ordonnancement et communications

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ordonnancement et communications

Rodolphe Giroudeau

To cite this version:

Rodolphe Giroudeau. ordonnancement et communications. Recherche opérationnelle [cs.RO].

Univer-sité Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2012. �tel-00797855�

S ien es et Te hniques du Languedo

Habilitation à Diriger des

Re her hes

présentéeau Laboratoired'Informatique de Robotique etde Mi roéle tronique de Montpellier

Spé ialité :Informatique

Formation Do torale : Informatique É ole Do torale : Information, Stru tures, Systèmes

Ordonnan ement et Communi ations

par Rodolphe GIROUDEAU

Date de soutenan e : le 19 o tobre 2012

Composition du jury

Messieurs Vangelis Pas hos Rapporteurs

Christophe Pi ouleau

Denis Trystram

Madame Alix Munier-Kordon Présidente du Jury

Monsieur Stéphan Thomassé Examinateur

Je tiens àremer ier lesmembres demonjury de thèse:

Alix Munier-Kordonpour l'honneurqu'ellem'a faitde présider e jury.

Chrisitophe Pi ouleau, Vangelis Pas hos et Denis Trystram pour avoir a epté d'être lesrapporteurs de ette volumineuse habilitation. C'estpour moi une grande joie, de savoir que des her heurs de ette qualité aient appré iémon travail.

Je tiens à remer ier Jean-Claude König et Stéphan Thomassé d'avoir a eptés d'être membre dujury.

JetiensàexprimermaplusprofondegratitudeàJean-ClaudeKönig,ave qui j'ai beau oup de plaisir à travailler,qui m'a initié à la re her he et qui s'est toujoursintéressé à montravail.Jean-Claudeest plusqu'un ollègue.

J'adresse mes remer iements à tous les membres du Laboratoire pour leur aidepré ieuse auquotidien.

JevoudraiexprimermonamouràmamamanCatherineKermarre ,tout simplement ar 'estmamaman.

JetiensàmentionnerlesnomsdeBernardLemoine,ledaronetdeFran k Cardarelli pour e qui m'ont apportésur lesterrains et àl'extérieur.

Je tiens à exprimer ma sin ère amitié à mon frère Gaël Thomas pour les heures passéessurles terrainsde sportseten dehors.C'est unplaisir de t'avoir omme frère.

JevoudraipournirexprimermonamouràSéverine,RomaneetMaëlle pour m'avoiren ouragé dansles momentsdéli ats, d'êtreprésentesau quo-tidien, de m'é outer etdem'aimer telqueje suis.

I Présentation générale et rappels 1

1 Présentation 3

1.1 Introdu tion . . . 3

1.2 Organisation de lathèse . . . 4

2 Rappelssurlathéoriedela omplexitéetdel'approximation 7 2.1 Introdu tion . . . 7

2.2 Quelquesrappels en théoriede la omplexité. . . 7

2.2.1 Complexité ettransformationpolynomiale . . . 7

2.2.2 Le théorème del'Impossibilité . . . 9

2.2.3 Leslimites del'approximation :late hnique dugap  10 2.3 Quelquesrappels en théoriede l'approximation . . . 12

2.3.1 Sur lané essité de ompléter la lassi ation des pro-blèmes . . . 12

2.3.2 Mesure dela qualitéd'une solutionappro hée . . . 12

2.3.3 Approximation àrapport dépendant de l'instan e . . . 13

2.4 Méthodologies . . . 14

2.4.1 Lesméthodesénumératives . . . 14

2.4.2 Lesheuristiques etlesalgorithmes appro hés . . . 17

2.5 Listedesproblèmes

N P

- omplets. . . 18

2.5.1 Le problème

SAT

. . . 19

2.5.2 Le problème

3SAT

. . . 19

2.5.3 Le problème

M onotone

-

one

-

in

-

3SAT

. . . 19

2.5.4 Le problème

One

− In − (2, 3)SAT (2, ¯1)

. . . 19

2.5.5 Le problème dela lique maximum . . . 20

2.5.6 Leproblèmed'unsous-ensembleindépendantéquilibré dansun graphebiparti . . . 20

2.5.7 Le problème

3

-partition . . . 20

3 Dénition, analyse et lassi ation des problèmes

d'ordon-nan ement 23

3.1 Dénition desproblèmes d'ordonnan ement . . . 23

3.1.1 Des ription destâ hes . . . 23

3.1.2 Environnement despro esseurs . . . 24

3.1.3 Critères d'optimalité . . . 25

3.1.4 Notion de granularité. . . 27

3.2 Appro hes etstratégies derésolution desproblèmes d'ordon-nan ement . . . 28

3.3 Classi ation desproblèmes d'ordonnan ement déterministes 31 3.3.1 Présentation de lanotation à trois hamps . . . 31

3.3.2 Commentaires sur ette notation etdépendan es . . . 33

II Ordonnan ement pour le parallélisme 37 4 Communi ations homogènes 39 4.1 Présentation etmotivations . . . 39

4.1.1 Introdu tion. . . 39

4.1.2 Analyse desrésultatsexistants . . . 40

4.1.3 Présentation du hapitre . . . 41

4.2 Les grandsdélais de ommuni ation . . . 43

4.2.1 Rappeldesrésultatsexistantssurlesgrandstemps de ommuni ation . . . 43

4.2.2 Motivation . . . 45

4.2.3 Seuil d'approximation pour les grands délais de om-muni ation . . . 45

4.2.4 Un algorithme polynomial pour

C

max

= c + 2

ave

c

∈ {2, 3}

. . . 54

4.2.5 Approximationpar dilatation . . . 55

4.3 Analyse desrésultats . . . 58

4.4 Con lusion. . . 59 5 Communi ations hiérar hiques 63 5.1 Présentation etmotivations . . . 63 5.1.1 Introdu tion. . . 63 5.1.2 Motivations . . . 66 5.1.3 Présentation du hapitre . . . 66

5.2 Résultats surlanon-approximabilité pourtous ouples dev a-leurs . . . 67

5.2.2 La minimisation delasomme destemps de omplétude 72

5.3 Un algorithmepolynomialpour

C

max

= c + 1

. . . 72

5.4 Dis ussion . . . 72 5.5 Approximation . . . 73 5.6 Con lusion. . . 74 6 Communi ations lo ales 75 6.1 Présentation etmotivations . . . 75 6.1.1 Introdu tion. . . 75 6.1.2 Présentation du hapitre . . . 78

6.2 Résultats existantsen omplexitéetapproximation . . . 79

6.2.1 Motivations . . . 79

6.2.2 Le prin ipe dupliage en ordonnan ement . . . 80

6.3 Etude de latopologieen anneau. . . 82

6.3.1 Introdu tion. . . 82

6.3.2 Complexité . . . 82

6.3.3 Algorithmes d'approximation . . . 82

6.4 Etude de latopologieen étoile. . . 86

6.4.1 Introdu tion. . . 86

6.4.2 Complexité . . . 87

6.4.3 Un algorithmepolynomial . . . 92

6.4.4 Minimisation de lasommedes temps de omplétude . 92 6.4.5 Algorithme appro hé surl'étoile . . . 93

6.4.6 Etude de la topologie d'ungraphe stru turé en étoile de diamètre

d

. . . 95

6.5 Etude de latopologied'ungraphe stru turéde diamètre

d

. . 98

6.5.1 Introdu tion. . . 98

6.5.2 Complexité . . . 98

6.5.3 Dis ussion . . . 108

6.5.4 Algorithmed'approximationpour ungraphestru turé diamètre

d

. . . 108

6.6 Con lusion. . . 109

III Appli ations des problèmes d'ordonnan ement 111 7 Communi ations exa tes et in omprésibles 113 7.1 Introdu tion . . . 113

7.2 Le problème d'a quisition de données pour une torpille en

immersion . . . 114

7.2.1 Motivations . . . 114

7.2.2 Des ription destâ hes d'a quisitionetde traitement . 115 7.2.3 Présentation etdes ription dumodèle . . . 117

7.2.4 Complexité etapproximation pour lestâ hes ouplées en présen ed'ungraphe de ompatibilité omplet . . . 117

7.2.5 Résultatsde omplexitésurlestâ hes- oupléesen pré-sen e d'ungraphede ompatibilité . . . 118

7.2.6 Résultats d'approximation sur les tâ hes- ouplées en présen e d'ungraphede ompatibilité . . . 123

7.2.7 Con lusion surles tâ hes- ouplées . . . 125

7.3 Le problème d'ordonnan ement destâ hesviti oles . . . 125

7.4 Con lusion surl'ordonnan ement de tâ hesviti oles . . . 128

8 Con lusion et perspe tives 131 8.1 Con lusion. . . 131

8.2 Perspe tives . . . 134

8.2.1 Etude des problèmes d'ordonnan ement ave l'ap-proximation diérentielle. . . 134

8.2.2 Ave l'appro heFTP (Fixed-Parameter Algorithms) . 137 8.2.3 Trois appro hes méthodologiques omplémentaires . . 138

2.1 Problème d'un plus ourt hemin . . . 15

3.1 Un graphe depré éden e . . . 27 3.2 Un ordonnan ement pour le graphe de pré éden e donné par

la gure 3.1 . . . 27 3.3 Appro he synthétique fa e àun problème d'optimisation

om-binatoire et enparti ulier les problèmes d'ordonnan ement . . 29 3.4 Illustrationsdesdiérentesrelationsentredesparamètres

par-ti uliers . . . 35

4.1 Prin ipaux résultats de omplexité pour le modèle

U ET

pour la minimisation dela longueur de l'ordonnan ement . . . 42 4.2 Prin ipaux résultats d'approximation pour le modèle

U ET

pour la minimisationdela longueur de l'ordonnan ement. . . 43 4.3 Graphe partiel du graphe de pré éden e utilisé pour la

preuve de la

N P

- omplétude du problème d'ordonnan ement

¯

P

|prec; c

ij

= c

≥ 3; p

i

= 1

|C

max

.. . . 46 4.4 Graphe partiel du graphe de pré éden e pour la

démonstra-tiondela

N P

- omplétude pourleproblèmed'ordonnan ement

¯

P

|prec; c

ij

= 2; p

i

= 1

|C

max

. . . 51 4.5 Illustration de la notion de dilatation . . . 56 4.6 Prin ipaux résultats de omplexité pour le modèle homogène

pour la minimisationdela longueur de l'ordonnan ement. . . 60 4.7 Prin ipauxrésultatsd'approximationpourlemodèlehomogène

pour la minimisationdela longueur de l'ordonnan ement. . . 61

5.1 Ordonnan ementpartielsurun luster

K

i

,etsous-graphe par-tiel du graphe de pré éden e pour une lause

C = (y

∨ z ∨ t)

pour le problème

P (P l

¯

≥ 4)|prec; (c

ij

, ǫ

ij

) = (c

≥ 3, 1)|C

max

. 68

5.2 Résultats de omplexité pour le problème UET-UCT dans le

as du pire as . . . 73

6.1 Illustration de l'inuen e de l'allo ation des prédé esseurs d'une tâ he . . . 78

6.2 Ordonnan ementréalisable pour

σ

chain,

∞

pour le as où

m

′

_≤

√

n

. . . 84

6.3 Ordonnan ementréalisable pour

σ

chain,

_∞

pour le as

m

′

_>

√

_n

84 6.4 Instan e pour laquelle leratio est stri tement inférieur à

2

√

n

3

85 6.5 Illustrationde l'instan e onstruite pourle problème d'ordon-nan ementà partir du problème

N P

- omplet lique . . . 88

6.6 Les ontraintesdepré éden e entrelesensembles

X, Y, Z, W

et

U

à partir del'instan e donné par la gure 6.5 . . . 89

6.7 Ordonnan ementde longueur inq . . . 90

6.8 Un ordonnan ementde longueur

2θ + 3

. . . 97

6.9 Un exemple d'unPrisme graphede taille

k

etdelongueur

L

. 99 6.10 Graphe

Z

2

. . . 101

6.11 Ordonnan ement réalisable pour le graphe

Z

2

en temps trois sur une haîne de longueur quatre . . . 101

6.12 Début del'illustrationdela onstru tiondugraphe

W

àpartir du graphe

G

∗

. . . 102

6.13 Suite de la onstru tion de

W

. Création des haînes de lon-gueurtroisetajoutdes ontraintesdepré éden e entrelestâ hes103 6.14 Partition dugraphe

G

∗

enfon tiondes ensemblesdesommets

V

1

,

K

et

V

. . . 104

6.15 Graphe

W

résultant issudes diversestransformations . . . 104

7.1 Illustration d'unetâ he d'a quisition

A

i

. . . 115

7.2 Illustration d'unetâ he detraitement

τ

i

. . . 116

7.3 Illustration dela ontrainte d'in ompatibilité . . . 116

7.4 Visualisation globale de la omplexité des problèmes d'or-donnan ement ave tâ hes d'a quisition en présen e de ontraintes d'in ompatibilité . . . 119

7.5 Visualisation globale de la omplexité des problèmes d'or-donnan ement ave tâ hes d'a quisition en présen e de ontraintes depré éden e . . . 120 7.6 Visualisation globale de la omplexité des problèmes

d'ordon-nan ement ave tâ hes d'a quisition et tâ hes de traitement en présen e de ontraintes depré éden e et d'in ompatibilité . 121

7.7 Un ontre-exemplepourleproblème

Π

P G

4

.Ilest intéressantde noterque dans le asoùlegraphe de ompatibilité est omplet le problème devient polynomial en utlisant la re her he d'un ouplage de taillemaximum. . . 122 7.8 Un ontre-exemple pourleproblème

Π

P G

6

.Chaquetâ he

A

i

est équivalente aumodèle

(a

i

= L

i

= p, b

i

= b)

. Pourun ouplage donné, l'ordonnan ement

b)

exé ute les tâ hes de l'arête de poids maximum en premier mais rée un slot, alors que dans le as

a)

l'ordonnan ementest sanstempsd'ina tivitésinous n'exé utons pas la tâ he depoids maximum enpremier.. . . . 123

8.1 Vision globale des modèles présentés liés au parallélisme . . . 132 8.2 Alare her he d'unmodèleàdélaide ommuni ationgénéralisée133

4.1 Résultats de omplexité pour lemodèle à ommuni ation ho-mogène en présen eounon de grandsdélais de ommuni ation 44 4.2 Résultats d'approximation pour le modèle à ommuni ation

homogèneenprésen eounondegrandsdélaisde ommuni ation 45 4.3 Tableau 4.1 omplété . . . 58 4.4 Nouveauxrésultatsd'approximation . . . 59

5.1 Tableau omparatif sur la omplexité et sur la (non)-approximation des problèmes d'ordonnan ement en présen e de ommuni ations homogènesethiérar hiques obtenus dans [68 ℄. . . 65 5.2 Résultats de omplexitépour lase tion5.2 . . . 67

6.1 Résumé desrésultatsde omplexité antérieurs montrés sur e modèle . . . 80

6.2 Résumé des nouveaux résultats

mon-trés sur e modèle. Notons que

G

∗

_∈

{Arbre binaire, Grille, T ore, Connected Cube cycle, . . .}

.La distan e

d(π

l

_{, π}

h

₎

est le nombre d'ar s dans le graphe des pro esseurs

G

∗

. . . 109

7.1 Résumé des résultats de omplexité pour les tâ hes- ouplées ave ungraphe de ompatibilité omplet . . . 117 7.2 Résumé desrésultatsd'approximationpour lestâ hes- ouplées118 7.3 Tableau synthétisant les résultats d'approximation sur les

6.1 Ordonnan ement sur

m

pro esseurs à partir d'un ordonnan- ement

σ

∞

surunnombre inni. . . 80 6.2 Ordonnan ement pour le problème

(P, ´

etoile)

|prec, c

ij

=

d(π

i

_{, π}

j

_{), p}

Présentation générale et

1

Présentation

1.1 Introdu tion

Il est ommunément admis que les problèmes d'ordonnan ement s'in-téressent à l'allo ation (optimale) des diérentes parties d'une appli a-tion, représentée par un graphe de pré éden e

G = (V, E)

qui ara té-rise les ontraintes hronologiques entre es diérentes parties, aux res-sour es/ma hines, an que l'appli ation soit a omplie le plus rapidement et

/

ouaumoindre oût.Cettedénitionesttrèsgénérique etpermetde ou-vrir un large spe tre de problèmes d'optimisation ombinatoire. Nous pou-vons iter ommedomainesd'appli ation:ordonnan ementdeprojet(viala méthode PERT), les problèmes liés aux ateliersde produ tion, lignes d'as-semblage,lessystèmesd'exploitationdesordinateurs,lessystèmesdistribués et systèmes embarqués, les problèmes d'emplois du temps, des problèmes d'ae tation, de transports,de tournées,

. . .

Quoique ré ente (début des années

1960

), la théorie de l'ordonnan e-ment a fait l'objet d'études très poussées, tant au niveau de la omplexité, que de lare her he de solutions exa tes ou de solutions appro héesave ou sansgarantiedeperforman e

1

.Denombreux ouvragesspé iqueset dédiés aux problèmes d'ordonnan ement ont étépubliés. Nous pouvons référen er trois livres lassiques portant sur l'étude des problèmes d'ordonnan ement en général [16℄,[99℄, [133 ℄.

Je me suis intéressé aux problèmes d'ordonnan ement lorsque j'ai om-men é ma thèse de Do torat sous ladire tion de Evripidis Bampis en

1996

à l'université d'Évry Vald'Essonnedont lesujetportaitsur L'impa t des délaisde ommuni ationshiérar hiquessurla omplexitéetl'approximation des problèmes d'ordonnan ement . J'ai poursuivil'étude de es problèmes depuis mon intégration dans l'équipe APR ( Algorithme et Performan es

1

des Réseaux ) au sein du LIRMM. Ce manus rit établit une synthèse de mestravauxdepuis quelquesannées.

1.2 Organisation de la thèse

Leplande ettethèse omportetroisgrandesparties(detaillesinégales). La première partie porte sur la présentation générale de e manus rit, un rappel sur la théorie de la omplexité et de l'approximabilité et pour nir les problèmes d'ordonnan ement. La suivante se fo alise sur les problèmes d'ordonnan ementpourleparallélisme.Ladernière on ernedesappli ations potentielles pour deuxproblèmes d'ordonnan ement.

Au hapitre 2 nous pro éderons à un rappel sur la théorie de la om-plexité et de l'approximabilité. Nous y présenterons les bases telles que la notion de transformation polynomiale, les lasses de omplexité (

P, N P

et

N P

- omplet). Nousillustronsvia deuxexempleslané essitéde poursuivre, de ompléterla lassi ation enutilisantlathéoriedel'approximation.Nous donnerons lethéorème de l'impossibilité qui permet de déterminer un seuil d'approximation pour un problème d'optimisation

Π

à partir d'un résultat de

N P

- omplétude pour unevariantedé isionnelle de

Π

.Nousrappellerons également le théorème du  gap  qui permet la détermination d'un seuil d'approximation

k

pour un problème d'optimisation

Π

à partir d'un seuil d'approximation

k

′

pour un problèmed'optimisation

Π

′

.Danslalittérature ette rédu tion est appelée la

gap

-rédu tion. Nous présenterons également les lasses d'approximation dépendant del'instan e.

Nous listerons les problèmes

N P−

omplets qui seront utilisés dans la suite lorsdesdiérentestransformations polynomialesproposées.

Au hapitre 3 les dénitions fondamentales, les hypothèses et les on epts, en théorie de l'ordonnan ement, qui seront utilisés dans la suite de emanus ritserontdé rits. Nous ommen eronsparprésenterl'ensemble destâ hes.Ensuite,nousdé rironsviadeuxmodèlesdebaseen ordonnan e-ment statique(le systèmemultipro esseur etles pro esseurs dédiés), l'envi-ronnement des pro esseurs etl'inuen e surles ara téristiquesdes tâ hes. Pour nir, nousénumérons les ritères d'optimalité (ou fon tionsobje tifs) lassiquesen théorie de l'ordonnan ement. Un exemple viendra illustrer les diérents ritères d'optimalité.

Après,nousénuméronslesvoiespossiblesetlesstratégiespourtenterde résoudreau mieux(notion quisera formaliséedans e hapitre)les pro-blèmesdontla omplexitédesmeilleursalgorithmes onnusestexponentielle. Nousdétaillerons lanotation synthétique (usuelle) à trois hamps

α

|β|γ

.

le parallélisme. Le but de l'ordonnan ement pour le parallélisme est d'ob-tenir desmodèles de plusen plusables etréalistes tout en onservant des résultats théoriques exploitables. Les modèles faisant abstra tion de la hié-rar hiemémoire nepeuvent êtreutilisés danslesar hite tures modernes,et ainsila notionde ommuni ation doit êtreprise en ompte.

Le hapitre 4 abordera les résultats de non-approximabilité et d'ap-proximation dansle as dumodèlehomogène en présen edes grandsdélais de ommuni ation etnousredémontrerons lerésultat lassiquepour le pro-blème

U ET

− UCT

,enutilisant unetransformation àpartir d'unevariante de

3SAT

.Le modèleave ommuni ationhomogène estun modèletrès lar-gement étudié dansles années

90

. Ce modèle apture la notion de délai de ommuni ationpotentielleentredeuxtâ hes

i

et

j

,soumisesàune ontrainte de pré éden e. Les ontraintes de pré éden e entre les tâ hes sont données par un graphe de pré éden e. Le délai n'est ee tif que si les deux tâ hes

i

et

j

s'exé utent sur deux pro esseurs diérents. Dans e hapitre nous présenterons,une lassi ation tanten omplexité qu'enapproximation, des prin ipaux résultats onnus sur e modèle.

Au hapitre 5, nous présenterons un modèle ave des ommuni ation hiérar hiques dans lequel plusieurs niveaux de ommuni ations sont pris en ompte. Ce modèle tente de modéliser les ar hite tures où les pro es-seurs sont regroupéssous formedegrappesde pro esseurs.Une grappesera onstituée de deuxou plusieurs pro esseurs reliés par un réseau totalement onne té. Les grappes seront également reliées entre-elles par un réseau to-talement onne té. Ave es ara téristiques, nous pouvons hiérar hiser les délaisde ommuni ations entrelestâ hessoumisesà des ontraintesde pré- éden e. En eet, nousdistinguons les ommuni ations inter-grappes etles ommuni ations intra-grappes. Ce modèle estune généralisation dumodèle à ommuni ations homogènes. Nous étudierons e modèle au niveau de la omplexité et de l'approximation, et nous étudierons également les straté-gies et les te hniques qui résistent aux passages du modèle homogène au modèlehiérar hique.

Le hapitre 6 sera dédié à la présentation d'un modèle qui prend en ompte le pla ement des tâ hes sur les pro esseurs omme une donnée es-sentielle.Cemodèlese ara tériseparlefaitquedanslaplupartdesmodèles d'ordonnan ement étudiés le graphe de pro esseurs (sur lesquels les tâ hes s'exé utent)estimpli itementsupposé ommeétant omplet(tousles pro es-seurssonttotalement onne tés).Dans e hapitre,nousrelaxons ette hypo-thèse sur l'environnement des pro esseurs en onsidérant plusieurs graphes stru turés( haîne, hyper ube,

. . .

).Et noussouhaitonsmesurer l'impa tde

l'introdu tion des réseaux de pro esseurs sur la omplexité et l'approxima-tiondesproblèmes d'ordonnan ement.

Demême,plusieurs résultatsde omplexitéetd'approximation selonles hypothèsesseront développés.

Le hapitre 7 portera sur des appli ations. Dans un premier temps, nous étudierons du point de vue de la omplexité et sur le développement de solutions algorithmiques pour un problème d'ordonnan ement appliqué à l'a quisition de données pour une torpille en immersion. Dans e adre, nous utiliserons le modèle des tâ hes- ouplées sur un monopro esseur en présen e d'un graphe de ompatibilité. Les tâ hes- ouplées est un modèle pour lequel les tâ hessont onstituées dedeux sous-tâ hes ave undélai de ommuni ation entre es sous-tâ hes indilatable et in ompréssible (dans la littérature, nousretrouvons e modèleave laterminologie " ommuni ation exa te").La présen ed'ungraphede ompatibilitéentrelestâ hes- ouplées imposedes ontraintessur elles- idupointdevuedelapossibilitéde re ou-vrir les délais de ommuni ation exa te par l'exé ution d'une ou plusieurs sous-tâ hes. Nous présenterons, de nouveau, des résultats de omplexité et d'approximation.

La deuxième appli ation on ernera l'ordonnan ement des tâ hes viti- oles dansunenvironnement in ertain.

Le hapitre 8 se onsa rera à la on lusion de ette thèse et aux pers-pe tives dere her he quinoussemblent pertinentesetenvisageables.

2

Rappels sur la théorie

de la omplexité et de

l'approximation

2.1 Introdu tion

Dans lasuite de ette thèse, nous fo aliserons notre étude sur la lassi- ation des problèmes d'ordonnan ement selon la théorie de la omplexité etdel'approximation.Ce hapitre est entrésurlaprésentationde quelques notions etrésultatsen omplexitéetenapproximation. Nousrenvoyonsà la le turede ertainsouvragesdédiés ([15℄,[128 ℄, [171 ℄)pour des ompléments sur lesnotions introduites dans e hapitre.

Deplus,nouslisteronségalementlesproblèmes

N P

- ompletsutiliséslors desdiversestransformationspolynomialesquenousavons onstruites.

2.2 Quelques rappels en théorie de la omplexité

2.2.1 Complexité et transformation polynomiale

La lasse

P

estla lassedesproblèmesde dé isionpour laquelleilexiste un algorithme (de omplexité polynomiale, dépendant de la taille de l'ins-tan e) qui permetde répondre par  oui ou non  à une instan e quel- onque.Nousproposonsquelquesproblèmesquiappartiennent à ette lasse de omplexité :

 le problème de la re her he d'un arbre ouvrant de poids de poids

k

dans un graphenon orienté valuéquel onque. Nouspouvons iterles algorithmes de Prim, Kruskal, Sollin etde Boruvka, pour résoudre e problème.

un graphenonorientévaluéquel onque,en sebasant surl'algorithme de Karp.



. . .

La lasse des problèmes

N P

est la lasse des problèmes pour laquelle nouspouvonsvérierl'existen ede laréponseouien tempspolynomial. Nouspouvonslister quelquesproblèmes quiappartiennent à ette lassede omplexité:

1. le problème du ir uit hamiltonien dans un graphe non orienté quel- onque,

2. le problèmedu stabledetaille

k

,

3. le problème de l'isomorphisme de graphes 1

. A tuellement, nous ne onnaissons pasen orel'appartenan ede eproblèmeàla lasse

P

via un algorithme de omplexité polynomialeou à la lasse

N P−

omplet via une transformation polynomiale ou bien à la lasse desproblèmes intermédiaire.

4. le problème Prime 2

. Il est important de noter, que la lassi ation omplète de e problème a étéréalisée par Agrawal et al. dans[5 ℄. Ils ont montré l'appartenan ede eproblème à la lasse

P

.

Dans le but de dénir la lasse des problèmes de dé ision la plus in-téressante, à mon goût, 'est-à-dire la lasse des problèmes

N P

- omplet, nous rappelons la dénition de la notion de transformation polynomiale. Une transformationpolynomiale d'unproblème

Π

2

à unproblème

Π

1

(noté parlasuite

Π

2

∝ Π

1

estunefon tionquiasso iel'ensembledesinstan esde

Π

2

à l'ensembleàun sous-ensemble desinstan esde

Π

1

touten satisfaisant lesdeux onditionssuivantes:

1. pour haque instan e

I

2

de

Π

2

, laréponse est  oui si etseulement si laréponsepour

f (I

2

)

de

Π

1

est oui,

2. lafon tion

f

est al ulableentempspolynomial(dépendseulementde la taillede

|I

2

|

).

1

Nousrappelonsqu'enthéoriedesgraphes,unisomorphismedegrapheentresommets dedeuxgraphes

G

et

H

est unebije tion

f : V (G) → V (H)

(

V (G)

désigne l'ensemble dessommetsde

G

) ave lapropriétéquedeuxsommets

u

et

v

sontadja entsdans

G

si etseulementsi

f (u)

et

f (v)

lesontdans

H

.

Instan e : Soientdeuxgraphes

G

et

H

Question :Est- equelesdeuxgraphes

G

et

H

sont isomorphes? 2

Instan e :Soit

n

unnombre

point de vue de la dé ision) appartiennent à la lasse de omplexité

N P−

omplet. Cette lasse de omplexité admet des ara téristiques très fortes. En eet,les problèmes appartenant à ette lasse sont les problèmes les plus di iles de la lasse

N P

, ils sont tous de di ulté équivalente par rapport à leurs résolutions polynomiales et il surait de on evoir un al-gorithme polynomial pour l'un d'entre eux pour que tous les autres fassent appelà luipour êtrerésolus entemps polynomial.

2.2.2 Le théorème de l'Impossibilité

Ilestintéressantdeproposerunseuild'inapproximabilitépourn'importe quel algorithme appro hé. Pour obtenir e seuil (ou borne inférieure d'ap-proximation), nousutilisonslerésultat de

N P

- omplétude lorsquele ritère d'optimalité estégalà une onstante.

Théorème 2.2.1 (Théorème de l'impossibilité [50℄ et [67℄) Étant donné un problème d'optimisation ombinatoire

Π

dont la fon tion obje tif est à valeurentière et soit un entier

c

. Si le problème de dé ision asso ié à

Π

et à la valeur

c

est

N P

- omplet alors nous ne pouvons pas espérer avoir une heuristique

3

pourleproblème d'optimisation

Π

ayantunratio 4 inférieur à

c+1

c

. Preuve

Nousnoterons par

OP T (I)

lavaleur d'unesolution optimalepour l'ins-tan e

I

. Si nous supposons qu'il existe un tel algorithme

A

, alors par ontradi tion nous montrerons que elui- i peut-être utilisé pour dé ider si

OP T (I)

_{≤ c}

en temps polynomial. En eet, nous supposons que l'algo-rithme

A

estunalgorithme

ρ

appro hépour leproblèmed'ordonnan ement ave

ρ <

c+1

c

:

 Si

A(I) < c + 1

alors

OP T (I)

≤ c

etlaréponseestouioù

A(I)

désigne lavaleur del'obje tif surl'instan e

I

àpartir de l'algorithme

A

.  Si

A(I)

≥ c + 1

alors

OP T (I) > c

ar

A(I)

c+1

<

OP T

(I)

c

(par hypothèse, nousavonsun algorithme

ρ

-appro hé). La réponseest don non. Don l'algorithme

A

dé ide orre tement si

OP T (I)

≤ c

,etdon

N P =

P

.



3

Nous appelonsheuristiqueun algorithme qui fournitrapidement (entemps polyno-mial)unesolutionréalisablepasné essairementoptimale

4

La onséquen e de e théorème est double : il permet d'une part de proposer un seuil d'approximation etd'autre part, il garantit qu'il n'existe pasde s héma d'approximation polynomiale.

5

2.2.3 Les limites de l'approximation : la te hnique du  gap 

La

T uring

-rédu tion ( elle que nous utiliserons par la suite (voir Pa-s hos[128℄)pour une dénitionexpli ite desdeux typesde rédu tions las-siques Karp et Turing)) divise les valeurs d'un problème d'optimisation en deux sous-ensembles de valeurs distin tes. L'undeux est onstitué des ins-tan espourlesquelleslaréponseestouiet l'autrepour lesquelleslaréponse estnon. Nous utiliserons ette te hnique de séparation desvaleursen deux sous-ensembles pour établir un seuil d'approximation pour n'importe quel algorithme. Ce théorème permet d'utiliser un résultat obtenu sur un pro-blème de dé ision, pour dériver une borne inférieure d'approximation pour leproblèmed'optimisation asso iéau problèmede dé ision.

Théorème2.2.2 Soit

Π

′

unproblème dedé ision

N P

- ompletetsoit

Π

un problèmed'optimisationdontla fon tionobje tiveest laminimisation.Nous supposonsqu'ilexiste deuxfon tionspolynomiales

f : I

Π

′

→ I

Π

(où

I

Π

(resp.

I

Π

′

) désigne l'ensemble des instan es de

Π

(resp. de

Π

′

) et

d : I

Π

′

→ IN

et une onstante

gap > 0

telleque, pour haque instan e

x

de

Π

′

,

S

∗

(f (x)) =



d(x)

si

x

admet une réponsepositive

d(x)(1 + gap)

sinon

où

S

∗

désigne une solutionoptimale.

Alors il n'existe pas d'algorithme

r

-appro hé pour le problème

Π

ave

r < 1 + gap

,sous l'hypothèse que

P 6= N P

.

Preuve

Supposonsqu'ilexisteunalgorithme

r

-appro hé

A

ave

r < 1+ gap

pour leproblème

Π

.Soit

S

lasolutiondonnéeparl'algorithme

A

.Cet algorithme pourraitêtre utilisé pour résoudrele problème

Π

enun temps polynomial.

Prenons une instan e

x

∈ Π

′

, nous al ulons

f (x)

, et nous appliquons l'algorithme

A

à

f (x)

.Nousdevons distinguer lesdeux assuivants:

5



x

estuneinstan edontlaréponseestnégative.Parhypothèse,dans e as,

S

∗

_{(f (x)) = d(x)(1 + gap)}

, etdon ,

S(f (x), A(f (x)))

6

≥ d(x)(1 +

gap)

ave .



x

est une instan e dont la réponse est positive. Dans e as sa hant que

A

estun algorithme

r

-appro hé, nousavons :

S(f (x), A(f (x)))

S

∗

_{(f (x))}

≤ r < 1 + gap

Par hypothèse,

S

∗

_{(f (x)) = d(x)}

, alors

S(f (x), A(f (x))) < d(x)(1 +

gap)

.

Ainsi,

x

est une instan e positive de

Π

′

si et seulement si

A(f (x)) <

d(x)(1 + gap)

, et

A

pourrait être utilisé pour résoudre le problème

Π

′

en un temps polynomial. Sa hant que

Π

′

est un problème

N P

- omplet, e i

impliquerait que

P = N P

.



.

Nousverrons dansla se tion suivante, que nouspouvons(dans ertains as) déterminer d'une borne supérieure d'approximation pour une heuris-tique

h

.ainsi, nouspouvonsproposer (siun seuilest possible)unintervalle

[ρ

1

, ρ

2

]

(ave

ρ

1

(resp.

ρ

2

) une borne inférieure (resp. supérieure) qui en- adre laqualité d'unesolutionappro hée. Lebut étant de minimiser l'é art

|ρ

2

− ρ

1

|

.Anoterquelorsqu'ilexisteunalgorithmeappro héayant une per-forman erelative

ρ

2

telque

ρ

1

= ρ

2

,alorsnousappellerons etalgorithmeun algorithmeabsolu.Nouspouvons iterdeuxalgorithmesabsolus on ernant le problème de la oloration desarêtes

7

etle se ond porte sur leproblème du

k

- entre.

8

6

S(f (x), A(f (x)))

indiquelavaleurd'unesolutionpouruneinstan e

f (x) ∈ Π

obtenue parl'utilisationdel'algorithme

A

appliquéàl'instan e

f (x) ∈ Π

7

Instan e :Soitungraphe

G = (V, E)

nonorienté.

Question: Est- equenouspouvons olorierlesarêtestelquedeuxarêtesadja entes admettentdes ouleurs diérentes.Lenombrede ouleursné essaire àla olorationdes arêtesdugraphes'appellel'indi e hromatique.

Il est possible de montrer que dé ider si un graphe possède un indi e hromatique égal à trois est

N P−

omplet (même si le graphe admet un degré au plus trois, voir [90 ℄).L'utilisationduthéorèmedeVizing(voir[94 ℄)permetdedévelopperunalgorithme d'approximationutilisantauplus

k + 1

ouleurs

8

Instan e :Soient

V

un ensemblede

n

sites,

D

une matri e où

d

ij

est ladistan e entrelessites

i

et

j

,

k ∈ IN

et

∀i, j, k, d

ij

≤ d

ik

+ d

kj

.

Question: Trouver

S ⊆ V

,ave

|S| = k

,quiminimise

max

v

{dist(v, S)}

où

dist(i, S) =

min

j∈S

(d

ij

)

.

Ilestpossiblede onstruireungraphe

G

′

,viaunetransformationpolynomialeàpartir d'ungraphe

G

duproblèmeensembledominant(voir[15 ℄)telleque

G

′

admetun

k

- entre pourlequel

d

ij

= 1, ∀{i, j} ∈ E

sietseulementsi

G

admetunensembledominantdetaille

2.3 Quelques rappels en théorie de l'approximation

2.3.1 Sur la né essité de ompléter la lassi ation des pro-blèmes

La théorie de la omplexité s'intéresse à la lassi ation des problèmes ombinatoiresselonladi ultédetrouverunesolutionoptimale.Cependant, nous devons ompléter et aner ette lassi ation pour une étude sur la possibilitéde trouver etévaluer une solution appro hée : 'estla théoriede l'approximation. Anerla lassi ation estné essaireetfondamentale pour une bonne ompréhension des problèmes d'optimisation ombinatoire. En eet, onsidérons lesdeux problèmes lassiquessuivants:

 leproblème du stable 9

et,

 leproblème de la ouverture de sommets 10

Ces deux problèmes appartiennent à la lasse des problèmes

N P

-di iles.Cependant,dupointdevuedel'approximation esdeuxproblèmes sont diamétralement opposées. En eet, il est onnu que le problème du stablede taillemaximumn'est pasapproximable,tandis queleproblèmede la ouverture sommetappartientàla lasseAPX(les dénitionsdes lasses d'approximation sont données i-dessous). Ainsi, le omportement on er-nant la détermination de la qualité de la solution appro hée peuvent être très diérentes pour deux problèmes

N P

- omplets. Cet exemple est d'au-tant plus saisissant sa hant qu'il existe une transformation polynomiale de l'unàl'autreetré iproquement.Cetexempleillustrebienl'intérêtd'étudier unproblème ombinatoire dupoint devue delathéorie dela omplexité et del'approximation.

2.3.2 Mesure de la qualité d'une solution appro hée

Ilestné essaired'utiliserun ritèrequimesurelaqualitéd'unalgorithme appro hé ou qui donne le seuil d'approximation pour un problème. Nous

k

sinon

d ≥ 2

. Nous pouvonsdévelopperun algorithme

2

-appro hé en sebasant surle graphe arré

G

2

danslequelnous her honsunensembleindépendantdetaillemaximale. (voir[171 ℄).

9

Instan e :Ungraphe

G = (V, E)

nonorienté Question: Trouverunsous-ensemble

V

′

⊆ V

telque

∀x, y ∈ V

′

,

l'arête

[x, y] /

∈ E

,et

V

′

estmaximum 10

Instan e :Ungraphe

G = (V, E)

nonorienté Question: Trouverunsous-ensemble

V

′

⊆ V

telquepour haquearête

[x, y] ∈ E

alors

x ∈ V

′

ou

y ∈ V

′

,ou

x, y ∈ V

asso iéeà une heuristique

h

noté

ρ

h

omme ritère pour mesurerlaqualité. Cette valeur estdénie ommeétant lemaximumsur toutes lesinstan es

I

entrelavaleurd'obje tifmaximale fourniepar l'algorithme

h

(notée

A

h

_(I)

) etlavaleur d'obje tif optimale (notée

OP T (I)

), 'est-à-dire

ρ

h

_{= max}

A

h

_(I)

OP T

(I)

.

I

Nousavons demanière évidente que

ρ

h

_{≥ 1}

pour les problèmes de mini-misation (resp.

ρ

h

_{≤ 1}

pour les problèmes demaximisation).

Laperforman erelativeasso iéeàuneheuristique

h

mesurel'é art maxi-mum entre la valeur donnée par la solution proposée par l'heuristique

h

, pourunefon tion obje tivedonnée,etlavaleurdonnéepar unesolution op-timale. Les deux prin ipales fon tions obje tives à minimiser dansle adre des problèmes d'ordonnan ement sont letemps d'a hèvement maximumou la longueur de l'ordonnan ement, et la somme des temps de omplétude maximum.

Ilexiste uneautre mesureappelée mesurediérentielle[128 ℄, nous l'évo-querons dansla on lusion.

2.3.3 Approximation à rapport dépendant de l'instan e

Lesrapportsdépendantsde l'instan esont souvent desfon tionssoit de la taille même de l'instan e d'un problème, soit d'un autre paramètre de ette instan e (parexemple,ledegré, maximumou moyen,d'ungraphe).

1. Log-APX,la lassedesproblèmesadmettantunalgorithmeappro hé à rapport lassiquelogarithmique enlataille del'instan e. La ouver-ture d'ensembleappartient à ette lassed'approximation.

2. Poly-APX,la lassedesproblèmesadmettantunalgorithmeappro hé garantissant unrapportqui estpolynomialen lataille de l'instan e.

3. APX, la lasse des problèmes approximables à rapport lassique onstant, si et seulement s'il existe un algorithme polynomial appro- hé

A

pour un problème

Π

et une onstantexée

r

∈ IR

+

tels que le rapportd'approximation lassique de

A

est borné par

r

.

4. PTAS Un s héma polynomial d'approximation (polynomial-time ap-proximation s heme) pour un problème

Π

est une famille de d'algo-rithmes polynomiaux. Un problème

Π

est dans la lasse PTAS si et

seulement si il admet un s héma d'approximation lassique dont la omplexité est polynomiale en la taille de l'instan e (mais pouvant être exponentielle en

1/ǫ

).

5. FPTAS Un s héma pleinement polynomial d'approximation (fully polynomial-time approximation s heme) pour un s héma d'approxi-mationde omplexité polynomiale àlafoisen lataillede l'instan eet en

1/ǫ

. Un problème

Π

est dansla lasse FPTAS siet seulement s'il admetuns hémad'approximation lassique omplètementpolynomial.

2.4 Méthodologies

2.4.1 Les méthodes énumératives

Dans ette partie, nousrappellerons lesprin ipes de ertaines méthodes énumératives les plus lassiques. Pour des ompléments sur es méthodes, nousrenvoyons lele teurauxlivressuivants[47℄ et[151 ℄.

2.4.1.1 Programmation dynamique

Laprogrammationdynamiqueestunparadigmede on eptionintroduit danslesannées

50

parBellman.Unesolutiond'unproblèmedépenddes solu-tionspré édentes obtenuesdes sous-problèmes. Lessous-problèmes peuvent être en intera tions 'est-à-dire un sous-problème peut être utilisé dans la solutionde deuxsous-problèmesdiérents.

Si la programmation dynamique est appliquée à un problème ombina-toire,alors dans lebut de al uler lavaleur optimale du ritère àoptimiser pour n'importe quel sous-ensemble de taille

z

, nous devons dans un pre-mier temps déterminer la valeur optimale pour haque sous-ensemble de taille

z

− 1

. Ainsi, si notre ensemble est ara térisé par un ensemble de

n

éléments,lenombre de sous-ensembles étudiésestauplus

2

n

.Ce iimplique quelesalgorithmesutilisantlaprogrammationdynamiqueadmettentaupire une omplexité exponentielle. Cependant, pour les problèmes

N P

- omplets (pas au sens fort

11

), il est possible de onstruire des algorithmes pseudo-polynomiaux pouvant être résolus de manière e a e ave desinstan es de taillesraisonnables.

11

Nous rappelonsqu'un problèmeest dit

N P

- ompletausensfort,si leproblème est

N P

- omplet à ause de sa stru ture et non pas à ause de sa taille des nombres qui apparaissent danssesinstan es, 'est-à-dire,ilest

N P

- omplet mêmesil'on serestreint auxinstan esoùleplusgrandnombreestpolynomialementborné

dynamique le al ul d'un plus ourt hemin entre deux sommets dans un graphe valué orientésans ir uit.

Si

µ = x

0

x

1

. . . x

k

ave

x

0

= s

et

x

k

= t

estun plus ourt hemin de

s

à

t

,alors

x

0

x

1

. . . x

k

−1

est unplus ourt hemin de

s

à

x

k

−1

.

d

k

(i) = min

{d

k

−1

_{(i), min}

v

_∈Γ

−

_(i)

{d

k

−1

_{(v) + w}

vi

}}

ave

d

k

_(i)

désigne la valeur d'un plus ourt hemin à l'itération

k

pour lesommet

i

.Le tableau suivant donne lesvaleurs

d

k

_(i)

pour legraphede la gure 2.1.

3

2

4

6

5

7

1

25

16

35

12

8

19

14

17

22

14

15

9

Fig. 2.1Problèmed'unplus ourt hemin

Itérations

\

Sommets 1 2 3 4 5 6 7 0 (1,0) (.,

∞

) (.,

∞

) (.,

∞

) (.,

∞

) (.,

∞

) (.,

∞

) 1 (1,0) (1,16) (1,9) (1,35) (.,

∞

) (.,

∞

) (.,

∞

) 2 (1,0) (1,16) (1,9) (3,24) (2,41) (3,31) (4,54) 3 (1,0) (1,16) (1,9) (3,24) (4,38) (3,31) (4,43) 4 " " " " " " " Pour une olonne

z

,dans ouple

(x, y)

,leparamètre

x

indique le prédé- esseurpouratteindre

z

,etleparamètre

y

indique lavaleurd'unplus ourt hemin entre l'origine et le sommet

z

. Le ouple

(.,

∞)

dans une olonne

z

stipule que le sommet

z

n'est pas atteignable depuis l'origine. Lorsque deux lignes onsé utives sont égales lepro essus s'arrête. Le prin ipe de la programmation dynamique permet de résoudre via un algorithme pseudo-polynomial le problème d'ordonnan er un ensemble de

n

tâ hes indépen-dantes sur deux pro esseurs identiques. Ce prin ipe a été utilisé dans [11℄ pour prouver (dans le modèle à ommuni ations hiérar hiques, voir le ha-pitre 5) l'existen e d'un algorithme polynomial pour un problème sur

M

lusters onstitués ha un de

m

pro esseurs.

2.4.1.2 La méthode de séparation et d'évaluation

La méthode d'évaluation et de séparation ( Bran h and Bound ), est uneméthode génériquepour résoudredemanièreexa telesproblèmes d'op-timisation ombinatoire.C'estuneméthoded'énumérationimpli ite:toutes les solutions possibles du problème peuvent être énumérées (la séparation permetd'obteniruneméthodegénériquepourénumérertouteslessolutions), maisl'analysedes propriétés du problèmepermetd'éviter l'énumération de larges lasses de mauvaises solutions (l'évaluation évite l'énumération sys-tématique de toutes les solutions). Ainsi, dans une bonne appli ation de l'algorithme de séparation et d'évaluation, seules les solutions potentielle-ment bonnes sont don énumérées. Nous pouvons iter omme appli ation de ette méthode);larésolution duproblèmed'ordonnan er, surun pro es-seur unique, une ensemble de tâ hes indépendantes de durées quel onques soumises à des dates de disponibilité et de n impérative. Le ritère d'op-timalitéest laminimisation de lalongueur de l'ordonnan ement (voir[16 ℄). Nous onseillonslesréféren essuivantespourl'appli ationde ette méthode auxproblèmes d'ordonnan ement ([16℄,[50℄, [133℄).

2.4.1.3 La programmation par ontraintes

UnCSP(Problème de Satisfa tionde Contraintes) estunproblème mo-délisé sous la forme d'un ensemble de ontraintes posées sur des variables, ha une de es variables prenant ses valeurs dans un domaine (i.e. un en-semble de valeurspossibles).Le domaine d'une variable peut-être un inter-valledenombresentiers,intervalled'ensemblesparexemple ou ontinu.Une ontrainte implique une ou plusieurs variables, et restreint les valeurs que peuvent prendre simultanément es variables. Ainsi, trouver une solution à un problème ombinatoire modélisé par la programmation par ontraintes onsiste à dé ider s'il existe ou non une ae tation de toutes les variables telleque l'ensemble des ontraintes du problème soient satisfaites. Le prin- ipe de la programmation par ontraintes est appliqué au problème d'or-donnan ement ave ontraintes disjon tives qui est une généralisation na-turelle des problèmes d'ordonnan ement du type job-shop ou open-shop. Nous onseillonsla le turedeslivressuivants quitraitent del'utilisation de laprogrammation par ontraintes appliquée à divers problèmes d'optimisa-tions ombinatoires etenparti ulierlesproblèmesd'ordonnan ement [16 ℄et [144 ℄.

L'appro he polyédrale des problèmes ombinatoires est l'une des prin- ipales, et satisfaisante appro he pour l'analyse, la ompréhension et la ré-solution desproblèmes d'optimisation ombinatoire. L'étude desenveloppes onvexes des ve teurs ara téristiques asso iés aux solutions réalisables de problèmes parti uliers aouvert laporteà lathéorie polyédrale et aux te h-niques de la programmation linéaire. La plupart des problèmes d'optimisa-tionpeuvents'é riresousformed'unprogrammelinéaireennombresentiers. La méthode lassique (enutilisant une appro he polyédrale) pour résoudre des problèmes d'optimisation lassés

N P−

di iles onsiste à proposer une  bonne solution via la relaxationdu programme linéaire en nombres en-tiersmodélisant leproblèmed'optimisation ombinatoire. Ensuite, su essi-vement des inégalités sont rajoutées qui sont valides pour toutes les points du polyèdre mais qui ne sont pas satisfaites par la solution optimale ou-rante(donnée par larelaxation duprogramme linéaire en nombres entiers). A haqueitération,silasolutionoptimaleestréalisable,leproblèmede sépa-ration (voir [78℄)pour la solution optimale ourante et l'enveloppe onvexe des points réalisables est résolu. Dans le as ontraire, une inégalité violée (un plansé ant), quiestvalide pour lespointsdu polyèdre, estdéterminée. La méthode debran hand utreposesurl'utilisationdesplanssé ants. Con ernant l'appro he polyédrale,appliquéeauxproblèmes d'ordonnan- ement (détermination desenveloppes onvexesreprésentant l'ensemble des ontraintes), nous pouvons iter les travaux de Queyranne et S hulz (voir [116℄, [134 ℄,[135 ℄, [136 ℄,[148 ℄,[149 ℄).

2.4.2 Les heuristiques et les algorithmes appro hés

Lesproblèmesd'ordonnan ementappartiennentàla lassedesproblèmes ombinatoires.Danslebutderésoudre esproblèmes,ilestpossiblede déve-lopperdesalgorithmes d'optimisation qui détermine une solution optimale. Pourtant, pour la grandemajorité desproblèmes en ordonnan ement, ilest impossible de trouver en temps raisonnable une solution optimale. Dans e as, ilestpossible d'utiliserdesheuristiques(algorithmes donnantune solu-tion sous-optimalemaisayant unefaible omplexité).

2.4.2.1 Les algorithmes appro hés ave garantie de performan e

Les algorithmes appro hés sont très populaires, il sut de onsulter la très nombreuse littérature, et reste une bran he très a tive de lare her he enalgorithmique. L'intérêt des algorithmesappro hés ave garantie de per-forman esréside dans lefait qu'il admettent une solution proposée, par un algorithme polynomial de faible omplexité pas trop éloignée (soit dans le sensdupire as,soit enmoyenne)d'unesolution optimale.Lathéorie d'ap-proximation est brièvement présenté au hapitre 2. De nombreux résultats ontétéobtenus ommeentémoignelalittératureabondante(nousrenvoyons auxlivresgénérauxsurl'ordonnan ement [16℄,[50℄,[133 ℄,

. . .

)

2.4.2.2 Les heuristiques de re her he lo ale

Les méthodes de re her he lo ales sont très nombreuses, et nous pou-vons iterquelquesméthodes(les détailsetles for esetfaiblessesde haque méthodesne seront détaillésdans e manus rit) :

 leré uitsimuléestnéd'uneanalogieentrel'optimisation ombinatoire etlathermodynamique;

 lare her he tabou estuneméthodequi onsisteà sedépla erde solu-tion en solution en s'interdisant de revenir en une onguration déjà ren ontrée.

 le on ept des algorithmes génétiques est une heuristique basée sur l'analogieave lepro essusd'optimisationde l'évolution dela popula-tion d'individus

 les olonies defourmis,

. . .

 et bien sûr les méthodes hybrides, 'est-à-dire qui ombinent les plu-sieurs méthodes.

Leurs utilisations pour résoudre des problèmes en ordonnan ement ouvrent un large spe tres de problèmes (Job-shop, problèmes ave ontraintesde ressour es

. . .

).Nousrenvoyonslele teuràdesouvrages spé- ialiséssurles méthodes dere her he lo ale.

2.5 Liste des problèmes

N P

- omplets

Dans ette partie, nous présentons la liste des problèmes

N P

- omplets quenousavonsutiliséslors desdiérentes rédu tions (voir [67℄).

2.5.1 Le problème

SAT

Instan e du problème

SAT

:

 Soit

V = {x

1

, . . . , x

n

}

un ensemble de

n

variables booléennes et

V =

¯

{¯x

1

, . . . , ¯

x

n

}

l'ensemble des variables logiques omplémentaires ave

x

i

∈ V

.

 Soit

C = {C

1

, . . . , C

m

}

une olle tion de lauses sur

V

.

Question:Existe-t-il

I :

V → {0, 1}

uneae tationdevaleursde vérité auxvariablestelleque haque lause

C

i

dans

C

ontienneaumoinsunlittéral mis à vraipar

I

?Noussavonsque leproblèmeest

N P

- omplet [67℄. 2.5.2 Le problème

3SAT

Leproblème

3SAT

estunevariantede

SAT

pourlaquellelalongueurde haque lause estde trois.

2.5.3 Le problème

M onotone

-

one

-

in

-

3SAT

Instan e du problème

M onotone

-

one

-

in

-

3SAT

:

 Soit

V = {x

1

, . . . , x

n

}

un ensemblede

n

variablesbooléennes.

 Soit

C = {C

1

, . . . , C

m

}

une olle tionde lausessur

V

telleque haque lause estde taille troiset ontient seulement desvariablespositives Question:Existe-t-il

I :

V → {0, 1}

uneae tationdevaleursde vérité aux variables telle que haque lause

C

i

dans

C

ontienne exa tement un littéralmis àvraipar

I

?Noussavonsqueleproblèmeest

N P

- omplet [67℄. 2.5.4 Le problème

One

− In − (2, 3)SAT (2, ¯1)

Instan es du problème

One

− In − (2, 3)SAT (2, ¯1)

noté

P

1

dans la suite :

 soit

V = {x

1

, . . . , x

n

}

un ensemble de variables logiques et

V =

¯

{¯x

1

, . . . , ¯

x

n

}

l'ensemble des variables logiques omplémentaires ave

x

i

∈ V

.

 soit

C = {C

1

, . . . , C

j

, C

j+1

, . . . , C

q

}

unensemblede lausesoù

∀i, 1 ≤

i

_{≤ j, C}

i

⊂ (V × ¯

V)

et

∀k, (j + 1) ≤ k ≤ q, C

k

⊂ (V)

3

telque haque variable

x

i

de

V

apparaît dans

C

deux fois positivement et une fois négativement ave d'unepart:

∀x

i

∈ V,

occ(x

i

; C

k

1

) = 1

et

occ(x

i

; C

k

2

) = 1, 1

≤ k

1

≤ j, j + 1 ≤ k

2

≤ q

et d'autre part, si

x

i

∈ C

k

et

x

¯

i

′

∈ C

k

, 1

≤ k ≤ j,

alors

x

i

∈

C

k

m

et

x

i

′

∈ C

k

l

,

ave

k

m

6= k

l

et

j + 1

≤ k

m

, k

l

≤ q

.

La fon tion

occ(x, C)

désigne lenombred'o urren esde lavariable

x

dansla lause

C

.

Question : Existe-t-il

I :

V → {0, 1}

une ae tation de valeurs de vérité auxvariablestelleque haque lause

C

i

ontienneexa tementunlittéralmis àvraipar

I

?Parabusdelangage,unetelleae tationseraditesatisfaisante pour ladonnéedu problème

P

1

.

Exemple:pourillustreruneinstan eduproblème

One

-

In

-

(2, 3)SAT (2, ¯

1)

, nous onsidérons laformule logique suivante:

(¯

x

0

∨ x

3

)

∧ (¯x

3

∨ x

0

)

∧ (¯x

4

∨

x

2

)

∧ (¯x

1

∨ x

4

)

∧ (¯x

5

∨ x

1

)

∧ (¯x

2

∨ x

5

)

∧ (x

0

∨ x

1

∨ x

2

)

∧ (x

3

∨ x

4

∨ x

5

)

.Pour etteinstan e, laréponsei iestoui, arilsutquelesvariables

x

0

et

x

3

s'évaluentàvraietlesautres àfaux.L'instan epré édenteproposée estlapluspetiteinstan epossible entermede taille.

2.5.5 Le problème de la lique maximum

Instan e :Soit

G = (V, E)

un graphe, soit

k

unentier Question:Est- equ'ilexisteunsous-graphe

G

′

_{= (V}

′

_{, E}

′

₎

dans

G

ave

G

′

estune lique et

|V

′

_{| = k}

?

2.5.6 Le problèmed'unsous-ensembleindépendantéquilibré dans un graphe biparti

Instan e : Soit un graphe

B = (X

S Y, E)

ave

|X| = |Y | = n

non orienté, bipartietéquilibré etunentier

k

.

Question :

Est- e-qu'il ya danslegraphe

B

,un ensemble de

2k

sommets indépen-dantsdont

k

appartiennent à

X

et

k

à

Y

?

2.5.7 Le problème

3

-partition

Instan e :Unensemble

Q =

{e

1

, . . . , e

3q

}

ave :

X

e

i

∈Q

e

i

= qE

et

E/4 < e

i

< E/2

pourtout

i

.

Question : Peut-on partitionner

Q

en

q

sous-ensembles

Q

1

, . . . , Q

q

ave :

X

e

i

∈Q

j

Sionaune solutionà

3

-Partition,alorsona,dufaitdel'inégalité

E/4 <

e

i

< E/2

,

|Q

j

| = 3

pour tout

j

.

Par lasuite, onpourrasupposer que

e

i

≤ · · · ≤ e

3q

. 2.5.8 Le problème partition en triangles

Instan e :Soit

G = (V, E)

un graphe, ave

|V | = 3q, q ∈ IN

.

Question:Lessommetsde

G

peuventilsêtrepartionnésen

q

ensembles

V

1

, V

2

, . . . , V

q

, ha un ontenant exa tement trois sommets, et telque pour haque

V

i

=

{u

i

, v

i

, w

i

}, 1 ≤ i ≤ q

,lestroisarêtes

{u

i

, v

i

}, {v

i

, w

i

}

et

{u

i

, w

i

}

appartiennent à

E

?

3

Dénition, analyse et

lassi ation des

pro-blèmes

d'ordonnan e-ment

Dans e hapitre, nous allons introduire les notions basiques utilisées dans la théorie de l'ordonnan ement statique. Nous ommen erons par la notiondetâ hes,d'environnementdepro esseursetles ritèresd'optimalité. Nous poursuivrons par la notion de granularité, de graphe de pré éden e valué. Nouspré iserons l'appro he quinousaguidépourrésoudreles divers problèmes d'ordonnan ement. Nous nirons par donner la notation à trois hamps

(α

|β|γ

), dont lepremier on erne l'environnement despro esseurs, lese ondles ara téristiquesdestâ hesetletroisièmele ritèred'optimalité.

Ce hapitre esttrès largement inspirépar [16℄.

3.1 Dénition des problèmes d'ordonnan ement

3.1.1 Des ription des tâ hes

Dans la littérature, en général (nous adopterons ette dénition dans la suite), les problèmes d'ordonnan ement se dé linent de la manière sui-vante

1

: nous disposons de deux ensembles

T = {T

1

, . . . , T

n

}

de

n

tâ hes,

P = {π

1

, . . . , π

m

}

de

m

pro esseurs. L'ordonnan ement onsiste à ae ter l'ensemble

T

des tâ hes, soumises à des ontraintes imposées, à l'ensemble des pro esseurs

P

. Il existe en général deux ontraintes en théorie de l'or-donnan ement :

1

Nous avons omis l'ensemble des ressour es à l'exé ution d'une tâ he pour ne pas alourdir d'une part la présentation, etd'autre part dans lereste de e manus rit nous onsidéronsdesmodèlespourlesquelsl'utilisationderessour essupplémentairesn'estpas prisen ompte.

 haque pro esseur est apable d'exé uter au plus une tâ he à haque instant,

 haquetâ henepeut-êtreexé utéequ'auplusparunseulpro esseur 2

.

3.1.2 Environnement des pro esseurs

Maintenant ara térisonsles pro esseurs.Ilspeuventêtre soitparallèles, exé utant les mêmes fon tions, soit dédiés i.e. spé ialisés pour l'exé ution de ertaines tâ hes. Lestrois typesde pro esseurs de ma hines parallèles se distinguentparleursvitessesdetraitementdestâ hes.Sitouslespro esseurs de l'ensemble

P

admettent la même vitesse de traitement, nousdirons que lespro esseurssontidentiques.Siles vitessesdetraitementsdespro esseurs dièrent, mais haque vitesse

b

i

(fa teur d'a élération du traitement de la tâ he) de haque pro esseur est onstant et ne dépend pas de la tâ he à exé uter, alors nous dirons que les pro esseurs sont uniformes. En dernier lieu,silesvitessesdespro esseursdépendentdestâ hesàordonnan er,nous dironsque lespro esseurs de lama hineparallèle sont généraux.

Dansle asoùlelespro esseurssontdédiés,nouspouvonsprésentertrois modèles:flow shop, open shopetjob shop.Nousrenvoyonslespersonnes intéressées pour es troismodèles àlale turedeslivres[16℄,[99 ℄, [133 ℄.Ces troismodèles n'étant pasétudiés dans ettethèse, ilsne seront pasdé rits.

Engénéral,une tâ he

T

j

∈ T

est ara tériséepar lesdonnées suivantes: 1. un ve teur de temps d'exé ution

p

j

= [p

1j

, p

2j

, . . . , p

mj

]

T

, où

p

ij

dé-signeletempsné essaireaupro esseur

π

i

d'exé uter

T

j

.Dansle asoù tous lespro esseurs sont identiques,nousavons

p

ij

= p

j

, i = 1, . . . , m

. Si les pro esseurs de

P

sont uniformes, nous avons

p

ij

= p

j

/b

i

, i =

1, . . . , m

où

p

j

représentelavitesse d'exé utionstandard et

b

i

fa teur d'a élération dutraitement de latâ he par lepro esseur

P

i

.

2. une date de disponibilité, notée

r

j

, qui désigne la date à partir de laquellelatâ he

T

j

estprêteàêtreexé utée. Silesdatesde disponibi-lités sontéquivalentes pour toutesles tâ hesde

T

,alorsnouspouvons supposer que

r

j

= 0,

∀j

.

3. une dated'é héan e

d

j

,quispé ieladatelimite(souhaité) àlaquelle la tâ he

T

j

devra êtreexé utée.

2

Dans ertainsmodèleshiérar hiquesdutypetâ hesmodelablesoumalléables[39 ,57℄, unetâ hepeuts'exé utersurplusieurspro esseurs(les ommuni ationssontintégréesdans laduréed'exé utiondes tâ hes). Cependant laduréedépenddu nombredepro esseurs exé utant ettetâ he.

4. une datede n impérative

˜

d

j

, date à laquelle latâ he

T

j

devra avoir nisonexé ution.

5. unpoids(priorité)

w

j

,qui représente l'urgen erelative delatâ he

T

j

. Danstoutelasuite,noussupposeronsquelesparamètres liésauxtâ hes

p

j

, r

j

, ˜

d

j

, d

j

et

w

j

sont desentiers.

Unordonnan ement estditpréemptif si haquetâ he peut-être préemp-tée (interrompue) à n'importe quel moment et son exé ution peut-être re-prise également à n'importe quel moment. Si la préemption des tâ hes est interdite, nousdirons que l'ordonnan ement est non-préemptif.

Lestâ hes de

T

àexé uter sur les pro esseurs de

P

peuvent être dupli-quées. En eet, dansle but de réduire l'inuen e desdélais de ommuni a-tion (voir i-après), dans le as où la dupli ation des tâ hes est autorisée, des opies de tâ hes peuvent être produites. Noussupposerons par lasuite, queles tâ hesoriginelles etleurs opies admettent unemême datede début d'exé ution.

Sur l'ensemble des tâ hes

T

, des ontraintes de pré éden e peut-être dénies.

T

i

≺ T

j

signiequelatâ he

T

j

ne pourra ommen ersonexé ution que si latâ he

T

i

a nila sienne.En d'autres termes, nous pouvonsdénir sur l'ensemble

T

une relation de pré éden e donnée par

≺

. Les tâ hes de l'ensemble

T

sontditesdépendantessiaumoinsdeuxtâ hesde

T

admettent un relation de pré éden e. Dans le as ontraire, nousdirons que lestâ hes sontindépendantes.Lestâ hessoumisesàdesrelationsdepré éden e,seront représentés par un graphe orienté (valué ou non, selon la présen e ou non dedélaisde ommuni ation)oùlessommets orrespondentauxtâ hesetles ar s les ontraintes de pré éden e. Nous supposerons que nous n'avons pas d'ar transitifdanslegraphe depré éden e.

Unetâ he

T

j

estditedisponibleàl'instant

t

si

r

j

≤ t

etsitous es prédé- esseurs (enrespe tant les ontraintes depré éden e)ontnileurexé ution avant l'instant

t

.

3.1.3 Critères d'optimalité

Maintenant, nous donnons les dénitions on ernant les ordonnan e-ments et les ritères d'optimalité. Un ordonnan ement est une ae tation des tâ hes de

T

sur les pro esseurs de

P

telles que les onditions suivantes soient satisfaites :

 à haque instant un pro esseur exé ute au plus une tâ he et haque tâ he estexé utée par unseul pro esseur,

 toutes les tâ hessont ordonnan ées.

 si deuxtâ hes

T

i

et

T

j

admettent unerelation de pré éden e

T

i

≺ T

j

, alors la tâ he

T

j

ne peut ommen er son exé ution qu'après la n d'exé ution de

T

i

.

 dansle asd'ordonnan ementsnon préemptifs,au unetâ he ne peut-être interrompue. Dansle as ontraire, lenombredepréemptions est ni.

 dansle asoùla dupli ation estnon autorisée,au unetâ he ne peut-êtredupliquée.Dans le as ontraire, noussupposeronsquelenombre de opies d'unetâ he est ni.

Pour représenterlesordonnan ements, nousutiliseronsundiagrammede Gantt.Unexempled'utilisationdudiagrammedeGanttestdonnéàlagure 3.2.Dans ette gure,nousavonsànotredispositiontroispro esseurs iden-tiques surlesquels nousdevons exé uter un ensemble de huit tâ hes, ayant desduréesdiérentes,soumisesàdes ontraintes depré éden edonnéespar lagraphedepré éden ede lagure3.1.Dans ettegureles valuations sur unsommet

x

orrespondentàsontempsd'exé utionsurunpro esseur.Pour haque tâ he

T

j

, i = 1, . . . n

exé utée dansunordonnan ement donné, nous pouvons al uler lavaleurde haqueparamètre suivant :

 letempsde omplétionnoté

C

j

= t

j

+p

j

où

t

j

désigneladatededébut d'exé ution delatâ he

T

j

,

 letemps d'attente

F

j

= C

j

− (r

j

+ p

j

)

,  leretard algébriquenoté

L

j

= C

j

− d

j

,  leretard absolue

D

j

= max

{C

j

− d

j

, 0

}

,  l'avan edelatâ he

E

j

= max

{d

j

− C

j

, 0

}

,

Pour illustrer es notions, nous utiliserons l'ordonnan ement donné par la gure 3.2. Nous pouvons fa ilement al uler le ve teur

C

, nous obte-nons

C = [3, 4, 5, 6, 1, 8, 8, 8, 8]

. De plus, si nous ajoutons le ve teur sui-vant pour les dates é hues

d = [5, 4, 5, 3, 7, 6, 9, 12]

, nous pouvons al uler lesve teurs

L

,

D

et

E

.Ainsi,nousobtenons

L = [

−2, 0, 0, 3, −6, 2, −1, −4]

,

D = [0, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 0]

et

E = [2, 0, 0, 0, 6, 0, 1, 4]

.

Pour évaluer lesordonnan ements, nouspouvonsutiliserles trois prin i-paux ritères d'optimalité:

 lalongueur de l'ordonnan ement déni par

C

max

= max

j

{C

j

}

,  la moyenne

F

¯

=

1

n

P

n

j=1

F

j

, ou dans le as pondéré

F

¯

w

=

P

n

j=1

w

j

F

j

/

P

n

_j=1

w

j

,

 lemaximumdesretards algébriques

L

max

= max

j

{L

j

}

,

Pour ertaines appli ation, d'autres ritères d'optimalité sont étudiés: 

D =

¯

1

n

P

n

j=1

D

j

,ou laversionpondérée

D

¯

w

=

P

n

j=1

w

j

D

j

/

P

n

_j=1

w

j

,