Modélisation stochastique des images texturées

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UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

N° d’ordre 2662

THÈSE DE DOCTORAT

Présentée par

Ahmed DRISSI EL MALIANI

Discipline : Sciences de l’ingénieur

Spécialité : Informatique et télécommunications

Modélisation stochastique des images texturées

Soutenue le 20/07/2013

Devant le jury Président :

Driss ABOUTAJDINE PES Faculté des Sciences de Rabat, Maroc

Examinateurs :

Yannick BERTHOUMIEU PES Institut polytechnique de Bordeaux, France

Abdellah ADIB PES FST, Université Hassan II, Mohammadia, Maroc

M’hamed BAKRIM PES FST, UniversitéCadi Ayyad, Marrakech, Maroc

Mohamed EL MARRAKI PES Faculté des sciences, Rabat, Maroc

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`

A la mémoire de mon père, Les grands hommes ne meurent jamais, ils sont toujours présents, ils nous hantent et on les prend comme référence dans la vie.

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R

EMERCIEMENTS

Les travaux présentés dans ce mémoire ont été effectués au sein du Laboratoire de Re-cherche en Informatique et Télécommunications Unité de Recherche Associée au CNRST (URAC N 29) à la faculté des sciences de Rabat, sous la direction de M. Driss ABOUTA-JDINE et l’encadrement de M. Mohammed EL HASSOUNI.

D’abord, je tiens à remercier M. Driss ABOUTAJDINE, le directeur de cette thèse pour son soutien tout au long de ces années de travail, je lui en suis très reconnaissant. Je suis également reconnaissant à M. Mohammed EL HASSOUNI, Professeur à la faculté des lettres et sciences humaines-Rabat, pour son encadrement, son attention quotidienne et pour la gentillesse qu’il m’a communiqué depuis le début de mon chemin.

Je voudrais remercier les membres du jury, M. Driss ABOUTAJDINE, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, qui m’a fait l’honneur de présider ce jury. Je remer-cie également M. Mohammed EL MARRAKI, Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de Rabat, et M. M’hamed BAKRIM, Professeur de l’enseignement su-périeur à l’université Cadi Ayyad de Marrakech qui m’ont fait l’honneur d’examiner cette thèse. J’adresse mes sincères remerciements à M. Yannick BERTHOUMIEU, Professeur `

a l’Institut Polytechnique de Bordeaux, et M. Abdellah ADIB Professeur de l’enseigne-ment supérieur à la faculté des sciences et techniques de Mohammadia de m’avoir fait l’honneur de rapporter ma thèse. J’exprime mes vifs remerciements à M. Mohammed EL HASSOUNI, Professeur Habilité à la faculté des lettres et sciences humaines-Rabat, qui m’a honoré par examiner ma thèse.

Je voudrais également remercier les membres du laboratoire LRIT, c’était un réel plaisir de les côtoyer et de faire leur connaissance. J’exprime aussi mes remerciements à mes amis sans exception. En particulier un grand merci à Abdelkaher, Brahim, Hassane et Noureddine pour leurs conseils et soutien.

Enfin, j’adresse ma profonde gratitude et mon immense reconnaissance à mon défunt père qu’Allah l’accueil dans son vaste paradis, ainsi qu’à ma chère mère qu’Allah la grade et bénisse. À mes chères frères Youssef et Zakaria pour leur soutien de tous les jours. À toute ma famille et ma belle famille et particulièrement mon cousin Adnan, mon beau père et ma belle mère pour leur soucis et leur préoccupation. Nulle expression ne pourra exprimer tout ce que je dois à ma bien aimée épouse Dounia.

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T

ABLE DES MATI

`

ERES

Liste des abr´eviations ix

Liste des figures xiv

Liste des tableaux xvii

R´esum´e xvii

Abstract xix

Introduction g´en´erale 1

0.1 Contexte g´en´eral . . . 1

0.2 Contributions et organisation . . . 2

0.3 Bases d’images employ´ees pour les exp´erimentations . . . 4

Chapitre 1 : Caract´erisation des textures couleur . . . 9

1.1 La texture . . . 10

1.1.1 Les textures d´eterministes . . . 10

1.1.2 Les textures stochastiques . . . 11

1.2 La couleur . . . 11

1.2.1 Les espaces de r´ef´erences . . . 13

L’espace RGB : . . . 13

L’espace rgb . . . 15

L’espace XYZ : . . . 16

1.2.2 Les espaces luminance-chrominance . . . 16

1.2.2.1 Les espaces perceptuellement uniformes . . . 17

L’espace u∗v∗w∗ . . . 18

L’espace L∗u∗v∗ : . . . 18

L’espace L∗a∗b∗ : . . . 19

1.2.2.2 Les espaces perceptuels . . . 19

L’espace HSV . . . 20

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1.3.1 Approche structurelle . . . 23

1.3.2 Approche statistique . . . 23

1.3.3 Approche par mod´elisation . . . 24

1.3.4 Approche par transformation . . . 26

1.4 Conclusion . . . 27

Chapitre 2 : Mod´elisation stochastique dans le domaine des ondelettes . 29 2.1 Le domaine des ondelettes . . . 30

2.2 Processus de mod´elisation . . . 33

2.2.1 Extraction des caract´eristiques . . . 33

2.2.2 Mesure de similarit´e . . . 36

Famille des m´etriques de Minkowski . . . 38

Distance quadratique . . . 39

Distance de Mahalanobis . . . 39

Divergence de Kullback-leibler . . . 40

Divergence de Jeffrey . . . 40

Tenseur m´etrique bas´e sur l’information de Fisher . . . 41

2.3 Mod`eles univari´es . . . 41

2.3.1 Distribution Gaussienne généralisée (GGD) . . . 42

2.3.2 Distribution de Rayleigh . . . 43

2.3.3 Distribution de Weibull . . . 46

2.3.4 Distribution Gamma . . . 47

2.4 Mod`eles multivari´es . . . 48

2.4.1 D´ependance entre les coefficients d’ondelettes . . . 50

2.4.2 Distribution Gaussienne généralisée multivariée (MGGD) . . . 57

2.4.3 Mod`ele SIRV . . . 58

Chapitre 3 : Gamma généralisée univariée . . . 61

3.1 La loi Gamma généralisée (GG) . . . 62

3.2 Estimation des param`etres . . . 65

3.3 Mesure de similarit´e . . . 67

3.4 Exp´erimentation et r´esultats . . . 70

Chapitre 4 : Gamma généralisée multivariée . . . 75

4.1 Modèles multivariés basés sur la théorie des copules . . . 76

4.1.1 Les copules . . . 76

4.1.1.1 Familles de copules . . . 78

Copule produit . . . 78

Copule Archim´edienne . . . 78

Copules elliptiques . . . 79

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vii

Maximum de vraisemblance . . . 82

M´ethode IFM (Inference Functions from Margins) . . . 82

M´ethode CML (Canonical Maximum Likelihood) . . . 83

4.2 Modèle multivarié générique . . . 83

4.2.1 Choix de la copule . . . 84

4.2.1.1 Variété de lois basées sur la copule Gaussienne . . . 88

4.2.2 Le modèle Gamma généralisée multivariée (M GΓD) . . . 88

4.2.3 Estimation des param`etres . . . 91

4.2.4 Mesure de similarit´e . . . 93

4.2.5 Exp´erimentation et r´esultats . . . 98

4.2.5.1 Protocole exp´erimental . . . 98

4.2.5.2 MGΓD vs litt´erature . . . 98

4.2.5.3 Mesure de similarit´e . . . 103

Chapitre 5 : Une approche multi-mod`ele pour la caract´erisation des tex-tures couleur dans les espaces luminance-chrominance . . . 105

5.1 Observations sur les d´ependances . . . 106

5.1.1 La d´ependance intra-bande . . . 107

5.1.2 La d´ependance inter-bande . . . 107

5.1.3 La d´ependance inter-canal . . . 108

5.1.4 D´ependance totale . . . 108

5.2 L’approche multi-mod`ele . . . 109

5.2.1 Analyse exp´erimentale de la d´ependance . . . 109

5.2.2 Les mod`eles ML et MCr . . . 113

5.2.2.1 Mod`ele spatial multivari´e (ML) . . . 113

5.2.2.2 Modèle Circulaire/Linéaire bivarié pour la chrominance (MCr) . . . 115

5.3 Distance Rao géodésique entre deux lois basées sur des copules . . . 116

5.4 Exp´erimentation et r´esultats . . . 119

5.4.1 protocole exp´erimentale . . . 119

5.4.2 Choix du multi-mod`ele . . . 121

5.4.3 Choix de l’espace LC . . . 123

5.4.4 Multi-mod`ele vs litt´erature . . . 124

5.4.5 Temps d’exécution de la distance Rao géodésique . . . 125

5.4.6 R´eduction de la dimensionalit´e . . . 126

Conclusions et Perspectives 129 Annexe 6 : ´Evaluation des performances . . . 133

6.1 Evaluation des performances du processus de mod´´ elisation . . . 133

(10)

6.1.2 Classifieur Bayésien . . . 134 Annexe 7 : Critères d’évaluation . . . 135 7.1 Critères d’évaluation . . . 135 Annexe 8 : Propriété d’invariance de la structure de dépendance pour

les copules . . . 137 Bibliographie . . . 139

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L

ISTE DES ABR

´

EVIATIONS

AR Auto-r´egressif.

CDF (Cumulative density function) fonction de répartition. CopGGD Gaussienne généralisée à copule Gaussienne.

CML (Canonical maximum likelihood) m´ethode de maximum de vrai-semblance canonique.

DTCWT (Dual tree complex wavelet transform) transform´ee en ondelettes complexes `a arbres duals.

DWT (Discrete Wavelet Transform) transformée en ondelettes discrète. GGD (Generalized Gaussian distribution) distribution gaussienne gén´

e-ralis´ee.

GG Gamma généralisée.

IFM (Inference function from margins) m´ethode d’inf´erence des fonc-tions marginales.

KL Kullback-leibler.

KNN (K nearest neighbor) k plus proche voisin.

MGGD (Multivariate generalized Gaussian distribution) distribution Gaus-sienne généralisée multivariée .

MWbl Distribution Weibull multivariée à copule t-Student. MGam Distribution Gamma multivariée à copule Gaussienne.

MGΓD (Multivariate genralized Gamma distribution) distribution Gamma généralisée multivariée.

MBKF (Multivariate Bessel K forms) formes K de Bessel multivari´ee. ML (Maximum likelihood) maximum de vraisemblance.

MC M´ethode de Mont´e-carlo.

PDF (Probability density function) fonction de densité de probabilité. SIRV (Spherically invariant random vectors) vecteurs aléatoires à

inva-riance sph´erique. VA Variable al´eatoire.

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L

ISTE DES FIGURES

1 DB1 :40 classes de textures de la base Vistex . . . 6

2 DB2 : 24 classes de textures couleur de la base Vistex . . . 7

3 DB3 : 54 classes de textures couleur de la base Vistex . . . 7

4 DB4 :68 classes de textures couleur de la base Outex . . . 8

1.1 Exemples de textures d´eterministes . . . 11

1.2 Exemples de textures stochastiques. . . 11

1.3 Processus de formation de la couleur. . . 12

1.4 Fonctions colorim´etriques r(λ), g(λ) et b(λ). . . 14

1.5 Repr´esentation cubique de la couleur dans l’espace RGB. . . 15

1.6 Fonctions colorim´etriques x(λ), y(λ) et z(λ) . . . 17

1.7 Diagramme de chromacit´e de la CIE. . . 18

1.8 Espace couleur L∗a∗b∗. . . 20

1.9 Espace couleur HSV. . . 21

1.10 Espace couleur HSV. . . 21

2.1 D´ecomposition selon la transform´ee DWT. . . 30

2.2 Histogramme (trait bleu) des sous-bandes de fréquence issues de la d´ ecom-position DWT selon les trois orientations, verticale (colonne 1), horizontale (colonne 2) et diagonale (colonne 3) ainsi que la pdf ajustée (trait rouge) de la distribution Gaussienne pour trois textures différentes (une texture sur chaque ligne). . . 32

2.3 Analyse d’un Dirac placé au centre de l’intervalle (à gauche) et d’un Dirac décalé vers la gauche (à droite). De haut en bas : le signal, les coefficients ` a l’échelle 4 de la partie réelle et de la partie imaginaire, le module des coefficients complexes à l’échelle 4 issus de la DTCWT. . . 34

2.4 Construction en arbre dual de la transform´ee DTCWT. . . 35

2.5 Extraction des caractéristiques d’une image (modélisation univariée) . . . . 36

2.6 Extraction des caractéristiques d’une image (modélisation multivariée) . . 37

2.7 Vari´et´e stochastique . . . 41

2.8 Ajustement des histogrammes (trait bleu) des sous-bandes issues de trois échèlles (sur chaque ligne) de la DWT par des PDFs de la loi Gaussienne généralisée (trait rouge) . . . 44

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2.9 Ajustement des histogrammes des amplitudes des coefficients issus de la DTCWT de diff´erentes sous-bandes par la distribution de Rayleigh (trait rouge). . . 45 2.10 Ajustement des histogrammes (trait bleu) des amplitudes des coefficients

issus de la DTCWT de diff´erentes sous-bandes par la distribution de Wei-bull (trait rouge). . . 47 2.11 Ajustement des histogrammes (trait bleu) des amplitudes des coefficients

issus de la DTCWT de différentes sous-bandes par la distribution Gamma (trait rouge). . . 49 2.12 Dépendance inter-canal . . . 53 2.13 Dépendance inter-bande . . . 53 2.14 Test Chi-plot de la dépendance entre les sous-bandes de différentes

compo-santes couleur suivant une même orientation . . . 54 2.15 Test Chi-plot de la dépendance entre les sous-bandes de différentes

compo-santes couleur suivant différentes orientations . . . 55 2.16 Exemple de pdf d’une distribution MGGD . . . 58 3.1 Cas spéciaux de la distribution Gamma généralisée . . . 62 3.2 Ajustement des histogrammes (trait bleu) des amplitudes des coefficients

issus de la DTCWT de différentes sous-bandes de la composante couleur R par la distribution Gamma généralisée (trait rouge). . . 63 3.3 Ajustement des histogrammes (trait bleu) des amplitudes des coefficients

issus de la DTCWT de différentes sous-bandes de la composante couleur G par la distribution Gamma généralisée (trait rouge). . . 64 3.4 Ajustement des histogrammes (trait bleu) des amplitudes des coefficients

issus de la DTCWT de différentes sous-bandes de la composante couleur B par la distribution Gamma généralisée (trait rouge). . . 65 3.5 Ajustement de la Gamma généralisée en comparaison avec Weibull et Gamma 67 4.1 Allures des densités des copules Archimédiennes (Frank, Gumbel et Clayton) 79 4.2 Allures de densités de copules Gaussiennes modélisant différentes structures

de dépendances. . . 80 4.3 Allures de densités de copules t-Student modélisant différentes structures

de dépendances. . . 81 4.4 Structure de dépendance par différentes copules avec les mêmes marginales

normales : (a) Gaussienne ρ=0.7, (b) t-Student ρ=0.7, (c) Clayton α=1, (d) Frank α=8, (e) Gumbel α=3 . . . 85 4.5 Structure de dépendance inter-bande de différentes sous-bandes d’ondelettes 86 4.6 Ajustement de la structure de dépendance inter-bande (points en rouge) en

utilisant la copule Gaussienne (points en bleu) . . . 87 4.7 Ajustement de la structure de d´ependance inter-bande (points en rouge) en

utilisant la copule t-Student (points en vert) . . . 87 4.8 Comparaison de la cdf des copules Gaussienne et t-Student avec la cdf de

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xiii

4.9 Test Q-Q plot entre la copule empirique et la copule gaussienne (1 ère colonne) et la copule t-Student (2 ème colonne), en considérant différentes valeur du coefficients de corrélation ρ. . . 90 4.10 Construction d’une observation du vecteur aléatoire X, illustrant la d´

epen-dance étudiée . . . 92 4.11 Ajustement des marginales Gamma généralisée univariée (trait rouge) à la

densité empirique des sou-bande (trait bleu) : (a) sous-bande de la sante R, (b) sous-bande de la composante G, (b) sous-bande de la compo-sante B. . . 94 4.12 1re colonne : Ajustement de la structure de dépendance générée par la

co-pule Gaussienne (points en rouges) à la structure de dépendance entre les coefficients des sous-bandes (points bleus) {R, G} , {R, B} et {G, B} res-pectivement de haut en bas ; 2me colonne : ajustement de la densité du M GΓD bivarié (trait rouge) à la densité empirique bivariée des coefficients des sous-bandes {R, G} , {R, B} et {G, B} respectivement de haut en bas (trait bleu). Les sous-bandes rouge, verte et bleue sont d’orientations ana-logues. . . 95 4.13 1re _{colonne : Ajustement de la structure de d´}_{ependance g´}_en´_er´_{ee par la}

co-pule Gaussienne (points en rouges) `a la structure de d´ependance entre les coefficients des sous-bandes (points bleus) {R, G} , {R, B} et {G, B} res-pectivement de haut en bas ; 2me _{colonne : ajustement de la densit´}_{e du}

M GΓD bivarié (trait rouge) à la densité empirique bivarié des coefficients des sous-bandes {R, G} , {R, B} et {G, B} respectivement de haut en bas (trait bleu). Les sous-bandes rouge, verte et bleue sont d’orientations diff´ e-rentes. . . 96 5.1 Densités empiriques marginales d’une sous-bande des composantes L, a et b 112 5.2 Densités empiriques marginales d’une sous-bande des composantes H, S et V112 5.3 Densités empiriques marginales d’une sous-bande des composantes R, G et B113 5.4 Intra- et inter-dépdendance pour la lumiannce . . . 114

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L

ISTE DES TABLEAUX

2.1 Coefficients de corrélation linéaire (Pearson), de Spearman et de Kendall pour les dépendances entre composantes couleurs de 40 textures de Vistex considérant différentes sous-bandes de même orientations . . . 55 2.2 Coefficients de corrélation linéaire (Pearson), de Spearman et de Kendall

pour les dépendances entre composantes couleurs de 40 textures de Vistex considérant différentes sous-bandes d’orientations différentes . . . 56 2.3 Coefficients de corrélation linéaire (Pearson), de Spearman et de Kendall

pour les dépendances entre composantes couleurs de 40 textures de Vistex considérant différentes sous-bandes d’orientations différentes . . . 56 2.4 Coefficients de corrélation linéaire (Pearson), de Spearman et de Kendall

pour les dépendances entre composantes couleurs de 40 textures de Vistex considérant différentes sous-bandes d’orientations différentes . . . 56 3.1 KLD entre les distributions empiriques et les distributions paramétriques

pour différentes textures. . . 64 3.2 Pourcentage de classification pour différentes valeurs de Q en considérant

les sous-bandes des composantes de couleur une `a une (RGG, GGG, BGG) et

toutes les trois de manière séparée (RGBGG), sur l’ensemble DB1 . . . 72

3.3 Précision de classification pour différentes valeurs de Q en considérant les sous-bandes des composantes de couleur une à une et toutes les trois de manière séparée, sur l’ensemble DB1 . . . 72 3.4 Pourcentage de classification pour différentes valeurs de Q, pour les modèles

GG, Weibull, Gamma et GGD en considérant les trois composantes (RGB) sur l’ensemble DB1 . . . 73 3.5 Précision de classification pour différentes valeurs de Q, pour les modèles

GG, Weibull, Gamma et GGD en considérant les trois composantes (RGB) sur l’ensemble DB1 . . . 73 3.6 Pourcentage de classification considérant les modèles GG, Weibull, Gamma

et GGD sur les ensembles DB1, DB2, DB3 et DB4 . . . 73 3.7 Précision de classification considérant les modèles GG, Weibull, Gamma et

GGD sur les ensembles DB1, DB2, DB3 et DB4 . . . 74 4.1 Moyenne de la distance entre la copule param´etrique et la copule empirique

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4.2 Moyennes des pourcentages de classification en utilisant un classifieur KNN, sur les trois ensembles DB2, DB3 et DB4 en considérant le modèle MGΓD. 99 4.3 Pourcentage de classification en utilisant les modèles MGΓD, MWbl, MGam,

MGGD et GGD sur les 24 classes de textures couleur de DB2. . . 101 4.4 Pr´ecision de classification en utilisant les mod`eles MGΓD, MWbl, MGam,

MGGD et GGD sur les 24 classes de textures couleur de DB2. . . 102 4.5 Moyennes des pourcentages de classification sur les ensembles DB1, DB2,

DB3 et DB4. . . 102 4.6 Moyennes des pr´ecisions de classification sur les ensembles DB1, DB2, DB3

et DB4. . . 103 4.7 Moyennes des pourcentages de classification pour diff´erents mod`eles, en

utilisant la divergence KL basée sur l’approximation par méthode de Mont´ e-carlo et la divergence KL proposée sur DB3. . . 104 4.8 Temps d’exécution (en minutes) pour le calcul des mesures de similarité

entre les éléments de l’ensemble d’apprentissage et les éléments de l’en-semble test pour DB2, DB3 et DB4, en utilisant le modèle MGΓD . . . 104 5.1 Moyenne des coefficients de corrélation Pearson, Kendall, Spearman et

d’in-formation mutuelle sur différents sous-bandes de 40 textures de la base Vistex109 5.2 Moyenne des paramètres (considérant les sous-bandes de 40 textures

cou-leur de la base Vistex), en supposant que les sous-bandes des composantes L, a et b sont modélisées par le même modèle (Weibull ou Gamma) . . . . 111 5.3 Moyenne des paramètres (considérant les sous-bandes de 40 textures

cou-leur de la base Vistex), en supposant que les sous-bandes des composantes R, G et B sont modélisées par le même modèle (Weibull ou Gamma) . . . 111 5.4 Moyenne des paramètres (considérant les sous-bandes de 40 textures

cou-leur de la base Vistex), en supposant que les sous-bandes des composantes H, S et V sont modélisées par le même modèle (Weibull ou Gamma) . . . . 111 5.5 Notations, descriptions et expressions des pdf des modèles de luminance et

chrominance utilisés . . . 122 5.6 Performances de différents multi-modèles sur l’espace de couleur L∗a∗b∗. . . 122 5.7 Performances de différents multi-modèles sur l’espace de couleur HSV. . . . 122 5.8 Performances des meilleurs multi-modèles sur les espaces L∗a∗b∗ et HSV. . 123 5.9 Moyenne du pourcentage de classification en utilisant les meilleurs

multi-modèles en comparaison avec les approches existantes dans la littérature. . 124 5.10 Moyenne du pourcentage de classification ainsi que le temps d’exécution

(en minutes) sur l’ensemble DB3, en utilisant la distance Rao, la KLML et

la KLMC comme mesure de similarit´e pour les multi-mod`eles Lab1 et HSV1. 125

5.11 Performances du classifieur en consid´erant une d´ependance totale sur les espace LC. . . 126

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R´

ESUM

´

E

Cette thèse porte sur la caractérisation des textures couleur par des modèles sto-chastiques dans le domaine des ondelettes. Les décompositions en ondelettes offrent une représentation spatio-fréquentielle semblable au système de perception humaine. Le travail dans cette étude concerne, dans un premier lieu, la description des statistiques marginales des sous-bandes des textures, en proposant des modèles univariés s’ajustant au mieux au caractère non-Gaussien des sous-bandes d’ondelettes. Dans cette optique, nous introdui-sons le modèle Gamma généralisée afin d’assurer plus de généricité et de faire face à la grande hétérogénéité dans les bases d’images.

Dans un second lieu, nous nous intéressons à la caractérisation jointe par des modèles mul-tivariés décrivant les dépendances entre les sous-bandes des composantes couleur d’une texture. Nous proposons un modèle générique multivarié nommé Gamma généralisée mul-tivariée dans le cas ou les textures couleur sont représentées dans l’espace de référence RGB, ainsi qu’une approche multi-modèle dans le cas ou les textures couleur sont repr´ e-sentées dans un espace de type luminance-chrominance.

Les performances des modèles proposés sont évaluées expérimentalement en se basant sur le problème de la classification des textures. Ceci impose que le processus de modélisation considère une mesure de similarité sur l’espace du modèle utilisé. Pour ce faire, nous pro-posons des expressions analytiques de métriques pour les modèles que nous proposant, ce qui représente une autre contribution de cette étude.

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A

BSTRACT

This thesis focuses on the characterization of color textures by stochastic models in the wavelet domain. The wavelet decomposition provides a spatial frequency representa-tion that is similar to human perceprepresenta-tion system. The work in this study concerns firstly the description of the marginal statistics of the subband textures, offering univariate best fitting to the non-Gaussian nature of the subband wavelet. In this context, we introduce the generalized Gamma model to provide more genericity and deal with the heterogeneity in image databases.

In a second step, we are interested in the joint characterization by multivariate models describing the dependencies between sub-bands of color components of a texture. We pro-pose a generic multivariate model called generalized multivariate Gamma in case the color textures are represented in the reference space, RGB and a multi-model approach in case the color textures are represented in a luminance-chrominance spaces.

The performance of the proposed models are experimentally evaluated based on the pro-blem of texture classification. This requires that the modeling process considers a simila-rity measure on the space of the model. To do this, we propose analytic expressions metrics for the models that we offer, which represents a further contribution of this study.

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I

NTRODUCTION G

´

EN

´

ERALE

0.1 Contexte g ´en ´eral

Les dernières années témoignent d’un progrès technologique inédit et incessant, cou-vrant plusieurs aspects de notre vie. Allant des avancées en matières des tél´ ecommunica-tions, du multimédia, jusqu’au domaine de la santé, les innovations scientifiques n’arrêtent de nous surprendre. Cependant, dans le domaine de la vision, le cerveau d’un enfant arrive toujours à interpréter une image mieux que le plus performant des systèmes. La facilité et l’intuitivité du système de perception humain sont pour la machine, une tâche extrˆ eme-ment complexe. L’enjeu principal de n’importe quel système de vision par ordinateur, de reconnaissance d’objets ou de reconnaissance de formes est donc de reproduire la capacité du cerveau humain à comprendre le contenu des images en interprétant des attributs tels que la forme, la couleur et la texture.

Grâce à sa nature très discriminante, des chercheurs de différentes disciplines s’intéressent `

a l’attribut texture. Ceci fait en sorte que la caractérisation des textures jouit d’une riche production scientifique, et de différentes méthodes d’extraction de ses caractéristiques. Ces derniers, sont primordiaux dans le processus de la caractérisation, puisqu’ils servent `

a identifier une texture et la distinguer des textures différentes, sans avoir recours à l’in-tégralité de l’information que contient cette dernière. Toutefois, des études ont montrées que le cerveau humain se base aussi sur la couleur lors du processus de la perception. Deux images avec une même texture mais des couleurs différentes doivent être caract´ eri-sées différemment. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la caractérisation des textures couleur par le biais de modèles stochastiques probabilistes dans le domaine transformé des

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ondelettes. L’intérêt vient, d’une part, du fait que la représentation spatio-fréquentielle des ondelettes est semblable au mécanisme de la perception humaine, et d’autre part, du succès que rencontre la modélisation stochastique dans plusieurs applications comme le débruitage (Pizurica et al. (2002), Kivanc Mihcak et al. (1999), Malfait et Roose (1997), Romberg et al. (1999)), le tatouage (Briassouli et al. (2005)), la segmentation (Kim et Kang (2007), Choi et Baraniuk (2001)) et la recherche d’images par leur contenu (Vas-concelos et Lippman (2000)).

La nature parcimonieuse des tranformées en ondelettes se traduit par des sous-bandes dont les histogrammes sont d’une allure leptokurtique, i.e histogramme à queues lourdes et à pics prononcés. Ces derniers sont non-ajustables par le modèle normal (Gaussien). C’est pour cette raison que les modèles utilisés dans ce contexte sont de nature non-Gaussienne (ou sur-Gaussienne). Partant de cette observation, nous distinguons entre deux types de modélisation. La modélisation univariée dédiée à l’étude des statistiques marginales des sous-bandes d’ondelettes par le biais d’un modèle univarié adéquat, et la modélisation multivariée dédiée à la description des statistiques jointes, i.e les dépendances entre les coefficients des sous-bandes. Dans les deux cas, des modèles sont proposés afin de s’ajuster au mieux à la nature des données.

Pour évaluer les performances des modèles proposés dans cette étude, nous avons choisi le problème de classification. Ainsi pour pouvoir classifier une image en se basant sur l’ensemble des descripteurs (paramètres du modèle), une mesure de similarité devra être définie pour chacun des modèles proposés. Nous notons que les modèles proposés pourront ˆ

etre utilis´es dans n’importe quelle application se basant sur une phase de mod´elisation.

0.2 Contributions et organisation

L’objectif principale de cette étude est la proposition de nouveaux modèles afin d’am´ e-liorer la pertinence de l’analyse des images, et ce en se basant sur les deux attributs texture et couleur de manière séparée ou jointe. Dans le premier chapitre nous présentons les différentes approches de caractérisation à savoir l’approche structurelle, l’approche statis-tique, l’approche basée sur les modèles et l’approche basée sur les transformations. Nous concluons, qu’il est préférable que la caractérisation soit effectuée en utilisant des modèles

(25)

0.2. CONTRIBUTIONS ET ORGANISATION 3

stochastiques dans l’espace transformé des ondelettes. Cette approche hybride considère les deux approches par modélisation et par transformation. En se basant sur cette conclu-sion, nous présentons dans le deuxième chapitre, la modélisation stochastique dans le domaine des ondelettes. Nous discutons les deux cas de modélisation univariée et multi-variée. Dans la première les modèles utilisés sont dédiés à la description des statistiques marginales des sous-bandes des composantes de couleur d’une texture. La modélisation multivariée s’intéresse à l’étude des dépendances entre les coefficients de ces sous-bandes. Dans les deux cas, nous rappelons différents modèles déjà proposés dans la littérature, dans les deux domaines des ondelettes orthogonales discrètes (DWT, Discret Wavelet Transform) et des ondelettes complexes à arbres duaux (DTCWT, Dual Tree Complex Wavelt Transform). Les sous-bandes résultantes de ces deux transformations sont de na-ture leptokurtique (allure à queue lourde et à pic prononcé). Par conséquent, le modèle utilisé devra être non-Gaussien.

Dans le contexte de la modélisation univariée, nous introduisons, dans le troisième cha-pitre le modèle Gamma généralisée (GG) comme première contribution de cette étude. En effet, malgré leur ajustement au comportement leptokurtique des coefficients d’onde-lettes, la plupart des modèles univariés proposés manquent de flexibilité, i.e la capacité à modéliser différentes formes de densités. Ceci est un problème crucial, en sachant la na-ture très diversifiée des images dans les bases de données. Le modèle que nous proposons permet plus de flexibilité grâce à son paramètre de forme additionnel et grâce aussi à sa généricité puisqu’il englobe différents modèles comme cas spéciaux.

Le quatrième chapitre s’intéresse à la modélisation multivariée, en considérant les d´ e-pendances entre les coefficients d’ondelettes, en cherchant toujours à garder la flexibilité et la généricité de la modélisation. Pour ceci, nous introduisons un autre modèle que nous appelons Gamma généralisée multivariée (MGΓD), comme prolongement du modèle GG. Le modèle proposé associe la modélisation du comportement marginale (GG) avec la des-cription de la structure de dépendance en se basant sur la théorie des copules. Après la présentation des différentes familles des copules pouvant être utilisées, nous nous basons sur différents tests d’ajustement pour le choix de la copule la plus adaptée à notre struc-ture de dépendance, à savoir la dépendance entre les sous-bandes des composantes couleur

(26)

dans l’espace de représentation RGB. Le modèle MGΓD présente l’avantage de considérer l’information de dépendance de manière flexible et générique. Cependant, malgré le fait que l’espace RGB est le plus utilisé en tant qu’espace d’acquisition de référence, les espaces luminance-chrominance présentent plus d’intuitivité grâce à leur représentation semblable `

a la perception humaine de la couleur. Ces espaces offrent une séparabilité entre la struc-ture spatiale (composante de luminance) et l’information de pure chrominance. Partant de cette observation, nous proposons dans le cinquième chapitre, une approche multi-modèles pour la caractérisation des textures couleur dans ce genre d’espaces de couleur. Un sous-modèle multivarié de luminance et un sous-modèle bivarié de chrominance sont utilisés afin de tenir compte de la nature séparable de ces deux informations. Les deux sous-modèles sont basés sur des copules Gaussiennes. Dans ce contexte, nous introduisons une nouvelle mesure de similarité sur la variété des lois à copules Gaussiennes, à savoir la distance Rao géodésique. Contrairement à la divergence de Kullback-leibler, qui est la plus utilisée comme métrique entre les modèles probabilistes, la mesure proposée est une vrai distance car elle satisfait les propriétés de symétrie et de triangularité.

0.3 Bases d’images employ ´ees pour les exp ´erimentations

Les expérimentations réalisées dans cette étude utiliseront principalement deux bases d’images universelles à savoir la base Vistex (vistex (1995)) et la base Outex (Ojala et al. (2002a)). De ces deux bases sont construits 4 ensembles parmi les plus utilisés dans la littérature :

– DB1 considère 40 classes de textures couleurs (figure 1). Chaque texture de taille 512 × 512 est divisée en 16 imagettes, non chevauchées, de taille 128 ×128 ce qui génère 640 textures couleur. Cet ensemble de données a été utilisé par plusieurs travaux (Do et Vetterli (2002), Verdoolaege et Scheunders (2011), Kwitt et al. (2011))

– DB2 : considère 24 classes de textures couleurs de taille 512 × 512 de la base Vistex (figure 2). Cet ensemble de données suit le protocole de (Qazi et al. (2010), Permuter et al. (2006)). Chaque texture couleur est divisée en 256 imagettes de taille 32 × 32 , générant ainsi une base de 6144 texture couleur. Cet ensemble évalue la robustesse

(27)

0.3. BASES D’IMAGES EMPLOY ´EES POUR LES EXP ´ERIMENTATIONS 5

du processus de caractérisation dans le cas des structures spatiales très localisées (petites imagettes).

– DB3 : considère 54 classes de textures couleur de taille 512 × 512 de la base Vistex (figure 3). Chaque texture couleur est divisée en 16 imagettes de taille 128 × 128 (Do et Vetterli (2002)), générant une base de 864 texture couleur. Cet ensemble est disponible sur le site Outex (Ojala et al. (2002a)) sous le nom de ”Contrib TC 00006”.

– DB4 : considère 68 classes de textures couleur de tailles 746 × 538 de la base Outex (figure 4). Chaque texture couleur est divisée en 20 imagettes de taille 128 × 128. La base Outex se montre comme un test difficile pour nos modèles puisque dans cette dernière il n’est pas facile de distinguer entre la couleur et la texture.

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0.3. BASES D’IMAGES EMPLOY ´EES POUR LES EXP ´ERIMENTATIONS 7

Figure 2 – DB2 : 24 classes de textures couleur de la base Vistex

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(31)

Chapitre

1 C

ARACT

´

ERISATION DES TEXTURES COULEUR

Sommaire

1.1 La texture . . . 10 1.2 La couleur . . . 11 1.3 M´ethodes d’analyse des textures couleur . . . 22 1.4 Conclusion . . . 27

L

pré cerveau humain se base essentiellement sur la texture et la couleur, pour l’inter-etation du message visuel lors de la perception d’une image. La caractérisation des textures couleur se présente alors comme étant primordiale dans plusieurs domaines de reconnaissance de formes et de vision par ordinateur. Nous présentons, dans ce cha-pitre, ces deux attributs ainsi que les principales approches d’analyse utilisées dans la littérature.

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1.1 La texture

D’après Gagalowicz (Gagalowicz (1983)), la texture est une structure spatiale consti-tuée de l’organisation de primitives ayant chacune un aspect aléatoire. En se basant sur l’étude de Gagalowicz, Unser (Unser (1984)) a définit la texture comme une région d’une image pour laquelle il est possible de définir une fenêtre de dimensions minimales, telle qu’une observation au travers de celle-ci se traduit par une impression visuelle identique pour toutes les translations possibles de cette fenêtre à l’intérieur de la région considérée. La texture a dans ce cas certaines propriétés spatiales homogènes et invariantes par trans-lation. Selon Haralick (Haralick (1979)), une texture est composée de deux dimensions. La première concerne la description des éléments qui forment la texture, et la deuxième définit les interactions entres ces primitives. Germain (Germain (1997)) a étendu cette définition d’une manière plus concise, en considérant que la texture est définit par une combinaison entre l’agencement spatial et les statistiques de la population des objets qui constituent la texture. La notion de l’échelle d’observation a été ensuite ajoutée à la définition de la texture. Une texture, définie à une échelle donnée n, est une règle d’arrangement spatial des niveaux de gris des pixels qui, appliquée à une région R de taille supérieure à l’échelle n, se traduit par l’obtention de résultats identiques lors de la réalisation d’une expérience (visuelle ou mathématique) limitée à n’importe quelle fenêtre de taille n incluse dans la région R.

Lors du processus de caract´erisation, nous pouvons distinguer entre deux types de tex-tures, les textures d´eterministes et les textures stochastiques :

1.1.1 Les textures d ´eterministes

Dans ce cas, la région texturée est constituée par la répétition d’un motif de base suivant un réseau bidimensionnel. Ce dernier est caractérisé par sa direction et sa période. La texture pourra alors, être complètement décrite par la description du motif de base et par les dimensions et orientations du réseau. Cependant, cette description n’est conve-nable que pour des textures parfaitement régulières comme le cas d’un mur de briques, cas rarement étudié dans la réalité. Il est évident que les textures naturelles présentent

(33)

1.2. LA COULEUR 11

beaucoup plus d’irrégularité dans la disposition géométrique des motifs.

Figure 1.1 – Exemples de textures d´eterministes

1.1.2 Les textures stochastiques

A l’inverse des textures déterministes, les textures stochastiques sont constituées par un arrangement aléatoire de plusieurs motifs. Ces derniers ne sont définis que par les propriétés statistiques de la population à laquelle ils appartiennent. En plus, la répartition spatiale de ces motifs suit une grille irrégulière, ce qui rend la définition de la texture totalement stochastique. Dans ce cas, les caractéristiques de la texture seront les propriétés

Figure 1.2 – Exemples de textures stochastiques.

statistiques des niveaux de gris de ses pixels ou les paramètres du modèle stochastique à partir duquel elle est réalisée.

1.2 La couleur

La couleur peut être définie comme la propriété perceptuelle correspondante à ce que les humains appellent les catégories rouge, jaune, verte, bleue, etc, ... . Elle correspond à l’interprétation cérébrale du spectre visible incident à l’oeil. La couleur est alors fortement

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Source lumineuse Lumière émise Lumière réfléchie Mécanisme visuel Objet observé

Figure 1.3 – Processus de formation de la couleur.

liée à la lumière, l’objet per¸cu et le mécanisme visuel. La figure 1.3 montre le processus de formation du stimulus de couleur d’un objet. L’émission de la lumière, première étape du processus, est indépendante de l’objet observé. La lumière peut être émise par une source lumineuse naturelle (soleil) ou artificielle (lampe). Cette source est caractérisée par sa répartition spectrale d’énergie relative S(λ), telle que λ est la longueur d’onde. Vient après l’objet per¸cu. Ce dernier est caractérisé par sa reflectance spectrale β(λ). Le stimulus de couleur formé est alors, la partie de la lumière émise par la source et non absorbée par l’objet ; i.e la lumière réfléchie par l’objet. Le stimulus de couleur formé s’exprime par la relation :

C(λ) = β(λ) × S(λ) (1.1)

Ce stimulus atteint, ensuit, l’oeil, se focalisant plus spécifiquement sur la rétine. cette der-nière est équipée de photorécépteurs appelés cônes, responsables de la perception d’une couleur à condition que l’intensité de la lumière émise soit suffisante. La rétine comporte trois types de cônes distingués par leurs sensibilités à la longueur d’onde de la luminère incidente. Le premier type est sensible à la longueur d’onde 570 nm (nommé L pour

(35)

Long-1.2. LA COULEUR 13

wavelength), le deuxième à 540 nm (nommé M pour Medium-wavelength) et le troisième à 440 nm (nommé S pour Short-wavelength). Enfin, les cônes traduisent l’énergie lumineuse incidente en un signal électro-chimique compréhensible et interprétable par le cerveau. Il s’avère alors que pour l’être humain, la perception de la couleur se porte sur deux as-pects, un aspect physique (relation lumière-oeil) et un aspect psychologique (relation oeil-cerveau). L’aspect physique de la couleur est caractérisé par la nature tri-dimensionnelle issue de l’existence de trois types de cônes, responsable de percevoir la lumière incidente `

a l’oeil. Ceci a donné lieu à la théorie trichromatique appelée aussi trivariance visuelle. Cette théorie montre que la quasi-totalité des couleurs sont reproduites à partir de trois couleurs (C1, C2 et C3) appelées primaires.

C = αC1 + βC2+ λC3 (1.2)

Les primaires doivent être les plus proches des zones de sensibilité des trois cônes, et chacune d’elles ne devra être reproduite par un mélange des deux autres.

L’aspect psychologique est plutôt en relation avec la manière avec laquelle le cerveau interprète le message fourni par l’oeil. Cette interprétation peut être, ou non, uniforme avec la théorie trichromatique. Pour cela la couleur a été représentée utilisant plusieurs espaces ; chacun reflète une manière d’interpréter le stimulus de couleur. Nous distinguons entre deux grandes familles d’espaces couleur :

– les espaces de r´ef´erences,

– les espaces luminance-chrominance.

1.2.1 Les espaces de r ´ef ´erences

L’espace RGB : L’espace RGB (Red, Green , Blue) ou RVB (Rouge, Vert, Bleu) se base essentiellement sur le caractère physique de la perception humaine de la couleur et donc sur la théorie trichromatique déjà citée précédemment. En effet, les expérimentations montrent que la partie du spectre de lumière qui stimule le cône L(λ = 700nm) correspond au rouge, elle correspond au vert pour le cône M et au bleu pour le cône S.

(36)

Figure 1.4 – Fonctions colorim´etriques r(λ), g(λ) et b(λ).

rouge, verte et bleue. La couleur s’exprime alors, par un vecteur de coordonn´ees (R,G,B) tel que :

C = αR + βG + λB (1.3)

Les quantités de chacune des primaires nécessaires pour représenter un stimulus de couleur de longueur d’onde λ, sont définies par les fonctions colorimétriques r(λ), g(λ) et b(λ) (figure 1.4). La représentation de la couleur sur cet espace est de nature cubique (figure 1.5). Le sommet O (coordonnées (0,0,0)) correspond au noir, le point de coordonnées (1,1,1) correspond au blanc, et la droite passant par les points noir et blanc est l’axe achromatique qui représente les nuances de gris. Quand la couleur est représentée sur l’espace RGB, la luminance est définie par la somme des composantes primaires :

L = R + G + B (1.4)

A partir de là, nous déduisons que même avec des composantes primaires différentes, nous pourrons avoir la même luminance. L’espace RGB n’est pas robuste fasse aux changements

(37)

1.2. LA COULEUR 15

Figure 1.5 – Repr´esentation cubique de la couleur dans l’espace RGB.

des conditions d’éclairage. Considérons par exemple deux images représentant un même objet avec la même source de lumière mais avec des intensités d’éclairage différentes. Dans l’espace RGB, cet objet sera représenté par des composantes trichromatiques différentes `

a cause de la diff´erence de leur luminance.

Un autre inconvénient de l’espace RGB, est la partie négative de la courbe r(λ). Ceci montre que toutes les couleurs ne peuvent pas être créées en se basant sur les composantes RGB, puisque la synthèse additive ne permet pas qu’une composante soit négative. La couleur pourpre par exemple introduira des composantes négatives.

L’espace rgb Afin de palier aux problèmes de la dépendance entre la luminance et les composantes trichromatiques, il faut définir de nouvelles composantes primaires, normali-sées cette fois en divisant chaque composante primaire de l’espace RGB par la luminance qui est représentée par la somme des trois :

r = R

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g = G R + G + B

b = B

R + G + B

Les composantes normalisées sont moins sensibles aux variations des illuminants et aux degrés de réflectance des objets observés.

L’espace XYZ : XYZ est un espace crée par la CIE (Commission International de l’Eclai-rage) suite aux expériences de Wright et Guild (Guild (1932), Wright (2002)). L’espace XYZ vient pour résoudre le problème des composantes négatives de l’espace RGB. Les nouvelles fonctions colorimétriques x(λ), y(λ) et z(λ) sont obtenues par transformation linéaire de r(λ), g(λ) et b(λ) :          x(λ) = 2.7688r(λ) + 1.7515g(λ) + 1.1301b(λ) y(λ) = 1.000r(λ) + 4.5907g(λ) + 0.0601b(λ) z(λ) = 0.001r(λ) + 0.0565g(λ) + 5.5942b(λ)

La figure 1.6 montre que les fonctions colorim´etriques sont toutes positives dans l’espace XYZ.

1.2.2 Les espaces luminance-chrominance

L’aspect physique de la vision a mené a l’élaboration des espaces de primaires en se basant sur la théorie trichromatique. Cependant, cette théorie n’est pas en uniformité avec l’aspect psychologique de la perception humaine. Si l’œil per¸coit la couleur via trois cônes, il transmet le message visuel au cerveau qui lui ne se base pas sur la théorie trichromatique pour l’interpréter. En effet, une nouvelle représentation autre que la représentation cu-bique, doit être mise en oeuvre pour que la formation du stimulus de couleur soit faite de la même manière que le système visuel humain. De plus, l’inconvénient avec les espace de r´ e-férence réside aussi dans la non uniformité de la distance entre deux couleurs représentées dans un espace de référence quelconque, avec la distance que percevra un observateur hu-main entre les mêmes couleurs. Cela mène à mettre en œuvre deux sous familles d’espaces

(39)

1.2. LA COULEUR 17

Figure 1.6 – Fonctions colorim´etriques x(λ), y(λ) et z(λ)

luminance-chrominance. La première (espaces perceptuellement uniformes) est dédiée à résoudre le problème de la non uniformité de la distance entre les couleurs, et la deuxième (espaces perceptuels) est dédiée à imiter l’interprétation du cerveau humain du message visuel.

1.2.2.1 Les espaces perceptuellement uniformes

MacAdam (MacAdam (1942)) a été le premier à montrer, expérimentalement, la non uniformité des espaces de référence avec le system visuel humain en terme de distance colorimétrique. L’expérience des ellipses de MacAdam consiste à considérer un ensemble de points du diagramme de chromacité sur l’espace XYZ (figure 1.7), puis de construire le placement des points qui correspondent aux couleurs similaires à chaque point (points à l’intérieur de l’ellipse) selon l’observateur humain. Ainsi, le contour de l’ellipse correspond `

a la petite différence per¸cue par l’œil humain entre les deux couleurs. Nous remarquons une grande différence entre les tailles et les orientations des ellipses. Ceci veut dire que la distance diffère selon l’endroit des points sur l’espace XYZ. Sur un espace perceptuellement uniforme, les ellipses de MacAdam devront se transformer en cercles. Ceci est acquis en

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Figure 1.7 – Diagramme de chromacit´e de la CIE.

utilisant des transformations non-lin´eaires des composantes primaires XYZ.

L’espace u∗v∗w∗ L’espace u∗v∗w∗ est le premier espace perceptuellement uniforme, mis au point par la CIE en 1964, en se basant sur le diagramme de MacAdam. La composante w∗ porte l’information de clart´e qui apr`es fera intervenir la luminance, et les composantes u∗ et v∗ portent l’information de chrominance.

         u∗ = 4X (X+15Y +3Z) v∗ = _{(X+15Y +3Z}9X w∗ = 116(Y Yn) − 16

(Xn, Yn, Zn) sont les coordonnées du blanc de référence.

L’espace L∗_u∗_v∗ _: _Fond´_{e sur l’espace u}∗_v∗_w∗_{, l’espace L}∗_u∗_v∗ _{(1976) vient pour donner}

plus d’uniformité que son antécédent. Les composantes de clarté et de chrominance sont définies par :

(41)

1.2. LA COULEUR 19          L∗ = 116(_YY n) − 16 u∗ = 13L∗(u∗− u∗ n) v∗ = 13L∗(v∗− v∗ n)

u∗_n, v∗_n et Yn se référent au blanc de référence.

L’espace L∗_a∗_b∗_: _Cr´_{ee en 1976 par la CIE, cet espace a ´}_et´_{e une vrai r´}_{evolution dans le}

domaine de la représentation de la couleur. Il est actuellement un standard de référence dans plusieurs applications de traitement d’images tel que Photoshop. L’espace L∗a∗b∗ (fi-gure 1.8) est uniforme avec la perception humaine grâce aux transformations non-linéaires de ces composantes à partir des composantes de l’espace XYZ :

         L∗ = 116(_YY n) − 16 a∗ = 500[f (_XX n) − f ( Y Yn)] b∗ = 500[f (_YY n) − f ( Z Zn)]

(Xn, Yn, Zn) représentent les coordonnées du blanc de référence. Et la fonction f est définie

par : f (x) :    x13 si x > 0.008856 7.787x +₁₁₆16 sinon

1.2.2.2 Les espaces perceptuels

Les espaces perceptuels se focalisent sur l’aspect psychologique de la perception hu-maine. Ils ont pour objectif d’imiter l’interpr´etation du stimulus de couleur par le cerveau humain. Ce dernier ne per¸coit pas la couleur comme ´etant une addition ou une soustrac-tion d’un ensemble de couleurs primaires, mais il la per¸coit en se basant sur trois attributs `

a savoir :

– La teinte (Hue en anglais) : Notion de ”rouge”, ”vert”, ”bleu”, ”orange”, ... . Elle correspond `a la longueur d’onde dominante du stimulus de couleur.

– La luminosité : Notion de clair ou foncé. Elle correspond à l’intensité du stimulus de couleur.

– La saturation : Notion qui permet de mesurer le niveau de coloration d’une teinte, ind´ependamment de la luminosit´e.

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Figure 1.8 – Espace couleur L∗a∗b∗.

La notion de subjectivité de la couleur est plus garantit en utilisant cette représentation. La subjectivité de la couleur qui veut dire que l’interprétation de la couleur dépend de la fa¸con dont l’être humain apprend les couleurs, et donc, cette dernière est différente d’un individu à l’autre. Il est donc difficile de donner un aspect universel à la définition de la couleur. Mais comme déjà introduit par Maxwell (Maxwell (1860)), la couleur peut être définie de manière subjective et intuitive à l’aide des trois attributs déjà cités.

L’espace HSV Différents espaces perceptuels existent, tel que HSL (Hue, Saturation, Lightness), HSB (Hue, Saturation, Brightness) ou HSV (Hue, Saturation, Value). Nous présentons juste l’espace HSV du fait qu’il y a une forte ressemblance entre les trois. HSV différe du RGB par sa représentation cylindrique est non cubique des couleurs (fi-gures 1.9 et 1.10). La teinte (Hue) est la forme pure de la couleur. Elle est représentée sur le cercle chromatique (figures 1.9). Pour cela elle est considérée comme une compo-sante angulaire (circulaire). La saturation et la luminosité (Value) sont deux composantes linéaires qui représentent respectivement, le niveau de coloration de la teinte repr´ esen-tée par l’éloignement de la couleur de l’axe achromatique, et l’intensité lumineuse valant

(43)

1.2. LA COULEUR 21

zéro pour le noir et allant jusqu’à une valeur maximale dépendant de la clarté que peut atteindre une couleur donnée.

Figure 1.9 – Espace couleur HSV.

(44)

Les composantes H, S et V sont obtenues `a partir des composantes primaires R, G et B comme suit :          H = arctan √ 3(G−B) 2R−G−B S = max(R, G, B)

V = max(R,G,B)−min(R,G,B)_max(R,G,B) si max(R, G, B) 6= 0 sinon V = 0

1.3 M ´ethodes d’analyse des textures couleur

Pour un système automatique, caractériser une image revient à en extraire un en-semble de paramètres assez pertinents pour la représenter, et la discriminer par rapport aux images différentes. Pour ce faire, les systèmes de vision par ordinateur ou de recon-naissance de formes, s’inspirent de la perception humaine qui se base essentiellement sur les attributs texture et couleur. Ces deux attributs sont caractérisés selon deux grandes familles de méthodes (Mäenpää et Pietikäinen (2004)) :

– Les méthodes qui traitent la texture et la couleur séparément. Ces méthodes consi-dèrent que la structure spatiale de l’image et sa couleur sont indépendantes (Kato et Pong (2006), Permuter et al. (2006)).

– Les méthodes qui considèrent la texture et la couleur de manière jointe. Ces m´ e-thodes proposent souvent des versions multi-canal des méthodes de caractérisation de la texture (Paschos (1998)).

Dans les deux cas, la caractérisation des textures couleur repose sur des extensions des approches de caractérisation des textures, qui se divisent en quatre catégories (Materka et al. (1998)) :

– L’approche structurelle – L’approche statistique

– L’approche bas´ee sur les mod`eles

– L’approche bas´ee sur les transformations

Il est à noter que les descriptions de ces quatre approches ne sont pas toujours parfaitement distinctes, et qu’une méthode considérée peut appartenir à plus d’une de ces catégories.

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1.3. M ´ETHODES D’ANALYSE DES TEXTURES COULEUR 23

1.3.1 Approche structurelle

Les méthodes structurelles de caractérisation (Haralick (1979), Levine et Levine (1985)) représentent la texture par ses primitives (motifs de base) appelées ”microtextures” et par l’agencement (hiérarchie spatiale) de ces primitives. La texture est alors définit suivant deux étapes. La première est l’identification des primitives, et la deuxième est la définition de la règle de positionnement, autrement dit la probabilité que chacune des primitives soit positionnée en un lieu donné. La morphologie mathématique est considérée comme un ou-til très puissant pour l’analyse des textures par approche structurelle (Serra (1982) , Chen et Dougherty (1994)). L’inconvénient de cette approche est qu’elle n’est efficace que dans le cas des textures fortement structurées. Quand les motifs de base ne sont pas très dis-cernables, comme dans le cas des textures naturelles, les méthodes structurelles peuvent mener à de fausses analyses de la texture étudiée. Toutefois, l’avantage de cette approche est qu’elle est plus appropriée aux applications de synthèse d’images, en se basant sur la description hiérarchique des structures des textures. Afin d’inclure la couleur, des travaux tels que Chen et al. (2005) et Ershad (2011), tentent de décrire les primitives locales de chaque canal couleur au lieu de le faire uniquement pour la composante à niveaux de gris.

1.3.2 Approche statistique

Cette approche exploite les statistiques de différents ordres pour représenter la tex-ture. Cette dernière est considérée comme étant la réalisation d’un processus stochastique stationnaire et est définie à partir de la distribution des niveaux de gris de ces pixels. Cette approche présente une grande uniformité avec le système visuel humain, qui à son tour arrive à reconnaitre la texture dans une image à partir des statistiques d’ordre un ou deux (Julesz (1975), Victor (1994)). Contrairement à l’approche structurelle, cette approche est plus adaptée à des fins de classification que de synthèse.

Les méthodes statistiques représentent la texture par un ensemble de paramètres (carac-téristiques spatiales) extraits en se basant sur une multitude de techniques :

– La technique des matrices de co-occurrence (Grey Level Co-occurrence Matrices : GLCM) (Haralick et al. (1973))

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– La technique utilisant les filtres de Laws (Laws (1980))

– La technique des matrices de longueur de plages (Galloway (1975))

– La technique LBP (Local Binary Pattern) (Mäenpää et Pietikäinen (2005), Ojala et al. (2002b))

– La technique bas´ee sur l’histogramme (Amadasun et King (1989))

Les descripteurs statistiques peuvent être basés sur la relation entre l’intensité et/ou la couleur des pixels et la distribution de ces derniers (López et al. (2008)). Certains descripteurs statistiques sont même plus dédiés à la caractérisation de la couleur que de la texture, comme l’histogramme qui ne caractérise pas efficacement la structure spatiale de l’image, puisque ce dernier ne donne qu’une estimation de la distribution des pixels. Cependant, il représente un bon descripteur pour décrire la pure couleur de la texture. En se basant sur l’histogramme, la texture peut être décrite par la distribution des couleurs de ses pixels (Mäenpää et Pietikäinen (2004), Pietikainen et al. (2002), Vandenbroucke et al. (2003)). La caractérisation se basant sur les matrices de co-occurence a été aussi ´

etendue au cas de la couleur dans plusieurs domaines (Palm (2004), Burks et al. (2000), Arvis et al. (2011)).

1.3.3 Approche par mod ´elisation

Dans cette approche, la texture est considérée être une variable aléatoire (VA) issue de la réalisation d’un processus stochastique aléatoire. Un modèle mathématique le plus ad´ e-quat est ainsi choisi pour représenter la distribution de la variable aléatoire en question. Les paramètres estimés du modèle sont ensuite utilisés comme descripteur de la texture. Cette approche traite plus en détail l’aspect anarchique des distributions des motifs dans les textures irrégulières (naturelles). Parmi les différents modèles proposés dans la litt´ e-rature (Cross et Jain (1983), Pentland (1984), Chellappa et Chatterjee (1985), Derin et Elliott (1987), Strzelecki et Materka (1997)), nous citons :

– Les champs al´eatoires de Markov :

Ils considèrent la texture d’une image comme une réalisation d’un champ aléatoire modélisant les interactions locales au voisinage d’un pixel selon une loi de distri-bution de probabilité donnée. Cette dernière est souvent de forme exponentielle.

(47)

1.3. M ´ETHODES D’ANALYSE DES TEXTURES COULEUR 25

Un des intérêts majeurs du champ de Markov est sa capacité à fournir un mo-dèle mathématique simple qui tient compte, uniquement, des interactions locales au voisinage d’un pixel. D’autre part, le théorème de Hmmersley-Clifford (Geman et Geman (1984)) permet de simplifier l’écriture des probabilités conditionnelles et faciliter la détermination des paramètres du modèle.

– Les modèles de prédiction linéaire 2D :

L’idée de base des modèles de prédiction linéaire deux dimensionnels (2D) est que la valeur du niveau de gris de chaque pixel est considérée comme une combinai-son linéaire de celles des pixels voisins. Différentes modélisations linéaires peuvent ˆ

etre employées (Jain (1989)). Parmi celles-ci, on trouve le modèle ”Auto- Regres-sive”(AR) (Cariou et Chehdi (2008), Randen et Husoy (1999)) dont le principe est basé sur la mesure de la dépendance linéaire d’un point de texture par rapport à ses voisins (McCormick et Jayaramamurthy (1974)). Les coefficients de la combinaison linéaire permettent au modèle AR de caractériser la texture. Pour déterminer les coefficients du modèle, il existe un grand nombre d’algorithmes, parmi lesquels on peut citer l’auto-corrélation (algorithme de Yule-Walker), la covariance modifiée, la corrélation partielle (algorithme de Burg Collomb (2010), Burg (1967)) et le maximum de vraisemblance.

– Les mod`eles stochastiques probabilistes :

Dans ce cas, nous supposons que la donnée observée (pixels de la texture) est générée à partir d’un modèle mathématique P, considéré comme une collection de fonctions de densité de probabilité (ou ”distribution” tout simplement) responsables de générer cette donnée. Formellement, le modèle est défini par la paire (X, P), avec X l’ensemble observé et P l’ensemble des distributions plausibles.

Le modèle P est dit paramétrique s’il est décrit ainsi : P = {Pθ : θ ∈ Θ}, avec θ un

paramètre, et Θ la région des paramètres possibles. Si nous supposons par exemple que la donnée provient d’une distribution gaussienne, alors nous considérons un modèle gaussien tel que :

P = {P (x; µ, σ) = √1

2πσexp{− 1

2σ2(x − µ)

(48)

1.3.4 Approche par transformation

L’approche par transformation consiste à caractériser la texture dans un domaine autre que le domaine spatial. Le domaine spectral (fréquentiel) permet une caractérisation moins sensible au bruit, et dans certains cas il permet aussi une description sur différentes ´

echelles de la texture étudiée. La méthode la plus classique pour passer du domaine spatial au domaine spectral est la transformée de Fourier. Cependant, celle-ci ne permet pas une étude locale de l’image traitée. Une solution est la transformée de Fourier à fenêtre glissante qui consiste à déplacer une fenêtre le long de l’image (dans son domaine spatial), puis à effectuer une transformée de Fourier en chaque point dans les limites de cette fenêtre. Cette transformation en domaine spatio-fréquentiel est avantageuse, mais souffre d’une limitation importante du fait qu’une seule fenêtre de taille fixe est utilisée pour toutes les fréquences, la résolution de l’analyse est la même en tout point de l’image (Bow (2002)). Utiliser une échelle fixe ne permet pas de tenir compte des variations locales au tour de chaque pixel de l’image en fonction de la résolution. Une alternative serai d’opter pour une transformée en ondelettes. Le principe de la transformée en ondelettes d’une image consiste à décomposer cette dernière en plusieurs niveaux de résolutions. Ceci est acquis en utilisant une base de fonctions obtenues par translation et dilatation d’une fonction de base (ondelette mère) ψ(x) définie par :

ψa,b(x) = 1 √ aψ( x − b a ); (a, b) ∈ < 2 et a > 0 (1.7)

Le paramètre a, appelé facteur d’échelle, est relatif à la dilatation et permet de caractériser la fonction ondelette ψa,b en fréquence. Le paramètre b est relatif à la translation, et

per-met de positionner l’ondelette dilatée à différentes positions. La transformée en ondelette est adéquate pour le traitement des images contenant des détails décisifs pour la carac-térisation mais qui sont en même temps difficilement représentables par des fonctions. Ces détails peuvent être révélés par translations et dilatations de différentes versions de l’ondelette mère Bow (2002).

Quand il s’agit des textures couleurs, la transformation est appliqu´ee sur chaque compo-sante couleur (Permuter et al. (2006), Drimbarean et Whelan (2001)). Plus sp´ecifiquement,

(49)

1.4. CONCLUSION 27

dans Hiremath et al. (2006), les auteurs se sont intéressés à étudier les caractéristiques ba-sées sur la transformée en ondelettes des textures couleur dans le domaine de la recherche d’images par le contenu (CBIR, Content Based Image Retrieval).

1.4 Conclusion

La texture et la couleur sont les deux attributs les plus discriminants dans une image. C’est pour cela que plusieurs travaux se sont intéressés à l’étude séparée et jointe de ces deux attributs et ceci selon quatre approches, structurelle, statistique, par transformation et par modélisation. Mais malgré cette catégorisation, les frontières entre ces approches ne sont pas parfaitement visibles, car une méthode pourra se situer parmi plusieurs de ces approches. Le domaine des ondelettes offre une représentation multi-échelle en uni-formité avec le système visuel humain, et les modèles stochastiques sont connus par leur pertinence dans l’étude de plusieurs phénomènes physiques puisque la plupart de ces ph´ e-nomènes sont souvent formulés comme des problèmes d’inférence statistique. À partir de ces observations, dans la suite de cette étude, nous nous basons sur une approche hybride basée sur la caractérisation des textures couleur par des modèles stochastiques proba-bilistes dans le domaine transformé des ondelettes. Notre objectif est la proposition de nouveaux modèles pour décrire au mieux les textures couleur, et ce en tenant compte de la nature de l’espace couleur sur lequel ces dernières sont représentées.

Avant de présenter nos contributions (chapitres 3, 4 et 5), le chapitre suivant décrit la caractérisation des textures couleur par des modèles stochastiques dans le domaine des ondelettes.

(50)

(51)

Chapitre

2 M

OD

´

ELISATION STOCHASTIQUE DANS LE DOMAINE DES ONDELETTES

Sommaire

2.1 Le domaine des ondelettes . . . 30 2.2 Processus de modélisation . . . 33 2.3 Modèles univariés . . . 41 2.4 Modèles multivariés . . . 48 2.5 Conclusion . . . 59

P

tártant des conclusions tirérisation des textures couleur dans le domaine des ondelettes et ce par des modèes du chapitre précédent, nous nous intéressons à la carac-eles stochastiques probabilistes. Après avoir choisi la transformée en ondelettes adéquate, le processus de modélisation consiste alors en une phase d’extraction des caractéristiques (modèle) et une phase de choix d’une mesure de similarité entre ces caractéristiques. Dans un premier temps, nous présentons le domaine transformé des ondelettes. Nous détaillons ensuite les deux phases du processus de modélisation. Enfin, nous distinguons entre la modélisation univariée et la modélisation multivariée. Dans la première, des modèles uni-variés sont utilisés pour décrire les statistiques marginales des sous-bandes d’ondelettes, tandis que dans la deuxième, des modèles multivariés caractérisent les dépendances entre les coefficients de ces sous-bandes.

(52)

2.1 Le domaine des ondelettes

Parmi les différentes transformées en ondelettes, la transformée en ondelettes discrète (DWT) trouve des applications dans plusieurs domaines, tels que l’analyse des signaux, la compression d’images, le traitement du son et la géologie. La DWT retourne 4 sous-bandes de fréquence dans chaque échelle de décomposition. Une sous-bande d’approximation et 3 sous-bandes de détails (Figure 2.1). Grâce à cette représentation, la DWT permet de mon-trer, à la fois, les grandes variations et les détails de l’image analysée. Cette représentation est aussi très proche de la manière dont le système visuel humain traite l’information de l’image, chose qui permet plus de précision dans la phase de modélisation.

La DWT permet aussi une étude temps-fréquence appelé aussi localité. En effet, l’ana-lyse de Fourier permet de connaˆıtre les différentes fréquences excitées dans un signal, c’est-à-dire son spectre, mais ne permet pas de savoir à quels instants ces fréquences ont ´

eté émises. Cette analyse donne une information globale et non locale, car les fonctions d’analyse utilisées sont des sinuso¨ıdes qui oscillent indéfiniment sans s’amortir.

Figure 2.1 – D´ecomposition selon la transform´ee DWT.

Cette perte de localité fait que l’analyse de Fourier ne permet pas l’étude des signaux dont la fréquence varie dans le temps. De tels signaux nécessitent la mise en place d’une analyse temps-fréquence qui permettra une localisation des périodicités dans le temps et indiquera donc si la période varie d’une fa¸con continue, si elle disparaˆıt puis réapparaˆıt par