Les ondelettes

LES ONDELETTES

par

Jean Paul NUWACU

mémoire présenté au Département de mathématiques en vue de l'obtention

du grade de maîtrise en sciences (M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

le 15 Août 2015

Le jury a accepté le mémoire de M. Jean Paul Nuwacu dans sa version nale.

Membres du jury M. Jean-Marc Belley Directeur Département de mathématiques Mme Virginie Charette Membre Département de mathématiques Mme Vasilisa Shramchenko Président-rapporteur Département de mathématiques

SOMMAIRE

Le sujet "Ondelettes" est constitué de plusieurs domaines de mathématiques pures et appliqués. Il a contribué à la compréhension de beaucoup de problèmes dans diverses sciences, dans l'ingénierie et d'autres disciplines. Il comprend parmi ses notables succès, la compression standard des images d'empreintes digitales basée sur les ondelettes adop-tée par la F BI en 1993 et JP EG2000, la norme actuelle pour la compression des images.

Dans le présent travail, nous introduisons les ondelettes unidimensionnelles dans le premier chapitre. Dans le second chapitre, nous parlons des Ondelettes en plusieurs di-mensions dans l'espace euclidien. Dans troisième chapitre, nous introduisons les onde-lettes continues et quelques applications. À la n de ce travail nous voyons d'autres applications et quelques remarques nales.

REMERCIEMENTS

Je tiens premièrement à remercier mon directeur de maîtrise, M. Jean Marc Belley, dèle à ses habitudes, a été d'une disponibilité irréprochable. Ses conseils, sa rigueur scientique et ses encouragements mathématiques tout au long de ces deuxdernières années m'ont été d'une très grande utilité. Je dis aussi merci à tous les professeurs qui m'ont ensiegné pour les connaissances qu'ils m'ont transmises.

Je voudrais aussi remercier tous mes confrères et cons÷urs de travail du local D4-1026 qui ont su m'épauler tout au long de la réalisation de ce mémoire. Je voudrais aussi exprimer ma gratitude à toute ma famille et surtout à ma future épouse pour leur soutien moral. Ma maitrise a été rendu possible grâce au soutien nancier du Programme Canadien de Bourse de la Francophonie (PCBF) auquel je dis merci.

En n, que tout personne qui a contribué d'une manière où d'une autre pour l'accom-plissement de ce travail trouve ici ma gratitude.

Jean Paul NUWACU Sherbrooke, Août, 2015

TABLE DES MATIÈRES

SOMMAIRE iii

REMERCIEMENTS iv

TABLE DES MATIÈRES v

LISTE DES FIGURES ix

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1  Les Ondelettes dans L2_{(R) 6}

1.1 Analyse Multi-Résolution . . . 10

1.1.1 Sous espace Vj et la fonction échelle . . . 10

1.1.2 Relation d'échelle . . . 14

1.1.3 Ondelettes mères et bases d'ondelettes . . . 18

1.1.4 De l'AMR à l'ondelette mère . . . 20

1.1.6 Filtres . . . 22

1.1.7 Expression du ltre mg pour g ∈ W0 . . . 24

1.2 Les propriétés des fonctions de carré intégrables translatées dans L2_{(R) . 37} 1.2.1 Espace Invariant par Translation (EIT) . . . 37

1.2.2 Les propriétés des fonctions de carré intégrables translatées dans L2(R) . . . 38

1.2.3 Espace dual de Tφ. . . 43

1.3 Approximation non-linéaire . . . 46

1.3.1 Décroissance des coecients et approximation . . . 47

1.3.2 Erreur de l'approximation non-linéaire . . . 50

CHAPITRE 2  Les Ondelettes dans L2₍Rn₎ 54 2.1 Analyse Multi-Résolution . . . 55

2.1.1 Espace d'ondelettes . . . 56

2.1.2 Fonction l'échelle et les espaces d'ondelettes . . . 57

2.2 Ondelettes séparables dans L2₍R2₎ . . . 59

2.2.1 Analyse Multi-Résolutions . . . 59

2.2.2 Produit tensoriel . . . 59

2.2.3 Base d'ondelettes séparables dans L2_(R2_{) . . . . 60}

2.3 Ondelettes à dilatations composées . . . 64

2.3.2 Exemple 1 : Ondelette de type-Haar associée à la matrice de

quin-conce . . . 66

2.3.3 Exemple 2 et observations générales . . . 70

2.4 Approximation non-linéaire en plusieurs dimensions . . . 73

2.4.1 Système d'ondelettes de cisaillement (OC) . . . 80

2.4.2 Exemple de construction de ψ1 et ψ2 . . . 83

CHAPITRE 3  Les Ondelettes continues 86 3.1 Notation et dénition . . . 86

3.1.1 Groupe général ane . . . 87

3.1.2 Mesure de Haar . . . 87

3.2 Ondelettes continues . . . 88

3.2.1 Transformée en ondelette continue en 1 dimension . . . 89

3.2.2 Condition d'admissibilité . . . 90

3.3 Transformée de Fourier, transformée en ondelettes continues en plusieurs dimensions . . . 90

3.3.1 Condition d'admissibilité . . . 91

3.4 Caractérisation de régularité locale des fonctions . . . 93

3.4.1 Régularité Hölderienne . . . 94

3.5 Transformée continue en Ondelette de Cisaillement (OC) . . . 100

3.5.2 Caractérisation des points de discontinuités par les OC en 2D . . 103

CONCLUSION 107

LISTE DES FIGURES

1.1 La fonction échelle de A.Haar [3]. . . 7

1.2 Les espaces Wj [20] . . . 19

1.3 Ondelette de Haar [3]. . . 32

2.1 Région fondamentale R0 et ses images par B [36 ]. . . . 6 7

2.2 Illustration de l'action de l'inverse de la matrice quinconce q sur les tri-angles Ri [36 ]. . . 6 8

2.3 Les ensembles échelles pour les 6éléments du groupe engendrés par l'action des éléments de B sur le triangle R [36 ]. . . . 70

2.4 Domaines de l'ondelette fondamentale pour les 6éléments du groupe [36]. 71

2.5 Les supports de fréquence des éléments du système d'OC sont les paires de régions trapézoïdales dénies à diérentes échelles et orientations, dé-pendant de j et l, respectivement. La gure montre les supports de fré-quence de deux éléments représentatifs : la région plus sombre correspond à j = 0, l = 0 et la région claire à j = 1, l = 1 [17] . . . . 83

2.6 (a) La fonction | ψ1(ξ)|2 _{(trait plein), pour ξ > 0 ; le côté négatif est}

sy-métrique. Cette fonction est obtenue, après mise àl'échelle, àpartir de la somme de la fonctions fenêtre b2_{(ξ) + b}2_(2ξ) (lignes pointillées). (b) La

fonction ψ2(ξ) [24]. . . 85

3.1 Support des OC ψa,s,t (Dans le domaine de Fourier ) pour diérentes

va-leurs de a et de s [38]. . . 101 3.2 Région générale S avec une bordure lisse par morceaux ∂S. La transformée

en OC continues de B = χS a une décroissance asymptotique rapide sauf

si la variable t est localisée sur le contour S et la variable de cisaillement s correspond àla direction normale àl'instant t ; dans ce cas WψB(a, s, t)

a34, quand a −→ 0. Le même taux de décroissance lente se produit au

INTRODUCTION

Dans ces dernières années, les familles des fonctions

ψjk(x) =|a|

j

2_(aj_x− b), a, b ∈ R, a = 0 (1)

obtenues à partir d'une fonction simple ψ(x) par les opérations de dilatations et de translations se sont révélées être un outil dans de nombreux domaines de mathématiques purs et appliqués. D'après Grossmann et Morlet [23], nous appelons de telles fonctions des " Ondelettes ".

Les techniques basées sur les dilatations et les translations ne sont pas certainement nouvelles. Néanmoins, l'introduction des familles d'ondelettes spéciaux semble avoir conduit à des nombreux résultats ( voir par exemple [44], [48], [2] ). En outre, les ondelettes sont utiles dans de nombreux domaines de mathématiques purs et appliqués. Elles sont utilisées par exemple pour l'analyse du son [37] et ont conduit à un nouvel algorithme avec nombreuses caractéristiques intéressantes pour la décomposition des données visuelles [40]. Elles semblent très prometteuses pour la détection des bords et des singularités [22]. Il est donc juste de supposer qu'elles aurons des applications dans d'autres directions.

On peut par exemple choisir de laisser les paramètre a et b dans l'équation (1) varier d'une façon continue sur le groupe R∗_{× R où R}∗ _{=R {0}. On peut aussi choisir, comme}

dans la première partie de ce mémoire àrestreindre les paramètres a et b dans l'équation (1) àun sous espace discret. Dans ce cas on xe le paramètre de dilatation a > 1 et le paramètre de translation b = 0. La famille ainsi obtenue est

ψjk(x) = |a|

j

2_(aj_x− kb), a, b ∈ R, j, k ∈ Z. (2)

Quelques exemples beaucoup plus surprenant de base d'ondelettes orthonormées on fait surface récemment. Le premier a été construit par Y. Meyer [44] en 1985. Il a construit une fonction ψ(x) ∈ C∞ _{àdécroissance rapide telle que la famille des fonctions}

ψjk(x)dénies dans (2) (avec a = 2 et b = 1 ) constituent une base orthonormée de L2(R).

La base de Y. Meyer se révèle comme une base inconditionnelle pour tous les espaces de Sobolev, pour l'espace de Hardy-Littlewood H1, pour l'espace de Besov, etc (voir [44]).

En 1986, S. Mallat et Y. Meyer [43], [39] ont réalisé que les diérentes constructions àbase d'ondelettes peuvent tous être réalisées àpartir d'une " Analyse Multi-Résolution " tel que développée dans ce mémoire. Celle-ci est un cadre dans lequel les fonctions

f ∈ L2_(Rn_{) peuvent être considérées en tant que limite d'approximations successives,}

f = lim

j→−∞Pjf. Les coecients d'ondelettes ψjk, f, avec j xe, correspondent alors àla

diérence entre les deux approximations successives Pj−1f et Pjf.

Dans ce travail, nous introduisons dans le premier chapitre les outils mathématiques nécessaires àla construction des ondelettes discrète en une dimension dans le cadre de la méthode générale de l' Analyse Multi-Résolution. Après avoir décrit les propriétés qui découlent de l'Analyse Multi-Résolution, nous montrons que pour une Analyse Multi-Résolution avec une fonction échelle φ, il existe une fonction 1-périodique m0(ξ)

connue sous le nom de "ltre passe-bas" ainsi que le " ltre passe-haut m1(ξ) " qui lui

est associée produisant ainsi les relations entre deux échelles diérentes [1]. Des concepts d'espaces invariants par translation et leurs propriétés ainsi que l'approximation non-linéaire des fonction en utilisant les ondelettes,sont abordés.

Dans la deuxième partie,nous construisons les ondelettes discrètes en plusieurs dimensions et nous montrons les diérences entre une base orthonormée construite en une dimension avec celle construite en plusieurs dimensions à travers les ondelettes sépa-rables et les ondelettes à dilatations composées [36]. Dans cette même partie,la théorie d'approximation non-linéaire des fonction est développée en utilisant les ondelettes en plusieurs dimensions comme illustrée par Vyacheslav Zadasky dans [50]. On y introduit aussi la théorie des ondelettes de cisaillement (voir [24],[26]).

Dans le troisième chapitre,nous traitons les ondelettes continues en passant la condi-tion d'admissibilité de Calderón [4]. Nous introduisons aussi la caractérisacondi-tion de régu-larité locale des fonctions en utilisant la régurégu-larité Hölderienne [49]. Néanmoins l'étude de régularité des fonctions en utilisant les ondelettes en plusieurs dimensions montre que la transformée en ondelettes continues peut détecter l'emplacement des point de singu-larité mais pas leur géométries [49]. Pour cela nous introduisons dans cette même partie les ondelettes de cisaillement continues [25] où la matrice de dilatation utilisée est un produit d'une matrice de cisaillement et d'une matrice de dilatation d'échelle parabo-lique permettent ainsi de détecter l'emplacement des points de singularité ainsi que leur géométrie.

utilisées dans la suite. L'ensemble suivant des fonctions mesurables L2(R) = {f : R −→ C | ∞  −∞ |f(x)|2 dx <∞}

muni du produit scalaire

f(x), g(x) =

∞



−∞

f (x)g(x)dx

est un espace de Hilbert avec norme

f2 = ∞ −∞ |f(x)|2 dx 1 2 .

La suite dénombrable {fn}n∈Z ⊂ L2(R) forme une base de L2(R) si pour chaque

élément f ∈ L2₍R) il existe une suite (unique) {c

n}n∈Z ⊂ C telle que f =



n

cnfn dans

l'espace L2

(R) et s'il existe deux constantes positives A et B telles que

A  f 2≤

n

|cn| ≤ B  f 2 .

La transformée de Fourier est un opérateur unitaire qui transforme la fonction f ∈

L2_{(R) en une fonction Ff aussi notée f dénie par}

(Ff)(ξ) = f (ξ) =



R

f (x)e−2πiξxdx

quand f ∈ L1

(R) ∩ L2(R) et par les condition du théorème de Plancherel-Parseval ( voir Annexe ) pour la fonction générale f ∈ L2_{(R). Nous nous référons au couple}

temps-fréquence (x, ξ). Notons aussi que la fonction f est de carrée intégrable. En eet F

applique L2₍R) bijectivement sur lui-même. L'inverse F−1 de la transformée F est dénie

par

(F−1g)(x) = ˇg(x) =



R

Les fonctions {ek(x) = e2πikx : k ∈ Z} sont 1-périodiques et forment une base

or-thonormale de L2

(T) où T est est un cercle centré à l'origine et de circonférence 1 et peut être identié par n'importe lequel de ces ensembles (0, 1] ou [−1

2, 1

2),...(tous ayant

la mesure 1). Nous notons les séries de Fourier de f, 1-périodique et dans L2_{(T) par :}

 k∈Z f, ek_Tek ∼ f où f, ek_T=  T f ek et k ∈ Z.

Le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g, est une autre fonction, qui se note généralement f ∗ g et qui est dénie par :

(f∗ g)(x) = ∞  −∞ f (x− t)g(t)dt = ∞  −∞ f (t).g(x− t)dt

CHAPITRE 1

Les Ondelettes dans L

2

(R)

Considérons les opérateurs suivants sur L2₍R).

• Les translations : Tk (k ∈ Z) dénies pour toute ψ ∈ L2(R) par

Tk(ψ(x)) = ψ(x− k).

• Les dilatations : Dj (j ∈ Z) dénies pour tout ψ ∈ L2(R) par

Dj(ψ(x)) = 2

j

2_ψ(2j_x).

Les opérateurs Dj et Tk ne sont pas commutatifs. En eet, on a le résultat suivant

DjTk =T2jkDj.

Fixons ψ ∈ L2₍R) et construisons la famille des fonctions {ψ

jk :j, k ∈ Z} où

ψjk(x) = 2

j

2_ψ(2j_x− k)

pour tous j, k ∈ Z. Dans cette section, nous montrons que ces fonctions que nous ap-pellerons ondelettes bénécient d'un grand nombre de propriétés permettant à diérents types de fonctions d'être exprimées à l'aide d'une base d'ondelettes appropriée. Il existe

deux fonctions qui jouent un rôle majeur dans l'analyse des ondelettes : la fonction échelle notée φ et l'ondelette mère elle-même notée ψ. Chacune d'elles génère une base qui peut être utilisée pour décomposer une fonction.

Exemple 1.1 La fonction échelle de Haar [3].

Historiquement la première ondelette notée ψ = ψH _{fut présentée en 1910 par Haar}

[28]. Elle est dénie par

ψH =_χ[0,1

2) − χ[12,1).

Par contre, la fonction échelle de Haar est dénie par :

φ(x) =

1 si 0≤ x < 1

0 ailleurs. (1.1)

L'on constate que

Figure 1.1  La fonction échelle de A.Haar [3].

φ(x) = φ(2x) + φ(2x− 1)

et que

ψ(x) = φ(2x)− φ(2x − 1).

Un autre exemple d'ondelette simple est celle de Shannon. Elle est apparue dans les année 1940 et est dénie par

ψS =χS où S = −1, −1 2  ∪1 2, 1 

Par contre la fonction échelle de Shannon est donnée par la fonction sinus cardinal :

φ(x) = sinc(x)def= sin(xπ)

xπ =

eπix− e−πix

2πix .

En procédant àune translation d'ordre k le long de l'axe des x et une dilatation d'ordre

j nous obtenons : φjk(x) = 2 j 2_φ(2j_x− k) = 2j2sinπ(2 j x− k) π(2j_x− k) = 2 j 2e πi(2jx−k)_{− e}−πi(2jx−k) 2π(2j_x− k) .

Or la transformée de Fourier de la fonction φ donne [8] φ(ξ) = sinc(ξ) =

∞



−∞

sinc(x)e−2πiξxdx

= ∞  −∞ sin(xπ) xπ cos(2πxξ)dx− i ∞  −∞ sin(xπ) xπ sin(2πxξ)dx.

La dernière intégrale est nulle, puisque la fonction intégrée est impaire. Comme sin(p) cos(q) = 1₂[sin(p + q) + sin(p− q)], on a

 sinc(ξ) = 1 2 ∞  −∞ sinπx(1 + 2ξ) πx dx + 1 2 ∞  −∞ sinπx(1− 2ξ) πx dx = 1 2 ∞  −∞ sinπx(1 + 2ξ) πx(1 + 2ξ) d(xπ(1 + 2ξ)) + 1 2 ∞  −∞ sinπx(1− 2ξ) πx(1− 2ξ) d(xπ(1− 2ξ)).

En notant s le signe de 1 + 2ξ et s _{le signe de 1 − 2ξ, et en faisant les changements de}

variables u = πx(1 + 2ξ) et v = πx(1 − 2ξ), on obtient :  sinc(ξ) = 1 2 s∞  −s∞ sinc(u)du +1 2 s∞  −s_∞ sinc(v)dv.

On distingue les cas suivants :

1. Si 2ξ < −1 ou 2ξ > 1, alors ss _{=−1, donc, les deux dernières intégrales s'annulent}

et on a :

sinc(ξ) = 0.

2. Si 2ξ est contenu dans l'intervalle ]-1, 1[, alors s = s _{= 1 et du fait que}

Rsinc(x)du = π, on obtient que :

 sinc(ξ) = ∞  −∞ sinc(u)du = π. 3. En n, on traite le cas 2ξ = −1 et 2ξ = 1 :  Si 2ξ = −1, alors on obtient :  sinc(−1 2) = 1 2 ∞  −∞ sinc(4ξ)d(4ξ) = π 2.  Si 2ξ = 1, alors on obtient :  sinc(ξ)(1 2) = 1 2 ∞  −∞ sinc(4ξ)d(4ξ) = π 2. Donc, on a : φ(ξ) = sinc(ξ) = ⎧ ⎨ ⎩ π si − 1 ≤ 2ξ < 1 π 2 si 2ξ =±1 0 ailleurs ce qui donne φ(ξ) = χ_[−1 2,12)(ξ) = π si −1₂ ≤ 2ξ < 1₂ 0 ailleurs

1.1 Analyse Multi-Résolution

Dans cette section nous présentons une méthode générale introduite par S. Mallat, R. Coifman [40] et Y. Meyer [45] pour la construction des ondelettes. Une Analyse Multi-Résolution ( notée AMR ) dénit des opérations linéaires permettant d'analyser une fonction f ∈ L2₍R) à diérentes échelles V

j, j ∈ Z. Mise au point vers la n de l'année

1986 , elle constitue un outil permettant de regarder la fonction f de "très près" ou de "très loin". Ce "zoom" est eectué à l'aide d'une fonction échelle φ dont les versions translatées dans le temps engendrent un espace d'approximation V0. L'approximation de

la fonction f dans V0 est obtenue en faisant sa projection sur cet espace. La fonction f est

également projetée sur un espace perpendiculaire an de conserver le plus d'information possible. La fonction générant ce deuxième espace sera appelée ondelette et sera notée

ψ. Ceci ne constitue que la première étape de l'AMR.

1.1.1 Sous espace V

et la fonction échelle

Dans cette partie nous utilisons l'AMR pour approximer une fonction par des onde-lettes. Pour un sous espace de référence V0 et pour une fonction de référence que nous

appelons fonction échelle φ(x) ∈ V0 telle que V0 ={Tkφ(x) : k ∈ Z}, dénissons l'espace

Vj =DjV0 comme étant l'espace engendré par la famille

{Djkφ(x) = 2

j

2_φ(2j_x− k) : φ(x) ∈ V_{0, k}∈ Z}.

pour j xe.

Dénition 1.1 L'Analyse Multi-Résolution ( AMR ) consiste en une suite {Vj :j ∈ Z}

de sous espaces fermés de L2₍R) et d'une fonction échelle φ ∈ V

0 tel que les conditions

1. Les espaces Vj sont emboîtés. C'est à dire Vj ⊂ Vj+1 pour tout j ∈ Z.

2. (séparation) L'intersection de tous les Vj est la fonction nulle. C'est à dire ∩j∈ZVj =

{0}.

3. (densité) L'espace L2₍R) est l'union fermée de tout les V

j. C'est à dire, l'adhérence

par rapport à .2 donne ∪j∈ZVj=L2(R).

4. Vj+1 = D1Vj pour tous j ∈ Z. Les espaces Vj et Vj+1 sont semblables. C'est à

dire, si l'espace Vj est engendré par {φj,k(x), k ∈ Z}, alors l'espace Vj+1 est

engen-dré par {φj+1,k(x), k ∈ Z}. Ainsi Vj+1 est engendré par les fonctions φj+1,k(x) =

√

2φj,k(2x). Donc f(x) ∈ Vj si et seulement si f(2x) ∈ Vj+1. Ainsi on obtient

f (2−jx)∈ V0.

5. La famille de fonctions {Tkφ(x) = φ(x− k) : k ∈ Z} est une base orthonormée de

V0. De plus on suppose que

∞

−∞

φ(x)dx= 0.

Pour illustrer cette dénition utilisons l'exemple suivant

Exemple 1.3 AMR de Haar.

La fonction échelle φ est donnée par (1.1). L'espace des fonctions échelles d'ordre j, noté Vj, est engendré par l'ensemble

{· · · , φ(2j

x + 2), φ(2jx + 1), φ(2jx), φ(2jx− 1), φ(2jx− 2), · · · }.

Vj est donc l'ensemble des fonctions constantes par morceaux et de support ni dont

l'ensemble des discontinuités est dans

{· · ·−2 2j , −1 2j , 0, 1 2j, 2 2j,· · · }.

Une fonction dans l'espace V0 est constante par morceau et de support ni. Donc

aussi contenue dans V1, dont les éléments sont fonctions constantes par morceaux dont

l'ensemble des discontinuités est dans :

{· · ·−2 2 , −1 2 , 0, 1 2, 2 2,· · · }.

On voie donc que V0 ⊂ V1. Il en est de même pour V1 ⊂ V2 et ainsi de suite. En général

on a :

· · · V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1· · · ⊂ Vj ⊂ Vj+1· · · .

et donc la première condition de L'AMR est vérie.

Concernant la deuxième condition, notons que j peut être négatif ou positif dans la dénition de Vj. Si f ∈ Vj, alors f peut être écrite comme combinaison linéaire de

φ(2j_{x− k) (k ∈ Z) qui sont constantes sur les intervalles [0,} 1 2j) + k 2j = [ k 2j, k+1 2j ]. Lorsque j −→ −∞ les intervalles deviennent arbitrairement grands. D'autre part, le support de f (i.e l'adhérence de l'ensemble où f est non nulle) doit rester ni. Donc , si f appartient

à tous les Vj comme j −→ −∞, alors l'image de f doit être zéro.

Pour la troisième condition, considérons deux faits tirés de la théorie de la mesure [46]. Premièrement, une fonction dans L2_{(R) peut être approximée dans L}2_{(R) par}

une fonction réelle continue à support compact dans R. Deuxièmement, toute fonction réelle continue à support compact peut être approximée uniformément par des fonctions étagées dont les discontinuités sont multiples de 2−j _{pour un j susamment grand.}

Une telle fonction étagée, appartient à Vj et donc on a la troisième condition. ( Cette

condition de densité signie donc que l'approximation d'une fonction f par un élément de Vj capture éventuellement tous les détails de f quand j −→ ∞).

La quatrième condition est évidente. Montrons la dernière condition de l'AMR. V0 est

généré par φ(x) et ses translatées. Les fonctions φ(x − k) (k ∈ Z) ont chacune la norme unité dans L2₍R) car

φ(x − k)2 L2(R)= ∞  −∞ (φ(x− k))2dx = k+1  k 1dx = 1.

De plus, si j = k, alors φ(x − j) et φ(x − k) ont des supports disjoints.

φ(x − j), φ(x − k)L2 = ∞



−∞

φ(x− j)φ(x − k)dx = 0, j = k.

et donc l'ensemble {φ(x − k) : k ∈ Z} est une base orthonormale pour V0. De plus

_∞

−∞φ(x)dx = 1= 0.

Théorème 1.4 Supposons que {Vj :j ∈ Z} est une AMR avec fonction échelle φ. Alors

pour tout j ∈ Z, l'ensemble des fonctions

{φjk(x) = 2

j

2_φ(2j_x− k) : k ∈ Z} (1.2)

est une base orthonormale pour Vj.

Démonstration. Toute fonction f(x) ∈ Vj peut être écrite comme combinaison

linéaire des φ(2j

x− k) (k ∈ Z). Par la condition 4. de l'AMR, la fonction f(2−jx)

appartient à l'espace V0et f(2−jx)est une combinaison linéaire unique des φ(x−k) : (k ∈

Z) . En remplaçant x par 2j_{x on voit que f(x) est une combinaison linéaire unique des}

φ(2j_x− k) : (k ∈ Z).

Il reste à montrer que la famille φj,k : k ∈ Z est une base orthonormale. Dans ce but,

posons

δkl =

0 si l = k

et montrons que 2j +∞  −∞ φ(2jx− k)φ(2j_x− l)dx = δ kl. (1.3)

Pour établir (1.3), on fait le changement de variables y = 2j_xpour obtenir

2j +∞  −∞ φ(2jx− k)φ(2j_x− l)dx = +∞  −∞

φ(y− k)φ(y − l)dy.

L'intégral à droite est égale à δlk en vertu de la dénition de l'AMR en sa condition 5.

1.1.2 Relation d'échelle

Dans le théorème suivant, nous montrons les équations centrales de l'AMR. On les appelle les relations d'échelle.

Théorème 1.5 Si {Vj : j ∈ Z}est une AMR avec fonction d'échelle φ, alors on a la

relation d'échelle suivante :

φ(x) = k∈Z pkφ(2x− k) (1.4) où pk = 2 ∞  −∞ φ(x)φ(2x− k)dx. (1.5) De plus,on a φ(2j−1x− l) = k∈Z pk−2lφ(2 j x− k) (1.6)

que l'on peut aussi écrire comme

φj−1,l = 2− 1 2  k∈Z pk−2lφjk (1.7) où φjk(x) = 2 j 2_φ(2j_x− k). (1.8)

Démonstration. Notons que φ ∈ V0 ⊂ V1 et donc il existent ˜pk∈ C, (k ∈ Z) telles

que φ(x) = 

k∈Z

˜

pkφ1k(x). Puisque {φ1k :k ∈ Z} est une base orthonormale de V1, les ˜pk

peuvent être obtenus par

˜ pk=φ, φ1kL2 = 2 1 2 ∞  −∞ φ(x)φ(2x− k)dx. Or φ(x) = k∈Z ˜ pkφ1k(x) =  k∈Z ˜ pk2 1 2_φ(2x− k) et donc on a φ(x) = k∈Z pkφ(2x− k) où pk = 2 1 2p_˜k.

Pour montrer (1.7) partons de la relation φjk(x) = 2

j 2φ(2j_x− k) et utilisons le fait que φ(x) =  l∈Z ˜ pl2 1 2_φ(2x− l). On a : φjk(x) = 2 j 2  l∈Z ˜ pl2 1 2φ(2(2jx− k) − l) =  l∈Z ˜ pl2 j+1 2 _φ(2j+1_x− (2k + l)).

En tenant compte que pl= 2 1 2p˜l (c'est à dire 2− 1 2pl= ˜pl) on a : φjk(x) = 2− 1 2  l∈Z plφj+1,l+2k(x) = 2−12  l∈Z plφj+1,l+2k(x) = 2−12  l∈Z pl−2kφj+1,l(x) cela donne φj−1,k(x) = 2− 1 2  k∈Z pk−2lφj,k(x)

qui est le résultat désiré.

Le théorème suivant contient certaines identités pour pk qui seront importantes pour

la suite.

Théorème 1.6 Supposons que {Vj;j ∈ Z} est une AMR avec une fonction échelle φ.

Alors on a les identités suivantes.

1.  k∈Z pk−2lpk= 2δl0; 2.  k∈Z |pk|2 = 2; 3.  k∈Z pk = 2; 4.  k∈Z p2k = 1 et  k∈Z p2k+1= 1. où pk est donné par (1.5).

Démonstration. La première identité provient de (1.4), car tenant compte que

{φ(x − k), k ∈ Z} est une base orthonormée, on a

2δl0 = 2 ∞  −∞ φ(x− l)φ(x)dx = 2 ∞  −∞   k∈Z pkφ(2(x− l) − k)   k∈Z pkφ(2x− k)  dx = 2  k,k∈Z pkpk ∞  −∞ φ(2x− (k+ 2l))φ(2x− k)dx.

Or ∞

−∞

φ(2x− (k + 2l))φ(2x− k)dx = 0 sauf si k+ 2l = k ( c'est à dire k = k− 2l).

Donc on a 2δl0 = 2  k∈Z pk−2lpk ∞  −∞ φ(2x− k)φ(2x − k)dx = 2 k∈Z pk−2lpk 1 2 =  k∈Z pk−2lpk.

La deuxième identité est obtenue de la première en posant l = 0. Pour la troisième identité, nous utilisons (1.4). On a

∞  −∞ φ(x)dx = k∈Z pk ∞  −∞ φ(2x− k)dx.

En faisant un changement de variable t = 2x − k dans le membre de droite, on a

∞  −∞ φ(x)dx = k∈Z pk 1 2 ∞  −∞ φ(t)dt.

Le facteur φ(t)dt = 0 dans le membre de droite peut être simplié par le φ(x)dx

dans le membre de gauche, ce qui termine la démonstration de la troisième identité.

Pour montrer la quatrième identité, partons de première identité  

k∈Z

pk−2lpk = 2δl0

 , et remplaçons l par −l. Ensuite, faisons une somme sur l. On a :

 l∈Z  k∈Z pk−2lpk = 2  l∈Z δl0 = 2.

En divisant la somme sur k en termes pairs et impairs, on a

2 =  l∈Z   k∈Z p2k+2lp2k+ k∈Z p2k+1+2lp2k+1  =  k∈Z   l∈Z p2k+2l  p2k+ k∈Z   l∈Z p2k+1+2l  p2k+1.

En remplaçant l par l − k, les deux sommes sur l dans le terme de droite deviennent  l∈Z p2l et  l∈Z p2l+1, respectivement. Donc, 2 =  k∈Z p_2k l∈Z p2l+ k∈Z p_2k+1 l∈Z p2l+1 = | k∈Z p2k|2+| k∈Z p2k+1|2. En posant E =  k∈Z p_2k et O =  k∈Z

p_2k+1, la dernière égalité peut s'écrire E2

+O2

= 2. De plus, en divisant la troisième égalité de l'énoncé du théorème en termes pairs et impairs, on a E + O = 2. Les deux équations en E et en O ont la seule solution E = O = 1, ce qui termine la démonstration de la quatrième identité.

Étant donnée une AMR ((Vj), φ), une fonction ψ telle que la famille {ψ(x−k); k ∈ Z}

est une base orthonormale pour W0 = V1 V0 est appelée ondelette mère. Soit donc ψ

une une telle fonction. On a 1 2 ∞  −∞ φ(2x)ψ(2x− k)dx = ∞  −∞ φ(x)ψ(x− k)dx = 0, ∀k ∈ Z, φ ∈ V0.

1.1.3 Ondelettes mères et bases d'ondelettes

Nous allons maintenant décrire comment une AMRpeut être utilisé pour construire une base orthonormale de L2

(R). Nous assumons que les conditions de la dénition 1.1 sont satisfaites. Pour j ∈ Z, nous notons Wj le complement orthogonal de Vj dans Vj+1.

Soit αjla projection orthogonale de Vj+1sur Wj. Des conditions 1., 2. et 3. de la dénition

1.1 il suit que chaque fonction réelle f ∈ L2

(R) peut être représentée par f = 

j∈Z αjf, où αjf ⊥ αjf pour j = j; ainsi L2(R) = j∈Z Wj. (1.9)

Les espaces Wj satisfont les mêmes conditions de dilations que Vj, c'est à dire

Dans le but d'obtenir une base orthonormée {ψj,k}j,k∈Z pour L2(R), il est nécessaire de

trouver ψ ∈ W0 telle que {ψ(x − k)}k∈Z est une base orthonormée de l'espace W0; cela

implique, d'après les propriétés de dilatation (1.9) et (1.10) que {ψj,k}j,k∈Z est une base

orthonormée de L2_{(R). Donc toute fonction f ∈ L}2_{(R) peut être écrite comme :}

f =

j∈Z



k∈Z

f, ψj,kψj,k

par rapport à la norme .2. Soit maintenant

φj,k(x) = 2

j

2_φ(2j_x− k); k ∈ Z

où {φ0,k;k ∈ Z} est une base orthonormée de V0. Comme V0⊕ (

∞



j=0

Wj) = L2(R), une

autre base orthonormale pour L2

(R) est :

{ψj,k(x) : j ∈ N, k ∈ Z} ∪ {φ0,k(x) : k ∈ Z}.

1.1.4 De l'AMR à l'ondelette mère

D'après la section précédente, l'ondelette mère ψ produit une base orthonormée

{ψj,k(x) : j, k ∈ Z} pour L2(R). Cela nous permettra d'écrire toute fonction dans L2(R)

en termes de ψj,k. Plus fondamentalement , étant donnée une AMR ((Vj), φ), existe-t-il

ψ ∈ W0 =V1∩V0⊥ telle que {ψ(x−k), k ∈ Z} soit une base orthonormée pour W0. Après

certaines observations générales nous allons montrer dans la suite que l'ondelette mère est obtenue à partir de la fonction d'échelle par :

ψ(x) =  k∈Z (√2)c1_−k(−1)kφ(2x− k) où ck =φ(x), √ 2φ(2x− k) =√2 ∞  −∞ φ(x)φ(2x− k)dx, k ∈ Z

sont les coecients de φ dans V1 par rapport à la base { √

2φ(2x− k) : k ∈ Z}. Notre

approche consiste à spécier les propriétés non pas de ψ mais de ψ, et d'utiliser la

transformée inverse de Fourier pour obtenir l'expression de ψ à partir de celle de ψ.

1.1.5 Orthonormalité des translatées de φ

Lemme 1.7 Soit f dans L2_{(R) la transformée de Fourier de la fonction f ∈ L}2_{(R). Si}

la famille {f(x − k) : k ∈ Z} est orthonormée dans L2

(R) alors

∞



n∈Z

Démonstration. La transformée de Fourier de f(x−k) est f (ξ)e−2iπξk. Par l'identité

de Plancherel ( f, ϕ =  f ,ϕ ) il s'en suit que :

δk0 = ∞  −∞ f (x)f (x− k)dx = f(x), f(x − k) =  f (ξ), f (ξ)e−2iπξk = ∞  −∞ | f (ξ)|2e2iπξkdξ

où δk0 est le symbole de Kronecker delta. En transformant ∞ −∞ en une somme,nous obtenons : ∞  −∞ | f (ξ)|2e2iπξkdξ = n∈Z (n+1)_ 1₂ n1₂ | f (ξ)|2e2iπξkdξ. Donc, δk0 =  n∈Z (n+1)1 2  n1 2 | f (ξ)|2e2iπξkdξ = n∈Z 1  0 | f (ξ + n)|2e2iπξkdξ = 1  0   n∈Z | f (ξ + n)|2e2iπξkdξ.

La dernière égalité résulte du théorème de la convergence monotone. La conséquence de l'équation précédente est que pour la fonction 1-périodique 

n∈Z

| f (ξ + n)|2_{,ses coecients}

de Fourier cn sont nulles pour n = 0 et c0 = 1. Donc



k∈Z

| f (ξ + k)|2 = 1 p.p. (1.12)

L'inverse de ce résultat n'est pas vrai. Puisque les translatées d'une fonction échelle forment une base orthonormée pour V0,nous avons le corollaire suivant.

Corollaire 1.8 Si φ est la transformée de Fourier d'une fonction échelle φ ∈ L2_{(R) pour}

une AMR, alors



n∈Z

|φ(ξ + n)|2

= 1 p.p.

1.1.6 Filtres

Soit ((Vj), φ) une AMR. Toute fonction g ∈ V1 peut être écrite en terme des éléments

de la base orthonormée {√2φ(2x− k) : k ∈ Z} pour V1 comme : g(x) = k∈Z √ 2bkφ(2x− k). Sachant que  k∈Z

|bk|2 <∞, nous pouvons former une fonction 1-périodique

mg(ξ) =  k∈Z bk √ 2e −2πikξ _{∈ L}2 (T) (1.13)

où T représente le groupe du cercle unité. La fonction mg(ξ)est appelé Filtre associé à la

la fonction g. Le ltre m0 associé à la fonction échelle est souvent appelé Filtre passe-bas

associé à φ. Nous avons l'identité de ltre suivant.

Théorème 1.9 Si ((Vj), φ) est une AMR et g ∈ V1, alors

g(2ξ) = mg(ξ) φ(ξ) p.p. (1.14) Démonstration. On a g(x) =  k∈Z √ 2bkφ(2x− k)

pour une suite {bk: k ∈ Z} de carré sommable. La transformée de Fourier de φ(2x − k)

étant 1 2e−2iπk ξ 2φ(ξ 2)on a : g(ξ) =  k∈Z √ 2bk 1 2e −2iπkξ₂φ(ξ 2) =   k∈Z √ 2bk 1 2e −2iπk₂ξ_φ(ξ 2) = mg( ξ 2) φ( ξ 2)

ou encore

g(2ξ) = mg(ξ) φ(ξ).

Ce résultat nous donne l'identité d'échelle qui suit.

Théorème 1.10 Soit ((Vj), φ) une AMR. Le ltre m0(ξ) =

 k∈Z b_k √ 2e −2πikξ _{associé à φ} satisfait à : 1 =|m0(ξ)|2+|m0(ξ + 1 2)| 2 p.p. (1.15)

où m0(ξ)= 0 ou m0(ξ + 1₂)= 0 presque partout ξ ∈ R

Démonstration. Par (1.14), on a φ(ξ) = m0(

ξ

2) φ(

ξ

2) et donc , nous obtenons : δ0k = φ(x), φ(x − k) = φ(ξ), φ(ξ)e−2iπkξ = ∞  −∞ φ(ξ)φ(ξ)e2iπkξ dξ = ∞  −∞ |φ(ξ)|2 e2iπkξdξ = 1  0  _∞ l=−∞ |φ(ξ + l)|2 e2iπkξdξ = 1  0  _∞ l=−∞ |m0( ξ + l 2 ) φ( ξ + l 2 )| 2 e2πikξdξ.

En faisant la sommation sur les l pairs et impairs séparément et en utilisant l'équation (1.12), nous obtenons : δ0k = 1  0  _∞ l=−∞ |m0( ξ 2) φ( ξ 2 +l)| 2 + ∞  l=−∞ |m0( ξ + 1 2 ) φ( ξ + 1 2 +l)| 2 e2πikξdξ = 1  0  |m0(ξ 2)| 2 +|m0(ξ + 1 2 )| 2 e2πikξdξ.

1.1.7 Expression du ltre m

pour g ∈ W

Cette section s'inspire de [1]. Pour une AMR ((Vj), φ)soient g ∈ W0 =V1∩V0⊥ ⊂ V1 = W0⊕ V0, mg comme dans l'équation (1.13) et m0 le ltre passe-bas associé à la fonction

d'échelle φ. Nous allons montrer qu'il existe une fonction 1-périodique β ∈ L2_{(T) telle}

que

mg(ξ) = e−2iπ(ξ+ 1

2)_{β(2ξ)m0(ξ +} 1

2)) (1.16)

Premièrement montrons que

mg(ξ)m0(ξ) + mg(ξ + 1 2))m0(ξ + 1 2)) = 0 p.p. ξ ∈ R (1.17) Puisque g(x) ⊥ V0, on a 0 = ∞  −∞ g(x)φ(x− k)dx = g(x), φ(x − k) ∀k ∈ Z.

Comme la transformée de Fourier de φ(x − k) est φ(ξ)e−2iπξk _{il s'en suit de l'identité de}

Plancherel que 0 = ∞  −∞ g(ξ)φ(ξ)e2iπξk dξ =  k∈Z k+1  k g(ξ) φ(ξ)e2iπξkdξ = 1  0  k∈Z g(ξ + k) φ(ξ + k)e2iπξkdξ.

Ainsi, les coecients de la série de Fourier de 

k∈Z

g(ξ + k) φ(ξ + k)sont nuls pour k ∈ Z,

donc en remplaçant ξ par 2ξ nous obtenons : 

k∈Z

En utilisant l'identité de ltre g(2ξ) = mg(ξ) φ(ξ) et φ(2x) = m0(ξ) φ(ξ) l'équation pré-cédente devient : 0 =  k∈Z mg(ξ + k 2) φ(ξ + k 2)m0(ξ + k 2) φ(ξ + k 2) p.p. =  k∈Z mg(ξ + k 2)|φ(ξ + k 2)| 2 m0(ξ + k 2) p.p.

En faisant la sommation sur les k impairs et les k pairs, nous obtenons :

0 = k∈Z mg(ξ+k)|φ(ξ+k)|2m0(ξ + k)+  k∈Z mg(ξ+ 2k + 1 2 )|φ(ξ+ 2k + 1 2 )| 2 m0(ξ + 2k + 1 2 ) p.p. Comme mg et m0 sont 1-périodique, on peut les mettre en évidence et on a :

0 = mg(ξ)m0(ξ)  k∈Z |φ(ξ + k)|2 +mg(ξ + 1 2)m0(ξ + 1 2)  k∈Z |φ(2ξ + 1 2 +k)| 2 p.p.

De la relation (1.12), il s'en suit que :

0 =mg(ξ)m0(ξ) + mg(ξ +

1

2)m0(ξ + 1 2) p.p. ce qui donne le résultat.

De la relation d'échelle nous avons eu que m0(ξ)= 0 ou m0(ξ+1₂)= 0 p.p. ξ ∈ R. Donc

le vecteur (m0(ξ), m0(ξ +1₂))est non nul p.p. En utilisant l'équation (1.17) et la dénition

du produit scalaire dans C2(à savoir (a, b), (c, d) = ac+bd), le vecteur (m

g(ξ), mg(ξ+1₂))

est perpendiculaire au vecteur (m0(ξ), m0(ξ +1₂))p.p. Mais (m0(ξ +1₂),−m0(ξ))est aussi

perpendiculaire à (m0(ξ), m0(ξ + 1₂)) p.p. Il existe donc une fonction α(ξ) telle que :

(mg(ξ), mg(ξ + 1 2)) = α(ξ)(m0(ξ + 1 2),−m0(ξ)) p.p ou encore mg(ξ) = α(ξ)m0(ξ + 1 2) p.p (1.18)

et

mg(ξ +

1

2)) = −α(ξ)m0(ξ) p.p. (1.19)

Comme m0 est 1-périodique, l'équation (1.18) implique que : mg(ξ + 1 2) =α(ξ + 1 2)m0(ξ + 1) = α(ξ + 1 2)m0(ξ) p.p. (1.20) Les équations (1.19) et (1.20) impliquent que

α(ξ + 1

2)m0(ξ) =−α(ξ)m0(ξ). Comme m0(ξ)= 0 ou m0(ξ + 1₂)= 0 presque partout ξ ∈ R,

α(ξ + 1

2) = −α(ξ) et α(ξ + 1) = −α(ξ + 1

2) = α(ξ) p.p. (1.21) Comme α(ξ + 1

2) = −α(ξ) = e−iπα(ξ) p.p., il s'en suit que q(ξ) = e

2iπ(ξ+1₂)_{α(ξ) est} 1

2-périodique. Par conséquent, il existe une fonction 1-périodique β(ξ) = q(

ξ

2) telle que α(ξ) = e−2iπ(ξ+12)β(2ξ) p.p. En substituant dans la relation (1.18) nous obtenons :

mg(ξ) = e−2iπ(ξ+ 1

2)_{β(2ξ)m0(ξ +} 1

2) p.p. Pour montre que β(ξ) ∈ L2₍T), on montre que α(ξ) ∈ L2₍T). Or m

g ∈ L2(T) (voir (1.13)) et on a mg22 = 1  0 |α(ξ)|2_|m 0(ξ + 1 2)| 2 dξ = 1 2  0 |α(ξ)|2_|m0 (ξ + 1 2)| 2 dξ + 1  1 2 |α(ξ)|2_|m0 (ξ + 1 2)| 2 dξ. En posant x = ξ − 1 2 et en utilisant (1.21) on a 1  1 2 |α(ξ)|2_|m0 (ξ + 1 2)| 2 dξ = 1 2  0 |α(x +1 2)| 2_|m0 (x + 1)|2dx = 1 2  0 |α(x)|2_|m 0(x)|2dx.

Comme 1 = |m0(ξ)|2+|m0(ξ + 1₂)|2, on a : mg 2 2 = 1 2  0 |α(x)|2_|m0 (x)|2+|m0(x +1 2)| 2 dx = 1 2  0 |α(x)|2 dx = 1 2 1  0 |α(x)|2 dx = 1 2α 2 2

ce qui montre que α ∈ L2₍T).

Nous procédons maintenant à la construction de l'ondelette mère à partir de l'AMR ((Vj);φ). Comme nous voulons une fonction ψ ∈ W0 = V1 ∩ V0⊥, d'après la section

précédente, il existe un fonction 1-périodique β ∈ L2

(T) telle que :

mψ(ξ) = e−2iπ(ξ+ 1

2)_{β(2ξ)m0(ξ +} 1

2). (1.22)

Or β ≡ 1 est une fonction 1-périodique dans L2

(T). Une fonction ψ ∈ V1 qui vérie (1.22)

pour β ≡ 1 doit aussi satisfaire (1.14) et donc  ψ(ξ) = mψ( ξ 2) φ( ξ 2) =e −2iπ(ξ₂+1 2)_m0(ξ 2+ 1 2) φ( ξ 2) p.p. Théorème 1.11 Soit ((Vj);φ) une AMR et considérons

ψ(x) = k∈Z p1_−k(−1)k√2φ(2x− k) ∈ V0, pk∈ l2(Z) (1.23) telle que  ψ(ξ) = e−2iπ(ξ2+12)_m0(ξ 2+ 1 2) φ( ξ 2) p.p. (1.24)

Alors ψ est une ondelette mère pour l'AMR ((Vj);φ), c'est-à-dire que la famille {ψ(x−k) :

Démonstration. Pour commencer, nous assumons que nous connaissons la transfor-mée ψ et essayons de trouver ψ par la transformée de Fourier inverse. Comme φ ∈ L2(R) et que |m0| est bornée par (1.15), il s'en suit que ψ ∈ L2₍R) ;et par conséquent que ψ ∈ L2_{(R). Nous montrons ensuite que la famille {ψ(x − k) : k ∈ Z} est une base}

orthonormale. On a  k∈Z | ψ(ξ + k)|2 =  k∈Z |m0(ξ + k 2 + 1 2)| 2_{|φ(ξ +} k 2)| 2 =  r∈Z |m0(ξ + 2r + 1 2 + 1 2)| 2_{|φ(ξ +} 2r + 1 2 + 1 2)| 2 +  r∈Z |m0(ξ + 2r + 1 2 )| 2_{|φ(ξ +} 2r + 1 2 )| 2 .

En vertu de la périodicité de m0, ces égalités deviennent :

 k∈Z | ψ(ξ + k)|2 = |m0(ξ)|2 r∈Z |φ(ξ + 2r + 1 2 + 1 2)| 2 + |m0(ξ + 1 2)| 2 r∈Z |φ(ξ + 2r + 1 2 )| 2 .

De l'égalité (1.11), nous avons :  k∈Z | ψ(ξ + k)|2 = |m0(ξ)|2+|m0(ξ + 1 2)| 2 = 1.

Pour montre que ψ(x − k) est orthogonale à V0, nous montrons que chaque ψ(x − k)

est orthogonale à chaque φ(x − n). Par le théorème de Plancherel (En annexe), il sut de montrer que (ψ(x − k))∧_{, (φ(x− n))}∧_{ = 0 ∀k, n ∈ Z. Pour montrer que ψ(x) est}

orthogonale à V0, nous montrons que (ψ(x))∧, (φ(x− k))∧ = 0 ∀k ∈ Z. Comme les

respectivement, par (1.14) et (1.16) nous avons (φ(x − k))∧_{, (ψ(x))}∧_{ = m0(}ξ 2) φ( ξ 2))e −2iπξk_{, e}−2iπ(ξ 2+12)_m0(ξ 2+ 1 2) φ( ξ 2) = ∞  −∞ e−iπξ(2k−1)eiπm0(ξ 2) φ( ξ 2)m0( ξ 2+ 1 2) φ( ξ 2)dξ = ∞  −∞ (−e−iπξ(2k−1))m0(ξ 2)m0( ξ 2+ 1 2)|φ( ξ 2)| 2 dξ. Avec t = ξ 2 on a : (φ(x − k))∧_{, (ψ(x))}∧_{ = 2} ∞  −∞ (−e−2iπt(2k−1))m0(t)m0(t + 1 2)|φ(t)| 2 dt = 2 n∈Z (n+1)_ 1₂ n1₂ (−e−2iπt(2k−1))m0(t)m0(t + 1 2)|φ(t)| 2 dt. De (1.12) nous obtenons (φ(x − k))∧_{, (ψ(x))}∧_{ = 2} 1  0 m0(t)m0(t +1 2)  n∈Z |φ(t + n)|2 (−e−2iπt(2k−1))dt = 2 1  0 m0(t)m0(t +1 2)(−e −2iπt(2k−1)_)dt. Comme m0(t) =  n∈Z c_n √ 2e

−2iπξn _{nous avons}

(φ(x − k))∧_{, (ψ(x))}∧_{ =} 1  0  n∈Z  m∈Z (−1)mcncm(−e−2iπt(n+m+2k−1))dt.

L'intégrale est non nulle seulement lorsque n + m + 2k − 1 = 0 (c'est à dire m =

−n − (2k − 1)). Donc

(φ(x − k))∧_{, (ψ(x))}∧_{ =} n∈Z

Pour évaluer cette somme , notons que n pair (impair) implique que −n − (2k − 1) est impair (pair). On a donc

(−1)−n−(2k−1)cnc−n−(2k−1)+ (−1)nc−n−(2k−1)cn= 0. (1.26)

Comme cn ∈ l2(Z), la série converge absolument. Donc les groupements indiqués dans

(1.26) montrent que la sommation dans l'équation (1.25) est égale à zero et par conséquent que {ψ(x − k) : k ∈ Z} ⊥ V0 ∀k ∈ Z.

Montrons en n que {ψ(x − n) : n ∈ Z} est une base orthonormée de W0. Nous savons

que pour n ∈ Z, {ψ(x − n) ∈ L2 (R)}. En outre  ψ(ξ) = e−2iπ(ξ2+12)_m0(ξ 2+ 1 2) φ( ξ 2) =e −2iπ(ξ 2+12) k∈Z ck √ 2e −2iπ(ξ₂+1 2)kφ(ξ 2) = e−2iπ(ξ2+12) k∈Z c_−k √ 2e −2iπ(ξ 2+12)kφ(ξ 2) =  k∈Z c_−k √ 2e −2iπξ 2(k+1)_e−iπ(k+1)φ(ξ 2). Comme (φ(bx−a))∧ ₌ 1 be −2iπξa b φ(ξ

b), la transformée inverse de e−2iπ

ξ 2(2k+1)φ(ξ 2)est 2φ(2x− (k + 1)). On a donc :  ψ(ξ) =  k∈Z (−1)k+1c√−k 2F(2φ(2x − (k + 1))) ψ(x) =  k∈Z (−1)k+1c_−k√2φ(2x− (k + 1)) =  k∈Z (−1)kc1_−k√2φ(2x− k).

On voit que ψ(x) ∈ V1, d'où ψ(x−k) ∈ V1, ∀k ∈ Z. Pour voir que {ψ(x−k) : k ∈ Z} ⊂ W0

est une famille orthonormée de W0. Nous supposons que g ∈ W0. Par (1.14) et (1.16)

nous avons g(ξ) = e−2iπ(ξ₂+1 2)β(ξ)m0(ξ 2 + 1 2) φ( ξ 2). = β(ξ) ψ(ξ)

Comme β(ξ) ∈ L2_{(T), nous pouvons écrire en série de Fourier comme β(ξ) =}  n∈Z ane2iπnξ. Donc on a g(ξ) =  n∈Z ane2iπnξ ψ(ξ) =  n∈Z ane2iπnξψ(ξ).

Comme la transformée de Fourier inverse de e2iπnξ

ψ(ξ) est ψ(x + n), nous avons que g(x) =

k∈Z

akψ(x− k)

ce qui démontre bien que toute fonction g ∈ W0 s'exprime comme une combinaison

linéaire des translatées de ψ.

Exemple 1.12 L'ondelette de Haar [1]

Dans cet exemple, nous voulons construire une fonction ψ(x) ∈ W0 ⊂ V1 telle que : φ, ψ = 0 et ψ, ψ = 1.

Comme ψ ∈ V1, nous voulons trouver les scalaires a1 et a2 tels que ψ(x) = a1 √

2φ(2x) + a2√2φ(2x − 1). Mais nous savons aussi que φ(x) = φ(2x) + φ(2x − 1). La première

condition donne 0 = _√a₁

2 +

a₂ √

2, donc a2 = −a1. De plus la deuxième condition donne

1 =a2 1+a

2

2. Nous avons a1 = √1₂ et a2 =−√1₂. Donc l' ondelette mère de Haar est : ψ(x) = φ(2x)− φ(2x − 1) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 si x∈ [0,1₂); −1 si x ∈ [1 2, 1); 0 ailleurs. = χ[0,1 2)− χ[12,1). Ce qui donne ψjk(x) = ⎧ ⎨ ⎩ 22j si x∈ [k 2j, k 2j + 1 2j+1); −22j si x∈ [₂k_j +_2j+11 ,k+1_2j ); 0 ailleurs.

Le ltre passe-bas associé à la fonction échelle de Haar est m0(ξ) = k∈Z ak √ 2e −2iπkξ ₌ 1 2 + 1 2e −2iπξ_.

On montre donc qu'à partir de ψ, nous pouvons construire ψ. En eet

 ψ(ξ) = e−2iπ(ξ2+12)_m0(ξ 2+ 1 2) φ( ξ 2) = e−2iπ(ξ2+12)1 2+ 1 2e −2iπ(₂ξ+1 2)φ(ξ 2) = 1 2φ(ξ2)− 1 2e −2iπ(ξ 2)φ(ξ 2). Comme F−1₍1 2φ( ξ 2)) = φ(2x)et F−1( 1 2e−2iπ( ξ 2)φ(ξ 2)) =φ(2x− 1), nous obtenons ψ(x) = φ(2x)− φ(2x − 1).

En fait, le ltre passe-bas m0 et le ltre passe-haut m1 =e−2iπ(

ξ

2+12)m0(₂ξ+ 1₂)produisent les ondelettes générées par la fonction échelle φ.

Figure 1.3  Ondelette de Haar [3].

Dans le théorème suivant, nous introduisons un résultat important qui nous sera utile dans la suite de ce travail.

Théorème 1.13 (Théorème d'échantillonnage de Whittaker-Shannon-kotelnikov ) Soit f ∈ L2_{(R) et supp f ⊂ [−}1 2, 1 2]. Alors f (x) = k∈Z f (k) sinc(x− k)

où la somme symétrique partielle de ces séries converge absolument et uniformément par rapport à la norme dans .2 [9]

Démonstration. Pour donner une preuve à ce théorème, partons du lemme suivant (voir [3]) :

Lemme 1.14 L'ensemble des fonctions {_√1 2ae

inxπ

a : n = · · · − 2, −1, 0, 1, 2 · · · }

consti-tue une base orthonormée pour L2_{[−a, a]. S i f(x) =} ∞

n=−∞ αne inπx a , alors α_n = 1 2a a −a f (x)e−inπxa dx.

Nous commençons par montrer que les fonctions {sinc(x − k) : k ∈ Z} forment une suite orthonormée dans L2_{(R).Par le lemme précédent, les fonctions {e}2πikx_χ

]−1₂1₂[(x)}k∈Z

forment une suite orthonormée dans L2

(R).La transformée de Fourier de ces fonctions donne Fe2πikxχ]−1 2,12[(x)  (ξ) = 1 2  −1 2 e2πikxe−2πikξdx = 1 2  −1 2 e−2πik(ξ−k)xdx =  ₁ −2πi(ξ − k)e−2πik(ξ−k)x 1 2 −1 2 = sinc(ξ− k).

Comme la transformée de Fourier est unitaire, cela implique que les fonctions {sinc(x−k) :

k ∈ Z} sont orthonormées.Ainsi, pour tout f ∈ L1₍R) ∩ L2₍R) nous pouvons exprimer



f (x) en séries de Fourier dans l'intervalle [−1₂,1₂]  f (ξ) = ∞  k=−∞ cke2πikξ

où ck = 1 2  −1 2  f (x)e−2πikξdξ. (1.27)

Rappelons que les sommes partielles des séries de Fourier convergent par rapport à la norme .2 (−1₂,1₂) , c'est à dire 1 2  −1 2 | f (ξ)− N  k=−N cke2πikξ|2 −→ 0 quand N −→ ∞.

Comme nous travaillons dans un intervalle ni, la convergence dans L2

(−1₂,1₂) implique la convergence dans L1₍−1 2, 1 2), donc 1 2  −1 2 | f (ξ)− N  k=−N cke2πikξ| −→ 0 quand N −→ ∞. (1.28) Or on a le résultat suivant.

Lemme 1.15 Soit f, f ,∈ L1(R). Alors

f (x) = ∞  −∞  f (ξ)e2iπxξdξ p.p. x∈ R. (1.29)

Si f est continue, la formule (1.29) est vériée pour tout x ∈ R ( [9]).

Comme supp f ⊆ [−1₂,1₂], de l'expression de ck dans (1.27) et par le lemme précédent on

a ck =f (−k). En utilisant encore ce lemme, on a la formule suivante

f (x) = ∞  −∞  f (ξ)e2iπxξdξ = 1 2  −1 2   k∈Z f (−k)e2πikξ  e2πixξdξ ∀x ∈ R.

D'après (1.28) nous pouvons permuter la sommation et l'intégration. Pour tout x ∈ R, on a f (x) =  k∈Z f (−k) 1 2  −1 2 e2πi(x+k)ξdξ =  k∈Z f (−k)  ₁ 2πi(ξ− k)e 2πik(x−k)ξ 1 2 −1₂ =  k∈Z f (−k) sinc(x + k) =  k∈Z f (k) sinc(x− k).

Ces séries convergent dans L2_{(R). En eet, comme {sinc(x − k) : k ∈ Z} est un système}

orthonormé, f(x) − N  n=−N f (k) sinc(x− k)2 =  |n|>N f (k) sinc(x− k)2 =   |n|>N |f(k)|2

converge vers 0 quand N −→ ∞ car {f(k) : k ∈ Z} ∈ l2

(Z). Ainsi {sinc(x − k) : k ∈ Z} forment une base orthonormée

Nous allons expliquer comment ce résultat est lié aux ondelettes, même si quand il a été obtenu la notion d'ondelettes n'avait pas encore paru. Le mot échantillonnage reète le fait que les fonctions concernées sont complètement déterminées si nous savons leurs valeurs sur l'ensemble dénombrable Z. Le nom Shannon est distingué parce qu'il est associé à de nombreux aspects et applications importants de l'échantillonnage.

Exemple 1.16 Ondelette de Shannon [1]

L'exemple 1.2 nous a donné

φ(ξ) = sinc(ξ) = χ_[−1 2,12)(ξ)

dont la transformée inverse de Fourier est : 1 2  −1 2 e2iπξxdξ = 1 2iπx(e 2iπx1_{2 − e}−2iπx1₂ ) = 1 πx eiπx− e−iπx 2i = sinπx πx . Puisque  k∈Z |φ(ξ + k)|2 _{= 1 p.p} ∀ξ ∈ R, {φ(x − k) : k ∈ Z} constitue un système

orthonormée dans L2₍R), par l'orthonormalité des translatées de φ(x). Pour correspondre

au fait que φ(ξ) = χ[−1

2,12)(ξ), nous prenons V0 comme l'espace des fonctions à bande

limitée.

V0 ={φ ∈ L2(R) : φ(ξ) = 0 ∀ |ξ| > 1 2}.

Par le théorème d'échantillonnage de Whittaker-Shannon-Kotelnikov, si φ ∈ V0, alors φ(x) = 

k∈Z

φ(k) sinc(π(x− k)) dans .2. Ainsi la série converge simplement.

Donc {φ(x − k) : k ∈ Z} est une base orthonormale de V0. Nous pouvons donc prendre

Vj ={φjk(x) = 2 j 2φ(2j_x− k) : k ∈ Z}. Donc Vj ={φ ∈ L2(R) : φ(ξ) = 0, |ξ| > 2j 1 2}.

Nous voyons donc que {Vj : j ∈ Z} est une AMR avec comme fonction d'échelle

φ(x) = sinc(πx).

La densité, la séparation et les propriétés d'orthogonalité sont évidement satisfaits pour chaque Vj. Donc



j∈Z

Vj =L2(R) s'en suit du fait que l'application f −→ f est une

bijection de L2_{(R) dans lui même et aussi de la relation de Plancherel ( en Annexe ).}

Soit donc φ ∈ L2

(R). Alors φ ∈ L2(R) et φ(ξ) = χ_[−2j 1

Alors φj ∈ Vj et φj − φ2 → 0 quand j → ∞. Donc φj − φ2 → 0 quand j → ∞.

D'après l'égalité des ltres, on a

φ(ξ) = m0( ξ

2) φ(

ξ

2) = χ[−12,12)(ξ)

Généralement, m0 ∈ L2(T), donc m0est une extension 1-périodique de χ[−1₄,1₄)(ξ). D'après

l'ondelette mère du théorème 1.14 (voir ltre et transformée de Fourier), on a  ψ(ξ) = e−2iπ(ξ2+12)_m0(ξ 2+ 1 2) φ( ξ 2) p.p = e−iπξe−iπm0(ξ 2 + 1 2) φ( ξ 2) et donc  ψ(ξ) = e−iπξχ_[−1,−1 2)(ξ) + χ[12,1)(ξ)  p.p

1.2 Les propriétés des fonctions de carré intégrables

translatées dans L

(R)

1.2.1 Espace Invariant par Translation (EIT)

Pour tout k ∈ Z, on a déni l'opérateur translation Tk par Tkφ(x) = φ(x−k) = φk(x).

Dénition 1.2 Soit V ∈ L2

(R) un espace fermé non vide. Cet espace est dit invariant par translation si et seulement si Tkφ ∈ V ∀k ∈ Z quelque soit φ ∈ V, k ∈ Z. Si Tφ =

{φk :k ∈ Z} alors Tφ engendre un sous espace fermé Tφ noté simplement φ. C'est à

dire la fermeture dans L2

(R) de toutes les combinaisons linéaires nies des fonctions φk.

Cet espace est appelé espace principal invariant par translation engendré par φ.

Dans le cas où φ = sinc, alors Tφ est une famille orthonormée ( puisque sinc(ξ) =

χ_[−1

2,12)(ξ) ) et donc nous avons que



k∈Z

le théorème d'échantillonnage de Whittaker-Shannon-Kotelnikov. De plus V0 =sinc et

l'ensemble {Vj = DjV0 : j ∈ Z} est une AMR où φ = sinc est la fonction échelle pour

cette AMR.

Signalons que V0 et W0 sont en général des espaces principaux invariants par

trans-lation mais ont une diérence importante par rapport à l'opérateur de dilatation car

Vj = DjV0 est une suite croissante d'espaces fermés emboités avec j → ∞, alors que

Wj = DjW0 sont des espaces disjoints satisfaisant à (1.9). Les propriétés des espaces

invariants par translation ont beaucoup de conséquences sur la théorie des ondelettes. Les propriétés basiques de φ sont déterminées par celles du système Tφ. Soit donc φ

une fonction non nulle dans L2

(R), et soit

pφ(ξ) =



j∈Z

|φ(ξ + j)|2

et considérons l'espace Mφ = L2([0, 1); pφ) de toutes les fonctions m de période 1

satis-faisant à 1  0 |m(ξ)|2 pφ(ξ)dξ :=m(ξ)2_Mφ <∞.

1.2.2 Les propriétés des fonctions de carré intégrables translatées

dans L

₍

_R)

Ici nous commençons par montrer comment pφ nous amène à une correspondance

naturelle entre l'espace φ et l'espace Mφ. En eet observons que de part sa

déni-tion, la fonction pφ est une fonction générale positive et de période 1 dans L1([0, 1); dξ).

Introduisons donc les crochets suivants pour deux fonctions f ,g ∈ L2₍R)

[ f ,g](ξ) =

k∈Z



Notons que pφ= [ φ, φ] et pour f ,g ∈ L2(R), on a : |[ f ,g]|  [ f , f ]12_[g, g]12_. En outre Tkf, g = (Tkf )∧,g = ∞ −∞  f (ξ)g(ξ)e−2iπξkdξ = 1 0 [ f ,g](ξ)e−2iπξkdξ (1.30)

correspond au kième _{coecient de Fourier de [ f ,g] qui est une fonction de L}2

([0, 1)). Donc

nous avons :

Lemme 1.17 Pour f, g ∈ L2_{(R), f ⊥ g si et seulement si [ f ,g](ξ) = 0 p.p.}

Cela est claire puisque

f ⊥ g ⇔ Tjf, Tlg = 0 ∀j, l ∈ Z

⇔ Tkf, g = 0 ∀k ∈ Z

⇔ [ f ,g](ξ) = 0.

en vertu de (1.30). Ce critère de perpendicularitéfournit une preuve facile d'un résultat de base qui nous sera utile dans la suite. Avant de continuer, introduisons la carte Jφ: Mφ→

L2_{(R) dénie par J}

φm = (m φ)∨.

Théorème 1.18 Jφ est une isométrie entre Mφ et φ.[30]

Démonstration. Le fait que Jφ est une isométrie entre Mφ et φ est la conséquence

de l'argument de périodisation Jφm2L2(R) = ∞  −∞ |m(ξ)|2_|φ(ξ)|2 dξ = 1  0 |m(ξ)|2 k∈Z |φ(ξ + k)|2 dξ = m(ξ)2_M φ.