Une méthode d'analyse multicritère SPARTE

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To cite this version:

Bernard Fustier. Une méthode d’analyse multicritère SPARTE. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques ( IME). 1981, 31 p., figures, bibliographie. �hal-01542351�

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DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON

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UNE M E T H O D E D ' A N A L Y S E M U L T I C R I T E R E S P A R T E

B e r n a r d F U S T I E R Ma r s 1981

Cet a r t i c l e a fait l'ob je t d' un e c o m m u n i c a t i o n à la 13ème jo u r n é e du G r o u p e de t ra vail e u r o p é e n sur l 'a id e à la d é c i s i o n m u l t i c r i t è r e ,

M a d r i d , Espagne, ma r s 1981.

I N S T I T U T DE M A T H E M A T I Q U E S E C O N O M I Q U E S 4 B o u l e v a r d Gabriel - 21000 D I J O N

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La t hé or i e é c o n o m i q u e c o n s i d è r e la c o n s o m m a t i o n comme une a c t i v i t é dans l a q u e l l e des biens ac h e t é s sur les m a r c h é s sont c o m b i n é s puis t ra ns f o r m é s en un p r o d u i t final. C e l u i - c i n 'a pas l ' a p p a r e n c e d' u n bien mat ér ie l; c ' e s t un p r o d u i t p s y c h o l o g i q u e que l ' é c o n o m i s t e a pp elle " u t i l i t é " .

L ' a n a l y s e des c h o i x i n d i v i d u e l s de c o n s o m m a t i o n - t e ll e q u ' e l l e est e n s e i g n é e dans tous les ma n u e l s - r e p o s e donc sur la m a x i m i s a t i o n d ' u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t é don t les a r g u me nt s sont des q u a n t i t é s de bie ns et la c o n t r a i n t e , le r ev en u que l ' a g e n t e n t e n d c o n s a c r e r à ses achats.

Ce ca d r e d ' a n a l y s e a conn u r é c e m m e n t une g é n é r a l i s a t i o n i m p o r t a n t e avec, en pa rt ic u l i e r , l ' a p p o r t de L A N C A S T E R [ l ] qui d é f i n i t un b ie n é c o n om iq u e p a r l ' e n s e m b l e de ses p r o p r i é t é s i n t r i n s è q u e s (ou " c a r a c t é r i s t i q u e s " ) . Le ré s u l t a t de l ' a c t i v i t é de c o n s o m m a t i o n n'est plus u n p r o d u i t p s y c h o l o g i q u e a b s t r a i t a p p a r t e n a n t à la sphère des v a l e u r s , m a i s une c o l l e c t i o n de c a r a c t é r i s t i q u e s o b j e c t i v e s r e c h e r chées p a r le c o n s o m m a t e u r . Le bien, en lui-même, n ' e s t p l u s c o n s i d é r é c o m m e une source d i r e c t e d'utilité; c e l l e - c i

p r o v i e n t des c a r a c t é r i s t i q u e s .

D ans ce tt e n o u v e l l e optique, l ' a n a l y s e des c h o i x i n d i v i d u e l s de c o n s o m m a t i o n se d é c o m p o s e en d eu x temps: - la r e c h e r c h e de la c o l l e c t i o n o p ti ma l e de c a r a c t é r i s t i q u e s qui m a x i m i s e l ' u t i l i t é du c o n s o m m a t e u r (sous c o n t r a i n t e de ses d i s p o n i b i l i t é s b u d g é t a i r e s ) - la d é r i v a t i o n de la c o m b i n a i s o n op t i m a l e des b i e n s c o r r e s p o n d a n t à c et t e c o l l e c t i o n de c a r a c t é r i s t i q u e s .

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02 - C h o i x i n d i v i d u e l s de c o n s o m m a t i o n et an a l y s e m u l t i c r i t è r e De l ' e s p a c e des biens, L A N C A S T E R t r a n s p o s e et, de ce fait, g é n é r a l i s e l ' a n a l y s e à l'es pa ce des c a r a c t é r i s t i ques. M a i s il m a i n t i e n t la n o t i o n d ' u t i l i t é qui a p p a r a î t comme le c r i t è r e u l t i m e g u i d a n t le c o n s o m m a t e u r dans sa d é c i sion d'a ch a t. De ce p o i n t de vue, la n o u v e l l e a p p r o c h e des c o m p o r t e m e n t s de c o n s o m m a t i o n ne se d i s t i n g u e pas f o n d a m e n t a lement de la t h é o r i e t r a d i t i o n n e l l e (néo-classique) d ans la m e s u r e où el le s t r a i t e n t de c h o i x i n di vi d ue ls u n i c r i t è r e s . Pour ce t t e raison, il est p e r m i s d' e m e t t r e c e r t a i n s d o u t e s sur le c a r a c t è r e o p é r a t i o n n e l du m o d è l e de L A N C A S T E R (cf. FUSTIER, R O U G E T [2] ).

P o u r t a n t la d é f i n i t i o n du b ien p r o p o s é e par l' a u t e u r p o s s è d e un c o n t e n u m u l t i c r i t è r e , car c h a q u e c a r a c t é r i s t i q u e p eu t être a s s i m i l é e à u n c ri tè re de c h o i x c o m p t e tenu de sa p o n d é r a t i o n r e l a t i v e a c c or d ée par le c o n s o m m a t e u r . Cet te d é f i n i t i o n se p r ê t e n a t u r e l l e m e n t aux m é t h o d e s d ' a n a

lyse m u l t i c r i t è r e .

La m é t h o d e p r é s e n t é e ici semble p a r t i c u l i è r e m e n t bien a d a p t é e au test du m o d è l e théorique.

03 - Une s o l u t i o n au p a r a d o x e du vote

S P A R T E est fi dè le à l ' a p pr oc he g é n é r a l des m é t h o d e s E L E C T R E f o n d ée s sur les r e l a t i o n s de s u r c l a s s e m e n t (ROY [ 3}, ROY, B E R T I E R [4] , M O S C A R O L A , ROY [ 1 2] ). Elle s ' e n

éloigne, t o u t e fo is , sur des po i n t s très précis, en p a r t i c u l i e r la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t (fort ou faible) est d é f i n i e par r a p p o r t à des v a l e u r s fixes qu'il n' es t pas q u e s t i o n de m o d i fier co m me c' e s t le cas p o u r les m é t h o d e s de la SEMA.

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S P A R T E r e p o s e sur l'idée suivante:

Si l'on a s s i m i l e les c r i tè re s à des v o t a n t s dont l ' i m p o r t a n c e r e l a t i v e est t r a du i te par les c o e f f i c i e n t s de p o n d é r a t i o n , il est b i e n c o n n u que la p r é f é r e n c e c o l l e c t i v e d é f i n i e p a r la m a j o r i t é n' es t pas tou jo ur s t r a n s i t i v e et, de ce fait, met en dé f a u t la l o gi qu e du choix, car des c i r c u i t s p e u v e n t a p p a r a î t r e dans le gr ap he de s u r c l a s s e m e n t (effet C O N D O R C E T ) .

A priori, ce r é s ul ta t surpr en d p ar son c a r a c t è r e p a r a d o x a l dans la m e s u r e où la p r é f é r e n c e c o l l e c t i v e ne p eu t d o n n e r lie u à une d é c i s i o n logique alors que les p r é f é r e n c e s i n d i v i d u e l l e s sont, par d éf in it io n , t ra ns itives. (En effet, c h a q u e c r i t è r e é t a b l i t u n p r é o r d r e total sur l ' e n s e m b l e à s t r u c t u r e r ) .

P our cet te raison, il a semblé o p p o r t u n de d o n n e r à la m é t h o d e SPARTE, la s i g n i f i c a t i o n suivante:

S o l u t i o n au p a r a d o x e du v o t e

le terme se mble é g a l e m e n t bie n c o n ve n ir à une m é t h o d e que nous avons v o u l u s im pl e :

- dans sa c o nc e pt io n: le d é c i d e u r ne fixe p as s u b j e c t i v e m e n t (voire a r b i t r a i r e m e n t ) les v al eu rs de n o m b r e u x p a r a m è t r e s

(comme c ' e s t le cas dans les m é t h o d e s ELECTRE). O n s ' e n t i en t à une v a l e u r u n i q u e de c h a q u e in di ca te ur qui s ' i m p o s e à tout d é c i d e u r .

- dan s les r é s u l t a t s q u ' e l l e pr o p o s e en f o n c t i o n des c l a s s em ents i n d i v i d u e l s p lus ou m o i n s c o n t r a d i c t o i r e s : s é l e c t i o n de p l u s i e u r s él éments, d ' u n seul ou classement.

04 - Pl a n d ' e x p o s i t i o n

A p r è s avo ir p r é s e n t é les do n n é e s r e q u i s e s p ar la m é t h o d e (I), le p r i n c i p e de son f o n c t i o n n e m e n t est a b o r d é

e n s u i t e (II). Le p o i n t s ui v an t est co n s a c r é à la p r é s e n t a t i o n des i n d i c a t e u r s n é c e s s a i r e s à la d é f i n i t i o n de la r e l a t i o n de

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c o n s i d é r a n t son d é d o u b l e m e n t en s u r c la ss e me nt fort et en s u r c l a s s e m e n t f ai bl e (IV). Ce t t e d é f i n i t i o n conduit, e n s u i t e , à s ' i n t e r r o g e r sur les r é s u l t a t s qui p e uv en t être d é d u i t s du g ra ph e de s u r c l a s s c m e n t (V). Un exemple d ' a p p l i c a t i o n (cf.

r e m a r q u e 1) est p r o p o s e p o u r a p p r é c i e r le n i v e a u de p e r f o r m a n c e de la m é t h o d e (VI). La m é t h o d e SPARTE peut s ' a d a p t e r à l 'i m p r c - c i s i o n des d o n n é e s a f f e c t a n t l ' i n f o r m a t i o n i n i t i a l e (cf.

r e m a r q u e 2): tel est l ' o b j e c t i f assigné au d e r n i e r p a r a g r a p h e ( V I I ) . R e m a r q u e 1

D ' a p r è s ce qui p récède, il eut été l o g i q u e de p r é s enter un e x e m p l e d ' a p p l i c a t i o n emprunté à l ' a n a l y s e des c h o i x de c o n s o m m a t i o n . M a i s c ' e s t un exemple d'une a ut r e n a t u r e (1) qui a été retenu, un e x e m p l e qui a mis en dé f a u t E L E C T R E II. M oi n s s o p h i s t i q u é e que la p ré cé d en te , S PARTE p r é s e n t e , q ua n t à elle, u n r é s u l t a t pl u s a c c ep ta bl e.

Ce test c o m p a r a t i f prouve s e u l em en t que la m é t h o d e S P A R T E o f f r e une c e r t a i n e g a r a n t i e à l ' u t i l i s a t e u r . Eu é g a r d à la s p é c i f i c i t é de l ' e x e mp le , il ne doit pas r e m e t t r e en c a u s e le f o n d e m e n t d ' E L E C T R E II qui "constitue, sans nul doute, une des m é t h o d e s ... les p l u s p e r f e c t i o n n é e s en a n a l y s e m u l t i c r i - tère" (GUI GO U 6 3 ] p . 247). R e m a r q u e 2 L o r s q u e les p r é o r d r e s établis p a r c h a q u e c r i t è r e sont f o r t e m e n t c o n t r a d i c t o i r e s , la re l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t d e v i e n t as s e z lâ ch e d ' o ù l' id ée de d é fi ni r une r e l a t i o n f l ou e de s u r c l a s s e m e n t qui g é n é r a l i s e en fait le d é d o u b l e m e n t de la r e l a t i o n i n i t i a l e (JOLLES [ ô ] , ROY [ s ] [l 1] , L A S S I B I L L E et P A R R O N [9] ).

D an s le p r é s e n t texte, le flou ne r é s u l t e p a s des d i f f é r e n c e s c o n s t a t é e s en tr e les c l a s s e m e n t s i n d i v i d u e l s , il est a p p r é c i é au n i v e a u de l ' i m p r é c i s i o n des données.

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]1 - H é t é r o g é n é i t é de l ' i n f o r m a t i o n initiale

Soit J = | l . . . j . . . m j un e n s e m b l e d ' é l é m e n t s repérés en f o n c t i o n des c a r a c t é r i s t i q u e s d 'un e n s e m b l e

I =

^1 ... i

... n

J

est la q u a n t i t é de c a r a c t é r i s t i q u e i p o s s é d é e par 1 ' é l é m e n t j .

Exemple: si l ' é l ém en t j r e p r é s e n t e une a u t o m o b i l e d'une m a r q u e d o n n é e dont la v i t e s s e de c r o i s i è r e est de 8 0 K m / h alors z^j = 80 (i étant la c a r a c t é r i s t i q u e " v i t e s s e " ) . Si i' r e p r é s en te la c a r a c t é r i s t i q u e " co nfort" et que des e x p e r t s a t t r i b ue nt un score de 15 sur 20 à cette même v o i t u r e , a lors z i * j = 1 5 *

On n o t e r a que les q u a n t i t é s z^j sont m e s u r é e s dans les un it és des c a r a c t é r i s t i q u e s a u x q u el le s elles c o r r e s p o n d e n t . Chaque élém en t j peut être re pr és e n t é par un v e c t e u r do n t les c o m p o s a n t e s se r é f è r e n t à des unités d if f ér e n t e s . C ' e s t en ce sens que l ' i n f o r m a t i o n est hétérogène.

12 - S t r u c t u r a t i o n des do nn ée s

Les d o n n é e s sont st ru ct u r é e s dans le sens qui doit servir à fonder la s é l e c t i o n (ou le c l a s s e m e n t final) des é l é ments de J. D'u ne façon plus précise, soit (P une r e l a t i o n de p r é f é r e n c e au sens large dé f i n i e sur l a ' c a r a c t é r i s t i q u e i, on a :

J

Jr'y

« = 4

Z±. ? zi y

En p r a t iq ue , c e r t a i n e s c a r a c t é r i s t i q u e s p e u v e n t avoir u n effet n é g a t i f sur le choix du décideur. Si tel est le cas, on c o n s i d è r e l ' i n v e r s e des q u a n t i t é s c o r r e s p o n d a n t e s pour c o n s e r v e r le sens de la r e l a t i o n pr éc é d e n t e .

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E xe mple : la c o n s o m m a t i o n d ' e s s e n c e est une c a r a c t é r i s t i q u e à effet négatif. Si la c o n s o m m a t i o n de la v o i t u r e j est de 20 £. au 100 km. et celle de j ' de 1û£. s eulement, a l o r s j' sera p r é f é r é e à j selon ce tt e c a r a c t é r is ti q ue . On posera:

z .j = 1/15 = 0,0 5 et z i j , = 0 , 1 0 .

Les c a r a c t é r i s t i q u e s p e u v e n t être l é g i t i m e m e n t a s s i m i l é e s à

des c r i t è r e s de c h o i x qu'il est p o s s i b l e de p o n d é r e r en f o n c t i o n des p r é f é r e n c e s i n d i v i d u e l l e s du décideur. On no t e P le v e c t e u r de p o n d é r a t i o n s des c a r a c t é r i s t i q u e s : P - (p-j ... p^ ... p^) avec n 2 T p = 1 . i = 1 1 13 - T r a n s f o r m a t i o n des d o n n é e s S PA RT E c o n s i d è r e e s s e n t i e l l e m e n t des d o n n é e s o r d i nales. A c h a q u e é l é m e n t j, il suffit d ' a t t r i b u e r le rang q u 'i l o ccupe dans le p r é o r d r e r e l a t i f à une c a r a c t é r i s t i q u e donnée, mai s se l o n une p r o c é d u r e in verse à celle qui est r e t e n u e h a b i

tuellement: l ' é l é m e n t cl a s s é p r e m i e r reçoit la v a l e u r la pl u s élevée, t andis que l ' é l é m e n t o c c u p a n t le d e r n i e r ra n g est a f fe ct é de la v a l e u r la p lus faible.

Pou r cet te raison, les rangs ainsi d é t e r m i n é s sont appel és "rang inversés".

131 - A t t r i b u t i o n des r a n g s _ inversés

z ^ étant, d é f i n i e plus haut et ca r d J = m, on o b t i e n t le rang i n v e r s é r ^ de l ' é l é m e n t j dans le p r é o r d r e é t a b l i p ar la c a r a c t é r i s t i q u e (ou critère) i de la fa ço n suivante:

i) r . . = m si et s e u l e m e n t si: z . . = m a x z . . iJ j ij ii) r . . = 1 si et s e u l e m e n t si: z . . = m i n z . .

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iii) en d e h o r s de ces cas extrêmes, les éléme nt s sont r an g é s i n v e r s e m e n t à la p r o c é d u r e h a b i t u e l l e tout en t e n a n t c o m p t e des ex aequo.

132 - C o n s é q u e n c e

Ch aq ue c r i t è r e donne n a i s sa nc e à une é c h e l l e dont les é c h e l o n s c o r r e s p o n d e n t aux rangs ainsi d é t e r m i n é s .

Par d é f i n i t i o n , ch aq ue échelle p o s s è d e le m ê m e n o m b r e d ' é c h e l o n s (m) et les c o n d i t i o n s i et ii leur i m p o s e n t une h a u t e u r c o m m u n e h = m-1. Cette c o n s é q u e n c e p r e n d r a toute

son i m p o r t a n c e u l t é r i e u r e m e n t (I II.5). 133 - E x e m p l e

C o n s i d é r o n s l ' e x e m p l e sur lequel E L E C T R E - I I s'est heurté. Il s e r v i r a plus tard à tester SPARTE.

- les z.. sont des no t e s o b t e n u e s par des c a n d i d a t s i en fonc- tion de leurs c o n n a i s s a n c e s l i n g u i s t i q u e s i. On a c c o r d e la m ê m e p o n d é r a t i o n à c h a c u n e des langues co n s i d é r é e s .

Les r é s u l t a t s sont les suivants:

p _a b c d e f 0 , 12 5 a n g l a i s 10 10 9 0 0 0 0, 125 a l l e m a n d 10 9 9 0 0 10 0,1 25 f r a n ç a i s 0 0 0 10 0 10 0 ,125 e s p a g n o l 0 0 0 10 10 10 0 , 12 5 i t a l i e n 0 0 0 0 10 10 0 , 12 5 r usse 0 0 0 0 0 10 0 ,125 c h i n o i s 0 0 0 0 0 10 0,125 a r ab e 0 0 0 0 0 10

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- on en d é d u i t la m a t r i c e des rangs inversés p I a b c d e f 0,125 a n g l a i s 6_f 6 4 1 1 1 0,125 a l l e m a n d 6 4 4 1 1 6 0, 125 f ra n ç a i s 1 1 1 6 1 6 0 ,125 es p a g n o l 1 1 1 6 6 6 0,1 25 i t a l i e n 1 1 1 1 6 6 0 ,125 russe 1 1 1 1 1 6 0 ,125 c h i n oi s 1 1 1 1 1 6 0,125 a r ab e 1 1 1 1 1 6 II - P r i n c i p e de r é s o l u t i o n 1 1.1 - C o n d i t i o n s de s u r c l a s s e m e n t Dans l ' e x e m p l e p r é c é d e n t on p r é f é r e r a le p o l y g l o t t e f à n ' i m p o r t e quel a ut r e b i l i n g u e j' (étant don né que les

c a r a c t é r i s t i q u e s des c a n d i d a t s p o s s è d e n t des p o i d s i d e n t i q u e s ) ; on dira que f " s u r c l a s s e " j', et l'on écrira: f j ' où

d é s i g n e une r e l a t i o n de s u r c la ss em en t.

Pou r des cas m o i n s évidents, il c o n v i e n t de d o n n e r une d é f i n i t i o n p r é c i s e de la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t .

D ' u n e fa ç o n gé nérale, on dira que \ 'h y p o t h è s e de s u r c l a s s e m e n t j j ' est v é r i f i é e si les deux c o n d i t i o n s s u i v an te s sont réalisées:

(1) une c e r t a i n e m a j o r i t é des c r it èr es se p r o n o n c e p o u r p l a c e r j: (11) à u n n i v e a u s u p é r i e u r à celui de j' sur les é c h e l l e s c o n s i d é r é e s ( s u r c l a s s e m e n t fort: la m a j o r i t é s t r i c t e des c r i t è r e s est requise)

(12) à u n n i v e a u au m o i n s aussi élevé à c e l u i de j' (s ur c l a s s e m e n t faible: on c o n s i d è r e la m a j o r i t é au sens large)

(12)

(2) une c e r t a i n e m i n o r i t é ne s'oppose pas trop " v i o l e m m e n t " à l ' h y p o t h è s e de s u r c l a s s e m e n t de j' par j (par e x e m p l e si l'on av ai t a t t r i b u é une très grande i m p o r t a n c e à la l an gu e an glaise, ce c r i t è r e m a n i f e s t e r a i t u n e o p p o s i t i o n i n te ns e au s u r c l a s s e m e n t de a par f; dans ce cas l ' h y p o thè se f

51

a n ' a p p a r a î t r a i t pas aussi é v i d e n t e que dans l ' e x e m p l e d'u ne p o n d é r a t i o n uniforme).

1 1.2 - E x p l o i t a t i o n du gr ap he de s ur c l a s s e m e n t

En c o m p a r a n t les élém en ts de J deu x à d e u x s el on les m u l t i c r i t è r e s , la m é t h o d e SPARTE a bo ut i t à un g r a p h e de s u r c l a ss em en t: l o rs qu e l ' h y p o t h è s e j j ' est v é r i f i é e , on relie j et j ' par un arc (de j vers j').

C 'e s t à p a r t i r du graphe de s u r c l a s s e m e n t ("fort" ou "faible") qu'il sera p o s s i b l e d ' o b t en ir une s t r u c t u r e sur J:

- b i - p a r t i t i o n - c l a s s e m e n t

1 1.3 - N o t a t i o n s et t e r m i n o l o g i e

E ta n t do nn é l ' h y p o t h è s e j ' ,pour j u g e r de sa validité, il s emble i n d i s p e n s a b l e de tenir\ c om p t e du n o m b r e et de l ' i m p o r t a n c e des c r i t è r e s qui lui sont ^favorables, i n d i f f é rents o u hos ti l es . Une p a r t i t i o n de I en trois s o u s - e n s e m b l e s s 'impose :

+

H / rij > riri

■

sous-ensemble de préférence

stricte

ss

JJ’

■ H

/

rij

a

rij' !

=* sous-ensemble d'indifférence

(13)

En outre, on conviendra d'adopter le vocabulaire suivant

3 i

_{< = 3 >}

unanimité stricte

* î r

u

‘ ï r

=

I

« = *

unanimité large

a I

indifférence totale

u

l ] y

= I

hostilité large

iii. = I

4=2>

hostilité stricte

A p a r t i r de cet te p a r t i t i o n et du v o c a b u l a i r e ainsi fixé, il est p o s s i b l e de d on ne r les d é f i n i t i o n s des i n d i c a t e u r s n é c e s s a i r e s à la c o n s t r u c t i o n de la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t . III - F o n d e m e n t s de la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t II 1.1 - I n d i c a t e u r de p r é f é r e n c e stricte

(

1

)

avec p a r c o n v e nt io n: I... = 0 a.., = 0 33' 33 on v é r i f i e que: (1.1) 0 < a j r < 1 en p a r t i c u l i e r : (1.2) a. = 1 I*-, = I : l ' h y p o t h è s e j j ' r e c u e i l l e 3 3 3 3 l ' u n a n i m i t é stricte. I I 12 - I n d i c a t e u r d ' i n d i f f é r e n c e

(14)

avec par convention:

Ijj» a * = > b jj« = o

on vérifie que:

(2.1.) 0 < bj j t ^ 1

en particulier:

(2.2.)

bjj* 53 1 ^ = > l j j t * I : une indifférence totale

est obtenue pour .'îR

III.3 - I n d i c a t e u r de p r é f é r e n c e large

(3)

ou d'une façon équivalente:

(3')

il en résulte que:

c j y - aj 3 , ♦ bj } ,

(3.1.)

0 < c.. , < 1

J J

en particulier:

(3.2.)

Cjj, = 1 <?=£• Ijj, U Ijj,

_{I : l'hypothèse recueille}

une unanimité large

I I I . 4 - I n d i c a t e u r d ' h o s t i l i t é stricte

(4)

_{d j j » = . 2 . Pi}

compte tenu de la partition établie précédemment sur I, on a:

d ' où :

(4*)

_{d jj. s 1 - (a j j ' + b jj') = 1 -}

_c..,

on vérifie que:

(4.1.)

0 < d ^ , < 1

en particulier:

i

(4.2.)

d.4 , s» 14=^- II, , = I : hostilité stricte pour .

^ .

(15)

I I I . 5 - I n d i c a t e u r d ' o p p o s i t i o n Il fait i n t e r v e n i r l ' i n d i c a t e u r p r é c é d e n t et a p o u r objet d ' e s t i m e r le de gr é d ' o p p o s i t i o n des c r i t è r e s a p p a r t e n a n t au s o u s - e n s e m b l e d' h o s t i l i t é . I I I . 5.1 - D é f i n i t i o n s _ g r é a l a b l e s ^ d e g r é d ' o p p o s i t i o n d 'u n c ri t èr e hostile: V i

e

l7 j , on p o s e :

(5)

^ r i r

-avec par c o n v en ti on : i Ijj , °i± = 0

i est l ' a m p l i t u d e du rejet de ^ y e x p r i m é sur l ' é ch el le a s s o c i é e au c r i t è r e i: elle traduit le d e g r é d ' o p p o si ti on de ce c r i t è r e hostile. Par d é f i ni ti on : (5.1) 0 ^ ^ m-1 (rappelons que ch aq ue é c h e l l e p o s s è d e une h a u t e u r c o m m u n e h = m-1) No to ns que:

(5.2) o<^ = m-1 s i g n i f i e que le critè re i e x p r i m e le p l u s fort de gr é d ' o p p o s i t i o n p os si bl e. ^ d e g r é m o y e n d ' o p p o s i t i o n du s o u s - e n s e m b l e d ' h o s t i l i t é : (6) « = --- i--- Z ■*.

CrdlJj,

1

O n a: (6.1) 0 ^ ^ m-1 En effet: (6.2) = m-1 , V i £ l j j f s=p <k = m-1 : d e g r é m a x i m a l d ' o p p o s i t i o n (6.3) Ijj t = 0 * = 0 : a bs en ce totale d ' o p p o s i t i o n

(16)

I I I . 5.2 - D é f i n i t i o n _ d e _ l ^ i n d i c a t e u r _ d ^ o g p o s i t io n On pose:

(7)

On a:

(7.1.)

En effet

(7.2.)

0 < , < 2 • jjf = 0<— > d . . t

* 1 et <x = m

-1

: hostilité stricte

et degré maximal d'opposition

» 0

ci * 0 : absence totale

d 1 opposition

(7.3.)

Remarque :

Pour que ejji possède le même domaine de variation

que les autres indicateurs c'est-à-dire [0,1] , il suffit de

retenir la formule

<x

djj, /m -1. Toutefois, il semble préféra

ble de conserver la relation initiale, car elle attache une

signification particulière à la valeur unitaire de l'indica

teur .

En effet:

(7.4.)

e — , =

en particulier à djj, = 0,5 et à » m -1

la moitié des critères pondérés est

hostile à j rR j, avec, en outre, un

degré maximal d'opposition.

Cette

r e m a r q u e

constitue un point de départ à la

fixation du seuil qu'il convient de donner à l'indicateur

d'opposition dans la relation de surclassement.

IV - D é f i n i t i o n de la r e l a t i o n de surclassejpent

L'un des points forts de la méthode ELECTRE-II est

de considérer un dédoublement de

en une relation de surclas

sement fort (F) d'une part, et de surclassement faible (f)

d'autre part. Cette idée originale est conservée dans la pré

sente méthode.

(17)

I V . 1 - S u r c l a s s e m e n t f o r t

(8)

j

j « “

j F j i

3-j j i ^ 0,50 e t

e

^., < 0, 50

En d'autres termes, j ’

’

surclasse fortement" j' si

et seulement si les deux conditions suivantes sont simultané

ment vérifiée:

i) la majorité stricte au moins des critères pondérés se pro

nonce en faveur de l'hypothèse j

j ,

ii) la valeur de l'indicateur d'opposition est au plus égale

à 0,50 (dans le cas particulier où a.., = d .•, » 0,50, alors

_ m - i JJ

JJ

e j j , $ 0,50 signifie que

a

^

• le degré moyen d'opposition

ne doit pas dépasser une demi-échelle).

jFj, se traduit dans le graphe de surclassement par

un arc en trait plein: j.__>

j'

I V . 2 - S u r c l a s s e m e n t f a i b l e

(9)

j «R» j i — j f j »

^ j j *

et ® j j ' ^ 0 , 2 5

Autrement dit, j "surclasse faiblement" j' si et

seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées

simultanément:

i) la majorité large au moins des critères pondérés se pro

nonce en faveur de l'hypothèse j ^ j *•

ii) la valeur de l'indicateur d'opposition est au plus égale

à 0,25.

Remarque :

On se montre moins exigeant sur la condition de

préférence favorable à l'hypothèse de surclassement puisque

la majorité large se substitue maintenant à la majorité stric

te. Mais une importance plus grande est accordée aux critères

hostiles puisque la limite supérieure de l'indicateur d'opposi

tion est ramenée de 0,50 à 0,25. Néanmoins, l'expérience prouve

qu e les c o n d i t i o n s (9) s o n t p l u s f a c i l e s à r é a l i s e r q u e l e s c o n d i t i o n s (8) i m p o s é e s à la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t fort .

(18)

V - D é t e r m i n a t i o n d ' u n e s t r u c t u r e f i n a l e sur J

La p r é s e n t a t i o n d e s r é s u l t a t s v a r i e en f o n c t i o n du p r o b l è m e a r é s o u d r e . S P A R T ü p r o p o s e un e b i - p a r t i t ion (.comme LLliCTRli-1) et u n c l a s s e m e n t sur J (comme JiLliCTRIi-1 1 ) en d i s t i n g u a n t à c h a q u e fois le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t f o r t c o m p l é t é e n s u i t e p a r la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t f a i b l e . V . 1 - B i - p a r t i t i o n - à p a r t i r d u g r a p h e o b t e n u p ar la r e l a t i o n d e s u r c l a s s e m e n t fort, o n d é t e r m i n e le n o y a u du g r a p h e q ui c o n t i e n t le ou les m e i l l e u r ( s ) é l é m e n t s de J eu é g a r d à l ' e n s e m b l e d e s c r i t è r e s p o n d é r é s . - si le n o y a u d é t e r m i n é d a n s le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t fort est t r o p r i c h e , o n se r é s e r v e la p o s s i b i l i t é de l ' é p u r e r en f a i s a n t i n t e r v e n i r la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t f a i b l e . La d é f i n i t i o n du n o y a u d ' u n g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t et la p r o c é d u r e d ' é l i m i n a t i o n d e s c i r c u i t s é v e n t u e l s s o n t r a p p e l é e s en a n n e x e . V. 2 - C l a s s e m e n t - à p a r t i r du g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t fo r t o n se p r o p o s e de d é t e r m i n e r u n p r é o r d r e o u u n o r d r e t o t a l sur J . - d a n s le cas d ' u n p r é o r d r e c o m p o r t a n t de n o m b r e u x e x - a e q u o o n se r é s e r v e la p o s s i b i l i t é de les d é p a r t a g e r e n f a i s a n t i n t e r v e n i r la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t faible. La p r o c é d u r e de c l a s s e m e n t (1) est f o n d é e su r le c r i t è r e du c h e m i n le p l u s long: les s o m m e t s du g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t s on t r a n g é s en f o n c t i o n de la l o n g u e u r de s c h e m i n s i n c i d e n t s les p l u s l o n g s d a n s l ' o r d r e c r o i s s a n t de c es l o n g u e u r s . P l u s p r é c i s é m e n t , s o i t 1^ la l o n g u e u r d u p l u s l o n g c h e m i n i n c i d e n t au s o m m e t j , o n d é t e r m i n e le r a n g r^ d e ce s o m m e t de la f a ç o n s u i V a n t e : rj - ij ♦ 1

(19)

VI - E x e m p l e d ' a p p l i c a t i o n V I . 1 - R é s u l t a t i n t u i t i f R e p r e n o n s l ' e x e m p l e d e s c a n d i d a t s j u g é s en f o n c t i o n de l e u r s c o n n a i s s a n c e s l i n g u i s t i q u e s . E t a n t d o n n é q u e c h a q u e m a t i è r e p o s s è d e la m ê m e i m p o r t a n c e , il n ' e s t p a s b e s o i n d ' e f f e c tue r u n e a n a l y s e m u l t i c r i t è r e p o u r c o n v e n i r qu e t o u s les c a n d i d a t s b i l i n g u e s s o n t " m a u v a i s " c o m p a r é s a u x p e r f o r m a n c e s d u p o l y g l o t t e f. O n o b t i e n t le p r é o r d r e i n t u i t i f s u i v a n t qui, e n fait, est une b i - p a r t i t i o n sur J:

r a n g s J 1 f 2 a , b ,c ,d ,e V I . 2 - R é s u l t a t d o n n é p a r E L E C T R E - I I Le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t o b t e n u p a r E L E C T R E - I I es t le s u i v a n t ( J O L L E S |ôj p . 39): R e m a r q u e : t ou s les s u r c l a s s e m e n t s sont " f o r t s " a u s e n s d ' E L E C T R E - I I . L ' e x p l o i t a t i o n du g r a p h e c o n f o r m é m e n t à la p r o c é d u r e de c l a s s e m e n t r e t e n u e p a r E L E C T R E - I I (1) d o n n e les r é s u l t a t s s u i v a n t s :

rangs

E

1 a

2 f

3 b

4 d , e

5 c

Ce p r é o r d r e es t i n a c c e p t a b l e d a n s la m e s u r e où le p o l y g l o t t e f est c l a s s é s e u l e m e n t s e c o n d a p r è s le b i l i n g u e .

(1) il s'agit du classement médian relatif à deux autres classements préalables: le classement direct et le classement inverse.

(20)

V I . 3 - R é s u l t a t p r o p o s é p a r S P A R T E V I . 3.1 - V a l e u r s d e s i n d i c a t e u r s a..,, c... et e... --- j j j j J J A p a r t i r de la m a t r i c e d e s r a n g s i n v e r s é s o n c a l c u l e les v a l e u r s r e s p e c t i v e s de a jj>» c jj' et e jj> d a n s c h a q u e c a s e du t a b l e a u c i - d e s s o u s :

a

b

c

d

e

f

a

0,125

1

0 0,25

1

0 0,25

0,75

0,50

0,25

0,75

0,50

0,125

0,25

1,50

b

Ô

0,875

0,10

0,125

1

0 0,25

0,75

0,50

0,25

0,75

0,50

0,125

1,60

c

0 0,75

0,20

U

0,875

0,10

ô, 25

0,75

0,50

0,25

0,75

0,50

0,125

1,60

d

0,25

0,75

0,50

0,25

0,75

0,40

0,25

0,75

0,30

0,125

0,875

0,25

0 0,375

1,25

e

0,25"..

0,75

0,50

0,25

0,75

0,40

0,25

0,75

0,30

0,125

0,875

0,25

0 0,375

1,25

f

0,7?“

..

0,875

0,25

0,875

0,25

0,875

0,15

0,625

1

0 0,625

1

0

(21)

V I . 3.2 - E x p l o i t â t i o n _ d e s _ g r a p h e s _ d e s u r c l a s s e m e n t

♦

Le graphe obtenu à partir de la relation de surclas

sement fort est le suivant:

Le noyau ne se compose que du polyglotte ce qui correspond

au préordre suivant conforme au résultat intuitif:

r .

E

J

1 f

2 cL^b)C}d|6

• ♦ S i l'on tient compte des surclassements faibles, le graphe

de surclassement devient:

(22)

- M é t h o d e S P A R T E : g r a p h e r é d u i t

Dans le cas présent, l'introduction des surclasse

ments faibles ne fait que confirmer, fort heureusement, le

résultat satisfaisant obtenu à partir du graphe de surclasse

ment fort: on obtient toujours le noyau composé du seul poly

glotte et le préordre est identique au précédent.

(23)

Vil - P r i s e en c o m p t e de l ' i m p r é c i s i o n des d o n n é e s

V I I . 1 - P o s i t i o n d u p r o b l è m e

V I L 1.1 - A t t r ibu t ion _ d e s _ no tes _a ux _ c a n d i d a t s

D a n s l ' e x e m p l e p r é c é d e n t les n o t e s z^j s o n t s u p p o s é e s p r é c i s e s o u en to u t c as o b j e c t i v e m e n t m e s u r a b l e s . E n p r a t i q u e c e t t e h y p o t h è s e est r a r e m e n t v é r i f i é e . A f i n d ' e x p o s e r u n t r a i t e m e n t p o s s i b l e de l ' i m p r é c i s i o n d es d o n n é e s , o n c o n v i e n d r a d ' a d a p t e r l ' e x e m p l e p r é c i t é de la f a ç o n s u i v a n t e : i) les c a n d i d a t s s o n t s u p p o s é s p o s s é d e r u n e c o n n a i s s a n c e p l u s ou m o i n s b o n n e de t o u t e s les l a n g u e s de l ' e n s e m b l e I. ii) d a n s c h a q u e m a t i è r e , les c a n d i d a t s s o n t s o u m i s à u n e c o u r t e é p r e u v e de t r a d u c t i o n où 3 f a u t e s c o m m i s e s e n t r a î n e n t leu r é l i m i n a t i o n . D a n s ce s c o n d i t i o n s o n n o t e r a q u e la n o t e " z é r o ” ne t r a d u i t p a s u n e a b s e n c e t o t a l e de c o n n a i s s a n c e p o u r la l a n g u e c o n s i d é r é e (2 c a n d i d a t s a y a n t o b t e n u zéro ne s on t p a s f o r c é m e n t c o m p a r a b l e s : l ' u n a p u r é a l i s e r 3 f a u t e s s e u l e m e n t , l ' a u t r e 30 f a u t e s au m o i n s ) . I n v e r s e m e n t , la n o t e " v i n g t " n e c o r r e s p o n d p a s n é c e s s a i r e m e n t à u n e c o n n a i s s a n c e p a r f a i t e de c e t t e m a t i è r e (une t r a d u c t i o n p l u s l o n g u e et p l u s c o m p l i q u é e a u r a i t c e r t a i n e m e n t i m p l i q u é u n e n o t e p l u s f a i b l e ) . E n d ' a u t r e s t e r m e s , les n o t e s z.. n e r é v è l e n t p a s u n ij ^ d e g r é p r é c i s de c o n n a i s s a n c e de la p a r t d es c a n d i d a t s p o u r les l a n g u e s c o n s i d é r é e s , d ' o ù l ' i d é e d ' i n t r o d u i r e d e s i n f o r m a t i o n s e x t e r n e s r e l a t i v e s a u x é l é m e n t s de J. V I I . 1.2 - I n t r o d u c t i o n _ d ^ i n f o r m â t i o n s _ e x t e r n e s (1) S o i t A = £ l . . . o ( . . . k j u n e n s e m b l e d ' i n f o r m a t i o n s e x t e r n e s a s s o c i é e s a u x é l é m e n t s de J. O n n o t e x ^ la q u a n t i t é d ' i n f o r m a t i o n b r u t e r e l a t i v e a ux m e s u r e s c o n c e r n a n t l ' é l é m e n t j

(24)

et y * la q u a n t i t é c o r r e s p o n d a n t e d ' i n f o r m a t i o n r é d u i t e t e l l e que: (10) V « * 6 A , Y j £ J :

0 4

y * ^ 1 et (11) V « * £ A , 3 j ~ £ j e t j + 6 j / y*- = 0 et yj + = 1 j - e st l ' é l é m e n t " le m o i n s c r é d i b l e " de J c o m p t e t e n u de l ' i n f o r m a t i o n e x t e r n e j + es t l ' é l é m e n t "l e p l u s c r é d i b l e " p o u r c e t t e i n f o r m a t i o n . D ' a p r è s ce q ui p r é c è d e , yj s ' i n t e r p r è t e c o m m e le d e g r é de c r é d i b i l i t é p a r t i e l a s s o c i é à l ' é l é m e n t j p o u r l ' i n f o r m a t i o n o(. P ar e x t e n s i o n , o n d é f i n i t le d e g r é de c r é d i b i l i t é ¿ J o b a l a s s o c i é à j c o m p t e - t e n u de l ' e n s e m b l e d es i n f o r m a t i o n s e x t e r n e s de la f a ç o n s u i v a n t e : (12) m a x y * = y] V ... V y^ o t J J J l ' o p é r a t e u r V c o r r e s p o n d a n t à l ' u n i o n f l o u e (il s e m b l e l o g i q u e de d é f i n i r u n e q u a n t i t é g l o b a l e p a r la r é u n i o n d e q u a n t i t é s i n d i v i d u e l l e s ) . V I I .1.3 - E x e m p l e xj = n o m b r e d ' a n n é e s p a s s é p a r j à l ' é t r a n g e r 2 Xj = n o m b r e t o t a l de f a u t e s r é a l i s e p a r j d a n s l ' e n s e m b l e de ses t r a d u c t i o n s ► P o u r l ' i n f o r m a t i o n 1, o n d é f i n i t la q u a n t i t é d ' i n f o r m a t i o n r é d u i t e de la f a ç o n s u i v a n t e : 1 1 . 1 . x . x . - m m x .

V 1 = ___

2

__

J ...-j____

2

____

1 1 - 1

J

m a x x. m a x x. - m m x. 3 3 3 3 3 J de t e l l e f a ç o n que: x ^ + = m a x xj 1 - A y 1 . = 11 j y - +

J

3

3 = >

' I

-3 3 3 = mi 3 ~ 3 x^ = m i n x! y 1 = 0

(25)

ce qui s i g n i f i e q u e le d e g r é de c r é d i b i l i t é p a r t i e l a s s o c i é à j est u n e f o n c t i o n c r o i s s a n t e d u n o m b r e d ' a n n é e s p a s s é à 1 ' é t r a n g e r . lin ce qui c o n c e r n e l ' i n f o r m a t i o n 2, on c o n s i d e r e l ' e x p r e s s i o n s u i v a n t e : m i n x 2 m a x x 2 - x 2 v 2 = _J____ 1 ____

2

____ J J y j 2 2 . 2 J x . max x- - mm x . ] i 3 i ] de t e l l e m a n i è r e que: 2 2 . 2 n x _ = m a x x . y - = 0 j j J J x 2 = m i n x?

— K

y? = 1 j + j J ^ J Le d e g r é de c r é d i b i l i t é p a r t i e l a s s o c i é à j est u n e f o n c t i o n d é c r o i s s a n t e d u n o m b r e t o t a l de f a u t e s r é a l i s é e s p a r le c a n d i d a t . * Les d o n n é e s et les r é s u l t a t s s ont c o n s i g n é s d a n s Le

t a b l e a u c i - d e s s o u s : a b c d e f d o n n é e s x 1 3 9 1 3 5 3 4 2 23 22 22 20 21 2 1* d e g r é de c r é d i b i l i t é

*}

0 0 ,3 1 0 , 3 0 , 6 0,1 p a r t i e l Z y j 0 0 , 3 0 , 3 1 0 , 6 0 , 6 d e g r é de 1 2 71 V y. c r é d i b i l i t é g l o b a l 0 0 ,3 1 1 0 , 6 0 , 6 x r é a l i s é e s en a n g l a i s s e u l e m e n t . C ' e s t à p a r t i r de c e s d e r n i e r s r é s u l t a t s q u ' o n se p r o p o s e d e d é f i n i r u n g r a p h e " f l o u de s u r c l a s s e m e n t " .

(26)

V I I . 2 - D é f i n i t i o n d ' u n g r a p h e fl o u de s u r c l a s s e m e n t

V I I . 2.1 - g é n é r a l i t é s

L ' a p p r o c h e t r a d i t i o n n e l l e de l ' a n a l y s e m u l t i c r i t è r e f o n d é e sur les r e l a t i o n s de s u r c l a s s e m e n t est l ' e x p r e s s i o n d ' u n e l o g i q u e b i n a i r e d u t o u t o u rien. C o m p t e t e n u du d é d o u b l e m e n t de la r e l a t i o n JR en s u r c l a s s e m e n t fort ou f a i b l e o n a soit j

(K

j ' ( j s u r c l a s s e j ' ) o u j ^ j ' (j ne s u r c l a s s e p a s j ' ) . En i n t r o d u i s a n t la n o t i o n de " f o n c t i o n c a r a c t é r i s t i q u e " o u " f o n c t i o n d ' a p p a r t e n a n c e " d u c o u p l e (j,j') à la r e l a t i o n Æ , et n o t é e , j ' ) , o n é c r i r a V ( j , j ' ) 6 J x J (13) j f o j'

<&>

/ f o ( j J ’) = 1 (14) j j ' <*> » j ' ) = 0 P a r d é f i n i t i o n ^ ^ en r ^ s u l t e q u e la r e l a t i o n d o n n e n a i s s a n c e a un g r a p h e G = (J,U) au s e n s de B E R G E où l ' e n s e m b l e d e s a r c s U est d é f i n i p a r les c o u p l e s (j,j') v é r i f i a n t , c ' e s t - à - d i r e : (15) U = [ ( j , j ' )

£

J x J / / ^ O ' J ’) = l ] ♦ • L e p r i n c i p e de l ' a n a l y s e m u l t i c r i t è r e d e la d é c i s i o n f l o u e c o n s i s t e à é t e n d r e la l o g i q u e b i n a i r e d u t i e r s e x c l u a u c a s p l u s g é n é r a l de la l o g i q u e n - a i r e floue, c ' e s t - à - d i r e à r e m p l a c e r la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t t r a d i t i o n n e l l e p a r u n e r e l a t i o n b i n a i r e f l o u e , notéejîj,, et t e l l e que: (16) V ( j , j ’) 6 J x J : / f o Ü J ' ) 6 M où M est t o t a l e m e n t o r d o n n é ou p r é o r d o n n é ; d a n s la s u i t e de l ' e x p o s é o n c o n s i d è r e le ca s o ù M = ^ 0 , 1 3 • La r e l a t i o n a i n s i d é f i n i e - " r e l a t i o n f l o u e de s u r c l a s s e m e n t " ou " r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t i m p r é c i s " - d o n n e n a i s s a n c e à u n g r a p h e f l o u d o n t les a r c s s on t p o r t e u r s de s v a l e u r s p r i s e s p a r la f o n c t i o n

>3 ' ) •

P ar c o n s é q u e n t , l ' e n s e m b l e d e s a r c s p e u t ê t r e a s s i m i l é à u n s o u s - e n s e m b l e f l o u n o t é U tel que:

(27)

(17) u = [ ( ( j , j ' ) , / * & ( j » j ')) ; 6 J x J j C = (ü,U) es t u n g r a p h e f l o u de s u r c l a s s e m e n t o u g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t i m p r é c i s . VII. 2. 2 - Y a l u a t i o n _ d e s _ a r c s j _ _ e s t i m a t i o n _ d e s _ d e g r e s O n c o n s i d è r e le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t p r é c i s (fort o u f ai bl e ) o b t e n u p a r S P A R T E . A d m e t t o n s q ue l ' h y p o t h è s e j (R» j ' s o i t v é r i f i é e ; il c o n v i e n t de v a l u e r l' ar c ( j j 1) a f i n d ' a p p r é c i e r le d e g r é d e p r é c i s i o n du s u r c l a s s e m e n t o b t en u. Le d e g r é de p r é c i s i o n de l ' a r c (j,j') - e s t i m a t i o n d ' u n e v a l e u r de la f o n c t i o n ~ est d é f i n i p a r 1 1 i n t e r s e c t i o n f l o u e d es d e g r é s de c r é d i b i l i t é a s s o c i é s à c h a q u e s om met, soit:

(18) m i n (max y*) = (yj V ... V y^) A (yj,V... V y ^ t) on v é r i f i e i m m é d i a t e m e n t que: (19) 0 ^ m i n ( m a x y*) ^ 1 E x e m p l e ( c f . t a b l e a u p r é c é d e n t ) : ,b) a p o u r e s t i m a t i o n 0 A 0, 3 = 0 / V e ,d) a p o u r e s t i m a t i o n 0 , 6 A 1 = 0,6 A/ S o i t G = (J,U) le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t p r é c i s d o n n é p a r S P A R T E , s o n g r a p h e p a r t i e l , n o t é G' = (J,U') e s t o b t e n u e n é l i m i n a n t les a r c s a s s o c i é s à d e s d e g r é s de p r é c i s i o n n u l s :

(20)

( j J ' ) é U et

=*

(jj')féu'

ro

V I I . 2.3 - O b t e n t i o n _ d u _ g r a g h e _ f l o u _ d e s u r c l a s s e m e n t Le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t i m p r é c i s , n o t é G^' = (J,U') est d é f i n i à p a r t i r d e s a r c s d u g r a p h e n o n - f l o u G' v a l u é s c o m m e il le fut i n d i q u é p r é c é d e m m e n t .

(28)

(I) g r a p h e de s u r c 1 a s s e m e n t flou o b t e n u à p a r t i r de la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t fort: (X-F i g u r e 1 (2) en t e n a n t c o m p t e de la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t f a i b l e on o b t i e n t :

a.

F i g u r e 2

Da n s les d e u x cas, l ' e n s e m b l e U' des a r c s de G' e st u n s o u s -_/V

_rj

e n s e m b l e f l o u de U' tel que: (

_{2 1}

) y = [ ( ( j , j ' ) , Ü J ' ) é u'J a vec c as (1) ou & = f

_{Aj rj}

c a s (2) C o m p t e t e n u de la r e s t r i c t i o n o p é r é e p a r la r e l a t i o n (20) on n o t e r a que: (22) 0

K

: a u c u n arc n ' e s t p o r t e u r d ' u n d e g r é nul, ^ ce q u i r e n d p o s s i b l e l ' a p p l i c a t i o n d u t h é o r è m e de d é c o m p o s i t i o n é n o n c é c i - d e s s o u s . V I I . 3 - E x p l o i t a t i o n d u g r a p h e f l o u de s u r c l a s s e m e n t V I I . 3.1 - D é c o m p o s i t i o n _ d e _ l a _ r e l a t i o n _ f l o u e _ d e _ s u r c l a s s e m e n t T h é o r è m e ( c f . K A U F M A N N [7] p . 67) T o u t e r e l a t i o n f l o u e & p e u t ê t r e d é c o m p o s é e s o u s la f o r m e :

(29)

= 1 R e m a r q u e P a r d é f i n i t i o n yô e s t u n e e s t i m a t i o n d u d e g r é de p r é c i s i o n d es a r c s p o r t e u r s de la m ê m e v a l e u r . La r e l a t i o n (22) es t c o n f o r m e à la c o n d i t i o n 0

<C (!>

^ 1 . C o n s é q u e n c e s i) si es t la p l u s f a i b l e v a l e u r de la f o n c t i o n a l o r s

(Ü

d o n n e n a i s s a n c e à u n g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t p r é c i s r m

G \

tel que: G' = G' /^m ii) V f V ^ ^ 1, les r e l a t i o n s «ftjô d o n n e n t n a i s s a n c e à d e s g r a p h e s G ^ qui, p a r d é f i n i t i o n , son t d e s g r a p h e s p a r t i e l s d e G'. iii) en p a r t i c u l i e r , Gj , s' i l e x i s t e , est le g r a p h e p a r t i e l d o n t le n o m b r e d ' a r c s e s t r é d u i t a u m i n i m u m . V I I . 3.2 - P r é s e n t a t i o n d e s r é s u l t a t s L ' é l i m i n a t i o n d es a r c s c o n f o r m é m e n t à la r e l a t i o n (20) e n t r a î n e l ' i n c o m p a r a b i l i t é d e c e r t a i n s s o m m e t s . L ' o p t i q u e d ' u n c l a s s e m e n t d e s é l é m e n t s de J d e v i e n t sans g r a n d e s i g n i f i c a t i o n . O n se l i m i t e r a , p a r c o n s é q u e n t , à la r e c h e r c h e d u n o y a u p o u r c h a c u n d e s g r a p h e s p a r t i e l s c o n s i d é r é s . D ' a p r è s ce q u i p r é c è d e , il est é v i d e n t q u e l e s r é s u l t a t s s e r o n t d ' a u t a n t p l u s l â c h e s ( n o y a u x r i c h e s en é l é m e n t s ) q u e le d e g r é de p r é c i s i o n a s s o c i é a u g r a p h e p a r t i e l s e r a é l e v é . (1) c o n s i d é r o n s le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t f l o u o b t e n u à p a r t i r de la r e l a t i o n de s u r c l a s s e m e n t f o r t ( fi gu r e 1). O n v é r i f i e q u e $1 se d é c o m p o s e en d e u x r e l a t i o n s de s u r c l a s s e m e n t p r é c i s : ^ 0 , 3 et *^0,6' s u i v a n t : •Le g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t p r é c i s a s s o c i é à 0\), 3 e st le

(30)

le n o y a u d u g r a p h e p a r t i e l (a excl u) est c o m p o s é de l ' é l é m e n t f. E t a n t d o n n é q u e a n ' e s t p a s c o m p a r a b l e a v e c les a u t r e s é l é m e n t s de J, il s e m b l e l o g i q u e de le f a i r e f i g u r e r d a n s le n o y a u . N o u s r e t i e n d r o n s c e t t e c o n v e n t i o n p a r la suite. P o u r iR,q ^ o n v é r i f i e q u e le n o y a u se c o m p o s e d e s é l é m e n t s a, b, f. (2) En tenafitcompte de la r e l a t i o n i n i t i a l e de s u r c l a s s e m e n t f a i b l e et, a p r è s é l i m i n a t i o n de s c i r c u i t s p o u r les g r a p h e s p a r t i e l s a s s o c i é s à CRQ ^ et îHq 6 , on o b t i e n t les m ê m e s r é s u l t a t s q u e p r é c é d e m m e n t (il f a l l a i t s'y a t t e n d r e é t a n t d o n n é la n a t u r e de l ' e x e m p l e r e t e n u ) .

(31)

A N N E X E I - N o y a u S o i t U l ' e n s e m b l e d e s ar c s d u g r a p h e de s u r c l a s s e m e n t et J l ' e n s e m b l e de ses s o m m e t s . O n n o t e G = (J,U) ce g r a p h e . - Le n o y a u d u g r a p h e es t le s o u s - e n s e m b l e de J n o t é N q u i s a t i s f a i t a u x d e u x p r o p r i é t é s s u i v a n t e s : P1 - P r o g r i é t é _ d e _ s t a b i l i t é _ e x t e r n e V k é J - N , 3 j £ N / (j,k) £ U tou t é l é m e n t é l i m i n é d u n o y a u est s u r c l a s s é p a r au m o i n s u n des é l é m e n t s a p p a r t e n a n t à N. P2 - P r o g r i e t é _ d e s t a b i l i t e _ i n t e r n e V j , j ' é. N, o n a: (j , j ' ) ^ U a u c u n ar c n e r e l i e les é l é m e n t s d u noy au : c e u x - c i s o n t j u g é s i n c o m p a r a b l e s . - O n d é m o n t r e q u e le n o y a u e s t u n i q u e et e x i s t e t o u j o u r s l o r s q u e le g r a p h e s a t i s f a i t a u x d e u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s : C 1 - i l _

2 2

s s è d e _ u n _ n o m b r e _ f i n i _ d e _ s o m m e t s C2 - il est d é p o u r v u d e c i r c u i t s . C e t t e d e r n i è r e c o n d i t i o n , en p r a t i q u e , se r é a l i s e p e u s o u v e n t . O n d e v r a é l i m i n e r les c i r c u i t s c o n f o r m é m e n t à la p r o c é d u r e s u i v a n t e . II - R é t r é c i s s e m e n t d e s c i r c u i t s Si (j,k) 6 U et (k,j) é. U a l o r s j = k: t o u s le s s o m m e t s d ' u n c i r c u i t s o n t c o n s i d é r é s c o m m e ex ae qu o . O n l es r e p r é s e n t e p a r u n s o m m e t u n i q u e n o t é j^j,k^ : soit G' = le s o u s -g r a p h e o b t e n u .

(32)

D é s i g n o n s p a r C le c i r c u i t et d é f i n i s s o n s u n n o u v e a u g r a p h e G' = (J',U') de la f a ç o n s u i v a n t e : (1)

(

2

)

(3) (x,y) £ U x ^ C et y ^ C j U , y )

€

U x

ji

C et y £ C j (x,y) € U x é C et y ^

t

^ (x,y) é U1 = > (x, [ j , k J ) € U' =•> ( , y) £ U ’ S o u s c es c o n d i t i o n s , o n dit qu e G ’ est o b t e n u p a r r é t r é c i s s e m e n t (ou e n c o r e p a r c o n d e n s a t i o n ) du s o u s - g r a p h e G ’

(33)

R E F E R E N C E S 1 L A N C A S T E R K.J. - C o n s u m e r D e m a n d : A N e w A p p r o a c h . C o l u m b i a U n i v . P r e s s , N e w - Y o r k , 1971. 2 F U S T I E R B . , R O U G E T B. - La n o u v e l l e t h é o r i e d u c o n s o m m a t e u r e s t - e l l e t e s t a b l e ? - D o c u m e n t d e T r a v a i l de l ' I . M . E . , n°34, j a n . 1 9 7 9 . 3 R O Y B. - C l a s s e m e n t et c h o i x en p r é s e n c e de p o i n t s de v u e m u l t i p l e s , la m é t h o d e E L E C T R E - R e v u e d ' i n f o r m a t i q u e et de R e c h e r c h e O p é r a t i o n n e l l e , n°8, 1968. 4 R O Y B., B E R T I E R P. - L a m é t h o d e E L E C T R E II, u n e m é t h o d e de c l a s s e m e n t en p r é s e n c e d e c r i t è r e s m u l t i p l e s - N o t e de t r a v a i l de la SEMA, n°142, A v r i l 1972. 5 F U S T I E R B. - N o u v e l l e t h é o r i e de la d e m a n d e et c o n s o m m a t i o n m é d i c a l e : a d a p t a t i o n et a p p l i c a t i o n d u m o d è l e de L A N C A S T E R à la s é l e c t i o n de s m é d i c a m e n t s p a r le p r a t i c i e n - T h è s e c o m p l é m e n t a i r e . U n i v . d e D i j o n , j u i l l e t 1980. 6 J O L L E S E. - C o n t r i b u t i o n à l ' a n a l y s e de la d é c i s i o n f l o u e : d e u x e x e m p l e s d ' a p p l i c a t i o n . M é m o i r e de D . E . S . , U n i v . d e D i j o n , 1975. 7 K A U F M A N N A. - I n t r o d u c t i o n à la t h é o r i e de s s o u s - e n s e m b l e s f l o u s - T o m e 1, M a s s o n et Cie, P a r i s , 1973. 8 R O Y B. - C o n c e p t de s u r c l a s s e m e n t f l o u - D o c u m e n t i n t e r n e de 1 ' I . M . E . , D i j o n 1975. 9 L A S S I B I L L E G., P A R R O N C. - A n a l y s e m u l t i c r i t è r e d a n s u n c o n t e x t e i m p r é c i s . D o c u m e n t d e T r a v a i l de l ' I . M . E . , n°12, D i j o n , 1975. 10 P R A D E H. - L ' e n s e m b l e de P A R E T O p e u t - i l ê t r e f l o u ? - B U S E F A L , U n i v . P a u l S a b a t i e r , T o u l o u s e , P r i n t e m p s 1980.

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11 RO Y B. - O u t r a n k i n g a n d F u z z y O u t r a n k i n g : A C o n c e p t m a k i n g O p e r a t i o n a l P a r t i a l O r d e r A n a l y s i s - D e c i s i o n m a k i n g w i t h m u l t i p l e c o n f l i c t i n g o b j e c t i v e s , e d i t e d b y R A I F F A a n d K E Y N E Y , IIASA, V i e n n a , 19 76. 12 M O S C A R O L A J., R O Y B. - P r o c é d u r e a u t o m a t i q u e d ' e x a m e n de d o s s i e r s f o n d é e sur u n c l a s s e m e n t t r i c h o t o m i q u e en p r é s e n c e de c r i t è r e s m u l t i p l e s - L A M S A D E , U n i v . P a r i s IX- D a u p h i n e , J a n . 1976. 13 G U I G O U J.L. - M é t h o d e s m u l t i d i m e n s i o n n e l l e s : a n a l y s e d e s d o n n é e s et c h o i x à c r i t è r e s m u l t i p l e s - F i n a n c e et E c o n o m i e A p p l i q u é e , n°56, D u n od , 1977.