Chapitre 10 : loi binomiale

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Mme LE DUFF 1ère technologique STAV

Mathématiques - 1 -

I – Rappels.

1°) Variable aléatoire.

Définition : Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E, quand on associe à chaque issue de E un nombre réel. On dit que l’ensemble de ces réels, E'



x₁;...;x_n



, est l’ensemble des valeurs prises par X.

L’évènementX x_iest l’ensemble des issues de E auxquelles on associe le réelx . _i

La loi de probabilité de la VA X est la donnée de toutes les probabilitésp(X x_i), oùx prend toutes les _i valeurs de E’.

Remarque : On représente en général la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau. Valeurs prises par la variable aléatoire X

i

x x ₁ x ₂ … x _n

Probabilités que X prenne la valeurx _i p(X x_i) p_i p 2 … p n

2°) Esperance mathématique.

Définition : L’espérance mathématique d’une VA X est le nombre réelE(X), défini par . ... ) (X p₁x₁ p_nx_n E    . II – Loi discrète. 1°) Loi binomiale.

Définition : Soit n un entier positif et p un réel de l’intervalle . On considère une expérience aléatoire à deux issues : S que l’on nomme succès, de probabilité p, et que l’on nomme échec. On répète n fois cette épreuve de Bernoulli, de façon identique et indépendante.

La variable aléatorie X comptant le nombre de succès obtenus suit une loi binomiale de paramètre n et p, on la note B(n,p).

2°) Esperance mathématique.

Définition : L’espérance mathématique d’une VA X suivant une loi binomiale de paramètre n et p est E(X) = np.

3°) Python et loi binomiale.

Python Instruction

tirageBinomial(n,p) Tirer un nombre selon une distribution binomiale B(n,p). 1

p

10 - Probabilités

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III – Coefficients binomiaux. 1°) Définition et propriétés.

Remarque : Lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p, pour calculer la probabilité de l’évènement , on cherche tous les chemins composés de k succès et n – k échecs dans un arbre pondéré représentant la situation.

Définition : Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n ; le coefficient binomial (se lit « k parmi n ») et le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre relevant de la loi binomiale de paramètres n et p.

Convention :

Propriétés :

 Soit n un entier naturel, alors et

 Formule de Pascal, soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n – 1 :

2°) Calcul à l’aide du triangle de Pascal. Remarque :

 Pour écrire les coefficients binomiaux , on construit un tableau, où l’on place à l’intersection de la ligne n avec la colonne k. On sait que donc la première colonne et la diagonale ne

contiennent que des 1.

 Puis avec la formule de Pascal, on complète l’intégralité du tableau : chaque nombre est la somme de deux autres nombres de la ligne précédente, celui de la même colonne et celui de la colonne précédente.

Pour chaque ligne du triangle de Pascal on observe une symétrie, ceci est dû au fait que