Observations sur les d´ ependances

5.3 Distance Rao g´eod´esique entre deux lois bas´ees sur des copules . . . 116 5.4 Exp´erimentation et r´esultats . . . 119 5.5 Conclusion . . . 126

A

pr`pr´esent´es avoir trait´ees dans l’espace RGB, nous consid´e la caract´erisation des textures couleur quand ces derni`erons dans ce qui suit la mod´eres sont re-elisation des statistiques jointes des textures couleur dans les espaces luminance-chrominance. En effet, dans le domaine d’analyse des textures couleur, la s´election du meilleur espace de re- pr´esentation est un probl`eme qui doit ˆetre consid´er´e. L’espace RGB est le plus utilis´e, car il repr´esente l’espace d’acquisition de r´ef´erence. Dans le chapitre 4, nous nous sommes int´e- ress´es `a la caract´erisation des d´ependances inter-bande et inter-canal dans l’espace RGB. Ceci a men´e `a l’am´elioration de la caract´erisation par rapport `a l’approche univari´ee qui ne consid`ere pas l’information de d´ependance. Cependant, la d´ependance inter-bande, inter- canal n’est pas la seule qui pourra ˆetre prise en compte. Les canaux R, G et B pr´esentent simultan´ement des d´ependances statistiques relativement `a : 1) la d´ependance intra-bande, 2) la d´ependance inter-bande et 3) la d´ependance inter-canal. La limitation dans ce cas, est qu’un syst`eme visant `a consid´erer la globalit´e de l’information de d´ependance (`a savoir les trois types de d´ependance d´ej`a cit´es) souffrira d’une tr`es lourde phase d’estimation des param`etres et, ainsi, d’une sur-param´etrisation, car la grande corr´elation entre les

trois canaux impose qu’aucune distinction ne soit faite sur ces informations. Les d´epen- dances intra-bande, inter-bande et inter-canal seront donc consid´er´ees pour chacun des trois canaux. Dans la pratique, pour une taille fixe de donn´ees, travailler avec un mod`ele `a grande dimension peut ˆetre une question cruciale en termes de performances d’estimation des param`etres. Compte tenu de l’espace couleur, une autre alternative `a l’espace RGB est de consid´erer la famille d’espaces couleur luminance-chrominance (LC) (Mojsilovic et al. (2000), DeYoe et Van Essen (1988)). Cette famille comprend les espaces perceptuels (HSV, HSI, HSB, ...) et les espaces perceptuellement uniformes (L∗a∗b∗, L∗u∗v∗, ...) (Sa- rifuddin et Missaoui (2005)). La repr´esentation en espaces LC est connue pour offrir une ind´ependance entre les canaux de luminance et de chrominance. Ceci est confirm´e par les travaux r´ecents de Qazi et al. (2011), ou l’on trouve une comparaison ´etendue entre ces espaces. Les auteurs affirment que le canal de luminance n’est pas corr´el´e avec les canaux de chrominance.

Dans cette ´etude, en tenant compte de la nature de la repr´esentation dans les espaces LC, nous proposons une approche de multi-mod´elisation se basant sur la mod´elisation stochastique multivari´ee. Avant de pr´esenter notre approche, nous ´etudions le concept de d´ependance entre les sous-bandes d’ondelettes pour une texture repr´esent´ee dans un espace LC.

5.1 Observations sur les d ´ependances

Soit une texture couleur xT repr´esent´ee dans un espace de couleur LC donn´e, l est

la composante de luminance, cr1 et cr2 repr´esentent, respectivement, la premi`ere et la

deuxi`eme composante de chrominance de xT. Chaque composante de couleur est d’abord

d´ecompos´ee en un ensemble de sous-bandes d’ondelettes via une transform´ee en ondelettes ad´equate. Consid´erons les sous-bandes K, o`u K = S × O avec S le nombre d’´echelles et O le nombre d’orientations. Les sous-bandes sont respectivement l(k)_{, cr}(k)

1 et cr (k)

2 ,

k = 1, · · · , K. Nous d´etaillons `a pr´esent, chacune des d´ependances intra-bande, inter- bande et inter-canal dans le cas de la repr´esentation en espaces LC :

5.1. OBSERVATIONS SUR LES D ´EPENDANCES 107

5.1.1 La d ´ependance intra-bande

La d´ependance intra-bande, se r´ef`ere `a la relation entre un coefficient d’une sous- bande avec les coefficients de son voisinage sur la mˆeme sous-bande. Elle correspond `a la structure spatiale de la texture. Soit s la position d’un coefficient de r´ef´erence sur la sous- bande k d’un canal de couleur donn´e. Consid´erons, par exemple, le canal de luminance. Soit m la taille du voisinage que nous choisissons pour ´etudier la d´ependance intra-bande. Les voisins du coefficient de r´ef´erence sont regroup´es dans le vecteur l(k)s = (l1,s(k), · · · , l

(k) m,s).

En consid´erant les voisins de tous les coefficients de la sous-bande, l’ensemble de donn´ees, i.e la matrice d’observation du mod`ele multivari´e d´edi´e `a caract´eriser la d´ependance sera :

lintra = [l (k) 1 , · · · , l(k)s , · · · , l (k) P ] T _(5.1)

lintra est une matrice de taille P × m, o`u P est la taille d’une sous-bande d’ondelettes.

Pour le premier canal de chrominance, la d´ependance intra-bande sur une sous-bande k est repr´esent´ee par la matrice d’observation :

cr1intra = [cr1 (k) 1 , · · · , cr1(k)s , · · · , cr1 (k) P ] T (5.2)

De mˆeme pour le deuxi`eme canal de chrominance :

cr2intra = [cr2

(k)

1 , · · · , cr2(k)s , · · · , cr2(k)_P ]T (5.3)

5.1.2 La d ´ependance inter-bande

Pour ´etudier la d´ependance inter-bande sur un espace LC, nous consid´erons diff´erentes sous-bandes appartenant au mˆeme canal de couleur. Ainsi, pour la d´ependance inter-bande de la luminance, le mod`ele multivari´e devra observer une matrice de taille P × K, o`u K est le nombre total des sous-bandes :

pour la chrominance : cr1interbd = [cr (1) 1 · · · cr (K) 1 ] (5.5) cr2interbd = [cr (1) 2 · · · cr (K) 2 ] (5.6)

Nous notons que l(k)_{, cr}(k)

1 and cr (k)

2 sont des vecteurs colonne qui contiennent tous les

coefficients de kime sous-bande de la luminance, de premi`ere chrominance et de seconde chrominance, respectivement.

5.1.3 La d ´ependance inter-canal

Elle se r´ef`ere `a la d´ependance entre les coefficients des sous-bandes de canaux de couleur diff´erents, en consid´erant une mˆeme orientation k. La matrice d’observation est comme suivant : Dinterch = [l(k) cr (k) 1 cr (k) 2 ] (5.7) 5.1.4 D ´ependance totale

Consid´erer toutes les d´ependances pr´ecit´ees, conduit `a un ensemble de donn´ees com- plet qui est repr´esent´e par une matrice de taille (P par (3 × K × m)) :

D = [l(1)₁ , · · · , l(1)_P , · · · , l₁(K), · · · , l(K)_P , cr1(1)1 , · · · , cr1(1)_P , · · · , cr1(K)1 , · · · , cr1 (K) P , cr2 (1) 1 , · · · , cr2 (1) P , · · · , cr2 (K) 1 , · · · , cr2 (K) P ]T

Cela signifie, premi`erement, que les trois canaux de couleur portent les informations de structure spatiale (intra-bande). Deuxi`emement, que la d´ependance existe entre toutes les sous-bandes de n’importe quel canal (inter-bande), et la troisi`eme, que la repr´esentation pr´esente une forte d´ependance entre les trois canaux de couleur (inter-canal).

Dans le document Modélisation stochastique des images texturées (Page 127-131)