Mme LE DUFF Mathématiques Terminale STAV
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Fiche méthode 2 : Terminale. Etude du signe de la dérivée d’une fonction avec ln.
Méthode :
Déterminer la dérivée f’ (voir tableau des dérivées).
Etudier le signe de f’ (bien respecter l’intervalle donné dans l’énoncé pour les valeurs de x dans le tableau). f’ fait intervenir
x 1
(dérivation de fonction avec ln) :
o On la transforme pour la mettre pour la forme : fonction affine (ax+b) divisée par x.
o On regarde le signe de x en fonction de l’intervalle donné ;
o On regarde le signe du numérateur (voir étude du signe d’une fonction affine, vu en classe de première).
Exemple 1 (ln (x) avec dérivée de type affine/x) :
Soit la fonction f définie sur l'intervallex∈
[
0.1;4]
par f(x)= x−lnx. 1°) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f.2°) En déduire le signe de f’.
Résolution : 1°)
x x
f'( )=1−1. On transforme f’ pour étudier son signe :
x x x x x x x f'( )=1−1 = −1 = −1
2°) x∈
[
0.1;4]
donc il est positif. On resoud : x−1≥0(positif) x≥1(x plus grand que 1). Donc f’ prend la valeur 0 en 1, et est positive quand x est plus grand que 1.x 0.1 1 4
Signe de f’ - +
Exemple 2 (ln (x) avec dérivée de type affine/x) :
Soit la fonction f définie sur l'intervallex∈
[
−10;−1]
par f(x)=4x+3lnx. 1°) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f.Mme LE DUFF Mathématiques Terminale STAV - 2 - 2°) En déduire le signe de f’. Résolution : 1°) x x
f'( )=4+3. On transforme f’ pour étudier son signe :
x x x x x x x f'( )=4+3 = 4 +3 = 4 +3
2°) x∈
[
−10;−1]
donc il est négatif. On resoud : 4x+3≥0(positif)4 3 − ≥
x (x plus grand que 4 3 − ). Donc 3 4x+ prend la valeur 0 en 4 3
− , et est positive quand x est plus grand que 4 3
− . f’ elle prend la valeur 0 en
4 3
− , et est négative (car
x x x
f'( )= 4 +3avec x négatif) quand x est plus grand que 4 3 − . x -10 4 3 − -1 Signe de f’ + -
