :

∇.v1 = g, v1 = v0 dans ∂Ω

En posant u = v − v1, on voit que le problème (2.20) − (2.21) est réduit au problème de

Stokes homog`ene suivant :        ∆u + ∇p = f − ∆v1 ∈ H−1(Ω), ∇.u = 0 u = 0, sur ∂Ω.

(18)

Th´eor`eme 1.8. Soit Ω un domaine born´_{e de R}n_{, n ≥ 2, de classe C}m+2_{, m ≥ 0. Pour} tout f ∈ Wm,q(Ω), v0 ∈ Wm+2− 1 q,q(∂Ω), 1 < q < ∞, avec Z ∂Ω v0.n = 0,

il existe une et une seule paire de solution v, p tel que (i) v ∈ Wm+2,q_{(Ω), p ∈ W}m+1,q_(Ω);

(ii) v, p satisfait au syst`eme de Stokes(1.20) p.p.dans Ωetv satisfait `a(1.21) au sens de trace.

De plus cette solution v´erifie l’estimation suivante :

kvkm+2,q+ kpkm+1,q/R ≤ c(kf km,q+ kv0km+2−1_q,q(∂Ω)),

o`u c = c(m, n, q, Ω).

Th´eor`_{eme 1.9. Soit Ω un domaine localement lipschitzien de R}n_{, n ≥ 2. Soit}

f ∈ W₀m,q(Ω), m ≥ 0, 1 < q < ∞, satisfaisant `a : R

Ωf = 0, f ∈ L q_(Ω).

Alors il existe une solution V ∈ W₀m+1,q(Ω) v´erifiant ∇.V = f et kV k1,q ≤ ckf kq o`u

c = c(n, q, Ω)

De plus, si f ∈ C_c∞(Ω) alors V ∈ C_c∞(Ω). le théorème du point fixe de Schauder : Théorème(Schauder) :

Soient E un espace de Banach et K ⊂ E convexe et compact.Alors toute application continue f : K → K poss`ede un point fixe.

(19)

Chapitre 2

Existence d’une solution stationnaire

Le but de ce chapitre est d’établir l’existence d’une solution staionnaire d’un système d’équations aux dérivées partielles non-linéaire. Pour cela , on introduit la position du problème , son interprétation ainsi le résultat d’existence et sa démonstration.

2.1 Position du probl`

eme

Soit Ω∞ un ouvert de R3, tel que Ω∞= {x ∈ R3/0 < x3 < h}.

On considère dans Ω∞ le système d’équations aux dérivées partielles suivant :

ρ(υ.∇)υ − η∆υ − λ∇(∇.υ) = −R∇(ρT ) − gρ−→e3 (2.1) ∇.(ρυ) = 0 (2.2) CVρυ.∇T − κ∆T + RρT ∇.υ = η 3 X i,j=1 (∂υi ∂xi +∂υj ∂xi − 2 3δij∇.υ) ∂υi ∂xi + ζ(∇.υ)2 (2.3)

o`u −→e3 = (0, 0, 1), λ est donn´e par λ = 1₃η + ζ.

pour étudier ce système , dans notre première considération , on suppose que toutes les fonctions , données ou inconnues , sont périodiques de période 2π par rapport en coor-données x1 et x2, de sorte que le traitement de ce système est restreint au domaine

relativement compact :

(20)

où Ω0_τ est le tore bidimentionnel appartient `_{a R}2, c’est-à-dire que l’élément générique de Ω0_τ est un couple x0 = (x1, x2) tel que

x1 ≡ y1[2π], x2 ≡ y2[2π], (y1, y2) ∈ R2

de sorte que x = (x0, x3) ∈ Ω si 0 < x3 < h.

On suppose que :

p = RρT (2.4)

Ce syst`eme d’´equations est assujetti aux conditions aux limites suivantes : υ|x3=0 = 0 , υ3|_x3=h = ∂υi ∂x3 |x3=h = 0 (i = 1, 2), (2.5) T (x0, 0) = T0(x 0 ) = T0+ (x 0 ) , T (x0, h) = T0− gh R + CV , (2.6)

o`u (x0) est une fonction de Ω_τ0.

On compl´ete ce probl`eme par la condition naturelle suivante : Z

Ω

ρ(x)dx = Mρ, (2.7)

avec Mρ est une constante positive.

Pour la construction de ce système d’équations on peut consulter par exemple[8]. Interprétation :

Le système (2.1) − (2.3); (2.5) − (2.7) décrit le mouvement stationnaire d’un fluide vis-queux compressible et calorifère modélisant un phénomène de convection de l’atmosphère, soumis à la graviation , enfermé entre deux plans horizontaux en présence d’une distribus-tion non-homogène de la température autour de T0 sur le fond {x3 = 0}, dans un état

proche de l’état hydrostatique. En effet , si on désigne par ρ la densité de l’air supposée sec, T sa température, υ = (υ1, υ2, υ3) son vecteur vitesse, p sa pression(elle est donnée

par la loi valable pour les gaz parfaits p = RρT ), η et ζ les coefficients de viscosité d’écoulement et volumique de l’air, CV la chaleur spécifique de l’air, R la constante

(21)

universelle des gaz, g l’accélération gravitationnelle, κ la conductibilité thermique de l’air, alors :

l’équation (2.1), communément appelée équation de mouvement, provient du principe de conservation de la quantité de mouvement, l’équation (2.2) qui est appelée équation de continuité, provient quand à elle, du principe de conservation de la masse,tandis que l’équation (2.3) est appelée équation de la chaleur, c’est une équation aux dérivées par-tielles, introduite initialement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique , elle provient quand à elle du premier principe de la thermodyna-mique ( c’est le bilan d’énergie ,exprimé en fonction de la température).

La limite supérieure de l’atmosphère terrestre réelle ne peut être définie de manière nette et naturelle car elle se raréfie garaduelement en changeant d’aspect physique.Pour cela on suppose que l’air de l’atmosphère soit contenu dans un domaine bien précis.

2.2 R´

esultat d’existence d’une solution stationnaire

Le résultat d’existence d’une solution stationnaire du problème posé est donnée sous la forme du théorème suivant :

Th´eor`eme 2.1. Si T0 et Mρ sont suffisamment grands et si kkH3_(Ω0

τ) est

suffisam-ment petit,alors le probl`eme (2.1) − (2.3) , (2.5) − (2.7) admet au moins une solution (υ, T, ρ) ∈ H3_{(Ω) ×} _H2_{(Ω) ×} _H2_(Ω).

2.3 Strat´

egie de la d´

emonstration du r´

esultat

La démonstration s’appuie sur les téchniques développées dans les études faites sur les ´

equations d’un gaz visqueux, en particulier celles du travail [9], qui a démontrer l’exis-tence d’une solution stationnaire d’un système analogue à notre système, avec la pres-sion p donnée par une forme assez générale, mais avec les données de la température sur la frontière proches d’une constante(au lieu des données proche d’une distribution hydro-statique).

(22)

(2.20), (2.5), (2.23) − (2.24), est le théorème du point fixe de Schauder,dans cette partie, on appliquera le théorème de Schauder sur un opérateur non linéaire Φ, qui sera défini à partir des équations linéarisées, la solution sera donc un point fixe de cet opérateur. Pour cela, nous introduisons la définition de létat hydrostatique et nous linéarisons le système.

2.3.1 D´

efinition de l’´

etat hydrostatique

Soient Ths et ρhs, la distribution de la température et de la densité respectives,caractérisant

l’état hydrostatique,qui sont données par : ρhs(x3) = ρhs(0)(1 − gx3 T0(R + CV) )CVR , T_hs(x₃) = T₀− gx3 R + CV (2.8) avec ρhs(0) est déterminé par (

R Ωρhs(x)dx = Mρ). Ou si on utilise l’´exposant adiabatique γ = R CV + 1. (2.9)

On remplace dans (2.8), on trouve : ρhs(x3) = ρhs(0)(1 − γ − 1 γRT0 gx3) 1 γ−1 _{, T} hs(x3) = T0− γ − 1 γR gx3 O`u la valeur de γ est donn´ee par :

1 < γ < 2. (2.10)

2.3.2 Lin´

earisation du syst`

eme

On cherchera une solution (υ, T, ρ) du problème (2.1) − (2.3), (2.5) − (2.7) dans un voisinage de (0, T , ρ), où T et ρ sont des fonctions de références définies à leur tour dans un voisinage de Ths et ρhs.

Du point de vue physique, on cherchera cette solution dans un ´etat proche de l’´etat hydro-statique. On pose alors :

T (x0, x3) = Ths(x3) + (1 −

x3

h)(x

0

(23)

ρ(x0, x3) = CMρ (Ths(x3)) γ γ−1 T (x0, x3) (2.12) o`u CMρ = Mρ[ Z Ω (Ths(x3)) γ γ−1 T (x0, x3) dx]−1 (2.13)

Quelques calculs nous conduisent aux relations suivantes : ∂(RρT ) ∂xi = 0, i = 1, 2, −∂(RρT ) ∂x3 − ρg = gρ(1 − x3 h)(x 0 ) Ths(x3) (2.14) CVρ∇T − RT ∇ρ = (R + CV)ρ∇((1 − x3 h )) + − →_e 3 gρ Ths (1 −x3 h) (2.15) En effet, ona : RρT = RCMρ (Ths(x3)) γ γ−1 T (x0, x3) T (x0, x3) = RCMρ(Ths(x3)) γ γ−1 donc _∂x∂

i(RρT ) = 0 ; i = 1, 2 (car R et CMρ sont des constantes et Ths(x3) ne

d´epend que de x3).

Pour l’autre relation on a : RρT = RCMρ (Ths(x3)) γ γ−1 T (x0, x3) T (x0, x3) = RCMρ(Ths(x3)) γ γ−1 donc : ∂(RρT ) ∂x3 = RCMρ γ γ − 1Ths(x3) γ γ−1−1∂(Ths(x3)) ∂x3 = RCMρ γ γ − 1(Ths(x3)) 1 γ−1₍₋γ − 1 γR g) = −CMρ(Ths(x3)) 1 γ−1g alors : −∂(RρT ) ∂x3 − ρg = CMρThs(x3)g − ρg = ρg(−1 + CMρ(Ths(x3)) 1 γ−1 ρ ) = ρg(−1 + CMρ(Ths(x3)) 1 γ−1 CMρ(Ths(x3)) γ γ−1_T−1_(x0_{, x} 3)

(24)

= ρg(−1 + T (x 0 , x3) Ths(x3) ) = gρ(−1 + Ths(x3) + (1 − x3 h)(x 0 ) Ths(x3) ) Par cons´equent :

−∂(RρT ) ∂x3 − ρg = gρ(1 − x3 h (x 0 )) Ths(x3)

Pour trouver la relation (2.15), on utilise la relation du gradient (∇) : Si f et g sont deux fonctions alors ∇(f g) = f ∇g + g∇f

On a :

CVρ∇T − RT ∇ρ = CVρ∇T − R(∇(ρT − ρ∇T ))

= (CV + R)ρ∇T − R∇(ρT )

= (CV + R)ρ∇T − ∇(RρT ) (car R est une constante).

D’apr`es les relations (2.14) :

= (CV + R)ρ∇(Ths(x3) + (1 − x3 h)(x 0 )) + ρg−→e3 + gρ (1 −x3 h)(x 0 ) Ths(x3) − →_e 3 = (CV + R)ρ(∇Ths(x3) + ∇((1 − x3 h)(x 0 ))) + ρg−→e3 + ρg (1 − x3 h)(x 0 Ths(x3) − →_e 3 = (CV + R)ρ(∇Ths(x3) + ∇((1 − x3 h)(x 0 )) + ρg−→e3 + ρg (1 −x3 h)(x 0 ) Ths(x3) − →_e 3 = (CV + R)ρ(− g R + CV − →_e 3 + ∇((1 − x3 h)(x 0 )) + ρg−→e3 + ρg (1 − x3 h)(x 0 ) Ths(x3) − →_e 3 = (CV + R)ρ∇((1 − x3 h )(x 0 )) + ρg(1 − x3 h)(x 0 ) Ths(x3) − →_e 3 D’o`u le r´esultat Posons alors : ϑ(x) = T (x) − T (x) ; σ(x) = ρ(x) − ρ(x) (2.16)

(25)

En vertu de (2.2) et (2.15), on a : CVρυ.∇T + RρT ∇.υ = υ.[CVρ∇T − RT ∇ρ] (2.17) = (R + CV)ρυ.∇((1 − x3 h)) + υ3 gρ Ths (1 −x3 h) +υ.(CV[σ∇T + ρ∇ϑ + σ∇ϑ] − R[ϑ∇ρ + T ∇σ + ϑ∇σ])

En effet : On a la propri´et´e du gradient suivante :

∇.(f υ) = υ.∇f + f ∇.υ où f : Rm → R et υ : Rm → Rm Donc de (2.2) on a : ∇.(ρυ) = υ.∇ρ + ρ(∇.υ) = 0 ⇔ ρ(∇.υ) = −υ.∇ρ donc : CVρυ.∇T + RρT ∇.υ = CVρυ∇T − RT υ∇ρ = υ(CVρ∇T − RT ∇ρ) = υ(CV(σ + ρ)∇(ϑ + T ) − R(ϑ + T )∇(σ + ρ) = υ((CVρ∇T − RT ∇ρ) + CV(ρ∇ϑ + σ∇T + σ∇ϑ) −R(T ∇σ + ϑ∇σ + ϑ∇ρ)) = (R + CV)υ.∇(1 − x3 h )(x 0 ) + −→e3.−→υ3 gρ Ths(x3) (1 − x3 h )(x 0 ) +υ(CV(ρ∇ϑ + σ∇T + σ∇ϑ) − R(T ∇σ + ϑ∇σ + ϑ∇ρ)) = (R + CV)ρυ.∇((1 − x3 h )(x 0 )) + υ3 gρ Ths(x3) (1 −x3 h)(x 0 ) + υ.(CV[ρ∇ϑ + σ∇T + σ∇ϑ]) −R(T ∆σ + ϑ∇σ + ϑ∇ρ)) D’où le résultat.

(26)

D’après les équations (2.14) et (2.17), le système d’équation (2.1) − (2.3) pour les inconnues (υ, T, ρ) se transforme en le système d’équations pour les inconnues(υ, ϑ; σ) :

−η∇υ − λ∇(∇.υ) + R∇(σT + ρϑ) + gσ−→e3 = F (υ, ϑ, σ), (2.18) ∇.(συ) = −∇.(ρυ), (2.19) −κ∇ϑ = G(υ, ϑ, σ); (2.20) O`u F (υ, ϑ, σ) = −(ρ + σ)(υ.∇)υ − R∇(σϑ) + g ρ Ths(x3) (1 −x3 h )(x 0 )−→e3, (2.21) G(υ, ϑ, σ) = η 3 X i,j=1 (∂υi ∂xj +∂υj ∂xi − 2 3δij∇.υ) ∂υj ∂xi + ζ(∇.υ)2 (2.22) +κ∆((1 − x3 h )) − (R + CV)ρυ.∇((1 − x3 h )) − υ3g ρ Ths(x3) (1 −x3 h )(x 0 ) +υ.(R[ϑ∇ρ + T ∇σ + ϑ∇σ] − CV[σ∇T + ρ∇ϑ + σ∇ϑ])

Remarquons que ϑ et σ doivent satisfaire aux conditions suivantes :

ϑ|x3=0 = ϑ|x3=h = 0 (2.23)

Z

Ω

σ(x)dx = 0 (2.24)

et υ doit satisfaire à la même condition (2.5).De cette manière le problème (2.1) − (2.3) , (2.5) − (2.7) est transformé en le problème (2.18) − (2.20), (2.5), (2.23) − (2.24) Ainsi,on est amené à chercher une solution

(υ, T, ρ) = (υ, ϑ + T , σ + ρ)

où (υ, T, ρ) est une solution du système (2.1) − (2.3) avec les conditions (2.5) − (2.7), et (υ, ϑ, σ) est une solution du système (2.18)−(2.20) avec les conditions (2.5), (2.23)− (2.24).

(27)

2.3.3 Position des ´

equations lin´

earis´

ees

Pour définir l’opérateur Φ, on commence par introduire l’espace fonctionnel, pour cela on pose : H_υ3(Ω) = {υ ∈ H3_{(Ω; R}3)/ υ satisf ait à (2.5)} H_ϑ2(Ω) = {ϑ ∈ H2_{(Ω, R)/ ϑ satisf ait à (2.23)}} H_σ2(Ω) = {σ ∈ H2_{(Ω; R)/ σ satisf ait à (2.24)} Posons alors : X ≡ H_υ3(Ω) × H_ϑ2(Ω) × H_σ2(Ω)

muni de la norme suivante :

k(υ, ϑ, σ)kX = (kυk2H3 + kϑk2_H2 + kσk2_H2) 1 2

et

X0 ≡ {u = (υ, ϑ, σ); υ ∈ H2(Ω), ϑ ∈ H1(Ω), σ ∈ H1(Ω)}

muni de la norme suivante :

k(υ, ϑ, σ)kX0 = (kυk

2

H2 + kϑk2_H1 + kσk2_H1) 1 2

respectivement. Daprès le théorème 1.6 X ,→,→ X0,et donc toute boule

B = {u = (υ, ϑ, σ) ∈ X, k(υ, ϑ, σ)kX ≤ a, a > 0}

est compacte et convexe dans X0 (tout born´e de X est relativement compact dans X0).

La position des équations linéarisées est donnée par les lemmes suivants : Lemme 2.1. Soit u0 = (υ0, ϑ0, σ0) ∈ X. L’équation

−κ∆ϑ = G0, avec G0 = G(u0) (2.25) admet une seule solution ϑ dans H2

(28)

Lemme 2.2. Soit u0 = (υ0, ϑ0, σ0) ∈ X.Soit ϑ ∈ H2

ϑ(Ω) la solution de l’´equation (2.25)

ob-tenu dans le lemme 2.1.Alors l’´equation

−η∆υ − λ∇(∇.υ) = −R∇(σ0T + ρϑ) − gσ0−→e3 + F

0

, avec F0 = F (u0) (2.26) admet une seule solution υ dans H3

υ(Ω).

D´emonstration

On considère le système aux dérivées parielles suivant : −η∆υ − λ∇(∇.υ) = −R∇(σ0T + ρϑ) − gσ0−→e3 + F (u

0

) = L, avec u0 ∈ X et ϑ ∈ H_ϑ2(Ω) Pour p = 2 et Ω ⊂ R3 _{un domaine born´}_e,supposons

η > 0, 4η + 3λ > 0,

Pour Ω ∈ C3_{, on remarque que L ∈ W}1,2_{(Ω) = H}1_{(Ω). D’apr`}_{es le th´}_eor`_{eme 1.7, il}

existe une unique fonction υ ∈ W3,2(Ω) = H_υ3(Ω) et kυkH3_(Ω) ≤ c_ΩkLk_H1_(Ω) ≤ c_Ω(kσ 0 k2 H2_(Ω)+ kϑk2_H2_(Ω)+ kF 0 k2 H1_(Ω)).

Lemme 2.3. Soit u0 = (υ0, ϑ0, σ0) ∈ X. Soit υ ∈ H3

υ(Ω) la solution de l’´equation

(2.26) obtenue dans le lemme 2.2.Si k est un nombre suffisamment grand,L’´equation k(σ − σ0) + ∇.(συ) = −∇.(ρυ) (2.27) admet une seule solution σ dans H2

σ(Ω). d´emonstration voir[6]. En outre,ona : kϑk2 H2_(Ω) ≤ kG 0 k2 L2_(Ω), (2.28) kυk2 H3_(Ω) ≤ cΩ(kσ 0 k2 H2_(Ω)+ kϑk2_H2_(Ω)+ kF 0 kH1_(Ω)). (2.29) kkσk2_H2_(Ω) ≤ cΩkυkH3_(Ω)kσk2_H2_(Ω)+ cΩ(kσ 0 k2 H2_(Ω)+ kυk2_H3_(Ω)). (2.30)

(29)

2.3.4 Construction de l’op´

erateur non lin´

eaire Φ

Gràce au lemmes 2.1 − 2.3 on peut donc définir l’opérateur Φ comme suit : Φ : H_υ3(Ω) × H_ϑ2(Ω) × H_σ2(Ω) → H_υ3(Ω) × H_ϑ2(Ω) × H_σ2(Ω)

u0 →= Φ(u0) = u (2.31)

avec u = (υ, ϑ, σ) et u0 = (υ0, ϑ0, σ0)

2.3.5 Application du th´

eor`

eme du point fixe de Schauder

Pour pouvoir appliquer le théorème de Schauder sur l’opérateur Φ il suffit de trouver une boule B de X tel que :

(i) Φ est bien d´efini

(ii) Φ est continu sur B par rapport `a la topologie induite de X0.

(iii) Φ est une contraction i.e., Φ(B) ⊂ B.

2.3.5.1 Φ est bien d´efini

Φ est bien d´efini, car υ, ϑ, σ sont les solutions des ´equations (2.25)−(2.27) obtenues dans les lemmes 2.1 − 2.3,

2.3.5.2 Φ est continu

Pour montrer la continuité de l’opérateur non linéaire Φ de X0 dans lui même,on

´

enonce le lemme suivant,ainsi que sa preuve :

Lemme 2.4. L’opérateur non-linéaire Φ est continu de X0 dans lui même.

D´emonstration

Notons d’abord que Φ transforme les born´es de X en des born´es de X. En effet compte tenu de (2.21) et (2.22) de F0 et G0, pour tout u0 = (υ0, ϑ0, σ0) ∈ X, on a :

kF0kH1_(Ω) ≤ c₁kυ 0 k2_H2_(Ω)(1 + kσ 0 kH2_(Ω)) + c₁kσ 0 kH2_(Ω)kϑ 0 kH2_(Ω)+ c₁kk_H1_(Ω0 τ), (2.32)

(30)

kG0k_L2_(Ω) ≤ c₂(kυ 0 k2 H2_(Ω)+ kϑ 0 k2 H2_(Ω)+ kσ 0 k2 H2_(Ω))2 (2.33) +c2kϑ 0 k_H2_(Ω)kυ 0 k_H2_(Ω)kσ 0 k_H2_(Ω)+ c₂(1 + kυ 0 k_H2_(Ω))kk_H2_(Ω0 τ)

avec c1 et c2 deux constantes positives.Soit alors un born´e B

0

de X. Compte tenu de (2.28) − (2.30) , (2.32) − (2.33). Si k est assez grand,on voit facilement que Φ(B0) de-meure dans un born´e de X.

Ceci étant, soit B0 un borné de X, et soit pour u0_i = (υ_i0, ϑ0_i, σ0_i) ∈ B0 (i = 1.2). Donc Φ(u0_i) = ui = (υi, ϑi, σi) appartient à un borné B de X. On pose

u0 = u0₁ − u0₂ = (υ0, ϑ0, σ0), u = Φ(u0₁) − Φ(u0₂) = u1 − u2 = (υ, ϑ, σ). (2.34) Compte tenu de (2.31), on a : −κ∆ϑ = G(u0₁) − G(u0₂) (2.35) −η∆υ − λ∇(∇.υ) = −R∇(σ0T + ρϑ) − gσ0−→e3+ F (u 0 1) − F (u 0 2), (2.36) k(σ − σ0) + ∇.(συ) = −∇.(σ2υ) − ∇.(ρυ) (2.37)

Si on rappelle(voir (2.21), (2.22) les d´efinitions de F0 et G0, on voit que : kG(u0₁) − G(u0₂)kH−1_(Ω)+ kF (u 0 1) − F (u 0 2)kL2 ≤ c 0 (kυ0k2 H2_(Ω)+ kϑ 0 k2 H1_(Ω)+ kσ 0 k2 H1_(Ω))

où c0 = c(B0) est une constante positive.Si on estime maintenant les secondes membres de deux premières équations elliptiques dans H−1 et L2 _{respectivement,compte tenu de}

cette in´egalit´e, on ontient :

kϑk2_H1_(Ω)+ kυk2_H2 ≤ c 0 (kυ0k2_H2_(Ω)+ kϑ 0 k2_H1_(Ω)+ kσ 0 k2_H1). (2.38)

Quand à l’estimation dans H1 de la solution σ, on commence par multiplier l’équation (2.37) par σ et on intègre sur Ω. Compte tenu de la relation :

Z Ω ∇.(συ)σdx = 1 2 Z Ω |σ|2_{∇.υdx ≤ c} ΩkυkH3_(Ω)kσk2_L2_(Ω), on obtient : kkσk2_L2_(Ω) ≤ c_Ωkυk_H3_(Ω)kσk2_L2 + kkσ 0 k2 L2_(Ω)+ c_Ωkυk2_H1_(Ω)(1 + kσ₂k2_H1_(Ω)). (2.39)

(31)

Par ailleur,grâce à la relation : Z Ω ∇∇.(συ)∇σ = 1 2 Z Ω |∇σ|2_{∇.υdx +} Z Ω (∇υ.∇σ)∇σdx + Z Ω σ(∇(∇.υ))∇σdx, Si on applique à (2.37) l’opérateur gradient et on la multiplie par ∇σ ,en intégrant sur Ω, on obtient

kk∇σk2_L2_(Ω)≤ cΩkυkH3_(Ω)k∇σk2_L2_(Ω)+ kkσ 0

k2_H1 + cΩ(kσ2k2H2_(Ω)+ 1)kυk2_H2. (2.40)

Compte tenu de fait que les solutions (υi, ϑi, σi) (i = 1, 2) demeurent dans un born´e

de X, si k est assez grand,les deux dernières inégalités jointes à (2.38) ,on tire facilement kσk2 H1_(Ω) ≤ c 0 (kυ0k2 H2_(Ω)+ kϑ 0 k2 H1_(Ω)+ kσ 0 k2 H1_(Ω)). (2.41)

Donc,de (2.38) et (2, 41), il s’ensuit que kυk2 H2_(Ω)+ kϑk2_H1_(Ω)+ kσk2_H1_(Ω) ≤ c 0 (kυ0k2 H2_(Ω)+ kϑ 0 k2 H1_(Ω)+ kσ 0 k2 H1_(Ω)),

Et, si on rappelle la définition (2.31) de Φ (voir aussi (2.34)) ,de l’énégalité précédente,il vient

kΦ(u0₁) − Φ(u0₂)kX0 ≤ cku 0

1− u

0

2kX0, (2.42)

ce qui traduit la continuit´e de l’op´erateur Φ.

2.3.5.3 Φ est une contraction

Pour montrer que Φ est une contraction,i,e ; Φ(B) ⊂ B, on a besoin des estimations des solutions ϑ, υ et σ des équations (2.27), (2.26) et (2.25). Ces estimations sont essentielles pour la démonstration du théorème 2.1. Nous en déduirons en effet l’existence d’un sous ensemble borné B de H3

υ(Ω) × Hϑ2(Ω) × Hσ2(Ω) tel que Φ(B) ⊂ B.

2.3.5.4 Estimation `a priori Estimation de ϑ :

Lemme 2.5. Soit (υ0, ϑ0, σ0) ∈ H_υ3(Ω) × H_ϑ2(Ω) × H_σ2(Ω).Alors la soluion ϑ ∈ H_ϑ2(Ω) de l’équation (2.25) obtenue dans le lemme 2.1 vérifie l’inégalité

kϑk_H2_(Ω) ≤ c₁(kυ 0 k_H2_(Ω)+ kϑ 0 k_H2_(Ω)+ kσ 0 k_H2_(Ω))2 (2.43)

(32)

+c1kυ 0 k_H2_(Ω)kϑ 0 k_H2_(Ω)kσ 0 k_H2_(Ω)+ c₁(1 + kυ 0 k_H2_(Ω))kk_H2_(Ω0 τ)

o`u c1 est une constante positive

D´emonstration

Ce lemme résulte directement de l’inégalité (2.33) et de la théorie classique des équations de type elliptique.(voir par exemple [3],[7]).

Estimation des solutions υ et σ Dans toute la suite on suppose que :

(A) : T0 et Mρ sont suffisamment grands et kkH3_(Ω0

τ) suffisamment petit .C’est-`a-dire,il

existe trois constantes positives cT, cρ, c telles que :

T0 ≥ cT, Mρ ≥ cρ, kkH3_(Ω0

τ)≤ c. (2.44)

En outre on utilisera, les in´egalit´es suivantes : Ta₀+ c ≤ c0₁Ta₀, kk_H3_(Ω0

τ)+ c ≤ c 0

2

pour a > 0, k = 0, 1, 2, 3, valables pour T0 sufisamment grand et kkH3_(Ω0

τ)

suffisam-ment petit ,seront souvent utilis´ees dans la suite sans les mentionner.Quand au nombre positif k qui figure dans le lemme 2.3 il peut ˆetre choisi arbitrairement grand , on posera en effet : k = κδ1 2 , δ1 = R η + λCMρ(T0− γ − 1 γR gh) γ γ−1. (2.45)

où κ est un nombre suffisamment grand,vérifiant en particulier l’inégalité : κ ≥ 16(1 − γ − 1

T0γR

gh)γ−1−γ (2.46)

Dans les énoncés des lemmes 2.6 − 2.14 on désignera par C_k0 ou CΩ les constantes qui

d´ependent de Ω mais ne d´ependent ni de T0 ni de Mρ et par ˜Ck les constantes qui

d´ependent de Ω, de T0 et de Mρ .On d´esignera aussi par C(ρ)) les constantes qui˜

d´ependent de T0 et/ou de Mρ.

Lemme 2.6. Soit (υ0, ϑ0, σ0) ∈ H3

υ(Ω) × Hϑ2(Ω) × Hσ2(Ω). Soient υ et σ la

(33)

avec k satisfaisant `a (2.45) − (2.46). Alors on a : η Rk∇υk 2 L2 + λ Rk∇.υk 2 L2 + kk( T ρ) 1 2σk2 L2 (2.47) ≤ kk(T ρ) 1 2σ 0 k2 L2− C 0 1(T 2 0− 1)kσ 0 k2 L2 + C 0 1(kF 0 k2 L2 + kυkH3kσk2_L2) + ˜C1kϑk2 H1 D´emonstration

Si on multiplie (2.26) par R−1υ et on intègre sur Ω, on obtient : −η R Z Ω υ∆υdx − λ R Z Ω ∇(∇.υ)dx = − Z Ω ∇(σ0T )υdx − Z Ω ∇(ρϑ)υdx −g R Z Ω σ0υ3dx + 1 R Z Ω F0.υdx, en intègrant par partie les deux premières intégrales ;on obtient :

η Rk∇υk 2 L2 + λ Rk∇.υk 2 L2 = − Z Ω ∇(σ0T )υdx − Z Ω ∇(ρϑ)υdx (2.48) −g R Z Ω σ0υ3dx + 1 R Z Ω F0.υdx, on multiplie à présent (2.27) par T ρ−1σ et on intègre sur Ω :

k Z Ω T ρσ(σ − σ 0 )dx + Z Ω T ρσ∇.(συ)dx = − Z Ω T ρσ∇.(ρυ)dx, en utilisant la relation alg´ebrique suivante :

a(a − b) = 1 2[(a − b) 2_{+ a}2_{− b}2_] on obtient : k 2k( T ρ) 1 2(σ − σ 0 )k2_L2 + k 2k( T ρ) 1 2σk2 L2 = k 2k( T ρ) 1 2σ 0 k2 L2 − Z Ω T ρσ∇.(συ)dx (2.49) − Z Ω T ρσ∇.(ρυ)dx,

pour simplifier le calcul on note par A le terme gauche de (2.48) et par B le terme gauche de (2.49), en utilisant l’´egalit´e

(34)

on obtient : A + B = k 2k( T ρ) 1 2σ 0 k2_L2 − Z Ω T ρσ∇.(συ)dx − Z Ω T ρσ∇.(ρυ)dx − Z Ω ∇(σ0T )υ − Z Ω ∇(ρϑ)υdx − g R Z Ω σ0υ3dx + 1 R Z Ω F0.υdx, = k 2k( T ρ) 1 2σ 0 k2 L2− Z Ω T ρσ∇.(συ)dx − Z Ω T ρ(σ − σ 0 )∇.(ρυ)dx − Z Ω T ρσ 0 ∇.(ρυ)dx − Z Ω ∇(σ0T )υ − Z Ω ∇(ρϑ)υdx − g R Z Ω σ0υ3dx + 1 R Z Ω F0.υdx, = k 2k( T ρ) 1 2σ 0 k2 L2− Z Ω T ρσ∇.(συ)dx − Z Ω T ρ(σ − σ 0 )∇.(ρυ)dx − Z Ω T ρσ 0 (∇ρ.υ)dx − Z Ω T σ0(∇.υ)dx − Z Ω ∇(σ0T )υ − Z Ω ∇(ρϑ)υdx − g R Z Ω σ0υ3dx + 1 R Z Ω F0.υdx, d’autre part on a : Z Ω T ρσ 0 (∇ρ.υ)dx = Z Ω T (∇ log ρ.υ)σ0dx et − Z Ω T σ0(∇.υ)dx − Z Ω ∇(σ0T )υdx − Z Ω ∇(ρϑ)υdx = − Z Ω T σ0(∇.υ)dx + Z Ω σ0T (∇.υ)dx + Z Ω ρϑ(∇.υ)dx = Z Ω ρϑ∇.υdx,

où on a fait une intégration par partie dans les deux dernières intégrales du terme gauche. En injectant ces deux égalités dans l’expression de A + B on obtient :

η Rk∇υk 2 L2 + λ Rk∇.υk 2 L2 + k 2k( T ρ) 1 2(σ − σ 0 )k2_L2 + k 2k( T ρ) 1 2σk2 L2 (2.50) = k 2k( T ρ) 1 2σ 0 k2_L2 + 4 X q=1 Iq, o`u I1 = − Z Ω T ρ(σ − σ 0 )∇.(ρυ)dx, I2 = − Z Ω T (∇ log ρ.υ)σ0dx − g R Z Ω σ0υ3dx

(35)

I3 = 1 R Z Ω F0.υdx + Z Ω ρϑ∇.υdx, I4 = − Z Ω T ρσ∇.(συ)dx. En rappelant que T0 et Mρ sont suffisamment grands et kkH3_(Ω0

τ) suffisamment petit,on

voit que k∇ log ρkL∞ est assez petite de sorte que

kυ.∇ log ρk2

L2 ≤ k∇υk2_L2

Nous allons maintenant estimer les int´egrales Iq, q = 1, ....4. L’estimation de I1 est la

seule qu’on établira,les autres s’éffectue en utilisant les mêmes techniques,i.e.,le théorème des injections de Sobolev et la propriété (A) et les expressions de ρ et T . En utilisant l’inégalité de Hölder et en suite l’inégalité de Young pour les nombres réels on obtient :

I1 ≤ ( Z Ω T ρ(σ − σ 0 )2dx)12( Z Ω T ρ(∇.(ρυ)) 2_dx)1₂ ≤ 2 2 Z Ω T ρ(σ − σ 0 )2dx + 1 22 Z Ω T ρ(∇.(ρυ)) 2_dx,

avec > 0 ,en posant 2 = k on obtient : I1 ≤ k 2k( T ρ) 1 2(σ − σ 0 )k2_L2 + 1 2k Z Ω T ρ(∇ρ.υ) 2 dx + 1 2k Z Ω T ρ(∇.υ)2dx +1 k Z Ω T (∇ρ.υ)(∇.υ)dx. D’autre part, on utilise l’in´egalit´e suivante :

2ab ≤ a2+ b2 1 k Z Ω T (∇ρ.υ)(∇.υ)dx ≤ 1 2k Z Ω T ρ(∇ρ.υ) 2 dx + 1 2k Z Ω T ρ(∇.υ)2dx, par cons´equent :

I1 ≤ k 2k( T ρ) 1 2(σ − σ 0 )k2_L2 + 1 k Z Ω T ρ(∇ρ.υ) 2 dx + 1 k Z Ω T ρ(∇.υ)2dx et donc compte tenu de (2.45), on a

I1 ≤ k 2k( T ρ) 1 2(σ − σ 0 )k2_L2 + 2 κδ1 k(T ρ) 1 2(υ.∇ρ)k2 L2 + 2 κδ1 kT ρkL∞k∇.υk2 L2.

(36)

On a |T ρ| ≤ CMρ(T0) γ γ−1 ,i.e., kT ρk L∞ ≤ C_M ρ(T0) γ

γ−1.En utilisant alors (2.45) et (2.46) on

obtient : 2 κδ1 kT ρkL∞ ≤ η + λ 8R D’autre part, Z Ω T ρ(υ.∇ρ) 2 dx = Z Ω T ρ(υ.∇ρ)(υ.∇ρ)dx = Z Ω T (∇ log ρ.υ)(υ.∇ρ)dx = Z Ω T ρ(∇ log ρ.υ)2dx ≤ kT ρkL∞ Z Ω (∇ log ρ.υ)2dx ≤ kT ρkL∞k∇υk2 L2.

On obtient alors finalement : I1 ≤ k 2k( T ρ) 1 2(σ − σ 0 )k2_L2_(Ω)+ η 8Rk∇.υk 2 L2 + λ 8Rk∇υk 2 L2, I2 ≤ η 16Rk∇υk 2 L2 + CΩkσ 0 k2 L2; I3 ≤ CΩ(kF 0 k2_L2 + ˜C(ρ)kϑk2_H1) + η 16Rk∇υk 2 L2 + λ 8Rk∇.υk 2 L2.

Il reste `a estimer le terme I4, on a

− Z Ω T ρσ∇.(συ)dx = − Z Ω T ρσ(∇σ.υ)dx − Z Ω T ρ|σ| 2_(∇.υ)dx. D’autre part, Z Ω T ρσ(∇σ.υ)dx = 3 X i=1 Z Ω T ρσ∂xiσυidx = 1 2 3 X i=1 Z Ω T ρ∂xi(σ) 2_υ idx

(en int´egrant par partie)

= −1 2 3 X i=1 Z Ω ∂xi( T ρυi)|σ| 2_dx = −1 2 Z Ω T ρ|σ| 2_{(∇.υ)dx −} 1 2 Z Ω ∇(T ρ).υ|σ| 2_dx.

(37)

En somme, on aura : I4 = − 1 2 Z Ω T ρ|σ| 2 (∇.υ)dx + 1 2 Z Ω ∇(T ρ).υ|σ| 2 dx Donc I4 ≤ 1 2k∇.υkL∞k T ρkL∞kσk 2 L2 + 1 2kυkL∞k∇( T ρ)kL∞kσk 2 L2,

En utilisant l’injection continue H3_{(Ω) ,→ L}∞_{(Ω) et l’hypoth`}_{ese (A) on obtient :}

I4 ≤ CΩkυkH3kσk2_L2.

Si on adjoint ces estimations obtenues des Iq (q = 1, 2, 3, 4) `a (2.50) on obtient :

3η 4Rk∇υk 2 L2 + 3λ 4Rk∇.υk 2 L2 + k 2k( T ρ) 1 2σk2 L2 (2.51) ≤ k 2k( T ρ) 1 2σ 0 k2_L2 + CΩ(kσ 0 k2_L2 + kF 0 kL2 + kυk_H2kσk2_L2) + ˜C(ρ)kϑk2_H1.

Considérons à présent le problème suivant :    ∇.ϕ = σ0 ϕ|x3=0 = ϕ|x3=h = 0 avec σ0 vérifiant R Ωσ 0

(x)dx = 0.D’après le théorème 1.9, le problème admet une solu-tion ϕ et on a l’estimasolu-tion suivante :

kϕkH1 ≤ C_Ωkσ 0

kL2. (2.52)

Multiplions à présent (2.26) par ϕ et intégrons sur Ω, en utilisant l’hypothèse (A) et (2.52) on obtient :

T₀2kσ0k2_L2 ≤ C_Ω∗(ηk∇υk2_L2 + λk∇.υk2_L2 + kF 0

k2_L2) + ˜C(ρ)kϑk2_H1, (2.53)

o`u C_Ω∗ est une constante. Si on multiplie (2.53) par (4RC_Ω∗)−1 et on l’adjoint `a (2.51) on obtient (2.47).

Lemme 2.7. Soient υ0, ϑ0, σ0, υ et σ comme dans le lemme pr´ec´edent .Alors on a pour i = 1, 2 η Rk∇∂xiυk 2 L2 + λ Rk∂xi∇.υk 2 L2+ kk( T ρ) 1 2∂_x iσk 2 L2 (2.54) ≤ kk(T ρ) 1 2∂ xiσ 0 k2_L2 + C 0 2(kσ 0 k2_L2 + kF 0 k2_L2 + kυk_H3k∇σk_L22) + ˜C₂kk2_H1.

(38)

D´emonstration

Montrons d’abord la relation suivante : Z Ω [(∂xi∇.υ)∂xi(T σ 0 ) − T ρ(∂xi∇.(ρυ))∂xiσ]dx = Z Ω T ρ(∂xi∇.(ρυ))(∂xiσ − ∂xiσ 0 )dx + Z Ω (∂xiT )σ 0 ∂xi∇.υdx + Z Ω T [(∂xilog ρ)∇.υ + 1 ρ∂xi(υ.∇ρ)]∂xiσ 0 dx, On a : Z Ω [(∂xi∇.υ)∂xi(T σ 0 ) −T ρ(∂xi∇.(ρυ))∂xiσ]dx = − Z Ω T ρ(∂xi∇.(ρυ))(∂xiσ − ∂xiσ 0 )dx + Z Ω (∂xi∇.υ)∂xi(T σ 0 )dx − Z Ω T ρ(∂xi∇.(ρυ))∂xiσ 0 dx; On applique l’op´erateur _∂x∂

i(i = 1, 2) aux ´equations (2.26) et (2.27) on les multiplie

par R−1∂xi et T ρ

−1

∂xiσ respectivement et on les int`egre sur Ω. Puisque ∂xiυ satisfait

aux conditions aux limites (2.5) ,en faisant le même calcul que dans la démenstration du lemme 2.6 et en utilisant la relation précédente on obtient :

η Rk∇∂xiυk 2 L2 + λ Rk∇.(∂xiυ)k 2 L2 + k 2k( T ρ) 1 2(∂ xiσ − ∂xiσ 0 )k2_L2 (2.55) +k 2k( T ρ) 1 2∂ xiσk 2 L2 = k 2k( T ρ) 1 2∂ xiσ 0 k2 L2 + 4 X q=1 Iq, O`u I1 = − Z Ω T ρ(∂xiσ − ∂xiσ 0 )∂xi∇.(ρυ)dx, I2 = Z Ω σ0[∂xi(T [(∂xilog ρ)∇.υ + 1 ρ∂xi(υ.∇ρ)]) + (∂xiT )∂xi∇.υ + g R∂xi∂xiυ3]dx, I3 = Z Ω [(∂xi∇.υ)xi(ρϑ) − 1 RF 0 .∂xi∂xiυ]dx, I4 = − Z Ω T ρ(∂xiσ)∂xi∇.(συ)dx.

Compte tenu des expressions de ρ, T et k et de (2.46), on d´emontre de mani`ere tout `

a fait analogue à la démonstration du lemme 2.6 les inégalités suivantes : I1 ≤ k 2k( T ρ) 1 2(∂_x iσ − ∂xiσ 0 )k2_L2 + λ 2Rk∇.(∂xiυ)k 2 L2+ η 6Rk∇∂xiυk 2 L2, I2 ≤ η 16Rk∇∂xiυk 2 L2 + CΩkσ 0 k2 L2,

(39)

I3 ≤ η 16Rk∇∂xiυk 2 L2 + CΩkF 0 k2 L2+ ˜C(ρ)kϑk2_H1.

Il nous reste `a estimer le terme I4 ,on a

I4 = − 1 2 Z Ω T ρ|∂xiσ| 2_{(∇.υ)dx +} 1 2 Z Ω (∇T ρ).υ|∂xiσ| 2_{dx −} Z Ω T ρ(∂xiσ)∇.(σ∂xiυ)dx ≤ CΩkυkH3_(Ω)k∇σk2_L2_(Ω)

En utilisant les in´egalit´es obtenues pour Iq(q = 1, 2, 3, 4) dans (2.55) on obtient (2.54).

Lemme 2.8. Soient υ0, ϑ0, σ0 et σ comme dans le lemme 2.6 .Alors on a : (κ + 1)C_(T0 0)T 2 0k∂x3σk 2 L2 − C 0 3 2 X i=1 k∇∂x3υk 2 L2 − C 0 3T −2 0 kυk 2 H1 (2.56) ≤ (κ − 1)C_(T0 0)T 2 0k∂x3σ 0 k2 L2 + C 0 3k∇σ 0 k2 L2 + ˜C₃(kF 0 k2 L2 + kϑk2_H1) + C 0 3kυkH3k∇σk2_L2 avec C_(T0 0) = R η + λ( T0 −γ−1_γRgh T0 γ γ−1 (2.57) D´emonstration `

A l’aide de l’identit´e suivante :

∆υ3 = ∂x3∇.υ + ∂x1(∂x1υ3− ∂x3υ1) + ∂x2(∂x2υ3− ∂x3υ2); On tire de l’´equation (2.26) : ∂x3∇.υ = − η η + λ(∂x1(∂x1υ3 − ∂x3υ1) + ∂x2(∂x2υ3− ∂x3υ2)) (2.58) + R η + λ∂x3(ρϑ) + R η + λT ∂x3σ 0 + R η + λσ 0 ∂x3T + g η + λσ 0 − 1 η + λF 0 3

Appliquant à présent l’opérateur différentiel _∂∂

x3 aux deux membres de (2.27) en y

substituant l’expression de ∂x3∇.υ donn´ee si dessus,on multiplie apr`es par ∂x3σ et on

int`egre sur Ω, on trouve alors : Z Ω [k(∂x3σ − ∂x3σ 0 )(∂x3σ) + R η + λρT (∂x3σ 0 )(∂x3σ)]dx = 5 X q=1 Iq; (2.59)

(40)

o`u I1 = − 1 η + λ Z Ω ρ(Rσ0∂x3T + gσ 0 )(∂x3σ)dx; I2 = 1 η + λ Z Ω ρ(F₃0 − R∂x3(ρϑ))(∂x3σ)dx; I3 = η η + λ Z Ω ρ(∂x3σ)(∂x1(∂x1υ3− ∂x3υ1) + ∂x2(∂x2υ3− ∂x3υ2))dx, I4 = − Z Ω ρ(∂x3(υ.∇ρ) + (∂x3ρ)∇.υ)(∂x3σ)dx, I5 = − Z Ω (∂x3σ)∇.(∂x3(συ))dx. En utilisant l’identit´e :

k(a − b)a + αab = k + α 2 a 2 + k − α 2 (a − b) 2₋ k − α 2 b 2 on obtient, en posant α = _η+λR ρT Z Ω [k(∂x3σ − ∂x3σ 0 )(∂x3σ) + R η + λρT (∂x3σ 0 )(∂x3σ)dx = Z Ω k + α 2 (∂x3σ) 2_{dx +} Z Ω k − α 2 (∂x3σ − ∂x3σ 0 )2dx − Z Ω k − α 2 (∂x3σ 0 )2dx ≥ inf Ω ( k + α 2 )k∂x3σk 2 L2 + inf Ω ( k − α 2 )k∂x3σ − ∂x3σ 0 k2 L2 − sup Ω (k − α 2 )k∂x3σ 0 k2 L2

d’autre part on a de (2.11), (2.12) et de la d´emonstration du lemme 2.6 : CMρ(T0− γ − 1 γR gh) γ γ−1 ≤ |ρT | ≤ C Mρ(T0) γ γ−1_, on obtient donc : Z Ω [k(∂x3σ − ∂x3σ 0 )(∂x3σ) + R η + λρT (∂x3σ 0 )(∂x3σ)]dx ≥ k + δ1 2 k∂x3σk 2 L2 − k − δ1 2 k∂x3σ 0 k2_L2 + k − δ₁0 2 k∂x3σ − ∂x3σ 0 k2_L2;

où le nombre δ1 a été défini dans (2.45) et

δ₁0 = R

η + λCMρT γ γ−1

(41)

D’autre part , en utilisant à présent les relations de T et ρ données dans (2.11) et (2.12) on obtient : I1 ≤ k − δ₁0 6 k∂x3σ − ∂x3σ 0 k2 L2 + δ1 12k∂x3σ 0 k2 L2 + C_ΩC_M_ρT 2−γ γ−1 0 k∇σ 0 k2 L2 I2 ≤ ˜C(ρ)kF 0 k2 L2 + ˜C(ρ)kϑk2_H1 + δ1 4k∂x3σk 2 L2; I3 ≤ k − δ₁0 6 k∂x3σ − ∂x3σ 0 k2_L2 + δ1 12k∂x3σ 0 k2_L2 + C_ΩC_M_ρT 2−γ γ−1 0 2 X i=1 k∇∂x3υk 2 L2; I4 ≤ k − δ₁0 6 k∂x3σ − ∂x3σ 0 k2 L2+ δ1 12k∂x3σ 0 k2 L2 + CΩCMρT 4−3γ γ−1 0 kυk 2 H1 Il reste à estimer I5; on a : I5 = − 1 2 Z Ω (∇.υ)|∂x3σ| 2_{dx −} 3 X j=1 Z Ω (∂x3σ)(∂xj(∂x3υj)σ)dx ≤ CΩkυkH3k∇σk 2 L2

Si on adjoint ces inégalités à (2.59) on obtient :

(k + δ1 2)k∂x3σk 2 L2 ≤ (k − δ1 2)k∂x3σ 0 k2 L2 + C_ΩC_M_ρT 2−γ γ−1 0 2 X i=1 k∇∂x3υk 2 L2 +CΩCMρT 4−3γ γ−1 0 kυk 2 H1+ C_ΩC_M_ρT 2−γ γ−1 0 k∇σ 0 k2_L2 + ˜C(ρ)kF k2_L2 + ˜C(ρ)kϑk2_H1 + C_Ωkυk_H3k∇σk2_L2.

En multipliant les deux membres de cette in´egalit´e par (CMρT 2−γ γ−1 0 ) −1 = T2₀(CMρT γ γ−1 0 ) −1

et en tenant compte de (2.45) on obtient (2.56).

Lemme 2.9. Soient υ0, ϑ0, σ0, υ et σ comme dans le lemme 2.6. Alors on a : kυk2 H2 − C 0 4 2 X i=1 k∇∂xiυk 2 L2 (2.60) ≤ −C₄0(T2₀− 1)k∇σ0k2 L2 + C 0 4T 2 0k∂x3σ 0 k2 L2 + C 0 4kF 0 k2 L2 + ˜C4kϑk2H1. D´emonstration

(42)

On réécrit l’équation (2.26) sous la forme d’un problème de Stokes : −η∆υ + R∇(T σ0) = λ∇(∇.υ) − R∇(ρϑ) − gσ0−→e3+ F (υ

0

, ϑ0, σ0) (2.61)

∇.υ = ∇.υ (2.62)

Ici les conditions aux limites sont différentes de celle données dans le théorème 1.8 la démonstration reste valable même avec ces conditions avec bien évidemment quelques changements sont à faire dans les formules de représentation des solutions voir par exemple [20] on obtient donc : kυk2 H2 + k∇(T σ 0 )k2_L2 ≤ ˜C(ρ)kϑk2_H1 + CΩ(k∇σ 0 k2 L2 + k∇.υk2_H1 + kF 0 k2 L2). (2.63)

Par ailleur on obtient de (2.58) :

k∂x3∇.υk 2 L2 ≤ C_Ω(k∇σ 0 k2 L2 + 2 X i=1 k∇∂xiυk 2 L2 + kF 0 k2 L2) +CΩT 2 0k∂x3σ 0 k2_L2 + ˜C(ρ)kϑk2_H1 Et comme on a k∇(T σ0)k2_L2 ≥ C_Ω(T 2 0− 1)k∇σ 0 k2 L2 on d´eduit de (2.63) l0estimation (2.60)

Lemme 2.10. Soient υ0, ϑ0, σ0, υ, et σ comme dans le lemme 2.6. Alors pour i, j = 1, 2 on a : η Rk∇∂xi∂xjυk 2 L2 + λ Rk∂xi∂xj∇.υk 2 L2+ kk( T ρ) 1 2∂_x i∂xjσk 2 L2 − C 0 5kϑk 2 H2 (2.64) ≤ k(T ρ) 1 2∂_x i∂xjσk 2 L2 + C 0 5(k∇σ 0 k2 L2 + kF 0 k2 H1 + kυkH3k∇σk2_H1) + ˜C5kϑk2H2. D´emonstration

On applique l’op´erateur diff´erentiel ∂xi∂xj(i, j = 1, 2) aux deux membres de (2.26) et on

multiplie par R−1∂xi∂xjυ. Si on int`egre sur Ω, on obtient

−η R Z Ω ∂xi∂xj(∆υ)∂xi∂xjυdx − λ R Z Ω ∂xi∂xj(∇(∇.υ))∂xi∂xjυdx

(43)

= − Z Ω ∂xi∂xj(∇(σ 0 T ))∂xi∂xjυdx − Z Ω ∂xi∂xjυ(∇(ρϑ))∂xi∂xjυdx −g R Z Ω ∂xi∂xj(σ 0 )∂xi∂xjυ3dx + 1 R Z Ω ∂xi∂xjF 0 ∂xi∂xjυdx.

Les deux premi`eres int´egrales se calculent facilement,on a en effet :

−η R Z Ω ∂xi∂xj(∆υ)∂xi∂xjυdx = − η R 3 X k=1 Z Ω ∂xi∂xj∆υk∂xi∂xjυkdx = −η R 3 X k=1 Z Ω 3 X l=1 ∂2 ∂x2 l ∂xi∂xjυk∂xi∂xjυkdx = η R 3 X k=1 Z Ω 3 X l=1 ∂xl∂xi∂xjυk∂xl∂xi∂xjυkdx = η R Z Ω (∇∂xi∂xjυ) 2_dx = η Rk∇∂xi∂xjυk 2 L2

on a utilisé dans ce calcul après avoir intervertir l’ordre de dérivation une intégration par partie et la condition aux limites (2.5). D’autre part ,par un calcul tout à fait analogue au précédent on obtient

−λ R Z Ω ∂xi∂xj(∇(∇.υ))∂xi∂xjυdx = λ Rk∂xi∂xj∇.υk 2 L2, On somme on obtient : η Rk∇∂xi∂xjυk 2 L2+ λ Rk∂xi∂xj∇.υk 2 L2 = − Z Ω ∂xi∂xj∇(σ 0 T )∂xi∂xjυdx− Z Ω ∂xi∂xj∇(ρϑ)∂xi∂xjυdx (2.65) −g R Z Ω ∂xi∂xjσ∂xi∂xjυ3dx + 1 R Z Ω ∂xi∂xjF 0 ∂xi∂xjυdx

Appliquons à présent à l’équation (2.27) l’opérateur différentiel ∂xi∂xj et multiplions

par T ρ−1∂xi∂xjσ. Si on int`egre sur Ω on obtient :

k Z Ω T ρ∂xi∂xj(σ − σ 0 )∂xi∂xjσdx + Z Ω T ρ∂xi∂xj∇.(συ)∂xi∂xjσdx = − Z Ω T ρ∂xi∂xj∇.(ρυ)∂xi∂xjσdx

(44)

On calcule comme dans la d´emonstration du lemme 2.6 on obtient : k 2k( T ρ) 1 2(∂ xi∂xjσ − ∂xi∂xjσ 0 )k2_L2 + k 2k( T ρ) 1 2∂ xi∂xjσk 2 L2 (2.66) = k 2k( T ρ) 1 2∂ xi∂xjσ 0 k2 L2 − Z Ω T ρ∂xi∂xj∇(ρυ)∂xi∂xjσdx.

Notons par A le terme gauche de (2.66) et par B le terme gauche de (2.65), on a : A + B = k 2k( T ρ) 1 2∂ xi∂xjσ 0 k2 L2 − Z Ω ∂xi∂xj∇(σ 0 T )∂xi∂xjυdx − Z Ω ∂xi∂xj∇(ρϑ)∂xi∂xjυdx −g R Z Ω ∂xi∂xjσ∂xi∂xjυ3dx + 1 R Z Ω ∂xi∂xjF 0 ∂xi∂xjυdx − Z Ω T ρ∂xi∂xj∇(ρυ)∂xi∂xjσdx, On obtient finalement : η Rk∇∂xi∂xjυk 2 L2 + λ Rk∂xi∂xj∇.υk 2 L2 + k 2k( T ρ) 1 2(∂ xi∂xjσ − ∂xi∂xjσ 0 )k2_L2 (2.67) +k 2k( T ρ) 1 2∂ xi∂xjσk 2 L2 = k 2k( T ρ) 1 2∂ xi∂xjσ 0 k2 L2+ 7 X q=1 Iq, o`u I1 = − Z Ω T ρ(∂xi∂xjσ − ∂xi∂xjσ 0 )∂xi∂xj∇.(ρυ)dx; I2 = Z Ω ((∂xiT )∂xjσ 0 + (∂xjT )∂xiσ 0 + σ0∂xi∂xjT )∂xi∂xj∇.υdx, I3 = Z Ω ∂xi[ T ρ[∂xi∂xj(υ.∇ρ) + (∂xi∂xjρ)∇.υ + (∂xiρ)∂xj∇.υ + (∂xiρ)∂xi∇.υ]]∂xjσ 0 dx I4 = g R Z Ω (∂xjσ 0 )∂_x2_i∂xjυ3dx, I5 = Z Ω (∂xi∂xj(ρϑ))∂xi∂xj∇.υdx, I6 = − 1 R Z Ω (∂_x2_i∂xjυ).∂xjF 0 dx, I7 = − Z Ω T ρ(∂xi∂xjσ)∂xi∂xj∇.(συ)dx.

(45)

En rappelant les expressions de T et ρ et en utilisant l’in´egalit´e 1 2kCMρT γ γ−1 0 ≤ η+λ 16R qu’on

peut obtenir directement de (2.45) − (2.46),on obtient : I1 ≤ k 2k( T ρ) 1 2(∂ xi∂xjσ − ∂xi∂xjσ 0 )k2_L2 + η + λ 16R k∂xi∂xj∇.υk 2 L2 + C_Ωkυk2_H2. D’autre part on a : I2+ I3 + I4 ≤ η 6Rk∇∂xi∂xjυk 2 L2. I5 ≤ ˜C(ρ)kϑk2H2 + λ 4Rk∂xi∂xj∇.υk 2 L2, I6 ≤ CΩkF 0 k2 H1 + η 6Rk∇∂xi∂xjυk 2 L2.

Quand en terme I7, en utilisant la relation suivante :

− Z Ω υT ρ∂xi∂xjσ.∇∂xi∂xjσdx = 1 2 Z Ω (∇.(υT ρ))|∂xi∂xjσ| 2_dx, On obtient : I7 ≤ CΩkυkH3_(Ω)k∇σk2_H1.

Si on adjoint les estimation des intégrales Iq(q = 1, ..., 7) calculées à (2.67) on

ob-tient (2.64).

Lemme 2.11. Soient υ0, ϑ0, σ0, υ et σ comme dans le lemme 2.6 .Alors pour i = 1, 2 on a : (κ + 1)C_(T0 0)T 2 0k∂x3∂xjσk 2 L2− C 0 6 2 X j=1 k∇∂xj∂xiυk 2 L2− C 0 6T −2 0 kυk 2 H2 (2.68) ≤ (κ − 1)C_(T0 0)T 2 0k∂x3∂xiσ 0 k2 L2 + C 0 6(k∇σ 0 k2 L2 + kυk_H3k∇σk2_L2) + ˜C6(kϑk2H2 + kF k2_H1); o`u C_(T0

0) est la constante donn´ee dans (2.57).

D´emonstration

On applique l’op´erateur diff´erentiel ∂x3∂xi(i = 1, 2) aux deux membres de (2.27) et y on

substitue l’expression de ∂x3∇.υ donn´ee dans (2.58). En les multipliant par ∂x3∂xiσ et

en les int`egrant sur Ω, on obtient : Z Ω [k(∂x3∂xiσ − ∂x3∂xiσ 0 )(∂x3∂xiσ) + R η + λρT (∂x3∂xiσ 0 )(∂x3∂xiσ)]dx = 5 X q=1 Iq, (2.69)

(46)

o`u I1 = − 1 η + λ Z Ω (R∂xi(ρσ 0 ∂x3T ) + R(∂xi(ρT ))∂x3σ 0 + g(∂∂xi(ρσ 0 ))(∂x3∂xiσ)dx; I2 = 1 η + λ Z Ω (∂xi(ρF 0 3− Rρ∂x3(ρϑ)))(∂x3∂xiσ)dx, I3 = η η + λ Z Ω (∂x3∂xiσ)(∂xi(ρ(∂x1(∂x1υ3− ∂x3υ1) + ∂x2(∂x2υ3− ∂x3υ2)))dx, I4 = − Z Ω (∂xi∂x3(υ.∇ρ) + ∂xi((∂x3ρ)∇.υ))(∂x3∂xiσ)dx, I5 = − Z Ω (∂x3∂xiσ)∇.(∂xi∂x3(συ))dx.

De manière tout à fait analogue à la démonstration du lemme 2.8, et en utilisant l’inégalité suivante : Z Ω [k(∂x3∂xiσ − ∂x3∂xiσ 0 )(∂x3∂xiσ) + R η + λρT (∂x3∂xiσ 0 )(∂x3∂xiσ)]dx ≥ k + δ1 2 k∂x3∂xiσk 2 L2 − k − δ1 2 k∂x3∂xiσ 0 k2 L2 + k − δ₁0 2 k∂x3∂xiσ − ∂x3∂xiσ 0 k2 L2

et en estimant les termes Iq(q = 1, ..., 5), on d´eduit :

k + δ1 2 k∂x3∂xiσk 2 L2 ≤ k − δ1 2 k∂x3∂xiσ 0 k2_L2 + CΩCMρT 2−γ γ−1 0 k∇∂xj∂xiυk 2 L2 +CΩCMρT 4−3γ γ−1 0 kυk 2 H2+ ˜C(ρ)(kϑk2_H2 + kF 0 k2 H1) + CΩ(CMρT 2−γ γ−1 0 k∇σ 0 k2 L2 + kυkH3∇σk2_H1.

En multipliant les deux membres de cette in´egalit´e par (CMρT 2−γ γ−1 0 ) −1 = T2₀(CMρT γ γ−1 0 ) −1

en tenant compte de (2.45), on obtient (2.68).

Lemme 2.12. Soient υ0, ϑ0, σ0, υ et σ comme dans le lemme 2.6. Alors on a pour i = 1, 2 k∂xiυk 2 H2 − C 0 7(kυk 2 H2 + 2 X j=1 k∇∂xj∂xiυk 2 L2) (2.70) ≤ −T2₀k∇∂xiσ 0 k2 L2 + C 0 7(k∇σ 0 k2 L2 + T 2 0k∂x3∂xiσ 0 k2 L2 + kF 0 k2 H1) + ˜C7kϑk2H2.

(47)

D´emonstration

On applique à (2.26) l’opérateur différentiel ∂xi, (i = 1, 2) et on écrit le système obtenu

sous la forme −η∆(∂xiυ) + ∇(R∂xi(T σ 0 )) = λ∂xi∇(∇.υ) − R∇∂xi(ρϑ) − g∂xiσ 0−→ e3+ ∂xiF 0 , ∇.(∂xiυ) = ∂xi∇.υ, ∂xiυ|x3=0 = 0, ∂xiυ3|x3=h = ∂x3∂xiυj|x3=h = 0, j = 1, 2.

En considérons ce système comme problème de Stokes, de manière analogue à la démonstration du lemme 2.9 on obtient : k∂xiυk 2 H2 + R2k∇∂_x_i(T σ 0 )k2_L2 (2.71) ≤ CΩ(kF 0 k2_H1 + k∇σ 0 k2_L2 + k∂xi∇.υk 2 H1) + ˜C(ρ)kϑk2_H2.

Par ailleur,soit l’in´egalit´e suivante : k∂xi∇.υk 2 H1 ≤ CΩ(kυk2H2 + k∂xi∂x3∇.υk 2 L2 + 2 X j=1 k∂xj∂xi∇.υk 2 L2) (2.72)

appliquons à présent l’opérateur ∂xi(i = 1, 2) aux deux membres de (2.58), on obtient :

k∂xi∂x3∇.υk 2 L2 ≤ CΩ( 2 X j=1 k∇∂xj∂xiυk 2 L2 + k∇σ 0 k2 L2 (2.73) +T2₀k∂x3∂xiσ 0 k2 L2 + kF 0 k2 H1) + ˜C(ρ)kϑk2_H2.

Si on substitue (2.72) et (2.71), et en utilisant l’in´egalit´e suivante : k∇∂xi(T σ 0 )k2_L2 ≥ C_Ω(T 2 0k∇∂xiσ 0 k2 L2 − k∇σ 0 k2 L2), on obtient (2.70).

Lemme 2.13. Soient υ0, ϑ0, σ0, υ et σ comme dans le lemme 2.6. Alors on a : (κ + 1)C_T0 0T 2 0k∆σk 2 L2 − C 0 8T −2 0 kυk 2 H2 ≤ (κ − 1)C 0 T0k∆σ 0 k2 L2 (2.74) C₈0(k∇σ0k2 L2 + kυk_H3k∇σk2_H1) + ˜C₈(kϑk2_H2 + kF 0 k2 H1), o`u C0

(48)

D´emonstration

On applique l’opérateur laplacien à l’équation (2.27) et on y substitue l’expression (2.58) de ∂x3∇.υ, on multiplie ensuite l’équation trouvé par ∆σ, en intègrant sur Ω on

obtient : Z Ω (k(∆σ − ∆σ0)∆σ + R η + λT ρ∆σ 0 ∆σ)dx = 4 X q=1 Iq, o`u I1 = − 1 η + λ Z Ω (2Rρ∇T .∇σ0 + Rρσ0∆T + gρ∂x3σ 0 )∆σdx; I2 = − 1 η + λ Z Ω ρ(R∆(ρϑ) − ∇.F0)∆σdx, I3 = − Z Ω (∆(υ.∇ρ) + (∇.υ)∆ρ + 2(∇ρ).∇(∇.υ))∆σdx, I4 = − Z Ω (∆∇.(συ))∆σdx.

De manière analogue à la démonstration des lemmes 2.8 et 2.11, on a : Z Ω (k(∆σ − ∆σ0)∆σ + R η + λT ρ∆σ 0 ∆σ)dx ≥ k + δ1 2 k∆σk 2 L2 − k − δ1 2 k∆σ 0 k2_L2 + k − δ₁0 2 k∆σ − ∆σ 0 k2_L2.

D’autre part,il n’est pas difficile d’établir l’inégalité suivante :

4 X q=1 Iq ≤ δ1 4k∆σk 2 L2 + C_ΩC_M_ρ(T 4−3γ γ−1 0 kυk2H2 + T 2−γ γ−1 0 k∇σ 0 k2 L2) +CΩkυkH3k∇σk2_H1 + ˜C(ρ)(kϑk2_H2 + kF k2_H1).

Donc, de manière analogue à la démonstration des lemmes 2.8 et 2.11, on déduit (2.74). Lemme 2.14. Soient υ0, ϑ0, σ0, υ et σ comme dans le lemme 2.6 .Alors on a :

kυk2 H3 − C 0 9( 2 X i=1 k∂xiυk 2 H2 + kυk2_H1) ≤ T 2 0k∇σ 0 k2 H1 (2.75) +C₉0T2₀(k∆σ0k2 L2 + 2 X i=1 k∇∂xiσ 0 k2 L2) + C 0 9(k∇σ 0 k2 L2 + kF 0 k2 H1) + ˜C₉kϑk2_H2.

(49)

D´emonstration

On applique le théorème 1.8 sur le problème de Stokes (2.61) − (2.62) pour déduire l’inégalité : kυk2 H3 + k∇(T σ 0 )k2_H1 ≤ C_Ω(∇σ 0 k2 L2 + k∇.υk2_H2 + kF k_H21) + ˜C(ρkϑk2_H2. (2.76)

D’après les démonstrations précédentes,on a les estimations suivantes : k∇(T σ0)k2_H1 ≥ CΩ(T 2 0k∇σ 0 k2 H1 − k∇σ 0 k2 L2); k∇.υk2 H2 ≤ k∂x3∇.υk 2 H1 + 2 X i=1 k∂xiυk 2 H2 + kυk2_H1; k∂x3∇.υk 2 H1 ≤ CΩ(T 2 0k∇∂x3σ 0 k2 L2 + 2 X i=1 k∂xiυk 2 H2 + k∇σ 0 k2 L2 + kF k2_H1) + ˜C(ρ)kϑk2_H2, k∂x3∇σ 0 k2_L2 ≤ k∆σ 0 k2_L2 + 2 X i=1 k∆∂xiσ 0 k2_L2k,

où la troisième inégalité est une conséquense immédiate de (2.58).En adjoignant ces inégalités à (2.76), on obtient (2.75).

pour démontrer le théorème 2.1 par l’application du principe du point fixe de Schauder,on démontre d’abord l’existence de sous ensemble B qui est donnée par le lemme suivant : Lemme 2.15. Si T0 est assez grand et si kkH3 est assez petit,alors il existe une

constante positive r et une norme |.|2 ´equivalente `a la norme k.kH2_(Ω) telles que,si on

pose

B = {(υ, ϑ, σ) ∈ H_υ3(Ω) × H_ϑ2(Ω) × H_σ2(Ω); kυk2_H3 + kϑk2_H2 + |σ|2₂ ≤ r2}, (2.77)

alors on ait

Φ(B) ⊂ B. (2.78)

i.e., Φ est une contraction. D´emonstration