Classification de relations d'inférence non-monotone : la prudence et les propriétés de déduction

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Classification de relations d’inférence non-monotone : la

prudence et les propriétés de déduction

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex

To cite this version:

Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex. Classification de relations d’inférence non-monotone : la prudence et les propriétés de déduction. [Rapport de recherche] 94-49, IRIT - Institut de recherche en informatique de Toulouse. 1994. �hal-02881255�

Classication de relations d'inference

non-monotone :

la prudence et les proprietes de deduction

Claudette CAYROL

Marie-Christine LAGASQUIE-SCHIEX

Rapport IRIT / 94.49. R

Novembre 1994

Classication de relations d'inference

non-monotone :

la prudence et les proprietes de deduction

Claudette Cayrol

Marie-Christine Lagasquie-Schiex

Institut de Recherche en Informatique de Toulouse

Universite Paul Sabatier

118 route de Narbonne

31062 Toulouse Cedex

FRANCE

e-mail :

f

testemal, lagasq

g

@irit.fr

Resume

Ce rapport presente des travaux de recherche menes a l'IRIT (\equipe Intelligence Articielle et Robotique { Communication, Decision, Raisonnement"). Il s'agit de la suite d'une premiere etude presentee dans le rapport [CLS93] portant sur la complexite de certains processus d'inference non-monotone sur une base de croyances E ordonnee ou pas et pouvant ^etre initialement inconsistante.

Dans ce second rapport, nous continuons par deux etudes, une portant sur la pru-dence de processus d'inference non-monotone et l'autre sur les proprietes de deduction de ces m^emes processus.

Ces processus sont construits de facon identique a celle decrite dans le rapport [CLS93] : combinaison d'un mecanisme de generation d'ensembles de croyances consis-tants issus de E et pouvant ^etre ordonnes ou pas (ce mecanisme est note m) et d'un principe d'inference p. On obtient ainsi une relation d'inference du type (E;<)j

p;m_.

Nous denissons ensuite une nouvelle relation d'inference non monotone du type : jp;mE;<.

Table des matieres

1 Introduction

1

2 Les denitions de la relation d'inference non-monotone

4

2.1 La premiere denition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2.2 La seconde denition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2.3 Caracterisation des sous-ensembles preferes dans la premiere denition : : : : : : : 5 2.3.1 Mecanisme de generation T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2.3.2 Mecanisme de generation S : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2.3.3 Mecanisme de generation INCL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2.3.4 Mecanisme de generation BO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.3.5 Mecanisme de generation CAR : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 2.3.6 Mecanisme de generation LEX : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.3.7 Mecanisme de generation E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

2.4 Comparaison des deux denitions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 2.5 Quelle denition allons-nous utiliser ? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20

3 La prudence

22

4 Etat de l'art sur les proprietes de deduction

26

4.1 Les proprietes de Kraus, Lehmann et Magidor et leur semantique : : : : : : : : : : 26 4.1.1 Le systeme C : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 4.1.2 Le systeme CL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 4.1.3 Le systeme P : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 4.1.4 Le systeme CM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 4.1.5 Le systeme M : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 4.1.6 Conclusion sur les travaux de Kraus, Lehmann et Magidor : : : : : : : : : : 35 4.2 Les proprietes de Gardenfors et Makinson et leur semantique : : : : : : : : : : : : 35 4.2.1 Les proprietes de Gardenfors et Makinson : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 4.2.2 Le cas des ensembles \d'expectations" : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 4.2.3 Le cas des ordres \d'expectations" : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39

5 Les resultats sur les proprietes de deduction

41

5.1 Les resultats deja existants et leurs incidences : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 5.1.1 UNI-INCL, UNI-LEX, UNI-BO : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 5.1.2 UNI-Eet EXI-E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43

5.1.3 Conclusion sur les resultats deja existants : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 5.2 Les nouveaux resultats : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 5.2.1 La supra-classicite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 5.2.2 La re exivite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 5.2.3 La preservation de la consistance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 5.2.4 La conditionnalisation faible : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 5.2.5 Le OU : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 5.2.6 La monotonie rationnelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 5.2.7 L'equivalence logique gauche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.2.8 L'aaiblissement droit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.2.9 La coupure : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 5.2.10 La monotonie prudente : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.2.11 La cumulativite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55 5.2.12 Le ET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 5.2.13 La monotonie rationnelle faible : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 5.3 Conclusion sur les resultats : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60

6 La synthese des resultats

63

6.1 Remarques sur les proprietes de deduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 6.1.1 Les similarites : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 6.1.2 Les dierences : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64 6.1.3 Lien avec les classications existantes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64 6.1.4 Choix en fonction d'un ensemble de proprietes : : : : : : : : : : : : : : : : 65 6.2 Prudence et proprietes de deduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 6.3 Complexite, prudence et proprietes de deduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66 6.3.1 La complexite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 6.3.2 La prudence : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 6.3.3 Les proprietes de deduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 6.3.4 Les trois points de vue a la fois : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 6.4 Conclusion generale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77

Introduction

Nous retrouvons dans ce document le theme aborde dans le rapport [CLS93] : le raisonnement dans des systemes a bases de croyances, plus particulierement dans les situations ou :

la base de croyances peut ^etre inconsistante,

les informations qui sont dans la base sont incertaines. Nous avons donc 2 motivations :

pouvoir traiter les inconsistances eventuelles, ce qui nous amene a etablir des preferences entre les informations an de gerer les con its,

pouvoir rendre compte d'un fait incontestable : toutes les informations n'ont pas la m^eme importance (par exemple, on peut faire intervenir un degre de certitude).

On parlera alors de paradigme des \croyances et preferences" constitue d'une base de croyances E et d'une relation notee < sur les elements de E, dite relation de preference. Le couple (E;<) est aussi appele base de croyances stratiee.

Il existe actuellement de nombreux formalismes proposes pour traiter ces problemes. Ceux qui nous interessent ici se ramenent tous a l'exploitation des sous-bases consistantes et eventuellement d'un ordre sur ces sous-bases, le but evident etant de continuer a pouvoir utiliser les mecanismes de la logique classique sur des parcelles de croyances coherentes puisqu'on ne peut plus le faire sur la totalite des croyances, devenue incoherente.

D'autre part, nous nous situons dans un cadre syntaxique (\syntax-based" en anglais{voir [Neb91]), par opposition au cadre semantique propose par Gardenfors et Makinson dans [Gar91, GM94].

Le but de ce document est donc de faire une synthese de ces formalismes. Cette synthese va s'eectuer au travers des relations d'inference denies par les divers formalismes en utilisant la methode decrite par [PL92] qui consiste a separer le mecanisme de production des sous-bases consistantes de croyances (et eventuellement ordonnees), des principes gerant les con its. Dans [CLS93], cette methode ainsi que les mecanismes de production des sous-bases consistantes et les principes d'inference utilises ont ete longuement decrits et nous ont amenes a denir 21 relations d'inference du type (E;<) p;m :

bases consis-tantes sans ordre bases consis-tantes avecordre \BEST-OUT" sans ordre avecordre base sur l'inclusion avecordre basesurla cardinalite avecordre lexi-cographique Logique desdefauts sansordre

UNI UNI-S UNI-T UNI-E



EXI EXI-S EXI-T EXI-E



ARG ARG-S ARG-T ARG-E



UNI-PREF

UNI-BO UNI-INCL UNI-CAR UNI-LEX

EXI-PREF

EXI-BO EXI-INCL EXI-CAR EXI-LEX

ARG-PREF

ARG-BO ARG-INCL ARG-CAR ARG-LEX

Legende du tableau :

Nous trouvons en colonne, les dierents mecanismes de denition d'un ensemble de sous-ensembles consistants de E note PE_{et d'un ordre sur P}E_{et nous avons en ligne,}

les dierents principes d'inference consideres.

Rappelons rapidement que les mecanismes de generation utilises ici sont denis par dierents chercheurs :

voir [Bre89, Cay90, Cay92, CRS92, DLP91] pour les theses avec l'ordre base sur l'inclusion, voir [BCD+93] pour les theses avec l'ordre base sur la cardinalite ou l'ordre lexicographique,

voir [BCD+93, DLP91] pour les sous-bases consistantes avec l'ordre \BEST-OUT",

voir [Rei80] pour les extensions de la logique des defauts1,

quant aux notions de sous-bases consistantes et de theses, elles ont ete tres souvent utilisees dans la litterature. Nous rappelons ici les principales denitions : soit E un ensemble ni non vide de formules,

les sous-bases consistantes A de E sont les sous-ensembles de E consistants au sens de la logique classique ;

une sous-base A de E est une sous-base consistante maximalepour l'inclusion (sous-base maximale consistante) de E ssi :

A est une sous-base consistante,

il n'existe pas de sous-base consistante de E contenant strictement A ; les sous-bases de E maximales consistantes seront aussi appelees theses de E. .

Ce rapport est structure de la maniere suivante : 1. a partir d'une relation du type (E;<)j

p;m_{ liant un ensemble (E;<) et une formule ,}

nous denissons une nouvelle relation d'inference non-monotone liant 2 formules et  dans un contexte (E;<) donne : j

p;m

E;< ; nous etudions et comparons deux denitions possibles

d'une telle relation :

jp;mE;< ssi ( (E;<))jp;m,

jp;mE;< ssi (E;<)jp;m( !) ;

1Nous ne nous interesseronsdans le cadre de cette etude qu'au cas des defauts normaux(les defauts

super-normaux sont des defauts super-normaux sans pre-requis, donc de la forme \ : bi=bi") puisque, dans ce cas la, il existe

un lien entre ce mecanisme et celui de Brewka (voir [Bre89]). Nous noterons ce mecanisme Epour le distinguer

puis nous en choisissons une sur laquelle nous allons eectuer notre etude ; 2. etude de la prudence (cautiousness) (cf. [PL92]) des relations d'inference j

p;m

E;<

corre-spondant a la denition choisie ;

3. etat de l'art concernant les proprietes de deduction (synthese des articles [KLM90, Gar91, GM94]) ;

4. etude de la relation d'inference j

p;m

E;< correspondant a la denition choisie du point

de vue des proprietes de deduction veriees parmi l'ensemble des proprietes denies par [Gar91, GM94, KLM90] ;

5. conclusion de l'etude et perspectives.

Le but de cette synthese est de completer, du point de vue de la prudence et des proprietes de deduction veriees, le repertoire de formalismes initialise du point de vue de la complexite dans [CLS93].

Nous avons donc 3 points de vue a synthetiser : la prudence ;

la complexite de calcul ; les proprietes de deduction.

Ainsi, nous esperons arriver a mieux comprendre les dierents formalismes etudies et nous pour-rons preciser davantage les inter^ets de la relation d'inference choisie par rapport a un contexte d'utilisation donne. Par exemple, quelle relation est la plus appropriee dans le contexte d'une application de diagnostic avec des hypotheses de panne ordonnees, dans le cas de connaissances hierarchiques, dans un contexte de fusion de bases de connaissances.

Les denitions de la relation

d'inference non-monotone

Dans toute la suite, nous etudions la denition d'une relation d'inference non-monotone du type j

p;m

E;< avec :

E : la base initiale (ensemble de formules propositionnelles) supposee nie, < : ordre entre les formules de E,

p : principe d'inference,

m : mecanisme de denition de sous-ensembles consistants de E avec un ordre entre ces sous-ensembles induit de <,

et  : formules de la logique propositionnelle.

Nous ne redenissons pas les divers mecanismes m, ni les divers principes p. Nous renvoyons le lecteur a [CLS93].

2.1 La premiere denition

Denition 2.1.1

jp;mE;<ssi( (E;<))jp;m

L'operateurpeut ^etre deni de dierentes manieres.

Denition 2.1.2

Soit (E;<) une base de croyances propositionnelle stratiee ou pas et une formule propositionnelle, ( (E;<)) = (E[f g;<

0), avec l'ordre <0 etendant l'ordre < en

rajoutant une premiere strate aE ne contenant que 1.

Cette denition 2.1.2 represente le point de vue de la revision de connaissances selon lequel la for-mule rajoutee est systematiquement conservee. Nous nous inspirons ici des travaux sur la revision menes entre autres par Nebel (cf. [Neb91]). Cette denition est la plus connue et la plus utilisee. C'est celle que nous exploiterons principalement dans cette etude.

Rappelons que le cadre syntaxique, dans lequel nous denissons nos relations d'inference non-monotone, nous oblige a considerer la formule rajoutee comme un tout indivisible (elle est acceptee ou rejetee en integralite) et ceci m^eme si est une conjonction de formules2.

Par contre, en s'eloignant du point de vue de la revision, on peut denir de nouveaux operateurs

.

1C'est-a-dire que est strictement preferee a toute autre formule deE.

Denition 2.1.3

Soit(E;<) une base de croyances propositionnelle, stratiee ou pas, et une formule propositionnelle,( (E;<)) = E[f g, ensemble dans lequel toutes les formules sont

de m^eme priorite.

La semantique de cette denition 2.1.3 repose sur le fait suivant : ce n'est pas parce qu'on rajoute une nouvelle information a nos croyances, que est plus able que les autres croyances de notre base. Cette denition pourra ^etre utilisee pour les relations d'inference non-monotone n'exploitant pas l'ordre existant entre les formules de la base E.

On peut aussi considerer que l'operateurconsiste a rajouter une information en precisant

com-ment classer cette nouvelle croyance par rapport au reste de la base. Cela revient a inserer dans E soit en creant une strate specique pour , soit en placant dans une strate deja existante, ce qui signie qu'il faut mettre l'ordre < a jour. Cette possibilite est complexe a mettre en uvre et ne sera pas exploitee ici.

2.2 La seconde denition

Denition 2.2.1

j

p;m

E;<ssi(E;<)j

p;m₍

!)

Cette denition presente l'avantage d'eviter de calculer de nouveaux sous-ensembles preferes. Tra-vailler avec une nouvelle formule peut alors se faire a partir des sous-ensembles preferes de E. Ce n'est pas le cas avec la denition 2.1.1 dans laquelle on denit un nouvel ensemble E.

2.3 Caracterisation des sous-ensembles preferesdans la

pre-miere denition

Pour chaque mecanisme de generation m, nous cherchons a caracteriser les sous-ensembles m-preferes de ( (E;<)) par rapport aux sous-ensembles m-preferes de (E;<).

2.3.1 Mecanisme de generation T

L'ordre <, s'il existe, n'intervient pas dans le mecanisme de generation T ; en consequence, nous notons la base E au lieu de (E;<).

Quant a l'operateur, il peut correspondre soit a la denition 2.1.3, soit a la denition 2.1.2. Or,

dans le second cas, on veut absolument prendre en compte le fait que la formule rajoutee est la plus prioritaire. Le mecanisme INCL est alors le seul mecanisme qui nous interesse. Donc, la denition 2.1.2 sera etudiee comme etant un cas particulier du theoreme 2.3.3 et pour le mecanisme T, on obtient un seul theoreme de caracterisation (2.3.1) correspondant a la denition 2.1.3.

Rappelons que les sous-ensembles preferes de E par le mecanisme T sont les theses de E.

Theoreme 2.3.1

Les theses de E[f gsont :

soit des thesesY deE ssiY est inconsistante avec , soit de la formef g[Y avec :

Y E,

Y consistante avec ,

Preuve :

Une these est un sous-ensemble consistant maximal pour l'inclusion. D'autre part, l'operateurcorrespond a l'union. Par consequent, un sous-ensemble Y

0

consis-tant maximal pour l'inclusion de E[f gpeut ^etre :

soit un sous-ensemble Y consistant maximalpour l'inclusion de E a condition que Y soit inconsistant avec (sinon Y0n'est pas maximal),

soit l'union de avec une sous-base Y ; par construction, cette Y est incluse dans E et consistante avec ; Y est-elle maximale pour l'inclusion parmi les sous-bases de E consistantes avec ? la demonstration se fait en deux etapes :

condition susante : soit l'ensemble Y0=

f g[Y avec Y E, Y consistante

avec et Y maximale pour l'inclusion parmi les sous-bases de E consistantes avec alors Y0 est maximale pour l'inclusion pour

E, c'est donc une

these de E0;

condition necessaire : soit Y0une these de

E, alors Y

0est de la forme f g [

Y avec Y E, Y -consistante ; raisonnons par l'absurde et supposons que Y

ne soit pas maximale pour l'inclusion parmi les sous-bases de E consistantes avec ; il existe alors ZE maximale pour l'inclusion parmi les sous-bases

de E -consistantes telle que Y Z)f g[Y f g[Z )f g[Y n'est

pas une these de E0

)contradiction avec l'hypothese Y

0these de E.

Proposition 2.3.1

Il y a au moins autant de theses dansE[f gque dansE.

Preuve :

D'apres le theoreme 2.3.1, chaque these Y de E sert a construire une these de E[f get les theses ainsi construites sont dierentes les unes des autres puisque

les Y de E sont distinctes deux a deux. On obtient donc au moins autant de theses preferees dans E[f gque dans E.

Exemple :

Soit la base E =f!p;p!o;p!(:v);o!v;o!aget la formule = (a!v).

On a 4 theses dans E : Y1 = f!p, p!o, p!(:v), o!ag Y1 est -inconsistante. Y2 = f!p, p!o, o!v, o!ag Y2est -consistante. Y3= f!p, p!(:v), o!v, o!ag Y3 est -consistante. Y4 = fp!o, p!(:v), o!v, o!ag Y4 est -consistante. Dans E0= E [f g, on a 5 theses : Y0 1 = Y 1 = f!p, p!o, p!(:v), o!ag Y0 2 = Y2 [f g= f!p, p!o, o!v, o!a, a!vg Y0 3 = Y3 [f g= f!p, p!(:v), o!v, o!a, a!vg Y0 4 = Y4 [f g= fp!o, p!(:v), o!v, o!a, a!vg Y0 5 = S[f g= f!p, p!o, p!(:v), a!vg avec S une partie de Y1

2.3.2 Mecanisme de generation S

Ici aussi, comme pour le mecanisme T, l'operateur  correspond soit a la denition 2.1.3, soit

la formule rajoutee est la plus prioritaire. Ceci ne correspond a aucun des mecanismes qui nous interessent. Donc, la denition 2.1.2 ne sera pas etudiee et pour le mecanisme S, on obtient un seul theoreme de caracterisation (2.3.2) correspondant a la denition 2.1.3.

Theoreme 2.3.2

Les sous-bases consistantes de E[f gsont :

soit Y, quelle que soitY sous-base consistante deE,

soit de la formef g[Y ssiY est une sous-base consistante deE consistante avec .

Exemple :

Soit la base E suivante : E =f!a;ab!;a!bg. Posons =:a. Il y a 7 sous-bases

consistantes dans E, dont 4 consistantes avec . Y1 = ? Y1 est -consistante Y2 = f!ag Y2 est -inconsistante Y3 = f!a, ab!g Y3 est -inconsistante Y4 = f!a, a!bg Y4 est -inconsistante Y5= fab!, a!bg Y5 est -consistante Y6 = fab!g Y6 est -consistante Y7 = fa!bg Y7 est -consistante Dans E0= f g[E, on a 11 sous-bases consistantes (7 + 4). Y0 1 = Y 1= ? Y 0 2 = Y 2 = f!ag Y0 3 = Y 3 = f!a, ab!g Y0 4 = Y 4 = f!a, a!bg Y0 5 = Y 5 = fab!, a!bg Y0 6 = Y 6 = fab!g Y0 7 = Y 7 = fa!bg Y0 8 = fa!g Y0 9 = fa!, ab!, a!bg Y0 10= fa!, ab!g Y0 11= fa!, a!bg

2.3.3 Mecanisme de generation INCL

La base de croyances etant stratiee, seule la denition 2.1.2 de l'operateurpresente un inter^et.

Rappelons que les sous-ensembles preferes de E par le mecanisme INCL sont les theses de E preferees pour l'inclusion (appelees theses incl-preferees). On obtient ainsi le theoreme 2.3.3.

Theoreme 2.3.3

Les theses de E incl-preferees sont de la forme f g[S avec :

SE,

S consistante avec ,

S incl-preferee parmi les sous-bases deE consistantes avec .

Preuve :

La demonstration se fait en deux etapes (c'est une generalisation d'une partie de la demonstration du theoreme 2.3.1). La base E est stratiee de la maniere suivante : E = E ::: Enavec Ei la strate numero i de E et E = .

condition susante : soit l'ensemble Y =f g[S avec SE, S consistante avec

et S incl-preferee parmi les sous-bases de E consistantes avec , montrons par l'absurde que Y est incl-preferee dans E ; si ce n'est pas le cas alors il existe

Z  E telle que Z est incl-preferee a Y ; c'est-a-dire, si on en revient a la

denition (voir dans [CLS93]) :9i, 0in, tel que Yi Zi, et8j < i, Yj = Zj ;

or Y = f g[S ) Y 0 6 = ? ) i  1 et Z 0 = f g ) 9i, 1  i  n, tel que

Si = YiZi, et8j < i, Yj = Zjce qui voudrait dire que S n'est pas incl-preferee

parmi les sous-bases -consistantes, donc contradiction.

condition necessaire : soit Y une these incl-preferee de E, alors Y est de la

formef g [S avec S E, S -consistante ; raisonnons par l'absurde et supposons

que S ne soit pas incl-preferee parmi les sous-bases de E consistantes avec ; il existe alors Z E incl-preferee parmi les sous-bases de E -consistantes telle

que Z est incl-preferee a S ; c'est-a-dire, si on en revient a la denition (voir dans [CLS93]) :9i, 1in, tel que Si Zi, et8j < i, Sj= Zj ;

ceci implique que Z[f gest incl-preferee a S[f g= Y , ce qui est contradiction

avec l'hypothese de depart.

Proposition 2.3.2

Il y a au moins autant de theses incl-preferees dans E que de theses

incl-preferees consistantes avec dansE.

Preuve :

D'apres le theoreme 2.3.3, le nombre de theses incl-preferees de E est

egal au nombre de S incl-preferees parmi les sous-bases de E -consistantes. Parmi ces S, on retrouve toutes les theses incl-preferees dans E consistantes avec . Donc il y a au moins autant de theses incl-preferees dans E que de theses incl-preferees

consistantes avec dans E.

Remarque : Chaque these incl-preferee de E inconsistante avec permet de trouver au moins un sous-ensemble S satisfaisant les conditions du theoreme 2.3.3. En eet, soit Y une these incl-preferee de E inconsistante avec , il sut d'appliquer l'algorithme suivant :

1. X f g

2. pour chaque strateide Y faire

3. determinerXi Yi maximal pour l'inclusion etX-consistant

4. X X[Xi

5. S Xnf g

Cependant, chaque these incl-preferee de E inconsistante avec peut permettre de trouver plusieursS. Par exemple, la these incl-prefereeY inconsistante avec suivante permet de trouver deux sous-ensembles S1 etS2. Y est : c d cb !(: ) e S1 est : b c d e S2 est : b d c!(: ) e

De m^eme, un m^eme sous-ensemble S peut ^etre issu de plusieurs theses incl-preferees de E in-consistantes avec . Par exemple, la base E suivante admet deux theses incl-preferees toutes inconsistantes avec = a et il n'existe qu'un seulS issu de ces deux theses :

E est : (:a)^b (:a)^(:b)

c S est : c

Exemple :

Soient la formule = (a!v) et la base E suivante : !p p!o p!(:v) o!v o!a

Les 2 theses incl-preferees de E sont :

Y1 = f!p, p!o, p!(:v), o!ag Y1est -inconsistante. Y2 = f!p, p!o, o!v, o!ag Y2 est -consistante. Dans E0= E, on a 2 theses incl-preferees : Y0 1 = f g[S = fa!v, !p, p!o, p!(:v)g avec S une partie deE Y0 2 = Y2 [f g= fa!v, !p, p!o, o!v, o!a, a!vg

2.3.4 Mecanisme de generation BO

Dans ce mecanisme de generation issu de l'ordre \Best-Out", on repere le numero de la strate la plus prioritaire a partir de laquelle se produit une inconsistance ; dans E, ce numero sera note amax et dans E0=

E, il sera note amax2.

D'autre part, comme pour le mecanisme INCL et pour les m^emes raisons (voir section 2.3.3), la seule denition de utilisee sera la denition 2.1.2.

On a alors les proprietes suivantes :

Propriete 2.3.1

L'ensemble N(E) =[i

=1;:::;amax 1Ei appele lenoyaude E est consistant.

Propriete 2.3.2

8Y, sous-base bo-preferee de E,Y =N(E) [S avec S Eamax[:::[En et

S noyau-consistant.

Quelle que soit la formule que l'on rajoute en premiere strate a E pour constituer E0, on se

retrouve dans un des 4 cas suivants :

1. soit l'apparition de provoque une inconsistance dans une strate i de E0 plus prioritaire

que celle pointee par le amax de E, on obtient la gure 2.1 et on en conclut que amax2 est egal ai.

2. soit l'apparition de provoque une inconsistance dans une stratei de E0moins prioritaire

que celle pointee par le amax de E, on obtient la gure 2.2 et on en conclut que amax2 est egal a amax.

E E’

Strate i : nouvelle inconsistance

amax de E

Ψ

Figure 2.1: Inconsistance avant la strateamax

E E’

Strate i : nouvelle inconsistance

amax de E

Ψ

Figure 2.2: Inconsistance apres la strate amax

E E’

amax de E

Strate i : nouvelle inconsistance

+

Ψ

E E’

amax de E

Ψ

Figure 2.4: Pas de nouvelle inconsistance

3. soit l'apparition de provoque une inconsistance dans l'ancienne strate amax de E, on obtient la gure 2.3 et on en conclut que amax2 est egal a amax.

4. soit l'apparition de ne provoque aucune nouvelle inconsistance, on obtient la gure 2.4 et on en conclut que amax2 est egal a amax.

On constate donc que, dans tous les cas, amax2amax. On obtient le theoreme de caracterisation

suivant :

Theoreme 2.3.4

Les sous-bases bo-preferees de E0=

E sont denies par :

soit amax2=amax : les seules sous-bases bo-preferees de E0sont de la formeY0=

f g[Y

avec Y sous-base bo-preferee de E -consistante3 ; on a alors autant de Y0 que de Y

-consistantes ;

soit amax2<amax : les seules sous-bases bo-preferees deE0sont de la formeY0=

f g[Z

ou Z est un sous-ensemble de E -consistant et tel que N(E0) Z.

On a alors la propriete suivante :

Propriete 2.3.3

amax2 <amax) 8Y une sous-base bo-preferee de E,Y est -inconsistante.

Preuve :

8Y, sous-base bo-preferee deE,Y = N(E)[S avec S Eamax[:::[En

et S noyau-consistant ; or, si amax2 < amax, alors f g[N(E) inconsistant ; donc

N(E) -inconsistant ; donc 8Y,Y est -inconsistante.

Rappelons aussi quelques proprietes donnees dans [BCD+93] :

Propriete 2.3.4

Parmi les sous-bases bo-preferees deE, on trouve les sous-bases incl-preferees

de E.

Propriete 2.3.5

Les sous-bases bo-preferees deEsont les sous-bases consistantes deEcontenant

N(E)(N(E) =[i

=1;:::;amax 1Ei). 3En eet,amax2=amax

)N(E 0) = f g[N(E))Y 0=N(E0) [S 0= f g[N(E)[S 0= f g[Y avec Y -consistante.

Propriete 2.3.6

Soit amax( ) l'indice maximal tel que [i

=1;:::;amax( ) 1Ei soit -consistant,

alors les sous-bases de E qui sont bo-preferees parmi les sous-bases -consistantes deE sont les sous-bases consistantes contenant [i

=1;:::;amax( ) 1Ei.

On en deduit la propriete suivante :

Propriete 2.3.7

Les sous-bases bo-preferees de E sont exactement de la formef g[Savec

SE sous-base bo-preferee parmi les sous-bases -consistantes de E.

Preuve :

On determine N( E) = f g

S

([i

=1;:::;amax2 1Ei) ; or, par denition,

amax2 correspond exactement a amax( ) l'indice maximal tel que[i

=1;:::;amax( ) 1Ei

soit -consistant ; donc en utilisant les proprietes 2.3.5 et 2.3.6, on obtient queN( 

E) =f g S

([i

=1;:::;amax( ) 1Ei), d'ou la propriete annoncee.

Exemple :

Nous retrouvons ici les deux cas presentes ci-dessus. Soit la base E suivante composee de 3 strates :

E = f!p, p!o, p!(:v), o!v, o!ag

Ici, amax =2. Posons = a!v. Les 6 sous-bases bo-preferees de E sont :

Y1 = f!p, p!og Y2 = f!p, p!o, p!(:v)g Y3 = f!p, p!o, o!vg Y4= f!p, p!o, o!v, o!ag Y5 = f!p, p!o, p!(:v), o!ag Y6 = f!p, p!o, o!ag

avec Y5 qui est -inconsistante et les autres qui sont -consistantes.

On a alors amax2 =amax et les 5 sous-bases bo-preferees deE0sont :

Y0 1 = f g[Y 1 = fa!v, !p, p!og Y0 2 = f g[Y 2 = fa!v, !p, p!o, p!(:v)g Y0 3 = f g[Y 3 = fa!v, !p, p!o, o!vg Y0 4 = f g[Y 4 = fa!v, !p, p!o, o!v, o!ag Y0 5 = f g[Y 6 = fa!v, !p, p!o, o!ag

Soit la base E suivante composee de deux strates :

a

:v

a!o

o!v

Ici, amax =2. Posons = a!v. Les 3 sous-bases bo-preferees de E sont :

Y1 = fa, :vg Y2 = fa, :v, a o Y3 = fa, :v, o v

On a alors amax2 =1<amax et les 11 sous-bases bo-preferees deE0 sont : Y0 1 = fa!vg Y0 2 = fa!v, ag Y0 3 = fa!v, a, a!og Y0 4 = fa!v, a, o!vg Y0 5 = fa!v, a, a!o, o!vg Y0 6 = fa!v, :vg Y0 7 = fa!v, :v, a!og Y0 8 = fa!v, :v, o!vg Y0 9 = fa!v, a!og Y0 10 = fa!v, a!o, o!vg Y0 11 = fa!v, o!vg

2.3.5 Mecanisme de generation CAR

Les sous-ensembles preferes deE par le mecanisme CAR sont les theses de cardinalite maximale. Notonsn le cardinal des theses car-preferees deE.

Quant a l'operateur, il peut correspondre soit a la denition 2.1.3, soit a la denition 2.1.2. Or,

dans le second cas, on veut absolument prendre en compte le fait que la formule rajoutee est la plus prioritaire. Le mecanisme LEX est alors le seul mecanisme qui nous interesse. Donc, la denition 2.1.2 sera etudiee comme etant un cas particulier du theoreme 2.3.6 et pour le mecanisme CAR, on obtient un seul theoreme de caracterisation (2.3.5) correspondant a la denition 2.1.3.

Theoreme 2.3.5

Les theses car-preferees Y0 de E

[f g sont caracterisees par une seule des

situations suivantes : 1. soitY0= Y (

jY 0

j= n) lorsque :

Y est une these car-preferee de E inconsistante avec ,

il n'existe pas de these deE qui soit -consistante (le cas 2 ne se produit pas) ; 2. soitY0=

f g[Y (jY 0

j= n+ 1) lorsqueY est une these deE consistante avec , et ce cas

masque les cas 1 et 3 ; 3. soitY0=

f g[S (jY 0

j= n) lorsque :

le cas 2 ne se produit pas,

S est une sous-base de E consistante avec telle que jSj= n 1.

Preuve :

Une sous-base car-preferee est un sous-ensemble consistant maximal pour

la cardinalite. Remarquons que les sous-bases car-preferees de E ont toutes le m^eme cardinal noten. D'autre part, l'operateurcorrespond a l'union. Par consequent, un

sous-ensemble Y0 consistant maximal pour la cardinalite deE

[f gpeut ^etre :

(cas 1) soit un sous-ensemble Y0 consistant maximal pour la cardinalite de E a

condition que Y0 soit inconsistant avec (sinon Y0 n'est pas maximal pour la

cardinalite puisque non maximal pour l'inclusion) et qu'il n'existe pas de sous-ensemble Y consistant maximal pour la cardinalite de E et -consistant (sinon

Y0 n'est pas maximal pour la cardinalite, puisque

jY [f gj>jY 0

j, voir cas 2) ;

dans ce cas le cardinal des car-preferees de E estn;

soit l'union de avec un sous-ensembleS ; par construction, ceS est inclus dans

E et consistant avec ; on a alors deux cas :

(cas 2) S est maximal pour la cardinalite parmi les sous-bases de E consis-tantes avec : soit l'ensembleY0=

f g[S avecS E,S consistante avec

et S maximal pour la cardinalite parmi les sous-bases de E consistantes avec alors jY

0

j = n + 1 ; raisonnons par l'absurde en supposant que Y 0

n'est pas car-preferee, ceci implique qu'il existe Z0 telle jZ

0 j > jY

0

j ; on a

soit Z0 contient et alors il existe un sous-ensemble Z de E tel que jZj> nce qui est en contradiction avec l'hypothese que nest le cardinal

maximal des sous-ensembles de E ;

soit Z0 ne contient pas et alors Z0 est un sous-ensemble de E tel que jZ

0

j> nce qui est en contradiction avec l'hypothese que nest le cardinal

maximal des sous-ensembles de E ;

Ce cas exclut bien-s^ur les cas 1 et 3 puisque ici les car-preferees de E

ont pour cardinal n + 1alors que dans tous les autres cas ce cardinal est de

n.

(cas 3) S n'est pas maximal pour la cardinalite parmi les sous-bases de E

consistantes avec : il y a deux cas possibles :

soit jSj< n 1:jS[f gj< net alors8Y sous-base car-preferee de E, jS[f gj<jYj; sachant que les Y -consistantes donneront d'apres le

cas 2 des Y0car-preferees de cardinaliten + 1 et, si ce cas ne se produit

pas, alors les Y -inconsistantes donneront d'apres le cas 1 des Y0

car-preferees de cardinalite n, donc un sous-ensemble S de E -consistant de cardinalite < a n 1 ne peut donner une sous-base car-preferee de

E ;

soit jSj= n 1 :jS[f gj= n et alors si le cas 2 ne se produit pas (il

n'existe pas de Y sous-base car-preferee de E -consistante) l'ensemble

Y0 = S

[f g a une cardinalite maximale de n comme les sous-bases

car-preferees de Eobtenues par le cas 1, et les Y

0ainsi denies sont

aussi des car-preferees de E.

Propriete 2.3.8

S'il existe des Y theses car-preferees deE qui sont -consistantes :

alors il y a autant de theses car-preferees dans E[f g que de theses car-preferees deE

-consistantes ;

sinon il y a plus de theses car-preferees dans E[f gque de theses car-preferees de E.

Exemple :

Soit la baseE =f!p;p!o;p!(:v);o!v;o!aget la formule = (a!v).

On a 4 theses car-preferees dansE :

Y1 = f!p, p!o, p!(:v), o!ag Y1 est -inconsistante. Y2 = f!p, p!o, o!v, o!ag Y2 est -consistante. Y3 = f!p, p!(:v), o!v, o!ag Y3 est -consistante. Y4 = fp!o, p!(:v), o!v, o!ag Y4 est -consistante. Dans E0= E

[f g, on a 3 theses car-preferees (ici, c'est le cas numero 2 qui se produit) :

Y0 1 = Y2 [f g= f!p, p!o, o!v, o!a, a v Y0 2 = Y3 [f g= f!p, p!(:v), o!v, o!a, a v Y0 3 = Y4 [f g= fp!o, p!(:v), o!v, o!a, a v

Autre exemple :

La baseE est la m^eme que celle de l'exemple ci-dessus, on a donc les m^emes theses car-preferees pour E. Par contre, on choisit = ((a !v)^o^(:v)). Les 4 theses

car-preferees de E sont toutes -inconsistantes, ce sont donc les cas 1 et 3 qui se produisent. On obtient 5 theses car-preferees pourE0:

Y0 1 = Y 1, Y0 2 = Y 2, Y0 3 = Y 3, Y0 4 = Y 4, Y0 5 = [f!p,p!o,p!(:v)g.

Remarque : Nous travaillons dans un cadre \syntax-based" donc, bien que la formule soit un ensemble de trois clauses, elle est consideree comme une seule croyance.

2.3.6 Mecanisme de generation LEX

Les sous-ensembles preferes de E par le mecanisme LEX sont les theses de E preferees lexi-cographiquement.

Pour les m^emes raisons que celles evoquees pour le mecanisme INCL, la seule denition utilisee pour l'operateurest la denition 2.1.2. On obtient ainsi le theoreme 2.3.6.

Theoreme 2.3.6

Les theses de Elex-preferees sont de la formef g[SavecSune sous-base

deE consistante avec telle queS est lex-preferee parmi les sous-bases -consistantes de(E;<).

Preuve :

La demonstration se fait en deux etapes. La baseEest stratiee de la maniere

suivante : E = E1

[:::[En avec Ei la strate numeroi de E etE 0=

f g.

condition susante : soit l'ensemble Y = f g[S avec S  E, S consistante

avec etS lex-preferee parmi les sous-bases deEconsistantes avec , montrons par l'absurde que Y est lex-preferee dans E ; si ce n'est pas le cas alors il

existe Z  E telle que Z est lex-preferee a Y ; c'est-a-dire, si on en revient

a la denition (voir dans [CLS93]) : 9i, 0in, tel quejYij<jZij, et8j < i, jYjj=jZjj ; or Y = f g[S ) Y 0 6 = ? ) i  1 et Z 0 = f g ) 9i, 1  i  n, tel que jSij = jYij < jZij, et 8j < i, jYjj = jZjj ce qui voudrait dire que S n'est pas

lex-preferee parmi les sous-bases -consistantes, donc contradiction.

condition necessaire : soit Y une these lex-preferee de E, alorsY est de la

forme f g[S avec S E, S -consistante ; raisonnons par l'absurde et

sup-posons que S ne soit pas lex-preferee parmi les sous-bases deE consistantes avec

; il existe alors Z E lex-preferee parmi les sous-bases de E -consistantes

telle queZ est lex-preferee aS ; c'est-a-dire, si on en revient a la denition (voir dans [CLS93]) : 9i,1in, tel quejSij<jZij, et8j < i,jSjj=jZjj ;

ceci implique queZ[f gest lex-preferee aS[f g= Y, ce qui est contradiction

avec l'hypothese de depart.

Propriete 2.3.9

S'il existe des Y theses lex-preferees de E qui sont -consistantes alors le

nombre de theses lex-preferees dans E est egal au nombre de theses lex-preferees de E

Exemple :

Soient la formule = (a!v) et la base E suivante : !p p!o p!(:v) o!v o!a

Les 2 theses lex-preferees deE sont :

Y1 = f!p, p!o, p!(:v), o!ag Y1est -inconsistante. Y2 = f!p, p!o, o!v, o!ag Y2 est -consistante. Dans E0=

E, on a 1 these lex-preferee (c'est le cas 1 qui se produit) :

Y0 1 = Y2 [f g= fa!v, !p, p!o, o!v, o!ag

Autre exemple :

La baseEest inchangee. On prend pour =:o. Les deux theses lex-preferees

deEsont desormais toutes les deux -inconsistantes, c'est donc le cas 2 qui se produit. On obtient ainsi 2 theses lex-preferees pour E0 :

Y0 1 = f:o, !p, p!(:v), o!v, o!ag Y0 2 = f:o, p!o, p!(:v), o!v, o!ag

2.3.7 Mecanisme de generation E



Ici, l'operateur  consiste a rajouter la formule a l'ensemble des premisses W sans modier

l'ensemble des defautsD. DoncE0= (W0;D) avecW0=

f g[W. On obtient ainsi le theoreme

de caracterisation 2.3.74.

Theoreme 2.3.7

Les extensions de E sont caracterisees par une seule des situations

suiv-antes :

1. soitW0est inconsistant, la seule extension possible est alors inconsistante (ce cas ne presente

bien-s^ur aucun inter^et pour nous !) ;

2. soit W0 est consistant et on peut alors garder l'arbre de recherche des extensions de E et

recalculer les conclusions de chaque branche :

Etat de la branche de l'arbre de E Resultat sur la construction de l'arbre pourE0

inconsistance inconsistance

extension Y extension Y0de E0=

Cn(Y [f g)a lorsqueY est

-consistante

aSoitA un ensemble de formules, Cn(A) =

ensemble des consequences logiques deA. echec car certaines hypotheses sur

l'extension n'ont pas ete veriees hypothese manquante est satisfaite parpeut-^etre une solution si la seule le fait :

\ 2 l'extension"

On a ainsi deux cas possibles pour Y0:

soit Y0= Cn(Y

[f g)lorsqueY est -consistante,

soit Y0 = Cn(S

[f g) lorsque S est le resultat d'une branche dont l'hypothese

man-quante etait \ 2 l'extension".

Preuve :

Il sut de se ramener au mecanisme de fabrication des extensions decrit par

Reiter dans [Rei80] pour se rendre compte que le rajout de la premisse a l'ensemble

W ne peut se traduire que par les 3 cas donnes dans le theoreme 2.3.7.

Propriete 2.3.10

SiW0 est consistant alors le nombre d'extensions de(W0;D)est superieur ou

egal au nombre d'extensions -consistantes de(W;D).

Exemple :

Soit la baseE = (W;D)avec :

W =f!p;p!og,

D =f: p!(:v)=p!(:v);: o!v=o!v;: o!a=o!ag

et la formule = (a!v). On obtient 2 extensions pour E a l'aide de l'arbre de recherche de la

gure 2.5. Parmi ces extensions, seuleY1 est -consistante.

Puis, pour E0 on prolonge l'arbre de recherche pour obtenir le resultat presente dans la gure

2.6, c'est-a-dire les deux extensions Y0 1 et Y

0

2. On retrouve alors Y

1 dans Y 0

1 (c'est le cas ou

Y0 = C

n(Y [f g)). Par contre, l'extension Y

2 de E qui etait -inconsistante n'appara^t plus

parmi les extensions deE0. Quant a l'extensionY0

2, elle correspond au cas ouY 0= C

n(S[f g).

2.4 Comparaison des deux denitions

Dans cette section, nous cherchons a etablir des liens entre les deux denitions proposees pour une relation de consequence (denitions 2.1.1 et 2.2.1 avec l'operateurcorrespondant a la denition

2.1.2).

Ces liens dependent etroitement du principepet du mecanisme de generationm.

Theoreme 2.4.1

Sip = UNI alors8m2fINCL, LEX, BO, E

 g, ( (E;<))j p;m_ )(E;<)j p;m₍ !) .

W =f!p;p!og D =f: p!(:v)=p!(:v) (defaut d 1), : o!v=o!v (defaut d 2), : o!a=o!a (defaut d 3) g @ @ @ Defaut d1non applicable (p et v2 extension) Defaut d1 applicable (p ou v 62 extension) H H H H H H       Defaut d2 non applicable (o et :v2 extension) Inconsistance (:v et v 2 extension !) Defaut d2 applicable (o ou:v 62 extension) Defaut d2 non applicable (o et:v 2 extension) Defaut d2 applicable (o ou:v 62 extension)          @ @ @ Defaut d3 non applicable (o et :a2 extension) Echec : manque:a ! Defaut d3 applicable (o ou:a62 extension) Y1 = Cn (W [ fo!v, o!ag). Defaut d3non applicable (o et:a2 extension) Echec : manque:a ! Defaut d3 applicable (o ou:a62 extension) Y2= Cn (W [ fp!(:v), o!ag). Defaut d3non applicable (o et :a2 extension) Echec : manque:a, o et :v2 extension ! Defaut d3 applicable (o ou:a62 extension) Inconsistance (:v et v 2 extension !) Figure 2.5: Arbre de recherche des extensions de E

W0= W [f g=f!p;p!o;a!vg D0= D = f: p!(:v)=p!(:v) (defaut d 1), : o!v=o!v (defaut d 2), : o!a=o!a (defaut d 3) g @ @ @ Defaut d1non applicable (p et v2 extension) Defaut d1 applicable (p ou v 62 extension) H H H H H H       Defaut d2 non applicable (o et :v2 extension) Encore une inconsistance (:v et v 2 extension !) Defaut d2 applicable (o ou:v 62 extension) Defaut d2 non applicable (o et:v 2 extension) Defaut d2 applicable (o ou:v 62 extension)          @ @ @ Defaut d3 non applicable (o et:a2 extension) Echec : manque encore:a ! Defaut d3 applicable (o ou:a62 extension) Y0 1 = Cn (W0 [ fo!v, o!ag). Defaut d3non applicable (o et:a2 extension) Y0 2 = Cn (W0 [ fp! (:v)g). Defaut d3 applicable (o ou:a62 extension) Inconsistance (:v et v 2 extension !) Defaut d3 non applicable (o et :a2 extension) Echec : manque encore:a, o et :v2 extension ! Defaut d3 applicable (o ou:a62 extension) Encore une inconsistance (:v et v 2 extension !) Figure 2.6: Arbre de recherche des extensions de E

La demonstration de ce theoreme repose sur la propriete suivante :

Propriete 2.4.1

Pour tout mecanismem2fBO, INCL, LEX, E



g,8Y sous-basem-preferee de

E, siY est -consistante alors Y [f gest une sous-basem-preferee de E.

Preuve de la propriete :

La preuve est donnee pour chaque mecanisme m par le

theoreme de caracterisation correspondant (voir les theoremes 2.3.3, 2.3.4, 2.3.6 et 2.3.7).

Preuve du theoreme :

Prenons comme hypothese quep =UNI et que( (E;<))jp;m. Cela implique que 8Y

0sous-basem-preferee de E,Y

0 `.

Etudions maintenant les sous-basesm-preferees de E notees Y. On a alors deux cas possibles :

soit Y est -consistante et alors la propriete 2.4.1 s'applique et on sait queY0=

Y [f gest une sous-base m-preferee de E, donc d'apres notre hypothese

Y [f g`, donc avec le theoreme de la deduction Y `( !);

soit Y est -inconsistante et alors Y `(: ), donc trivialementY `( !).

Ainsi, quelles que soient les sous-basesm-preferees deE, elles inferent toutes( !),

donc (E;<)j 8;m

( !)

Ce theoreme correspond au fait que les relations UNI-mverient la propriete de conditionnalisa-tion faible (voir les articles [Gar91, GM94] et la secconditionnalisa-tion 4.2 de ce document).

La reciproque de ce theoreme est en general fausse (voir tous les exemples fournis dans la section 2.3 dans lesquels on constate que toutes les sous-basesm-preferees de E ne sont pas forcement

issues des sous-basesm-preferees de E).

Toutefois, nous avons identie un cas ou les deux denitions sont equivalentes ;

Theoreme 2.4.2

8m 2 fINCL, LEX, BO, E



g, prenons une base E telle que toutes les

sous-basesm-preferees deE sont -consistantes, alors sip = UNI on a

(E;<)j

p;m₍

!))( (E;<))j

p;m_.

Preuve :

L'operateur correspondant a la denition 2.1.2, par construction, 8m2

fINCL, LEX, BOg, toutes les sous-basesm-preferees de E sont de la formeY 0=

Y [f g avec Y sous-base m-preferee de E et dans le cas ou m = E

, on sait que

Y0 = C

n(Y [f g) avec Y extension de E. D'autre part, par hypothese, on sait que

pour unmdonne,8Y sous-basem-preferee deE,Y `( !), donc avec le theoreme

de deduction Y [f g`. On en conclut que 8Y 0,Y0

`

2.5 Quelle denition allons-nous utiliser ?

Nous avons choisi d'utiliser la denition 2.1.1, avec l'operateur donne par la denition 2.1.2,

pour les raisons suivantes :

c'est une denition bien connue dans la litterature et qui re ete particulierement bien le point de vue de la revision ;

Desormais, nous etendons nos denitions des relations d'inferencep-ma ce type de relation tout en gardant les anciennes notations.

Denition 2.5.1

Soit une base (E;<)eventuellement ordonnee, soit pun principe d'inference,

soit m un mecanisme de generation, la relation d'inference p-m est denie par l'ensemble des couples ( ;) tels que j

p;m

E;< avec j

p;m

E;< correspondant aux denitions 2.1.1 et 2.1.2,

c'est-a-dire :

j

p;m

E;< ssi( (E;<))j

p;m_{ avec(}

(E;<)) = (E[f g;< 0),

l'ordre <0etendant l'ordre<en rajoutant une premiere strate aE ne contenant que .

Remarque : La denition 2.5.1 signie que nous nous placons du point de vue de la revision. Nous cessons donc de nous interesser aux mecanismes de selection T, S et CAR puisqu'ils ne prennent pas du tout en compte ni la stratication deE, ni la position particuliere de .

Avec cette denition 2.5.1, on a la propriete suivante :

Propriete 2.5.1

8m2fBO, INCL, LEXg, les sous-bases m-preferees de Esont exactement

La prudence

Dans ce chapitre, nous realisons une taxonomie semblable a celle presentee par Pinkas et Loui dans [PL92]. En eet, nous etudions du point de vue de la prudence les principes UNI, EXI et ARG qui sont deja traites dans [PL92], mais, alors que Pinkas et Loui les ont classes sans preciser les mecanismes de generation, nous nous attachons a raner une partie de leur schema en intro-duisant l'impact de quelques mecanismes de generation sur la prudence des relations d'inference non-monotone.

Pour construire cette classication, nous utilisons les proprietes suivantes :

Propriete 3.0.2

SoitY une sous-base incl-preferee deE alorsY est aussi une these de E.

Preuve :

Par denition d'une sous-base incl-preferee.

Propriete 3.0.3

SoitY une these deE alorsY est aussi une sous-base consistante deE.

Preuve :

Par denition d'une these.

Propriete 3.0.4

SoitY une sous-base car-preferee deE alorsY est aussi une these deE.

Preuve :

Par denition d'une sous-base car-preferee.

Propriete 3.0.5

Soit Y une sous-base lex-preferee de E alors Y est aussi une sous-base

incl-preferee deE.

Preuve :

Voir dans [BCD+93].

Propriete 3.0.6

Soit Y une sous-base incl-preferee de E alors Y est aussi une sous-base

bo-preferee deE.

Preuve :

Voir dans [BCD+93].

Propriete 3.0.7

Soit Y une sous-base bo-preferee de E alors il existe Y0 sous-base maximale

consistante de E telle que Y est incluse dans Y0.

Preuve :

Voir dans [BCD+93].

Propriete 3.0.8

Soient la baseEet la theorie super-normale correspondante(W;D), soitY une

Preuve :

Voir dans [Bre89].

Propriete 3.0.9

Soient la baseEet la theorie super-normale correspondante(W;D), soitY une

extension de(W;D)alors il existeY0 sous-base incl-preferee de E telle que Y = C

n(Y0).

Preuve :

Voir dans [Bre89].

Gr^ace a toutes ces proprietes, on prouve que :

Ej 8;Bo



) (lien numero 22 sur la gure 3.1)

Ej 8;In



, (lien numero 26 sur la gure 3.1)

Ej 8;E





) (lien numero 25 sur la gure 3.1)

Ej 8;Lex  Ej 8;S 

) (lien numero 20 sur la gure 3.1)

Ej 8;T



) (lien numero 23 sur la gure 3.1)

Ej 8;Car



) (lien numero 24 sur la gure 3.1)

Ej 8;Lex  Ej 8;T 

) (lien numero 21 sur la gure 3.1)

Ej 8;In  Ej 9;Lex 

) (lien numero 35 sur la gure 3.1)

Ej 9;In



, (lien numero 36 sur la gure 3.1)

Ej 9;E





) (lien numero 32 sur la gure 3.1)

Ej 9;Bo  Ej 9;Lex 

) (lien numero 34 sur la gure 3.1)

Ej 9;Car



) (lien numero 33 sur la gure 3.1)

Ej 9;T



) (lien numero 30 sur la gure 3.1)

Ej 9;S  Ej 9;In 

) (lien numero 31 sur la gure 3.1)

Ej 9;T  Ej 9;Bo 

) (lien numero 37 sur la gure 3.1)

Ej 9;T



D'autre part,8m2fBO, INCL, LEX, Eg, on sait que :

E 8;m

) (liens numeros 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 sur la gure 3.1)

Ej

A;m_

) (liens numeros 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 sur la gure 3.1)

Ej 9;m

.

Ej

A;In_

, (lien numero 16 sur la gure 3.1)

Ej

A;E



On peut ainsi representer les liens de prudence entre toutes nos relations (voir gure 3.1) sachant que la notion de prudence se denit de la facon suivante :

Rappel 3.0.1

Une formule  est deduite de E par la relation d'inference non-monotone R ssi

Ej

R_.

Denition 3.0.2

Soit une base de croyancesE, soientR1etR2 deux relations d'inference

non-monotone, on dit queR1 est plus prudente queR2 ssi l'ensemble des formules deduites deE par

R1est inclus dans l'ensemble des formules deduites deE parR2.

Remarques :

La relation \est plus prudente que" est une relation transitive1. Toutefois, tous les liens de

prudence n'ont pas ete traces dans la gure 3.1 an d'alleger le schema.

La denition donnee ici est celle utilisee dans [Bra93]. On peut aussi trouver dans [PL92] une denition plus generale dans laquelle on considere une relation de consequence comme un ensemble de couples de formules.

Les relations UNI-T, EXI-T et ARG-T ont deja ete comparees du point de vue de la prudence dans [BDP93].

UNI-BO

UNI-INCL UNI-E

UNI-LEX

EXI-LEX

EXI-INCL EXI-E

ARG-INCL ARG-E ARG-BO ARG-CAR _ARG-LEX ARG-T ARG-S UNI-CAR UNI-T UNI-S EXI-T EXI-CAR EXI-S (1) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (20) (21) (22) (23) (24) ₍₂₅₎ (26) (36) (35) (34) (33) (31) (30) (16) Légende :

b = a est plus prudent que b a EXI-BO (37) (32) (2) Figure 3.1: Liens de prudence en tre les relations d'inf erence non-monotone 25

Etat de l'art sur les proprietes de

deduction

Nous savons comment denir des relations d'inference non-monotone (voir par exemple dans [CLS93] et dans le chapitre 2 de ce document). Il reste alors une question essentielle : \Quelles sont les proprietes que doit verier une relation d'inference non-monotone an de denir un raisonnement non-monotone \acceptable" et que recouvre cette notion d'\acceptabilite" ?". Les principaux papiers abordant ce sujet sont [KLM90, LM92, Gar91, GM94] et nous allons presen-ter un ensemble de proprietes de deduction issues de ces articles avec la semantique associee.

4.1 Les proprietes de Kraus, Lehmann et Magidor et leur

semantique

Dans [KLM90], Kraus, Lehmann et Magidor proposent une classication des relations d'inference non-monotone, qu'ils appellent relations de consequence. Le langage L utilise est un ensemble de formules propositionnelles et ferme pour les connecteurs propositionnels classiques (^,_,!,:).

On suppose aussi que l'hypothese de compacite est veriee.

Denition 4.1.1

Un langage L est compact ssi 8a consequence logique d'un ensemble A  L,

alors9A

0 sous-ensemble ni deA tel que asoit consequence logique deA0.

On a ainsi la propriete suivante :

Propriete 4.1.1

(

Propriete de compacite

) Un ensemble de formules est consistant si tous ses

sous-ensembles nis le sont.

Denition 4.1.2

Soit le langageL, soient et, 2 formules de L, on a alors :

j  est appelee assertion conditionnelle (ou plus simplement assertion), cela signie

\si on a alors on a normalement " ou \ est une consequence plausible de la formule

" ; on dira queest un fait plausible ;

est alors appelee l'antecedent de l'assertion ;

est appelee le consequent de l'assertion.

Avec le langage L, nous denissons une semantique a l'aide d'un ensemble de mondes U et une relation binaire de satisfaction entre les mondes et les formules. L'ensemble U est l'univers de reference. On peut considerer que les mondes sont des interpretations au sens de la logique clas-sique.

Remarquons que la semantique des dierentes relations d'inference etudiees s'appuie sur la notion de modele, elle-m^eme utilisant la notion d'etat et que Kraus, Lehmann et Magidor ne donnent pas de denition formelle de cette derniere.

Denition 4.1.4

Un modele est un triplet(S;l;<) dans lequel S est un ensemble d'etats, l est

une fonction de S dans2U _{qui permet a chaque etat de pointer sur un ensemble de mondes non}

vide et <est une relation binaire surS.

Le terme \modele" est ambigu dans le sens ou il possede un sens bien precis en logique classique qui n'est pas celui utilise ici. Nous avons toutefois garde cette terminologie parce qu'elle est celle de Kraus, Lehmann et Magidor, et donc par la-m^eme facilite la lecture de cette section et sa mise en relation avec l'article cite.

Nous remarquons aussi que la relation l permet de denir un etat comme etant un ensemble de mondes, donc un ensemble d'interpretations.

La relation de consequence denie par un modeleW = (S;l;<) est noteej=w et est denie par :

Denition 4.1.5

A j=w B ssi pour tout etat s 2S minimal pour <satisfaisant A, s satisfait

aussi B.

Nous allons maintenant passer en revue les dierents systemes proposes par Kraus, Lehmann et Magidor ainsi que les semantiques correspondantes. Un \systeme" est deni par un ensemble donne de proprietes et correspond donc a l'ensemble des relations de consequence veriant les dites proprietes. La construction de ces systemes se fait par ajout successif de proprietes les rendant de plus en plus puissants.

Intuitivement, un systeme sera de plus en plus puissant ssi il est deni par un ensemble de pro-prietes de deduction de plus en plus important, donc ssi les relations de consequence associees contiennent de plus en plus d'assertions conditionnelles1. Remarquons que cette notion de

puis-sance peut donc se denir de maniere tout a fait formelle.

4.1.1 Le systeme C

Presentons d'abord le plus faible : le systeme C.

Denition 4.1.6

Une relation de consequence sera dite relation de consequence cumulative ssi

elle est fermee pour les regles de deduction suivantes : propriete de re exivite :j,

equivalence logique gauche : j= $ ;j

j

,

aaiblissement droit (\right weakening") : j= ! ; j

j , coupure : j ;^j j , monotonie prudente : j ;j ^j .

1En eet, plus une relation de consequence verie de proprietes de deduction, plus le nombre de couples la

Cette relation de consequence est notee : jc.

La signication intuitive de ces proprietes est la suivante :

la re exivite signie que toute formule peut ^etre deduite d'elle-m^eme ;

l'equivalence logique gauche indique que des formules equivalentes doivent avoir les m^emes consequences ;

l'aaiblissement droit stipule que les consequences logiques de faits plausibles sont aussi des faits plausibles ;

la coupure exprime les conditions dans lesquelles on peut se passer de fait plausible pour deduire de nouveaux faits plausibles ;

la monotonie prudente est une forme restrictive de la monotonie.

Denition 4.1.7

Le systeme logique correspondant a la classe des relations de consequence

cu-mulatives est appele systeme C.

4 nouvelles proprietes sont derivees des regles de deduction precedentes : propriete de l'equivalence : j ;j ;j j , propriete du ET : j ;j j^ ,

propriete du MPC (modus Ponens) : j ! ;j

j

,

propriete numero 9 de Kraus, Lehmann, Magidor : _j ;j

_j

.

Theoreme 4.1.1

L'utilisation des regles de deduction du systeme C rend equivalentes les 3 regles

suivantes :

propriete de la monotonie : j= ! ;j

j

propriete EHD (\easy half deduction") : j!

^j

propriete de la transitivite : j ;j

j

A partir du moment ou l'on renonce a la monotonie, il faut aussi renoncer aux 2 autres. Kraus, Lehmann et Magidor presentent aussi la propriete de la contraposition :

j :j:

Theoreme 4.1.2

La propriete de contraposition implique la propriete de monotonie.

Nous allons maintenant presenter la semantique correspondant au raisonnement cumulatif (sys-teme C).

Denition 4.1.8

Un modele cumulatif est un triplet (S;l;<) dans lequel S est un ensemble

d'etats, l est une fonction de S dans 2U _{qui permet a chaque etat de pointer sur un ensemble}

de mondes non vide et<est une relation binaire surS satisfaisant la condition de regularite (voir les denitions 4.1.9 et 4.1.10). La relation de consequence induite par un tel modele est notee :

W3 W6 W2 W1 W0 e0 e2 e4 W4 _e3 W5 e1 W7 ei Wk Wl ej ej

Wi : l(ej) = {les Wi}

: ei<ej ej : état j

Wi : monde i Légende :

Figure 4.1: Exemple d'un modele cumulatif

Denition 4.1.9

SoientP U et<une relation binaire surU, on dira queP est un ensemble

regulier2 ssi

8t2P, soitt est minimal pourP, soit9sminimal pour P tel que s < t.

Denition 4.1.10

La relation<du modele(S;l;<)verie la condition de regularite ssi8A2L

(A est une formule), l'ensemble des etats satisfaisant A est regulier (donc borne inferieurement pour la relation<).

Remarquons que ces denitions sont tres generales et delicates a mettre en uvre. En particulier, il est dicile de verier la condition de regularite pour une relation binaire quelconque, m^eme quand l'ensemble des etats est ni. Pour pouvoir eectuer cette verication sans trop de diculte, il faut que la relation<soit denie comme un ordre partiel.

Kraus, Lehmann et Magidor obtiennent ainsi le theoreme de representation 4.1.1.

Theoreme de representation 4.1.1

Soient et deux formules du langageL, jc ,il

existe un modele cumulatif denissant une relationj=c telle que j=c .

Ce theoreme signie que les relations de consequence denies a l'aide de modeles cumulatifs re-spectent toutes les proprietes du systeme C. De m^eme, il existe un modele cumulatif tel qu'une relation cumulative (denie a l'aide des proprietes du systeme C) soit equivalente a la relation de consequence denie avec ce modele cumulatif.

Le systeme C reste toutefois un systeme encore trop faible pour ^etre representatif d'un raison-nement non-monotone puissant.

4.1.2 Le systeme CL

En rajoutant des proprietes au systeme C, on obtient le systeme CL (systeme C avec boucles -\loop" en anglais) :

Denition 4.1.11

Le systeme CL est b^ati a partir du systeme C et de la propriete de la boucle :

W3 W4 W6 W2 W1 W5 W7 W0 e0 e1 e2 e3 e4

La transitivité de l’ordre < n’apparaît pas sur le schéma pour éviter les surcharges.

ei Wk Wl ej

ej

Wi : l(ej) = {les Wi}

: ei<ej ej : état j

Wi : monde i Légende :

Figure 4.2: Exemple d'un modele cumulatif ordonne 0 j 1 ;1 j 2 ;::: ;k 1 jk ;kj 0 0 jk

Ce systeme denit une relation de consequence notee : jcl.

A partir de la propriete ci-dessus, on peut en deduire une autre appelee propriete numero 15 de Kraus, Lehmann, Magidor :

0 j 1 ;1 j 2 ;::: ;k 1 jk ;kj 0 ijj;8i;j = 0;:::;k

La semantique associee a ce nouveau systeme CL est identique a celle decrite pour le systeme C, en utilisant cette fois des modeles cumulatifs ordonnes.

Denition 4.1.12

Un modele cumulatif ordonne est un modele cumulatif pour lequel la relation

<est un ordre strict partiel. Il denit une relation de consequence notee :j=cl.

Comme dans le cas cumulatif, Kraus, Lehmann, Magidor obtiennent alors le theoreme de represen-tation 4.1.2.

Theoreme de representation 4.1.2

Soient et deux formules du langageL, jcl,il

existe un modele cumulatif ordonne denissant une relationj=cl telle que j=cl.

4.1.3 Le systeme P

De la m^eme facon, Kraus, Lehmann et Magidor ont deni le systeme P (P pour preference) :

j ;j

_j

Ce systeme denit une relation de consequence notee : jp.

Il est plus puissant que le systeme CL et surtout il permet de traiter les disjonctions de formules. On dira alors qu'une relation de consequence respectant le systeme P est une relation de consequence preferentielle. A partir de la propriete ci-dessus et de certaines des proprietes du systeme C, on peut en deduire de nouvelles proprietes :

propriete S : ^j

j !

propriete D : ^:j ;^j

j

propriete numero 19 de Kraus, Lehmann, Magidor : j ;j

_j _

propriete numero 20 de Kraus, Lehmann, Magidor : _ j ;j

j!

propriete numero 21 de Kraus, Lehmann, Magidor : _j ;_ j

_ j

propriete numero 22 de Kraus, Lehmann, Magidor : _j ;_ j

j !

La semantique de ce systeme repose sur des modeles preferentiels.

Denition 4.1.14

Un modele preferentiel est un modele cumulatif ordonne dans lequel la

fonc-tionl fait pointer chaque etat vers un monde unique (et non plus vers un ensemble de mondes). Il denit une relation de consequence notee :j=p.

Kraus, Lehmann, Magidor obtiennent alors le theoreme de representation 4.1.3.

Theoreme de representation 4.1.3

Soient et deux formules du langage L, jp ,il

existe un modele preferentiel denissant une relationj=p telle que j=p.

P peut-il ^etre considere comme un systeme convenable pour faire du raisonnement non-monotone ? Il semblerait que l'on ne puisse ajouter aucune autre regle de type deductif (permettant de deduire de nouvelles assertions). On peut par contre rajouter des regles d'un autre type, celles qui deduisent de l'absence d'une assertion l'absence d'une autre assertion :

propriete de la rationalite de la negation : ^ j6 ;_: j6

j6

propriete de la rationalite disjonctive : j6 ;j6

_j6

propriete de la monotonie rationnelle : ^j6 ;j6:

j6

Cette propriete de la monotonie rationnelle est presentee aussi par Gardenfors et Makinson dans [Gar91, GM94] mais sous une autre forme.

Lehmann et Magidor ont donc poursuivi leurs investigations sur les relations d'inference preferen-tielle en denissant la notion de relation d'inference rationnelle (voir [LM92]).

La transitivité de l’ordre < n’apparaît pas sur le schéma pour éviter les surcharges.

ei Wk Wl ej

ej

Wi : l(ej) = {les Wi}

: ei<ej ej : état j Wi : monde i Légende : W3 W4 W5 W1 W0 W2 W6 e1 e2 e0 e3 e4 e6 e5

Figure 4.3: Exemple d'un modele preferentiel

Denition 4.1.15

Une relation d'inference rationnelle est une relation veriant les proprietes

du systeme P et la propriete de monotonie rationnelle. Ce systeme, appele systeme R, denit une relation de consequence notee : jr.

La semantique correspondante s'appuie sur la notion de modele range. Ces modeles sont des mod-eles preferentiels particuliers.

Denition 4.1.16

Un modele preferentiel(S;l;<) est appele modele range ssi la relation< est

denie de la maniere suivante : il existe un ensemble totalement ordonne (represente par la relation<) et une fonction Rde S dans telle que :

8(s;t)un couple d'etats de S, s < t ssi

R(s) <R(t). Il denit une relation de consequence notee : j=r.

Lehmann et Magidor obtiennent alors le theoreme de representation 4.1.4.

Theoreme de representation 4.1.4

Soient et deux formules du langageL, jr ,il

existe un modele range denissant une relationj=r telle que j=r.

Or, quand on calcule l'ensemble des formules issu d'une relation d'inference rationnelle, on con-state que cet ensemble n'est pas unique. Lehmann et Magidor resolvent ce probleme en proposant un mode de selection d'un ensemble particulier, qu'ils appellent la fermeture rationnelle. La con-struction de cet ensemble se fait a l'aide d'une fonction qui associe a chaque formule du langage un nombre entier positif symbolisant l'\exceptionnalite" de la formule. La base de croyances est ainsi stratiee (voir l'algorithme de denition de cette fonction dans [LM92]).

La semantique de cette relation d'inference rationnelle particuliere repose alors sur un modele range particulier dont la denition est donnee dans [LM92].

4.1.4 Le systeme CM

Puis, Kraus, Lehmann et Magidor introduisent le systeme CM issu du systeme C en rajoutant les regles de monotonie, EHD, transitivite deja presentees dans le theoreme 4.1.1. Le systeme obtenu

W3 W4 W5 W1 W0 W2 W6 e1 e2 e0 e3 e4 e6 e5 Rang 2 Rang 3 Rang 0 Rang 1 ei Wk Wl ej ej

Wi : l(ej) = {les Wi}

: ei<ej ej : état j

Wi : monde i

rang x : numéro de rang dans l’ordre total correspondant à <

La transitivité de l’ordre < n’apparaît pas sur le schéma pour éviter les surcharges.

Légende :