Brisures de symétrie dans l'équation de Schroedinger indépendante du temps pour une particule de spin arbitraire

~

--- t-~

•

Cl

"

_"

,

,

• ·1 ,-', ,

"

.

_< Ij~ ';' "

-~-'.

u '

.

,J

" "

....

0 ----~~~ ~-~-~----, -" , • 1 - # . . . . .

BRISURES PE SYaŒTRIE 1MNS li E0JAnON DE

: SCHRoEkm

lNOÉPemANTE

00

TEMPS fOOR

UNE PARTICULE 11f SPIN ARBITRAIRE

-

\ l , " t. • o

PAR

fi

• DENIS tllNGEAU

"& "

1918

,)

-,

..

-,/

'"

' '-,' (

1

.

-f - , \ f' ;, l ,

-.'

,

!

: ,

.

~ , • l ' \ r

-

~

()

~ , .' 't • t (, \ ~.;'l' 'J \ d

-..

, REStJŒ • _"

.

1 ë! CHAPITRE J - IIlTROOOCTlON _{.. .. " " .. , " "}

_"...

_..

_..

_{" ...}

.

."

_.. .'

CHAPITRE Il '- LE GROUPE EUCLIOIEN E(3)/ _{• •}

.

,

.

, _{• •}

1. Pl~n et Jtep.\14en.ta.tè.on4 ( /

t.

SO~-g.'loupu dt. B(3)

.

.

.

.

"

"

,

/

CHAPITRE III - POTENTIELS· INVARIANTS •• , . . . ,. /' • ' •• 1.

p.ucUM..wn

glÎlWJ.te. • '. •

1 .. . . .

f... P4JtLtl. " .. .. • .. .. ' • • .. .. • /.. ~ .. j

.J. Inva.Wutce 40&&.6

tu

40LL6-gJl.OUpU de E(3)'. • "

4. Ha1liitcnti~ poUll

Mt

paIriU~e ~4n.6 ~p.Ln • • • 1

S.

Hdmi.Uo~en

pouJt lute. palLtiCJde ayant tUt

~pin

1/2 '

6. HaaUtorLien pcuJt Me· p<l.It.Ueu.te ayant ~ 4'p.ùt.1 •

7.. ReJlt4.liQue..6 .. • • .. ~ .. .. " .. _ " .. ..

CHA~lTRE ~

- SOLUTION Pf L t EQ!,IATION

~ SCHROE~ntGER

• •

J • PaJt.Ücule. 4 an.6 4 pùt : • • • • ' . . • • f. PaJt.ÜCL&le avf.C 4pùl CHAPITRE V - CONCLUSION

..

.. ..

.

..

..

.

.

"

..

..

..

..

.,"

..

\ • • • .. .. Il , ,

APPfNOICE A: OPERATEURS TENSORIELS lRRfOOCTJBLfS.

_..

"

.

"

.

RfIlERC1 EUÈNTS

_.

_'

REFERENCES ~ '.

f

1.

_...

Opllt.tLt.WIL de qWULti.tl de. mouve.mtAt

...

' ,

p

= ....

i V ... ' . . . . ..

2. Opt.'tattWt6 de po~at.ion T LM

ci) nu~.wn gl.nfJalJLe. • • • • • •

bl Pl~n. 4 • _ . ' •

el

Sp.ù& 112 . ; • • • • • d) Spin 1 . . • . . • • "

.

..

.

.. .. .. ..

-..

..

.

..

.

..

" ..

..

..

.

..

...

.."..

.. .. 1. .. ..

•

• ..

.

"

.

..

..

.

.

.

.

.

..

,

"

..

.

.. • • •

.

.

. .

..

.

.

.

.

.

Il ..

. .

" " ... ..

.

..

..

iv 1 13 13 IS 17 11 19 23 J , 29 31 41 . 50 SS 0:-57

sr

66 69 69 _,

;~

71 \ 72 , , , 72J ,

.

<:;4

.

, ;

.

" 8S , , - , 1,,1

1

r

t ~ 1 ,

0 ....

1

..

..

RESUME

La classification des sous-groupes' continus du groupe E~lidien

,

E(3) est utilisée-pour faire' une ~tude ,des brisures de sym6trie en m6- ., canique quantique non-·relati-xiste. Ce travail etSt une gén6ralisation d'une étude précédente consacrée aux brisures de sym6trie dans }'6qua-tion de SchrHdinger ind6pendante du temps pour 'une particule sans spin

1 ~ , (' ~

et 4ans l'6quatiQn de Pauli pour une particule ayant un spifi

,1.

'Ici

,

"on ~tudie les 'hamiltoniens pour une particut'e avec un spin quelconque avec des ~ntéract~ons plus complexes que celles d6j~ considérées. Le

" .

hamiltonien pour une parti~ule de spin l est traité plus on ~6tail. Le problème de d~ux particules avec spin tnté~agi~sant entre elles est

• ~

~ ~aussi abordé. Enfin. on

montre

comment la sYI'trie restanté peut Itre

utjlisé~ pour "faciliter'la r6s01ution ~e 'l'tquation de S~hrHdinler ap-propriée.

The classification of the contrnuous subaroups of the Euclidian group E(3) is used ~o study symmetry breaking in n9n-relativistic ~quant~ mechanics. This work is a general~sation of an existina study

1

about symmetry breaking in the time independant SchrUdinger equation for

o

a

SPinless.p~icle

and the

P~~li equatlon~for

a spin

1

partiel., Here"l

,,~ ._ ~ ~ ,r

mor' complex h8ldltonians fo~ pa~ticles w~h arbitrary spin are studied. The hamiltonian~for a spin 1 particle iS.$tudied in greater detail.

- "

--=-

.

' " Il

..

---

_\

,J

"

,

t

'

.

.. L ~ \ ,jI 1 J., i , /'

,.

"

v.

l' ,

The problem of two interacting particles ~ith.spin is ~l~o mentjoned

f" " .... _ _ _ _ _ ....

F~nally. soDe examples'are.studied to show how th~ romainina symmetry

(

can be used to simplify the resolùtion of the Schr6di~ger equation

ha-• ' ,1 l '\'1

ving the ii ven symmetl')'. !> _ _ ~

~ :

.

' , 0 -~-_._-, . 1 • I" 1· , ' \'

.

.

. li ," " _, -.- / _ - 1 ~ , 1 f'

)

0 ' " 1

(

\

.

.

1. t l' 'j > , ,

,

\ / " 00 , , \ \,

\

\

\ e

f

1 '\1 1 0 \ \ Ctf~PITRE l Il q ( Il , / , "

..

tNnOtJUC1ION 0

$b

, 1

..

, 1. ______

-La ~risente 6t~ ~st fai.te dans ,le cadre d:UJlo'--dtre do travaux

, , \1

r6cents sur Il classification des sous-groupes d'un groupe de Lie ~donn'

, 1-13

f

et d,e ses aPr,l~cationsn • Des m6thodes on, 6t\d6velopp6es permettant

" D •

d'abordt!l' diff6rents aspects de ce proballO et appllqu6es l certain', ,

groupe~ ,de Lle ~n rencontre en physique_. <' ,

Dans un premier temps, on a d6velopp6 une m6thodo l'n'raie permet-tant de t'rouver les classes de

conj~aison d~s

sous-algèbres

max~s

l , / -- /'

,solvables d'une algabre d~ Lie semisimple. Cotte mSthode est àPPliqu~ L dans une "rie de trois articles aux algèbres d. Lie

~~ahiques

rieÏ1os1.'2,3.

.

\

~tons que, le probUme correspondant de trouver les classes de conjugaison

~

.

/

l,

des sous-groupes continus maximaux et\.solvables d'un groupe-de ~e

clasai-• r

. que peut 8tre r6solu l partir d~ ce risultat. Deux aous-aro~es sont

con-, --

.

J sidtr6s coaae 6tant conjugu6s s'il existe~entre'\ux un automorphisme

inter-, inter-, ' f

ne du group~ __

Aé

Lie 6tudi6}

1

'. Dans

un

autre article, on d6veloppe une m6thode g6n6rale'pour trouver _{: " r , <}

, .--'

les ',classes dé conjugaJson des sous-groupes èontinus d"un groupe de Lie

t .J • ~

poss6dantun' sous-iroupe invariânt

N

no~ ~r~via14.

Cette

~thod~

est

, 4 . -- 5

d'abord appfiqu'e au aroup~ de Poincarf et au groupe d, similitude.

\

.

--.Ensuite on tfOuve les sous-al,abrei de 1 t &l,a~re de Lie--àuaroupe de

l'

--\ ' , 1 •• <>

! '

₁

l,

1

i.

1:

1 • '1. ~ i'

(l

J

.

'11 • ( , 1

.,

" " , '4 <J t (

l

'\

1

t

L-1 ____ l,

.

, •

,

l-de Sitter J J 6 ala~bres . 1 " • ~ 9

.

-,- _;1 • W ., 2. , " f 4. _r

..

0(4,1) ainsi que les invariants ~e chacune d~ cos ~ous­ Les rhultats

serven~

l dileuter du choix

de!-diff1ren~~)en-i 1

\s~mbles de nOmb~es~ntliqUeS' caracdrisant une_~~l'tiC~le ~l'_ntai~e dans l,'esp __ ce de

d~itler, Bns~ite.

les

'SOUS-8,~upes

continus du

arou-.

,

pe de Poincar6 sont clas~ifi6s •• intenan't seloft les elasses d'isomorphis~

.. [1 ~ t

me7. Les invariants

de

ces.classe~

sont aus!i trouv6s et discut6s. Les invariants (8'n6r~lis6s) sont trouv6s pour t~utos les ala~br's

,

~

de' Lie r6e11es de dimension S 5

et

pour toutes l~s a1aabres de Lie c

nilpotentes l'6elles de dimenslôn s 6 8. La classification de ces

alaa-~. ,

bras' a 6d' efleètu6e lonatemps auparavant.

Tous les sous-8~pes continus de B(2,1) et du 11'oupe de

simili-Ct l , /

tudo de l 'espa~e de Min'kowski ont ~t~ class,lfUs selon _lell clhss,s de

con-.s...

•

" 'Julabon sous les aut~morphismn internes et sous lu ~~omorphismes du aroùpe eonfo e correspondant 0(3",2)9. Les cl .. sses d'isomorphismes ont aussi 6t6 -t uv6es ainsi que les invariants pour chacune de' ces classes.

"

Ensuit, les s us-a1aèbl'es de toutes les ala~bres de Lie rhlles de .dimen-sion 3. et sont s)'st6matiquelllOnt, trouvSes et clasdfUes sous les

.

è r e 10

autollOrphismes internes du aroupe correspondant l êes aldbrel •

Enfin, la mlthode de clas5ifica~ion-est modifi6e-afln d. conltrulr~ , une

list~

noraalis6e des sous-aroup., d'un aroup. de Liell• Pour Chaqu.

sous-aroupe S du aroupe de Lie ItudU on trouve le normalisateur d. S dans G, NorG(S), c'est-l-dhn le plus arand sous~aroup" de Ga;our

.

'

lequel S est lun sous-afoupe no~l~ Ce~te .6tbode est alors appliqua.

1 , , 1 .1) " ,

....

,

..

-, ,

,

l

t

. l 1 J ~ î

f

t

(-..

, , "

,

"

-' , 1

aux groupes de de Sitter

0(3.il

et O(4~1)

J" 0 . - l,

ù )

..

.

_.

Les raisons qui motivént l'êtude des sous-groupes d'un groupe de

, 0---- ~

- , 1

Lie donnE sont discutges dans les r6f6rences pr6c6dentes. Pl~sieurs

applications de èe genre de travail ont un rapport avec la.~orie des ,

--repr6sentations~es ~roupes. Une base pour une repr6sentation d'un grou-pe grou-peut 8tre const~ite a partir des vecteurs proprés d'un ensemble

com-" 1 - .

plet d'op6rateurs commu~an~ entre eux. ' Eri particulier,.si cès op6rateurs

.

Isont choisis -parmi les ~p6rateurs.de Casimir de ce, groupe et de sel sous-groupes.- on obtient une base correspondant l une chatne de sous-groupes.

Dif~6rentes chatnes de sous-~rou~n~ent alors diff6rentos bases ~our

1e.s~repr6sentaÙon~

de G.

un

~le

de.ce

t~e

abondflllllOnt discSud '

14

est· celui du gro~pe SU(3) Une chalne de sous-groupe naturel

pOur

~,

SU(3) , es SU(3) ~ S[U(2) ~ U(l)J ~ SrU(I) ~ U(l)J. Pour certaines . 1

\ '

ap~licati s concernant les particul\S 616mentaires,'a cette chatne de 'sous-group s correspondent les op6rat~urs de_spin isotopique et do pro- '

, \

.

\

jection du pin isotopique ainsi que 'l~s opbateurs d lhypercharae ot \ un \

, 0

op6rateur de Casimir de SU(3). Une ~~tre cha!ne de sous-aroupes int'-ress-ante

pou~,

certaines applica'Uons

os~\

SU(l):» 0(3), :» 0(2) • Les

~c­

tions' dé b~se correspondant '1 cette cha! • de sous-(rOupes sont les

fO~c-1 \

tions propres'd~s ophateurs de C.~imir de SU(3) du deuxièmèJordro \ C(2) et du troisUme ordre C(3) ai,nd que los op6ratéurs do II\Oment

2

angulaire L et ,L3'

\

as

au choix dl Wle base pour une

r~F'len-tatton d'un aroupe. Difffrents .nsèibles de noabres quantique. caractlrllant

, } _ 0 ' -... • _{, '} l ' ' " / '

"

" ~

\ , 1

-

,. ~ '." 4. /

un 6tat d'~ syst~.e physique sont reli's

i

diff6ronts ensembles cOaP,let~

.

---d'observables. De plus.diff6rontos bases d'UAo',repr6sentation donnent

• j ,

lieu l l'apparence de diff6rentos fonctions sp6ciales lS •

_,

On vorra quel-ques unes de ces,applicatioRs au chapitre IV de ce travail. Cortaines expansions de quantit6s physiques en

~ermes~ 616~ents de~se'd'une

.'

\

ropr6sentation d 'lUt groupe sont

tr~s

utU'es 16 • Dans ce cas. di f'f1rentes

bases donnent diff6rentes expansions et correspondent l certaines

situa-.j

tions physiques.

"

.

un

au~re type d'applications de la classification des sous aroupes d'un lroupe de Lie est li6 l l'6tude des brisures de _{• c} s~trl0 d'un sys-tame physique12 ,13 •.

Un

systa.e Physique plut poss'der une cortaine

syal-.

,

-trio d'critp par un lroupo de Lie G. En a'n'ral ce groupe de sy.6t~ie

-,

,,,,,peut etro utilis' pour d'terminer certaines proprilt's du qst~u

phy,!-' l , . " . .

que 6tudi6. Pour une discussion ~ur co point, on pout consulter un des

J

nombreux ouvrales consacr6s aux applications de la th60rie dos aroupes en _{_ _ l "}

lb

physique17 •18., On pe"ut modifier les

~onditionl

du p1'Qblbe,

~olt

en a-joutant dos ,interactions, sollt en chan,eant' les conditions frontiares ou

~

- .

d'autres façons d6pendant du probllae quo t'on con~id~re. Le systa.e

.0-- . "

difi' n~ possade pas'n6cessairo.ont la sy.6trie du systa.. In~tial. NoUS

• Q . #

~ ~

.

---.

~o_s int6ress6s ~ux cas 0\1 la s)'l'6trie du syst_e 1IO~6 'est riduite

rJ '

o l un SOw.-aroupe du lroupe initial G. _.

.

1

La clas.iflcation dos

sous-aroupe. do DG fournlt'alofs

un&

classification des brisures de I~trie.

J , ?

Il s'à,lt d'associer l chaque sous-'arOupe de G les interaction~ (ou ..

"

---con41tloas fronthre.) qui r6dubont la'

sya'tl'i~

l ce

sO~'-lroupe.'

.

.

' \ '" ". ;

..

,

(

! \ 5.

,

Celui-ci peut alors It'ft utilis' -pour d6tenainel' oertaines ptopri'.t's

r

d\1 sous-syst- IIOdifi'~ -..,

Jusqu'l prisent, . cotte _thOde do cIasJifieatiOl\

d~s br~suHl

d.

• " . ~ 1) -.1 • ~ ~

sym6tl'.ie a 'ta appliquJ~ l 1 "tude de .~eUll probl"" particuUers. soient

1 _'" .,./ •

les brisures de sy.&trit ,de 1 \6qu,tion de SchttS4ina~r ind'pendalltl du

temps l

troi~ diàinSi~t\.s~2.

et celi.s de

i

'IqUlti~

de

Sch~dinler

.s'pen-.

La thbe içi prisente

.

.

6tudie les cas d'une particule SIftS spin. et d'une pl1'ticule avec 9~n

!l'l.

,

.

Dans 'les deux CIS.

_.

l'6quat~on

pour

~e particule libre reprfsente le _, S)'I·

..

tbe initial :

1.1

,1

Le

aroupe

de s)'1I6tde dl cette 6qUltton est le llOupt Euclidien l

..

---

.

₁

trois dbendons B(3) • qui peut 'tre d'fini co . . 'tant li Il'OUpt d.s.

t~ansfor

.. tionl

~ontinues

de _,

~3 ~Ui p~servent

la

dlstu~.

_-

entre d.wc points. Pour

une-

particule sans spin, on condd.rl

le.

brisures

de

"-altrie introduites par l'.dditionde poientio'ls tela q~'on a ~ huilt~ .. nion de la for.. suivante:

..

_{Par co~vontion. on pose 11 et • • ~aux l ~. Quand li}

_sian-

_4e

se--.

~

. ~

.. ~i~n n'est pas utilis' expl1c1teaent. on utiUse la convention d.

lo ...

tion sur les indice. r6p't".

J

, ' 1 .\ ! ",,' u :1 "

~ t '"

1

'1

(

~'"

'. f t~ ; \ " , 1 ! i

r

~ < i

--t

f

'"

i :'

/

l

"ç'

- i

t; ."

~~

-~ \ ~ ( 1. 1,. ~ ~, i ' "'" ~ i 1 ~

1

1 l '

•

.1

\ 1. ,~

.

~ 4 6.

. -

o H ;: •

t

A + V

ct)

+

l'tJ .. ,

-,

J'

I.~

et pour Une :p-1'ticulo do spin 1/2. le hnl!liltC\nien ce$.ld~r~ ost:

l ,

,

.

\

,

on

101 "i- sont les _tricos de 'auli.

Pour

chaque sous-a.1'OUpO

4e

1 B(l)

on a

trOuv6

los

f~Ct1on

_{V • Al ;81 \} et

MU

qui

laissent les

huilto-

o ' . niens 1. ~

et

1.3 inva1'iant,

,ous les

t1'll\.fo1"Utlons du SOUS-11'Oupe con ...

, , 1

sid6d.·

bau!

t..

la

"solution

)e l' 4AU.tion

~.

B, ..

't'l

'tWi,~

l

1

l'aielo du"aroupe de ')'Mtrte re,atmt.

,Lo.

r8sultats de cette

'tueS.

sont

, ~

.

repris ici lU ehap~tre I l l " IV l ti~H de

cu

pa~icuUors de

l"qua-~ iif '

Le de\,\XU . . pl'O~l'" est celui "de l"quatlon de Sch~d1natr d'pen-

..

~ , c " , .(

dant du telpl ,en une dilltfts1on,o Cette 'tuatio~

poUr

une partlcule libre'

est: l'

-~"'"

• Au •

uia'

+

iu t • 0 •

<,

r,

Le

&r.OUpo

d'invariance

~c.tte 'q~ti~

est

appol'

le

pou,.

de

Schd-/.. ...

diRl1t'

Si

qulft~

on

est·en

une

d~_lon d. l'tspace C~ • •

rt'qu ....

" • l , "

Il • ç. ,

tion (4). Il devient Sn en ft ÜMndona. On con~'1d'H lta' brb~

, l' --_ '

"

de

aya&trie

.,..aillant dans l "qua~on .odilia. cle là -Ia~cm suivante:

'{ " ~ J , l ' , • J • ~ •

•

.'

.

o 1

o , ,

Lé pl'Ob~", cemai'te -clone l clat.niner poUl' ~aqUt IOUl,-8fO'UPt cl,

l '

\

. • \ ' .1 • r

..

" ( . '.

( ,

.

(

../'

.

- - ___ o..._--________ ;=--;-_ _ _ _ _ ...,..--_ _ _ _ _ _ _ _ . 1. " ~I

.

s~ ,la fonte la plUS g~n~rale de la fonction F laissant l'~quation I.S invariante. Ici, la fonction F peut représenter différents types d'in-teraction. On peut rèmarquer que l'équation I.S n'est pas n~cessairement

b

lifléaire en u. Les solutio~s non-linéaires sont intéressantes en ce .. qui

concerne,l'appa.r~

soliton 19.

.

,

/

Le but de ce travail _{• ;'~"'..>' .'\..-(~} .t!$t' de, gé raI iser

r'

étude _{r-::.::..;;....=~} Beckers et 'al.' pour qu\elle

~Uisse.'s'aPPÙq~~r.

à des probl mes

P1~S

div rs'iffés. 1 En

particulier.

~

étude des brisures dé symétrie dans l'équation,de

Schr~dinger indépendante du temps pour une particule de spin

que1con-- " .. 1

que est effectuée ici. La façon de procéder reste cependant sensible-_ t 1sensible-_ . .,.. •.

PreIIaretleJl~dèr. toujo~s

·c.., systb. biti'a1 l'équation pour une particvle libre qui ~st toujours. pour une

particu-le avec spin:

..

1.6 où , est maintenant un spineur t 29' -t 1 cODpOsant:es tel' que dEcrit

~ ~ ,

au chapitre suivant'. 'L'-o~rateur  sur cet. espà~e agit sur les'

compo-santes de la fonction d'~n~e.

~

.

Le g~ùpe de sym6trie de cette équation est ,toujours E'(3). L'~quati()n modifUe que l'l'on consid~re .ést:

_

...

-"

,

1.7 "~.

. 1 " . , .

~

t

on ~l'opérateur' H~st le hamÙtonien .,t contient l'e tex:- ~ .. r~A 'et

les diff6rentes interactions que l'on considère comme pouv t ~riser

la

'1.

.

SyM~rie. Les interactions que 1 ton consid~re sont discudes plus loin. ~ .

/

-

, l ' , ,-,,' l' . /

r--..--~---:~---::r=::l_====:::;:~:'::==::""':;:-::;:-:-::;~':'" -~~::::;;;;:;:---~--- -~ ,~.-.-"-,-,,, _ _ _ _ _ _ _ _ ' _ ... ---:;-l

1

v , / -... ," .. ~_~~ ... ~~ ... , ... r_-..!t ,.. ____ ,~' ___ Id __ .... h"'_'~ ... _ _ ".~ ~"~ ... w*~ .. _~~ • • ,_ 8. /

Pour chaq~e sous-groupe de E(3) , on cherche do~c le hamiltonien le plus glin6ral invariant sous les transfol'll8ti~s de ce sous-'groupe~ La condi .. tion d'invariance

;;~:

\ U(g) H U(g-l)

=

H' 1.8

pour toutes les

t~ansfor.ations

g du sQus-groupe consid6rli.' Ici U(g)

es t l' op6ra

te~r r.ilr:senta~~

g sur l' o.paee de Hi! bert 'des fan ct i'ons d' ol1sle ".'

cett~

\condi tion

s~

'tradui t par 1,ple sSrie d'Equations

de-,

vant,être'satisfaites pâr les termes repr~sentant les interactions dans

..,..,

H Le problème consiste donc à résoudre ces équations.

Considérons maintënant l~ comportement des différentes interactions 1 - • .". A

que l'on peut ",jâutei pour briser la symétrie sous Îes transfonaations du .., _ O"t1 "

groupe

È13f._

on

se liaite aux cas oil ces interactions peuvent etre

re-•

pr~sen~li~s par des opérateurs lin~ires. Un' élé~ent g du groupe E(3)

• •

~ transfo~

un tel opérateur dénoté -X de la façon suCJ.vante =

'~ ,1 X'

=

T(g)X

=

P(g) X

~(g~l)

. ~ 1.9 /

-On peut facilement montrer que T(g) ost une re~résentat~on du

grou-~e

E(3)

sur l'o$pace des opérateJi?s linéaires agissant sur les fonctions d'ondes..

on

a:

1.10,

.

est reprisent5 par l 'op6rateur identit6 sur

,

d'où l~identite de E(3)

,-l'espa~

des operateurs linEaires et:

"

--

/

\

)

" , ~

.

}I " 1 ,1 J > '1

'"

.

,

,

'1 o 9. J, 1.11

c'est-a-dire que l'opErateur representant l'6l6ment glg2 est le pro-duit des op6rateurs representant les ElEments gl et g2'

Le groupe 0(3) 6tant un sous~groupe de E(3), TCg) est aussi une repr6sentation de 0(3) • La thEorie des ~epr6sentations ~e 0(3) est bien connue20 Entre autres, on sait Ique les

repr~sent~tions irr~du'cti­

bles de ,90(3) sont caract6rishs par un indice l tel que la dimen~ion de l'espace sur lequel elle est d6finie est 6gal à 2l + 1-, Ceci nous permet de classifier les op6rateurs lin6aires selon la repr6sentation

1

de 0(3) à laquelle ils appartiennent. Ceci introduit la notion

d'op6-rateu~

tensoriel irnducible T,CL) dont les composantes Tut se

trans-"

'

forment comae les 616aents de la base standard d'une repr6sentation irr6-ducible de.pOids L. Si on se restreint aux op6rateurs tensoriels'irr6-_, ducibles invariants sous les translations, le raisonnement pr6cEdent

rés-te toujours valable.

Il

Ceci nous amène donc a considErer le haailtonien suivant: _,

1.12 où TtM(i) est la cO~$ante M d'un op6rateur. tenso~iel irr6ducible invariant sous les translations et .ALM(i) est une fonction

~e

. 3 ' . ,

!('

Le acoBportement de H SOU$ les transformàtions de S(l) ~st d6tenainE

- ' ) .r. " \ ' -'~l ~'\'~, '~ .-'!

l ' 1 , 1 6 \

!

1 )

t

(

.. ,

==-===:;: ....

=_.

-l , 1 ... ... --,~" "'111_~ ... ...,...;: ~~~I,~ ~"'.~. , ... ______ ... "'~ ~~ .... ~t't!,~ .. ~~~*-:,=~ a . 10.

,

car on sait comment se transforment les opErateurs .ttM(i)

Ceci nous pe~t de d6te~ner quelles rorm~s doivent avoir les fonctions ALM(i)(;) pour que H soit invari~t sous les transforaations d'un sous" groupe donn~ de B(l)

1

Cette formulation du problème pos·sède un certain no_:re 'cPavàn~e$:

ErIe permét de traiter de façon identique. les diff6rentes r6ali-sations des opErateurs tensoriels i~ductibles. Pour une valeur de

LI

donn~e il existe plusieurs types d'opErateurs

_.

repr6sent~s'par un

opEra-,

teut tensoriel irr6ductible d'ordre L. Cependant tous ces opErateurs

_...

) )

se comportent de i'a aibe faç~on sous les transformations de E(3) ce qui fait que les ~entiels invariants ont la même forme pour tous ces opErateurs.

La rEsolution' des 6quati,ons d6temnant los potentien inv~riants

t-est asse, si~le et possible pour toutes les valetlt's de L. Ceci pel'1l8t.

1

d'aborder le probla.e de façon g6n5rale. d'

/,

Cette façon d'abo~er le problè.e ~s~ aussi valable pour d'aut~ problèmes.

En ce qui concerne les solutions de l'Eq~~tion ~ ~

S.

pour une particule de spin quelconque. il n'est pas possible de fai~udeo

/

.

,

aussi d'taill6e quefpour le problè';-d'une particule sans spin. Cepen-dant. dans certai~s CIS particuliers on peut diagonaliser

lm]

plusie~

. .J \ ' ' .'

,

. , 0'\

,1 { t

Cl

1

,

4'-.--"

---" .. " ... "'<.:<'" """' """""""", .. ~~ ... ~., , ....

il.

Il

o~rateurs de l'alg~bre de Lie et trouver la d6pendance des fonctions d 'onde par rapport

a

une, d~ ou toutes 1&5 coordonn6es. Ces cas par";

ticuliers seront êtudi6s ici.

, Donc, le haJÙltonien 1.12 a. en particuÜer. la fome souhait~le

,

pour reprEsenter lés int~ractions d'une particule avec spin quelconqu~

r,· , _ . t

-dans un challps extbieur. Le probibe de la !Il6canique quantique

non-\,

relativiste d'une particule avec spin arbitraire ~st discut& dans la \J

litt6ratUH~I.

Nous 6tucliercms plus en d'tail les hudltoniens pour

...&1

une particule, sans spin et aYe"c spin.

11)

qui ont

d'il

ft' trait's ail-leurs: ainsi que le haailtôni~ pour une particule de spin 1. Nous ver", rons aussi que ce dèmier peut s'appliquer à _, une particule de spin

ar-,

,>

---. ~-bitraire. Dans ce C&$ cependant le huùltonien peut contenlt d'autres

t~rmes d'int6ractions. ~.e en gardant la restriction sur la lin'arit6

..

en P .'~

Ce travail se divise en cinq chapitres et un appendice. Dans le chapit," II J

_,

on tftite du l1'Oupe euclidien l tt'Ois di.-nslons E(3). On d6finit d'abord ce J1'OllPf' ainsi que l'alg~bre de Lie correspondante et on 6tudie le~ rep~sentations de • B(3) qui sont utilis6es clans

cet-l "

-te thase. Ensui-te on parle brUv ... nt de la structure dos sous-groupes de B(S).

Le chapitre' III se diyise en $ept sections.' Dans.la p~_re'sec­ ,tion, on a6finit expliciteaent le haJdltonien dont on veut6tudier

l'in-variance. ,La section 1 2 traite de 1

'i~val"ianc:e

du haailtonien sous 1 'opf': ration d'inversion des coordonn'es de l'espace. La section 3 traite du

il , , ; ,

.,

t-\. l '

..

" " '

1

1

(

,~--~ J

"

f. ~ _1 ~, 1 ... ,. .... ~,.$"l. ... ·I • ..,.... __ ... -• .w-.... ~,.,.>-,6 ... , ... _ ... ~."."" ... ""_~~~ ... ~~~_, • ...".~_ ... ~'""'"""; .. ,~M"",'''' M" p '12.

problloe de l'invariance du haailtonien sou. chacun

d.~-grouP.~

d.

E(~).

Dans

les~ections

4,

~t

6, on

~tudic

eertains oas particuliers, Soient les hamiltoniens pour une patticule . "f'" ' sans spin et avec spin 1/2 .

~i "

Dans la section~. on fait quel~ues remarques sur les r6sultats et L

j 1 .~

de~ seç~ions _{~~ --} prEc6dentes et on discute _, bri~vement certaines applications posslblos des résultats trouv6s. _{• l ,}

Le chapitre IV traite de certains aspects de la ~solution de

1'6-.

quation de Schroedinger Pour l&s systèmes consid6~s. A. p~~,tj~r de la

"

,

.

s~trie de l'6quation, on peut trouver la d'pen dance de~ soi~tions sur

1 f - \

au moin~'~ùne des variables pour chacun des' SOUS-lrouPeS d~. 5(3) •

' 0

:lL

La conclusion est donn6e au chapitre V. - Dans i 'appendi.ce A, on don-' ne expliciteaent les rfalis.tions des op6rateurs tenso~iels irr6ductibles

"

utilisas dans ce texte.

•

---)

---

----1 ~ 1 l' hi ù-"

-C'.,

\ 1

.

'

)

," 1 C, ) " , :e 1 il - - - - ; :

-.

_.... ..

...

., .... ___ ~ '" .... ~l\>"~~.,~ ____ ...

_p_ ...

_ I . . . . - _ ' . , ... _ ~_; ... ,.,IIa:~1!' U''C" .-" CHAPITRE 11

LE GROUPE EUCLIVIEN

E(J)

a

G60m~triquement.le groupe Euclidien R(3) peut 8tre d6fini comme 6tant le ~roupe des'transformations continues de l'e~pace euclidien r6el

."

l trois dimensions ~3 laissant invariant la distan'ce entre doux points

~UelCOnqUes

de cet

espac~.

En

~s.c~ g~upe

comprend les rotationJ

d~­

l'espaèe, les translations et tes t~ansformations risultants' d'\Dlo

COJD-. "

binai'son d'une rqtati.on et d'une translation. Chaque 616ment de E(3)

1

J.

--- __

p~ut couple (A,:) tel 8tro d6crit d'apras l'action que:' qu'il

~,-_

, , ,

a sur \Dl

vecteu~

X

(JiS

par un

---_..--.1 __

11.1

-l ,

l

1

1

1

-An ost une matrice de O(~) repr6sontant \Dle rotation sur :R,3

et ai est la composante i' d'un vecteur de .3 reprfsentant \DlO'"

trans-laUon. En appliquant deux transformations successives de E(~). on

ftrouve la loi de co~sition de deux 616ments de B(3)~. soit:

"

.

les des 1. • 1 y), ..r f (_{1.1'&1) (1.2}.. _,1.. ) . . . . ' ,1 Il 2 2

=

(AIAt, al +. A1&2) •

l,

,1 •

~es

,6n6rateurs de

E(~r

sont

htitu~lle

••

~t

choisis COlllllo 6tant trois ~n'rateurs de 'ro;tlUon inf nidsillâl. Ji autour ~e chacun axes> et les tl'Ois a6n'rateurs de translations inf11\1t611_1e~ P;1&

Iona de chacun des axes. Un facteur l_a1naire '1.

-'--'~l'~l'OClu1t

'

- " 1 r ./

[,

... '. ' l ' I r

i

f

1

\ , '-

~---(

, ,.

..

"'" _~"""'~.~~~1lOI!.""'''''''_~'''4Vft_ ... I~ ~, .... _ _ .... - .... k~<I~+~' ... ,... ... ,'1" " ... _ . , . ... ~~ ... _~ " .. , . . , ! '. 14. -, ,

dans c~s g6n6rateurs pour les rendre hermitiens. Les relations de com·'

"

.rutation entr~ ces g~~6rateurs sont alors:

,

[Ji ,Pk]

=

i€ikt Pt ' [pi,prl : O. II.3

L'op6rateur. de parit6 fi . qui change le signe

d,W;~eur

de

~3

est aussi consid6r6 ici. Cet op~rateu;r l'atb~.ît, avec les a6n6rateurs

de E(3~. les 6quations suivantes:

n

P _i

n

-l -_{- -} p _{i .} Il.4

La th60rie des reprEsentations,de B(~)

.

ne l!utiliserons pas ici. Nous sommes plut8t

ff

est bien connue22 ma\s nous int6ress6s aux reprlsenta-tions d6finies par t'a~on des 616ments de B(3) sur les espaces de fonctions d'onde co~sPo~dant aux ifOblames consid6r6s. Ces

~eprison-/ 1

tations sont en g6n6ral rEductibléS.

!

Le problame qui nous int6ress~'particullaremont dans cette thase est celui de la m6caniquo quantique d'une particule avec spin s.

unes

telle particule peut 8tre reprlsent6e par une fon~tion d'onde l 2s T 1

\cpmposantes de la forme suivante:

...

lls(r)

---

_...

lls_l Cr)

+ •

.

_...

IJ.S

1l.sTl(r).

---.-

> . . . ll.s Cr) ) , \ t

'.

, ,

.

1

1

•

'1

\

₁ , 1 , ~ - ..,.

.

.

q. i·~'~·-~~"'~~~~~ ."'~~- "Io~"!"""'~~~~~~~~""'~.~.""~~~''''~--''''''"''''' _ _ -W 15.

L'espace d, Hilbert de ces fonctions d'onde est isomorphe.

"j L2 (

~J

.,25+1). Dans cet espace, un 'Uent

a::

(A,t) de B(l) est

repr~5ent~ par un op~rateur U(a) agissant sur les fonctions d'ond~ de la façon suivante:

,

.

~

où D'fJ (A) est une matrice repr6sentânt

A

dans une repr6sentation irr6-ductible de SU(2) de dimension 25 + 1. Les Illmonts ~e cette matrice sont connus sous le nom de fonctiqp D de Wigner quand

in

utilise la ba-se standard de ,25+1 17 Les g'n'rateu!s de 6(3) sont alors r6alis!s'

p~r:

a

P : - i - , i

aX

i Il.7

o~

Li est 1.

i~e co~osante

de l'op'rateur de moment cinltique et 1

est Iga1 l (ijk x_j Pk et~ Si est l'op6rateur de spin reprlsentl par

"+

une matrice de SU(2). L'op'r.teur J repr6s te 1 p'tateur de mD7

~

angulaire

t~tal

et---t

re~dsen~e

l

'oP6~a

eur de quanUti de mou-vement cin'tique.

w'

~ ,

<e

Les relations de commutation Il.3 .ontr.nt que l'.lg'bre de Lie de

B(3)

po~sade

un id'al non-trivial, l'n'r' par les

tra~tions

_{{PI ,P2'}

P3} • bD peut donc trouver lerelasses de conjugaisons des sous-algabres de E(3) en uti-lisant la .• ,ibGde de cla.sification pr'sent'. , la

rifl-~ence 4. 1 • 1 1 , " t "

r 1 \ a l

---.

.

" Q I . ~ ../'. , " ü ~ ... " ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ) .... ~~ . . ~~fb4J'"l1 .... ~~~~w.ll'''~''''+t< .... ~ ... ~ ... j".,.;J.1J _rt~~~

..

~.,..~~~_'I''-l! ~_ 16.

~~

a d6jl 6t6 fait2l

~t

le "sultat

.'t

reproduit ici l la fiiUr. 1.

<Wue case repr6sente une classe indiqu6e pat' les g6n6rateurs

d'~e

al·

g~bre qui en fait partie.· On indi~que aussi le sous·groupe qui corre~­

pond

a

cette algèbre en utilisant T(n). O(n) et BCn) qui sont.res-pectivement ~s groupes des translations, des rotations.-et Euclidien en n dimensions. Les groupes E(2) et 0(2) sont .les groupes de

recou-vremo~ts universels do, E(2) et~ a(2). Le param~tre ,a dans l'alg~­

bre de cos groupes peut pr'end~s les valeurs rhlles difnrentes cAe 0 de sorte qu'on a on fait- une infinit6 de classes. Si on inclue

.

.

l'op6raieur de parit6 ~ dans le groupe de conjugaison, on voit que

J₃ + aP3 est conjugu6 l J_{3 .:} a~3 • ~e sorte qU'on peut restreindre le

\ parlDl~tre, a aux valeurs)stT!ctement posfUves. La figure 1 a la

struc-, 1

ture d'un treillis (on le groupe trivial contenant seulement llidentit'

.

\

est sous-entendu). La relation A c B CA est'sous-groupe de 8) est, indiqu'e par un chemin-a~lant en descendant de 8

lA •

..

ï

-.

---~ , ,

,

.

.

, "

f'

1

1 ! i

r

? •

1

,

1 !> CHAPITRE III

POTENTIELS INVARIANTS

Consid6rons le ha.iltonien suivant:

/

1 LM(i) ....

H = -

ï

 + A (r)T LM(i) \ _1.12

d6fini sur un espace des fonctions d'ondes du type. d6crit _ au chapitre . pr6c6d,nt. Les coefficients AlJot(i) (1) sont des fonctions de

~3

.... C.

--(lop6tateur TLM(i) est la composante M d'un op6rateur tensoriel

ir-....

r6ductible d'ordre L commut'ant 'avec les composantes de P. Ces op'" "

rat~urs sont d'finis dans la discussion qui suit 24 • L'indice

CU

in-dique que l'on peut avoir plusieurs op6rateurs tensoriels irr~ductibles

~- du melle ordre.

Consid6rons l'ensemble T(L) des

2L

+

1

oparatours lin'aires

T LM o~ L est un entier non-dgatif donna et M pr~nd toutes les va_ leurs comprises entre -L et L. C'est-l'.dire:

T(L)

=

{T LN} oil Mc" et -L

~

N $ L . _III.1

\ ~

Si, lOfS dtune rotation, les 'la.ents T

LN° de rel) se

transfor-ment entre eux de la ~çon suivan~.:

J

'~

_ _

P

__

-"""~,,-,,,

l_,;;

---; :'

.

'

---(

z

..

18.

T~',

li U(I)TLN,U·l(l) =

l

O;""(I)T_lM J

"'~..

111.2 N ,

.

'

)

~

' " Q~ lt est un-EUment de 0(3) • U(I) est l 'op6rateur rep~6~ôt

'~!~ont dans l~esp~ce oü agissent les oo6rateurs T

tM et

DMN,(a)

~ est

i'~16ment ~MM'

do la matrice

repr'sentan~

R dans une repr6sentation

..

irréductible de 0(3) dans la base standard, Illors on dit que

T(L)_-'II 1 / 1

~ est un op6rateur'ton50riol irr6ductible d'ordre L et qU~TLM est la composante M d'un tel op6rateur. Bn d'autres mots, les compos~ntes

d'un op6rateur tensoriel irr~ductibles d'ordre L se transformënt comme

,

.

les 61~men~s d'une base d'un~ repr6se~atio~ irr6ductible de 0(3) de poids L. T(L) est en fait une telle

bas~

sur un espace d'op6rateurs.

/'

..

Certaines propri6t6s des repr6sentations de 0(3) peuvent donc 8tre

J

tTanspos'es aux op6rateurs tensoriels irr6ductible . Bien entendu, la

b~s;

T(L) peut 8tre,86n6rie par d'autres op6rateurs quo ;los T LN

" \ - ,

--En termes de~,'n'rat.urs de 0(3), on a les propri't'~ suiva~tes d'coulant de 18\ relation 111.2:

[J _{t '} T _LN J :: _

_F

hrM) ₂

(~,.

.. li T _LNt!

_•

II!.]

---

III ...

UI.S

J "

De plus, on exiae que les op'r~un _TLM(i) so~ent invari/ants /

50UI les tt_nslaUons •. On _ _{donc les relations suivant.es:}

' .. '? --1 " r \') --.

i

)

• 1

---, . . . , \ ~~. \ . . . . 4 __ / .~'-:",.."...~~"'''''''''''''''''''''''''' _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .~''''

.

'-- (

(

, ~ ,

\.

()

1

:-L

.

( , , "

.

... '11 b " " ' . " ' . rH. 118 • Jàllôll1 lail"~~'-19.

.. ,

J.II.6 oil t E T(3) et U(t)

U(t:üI~)'

• TUI

repr~s~nte l'51'.ont t dans l'ospace

sù~

quel a~it T LM' En te,rme d'es g6n6rateurs d,o T(3) on a:

[P

i • T LM)

=

0 ,

\

III .1

~

,

Les ças pa~ticulie~:lsuivants sont' indressants. Quand ~;: 0 • la

rolation (3) !nPTique Tt ;: +00 coa.o pour un scalaire. Onjdit

al~r

00 ' .

\ .

qut~n a un 6rateur scalaire. Pour L

=

1 • les quantit's TIl' T

IO' • Tl se transforment

~ l " les cOlllposantes d'un vecteur (dans' une base

CYClique). On dit alors qu'on a un op6rateur vectoriel.

Le hamiltonien 1.)2 est donc d8fini en t.~s B6n'raux. ,ans que ,-soient SP6C~fifs le ,spin de la particule. les rfaUsationS part~ia­

res des 'lpfrateurs T LM • etc.

~

. Cependant. le ,coaportellOnt de ) H sous les t;ansforlll8tions. du arouGe

si3)

est d6teTain' par les

fqu~'ions

III. 2

~

II 1. 6. Co la est suffisant

pou1;l-~dfteflliner

la 101'111 des pot

en-~iéls invariants.

" r.

J'tt.W€: . (

soit invarian~sous l'op'ration d'inversiOft~dbS coordonn6es.de l'espa.ce •

On peut discuter ce prab,la.e l·cl.

cons~'rons

d'abord le co..,oTteaent ' des op'ratcurs TtM(i) sous

rette OP,'.tlon.

Pour les applications

J 1 " ( .\

.

. ' 1 1 , -1 \

.

--" 1

•

, 1 ~

,

r

1 " "d

( ,

, ~. ~ ... , .... ~_ ~~ __ ,,\lrtil~. 1 i

r $A ri"; ~: ~_.1i

'.

$P ... ...:~.I' iawJ'"1~"'_IIQ~_

...

"""-~~

... , .

/ 7_~

t 20.

~',

\.

qu'on rencontre dans c.tt~~'s". on 1 toujours

peut T(L) (i) tion

--.J'

·1

n

T !.Hel)

on

~ A T

ueCi)

.-.

Il!. 8

.

2'-" )-~

La relation D : 1 iapliqye ~:I ~ 1 . On, peut reurquer qu'on'

o ~ " '

associer u~val.ur'propro ~-1'op6rateur ton.oriel irr6ductible lui -1IA.e. E~'effet. si une. coapo.santt T LN(i) 'nt hfai t

t •

lII.8 pour une vale~~d. A on 1

r

par l'Squati9n IlI ••

0-JI , T .-~J - 1 -

Ir;

I;

' . , "'l'I 1 /

~.I

(!)D -

(~-ro(t,,\j.l).[J., TUI(I)~

:1

It:'M)(~tM+,l;

,(JiJ .. TLN(i) JI-l ".

..1 nTLM(i)J+n ) III. 9 \ Y , :1

!ci-M)dt ....

1) (J+JlTut(f)u. 1 - ltTLM(i)JI-1J+)

·

)

-,l;;~M)itM.li [~tTUI~"

A

;UI~I(I)

~

q en"'ûtfIlslnt J. JI • U J... Dt .... l l'aide"de Ilfquation 111.$) on a

un rf,ultat s1.1111re pour TLM-l(l) :

~ . ~f

l J

~ ·1

JI TLN.l(~)n Il ATu."l(i) • II!. 10 1

Par induction. on voit quo T LM(!) 1 et TLM~ (i) ont 1..1

1

. . . . valeur

' .

,

.

propre A d.4-tap'rat,eu~ de puit' POULtout,. 10. valeUI'l d, N \.t N

~

" - CL) /

de sOl1e que tout .. '1 .. cotIpQllntes d. T

_Ci

)

ont le .1 •• coaport •• ent ,

. . r ' \ .

SOUI l'opfration d'inversion d" coordonnaes de l'es~.:

On

peut donc

'crlre, si l'6qultlon

.

IIJ.l~t satl,faite:

- <~ _{, ,}

..

•

:' i 1 ! [, ,

'.

1

,

,

i

i

1 ,1

1

1

... III. Il " .

Dans le cas où l'~quation 111.8 I}'est pas satisfait,e, on a, sans , perte de ~~n6ralitr6:

III. 12

QP~rateu~oriel i~6ductible T~~~

donn!.

(L)' r1nnt- (, ' t

')) dont, les, U6ments sont les (TLM(i'»

considErons

\

définis par l'6quation pour tout Si on applique llop6r~tion de parit6

o

à chacun des me l'es des êquations 111.3, 111.4 et. 111.5

satisfai-• _~

,

tes par fes TLM(i) • ~n obtient ~es êqua~ion' i~en~iques avec TLM(i)

l "

rempla~~ par (TLM(ü) de sorte que (.TLM(i») est enl dalit6--1a

com-p~sante

M'd'un op6rateur tensoriel

~r~ductibl~ (T~~~)'

du mime

ordre~ ~

Consid6rons maintenant les

op~rateurs

T(L) et T(L) d6finis comae •

(1)+

(1)-suit:

(L) - CL) CL) 1 CL) - (L) CL)' L 1

~

. T(i)+;:

Il/2~\n ~ (1)(1))') ! T(i)_ ;: Il!2(T{i) -

(T(O>} , ULP!

~- '1 ' . •

l ,

-, la somme de deux op6,rateurs tenspriels irrfductibles Etant d6finie comme 'tant l'op6rateur dont !a composa~te

M

·est la somme des composante M

Il est facile'de v6rifier que la so .. e de

J ,

des deux. termes d! la sOlllll!e.

,\

deux opErateurs tensoriels irrEductibles d'ordre

.

L est aussi

un

op6ra-,~ {~

teur tensoriel itr6ductib1e,du mime ordre. O~ pe~t exprimer T

(L) , (L) (L) • '

.(T (i» en termes de T (i)+ et

1

(i)- en loversant les rela ons III.13:

l '

1 . . T(~)

=

11/2 '(T(L) + T(L) )

\1

f~l)

r

(i)+ (i)- • ~'

"

; (L) t r.-r;: (L) (L) . lT(i» • r1/2(T(1)+ - T(i)~III.14 / . . 0 ;'

...

Î

/ - 1 1 1 î

l

.

" 22 •

Voyons maintenant comment se co.portent les op6rateurs

T{tlj

_sous 1lopêra~ion d'inversion.des coordonn6es de 1'espace:

nT~ti.n-1

,

hI2(nT~~ln-1

t

n~~ 'n~l)

D (

st

de sorte que 1. signe ± ,inde~ant les op6rateurs repr'sentè bien la

va-l~ur de la parit6 dè,1'op6rateur. Ceci montre qu',n peut toujours

Choi--

.

sir les opêrateurs T LM(i) dans l '6quation 1.12 de faço~ l ce qu' 1,15

,

SOi~

de

p.ri~E bi~n

dEfinie. Avec un tel chaix, il est facile

d<L!rou-ver quelles conditi0r doivent

sat~sfai~_les

coefficients

AlH(i,~ (~)

1

pour que H soit invariant sous l'op6ration d'inversion des coordonn'es

, 1

de l'espace. La con4i t ion d'invariance sur H est: 1 -1

DHU =H •

'-Ceci implique, Rour les potentiels, la

condition'suiv~te!

o'

lH(i) -1 LM(i) + .

A (-f)

n

T LM(i)

n

~ A (r)T LM(i) • 111.17

Donc, si TLM(i) est un op6rateur pair, on doit avoir:

111.18

et si _{T~(i) est impa~r:}

A lJot(i) (_~) .. -A LMU) (~) _111.1' / \ / 1

/J

1 - i • • <

"'"'

' 1

'. -' .~ 't

..

(

\

23.

---, 1

3. InvlVLÙlnce ~OU.6 tu ~oU6-gJtOUpu di B(3)

-0"

Le orobl~.e est de d6te~iner quelles for.es peuv~nt prendre les

LMC) +

c()efficient'S A 1 Cr) de l'6quatlon 1.12 pour que le huiltonien ~oit

,

invariant sous les transformations d'un sous-groupe de ,-_S(l}. Les con- ' \

ditions d'invariance sur le hamiltonien pour un sous-groupe ~onn~ sont!

thg) H U(g -1) = H l ,-.-1' 1.8

pOur tous les"ê16ients g du sous-groupe consid6r6. D'apr~s les

&qua-...

tions 111.2 et 111.6, ceci peut s'6cf~re pour un '16aent g

=

(A,a) de

1

E(3) de la façon suivante:

1 L !.M(i) -1+ 1 1 LM(i} ...

, - '2

Il + DM!M(~)A (g r)T LM' (i')= -

2

â+A Cr)T LM(i) III. 20

En comparant les deux membres de l'Squation, on ~ les.conditions d' tnvariance suivantes pour les coefficients ALM(i)

Ct)

<..

UI.21 On voit q~e ces' &tuations sont Ind6pendantes du spin de li particule

DU de "la r6alisation particuli~re d!5 op6rateurs T lM' ce qui IIlOl\tre quo ,

1

~

1

l'on peut r~soudre le probn. de façon g6drale. Le comportement des op6- 1 .

\

rateurs tensoriels imductibles sous les transformations du groupe E (3) ~

1 J ( - - - :

donna par l,s 6quations 111.2 et 111.6 est suffisant pour d6~iner la

fone des coefficients ALM(i) Ct) qui rend H invariant sous un

soUs-1

groupe de

Sel) •

o 1

\,

~ \

(:'

j

j

j

, 1 24.

Les conditions d'invariance globales' donn6es pa-r l '6quatlon 1.8 sont 6quiva1entes,aux conditions diff~rentielles 5Üiv~ntes:

1

lII.22

\ '1

Dour chacun des g&n~rateurs X

a du sous-groupe con5id~r~:' Eil se'.ser-vant de 1 t.identit6 suivante:

)

, III. 23

l '

_ valide pour nt importe quels "op6rateurs A,

à..

C et en utilisant le fait

~ l'

que ~OU5 les g&n6rateurs

X

a de

E(3)

cOIIUtent avec le t~rm~ -

2

A

on peut dbe lopper l' fquation III. 22 de 1., façon su~ vante:

LM(i) ... LM(!) ...

(Xa.A (r)]T LM(i) + A (r)~Xa' T LM!i)

J

:Jl--.-___ ·IIl •. 24

Le

te_

[X.'

T LM!!»)

~Jt

dorut6

pa) : ••

Iquations

III. 3,4,5,7 pour tous les g6nlratours de 8(3) • On a de plus:',

+ ...

[J • f(t») : L fer)

\.1 l.l.

111.25

pour \1 O,t! et i' Il 1,2,3 , de sorte que l'6quation III.~4 peut s

'6crire pour tous les 'RinArateurs ,X. de B(3) c_~ 'suit:

l , U4(i)'" '1 LM(!) ...

(X. A (r»T LM(i) + A _{(r)(Xa, T} LNCi)] • 0 UI.26

on

X~

est un opArateur

,dlff~r~tiel

'laI l

Pi 51

~a'

a

Pl

et

'~al

# l ' . '

l L si, X 1 J . (Si X

a est uni coahinaisQn Un6aire de tenes

\.l a l 1 ' , .

J. ot

Pl '.

x~

.'obtlont .. 1'01Iplaçont .J. par

r..,.1

dons cotto c_

J

(

25.

les vale,urs de L.M.l est

un

enseable d'opErateurs lin'aireaent ibd'-~

pendants. on, obtient. en Dosant le coe'fficient de chacun des T LM(!) 'gal l O. une sErie d'Equations diff~rentielles dont -les inconnus sont les coefficients A LM(i)

(~)

. ,Nous allons maintenant' considErer le pr~bla.e des potentiels invariants pour chacun des sous-grQupes s'pariaent .

• 1

Les 'Uants du aroupe T(l) l'n'ri par

't

₁ sotlt, les translations le long de l'axe des z.

1

impliquent alors:

Les condi~ions' d'i~vari.l~~ ,lobales 111.21

o

ir

1

lII.27

• • 0

pour toutes les valeurs tieUe' de a. On doit donc avoir:

IU.21

.

,

_,En re.plaçant X_a pa~ Jo. J] dans l'tquat"ioll lU.26. 08 tl't)Uyo.

en

posant le coefficiant'de

TLM(i)

'lai l l'JO

-lU.29

Qar Lo

.~~-

i

~

en coordonnhs cylindriques. Lai solution ""'1'810

de III.29 est: '---,

..

..

.'

,

"

(

"l

l , 26.

---

- \ ----IU.30 , 1

---, • J ' " ('"

sont des fonctions quelconques des va~iables

indi-qu'es. , \ (

On utiUse les coordonnfes h'lic~l,es (p,u,v) d'finies c~e suit:

. P -_ (2LlJ~. ~-r- \1 la

L , )

h"z+a., • V:l

2i

1 ( I-a., ) Ill. 31

0\1 p. i et cp son't les coordonnhs cylindriques. ~s 'se syst'. de coordonn'es, on a:

a

L3 + aP 3- • - i

iü .

L'fq\lat~on IU.2.~ pour X.:I J₃ + aPS donne alors: ' .. i

~LN(i) (~

.• cMALN(i)(t) '. 0

Ihl

La solution de UI.33 en coordonn'es h'Ueal •• eSlt:

o~

1.s aLM(i) (P,v) sont d.s fonctions qu.1conqu •• de (P,v).

_.

'

1 .-""'--' ~)

1I1.32

I1I.33 , .

UI.M

Par 'un ra1sonn ... t ana10pe •

c.lui qui

. e / l

l'

uaticm

IU.21

pour

l,

,roupe

T(l) ,

on trouve:

/ \

\

. . 1 ! , •

.

Il

Il \ l' 1 ) 1 _, ...---1

f

f

-.... 1 t h 1 l

1

f

, . ~ l

t

, ~ , ~,

,

! 1 1

"#

27. 1

A

LM(i~

(;)

=

a~(ij

(z) _Ill.!'

.-'~)

'~

__________ Les conditions U\,28 et 111.30 dOiv~n~ 8tn satisfaites

silllUlta-Il

n6ment. ce qui donne:

III ~ 36

IM{i)

-oil a 'est une fonction arbitraire de p •

! \

. Les teffiCients doivent atre invariants

"

sous toutes les

tranlla-tions. ' Ils dOÎvent donc 8tre constants.

ri

,

Il est praf'rable de se servir des R8n'rateurs Jo.J_t

Il ti 9n II 1 • 26 .~pour chacun de tes a6n'ra teurs donne:

~

..

1I1.37a _, UI.37b 1 IU.37c

on

on a fait la substit.ution: -1 \

,

~

.

.

((.)

~,~, t .~ 28. - , -~--LM(i) + M +

A (r):I: ( .. 1) AL_MU)(r) IlI.38

. Les 'quations III.37 d'finissent, les harmoniques spb'riqùes d'or-\

dt" L l" une constante pras20. La solution de ces 'quattons;'en t;r-mes des coefficients ALM(i) (t:L-es-t- donc:

---,

---'

111'.39

..

o~ aL(i)(r) est une fonction arbitraire de la vari.ble r •

Les conditions

111.30

et

111.35

doivent ,8tre' satisfaites simulta-n'ment. ce qui donne:

LMU)~

,

A (r) a a

_LU)

(z) aHQt • III.40

t Il

Groupe

Bë1f :

{J3-+

_{AP3 .. Pl • P2} •}

a >

0 •

De la lIlW"façon. ~ trouve l'ci l l'aide des 'quations IlI.34

et

1

III. 35:

oQ;

les

a~(i)

sont desi constant •• arbitrair ••• 1 • ~ Group. B(2). T(l) : {J3 Il'

Pl • '2'

~3} • ~

.

Uf.41

On a la solution III.40 av."" 1 •• fonction. ~L"(i) CI) rlaplacle.

par

d •• constant •• arbitraire ••

\l,

•

,

-•

"

---7 ...

.

'"

, - ,1 ""

29.

J

Lbs coefficients_invariants sous

O(3)

doivent en plus 8tre

ind'-p;ndânts de

x,~

et

z.

La soule

faço~

d'obtenir co

r'sul~at

est

d'exiger

st

L" 0 III.42 .

Les coefficients AOO(i) doivent Itre dei cqnstantes quelconques. \

.

\

Bn r'sua',

10

tableau

1

donne les ha.Ilioniens invariants pour

cWacun des

sous~lroupes

de B(3). iùsqu'l prfsent, la discussion

a---ft' faite en termes l'n6raux, sans qu'on ait

consid6r~

un systame

~hy.

sique pr'cis. Nous allons . .

intenant 6tudier certains problames qui

r

'

sont des Cis particuliers du problame 16n'ral d'j' 6tudi'. Plus

parti

-culiareaent nous allons 6tudier

l'in~ariance

sous les sous-groupes de - ,.

(

B(3)

1

des hamiltoniens pour une particule san. spin et avec spin 1/2 et

1.

Dans chacun de ces cas, nous nous restreindrons aux hamiltoniens

, 1

contenant de.'interaction. au

~lUS

linfalr,s en , .

Il

s'aglra donc

" de trouver une correspondance entre chacun \tes ha.iltonien. consid'r',

~~ "'f'd'

et un hamiltonien ayant la foru

'1. 12

pour un enl.emble donn' de valeur.

r 1 ~ .... l '

des indices L et

(i),.

Cette correspondance oermettra do trouver

1

les

ha.iltonie~s

invariants l partir des r,iultata du tableau

1. '

\ '

Consid'rons Je hamiltonien suivant, pour une particule .an ••

pin:

"

1··--- ---

-~ ---~-

-T-

~---"

-~---I---.

,

l

'+ 1+

W H ...

2'

ta

+

V (l')

+

(l')... • IIl.4~

oil

v(;-)

et

~i'(;)

sont

des~onctions

quelconque.de R3 ... C et

a

Pi • - iax- est la compoaante_cart6sienne de l'op6rat.ur ,de quantit'

i

de mouvemont. Cepondant, des restrictions soront impos6os aux

coofli-èients

V

et

Bi si

on oxiae que

H

aoit

~

hormi tien. Pour que

H

soi t Wl

oph'ateur symGtrique.

ct

ost,-l-dire

•

HII~t:

~ 0.#,

*...

...

1

* ...

Bi Cr} Il Bi (r)

'l,

lmV'(r). -

2"

41v Il (r)

.

III.44

A19rs l'hermicit6 de

H

sera satisfaite li on impose de.

~~~dlt1ônl

fronti~rel

approprl'es aux fonctions d'onde.

On

n'6tudiera pa. ce

pro~

bUme

ici.

Le

hamiltonien

111.43

peut s. mettre

10UI

la

fo~. 1.12

en utiliaJnt

1 ••

transformation.

A.2

ot

A.7

d. l'app.ndic. A.

On • a10rl:

"

~

1 00 ... l~ ..

H • ..

l

A

+

A (r) rOO

+

B (r)Pll.l

, ;,

(On

utilise diff'r.nts symboles au lieu d.

l'ind~c.

(1) de 1',quat1on

1.12 pour plu.

~de

clartl)l.

---

/

Les coefficients de

l

"qu,Uon

.!-!I.45

lont

116. a--ceux de l '\'quation II

1.43

par 1 •• 'qu,Uons .ulvante.:

A 00 (;) • V(;) :-.

lII~46

-l ,

et 1

••

~l,tion.

inver.e. lont:

_~"

"0 0,)

/'

00 '1 '@/

----.C;; . \ "

1 ~ , o ' !

l

,

J,ç

IVe;) •

AOO (;) 8_i (;) •

r

U; 811.1(;) " li 31. , 1 \ III. 41

Les potentiels inv'ariants d'an. l

t

'quation III. 4S pour chacW'l

d~.

sous-aroupes de B(3) sont donnas

~anl ~a .ectio~p;'J'dente.

La con:'

. . , .. J

sorvation

~o

la parit' implique dIapras loa relation. A.3. A.6 et

111.18 •

II 1.1c9: \

UI.48

~

Pour trouvor

11

forme oe,_ potenUell, V(;) et 8

1

C;'

pour-laqueJ,-\

.

,~

le le hamiltonien

I11.43

elt invariant pour chacun

d'I

.oa'-aroupe& de

B(3) ,

il

suffit d'utiliser le. relation.

111.41

avec le. coefficient.

00 - III

A et B

invariant

.OUI 1.

aoul-aroupe conlid8rf. Le r'luftat elt

donne au tabloau 2. Le mime r'iultat' a d'jl ft' obtenu on app1iquant

le. conditions d'invariance

1.8

ou

111.22

au hamiltonien

111.43.

\

S. HanKttotüt.n POl.VL

'une.

~cwtf.

4fI!At

IUt

~p.U!

'/2.

1

Conaid'rQn. le hamiltonien suivant, pour un. particUle avec apin

1/2 :

L

•• potentiels

_,V,

_{Ai' Bi}

_{et 'Mik sont d •• fonction.- arbitraire.}

1

+

de

r . lP

i

est

11 compo.ante

i

de l'op'rat.ur d, quantit'

d.

~uv.-,

1

1

1

f

(

\ ~, _, J .. ~ •

où

0i i ,st

une matrice

de

Pauli. Le torme

A(~)

· l

oo~t

ropr6sontor

une intoract1on d'uno particule avec spin

dan~ ~ champa

lIUlanhique. Le

bouphae spin-orbite

Olt

un-

cas particùlior d'uno interaction ropr6sen ..

...

t'o

par

'un t OnDe do

la forme

N

_ik

(r)S1 Pk

Lo hamiltonien adjoint

l 111.49

est:

ut Il l , * .... 't* ...

'*

'i'*....

':t 'li ....

,..

- rA" V

(1') + A (1') • :; .. 11 (1') • t' .. i div 6(1') " • .... _{aMit ....} +

_{Mik (r)S1 Pk .. 1}

~ (l')

Si

k III. 50

La condition

d~hermicit'

H. H+

impliq~. donc:

f \

ff

....

... ...

.

....

Bi (1') • ~i (1')

,

Mit (l'), •

...

Mit

* ....

(l'), ,-aN ,fU.S1 ... 1 lit ... lIRAi (l') • .. ':Ir - (l') •

" aX

_k .:;

-S

et- P dans l"qultion ill.40 tont

d ••

op6rateur. ton.oriels irr'duc

tlble. d'ordro

1 •

c'eat-l-dire de. op'l'atour. vectoriols.

L'en.emble

l

de. tormel

Si

Pk repr6.ento le produl

t

do

c~.

deux op,'rateurs, .tlel,

que d'fIni dans l'appendice A.

Le hamiltonien 111.49 peut donc ae

met-tre .ou. la forme 1.12, loit:

1

LI

M ... lM ... _{L2M ...}

H ... r A t A (rlT

L1M

+

B

(r)P1M

t

C (r)V

LzM'

UI.S2

oh LI prend

101

valeurl 0 et 1 et L2 •

~.1.2.

T

LM

reprt •• nte

l'op'rateur Id.ntlt6 1 et

1.1

op6rateurl do spin Si • PIN

l'op6ra-

'--tour do quantit6 de mouvement ot

V~ 10.

torme. de la forme

SiPk'

---Le. 'quationl

A.2. A.8.

A.9 ot A.16 do l'appondice A donnent la relation

\

_,

\

\

(

t

1 1 1 1

l

1 1 "

-ontre les deux .6l'ies déteno.. _~ partir. de 11, on peut trouver la r.-lation ontre le. coefficienu du t\uùlton on 1II.49 et ClUX

de

III.S2, '

soit:

Le. relations invorse.

.ont

8_i

(l) •

l

u;u

Bl~(l)

U j

1

1

N

ij

cl) •

Ir·

l (I

cl:M(;)~l1u~1 ~)-u\

u+

_J

'

IU.U

111.54

lI.v L,N lA \1

IL,.

co.tfl.iont.

d.~

••

q~tl"

111.52

pour I •• quol.

H ••

t iD.ariont

~

_...--- lont clOM" clan. la

ItcUon

3. La

conl.mUon 'dt

la parid 1l1pUque.

d'apra.

10.

r.lation.

dl

l ',ppendic. A et 1. di.euI.lon ••

la ••

etion

2, 1 •• condition •• uivante.:

)

r

aiMe .. ';) ••

-a--1M

e";)

_{• c}

lM(.";) •• cUCe;) UI.SI

ou b1ln: f .

\-1 t. ~ i' ' ... ..-~""1l<'\ .. \~, 1~ ... ~..,~jl '111 , , ; 1 f '

.

_, '

1

F i i ,

f

f

, ~ T L

.'

J' , 1 .1 , i

,

) (1.)

...

...

p. V(-r) • Ver)' • 1ft) lII.56 M

1j,(

-.t) • -M ij (t) .

Les potentiels, V, Ai' 8_i et -M

ij' inva~iants pour >chacun dOl

SOU'-aroupes ,do B(3) ont 6t6 tro~vb aj.llours n'imposant 10'. conditi~nl

d'invariance 1.8 ou III. 22 a~ -hlftll 1 tonion peut aUlsi. ~ ..

trouver

en

utilisant les 'qua~ions III.S4 coefficients inva· "riants ALM'. BIM et CUI trouv'; dans la 10 \on 3. Voici le

l'faul-tat pour chacun de. sou'''aroup.a de

Groype T(1). 0

Pour etre invariant IOÙS les tranaformations du al'OUpl T(l) , 1 ••

potlnt 1111 doivent It ft ind'pendant. de l , d' oil, _ en, coordo~'e~

clr-l " i

111.51

L •• condition. d'hél'ldcit' 111.51 i~liqu.nt:

IU.S8

',"1-,

l ' l, ? \ '

/

i,

l'