Application des ondelettes dans les récepteurs de systèmes radiomobiles à grande efficacité spectrale

HAL Id: tel-03002252

https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-03002252

Submitted on 12 Nov 2020

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Application des ondelettes dans les récepteurs de

systèmes radiomobiles à grande efficacité spectrale

Romaric Mvone Evina

To cite this version:

Romaric Mvone Evina. Application des ondelettes dans les récepteurs de systèmes radiomobiles à grande efficacité spectrale. Electronique. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, 2008. Français. �NNT : 2008VALE0006�. �tel-03002252�

uv~

---

,,..,,...,

__

THE SE Présentée à

uv~

-·-""'...,

__

l'Université de Valenciennes et dp Hainaut Cambrésis

par

Romaric MiVONE EVINA

Pour obtenir le titre de DOCTEUR Spécialité: ELECTRONIQUE

Application des ondelettes dans les récepteurs de systèmes

radiomobiles à

grande efficacité spectrale

Soutenue le mercredi 21 mai 2008, devant le jury composé de :

Rapporteurs :

Madame Geneviève BAUDOUIN, Professeur à l'ESIEE Noisy-le-Grand Monsieur Jacques PALICOT, Professeur à SUPELEC Rennes

Examinateurs :

Monsieur Bernard GOSSELIN, Chargé de cours à la FPMS Mons (Belgique) Monsieur Abdelmalik TALEB-AHMED, Professeur à l'UVHC

Monsieur Jean Michel ROUVAEN, Professeur à l'UVHC Monsieur lyad DAYOUB, Maître de Conférences à l'UVHC Invitée:

Madame Marion BERBINEAU, Directrice de recherches INRETS Villeneuve d' Ascq

Institut d'Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie UMRJCNRS 8520 Département d' opto-Acousto-Electronique

N° d'ordre: 08/07

THE SE Présentée à

l'Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis

par

Romaric MVONE EVINA

Pour obtenir le titre de DOCTEUR Spécialité : ELECTRONIQUE

Application des ondelettes dans les récepteurs de systèmes

radiomobiles

à

grande efficacité spectrale

Soutenue le mercredi 21 mai 2008, devant le jury composé de :

Rapporteurs :

Madame Geneviève BAUDOUIN, Professeur à l'ESIEE Noisy-le-Grand Monsieur Jacques PALICOT, Professeur à SUPELEC Rennes

Examinateurs :

Monsieur Bernard GOSSELIN, Chargé de cours à la FPMS Mons (Belgique) Monsieur Abdelmalik TALEB-AHMED, Professeur à l'UVHC

Monsieur Jean Michel ROUVAEN, Professeur à l'UVHC Monsieur Iyad DAYOUB, Maître de Conférences à l'UVHC Invitée:

Madame Marion BERBINEAU, Directrice de recherches INRETS Villeneuve d' Ascq

Institut d'Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie UMR/CNRS 8520 Département d' opto-Acousto-Electronique

Remerciements

Ce travail de thèse a été réalisé au sein du Département Opto-Acousto-Electronique de l'Institut d'Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie de Valenciennes. Ce département a été dirigé successivement, pendant la durée de mes travaux, par Messieurs Marc Gazalet et Bertrand Nongaillard. Je tiens à les remercier de leur accueil et de m'avoir permis de réaliser ce projet.

J'adresse également mes très sincères remerciements à mes rapporteurs, Madame Geneviève Baudouin, Professeur à l'ESIEE de Paris, et Monsieur Jacques Palicot, Professeur à Supelec de Rennes, pour la qualité de leur remarques et les nombreuses corrections apportées à ce travail, ainsi qu'à tous les membres du jury.

Je remercie très vivement mon Directeur de thèse, Monsieur Jean-Michel Rouvaen, pour son encadrement et son aide dans la résolution de certaines équations mathématiques, et pour la grande confiance qu'il m'a accordé tout au long de ces années. Je tiens également à remercier infiniment Monsieur lyad Dayoub qui m'a constamment soutenu et a suivi mes travaux durant toutes les étapes d'un chemin long et parfois difficile. J'accorde une attention particulière à Monsieur Abdelmalik Taleb-Ahmed pour sa collaboration, ses critiques et encouragements qui m'ont permis de mieux structurer mon travail. Je les remercie pour leur disponibilité et pour l'aide qu'ils m'ont apportée durant la réalisation de ce travail.

Je remercie également ma famille : mon père Evina Léonard, ma mère Nzeng Berth, mes frères Bibème Alain, Maixant Evina, Patrick Zué et Berlian Evina, mes soeurs Zoula Viviane, Claudia Nkole et Hormélia Ekwaga. J'exprime également mon amitié à Guilaine Coralie. Je n'oublierai pas leurs encouragements, leur soutien lors des moments difficiles.

Que mes collègues du DOAE, docteurs et futurs docteurs trouvent ici l'assurance de ma pro-fonde reconnaissance et de mon amitié tout au long de cette thèse. En particulier Anicet M'Fou-bat, Shebli Fady, Awad Mazen, Jamal Zaidouni, Michael Lemaire et Géoffroy Mba Nang. Mes remerciements s'adressent aussi à Gui laine Coralie pour avoir fait preuve de patience et rn' avoir encouragé durant cette thèse.

Enfin, je remercie tous les membres du personnel technique et administratif qui ont contri-bué, d'une manière ou d'une autre, à l'enrichissement et au bon déroulement de cette thèse. J'exprime aussi mon amitié à tous les membres du laboratoire qui m'ont permis de passer ces quelques années dans une ambiance chaleureuse et conviviale. Que tous trouvent ici l'expres-sion de ma gratitude pour les fructueux échanges quotidiens.

Notations et Définitions

Notations Définitions

J Imaginaire pur (de module 1 et d'argument~)

t, v

Respectivement variable temporelle et fréquentielle

x(t)

Signal temporel

x(t)*

Conjugué de

x(t)

R(x(t)) Partie réelle de

x (

t)

~(x (t)) Partie imaginaire de

x ( t)

U(R) Ensemble de fonction de carré intégrable

x

(v)ou X

(v)

Spectre de

x ( t)

Eb/No Rapport énergie moyenne par bit sur bruit

E8/No Rapport énergie moyenne par symbole sur bruit

AM Amplitude Modulation

ASK(ouPAM) Amplitude Shi ft Keying (ou Pulse Amplitude Modulation)

BBAG Bruit blanc Additif et Gaussien

DECT Digital European Cordless Telephone

DPRS DECT Packet Radio Service

DSP Densité Spectrale de Puissance

FM Frequency Modulation

GSM Global System for Mobile communication

lES Interférences Entre Symboles

MV Maximum de Vraisemblance

QAM Quadrature Amplitude Modulation

PSK Phase Shift Keying

RSB Rapport Signal sur Bruit

TEB Taux d'Erreur Binaire

TES Taux d'Erreur Symbole

TDMA Accès multiple à répartition en temps

TF Transformée de Fourier

TFD Transformée de Fourier Discrète

TFR Transformée de Fourier rapide

TO Transformée en Ondelettes Continue

TOD Transformée en Ondelettes Discrète

v co

Oscillateur contrôlé en tension

OFDM Modulation Multiporteuses Orthogonales

DWMT Modulation Multiporteuses par ondelettes

Table des matières

Remerciements . . . 3

Notations et Définitions 5

Table des figures . Il

Liste des tableaux 15

Introduction générale 17

1. Les ondelettes, les modulations QAM

Chapitre 1. Les ondelettes 23

Sommaire . . . . Introduction . . . .

1.1. Du long règne de Fourier aux ondelettes 1.2. La Transformée en Ondelettes . .

1.2.1. Propriétés . . . . 1.2.1.1. Admissibilité . 1.2.1.2. Inversibilité . 1.2.1.3. Régularité . .

1.2.2. La Transformée en ondelettes discrète 1.3. Des ondelettes aux paquets d'ondelettes

1.3.1. L'analyse multirésolution . . . . 1.3.2. Utilisation des bancs de filtres . . . . 1.4. Les ondelettes dans les systèmes de communication

1.4.1. Modulation Multiporteuse par ondelettes DWMT Complexité . . . .

Localisation temps-fréquence . Egalisation . . . . Performance en terme de TEB

1.4.2. Compression d'image par ondelettes JPEG2000 .

1.4.3. Applications aux modulations de fréquence et d'amplitude 1.4.3.1. Fréquence instantanée d'un signal . . . . 1.4.3.2. Modulations d'amplitude et de fréquence Cas des modulations d'amplitude . . . . Cas des modulations d'amplitude et de fréquence . Conclusion

Chapitre 2. Les Modulations QAM : la récupération de la porteuse

Sommaire . . . .

Généralités . . . . 2.1. Les modulations QAM . . . . 2.2. Modèle équivalent en bande de base

2.2.1. Canal de transmission . . . . 23 24 27 28 32 32 32 33 35 37 37 38 39 41 42 42 44 44 44 45 46 48 48 51 52 53 53 54 56 59 59

8 Table des matières

2.2.2. Modèle en bande de base 63

2.3. Démodulation . . . 64

2.3.1. Démodulation cohérente 64

2.3.1.1. Démodulation par Translation en fréquence puis Filtrage Passe-bas

(DTFFP) . . . 65 2.3.1.2. Démodulation par Filtrage de Hilbert puis Translation en Fréquence

(DFHTF) 67

2.3.2. Démodulation non cohérente 69

2.4. Synchronisation de la porteuse . . . 2.4.1. Formulation du problème

2.4.2. Les algorithmes de synchronisation

Conclusion

2.4.2.1. Les systèmes bouclés : les algorithmes feedback 2.4.2.2. Les systèmes non bouclés : les algorithmes feedforward

II. Applications des ondelettes aux modulations QAM

70 73 74 74 84 91

Chapitre 3. Démodulation par ondelettes 95

Sommaire . . . 95 Introduction . . . 96

3.1. Démodulation par ondelettes . . . 97

3 .1.1. Démodulation et modélisation bande de base dans 1' Analyse de F ourler 97 3.1.2. Démodulation par Ondelettes et modèle en bande de base . 98 3.1.2.1. Démodulateur par Ondelettes (DO) . . . 98 3.1.2.2. Analyse des performances . . . 101 3.1.2.3. Inversion de la transformée en ondelettes des signaux QAM . 112 3.1.3. Simulations et discussion . . . 116 3.2. Détecteur de puissance par ondelettes . . . .

3.2.1. Détecteur de Puissance par les Ondelettes-Multirésolution (DPOM) 3.2.2. Détecteur de Puissance par Ondelettes (DPO) . . . .

3.2.3. Détecteur Aveugle de Puissance par Ondelettes (DAPO) 3.2.4.

Discussion Conclusion

Simulations et discussion .

Chapitre 4. Synchronisation par ondelettes

Sommaire . . . . Introduction . . . . 4.1. Détection du type de modulation

4.1.1. Types de modulations

4.1.1.1. Modulation GMSK 4.1.1.2.

4.1.1.3.

Modulation D8PSK

Modulations 16-QAM et 32-QAM

. 122 . 125 . 126 . 129 . 137 . 150 . 151 . 153 . 153 . 154 . 154 . 155 . 155 . 156 . 156

4.1.2. Méthodes basées sur le kutosis . . 157

4.1.2.1. Conclusion . . . 158 4.1.3. Identification par les ondelettes . . . 158 4.1.4. Identification par l'observation des histogrammes d'amplitudes: le rapport Rx . 161 Influence du choix du seuil . . . 164 4.1.5. Approche du maximum de vraisemblance . .

4.2. Récupération de la porteuse par ondelettes . . . . 4.2.1. Détecteur de Porteuse par Ondelettes (DPO) .

. 168 . 171

Table des matières

4.2.2.

4.2.3. Conclusion

Analyse des performances . . . . 4.2.2.1. Détection d'une porteuse non modulée : Algorithme de type DA . . . 4.2.2.2. Détection d'une porteuse modulée: Algorithmes de type NDA et DD Arête de la transformée en ondelettes des signaux QAM

Conclusion générale et Perspectives Bibliographie . . . . 9 . 175 . 176 . 179 . 184 . 187 . 189 . 193

Table des figures

1.1. Analyse temporelle de deux signaux sonores. . . 24 1.2. Analyse de Fourier (seules les fréquences positives sont représentées) des deux

signaux sonores précédents. . . 25 1.3. Méthodes de calcul d'un spectre. . . 25 1.4. Exemple de signaux bivariables spatio-temporels. 26 1.5. Localisation temps-fréquence de deux gaborettes. 28 1.6. Analyse de Gabor de deux signaux musicaux. . . 28 1.7. Localisation temps-échelle de deux ondelettes 1/!(a,b)(T), avec Jo= lOMHz, b0 = 1/4. 29 1.8. Pavage du plan temps-échelle. . . 31 1.9. Analyse de Morlet (bo =

t•

Jo = 30 MHz) de deux signaux sonores. 32 1.1 O. Etude des singularités de la TO . . . 34 1.11. Ligne de maxima de la WT du signal y1 (t). . . 35

1.12. Algorithme d'analyse-synthèse multirésolution à l'échèlle 3 du signal s [k]. 40 1.13. Analyse multirésolution en paquets d'ondelettes. . . 40 1.14. Principe de la modulation OFDM. . . 41 1.15. Principe de la modulation (a) et de la démodulation (b) multiporteuses par paquets

d'ondelettes. . . 41 1.16. Evaluation du débit de transmission dans les systèmes ODFM et DWMT. 42 1.17. Représentation fréquentielle de 5 porteuses OFDM et DWMT. 43 1.18. Densité spectrale de puissance des signaux OFDM et DWMT. 43 1.19. Compression d'image par TCD (JPEG). . . 45 1.20. Compression d'image par ondelettes (JPEG2000). . . 46 1.21. Arête d'une sinusoïde pure x(t) = cos(407rt). . . 50 1.22. Quantification des hypothèses asymptotiques des signaux. 51 1.23. Validation des hypothèses asymptotiques des signaux. 52

2.1. Schéma synoptique d'un système de transmission numérique. 54 2.2. Filtre RCS de RollOff a = 0.5. . . 57 2.3. Signal QAM. . . . . . .

2.4. Architecture d'un modulateur QAM . . 2.5. Constellations des modulations QAM ..

58 58 59

2.6. Erreurs de transmission et bruit blanc. 60

2.7. Probabilité d'erreur par symbole théorique des modulations QAM. 61 2.8. Probabilité d'erreur par symbole théorique des modulations FSK. . 62 2.9. Chaîne de communication numérique sur fréquence porteuse. . . . 63 2.10. Modèle équivalent en bande de base de la chaîne de communication sur fréquence

porteuse. . . 64 2.11. Chaîne de communication numérique sur fréquence porteuse. . . . 65 2.12. Démodulation par translation en fréquence et filtrage passe-bas. . . 66 2.13. Démodulation par filtrage de Hilbert puis translation en fréquence. 67 2.14. Performances des démodulateurs DTFFP et DFHTF dans le cas des signaux 16-QAM. 68 2.15. Récepteur totalement numérique. . . 71

12 Table des figures

2.16. Récepteur analogique. . . . 2.17. Récepteur mixte analogique/numérique. . . . . 2.18. Effets des résidus de fréquence sur la constellation. 2.19. Eléments de base d'une PLL . . . .

71

72 72

75 2.20. Phénomène bang-op dans une PLL. . . 76 2.21. Etude du gain du détecteur DA en fonction du résidu de fréquence. 77 2.22. Etude de la précision du détecteur DA en fonction du RSB. . . 78 2.23. Etude de la précision du détecteur DD en fonction du RSB. . . 79 2.24. Etude du gain du détecteur DA en fonction du résidu de fréquence. 79 2.25. Estimation de symboles dans un système DD. . . 79 2.26. Etude de la précision du détecteur NDA en fonction du RSB pour un résidu de

fréquence b.F = 0, 01. . . 81 2.27. Etude de la plage de capture du détecteur NDA en fonction de l'erreur de fréquence,

RSB

=

+oo.. 81

2.28. Réglage de /'l· . . . 83 2.29. Réglage de ')'2 • . . . . • . . . • . . • . . • . . • • . • • . • . . • • . . • • . • . . . • 83

2.30. Filtre de boucle et précision des détecteurs feedback; cas d'une porteuse non modulée de fréquence E = 0.01. . . 83 2.31. Etude de la précision du détecteur DOW en fonction du nombre d'échantillons : cas

d'une porteuse non modulée (M = 1) et non bruitée (RSB~ oo).. . . 88 2.32. Etude approndie de la précision du détecteur DOW en fonction du nombre

d'échantillon, cas d'une porteuse non modulée (M = 1) et non bruitée (RSB~ oo). 89 2.33. Etude de la plage de capture du détecteur DOW en fonction de la modulation et un

RSB

=

+oo.. . . 89 2.34. Précision du détecteur DOW en fonction du RSB et de la modulation.

2.35. Effet du filtrage optimal sur les constellations M -QAM. . . . .

90 90

3.1. ChaÎne de communication numérique sur fréquence porteuse. 97 3.2. Démodulateur par ondelettes. . . 101 3.3. Implémentation de la transformée en ondelettes par filtrage passe-bande. . 115 3.4. Implémentation de la transformée en ondelettes par filtrage passe-bas. . . . 115 3.5. Schéma de simulation. . . 117 3.6. Approximation d'un signal16-QAM de fréquence porteuse fe= 30 MHz et de bande

spectrale Be= 1.5 MHz par l'ondelette de Shannon. . . . . 118 3.7. Analyse des performances du démodulateur DO dans le cas de la 16-QAM. . . 118 3.8. Analyse des performances du démodulateur DO en fonction du paramètre de

dilatation. . . 118 3.9. Principe du débruitage des signaux QAM par ondelettes. . . 119 3.1 O. Ondelettes contre filtre adapté. . . 119 3.11. Approximation de l'ondelette de Shannon de fréquence centrale

Jo

= 30 MHz et de

bande passante Bo = 2 MHz par les ondelettes de Morlet. . . . . 120 3.12. Approximation d'un signal16-QAM de fréquence porteuse fe = 30MHz et de bande

passante Be = 1.5 MHz par les ondelettes de Morlet. . . . . . 121 3.13. Débruitage des signaux QAM par le banc de filtres de Morlet, cas de la modulation

16-QAM de fréquence porteuse fe

=

30MHz et de bande passante Be

=

1.5 MHz par les ondelettes de Morlet. . . . . 121 3.14. Débruitage des signaux QAM par le banc de filtres de Morlet, cas de la modulation

16-QAM de fréquence porteuse fe = 30MHz et de bande passante Be = 1.5 MHz par

les ondelettes de Morlet. . . 122

3.15. Détecteur de puissance DPO .. 3.16. Schéma de simulation. . . . .

. 129

13 3.17. Ondelettes de Daubechies d'ordre 3.. . . . 138 3.18. Analyse des performances du détecteurs DPOM- Estimation du bruit. . . . 139 3.19. Influence des résidus de fréquence sur les performances du détecteur DPOM pour

RSB

=

10 dB- Estimation du bruit. . . . 139 3.20. Analyse des performances du détecteur DPO. . . . 140 3.21. Valeur optimale de (en fonction de RSB pour le détecteur DPO. . . . 141 3.22. Influence des résidus de fréquence sur les performances du détecteur DPO pour RSB

= 10 dB. . . . 141 3.23. Influence du facteur de sur-échantillonnage. . . . 142 3.24. Influence du nombre de symboles N utilisés. . . . 143 3.25. Suite d'essais pour l'estimation du rapport de kurtosis. . 144 3.26. Moyenne et variance du rapport de kurtosis. . . . 144 3.27. Moyenne et variance de l'estimation du kurtosis du mélange. . . 146 3.28. Moyenne des estimations des puissances de signal et de bruit- Variances des

estimations. . . . 146 3.29. Moyenne et variance des estimations du RSB. . . . 147 3.30. Erreur de mesure de la puissance de bruit. . . . . .

3.31. Erreur de mesure de la puissance du signal modulant ..

3.32. Erreur de mesure du RSB. . . . . .

3.33. Erreur de fréquence- Estimation des puissances (RSB = 10 dB) ..

3.34. Erreur de fréquence- Estimation du RSB (RSB = 10 dB). . ..

3.35. Erreur de fréquence- Plage de capture du RSB (a= 0,1). . . . 3.36. Evaluation des performances de quelques estimateurs de RSB ..

4.1. Constellation de la modulation GMSK.

4.2. Modulations SPSK et DSPSK.

4.3. Modulations M-QAM. . . . . 4.4. Valeurs du kurtosis du mélange.

4.5. Ondelette de Haar. . . . .

4.6. Structure du détecteur de modulation par ondelettes dans le cas binaire.

4.7. Déviation standard du module de la TOC- Canal BBAG. . . . . .

. 147 . 148 . 148 . 149 . 149 . 150 . 151 . 156 . 156 . 156 . 158 . 159 . 160 . 161 4.8. Déviation standard du module de la TOC- Canal BBAG +canal indoor. . 161 4.9. DPAs des différentes modulations (RSB = 10 dB). . . . 162 4.10. Rapport Rg, R8, R16 et R32, pour différentes valeurs de DPAo dans le canal BBAG ... 163 4.11. Rapport Rg, RS, R16 et R32, pour différentes valeurs de DPAo dans le canal indoor. . 164 4.12. Detection avec un seuillage "dur". . . . 165 4.13. Taux de succès en fonction du SNR(dB) pour une PDA=O,l.. . . . 165 4.14. Approximation de la fonction seuil par la méthode d'interpolation. . . . 166 4.15. Taux de succès (pourcentage) dans un gaussien et Indoor B avec un seuillage doux. . 167 4.16. Détection des modulations pour une PDAs = 0.4 avec un seuillage souple dans un

canal BBAG. . . . 167 4.17. Densité de probabilité jointe d'amplitude et de phase. . . . 169 4.18. Densité de probabilité jointe d'amplitude et de phase 32-QAM. . 169 4.19. Structure de la méthode du maximum de vraisemblance conjointe. . 170 4.20. Détection des modulations 16/32-QAM dans un canal BBAG. . . 170 4.21. Récepteur synchrone. . . .

4.22. Coefficients d'ondelettes de 4 signaux QAM (modules) :

4.23. Arête de la transformée en ondelettes de 4 signaux QAM ..

4.24. Principe du détecteur DFO. . . .

4.25. Détection d'une porteuse non modulée . . . .

. 172 . 173 . 174 . 175 . 177

14 Table des figures

4.26. Détection d'une sinusoïde pure non bruitée de fréquence fp

=

50 MHz : Précision et plage de capture. . . 178 4.27. Détection d'une sinusoïde pure bruitée de fréquence

JP

= 50 MHz. . . . . 179 4.28. Détection d'une sinusoïde pure bruitée de fréquence

JP

= 50 MHz: Influence du saut

de fréquences. . . 179 4.29. Estimation des interférences dues aux symboles QAM. . 180 4.30. Principe de base du détecteur de fréquences DFBB. . . . 182 4.31. Détecteur DFBB. . . 183 4.32. Correction du résidu de porteuse en bande de base dans le cas de la modulation 2-ASK. 183 4.33. Correction du résidu de porteuse en bande de base dans le cas de la modulation 8-PSK. 184 4.34. Correction du résidu de porteuse en bande de base dans le cas des modulations

16-QAM, 32-QAM et 64-QAM. . . 185 4.35. Synchronisation de la porteuse par ondelettes . . . 186

Liste des tableaux

2.1. Efficacité spectrale de la M -QAM. . . . 59 2.2. Gain asymptotique de la QAM par rapport à la PSK. 62

3.1. Valeurs du kurtosis normalisé pour plusieurs distributions uniformes de la

source-Effet des filtres négligé. . . 132 3.2. Kurtosis normalisé pour les modulations PSK. . . 143 3.3. Kurtosis normalisé pour les modulations PAM. . 145 3.4. Kurtosis normalisé pour les modulations QAM. . 145

4.1. Valeurs du kurtosis normalisé pour plusieurs distributions uniformes de la source

-Effet des filtres négligé. . . 157 4.2. Coefficients de la fonction seuil pour une PDAs

=

0,4. . 166 4.3. Comparaison de différents algorithmes de détection. . 171

Introduction générale

Motivations

Regarder la télévision, enregistrer nos émissions préférées, surfer sur le net ou lire un fichier musical tout en visionnant nos dernières séries de photos numériques, le tout sur un téléviseur grand écran ou un téléphone portable. Celan' est plus un rêve. La «convergence des médias» est le phénomène qui concentre les médias Gournaux, radio, TV), l'équipement informatique et les logiciels ainsi que les télécommunications numériques (téléphone cellulaire et distribution par câble) vers un seul média, la télévisiophonie de poche interactive. La gestion de l'information aujourd'hui et plus qu'hier, est un enjeu économique, politique et social. Déjà un téléphone cel-lulaire avec un accès Internet permet à 1 'utilisateur de gérer ses finances personnelles en ayant accès à ses factures et aux cotes de la bourse. Dans le futur, ce "bidule" pourrait probablement lire les codes à barres, stocker notre dossier médical et nous dire si un produit est bon pour nous. La gestion de débits d'informations toujours plus élevés, l'accès au haut débit, apparaît aujourd'hui comme une question vitale.

Une première solution pour augmenter les débits, consiste à coder l'information sur plusieurs niveaux, et donc à augmenter le nombre d'états des modulations numériques (8, 16, 32, ... ). Il faut donc choisir des modulations à grande efficacité spectrale. Parmi les nombreuses solutions existantes, celles qui offrent 1 'un des meilleurs compromis complexité/performance sont sans aucun doute les modulations QAM 1 _{[Ouya05]. Toutefois ce choix n'est pas sans conséquence.}

Tout d'abord l'augmentation du nombre d'états d'une modulation s'accompagne malheureuse-ment d'une augmalheureuse-mentation des interférences entre symboles, et donc d'une augmalheureuse-mentation des erreurs de transmission [Meye98]. Par ailleurs si les modulations QAM sont réputées avoir une bonne efficacité spectrale, la grande dynamique de leur enveloppe les rend très sensibles aux non-linéarités [Baud02], sensibilité qui peut-être gênante si l'on veut, pour amplifier le signal, utiliser des amplificateurs non-linéaires. A cela s'ajoutent les problèmes de synchronisation du récepteur (récupération du rythme d'émission et de la porteuse) [Berg03, Cibl06a], problèmes dont la complexité augmente avec 1 'ordre de la modulation. Ainsi, si 1 'on veut simultanément assurer une certaine qualité de service, c'est-à-dire minimiser les erreurs de transmission, et augmenter les débits de transmission à partir des modulations QAM d'ordre élevé, ont doit in-évitablement augmenter la complexité de la chaîne de transmission. Ce qui au final se traduirait par l'augmentation du coût de la transmission.

Comment alors augmenter les débits de transmission sans augmenter le coût de la commu-nication?

D'un autre côté, les applications de la théorie des ondelettes se multiplient. La compres-sion d'images par ondelettes a récemment été couronnée par l'adoption de la norme de com-pression d'images fixes JPEG2000 [ISOOO, ChrisOO]. La transmission multiporteuses par

18 Introduction générale delettes WPDM est une sérieuse alternative aux modulations multiporteuses OFDM et par étalement de spectre CDMA [Jami05, Cinc05]. Les résultats obtenus en imagerie médicale [Lieb05, Cade04], en physique et en astronomie [Morv03, Vela04] mettent en évidence la fia-bilité et la robustesse des ondelettes dans des environnements bruités. En mathématiques, les ondelettes sont particulièrement indiquées pour l'étude de signaux à invariance d'échelle, tels que les signaux fractals [Seur03], et des études physiologiques ont montré que la transformée en ondelettes est une bonne modélisation de la représentation des signaux visuels ou auditifs dans le système sensoriel humain [Hlaw05]. En fait, les ondelettes sont susceptibles de se substituer à l'analyse de Fourier pour les processus non-stationnaires, autant dire la quasi-totalité des signaux physiques. Les algorithmes implémentant la transformée en ondelettes discrète sont aussi rapides, voire plus rapides que la FFT 2 _{(Mall99, Muno02], ce qui leur procure un attrait} indéniable. Malgré ses avantages apparents, la théorie des ondelettes a du mal à s'imposer dans le monde des télécommunications numériques qui lui préfère celle de Fourier. Pourtant de nombreux problèmes en télécommunication font naturellement allusion aux ondelettes, parmi lesquels la synchronisation du récepteur. Dans ce cas particulier, il faut non seulement détecter une porteuse, c'est-à-dire, localiser sa fréquence ou sa phase, mais aussi estimer le rythme symbole à l'émission. Ainsi, du problème de la synchronisation du récepteur on aboutit im-plicitement au problème de la localisation simultanée d'un signal à la fois dans le domaine temporel et fréquentiel : la "localisation temps-fréquence". C'est justement pour répondre aux problèmes de résolution temps-fréquence des méthodes de type Fourier que la théorie des ondelettes est née.

Bien sûr, les ondelettes ont été utilisées avec succès dans les problèmes de séparation des si-gnaux, d'une part pour différentier les modulations numériques des modulations analogiques [Feng06], mais aussi pour classifier les différents types de modulations numériques entre elles (Dayo07, Pavl05a]. Les taux de compression dans de nombreux codeurs ont été améliorés en combinant les ondelettes avec des techniques de modulation différentielle DPCM 3 _[Than07, Fowl02], et les modulations multiporteuses par ondelettes sont susceptibles de supplanter les systèmes de transmission multiporteuses orthogonales OFDM 4 et les techniques d'accès mul-tiple à répartition en code CDMA 5 [Linf07, Niko05, Akho06]. De même, les résultats obtenus dans les problèmes d'estimation et d'égalisation des canaux de transmission [Heid95, Feng97, He97] attestent de l'intégration croissante des ondelettes dans l'analyse et la conception des systèmes de communication numériques [Thi07, Hara06]. Face à un tel engouement, une ques-tion se pose :

Peut-on faire tout ou presque tout avec les ondelettes ?

Nous avons voulu, dans cette thèse, apporter quelques éléments de réponse dans le cas des systèmes QAM. Il s'agit donc dans un premier temps de recenser et d'organiser les différentes contributions des ondelettes dans le domaine des communications numériques, afin d'évaluer l'apport éventuel de cet outil d'analyse dans la conception des récepteurs QAM et de mieux orienter les recherches futures. On se propose dans cette thèse d'introduire les ondelettes dans divers traitements effectués au niveau des récepteurs QAM : la démodulation des signaux reçus, ainsi que 1' estimation de leur puissance.

2. Transformée de Fourier rapide 3. Differentiai Pulse Code Modulation 4. Orthogonal Frequency Division Multiplex 5. Code Division Multiple Access

19 Apports du travail

Nous proposons donc deux versions d'un démodulateur opérant sur la base d'une transformée en ondelettes, le premier basé sur 1' ondelette de Shannon et le second, qui fait appel à 1' analyse multirésolutions, élargissant le choix de la famille d'ondelettes utilisée. Les performances dans le cas idéal de ce nouveau démodulateur et d'un démodulateur basé sur la théorie de Fourier sont identiques.

Plusieurs versions d'un système d'estimation de la puissance du signal modulant et de celle du bruit (donc du rapport signal sur bruit) sont présentées et comparées. Les estimations sont de bonne qualité sur une plage étendue de rapport signal sur bruit (au moins 20 dB), avec des erreurs relatives d'estimation variant entre 10-4 _{et 10-}2_{• L'utilité de tels dispositifs est liée}

à la possibilité de générer une ondelette de fréquence s'écartant peu de la valeur nominale (déterminée par la fréquence de modulation choisie). L'effet des erreurs de fréquence a donc été également considéré.

Pour éviter ces erreurs, nous avons envisagé deux types de dispositifs permettant la synchroni-sation des ondelettes et étudié leurs performances. En particulier, il est possible de maintenir les erreurs en dessous du seuil garantissant le bon fonctionnement des estimateurs de puissance. Par ailleurs, nous avons étudié une méthode de reconnaissance automatique du type de modula-tion, fonction qui s'avère dans certains cas nécessaire pour réaliser certains de nos applications (estimation de puissance, synchronisation). Les taux de reconnaissance correcte obtenus sont suffisamment bons pour que cet outil soit utilisable en pratique.

Positionnement

L'objectif de ces travaux de recherche est d'évaluer l'apport éventuel des ondelettes dans la résolution de certains problèmes propres aux systèmes QAM. Il s'agit, dans un premier temps, d'essayer d'intégrer les ondelettes dans le maximum de sous-ensembles des récepteurs QAM, afin de regrouper de manière judicieuse des blocs fonctionnels effectuant des opérations simi-laires et donc de réduire éventuellement la complexité et la charge du récepteur. L'une de nos motivations est que les ondelettes, qui ont déjà été utilisées avec efficacité dans de nombreux domaines (imagerie médicale, astronomie, traitement d'image et du signal), pourraient égale-ment apporter des améliorations aux systèmes QAM. Nous nous intéressons dans cette thèse aux fonctions de base d'un récepteur, à savoir la synchronisation du signal reçu (récupération de la porteuse, démodulation, identification du type de modulation et estimation de la puissance). Les considérations techniques ou matérielles sur l'architecture des récepteurs (type de Front End radio : conversion directe, FI basse fréquence ou superhétérodyne, démodulation en FI ou en bande de base), bien que nécessaires au niveau de 1 'implémentation, auraient risqué de restreindre fortement le champ des applications étudiées, aussi les avons nous reportées à une étape ultérieure. Toutefois suivant la fonction particulière étudiée, nous aurons à discuter des avantages d'une structure par rapport à une autre. Bien évidemment, toutes ces considérations sont étroitement liées avec 1 'ordre de grandeur de la fréquence porteuse du signal, et un choix judicieux des mélangeurs permettra d'adapter le signal au traitement le plus approprié.

S'agis-sant par exemple du problème de la récupération de la porteuse, et indépendamment de la valeur de la fréquence centrale du signal, nous avons voulu savoir dans cette thèse dans quelle mesure les ondelettes permettent de le résoudre.

20 Introduction générale

Organisation du manuscrit

Ce manuscrit est organisé en deux parties, chacune constituée de deux chapitres. La première partie consiste en une recherche bibliographie non exhaustive sur les ondelettes et les modula-tions QAM, tandis que, dans la seconde, nous apportons notre contribution dans la résolution de certains problèmes inhérents aux modulations QAM. Dans le chapitre 1, «La transformée en ondelettes», nous présentons brièvement l'analyse par ondelettes, et décrivons le

compor-tement particulier de la transformée en ondelettes devant des signaux que 1' on appelle lignes spectrales. Dans le deuxième chapitre, «Les modulations QAM: La récupération de la porteuse

»,nous exposons le problème de la récupération de la porteuse dans les récepteurs QAM, et rap-pelons les solutions existantes pour la résolution de ce problème. Nous proposons au chapitre

3, «La démodulation par ondelettes», une suppression active de la porteuse des signaux QAM,

et nous étudions également la modélisation équivalente en bande de base des systèmes QAM. Nous proposons enfin un détecteur aveugle de puissance pour le Contrôle Automatique de Gain (CAG) et l'optimisation des détecteurs de signaux. Dans le chapitre 4, «La récupération de la porteuse par ondelettes», nous commençons par proposer un algorithme pour l'identification

des modulations QAM, ce qui permet d'activer le détecteur de porteuse que nous proposons par la suite. Ce traitement qui commence en bande transposée est suivi d'un post-traitement en bande de base pour la correction éventuelle des résidus de porteuse issus du premier traitement. Bien évidemment, toutes nos propositions seront comparées avec les solutions précédemment présentées au chapitre 2.

Ce mémoire décrivant nos travaux de recherche se termine par une conclusion et nous propo-sons également quelques voies de réflexion pour la suite de nos recherches. Nos travaux futurs (après la thèse) porteront principalement sur l'implémentation de nos algorithmes théoriques afin de les valider, et d'en chiffrer expérimentalement les performances et de les comparer aux méthodes plus classiques.

Première partie 1

Chapitre 1

Les ondelettes

Dans ce premier chapitre, nous introduisons d'une manière succincte l'analyse continue par ondelettes. Nous décrivons les principales propriétés de la transformée en ondelettes, et traitons en particulier du problème de la caractérisation des signaux à partir de leur repré-sentation temporelle ou fréquentielle. Ce problème fondamental nous permet d'introduire plusieurs notions et définitions qui sont nécessaires à la bonne compréhension des solu-tions que nous développons par la suite. Nous invitons le lecteur à consulter en particulier [Cohe02, Kaha98] pour des exposés plus complets sur les ondelettes.

Sommaire

Introduction

1. Du long règne de Fourier aux ondelettes 2. La transformée en ondelettes

2.1. Propriétés

2 .1.1. Admissibilité 2.1.2. Inversibilité 2.1.3. Régularité

2.2. La transformée en ondelettes discrète 3. Des ondelettes aux paquets d'ondelettes

3 .1. L'analyse multirésolution 3.2. Utilisation de bancs de filtres

4. Les ondelettes dans les systèmes de communication 4.1. Modulation multiporteuses par ondelettes DWMT 4.2. Compression d'images par ondelettes JPEG2000

4.3. Applications aux modulations d'amplitude et de fréquence 4.3.1. Fréquence instantanée d'un signal

4.3.2. Modulations d'amplitude et de fréquence Conclusion

24 Chapitre 1. Les ondelettes

Introduction

L'analyse de Fourier est sans conteste l'un des outils les plus puissants et aussi l'un des plus uti-lisés pour l'analyse des signaux [Hlaw05]. Néanmoins, elle se révèle imparfaitement adaptée à la description de fonctions ou signaux que 1 'on peut rencontrer couramment. L'un des exemples qui permet de mettre la transformée de Fourier en défaut, est celui de la musique. En effet, une partition musicale rend compte à la fois des notes (do, si, la, ... ), auxquelles on peut attribuer des fréquences fondamentales, mais également de l'ordre dans lequel elles doivent être jouées. Une représentation du signal uniquement comme fonction du temps donne peu d'indication sur le comportement en fréquence, tandis que l'analyse de Fourier masque l'instant d'émission et la durée de chacun des éléments composites du signal. Une illustration de cette situation est représente dans les figures 1.1 et 1.2 où, par souci de simplicité, nous avons adopté le modèle

e-2_(t-Tk)2 _cos(2rr

_fkt)

_{pour la représentation des notes. Dans ce modèle, la durée de la note}

est symbolisée par le support de la gaussienne, Tk et

fk

désignent respectivement l'instant où

l'amplitude de la note est maximale et la fréquence de résonance de la note. Le jeu consiste à donner la composition des deux mélodies. La première partition est une succession de notes, alors que dans la deuxième partition, toutes les notes sont jouées en même temps. Les mélodies sont symboliquement décrites par les formules suivantes :

1

-

... 0

-

...

... -1 0 Z'

Jt

-

...

M 0 4

Y1(t)

=

L

e-2(t-kT)2 cos(2rr

fkt)

k=l 4

L

e-2_(t-2 )2 cos(2rr

!kt)

k=l a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b) 0.5 1 1.5 2 t (s) 2.5 3 3.5

FIGURE 1.1. Analyse temporelle de deux signaux sonores.

4

La mélodie y1 est composée de 4 notes de durée 2 secondes chacune, mais les notes

ne sont pas vraiment distinguables (2e et 3e notes). La symétrie est pratiquement la seule information que fournit l'analyse de la partition Y2·

(1.1)

(1.2)

L'analyse temporelle des signaux fournit dans le cas de la première mélodie (fig. l.la), l'ordre d'émission ainsi que la durée de chaque note de musique (environ 2 secondes), mais la distinc-tion des notes est plus difficile à réaliser en particulier pour les deuxième et dernière notes. Cette distinction est plus critique dans la deuxième partition (fig.l.l b) où, mise à part une éventuelle symétrie, l'analyse du signal ne fournit pas vraiment d'informations susceptibles d'apporter

Introduction 25 des précisions sur le contenu de la mélodie. En revanche, si l'analyse de Fourier fournit clai-rement le contenu musical des partitions, chacune composée de 4 notes aux fréquences 7 Hz, 9 Hz, 13 Hz, et 24 Hz, elle ne donne non seulement aucun renseignement sur la durée ou la date d'apparition des différentes notes musicales, mais aussi aucun facteur discriminant pour la séparation des mélodies (fig. 1.2).

a)

;..::l

00~----~~~~~--~~~---~--~~~----~

'MA:

A

l

5 10 15 20 25 30 b)

~.~:l

_{00~----~~~~~--~~~---~--~~~----~}

:

M

!\

.

A

l

5 10 15 20 25 30 v(Hz)

FIGURE 1.2. Analyse de Fourier (seules les fréquences positives sont représentées) des deux signaux sonores précédents.

L'analyse fournit clairement la composition de chaque mélodie (4 notes aux fréquences 7Hz, 9Hz, 13 Hz, et 24Hz), mais ne donne d'indication ni sur la durée et l'ordre d'apparition des notes, ni sur des facteurs permettant de séparer les mélodies.

1 C' ' - ' _{.... 0} ... -1 0 1 3 • 3 2 3 4 6 9

:M

6 9 12 a) 5 t (s) b) c)

11

12 v(Hz) 6 7 8 15 18 21 • 15 18 21

FIGURE 1.3. Méthodes de calcul d'un spectre.

9 10

24 27

7\

₂₄

_l

₂₇

Le spectre est calculé de deux manières différentes. Dans la première approche, l'inté-gration porte sur le signal en entier, la localisation des fréquences dominantes du signal ne pose alors aucun problème (image c ). Dans la deuxième approche, on commence d'abord par séparer les différentes notes du signal sonore (image a), on obtient ainsi des spectres élémentaires dont la somme fournit le spectre final ; il s'en suit une dénaturation du spectre original (figure b ).

26

Chapitre 1. Les ondelettes Il semblerait donc à première vue préférable de calculer la transformée de Fourier d'une partie du signal, centrée sur l'instant auquel l'on s'intéresse, plutôt que sur le signal dans son inté-gralité. En fait cette solution souffre d'un grave défaut; elle équivaut à calculer la transformée de Fourier du produit du signal par une fenêtre rectangulaire (fig.l.3a), qui n'est autre que le produit de convolution de la transformée de Fourier de la fonction par celle de la fenêtre, à savoir un sinus cardinal. Le résultat est une fonction lentement décroissante de la fréquence, qui ne reflète en rien la bonne localisation fréquentielle du signal d'origine (fig.l.3b ).

Ainsi, pour des besoins du traitement du signal, on a cherché à associer, à un signal temporel ou fréquentiel, des représentations possédant simultanément les deux caractères temporel et fréquentiel. Ces transformées sont qualifiées de Représentation Temps-Fréquence (RTF), elles ne doivent surtout pas être confondues avec les représentations fréquentielles partielles, d'un signal bivariable spatio-temporel tel qu'une onde électromagnétique (fig. 1.4 ). Il convient de voir le passage par RTF au domaine temps-fréquence, non pas comme un gain d'information, mais plutôt comme une redistribution de l'information contenue dans le signal analysé de façon à en faciliter l'interprétation. Les RTF ont en effet l'avantage de mettre en évidence les com-portements locaux des phénomènes non stationnaires. Diverses méthodes engendrent des RTF de propriétés et de performances variées; elles se regroupent au sein d'ensembles cohérents, basés soit sur le type (paramétrique ou non), soit sur le caractère (linéaire, quadratique ou autre) de la transformation engendrant la représentation [Cohe02].

Direction de propagation Temps

~

:g

1-0

!-o.5-~

ÎtB---••

00 0 -50

Direction de propagation Fréquence

FIGURE 1.4. Exemple de signaux bivariables spatio-temporels. Le signal représente une onde hannonique progressive (image du haut). Le spectre est calculé par rapport à la variable temporelle.

50

Dans cette partie, on s'intéresse plus particulièrement à la classe des RTF linéaires, et plus précisément à la transformation en ondelettes. Nous allons essayer de décrire quelques unes de ces nombreuses propriétés, notamment celles que nous utiliserons pour notre contribution dans ce manuscrit. Ce vaste sujet ne sera pas traité de façon exhaustive, le lecteur soucieux d'appro-fondir ses connaissances en la matière, pourra se reporter aux références de la bibliographie.

1.1. Du long règne de Fourier aux ondelettes

27

1.1. Du long règne de Fourier aux ondelettes

La transformée de Fourier (1822) joue un rôle prépondérant dans l'analyse et le traitement des signaux [Kaha98]. Elle permet par exemple de réaliser des opérations de filtrage par simple multiplication des signaux dans le domaine fréquentiel (domaine de Fourier). La TF1 est une transformation linéaire et inversible permettant de décomposer un signal sur la base des expo-nentielles complexes. Le spectre obtenu permet alors de rendre compte de la décomposition fréquentielle du signal original :

l

+oo

Ê'(v)

= -oo

f(t)e-j21rvt dt.

(1.3)

Cependant, les signaux possédant des transitoires ou des parties non stationnaires sont mal décrits ou représentés par une transformée de Fourier (cas des signaux musicaux cités un peu plus haut), tout simplement parce que l'intégration porte sur tout le domaine temporel ( -oo à +oo). Une idée simple pour rendre l'analyse en fréquence plus locale est de multiplier la fonction

f(t)

par une fonction régulière et bien localisée, par exemple une gaussienne

g(t)

=

2

e-~ ainsi que le propose D.Gabor [Cohe02] dans les années 1950, et ses translatées

g(t

-r),

r E R, avant d'appliquer la transformée de Fourier. La transformée de Fourier à fenêtre glissante, ou transformée de Fourier à court terme, ou transformée de Gabor ainsi obtenue est une fonction de deux variables :

G(v,

t)

=

1:

00

f(t)g(t- r)*e-i21rvt dt,

(1.4)

qui représente l'intensité de la fréquence v dans un voisinage de l'instant r. Comme dans le cas de l'analyse de Fourier, l'analyse de Gabor réalise une décomposition du signal dans une base de fonctions appelée ondelettes de Gabor, ou "gaborettes". Cette base est construite à partir de la fonction

g(t)

par une procédure extrêmement simple, à savoir par des translations et des modulations :

9(v,r)(t)

=

g(t- r)*e-j21rvt.

(1.5)

Cette approche n'est toutefois pas pleinement satisfaisante pour plusieurs raisons. D'abord se pose le problème du choix de la fenêtre utilisée et plus précisément de sa largeur temporelle. En effet, pour une taille de fenêtre fixée, la résolution obtenue pour des fréquences hautes ou basses n'est généralement pas optimale : une exponentielle complexe basse fréquence modulée par une fenêtre suffisamment large

g(

t-T)

se révélera particulièrement efficace quand le signal traité présentera des composantes de basse fréquence sur de longues durées, mais une exponen-tielle haute fréquence modulée par cette même fenêtre ne permettra pas la bonne localisation de composantes hautes fréquences sur de courtes durées (fig.1.5). On aurait le même problème avec une fenêtre courte : bonne localisation en hautes fréquences, mais mauvaise analyse des basses fréquences. Comme on peut le voir en reprenant 1 'exemple des signaux sonores (fig.1.6a et 1.6b), contrairement à l'analyse de Fourier, l'analyse de Gabor permet d'extraire simul-tanément l'information fréquentielle et temporelle des mélodies, en revanche, nous pouvons constater qu'une bonne résolution dans le domaine fréquentiel (fig.l.6c et 1.6d), se traduit par une mauvaise localisation des notes musicales dans le domaine temporel. De même, pour une fenêtre donnée, l'augmentation de la résolution temporelle se fait au détriment de la bonne lo-calisation fréquentielle des notes de musique (fig.1.6e et 1.6t). Le choix d'une fenêtre optimale

28

Chapitre 1. Les ondelettes sans connaissance a priori du signal semble donc difficile. Finalement, le constat qui découle de tout ceci est qu'il faut faire varier la taille de la fenêtre d'analyse pour pouvoir saisir les hautes et basses fréquences avec une résolution acceptable.

12,---,---.---,---,,---~---, 't

..

...

=

..

;.. 6 't

...

_...

Ile

1;1;; JG(4,9J(v)J 2 1 g(l 0,5) ( t )1 lg(4,9)(t)l 00 _{2 4 6 8 10 12} Temps

FIGURE 1.5. Localisation temps-fréquence de deux gaborettes.

s

>.-30

i2o

';' 10 00 30

i20

';' 10 00 a) s 10 t (s) c) -=.,,..-=~-~ ---~- -·~---~--2 2 4

_,,

6 4 6 t (s) 8 10 8 10 b)

~Nj~

0 1 2 3 t (s) d) "'-"'--.---,.""----.~ --=·--.,.,.-~ '"'~-~ --~- -

---2 t) 3

FIGURE 1.6. Analyse de Gabor de deux signaux musicaux. 1

4

4

L'analyse temps-fréquence donne simultanément le contenu fréquentiel et temporel (fréquence et position de chaque note), mais suivant la taille de la fenêtre d'analyse, l'amélioration de la résolution dans le domaine temporel (resp. fréquentiel) se fait au détriment de celle du domaine fréquentiel (resp. temporel).

1.2. La Transformée en Ondelettes

Au début des années 1980, J.Morlet [Harr03] propose une solution différente : partant d'une fonction

'1/J( t)

bien localisée dans le plan temps-fréquence et oscillante au sens où

J~: '1/J( t)

dt = 0, il construit une famille de fonctions analysantes '1/J(a,b) (

t),

engendrées par des translations et des dilations de 'ljJ (

t) :

1.2. La Transformée en Ondelettes

29

1

(t-b)

'1/J(a,b)(t)

= ~'1/J -a- . (1.6)

Les paramètres a (facteur d'échelle) et b (facteur de translation) décrivent généralement lR~ et lR respectivement. Les ondelettes sont donc de forme constante mais de taille variable, proportion-nelle au paramètre de dilatation. Elles permettent de décrire le plan temps-fréquence de façon assez différente de la description donnée par des gaborettes. En effet, si l'on suppose a

>

1, alors on aura contraction dans le domaine temporel et dilatation dans le domaine fréquentiel. Ces propriétés de localisation sont illustrées dans la figure 1. 7, où on a pris comme exemple 1 'ondelette de Morlet : a) 10 15 lO Jo b)

''·

---···· ' 1 5

FIGURE 1. 7. Localisation temps-échelle de deux ondelettes

1/J(a,b) ( T ),

avec Jo = lOMHz, bo = 1/4.

a) Partie réelle, b) Module de l'ondelette et de son spectre.

(1.7)

L'analyse par ondelettes associe à une fonction à analyser

j(t)

l'ensemble des coefficients:

1

=

-(J,'l/J(a,b)(t)),

a (1.8)

- ll:oo

f(t)'lj; (ta

b)

*dt.

(1.9)

La résolution dans le plan temps-fréquence de la transformation peut être estimée à partir de l'écart-type temporel ~T'I/Ja et de l'écart-type fréquentiel ~F'I/Ja de ondelette '1/J(a,o)

(t)

[Le04].

En notant ~T'If; et ~F'I/J les écart-types temporel et fréquentiel de l'ondelette mère

'lj;, t'I/J

et

f'I/J

respectivement les positions moyennes en temps et en fréquence de la même ondelette, on peut calculer:

30 Chapitre 1. Les ondelettes (1.1 0) (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) et

J~:

v

~~(a,o)

(v)j

2 dv f'I/Ja = 2

J~: ~~(a,o)

(v)l dv (1.15)

1~:

v

1~

(av)r dv ₁

J~:

é

1~

(é)r dé

₁

1/J = 2 = - 2 =

-J~: ~~(av)

1 dv a

J~: ~~

(é) 1 dé a (1.16) 2

J~:

(v-

J,;;J

2

_~~(a,O)

(v)l 2 dv (~F'I/JJ = + ~ 2

L:

11/J(a,o)

(V) 1

dv (1.17)

J~:

(v-!;:/

1~

(av)l2 dv

J~:

(!-!;:

r

1~

(é)l2

~

-J~: ~~

(av)l2 dv

J~: ~~é~2 ~

(1.18) 1

J~:

(é-

!,;;)2'~

(é) r dé

(~F,;;)2

= - 2 = a2

J~=~~(é)l

dé a2 (1.19)

Ainsi, les cellules élémentaires qui couvrent le plan temps-échelle sont de surface constante alors que la résolution temporelle est proportionnelle à a et que la résolution fréquentielle est

1.2. La Transformée en Ondelettes a a

....

1 a

t

FIGURE 1.8. Pavage du plan temps-échelle.

31

Dans de nombreuses applications, on utilise souvent une normalisation qui permet de conserver 1 'énergie de 1 'ondelette mère :

1

j+oo

(t

b)*

TJ(a, b)

=

Va

-oo

f(t)V;

-a-

dt.

(1.20) Les fonctions de la base sont alors obtenues par la relation suivante :

1

(t-b)

1/J(a,b)(t)

=

Va1/J

-a- . (1.21)

Enfin, d'autres types de normalisation pour les fonctions

1/J(a,b) ( t)

sont possibles; nous avons par exemple dans [Teol98], la définition suivante pour la transformée en ondelettes:

T

₁(a,

b)

1/J(a,b) (

t)

j

-oo

+oo

J (

t)1/J(a,b) ( t) dt,

va1/J

(a(b- t)).

(1.22) (1.23) Notons que le comportement de cette dernière famille d'ondelettes est l'inverse de celui défini dans les relations (1.6) et (1.21).

Revenons maintenant à nos deux signaux musicaux (fig. 1.9a et 1.9b). Comme l'analyse de Gabor, 1' analyse par ondelettes permet de suivre 1 'évolution temporelle et fréquentielle des notes de musique. Mais à l'inverse de l'analyse de Gabor, l'information spectrale est contenue dans le paramètre des échelles a qui en donne une description inversement proportionnelle à 1' analyse fréquentielle : aux fréquences basses du signal correspondent de grandes valeurs de

a, et aux fréquences hautes du signal, des faibles valeurs de a (fig. 1.9c et fig. 1.9d).

Dans la suite, nous allons décrire quelques unes des nombreuses propriétés de la transformée en ondelettes. Certaines d'entre elles seront illustrées en utilisant les signaux test (signaux sonores), et l'ondelette de Morlet précédents.

32 Chapitre 1. Les ondelettes a)

8

N ;;., 2 4 6 8 10

--

....,....,

-

-0 2 4 6 8 10 t (s) 4 2 0 -2 0 6 4 2 0 b) 1 2 3 d) IT Y 2(a,t)l ""f!Y"""Im""'"""'i-]~,~ ~

-

-1

-

2 t (s) 3 4 4

FIGURE 1.9. Analyse de Morlet (bo

=

*'

Jo

=

30 MHz) de deux signaux sonores. Les ondelettes permettent de suivre l'évolution temporelle et fréquentielle des mélodies. Les fréquences hautes du signal sont décrites par des échelles faibles, et les fréquences basses par de grandes échelles.

1.2.1. Propriétés 1.2.1.1. Admissibilité

La fonction ondelette doit vérifier un certain nombre de propriétés. La première d'entre elles se nomme la condition d'admissibilité. La condition nécessaire pour qu'une fonction

'1/J ( t)

puisse être utilisée comme ondelette analysante est que son spectre

'1/J(v),

vérifie:

r+oo

12

dv

r+oo

1

12

dv

0

<

C,p

=

Jo

1-J(v) -;;

=

Jo

-J(

-v) -;;

<

oo. (1.24) Cette condition permet d'analyser le signal, puis de le reconstruire sans perte d'information. Elle implique en particulier que ~(0) = J~:

'!j;(t)

dt=

O. Une ondelette est donc typiquement une fonction d'intégrale nulle, et donc oscillante.

Remarque: L'ondelette de Morlet ne remplit pas rigoureusement la condition

d'admissibi-lité, puisque nous avons

-J(o)

=

e-n2bo(v-fo)2

lv=o=

e-n2bof6

=1

O. Toutefois un choix adapté des paramètres Jo et b0 (bon suffisamment grand) permet numériquement de la vérifier; dans notre cas, b0

=

1/4 et

Jo=

30MHz, d'où

-J(o):::

O.

1.2.1.2. Inversibilité

Sous la condition d'admissibilité de l'ondelette, A.Grossman démontre en 1982 [Kaha98], la formule de reconstruction de la fonction

J,

à partir de ses coefficients d'ondelettes:

1

l+oo l+oo

da

J(t)

=

-0 1/J 0 -oo TJ(a, b)'l/J(a,b)(b) db-. a

(1.25)

Remarque: Les signaux du type

J(t)

= A(t)ei'l>(t) peuvent, sous certaines conditions, être

1.2. La Transformée en Ondelettes 33

f(t)

=

Tt(a(t), t)

+

c(t),

(1.26)

où l'ensemble des points

M(a(t), t)

définit une courbe particulière de la transformée en on-delettes, et

E( t)

est une erreur d'autant plus faible que les signaux vérifient les hypothèses concernées.

L'intérêt d'une telle procédure réside dans le fait que la courbe a (

t)

peut, dans certains cas, être facilement approximée (du moins numériquement) évitant ainsi le calcul explicite des in-tégrales de la relation (1.25)

1.2.1.3. Régularité

La régularité d'une ondelette est une propriété qui permet à l'ondelette de localiser des singu-larités (discontinuités, extremums, ... ) dans un signal. Cette propriété se traduit, sur les coef-ficients d'ondelettes, par une amplitude importante caractérisant une singularité dans le signal, et par la décroissance des valeurs des coefficients avec l'échelle de résolution. Ce comporte-ment particulier de la transformée en ondelettes est illustré sur la figure 1.1 0, où nous avons pris pour exemple le signal sonore (fig. l.lOd). Nous avons, par souci de simplicité, ramené 1 'analyse tridimensionnelle de la TOC 2 _{(fig. 1.1 Oc), à deux analyses bidimensionnelles. Nous}

commençons l'analyse dans le domaine temporel (fig. l.lOa). Nous remarquons que pour une échelle a0 fixée, l'amplitude des coefficients d'ondelettes est maximale au voisinage de 4 points d'abscisses respectives 2 s, 4 s, 6 s et 8 s, qui correspondent également aux maxima du signal

y1

(t),

et décroît rapidement dès qu'on séloigne de ces points. Pour ce qui est de l'étude des

singularités de la TOC dans le domaine des échelles (fig. 1.1 Ob), nous avons également à un instant t₀ donné, 4 maximums locaux aux échelles 1.25, 2.3, 3.33 et 4.28. Mais contrairement à l'analyse temporelle où la vitesse de dégénérescence des coefficients varie très peu en fonction de l'instant considéré, dans le domaine des échelles, cette dégénérescence est plus accentuée aux faibles échelles (fréquences hautes du signal) par rapport aux grandes échelles (fréquences basses du signal), ce qui fournit une meilleure résolution pour l'analyse hautes fréquences. Enfin, à une échelle a donnée, on peut associer la fréquence v = fol a (!0 désignant bien sûr la

fréquence centrale de 1' ondelette), ce qui situe les fréquences dominantes du signal au voisinage des fréquences 24 Hz, 13 Hz, 9 Hz et 7 Hz.

L'analyse des singularités de la TOC permet d'introduire celles de ces extremums. Ainsi, pour tout signal

y(t),

on appelle extremum local de la transformée en ondelettes, un point (a0 , b0 ) tel que, dTy ( a0 , b) /db passe par zéro en b = b0 lorsque b varie. Comme on peut le constater,

il s'agit dans notre exemple des points d'abscisses 2 s, 4 s, 6 set 8 s (fig. l.lOa). De même, on définit le maximum du module de la TOC, par le point (a0 , b0 ) tel que, lorsque b varie, la relation

1Ty(a

0 ,

b)l :::;

1Ty(a

0 ,

b

0

)1

soit vérifiée. La figure l.lOa montre que seul le point

( a

0 , 6

s)

vérifie cette condition. Enfin, la ligne de maxima est une courbe de 1' espace

(a,

b)

sur laquelle tous les points sont des maxima du module de la transformée en ondelettes. Une stratégie permettant d'approximer rapidement cette courbe est, partant d'un instant t donné, de rechercher le maximum de la transformée sur l'ensemble des échelles possibles (fig. 1.11). La ligne de maxima décrit alors l'ensemble des points (a0 ,

t)

tels que:

(1.27) Nous constatons que l'information fréquentielle et temporelle du signal sonore se résume dans la ligne de maxima de la TOC. C'est souvent pour cette raison que la ligne de maxima est souvent appelée "squelette" ou "arête" de la transformée en ondelettes [Lieb05, Carm97].

5 6 7 8 9 10

t(s)

FIGURE 1.1 O. Etude des singularités de la TO •

a) Analyse temporelle de la TO: Les 4 singularités aux abscisses 2 s, 4 s, 6 s, et 8 s font apparaître des maximums locaux dans la TO, ces abscisses coïncident aussi avec celles pour lesquelles le signal Yl ( t) est maximal. b) Analyse fréquentielle de la TO : nous avons 4 singularités aux échelles 4.28, 3.33, 2.3 et 1.25 correspondant respectivement aux fréquences dominantes 7Hz, 9 Hz, 13 Hz et 24 Hz du signal. c) Module de la TO du signal test. d) Signal test.

Notons enfin qu'il existe un lien entre la régularité et les moments nuls d'une ondelette. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer une fonction

f

présentant une discontinuité en un point d'abscisse

t

0 • Il apparaît donc naturel de faire un développement limité à l'ordre p autour de ce point:

f(t) -

f(to)

+

t (

(t

~:o)•

jlk)

(t

0 )

+

c(t))

lt:(t)i

<

K

lt- tala,

où a désigne l'exposant de «Lipschitz» de la fonction

f(t),

et

K

une constante donnée. L'analyse par ondelettes fournit alors:

(1.28) (1.29)

r, (

a,to) -

1 (

to)

1:

00 .Pra,to) (

t) dt+

t

~!

Jl•l (

lo)

1:

00 (

t - t,)•

1/J(a,to) (

t)

dt

+

+

1:

00

t:(t)'ljJ(a,t

0

)(t)

dt,

1.2. La Transformée en Ondelettes

35

si

{J~::

tk1/J(a,t

0

)(t) dt=

0, (1.

30)

0 ~ k ~p.

Ainsi l'ondelette

1/;(t)

analyse l'erreur résiduelle de l'approximation de

f(t)

par un polynôme d'ordre p, erreur qui représente la non différentiabilité de la fonction à cet ordre. Le terme J~;:

tk1/J(a,to)(t) dt

représente le moment d'ordre k de l'ondelette, et on dira qu'une ondelette

est à n moments nuls lorsque :

r+oo

Mk

=l-oo

tk1jJ(t) dt=

0, si 0 ~ k ~ n. 5 4

--

~3 2 10 _{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} t (s)

FIGURE 1.11. Ligne de maxima de la WT du signal Yl (t). La ligne spectrale reproduit la fréquence instantanée de chaque si-nusoïde (note de musique).

1.2.2. La Transformée en ondelettes discrète

(1.31)

L'un des problèmes essentiels qui se posent en pratique est celui du calcul effectif de la trans-formée en ondelettes d'une fonction ou d'un signal donné. D'après la relation (1.9), (1.20) ou (1.22), on doit donc évaluer des intégrales de la forme:

1

r+oo

(t

b)

*

Tf

(a, b)

=-;;:l-oo

f(t)1jJ

-a-

dt.

(1.32)

Ainsi le choix d'un algorithme de calcul présuppose donc le choix d'une discrétisation de la transformée en ondelettes et donc le choix d'un réseau d'échantillonnage. La solution la plus simple, si l'on dispose d'une expression analytique de la fonction est d'utiliser des méthodes numériques d'intégration pour l'évaluation de (1.32). Cette méthode présente l'avantage d'être a priori aussi précise qu'on le désire, mais exige en général des temps de calcul extrêmement longs, en particulier pour les grandes échelles (i.e. les grandes valeurs de a). Dans ce cas, le support de

1/J(a,b)

croît proportionnellement avec a et le temps de calcul également. De plus, dans les cas pratiques (c'est-à-dire pour le traitement de signaux numériques), quand on ne dispose pas d'une expression analytique de

f( t),

il est nécessaire d'utiliser une procédure d'in-terpolation pour pouvoir se ramener au cas précédent, ce qui est aussi coûteux en temps de calcul.

36 Chapitre 1. Les ondelettes Une autre solution consiste à évaluer 1 'intégrale (1.32), à partir des échantillons de

f (

t),

ce qui peut être fait de façon approximative en utilisant pour discrétiser l'intégrale des "sommes de Riemann" [Torr95] :

T. +oo (

T - b)

*

Tf (b,

a)~

ae

L

f(nTe)'I/J n ea '

n=-oo

(1.33)

(Te étant la période d'échantillonnage), ou une autre technique en fonction de la précision voulue.

Bien entendu, ceci ne supprime en aucun cas le premier défaut de la méthode, qui est de néces-siter un temps de calcul très élevé à grande échelle. En effet, si l'on dispose deN échantillons du signal on peut alors montrer que le calcul de la transformée en ondelettes basé sur un tel algorithme nécessite K N2 _{opérations (avec K constante indépendante de N). Il sagit donc} d'un algorithme en

0

(N2) extrêmement lent pour des grandes valeurs deN. Si l'on prend par

exemple le cas d'un signal de 2048 échantillons, le nombre d'opérations nécessaire au calcul de sa transformée en ondelettes s'élèvera à 4194304! ! ! Une alternative consiste à utiliser la transformée en ondelettes donnée par la formule de Parseval :

l

+oo

TJ(a, b) = -oo F(v)-J;(av)*eJ2nvb dv. (1.34)

Dans ce cas on reconnaît la transformée de Fourier inverse du produit F(v)-J;(av)*, ce qui suggère d'utiliser un algorithme de transformée de Fourier rapide [FrigOS, Unse94, Ghou07]. On obtient ainsi un algorithme de complexité totale K N log_{2 (} N)2 ce qui, pour N grand, re-présente déjà une amélioration certaine. On peut le vérifier en reprenant l'exemple précédent, puisque dans ce cas le calcul ne s'effectue plus qu'en 247808 opérations. Le défaut de cette technique est d'utiliser la TFR 3 _{comme une boîte noire et d'hériter ainsi de ses défauts.}

En revanche, 1 'analyse de Fourier rend 1 'interprétation de la transformée en ondelettes plus

facile: la transformée en ondelettes n'est rien d'autre qu'une pondération du spectre F(v) du

signal à analyser par la fenêtre d'analyse -J;(av)*. Ainsi, suivant l'effet escompté, on peut .fixer

des critères permettant de choisir la fenêtre d'analyse, et donc 1 'ondelette. C'est principalement pour cette raison que nous avons retenu cet algorithme.

Notons que des algorithmes de calcul rapides de la transformée en ondelettes ont vu le jour récemment, parmi lesquels ceux proposés par Mufioz et Vrhel [Muno02, Vrhe97], dont le prin-cipe est de décomposer le signal et l'ondelette analysante dans la base des fonctions splines, puis d'effectuer la convolution dans cette base. D'autres algorithmes mieux adaptés à la nature même des ondelettes [Daub88, Mall99], sont basés sur les algorithmes pyramidaux dévelop-pés par les spécialistes du traitement numérique des images, à savoir essentiellement la tech-nique du codage en sous bandes et du laplacien pyramidal [Vett95]. Le point commun de cette dernière classe d'algorithmes est de discrétiser la variable échelle suivant la loi exponentielle

ak = 2-k, mais ces algorithmes ont pour principal inconvénient de ne pas fournir une discré-tisation assez fine des échelles. Enfin tous ces algorithmes ont pour vocation de fournir une complexité algorithmique de la TOC en K N opérations, soit seulement 2048 opérations si l'on reprend l'exemple précédent.