9
Loi binomiale
4
Leçon
n°
Niveau Première S + SUP (Convergence)
Prérequis Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson
Références [11], [12], [13], [14]
4.1
Loi de Bernoulli
Définition 4.1 — Loi de Bernoulli. Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). On
note p la probabilité de succès. Soit X la variable aléatoire qui est égal à1 en cas de succès et 0 sinon. Alors, on dit que X suit un loi de Bernoulli de paramètres p. On note alors X ∼ Bern(p).
R 4.2 Si X ∼ Bern(p), on notera :
P(X = 1) = p et P (X = 0) = 1 − p = q.
Exemple 4.3 On lance un dé non pipé. On note X la variable aléatoire qui prend comme valeur1 si la face6 apparaît lors du lancer et 0 sinon.
La variable aléatoire X est une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètres1/6.
Donc X ∼ Bern(1/6).
Lemme 4.4 Si X ∼ Bern(p) alors X2 ∼ Bern(p). Dv
•Démonstration —On a X2(Ω) = {0, 1} et :
P(X2= 1) = P (X = 1) = p
donc X2∼ Bern(p). •
Proposition 4.5 Si X ∼ Bern(p) alors :
1. E(X) = p 2. Var(X) = pq. Dv •Démonstration —On a : E(X) = P (X = 0) × 0 + P(X = 1) × 1 = q × 0 + p × 1 = p, et :
or X2∼ Bern(p), donc on a : E(X2) = E(X) = p.
Ainsi,Var(X) = p − p2= pq. •
4.2
Loi binomiale
Définition 4.6 — Loi binomiale. SoitΩ l’univers associé à une expérience aléatoire. Soit X une va-riable aléatoire définie surΩ. On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗et p ∈ [0 , 1] lorsque : 1. X(Ω) = {0, 1, . . . , n} ; 2. pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, P (X = k) = n k pk(1 − p)n−k = nkpkqn−k. Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors on note X ∼ Bin(n, p).
R 4.7 Soit X ∼ Bin(n, p). On a bien défini une variable aléatoire car : n X k=0 P(X = k) = n X k=0 n0k p k qn−k= [p + (1 − p)]n = 1.
Théorème 4.8 Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). On note p la
probabi-lité de succès. On note n fois, de façons indépendantes, l’épreuve E. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès. Alors : X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Dv
•Démonstration —La probabilité d’avoir k succès suivis de n − k succès suivis de n − k échecs est : pk(1 − p)n−k. Mais les succès et les échecs n’apparaissent pas nécessairement
dans cet ordre.
On considère l’ensemble des « mots »de n lettres qui ne contiennent que des S (Succès) et des E(Échecs). On sait qu’il y en a exactement n
p
qui contiennent exactement k fois la lettre S (et donc n − k fois la lettre E).
On en déduit m P(X = k) = n p pk(1 − p)n−k
et ceci pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}. •
R 4.9
1. La probabilité d’avoir n succès : P(X = n) = pn et d’avoir aucun succès P(X = 0) = qn. Par conséquent, la probabilité d’avoir au moins un succès est :
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − qn.
2. La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale où l’épreuve E n’est réalisée qu’une seule fois.
3. Toute variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗et p ∈ [0 , 1] peut s’écrire
comme somme X = X1+ · · · + Xn où, pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, Xk est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p(Xk vaut1 en cas de succès à la keréalisation de E et 0
sinon).
Exemples 4.10 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 34. On suppose qu’il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus (X = 0, 1 ou 2).
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 11
1. Calculer la probabilité des événements {X = 0}, {X = 1} et {X = 2}. 2. CalculerP2k=0P(X = k).
3. On suppose qu’il fait sept tirs et on note Y la variable aléaoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. Calculer P(X = 1) et P (X = 2).
Théorème 4.11— Espérance et variance d’une loi binomiale. Si X ∼ Bin(n, p) avec n ∈ N∗ et p∈ [0 , 1] alors :
E(X) = np et Var(X) = npq.
Dv
•Démonstration —Puisque X ∼ Bin(n, p), il existe des variables aléatoires (réelles) X1, X2, . . . , Xn définies sur Ω indépendantes, de loi de Bernoulli de même paramètre p telles que X =
Pn i=1Xi.
Par linéarité de l’espérance :
E(X) = E n X i=1 Xi ! = n X i=1 E(Xi) et d’après ce qui précède :
E(X) = n X i=1
p= np. De même pour la variance :
Var(X) = Var n X i=1 Xi ! = n X i=1 Var(Xi) = n X i=1 pq= npq. •
Exemple 4.12 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 34. On suppose qu’il tire n = 7 fois. On note X la variable aléatoire associant à cette expérience aléatoire le nombre de succès
obtenus. Calculer son espérance et sa variance.
4.3
Propriétés sur les coefficients binomiaux
4.3.1 Définitions et propriétés
Définition 4.13 — Combinaisons. Soient n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant n éléments. Un sous-ensemble de E contenant p éléments est appelé une combinaison de p éléments de E.
Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté n p ou n p . Exemple 4.14 Pour gagner au Loto, il faut trouver 3 numéros parmi 5. On veut savoir combien il y a de grilles possibles. Considérons une grille quelconque (c’est-à-dire une3-combinaison de l’ensemble des5 numéros) : par exemple {1, 3, 4}. Il y a 3! façons possibles d’ordonner ces nombres. Or, il y a
5
3× 3! suites de 3 nombres ordonnées. Mais, on compte 5 × 4 × 3 de ces dernières suites. Donc : 5
3
!
= 5 × 4 × 33! .
On peut maintenant généraliser la formule :
Proposition 4.15 Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté n p ! = n(n − 1)(n − 2) · (n − (p − 1))p! (4.1) = n! p!(n − p)! (4.2) Dv
• Démonstration de la proposition4.15 — On part de la formule (4.1) pour arriver à la formule (4.2) : n p = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) p! = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) p! (n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1 (n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1 = n! p!(n − p)!
Une autre façon de voir la formule (4.2). Il y aAp
n manières de tirer p objets parmi n en les ordonnant soit
Ap n=
n! (n − p)!.
Une fois les p objets tirés, il y a p! manières de les ordonner. Il y a donc Apn
p! manières de tirer pobjets parmi sans les ordonner. D’où
n p =Apn p! = 1 p! n! (n − p)!. • Définition 4.16 — Coefficients binomiaux. Soit p un entier naturel non nul. Les nombres n
p
sont appelés les coefficients binomiaux.
Proposition 4.17— Formule de Pascal. Soit n, p ∈ N tel que p < n. On a :
n p ! = n− 1 p ! + n− 1 p− 1 ! .
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 13
Dv
•Démonstration de la formule de Pascal —Soit un ensemble E à n éléments. On suppose que l’on a « extrait » une partie à p éléments. Si l’on retire un élément {a} à E, c’est soit un élément de la combinaison, soit non. Dans le premier cas, les p − 1 restants forment une partie de l’ensemble E \ {a} de cardinal n − 1, et dans le second, ce sont les p éléments qui forment une partie de E \ {a}. Cette union étant disjointe, les cardinaux s’ajoutent pour
aboutir à l’égalité demandée. •
n\p 0 1 2 3 · · · 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 ... ... ... ... ... ... FIGURE4.1 – Triangle de Pascal
Proposition 4.18— Formule itérée de Pascal. Soit p ≤ n deux entiers naturels. Alors
n X k=p k p ! = n+ 1 p+ 1 ! . Dv
•Démonstration de la formule itérée de Pascal —On effectue une récurrence sur l’entier n.
Initialisation Lorsque n = p, les deux membres valent 1.
Hérédité On suppose que la formule est vraie au rang n et on montre qu’elle est encore vraie au rang n+ 1 : n+1 X k=p k p =Xn k=p k p +n+ 1 p
et d’après l’hypothèse de récurrence, n+1 X k=p k p =p+ 1 n+ 1 +n+ 1 p =n+ 2 p+ 1 . La dernière égalité est justifiée par l’emploi de la formule de Pascal.
•
Théorème 4.19— Formule du binôme. Soient deux éléments a, b de A qui commutent. Alors : ∀n ∈ N, (a + b)n= n X k=0 n k ! akbn−k. Dv
•Démonstration de la formule du binôme de Newton —Pour n= 1, nous avons :
1 X k=0 1 k akb1−k=1 0 b+ a = a+ b. La formule du binôme est vraie pour n= 1.
Supposons que la formule du binôme soit vraie au rang n ≥ 1. Alors, (a + b)n+1 = (a + b) · (a + b)n = (a + b) n X k=0 n k akbn−k.
En distribuant le produit, nous obtenons (a + b)n+1= n X k=0 n k ak+1bn−k+ n X k=0 n k akbn+1−k. Nous effectuons alors la translation d’indices l= k + 1 dans la première somme :
(a + b)n+1= nX+1 l=1 n l− 1 albn+1−l+ n X k=0 n k akbn+1−k. L’indice de sommation étant muet, nous pouvons regrouper les deux sommes :
(a + b)n+1=n n an+1+ n X k=1 n k− 1 +n k akbn+1−k+ n 0 bn+1. On utilise ensuite la formule du triangle de Pascal :
(a + b)n+1= n n an+1+ n X k=1 n+ 1 k akbn+1−k+ n 0 bn+1. On remarque que : n 0 = 1 = n+10 et que nn = 1 = n+1 n+1
pour faire entrer les deux termes isolés dans la somme.
(a + b)n+1= nX+1 k=0 n+ 1 k akbn+1−k. • Corollaire 4.20 On a les égalités suivantes :
1. Pn k=0 nk
= 2n
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 15 2. Pn k=0(−1)k nk = 0. Dv •Démonstration du corollaire4.20—
1. On utilise le binôme de Newton avec a= 1 et b = 1. 2. On utilise le binôme de Newton avec a= −1 et b = 1.
•
R 4.21 On remarque que l’égalité 1 du corollaire4.20traduit le fait que le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est2n. En effet, ce nombre est la somme des nombres de parties ayant respectivement0, 1, . . . éléments (le cardinal d’une union disjointe est la somme des cardinaux), ce qui correspond bien à la somme indiquée.
Proposition 4.22— Formule de Van der Monde. Pour tous entiers m, n et p tels que p ≤ m + n, on a
l’égalité : m+ n p ! =Xp k=0 m k ! n p− k ! . Dv
•Démonstration de la formule de Van der Monde —Soit x un réel. Alors : (1 + x)m(1 + x)n= (1 + x)m+n= mX+n p=0 m+ n p xp. Or (1 + x)m(1 + x)n= m X i=0 m i xi ! n X j=0 n j xj = m X i=0 n X j=0 m i n j xi+j =m0n0+(m0n1+m1n0)x +(m0n2+m1n1+m2n0)x2+ · · · =mX+n p=0 X i,j>0 i+j=p m i n j xp.
Par identification des coefficients de ce polynôme de degré p, on obtient finalement que, pour tout entier0 ≤ p ≤ m + n, m+ n p = X i,j>0 i+j=p m i n j = p X i=0 m i n p− i . •
4.4
Stabilité additive de la loi binomiale
Théorème 4.23— Stabilité additive de la loi binomiale. Si X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) avec X
et Y indépendantes, alors X+ Y = Bin(m + n, p).
Soit(Ai)1≤i≤nune suite d’événements. On note :`ni=0Aisi les événements sont disjoints.
Dv
•Démonstration —On pose S= X + Y . On a clairement S(Ω) = {0, . . . , m + n}. Calculons P(S−1(k)) pour tout 1 ≤ k ≤ m + n :
S−1(k) = k a i=0 X−1(i) ∩ Y−1(k − i). D’où : P(S−1(k)) = k X i=0 P(X−1(i) ∩ Y−1(k − i)). Et comme X et Y sont indépendantes :
P(S−1(k)) = k X
i=0
P(X−1(i))P (Y−1(k − i)). Comme X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) :
P(S−1(k)) = k X i=0 m i pi(1 − p)m−i n k− i pk−i(1 − p)n−(k−i) = k X i=0 m i n k− i ! pk(1 − p)m+n−k. Et commePki=0 m i n k−i = m+n k . P(S−1(k)) = m+ n k pk(1 − p)m+n−k. Donc S ∼ Bin(m + n, p). •
4.5
Convergence
4.5.1 Vers la loi de Poisson
Théorème 4.24 Lorsque n tend vers l’infini et que simultanément pn→ 0 de sorte que limn npn =
a > 0, la loi binomiale de paramètres n et pnconverge vers la loi de Poisson de paramètre a. En
pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n >30 et np < 5 ou dès que n >50 et p < 0.1.
4.6 Échantillonnage 17 Dv •Démonstration —On décompose P(X = k) : n k pkn(1 − pn)n−k= n(n − 1) · · · (n − k + 1) k! p k n(1 − pn)n−k = (npn)k k! 1 −n1 1 − n2· · · 1 − k− 1n (1 − pn)n−k.
On se place dans la situation où pnest équivalent à a
nen l’infini. — Lorsque n tend vers l’infini, les facteurs 1 − 1
n , 1 − 2 n , . . ., 1 −k−1 n tendent vers 1. Le produit de ces termes tend également vers 1 puisqu’ils sont en nombre fini fixé k. — On a :
(1 − pn)n−k= (1 − pn)n(1 − pn)−k, or,limp→0(1 − p)−k= 1 et de plus, (1 − pn)n' (1 −an)
net ce dernier terme tend vers e−aquand n tend vers l’infini.
On trouve donc : lim n→+∞ n k pkn(1 − pn)n−k=a k k!e −a,
qui est la probabilité de k pour la loi de Poisson de paramètre a. •
4.5.2 Vers la loi normale
Théorème 4.25 Soit(Xn)nune suite de variable aléatoires indépendnates de même loi de Bernoulli
Bern(p) et Sn= X1+ · · · + Xnsuit la loi binomialeBin(n, p).
D’après le théorème central limite, la loi de Snpeut re approximée par la loi normale N(E(Sn), Var(Sn)),
c’est-à-dire par la loi N(np, npq).
R 4.26 En pratique, lorsque n ≥ 30, np ≥ 15 et npq > 5, la loi binomiale Bin(n, p) peut être approximée par la loi normale N(np, npq).
4.6
Échantillonnage
4.6.1 Premier problème : proportion de boules dans une urne
Dans une urne contenant une dizaine de boules, il y a2 boules noires et 8 boules blanches. La proportion de boules noires est donc de1/5.
On pioche dans l’urne avec ordre et remise une vingtaine de boules et on s’intéresse à la proportion de boules noires obtenues.
Cette expérience a été recommencée100 fois à l’aide d’un tableur et voici les proportions obte-nues.
Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 Total
Nb d’échantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100
1. Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de0, 3 ? 2. Quel est le nomb re d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de0, 6 ?
3. Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires entre0, 1 et 0, 4 ? 4. Le but de cette partie est de retrouver par le calcul ce dernier nombre. On considère la variable
aléatoire X qui lors de l’expérience compte le nombre boules noires obtenues. (a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (b) Calculer P(2 ≤ X ≤ 8).
(c) En déduire la probabilité que la proportion de boules noires soit comprise entre0 et 0, 4.
•Solution —
Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 Total
Nb d’échantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100
1. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de0, 3 est 9.
2. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de0, 6 est 0. En effet, tous les échantillons sont déjà dans le tableau.
3. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires comprise entre0, 1 et 0, 4 est13 + 20 + 27 + 16 + 9 + 5 = 90. Soit 90%.
4. (a) On recommence20 fois de manière indépendante une expérience ayant deux issues pos-sibles, succès ou échec. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres20 et 1/5.
(b) P(2 ≤ X ≤ 8) = 0, 92.
(c) On cherche la probabilité que la proportion de boules noires dans un échantillon soit comprise entre 0, 1 et 0, 4 ; c’est-à-dire la probabilité qu’il y ait entre 10% et 40% de boules noires. Or chaque échantillonnage contient20 boules. Ainsi 10% de boules noires pari ces20 boules représente exactement 2 boules noires. De même 40% représente 8 boules noires. Finalement, chercher la probabilité que la proportion de boules noires dans les échantillonnages soit comprise entre 0, 1 et 0, 4 revient à chercher la probabilité de piocher entre2 et 8 boules noires parmi les 20 boules. C’est exactement la probabilité que l’on a calculé à la question 4b, soit0, 92. Ce qui correspond à peu près au 90% trouvé grâce au tableau.
•
4.6.2 Second problème : proportion de camions sur une autoroute
Sur une autoroute, la proportion des camions par rapport à l’ensemble des véhicules est0, 07. 1. Soit X le nombre de camions parmi100 véhicules choisis au hasard. Calculer P (X ≥ 5). 2. Soit Y le nombre de camions parmi1000 véhicules choisis au hasard. Calculer P (65 ≤ Y ≤
75).
3. On choisit n véhicules au hasard. Pour quelles valeurs de n peut-on affirmer que la proportion de camions est entre0, 06 et 0, 08 avec un risque d’erreur inférieur à 5% ?
•Solution —
1. Soit X une variable aléatoire de loi binomialeBin(100, 0.07). 100 ≥ 30, 100 × 0, 07 = 7 < 15, 0, 07 ≤ 0, 1 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi de Poisson Pois(7) et :
P(X ≥ 5) ≈ 1 − e−7 4 X k=0 7k k! ≈0, 827.
4.7 Loi multinomiale 19
2. Y suit la loi binomialeBin(1000, 0.07). 1000 ≥ 30, 1000 × 0, 07 = 70 ≥ 15, 70 × 0, 93 = 64, 1 > 4 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi normale N(70, 65.1) et si F désigne la fonction de répartition de la loi N(70, 65.1),
P(65 ≤ Y ≤ 75) ≈ F(75.5) − F(64.5) = Φ 5.5√65.1 − Φ −√65.15.5 = 2Φ 5.5√65.1− 1 ≈ 2Φ(0.68) ≈ 0.5
3. On choisit n véhicules au hasard. Le nombre Sndes camions parmi ces n véhicules suit la loi binomialeBin(n, 0.07) et la proportion des camions est Sn
n . On cherche n tel que
P Sn
n − 0.07
≥ 0.01 = 0.05.
Si n ≥ 30, 0.07n ≥ 15 et 0.07×0.93×n > 5, c’est-à-dire n ≥ 215, on peut approximer la loi deSn
n par la loi normale N(0.07,0.0651n ) et la loi de Sn
n − 0.07 par la loi normale N(0,0.065n ). On a alors : P Sn n − 0.07 ≥ 0.01 = P √0.0651√n Sn n − 0.07 ≥ √n √0.06511001 ≈ 2 1 − Φ √√651n ≈ 0.05 On a doncΦ √n √651 ≈ 0.975 ≈ Φ(1.96) et n ≈ 1.962× 651 ≈ 2501. 2501 ≥ 90, ce qui légitime l’approximation. •
4.7
Loi multinomiale
Définition 4.27 — Loi multinomiale. Le vecteur aléatoire N suit la loi multinomiale de paramètres net(p1, . . . , pd) où n ∈ N∗ et les pi sont strictement positifs et de somme1 si pour tout d-uple
(j1, j2, . . . , jd) d’entiers tels que j1+ j2+ · · · + jd= n,
P[N = (j1, j2, . . . , jd)] = n!
j1!j2! · · · jd!
pj11pj22· · · pjd
d .
Exemple 4.28 On considère 20 tirages d’une boule avec remise dans une urne contenant 1 boule bleue,3 jaunes, 4 rouges et 2 vertes. Notons N = (N1, N2, N3, N4) où Niest le nombre de boules de
la couleur i en numérotant les couleurs par ordre alphabétique(b,j,r,v). On a (p1, p2, p3, p4) = ( 1
10,103 ,104,102). La probabilité d’obtenir en 20 tirages 3 bleues, 5 jaunes, 10 rouges et 2 vertes est : P(N = (3, 5, 10, 2)) = 20! 3!5!10!2! 1 10 3 3 10 5 4 10 102 10 2 ' 0, 004745.
Bibliographie
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