Déterminer algébriquement l'expression d'une fonction affine.

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

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Fiche méthode : seconde générale

Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux images ou l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.

Rappels :

 Soit f une fonction affine définie sur IR. Alors f est de la forme f(x)axb.

Avec 1 2 1 2) ( ) ( x x x f x f a   

 Si A(x_A;y_A)etB(x_B;y_B)sont deux points de la droite représentative de f alors leurs coordonnées vérifient son équation donc A









 SiA(x_A;y_A)etB(x_B;y_B)sont deux points de la droite D alors leurs coordonnées vérifient l’équation de D.

Exemple 1 (fonction) :

Soit f la fonction affine définie sur IR telle que f(1) = 1 et f(4) = -1. Exprimer f en fonction de x. f est de la forme f(x)axb où

3 2 1 4 1 1 1 4 ) 1 ( ) 4 (          f f a . On a donc f x   xb 3 2 ) ( .

Au choix pour trouver la valeur de b : Comme f(4) = -1 alors (on remplace x par 4 et f(x)

par –1) :

Comme f(1) = 1 alors (on remplace x par 1 et f(x) par 1) : b      4 3 2 1   4b 3 2 1   b 3 8 3 3  b 3 5 b     1 3 2 1   b 3 2 1   b 3 2 3 3  b 3 5 Donc 3 5 3 2 ) (x   x f Exemple 2 (fonction) :

Soit f une fonction affine définie sur IR. On sait que sa courbe représentative passe par les points A(-2 ;5) et B(0 ;-3). Déterminer l’expression de f en fonction de x.

f est de la forme f(x)axb . A et B sont sur sa courbe représentative donc f(-2)=5 et f(0)=-3.

D’où 4 2 8 2 5 3 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 0 (             f f a . On a donc f(x)4xb.

Au choix pour trouver la valeur de b : Comme f(-2)=5 alors (on remplace x par -2 et f(x)

par 5) : b      4 ( 2) 5 58b58b3b

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- 2 - Comme f(0)=-3 alors (on remplace x par 0 et f(x) par -3) : b     3 4 0 30b3b Donc f(x)4x3 Exemple 3 (droite) :

Soit la droite D passant par les points A(-1 ;7) et B( 2;1). Déterminer l’équation de D. D a une équation réduite de la formey axb.

2 3 6 ) 1 ( 2 7 1 _  _     a doncD: y2xb

Au choix pour trouver la valeur de b :

 Comme A(-1 ;7) D alors ses coordonnées vérifient l’équation de D (on remplace x par -1 et y par 7) :

b











2

(

1

)

7

 Comme B(2 ;1) D alors ses coordonnées vérifient l’équation de D (on remplace x par 2 et y par 1) :

b









2

2

1

Soient A(0 ;6) et B( -4;2). Déterminer l’équation de (AB). D a une équation réduite de la formey axb.

1 4 4 0 4 6 2 _        a doncD:y xb

Au choix pour trouver la valeur de b :

 Comme A(0 ;6)( AB) alors ses coordonnées vérifient l’équation de (AB) (on remplace x par 0 et y par 6) :

b





0

6

ou

 Comme B(-4 ;2)( AB) alors ses coordonnées vérifient l’équation de (AB) (on remplace x par -4 et y par 2) :

b







4

2