blèmes d'ordonnan ement
Dans ette partie, nous présentons plusieurs voies et stratégies pour ré- soudre un problème d'ordonnan ement. Ces stratégies sont également va- lablespour tous typesdeproblèmes d'optimisation ombinatoire.
Problèmesd'ordonnan ement Analysedela omplexité Fa ile Di ile Relaxations Méthodes Appro hées Non Approximabilité Méta-heuristiques Polynomiales Méthodesexa tes
Fig. 3.3 Appro he synthétique fa e àun problème d'optimisation ombinatoire eten parti ulierles problèmesd'ordonnan ement
Nousnoussommes fo alisés surla lassi ation au sens dela théoriede la omplexité etdel'approximation desproblèmes d'ordonnan ement. Ilest important de noter que le fait de lassi er un problème d'ordonnan ement omme
N P
- omplet n'est qu'une première étape d'analyse de la résolution d'un problème et non la dernière (dans le as ontraire, nous essayons de développerdesalgorithmesexa tsdeplusfaible omplexité).Aprèsunetelle preuve nousallonsnouslimiter à:des versions plus simples du problème. Nous pouvons relaxer les hy- pothèsesdu problèmeoriginel etrésoudreleproblèmerelaxé. La solu- tion duproblème relaxépeutservir debase pour l'étude duproblème originel. Dans le as des problèmes d'ordonnan ement les relaxations peuvent seporter :
surlapossibilitéd'autoriserlapréemption destâ hes,même sidans le problème originel le ara tère préemptif des tâ hes n'était pas autorisé,
de manièresimilaire, l'autorisation dedupliquer destâ hes,
sur la restri tion à des durées d'exé ution, et/ou de délai de om- muni ation, enprenantdesduréesunitairesquanddansleproblème originel les durées sontarbitraires,
surlastru turedugraphedepré éden e,en onsidérantdesgraphes ayant desspé i ationsfortes (arbre,graphebiparti,
. . .
),surlenombre limité dema hinesen onsidérant unnombre dema- hines arbitrairement grand,
surlafon tion obje tive.
La relaxation de es hypothèsesdu problème originel permetde sim- pli er la ombinatoire des problèmes.Par exemple,dans le as
U ET
-U CT
(Unit Exe utionTimeUnitCommuni ationTime, tempsd'exé- ution etde ommuni ation unitaires), lesdates de débutd'exé ution destâ hesetlesdélaisde ommuni ationentredeuxtâ hesadja entes danslegraphedepré éden esontsyn hronisées.Ainsi,lesdatesdedé- but d'exé utiondestâ hessontentièresetilnepeutyavoirde on it on ernant le pla ement des tâ hes sur les pro esseurs pour obtenir un ordonnan ement réalisable. En eet, entre deux instants onsé u- tifs entiers(t
ett + 1
) les pro esseurs sont soient ina tifs ousoient ils exé utent unetâ he, maispaslesdeux.Pour esproblèmes fortement ontraints, nousessayonsde déterminer la frontière entre l'existen e d'un algorithme polynomial et la
N P
- omplétude. Par exemple, il a été montré que dans le as où la du- pli ation des tâ hes est autorisée, sur une in nité de pro esseurs, le problèmeU ET
-U CT
est polynomial [49℄. A ontrario, pour le même problèmesans ladupli ation,noussavonsqu'iln'existepasdePT AS
(voir[172 ℄).à la re her he des algorithmes polynomiaux ave garantie de perfor- man es non triviales
3 . Ces algorithmes sont basés:
surla onstru tion d'unelistedepriorité surlestâ hes( 'estl'algo- rithmegénérique en ordonnan ement),
surlarelaxationdes ontraintesd'intégrité d'unprogrammelinéaire ennombresentiers, ave une phase d'arrondis.Initialement, le pro- blème d'ordonnan ement est formulé par le programme linéaire en nombres entiers. Dans ertains as, il n'est possible de formuler le problème d'ordonnan ement que par un programme linéaire où la valeur des variables est dans un intervalle
I
⊆ IR
(au lieu d'être dansun sous-ensembleS
⊆ IN
dans le as d'unprogramme linéaire en nombres entiers). Dans e as là, nous n'avons simplement qu'à3
Nousétudieronsdanslerestede emanus ritquedesalgorithmesappro hésave une étudedanslepiredes as.Nousdis uteronsdansle on lusionlapossibilitéde ompléter ette lassi ationenpro édantàuneautreétude.Nous entendonsparalgorithme poly- nomialave garantie de performan e triviale, lapire exé ution d'unalgorithme de liste (pour etyped'algorithmeunelistedeprioritéest réée,età haqueinstantpour haque pro esseurina tifunetâ hedisponibleestexé utéesurle-ditpro esseur.
lution durelaxéestune borneinférieure detoutesolutionoptimale, nous pouvons on lureaisément.
àlare her he d'unseuilàpartir duquel trouverunalgorithmeappro- hégarantissant uneperforman emeilleuredevientimpossible(saufsi
P = N P
). Ce i va nous donner les limites sur les garanties de per- forman e quel'on peutobtenirpar desalgorithmes polynomiauxpour un problème d'ordonnan ement donné. La te hnique utilisée pour un résultat de non-approximabilité (ou seuild'approximation) onsiste à démontrerunrésultatdeN P
- omplétudepourleproblèmededé ision et d'invoquer le théorème de l'impossibilité [50℄, qui permet de relier un résultat deN P
- omplétude pour un problème de dé isionau pro- blèmed'optimisationasso ié.Unenouvelleappro he onsisteàutiliser la te hnique du gap (voir le hapitre 2 pour laprésentation de la méthode) pour obtenir un résultat de non-approximabilité pour une ertaine fon tion obje tiff
à partir d'un résultat deN P
- omplétude obtenu pour une autre fon tionobje tiff
′
.
Quandtoutes lestentativesd'obtenir desrésultatsanalytiques semblent épuisés, nous pouvons orienter la re her he de résultats vers des méthodes exa tes (très gourmandes en temps et en puissan e de al ul) ou vers une appro he sto hastique.
Lesméthodesexa tes(programmation dynamique, méthode parsépa- ration etévaluation) oudesméta-heuristique (re her he tabou,re uit simulé, olonies de fourmis,
. . .
) peuvent être des alternatives pour étudierles problèmes.La se ondeappro he onsiste àee tuer uneanalyse sto hastique des données en pro édant à deshypothèses sur les tâ hes (fréquen e, pé- riodi ité
. . .
) (voir les référen es [109℄,[50 ℄ pour l'étude des problèmes d'ordonnan ement y lique).La dis ussion pré édente est résumée par le diagramme donné par la gure 3.3.