Minimisation multi-étiquette d'énergies markoviennes par coupe-minimum sur graphe: application à la reconstruction de la phase interférométrique en imagerie RSO

HAL Id: pastel-00565362

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par coupe-minimum sur graphe: application à la

reconstruction de la phase interférométrique en imagerie

RSO

Aymen Shabou

To cite this version:

Aymen Shabou.

Minimisation multi-étiquette d’énergies markoviennes par coupe-minimum sur

graphe: application à la reconstruction de la phase interférométrique en imagerie RSO. Traitement

des images [eess.IV]. Télécom ParisTech, 2010. Français. �pastel-00565362�

d'Informatique,

Télé ommuni ations

etÉle tronique

de Paris

Thèse

présentée pour obtenir le grade de do teur

de Télé om Paris Te h

Spé ialité : Signal et Images

Aymen SHABOU

Minimisation multi-étiquette d'énergies

markoviennes par oupe-minimum sur

graphe : appli ation à la re onstru tion

de la phase interférométrique en imagerie

RSO

Soutenue le9 Novembre 2010 devant lejury omposé de

Vito Pas azio Professeur àl'Université de Napoli Parthenope (Italy) Président

Emmanuel Trouvé Professeur àPolyte h'Anne y-Chambéry Rapporteur

Xavier Des ombes Dire teur de re her hes à INRIA Sophia Antipolis Rapporteur

Hugues Talbot Professeur asso ié à l'ESIEE Examinateur

Mar Sigelle Maîtrede onféren e àTELECOM ParisTe h Examinateur

Floren e Tupin Professeur àTELECOM ParisTe h Dire teur de thèse

Lesappro hes markoviennesen imagerie et visionpar ordinateur orent un adre

mathéma-tiqueélégantpourrésoudre ertainsproblèmes omplexes.Desmodèlesdeformationdesdonnées

observéesainsi quedesmodèles dé rivantle ontextespatial desimagesàre onstruiresontalors

né essairespourexploiterdetellesappro hes.Leplussouvent,lafon tiond'énergieglobaleobtenue

demeuredi ileàminimiserenraisondesespropriétésmathématiquesetdelagrandedimension

desdonnées.Onest alors onfrontéd'unepartàdesproblèmes ombinatoireset d'autrepartaux

limitesenpuissan edesma hinesa tuelles.

C'estdans e adreques'ins ritlepremierobje tifde estravauxdethèse,oùnousproposons

des algorithmesd'optimisation e a esd'une lasse d'énergiesmarkoviennesmulti-étiquettes de

premier ordrequi permet de modéliserunnombreimportantd'appli ationsenimagerie. C'estla

lasse d'énergies ayant ommeatta he aux donnéesune fon tion quel onque, et ommea priori

unefon tion onvexe.Lesalgorithmesproposésreposentd'unepartsurunete hniqueassezré ente

d'optimisation dis rèteen vision,àsavoirla oupe-minimumsurgraphe, et d'autrepartsur une

stratégie d'optimisation itérative par des mouvements de partitions. De nouveaux mouvements,

quenousavonsappelés mouvementsdepartitionslargesetmulti-étiquettes(MPLM), permettent

alors d'avoirun ompromisentre laqualité del'optimum atteint et la omplexité algorithmique.

Appliquéset validéssur unesérie d'expérien estraitantde larestaurationd'imagesnaturelles et

radar, ils ont pu montrer de bonnes performan es omparés aux algorithmes d'optimisation de

l'étatdel'art.

Le adre appli atif prin ipal de ette thèse est la re onstru tiondu reliefpar interférométrie

radaràsynthèsed'ouverture.Cetteméthodede al ul demodèlesnumériquesdeterrainest

on-frontéele plussouventàlanature très bruitéedes donnéesinterférométriquesradar et aussiàla

omplexité des s ènes naturelles et urbainesà re ontruire. Lesappro hesmarkoviennestrouvent

alorsleurjusti ation pours'appliquerà etypedeproblèmes, grâ eàdesmodèlesbienadaptés

autypede bruitsur esdonnéeset au ontextespatial dess ènes.Ainsi,ledeuxième obje tifde

es travauxde thèse onsiste àproposer desmodèlesmarkoviensrobustes fa e àla diversitédes

s ènes àre onstruiredans le as général.Un modèleaété alors proposé dans unpremier temps

qui repose d'une part sur un ensemble d'observations multi anaux de phase et d'autrepart sur

lavariationtotale ommeapriori, pourparveniràunere onstru tion pré isedurelief. Ce

mod-èle est validé tout d'abord sur des données de synthèse et testé ensuite sur des données réelles

de s ènes naturelles a quisesparle apteur radarERS-2, ave priseen ompte deperturbations

atmosphériquesglobales.

Confrontés àdess ènes urbainesné essitantune meilleurepré isionet lo alisationdes

stru -tures non-naturelles, un deuxième modèle a été exploré, exploitant ette fois- i onjointement

l'information delaphaseetde l'amplitude.Desalgorithmesd'optimisation onjointe bien

appro-priés à ette nouvelle forme d'énergie ve torielle sontalors né essaires.Appliquéeà des données

radaraériennesd'unes èneurbaine,a quisesparle apteurE-SAR, etteappro he onjointe

ap-porte une meilleurere onstru tion en terme de pré isionet ore desperspe tivespourexploiter

TheMRF in omputervisionandimageanalysisisapowerfulframeworkforsolving omplex

problems using theMAP estimation. First ofall anenergyfun tion that en odesboththe noise

ae ting the observed data and the a priori on the estimated solution has to be xed. Then

an appropriate optimization algorithm of this energy is ne essaryin order to solve the problem

e iently.However,someimagepro essingproblemsdealwithhighdimensionaldataandrequire

omplexMRFenergyfun tions.Thus, optimizationpro essbe omesahardtask.

Oneofthemain ontributionsofthisthesisisdevelopingnewe ientoptimizationalgorithms

of a lass of rst order multi-label MRF energies: any likelihood termsand onvex prior. This

energy form hara terizes alarge set of image pro essing appli ations. Theproposed algorithms

rely on the ombinatorial optimization te hnique, alled graph- ut, and aniterative strategy to

onverge toward a lo al optimum, alled partition move. We propose new moves, alled large

and multilabel partition moves (LMPM), that oer a trade-o between optimum quality and

algorithm omplexity.Thegraph- utte hniqueisadaptedandusedto omputetheoptimalmoves

in e ientway.These newalgorithms aretested inthe aseofimage denoisingtask, showingus

goodperforman es omparedto thestateoftheartalgorithms.

Themainappli ationofourworkisthedigitalelevationmodel(DEM)estimationusing

inter-ferometri syntheti apertureradar(InSAR)data.Thisproblemisusually onsideredasa omplex

andanill-posedone,be auseofthehighnoiserateae tinginterferogramsandthe omplex

stru -turesqualifyingrealnaturalandurbanarea.Therefore,MRF approa hesarewelladaptedtodeal

with this task, sin e spe i statisti al and a priori energy fun tions ould be proposed to well

en odeseveralproblems ae ting thesedataand alsoto welldes ribethe omplexknowledgeon

the estimated solution. So, a rst model is proposed in this work that relies on a multi hannel

interferometri likelihood density fun tionand thetotalvariationregularization. Optimizingthis

modelusingtheproposedLMPMbasedalgorithmsleadstoapre iseDEM.Thisapproa histested

on several syntheti and real InSAR ERS-2 images, and also adapted to dealwith multi hannel

dataevenifglobalatmospheri perturbations hara terizethem.

Tore onstru t DEM in urbanarea, espe ially thebuildings, more pre isemodel isrequired.

Therefore, ase ond MRFmodelis proposed that liesin bothamplitudeand phaseimages. This

new joint model preserveswell the dis ontinuities in the re onstru ted proles. However, anew

lassofve torialenergyminimizationalgorithmshastobestudied,inordertominimizee iently

thejointmodel.Theproposedapproa histhenapplied toE-SARinterferometri andamplitude

Je tiensà exprimermes profondesgratitudes etre onnaissan esà toutesles personnes

qui ont ontribué à laréalisation etl'aboutissement de e travail dere her he.

Je ommen e par remer ier M. Emmanuel Trouvé (Professeur à

Polyte h'Anne y-Chambéry) et M. Xavier Des ombes (Dire teur de re her he à INRIA Sophia Antipolis

Méditerranée), rapporteurs de e travail; ainsi que M. Vito Pas azio (Professeur à

l'U-niversité de Napoli Parthenope, Italy), président du Jury; M. Mar Sigelle (Maître de

onféren e à TELECOM ParisTe h) etM. Hugues Talbot (Professeur asso iéà l'ESIEE),

examinateurs; pour avoir a epté de parti iper au jury de thèse, pour leur minutieuse

rele ture du manus rit, ainsiqueleurs ommentaires etremarquestrès ri hes.

Je remer ie Mme. Floren e Tupin (Professeur à TELECOM ParisTe h) etM. Jérme

Darbon(Chargé de re her he CNRS àl'ENS Ca han) pour avoir a epté de diriger ette

thèse. Leurs onseils et soutient m'ont toujours ététrès pré ieux pour meretrouverdans

e vastedomaine de lare her he entraitement d'image.

Unepartie de etravail estlefruitd'une ollaboration ave GiampaoloFerraioli (Post

do torant à l'université deNapoliParthenope), durantsonséjour do toral àTSI. Jetiens

à leremer ierainsique sonéquipepour laqualité de ette oopération.

J'adresse aussimes remer iements à Mme. Marie-Pierre Béale (Chargée de re her he

CNRSà l'ENS),pour m'avoir préparé etfournie desdonnéesInSAR surlazonede

Serre-Ponçon.

Je souhaite aussi remer ier tous mes ollègues du bureau pour labonne ambian e et

entente tout le long de es trois années : Benoit, Guillaume, Charles, Gabrielle, Dina et

Hélène; sans oublier aussi les autres ollègues de TSI : Ni olas, Soène, Vin ent, Xia,

Julien, ...et toutlemonde.

Je remer ie nalement mafamille, de l'autre té de la méditerranée, de m'avoir

Résumé 2

Abstra t 3

Remer iements 7

Table des matières 9

Introdu tion 18

I Minimiseurs multi-étiquettes d'énergies markoviennes de premier ordre

21

1 Appro he markovienne et algorithmes d'optimisation 23

1 Problème d'étiquetage . . . 23

1.1 L'estimation bayésienne . . . 23

1.2 La modélisationmarkovienne . . . 24

1.3 Résolution par minimisation d'énergie . . . 27

2 Algorithmes de minimisationpar oupe-minimum surgraphe . . . 28

2.1 Coupe-minimum/ ot-maximum . . . 29

2.2 Champs markoviens binaires. . . 30

2.2.1 Fon tionsde

B

2

. . . 30 2.2.2 Fon tionsde

B

q

. . . 33

2.3 Champs markoviensmulti-étiquettes . . . 34

2.3.1 Fon tionsde

F

2

. . . 35 2.3.2 Fon tionsde

F

q

. . . 38 2.4 Bilan. . . 39

2.4.1 Limitesde esalgorithmes . . . 39

2.4.2 Quelquesexpérien es . . . 39

2.5 Con lusion . . . 40

2 Optimisation par des mouvements de partitions multi-étiquettes 45 1 Optimisation multi-étiquette. . . 45

2 Constru tion dugraphe d'unMPLMoptimal . . . 48

3 Propriétés de onvergen e . . . 52

3.1 Complexitéalgorithmique . . . 52

3.2 Qualité de l'optimum. . . 53

4 Expérien es etrésultats . . . 56

3 Minimisation markovienne mixte : dis rète et ontinue 75

1 Limitesdesappro hesde minimisation dis rète ou ontinue . . . 75

1.1 Minimisation dis rète . . . 75

1.2 Minimisation ontinue . . . 76

2 Algorithmede minimisation mixte :dis rète et ontinue . . . 80

2.1 Phase 1:Minimisation dis rète . . . 80

2.2 Phase 2:Minimisation ontinue . . . 80

3 Expérien es etrésultats . . . 82

3.1 Illustration surune fon tion àdeuxvariables . . . 82

3.2 Restauration d'image radarà synthèse d'ouverture . . . 85

4 Con lusion. . . 90

II Estimation markovienne de modèles numériques de terrain 93 4 Re onstru tion du relief en imagerie RSO 95 1 Prin ipesde l'imagerie radar . . . 95

1.1 Capteurs radar . . . 95

1.2 Résolution d'un apteur radar . . . 96

1.3 Lessystèmes RSO . . . 97

1.4 L'image RSO . . . 98

2 Appro hesde re onstru tion dureliefen imagerie RSO . . . 100

2.1 Appro hesde re onstru tion pixelique . . . 101

2.2 Appro hesde re onstru tion par régionsetobjets. . . 102

3 Estimation desMNTpar interférométrie . . . 103

3.1 Prin ipe de l'interférométrie . . . 103

3.2 Contributions danslaphasemesurée . . . 105

3.3 Produitinterférométrique . . . 106

3.4 Prin ipales perturbationsde lamesureinterférométrique . . . 108

3.5 Déroulement de phaseInRSOetestimation de MNT . . . 109

4 Appro hesbayésiennes dere onstru tion de phaseInRSO . . . 111

4.1 Statistiques desdonnéesinterférométriques . . . 111

4.2 Ambiguïté delaphase InRSO . . . 113

4.3 Re onstru tion delaphase InRSOpar l'appro he multi anal . . . . 114

4.4 Algorithmes de re onstru tion dephaseInRSO . . . 119

4.4.1 Algorithmede re onstru tion dephase par uneappro he mono anal119 4.4.2 Algorithmede re onstru tion dephase par uneappro he multi anal119 5 Con lusion. . . 120

5 Re onstru tion de MNT par une appro he markovienne multi anal 123 1 ModèleMCPU+TV . . . 124

2 Étude de l'inuen e dela ohéren e surl'estimation multi anal . . . 125

3 Minimisation markovienneetestimation deshyperparamètres lo aux . . . . 128

3.1 Étape 1:optimisation dis rète . . . 128

3.2 Étape 2:estimation deshyperparamètreslo aux . . . 130

3.3 Étape 3:optimisation ontinue . . . 131

4.2 Étude de l'algorithmed'optimisation . . . 137

5 Prise en ompte desperturbations globales. . . 141

5.1 Modèlede vraisemblan e ave perturbationsde phaseglobales. . . . 141

5.2 Algorithme d'estimation onjointe altitude etperturbationsglobales 142 5.3 Résultats de re onstru tion . . . 143

6 Résultats surdesdonnées réelles . . . 145

7 Con lusion. . . 158

6 Re onstru tion onjointe de la phase InRSO et de l'amplitudeRSO 161 1 Introdu tion . . . 161

2 Modèlemarkovien onjoint (MCPAR+TV) . . . 162

2.1 Modèlede vraisemblan e. . . 163

2.2 Modèlea priori . . . 164

3 Minimisation markovienneve torielle . . . 164

3.1 Mouvementsbinaires ve toriels . . . 165

3.2 Mouvement ve toriel binaireoptimal . . . 166

3.2.1 Mouvement ve torielbinaire in omplet . . . 167

3.2.2 Mouvement ve torielbinaire omplet. . . 168

3.2.3 Choixentre mouvement ve toriel binaire omplet ouin omplet170 3.3 Algorithmede minimisation ve torielle . . . 171

3.3.1 Minimisation par dessauts ve toriels: . . . 171

3.3.2 Minimisation par desextensionsve torielles : . . . 171

3.3.3 Choixentre lesstratégies desaut oud'extension : . . . 172

4 Évaluations expérimentalessur desdonnéesde synthèse . . . 176

4.1 Validation dumodèle onjoint . . . 176

4.2 Comparaison entre lesmodèles MCPAR+TVetMCPU+TV . . . . 179

4.3 Comparaison entre lesmouvements de sautetextension ve toriels . 181 5 Résultats surdesdonnées réelles . . . 183

6 Con lusion. . . 189

Con lusions et perspe tives 192

Annexes 199

A Constru tionde graphes binaires des algorithmes MPLB 199

B Constru tiondu graphe multi-étiquette d'Ishikawa 205

C Flot-maximum dans un réseau 209

D Géométrie de prise de vue en interférométrie Radar 215

E Statistiques sur les données InRSO 217

Liste des publi ations 221

Pour desraisonsde lisibilité, lasigni ationd'uneabréviationou d'una ronyme n'est

souvent rappelée qu'à sa première apparition dans le texte d'un hapitre. Nous donnons

ainsilaliste omplètedesabréviations utiliséesdans emanus ritde thèse.Certaines

or-respondent àdesmots en anglais, leurtradu tion estaussifournie.

FastDC Fast Dis rete-Continuous

(Algorithme d'optimisationrapide mixte :dis rète- ontinue)

ICM Iterated Conditional Mods

(Modes ConditionnelsItérés)

InRSO Interférométrie radarà synthèsed'ouverture

LGMRF Lo al GaussianMarkov Random Fields

(Modèle markovien-gaussien lo al)

MAP Maximuma posteriori

MCPAR Multi-ChannelPhase andAmplitude Re onstru tion

(Re onstru tion multi- anald'images dephase et d'amplitude)

MCPAR+TV Multi-ChannelPhase andAmplitude Re onstru tion with

Total Variation prior on phase and amplitude

(Re onstru tion multi- anald'images dephase et d'amplitude ave

una prioride type variation totalesur la phaseet l'amplitude)

MCPU Multi-ChannelPhase Unwrapping

(Déroulement dephase multi- anal)

MCPU+TV Multi-ChannelPhase Unwrapping withTotal Variation prior

(Déroulement dephase multi- anal ave un a priori de type variationtotale)

MNT Modèle Numérique deTerrain

MPLB Mouvementde Partition Large etBinaire

MPLM Mouvementde Partition Large etMulti-étiquette

QPBO Quadrati Pseudo-boolean Optimization

(Optimisationde fon tionquadratique pseudo-booléenne)

RSO Radarà Synthèse d'Ouverture

TV Total Variation

Contexte général et obje tifs

Denombreux problèmes de traitement d'imagepeuvent êtrerésolus par une appro he

markovienne, 'està dire qu'ils s'appuient sur une information ontextuelle. En eet, les

hamps de Markov, asso iés à la théorie bayesienne de dé ision, orent un adre

mathé-matique ohérent etélégant pour résoudre esproblèmes. Leprin ipeest de seramenerà

un problème d'étiquetage,dont larésolution onsiste à asso ier des étiquettes aux pixels

de l'image de façon à minimiser un ritère bien déni. Un tel formalisme né essite tout

d'abord le hoixdelafon tion de oûtàminimiser enfon tion desdonnéestraitées etdes

ontraintes de l'appli ation visée.Le plus souvent, ette fon tion ( ommunément appelée

énergie)reposeàlafoissurlesstatistiquesdubruitquiae telesdonnéesetsurle ontexte

spatialdel'imageàre onstruire.Ilestensuitené essairededisposerd'unoutil

d'optimisa-tion quisoit apablede al ulerla ongurationqui minimise ette fon tion.L'espa edes

ongurations étantextrêmementvaste,etaugmentant entailleexponentiellementave la

taille desdonnées, requiert desstratégies dere her he e a es.C'est l'unedesraisonsqui

amotivéledéveloppementde te hniquesd'optimisationmarkoviennee a esenimagerie

etvision par ordinateur.

La minimisation de ertaines lasses de fon tions non- onvexes et de grandes

dimen-sions est désormais possible. Les algorithmes proposés dans la littérature varient entre

algorithmesd'optimisationexa teetd'autresd'optimisationnon-exa teouapproximative.

L'avantage despremiers est laqualité de l'optimumvers lequel ils onvergent, qui est un

optimumglobal,maisauprixd'une omplexité algorithmiquequiexploseave latailledes

donnéesetmêmeave lanaturede lafon tiond'énergie quidoitparailleurssatisfaire

er-taines onditions.En ontrepartie,lesalgorithmesd'optimisationapproximativeorent de

bonnesperforman es de al ul, au prix de laqualité de l'optimum obtenu.Le ompromis

entre la qualité de l'optimum et la omplexité algorithmique onstitue alors le ÷ur des

méthodes ré entes d'optimisation markovienne appliquéesaux problématiques d'imagerie

traitant desdonnées de grandes dimensionsetdesformesd'énergies non- onvexes.

Nos travaux s'ins rivent dans le adre appli atif de l'interférométrie satellitaire pour

fournir des modèles numériques de terrain (MNT). Une telle problématique est d'un

in-térêtgrandissantpuisque esmodèlesnourrissentd'autresproblématiquesentélédéte tion

ommel'interférométrie diérentiellepourladéte tionetlesuividemouvementdeterrain,

ou la re onstru tion de modèles numériques d'élévations et de stru tures3Ddans un

mi-lieuurbain.Plusieurs appro hesexistentdansl'étatdel'artpourparveniràre onstruirele

relief,tellesquelastéréovision àpartird'imagesoptiquesetlaradargrammétrie(oustéréo

radar) à partir d'images radar, ainsi que l'interférométrie radar. Dans ette dernière

ap-pro he,le al ulduMNTsefaitàpartirdedonnéesde phaseinterférométriques, appelées

interférogrammes.Cesdonnéesobtenuesaprèsune haîned'a quisitionetdepré-traitement

les interférogrammes, né essitent un pro essus de déroulement pour retrouver la bonne

altitude. Cette étape, onnue sous le nomde déroulement de phase, se transforme en un

problème di ile à résoudre en présen e d'un fort bruit ou lorsqu'il existe de fortes

dis- ontinuités dans le milieu à re onstruire. Les méthodes markoviennes trouvent alors leur

intérêt dans e adre, où il est possible grâ e à des modèles de formation de es données

bruitées(ou observations)etdesmodèlesapportant uneinformation ontextuelle

(notam-ment les dis ontinuités etlesstru tures) de bienre onstruire lerelief d'unes ène imagée.

Ces appro hes permettent également de dénir un adre général supportant

l'introdu -tion de nombreuses informations. En revan he, elles sont onfrontées aux problèmes qui

sont liés à la né essitéd'une modélisation pré ise des phénomènes physiques ontribuant

à la formation des données et à l'optimisation numérique des fon tions d'énergie qui en

dé oulent, quidemeurent leplus souvent di iles àminimiser.

L'obje tif de estravauxde thèse estdon double:

1. Un premier obje tif est d'étudier et proposer de nouveaux algorithmes

d'optimisa-tion non- onvexe qui orent un ompromis entre la qualité de l'optimum atteint et

la omplexité algorithmique. Une telleétude estvoulue généraleet adresséeà toute

problématique enimagerieetvisionparordinateurquiné essiteunalgorithme

d'op-timisation e a e et robuste à des modèles de fon tions d'énergie omplexes. Les

algorithmes proposés exploitent l'e a ité d'une te hnique assez ré ente en

optimi-sationnumériquedansle adredelavisionparordinateur,àsavoirla oupe-minimum

sur graphe. De plus, des méthodes d'optimisation ontinue sont aussi utilisées an

d'améliorer en pré ision l'estimationeten e a ité la onvergen e de l'algorithme.

2. Unse ondobje tifplusappli atif onsisteàproposerdenouveauxmodèlesmarkoviens

pour la re onstru tion de modèles numériques de terrains en imagerie radar. Ces

modèles reposentsurlesspé i itésdesdonnéesradarinterférométriques(imagesde

phase, amplitude et ohéren e)etsur le ontexte spatialdes divers milieuxà

re on-struire:milieuxnaturelsetmilieuxurbains.Ilss'ins riventparailleursdansle asoù

plusieurs a quisitions de la même s ène sont disponibles, an d'aboutir à desMNT

pré is. Disposant d'algorithmes e a es d'optimisation non- onvexe, l'optimisation

Lemanus ritde thèseest répartisurdeux axes selonles deuxobje tifsxés.

Lapremière partie traitede l'optimisation multi-étiquettes desénergies markoviennes

de premier ordre.

Unbrefaperçudesprin ipaux algorithmesd'optimisation d'énergies markoviennes est

proposédanslepremier hapitre.Nousnousfo alisonssurles algorithmesreposantsurles

te hniquesde oupe-minimumsurgraphesetlesmouvementsdepartitions.Nousillustrons

brièvement au départ les diérentes onstru tions de graphes selon les modèles étudiés.

Ensuite, une analyse ritiquede esméthodes est proposée à la n du hapitre illustrant

leurs limites etsituantles problèmes auxquelsnousnousattaquons.

Unenouvelleappro hed'optimisationd'une lassedemodèlesmarkoviensnon- onvexes

depremierordre,oùlafon tiond'atta heauxdonnéesestquel onqueet ellede

régularisa-tionest onvexe,estalors introduitedansledeuxième hapitre.Cetteappro he reposesur

la te hnique de oupure minimale sur graphes etore un ensemble d'algorithmes

d'opti-misation e a e grâ eàdesnouveauxmouvements departitions,dits mouvements

multi-étiquettes.Cesalgorithmessontbeau oupmoins oûteuxen omplexitéquelesoptimiseurs

exa tset onvergentversdesoptimademeilleurequalitéque euxdesoptimiseurs

approx-imatifs de l'état de l'art. Nous illustrons les ontributions de es nouveaux algorithmes

dans le adre de la restauration d'images bruitées, où le modèle de bruit est fortement

non- onvexe.

Pour améliorer d'avantage la qualité de l'optimum, nous proposons dans le troisième

hapitre un algorithmemixte d'optimisation dis rèteet ontinue.Cet algorithme exploite

les avantages des optimiseurs dis rets déjà développés et eux ontinus de l'état de l'art

an d'aboutir à une solution algorithmique qui permet à la fois de onverger vers des

optima de bonne pré ision tout en onservant un aspe t rapide et non en ombrant en

mémoire. L'apport de et algorithme est illustré à travers la restauration d'images radar

en télédéte tion, où le besoin d'une bonne pré ision sur l'estimation de la rée tivité de

las ène etla né essitéd'unee a ité dansle traitement sefont de plusen plus ressentir

pour desfuturstraitements etinterprétations de es données.

Ladeuxième partie est onsa réeàlare onstru tiondemodèles numériquesdeterrain

en imagerie radar, etparti ulièrement en interférométrie.

Lesétudes réaliséesdans e adred'appli ation sont nombreuses, exploitant diérents

formalismes. Après une bref aperçu des prin ipaux travaux présents dans la littérature,

nous nous fo alisons dans le quatrième hapitre sur les appro hes de re onstru tion de

relief par interférométrie. Une étude de telles appro hes est réalisée an d'é lair ir les

problèmes fondamentaux auxquelselles sont onfrontés.

Unpremiermodèlemarkovienestalorsproposédansle inquième hapitre.Cemodèle

reposesurlesdonnéesdephasesinterférométriquesetexploite lespointsfortsde ertaines

appro hesproposées danslalittérature,àsavoirlate hniquemulti analeninterférométrie

pour réduire l'ambiguïté de la re onstru tion du relief et la te hnique de régularisation

par variation totale en imagerie pour onserver lemieux possible les stru tures du milieu

re onstruit, touten réduisant lebruit qui ae te les données. Le re ours auxoptimiseurs

e a es de lapremière partie du manus rit de thèse nousa étéd'une grandeutilité pour

mieuxoptimiserlemodèleproposé.Desrésultatssurdesdonnéessynthétiquesvariéesv

ali-dent dansunpremier temps lemodèleetl'algorithmede résolution.Ensuite,desrésultats

Pourélargirnotreétudeàdess ènesvariées,urbainesounonurbaines,nousproposons

danslesixième hapitreundeuxièmemodèlemarkovien.Cedernierreposeenplusdes

don-néesdephaseinterférométriquesurlesdonnéesd'amplitudepourapporteruneinformation

en orepluspré isesurlesstru turesà onserverdansleMNTre onstruit.Cependant,vue

la nature onjointe de e modèle, des algorithmes d'optimisation de nature diérente de

euxutilisésjusqu'à estadedumanus ritdethèse sontné essaires.Nousproposonsainsi

unenouvellefamilled'algorithmesd'optimisation onjointequis'appuientsurlesidéesdela

premièrepartie delathèse,protantdon del'e a itédeste hniquesde oupe-minimum

sur graphe et des mouvements de partitions. La robustesse du modèle et l'e a ité de

es algorithmes nous ont permis de fournir desmodèles numériques de terrains de s ènes

urbainesave unebonnepré ision.UnezoneurbainedeDresdeaalorsétére onstruitepar

ette méthode,partant de données radaraériennes de phaseetd'amplitude. Lesrésultats

de re onstru tion sont en ourageants.

Le dernier hapitre on lut lemanus rit de thèse et présenteun ensemblede

Minimiseurs multi-étiquettes

d'énergies markoviennes de premier

Appro he markovienne et

algorithmes d'optimisation

Ce hapitre est onsa ré à l'étude bibliographique des appro hes d'optimisation des

énergies markoviennes utilisées entraitement d'imageet vision par ordinateur.

Enpremierlieu,laformulationde ertains problèmesd'imagerieen unproblème

d'éti-quetage, résoluensuite par une estimationbayésiennepar maximum a posteriori (MAP),

est dé rite.

Endeuxième lieu,l'appro he markovienne estintroduite pour modéliser l'information

a priori de l'image.

En troisième lieu, des algorithmes d'optimisation du ritère probabiliste MAP sont

analysés. Plus parti ulièrement, nous étudions les algorithmes reposant sur la te hnique

du ot-maximum/ oupe-minimum sur un graphe. Dans des travaux ré ents, es

algo-rithmesontmontréleure a itéetrobustessepourminimiserdiérentesformesd'énergies

markoviennes utilespourla visionpar ordinateur.

1 Problème d'étiquetage

Diérentsproblèmes entraitement d'imagepeuvent êtrereformuléssouslaformed'un

problème d'étiquetage (labelling). C'est par exemple le as pour larestauration d'images

bruitées,lasegmentationdesimages,lare onstru tion3Dàpartird'observations2Dd'une

même s ène,et .

Désignonspar

P = {p

1

, p

2

, ..., p

n

}

l'ensembledessitesdel'imageoudugraphe onsidéré

et

L = {l

1

, ..., l

k

}

l'ensembledesétiquettesquileursontasso iées.Leproblèmed'étiquetage

onsiste à mettre en orrespondan e une étiquette de l'ensemble

L

à haque site de

P

.

Estimer une solutionpour uneappli ation donnéerevientà trouverlemeilleurétiquetage

selon un ritère bien hoisi.

1.1 L'estimation bayésienne

Il existe dans la littérature diérentes appro hes d'estimation. Parmi elles- i, nous

trouvons la lasse des appro hes probabilistes par inféren e statistique bayésienne. Dans

e adre, l'estimation onsiste à inférer la solution du problème à partir d'un modèle

probabiliste.

Partantd'uneobservationouunensembled'observations,indiquéesrespe tivementpar

y =

{y

1

, y

2

, ..., y

n

}

ou

y =

{y

1

, y

2

, ..., y

n

}

(ave

y

p

un ve teur d'observations dusite

p

),la

réalisationsd'un hampaléatoire

z =

{z

1

, z

2

, ..., z

n

}

eten dénissant unefon tion de oût

surles erreursde lasolution.

Un des estimateurs largement utilisé en traitement d'image est l'estimateur bayésien

MAP(Li ,2001 ).A etestimateur orrespondunefon tion de oûten toutouriendansla

solution globale. L'estimation onsiste don à maximiser pour

x

ladensité de probabilité

a posteriori

P (x

|y)

:

e

x = arg max

x∈X

P (x

|y) ,

(1.1)

ave

x

e

lasolutionestimée et

X = L × L × ... × L = L

n

l'espa edes solutions andidates.

Grâ eàlarègledeBayes, eproblèmeseramèneà her herla onguration

x

qui

max-imiseleproduitdeladensitédeprobabilitéa priori

P (x)

parlafon tiondevraisemblan e

P (y

_|x)

:

e

x = arg max

x∈X

P (y

|x)P (x) .

(1.2)

Pourunproblèmedonné,lafon tiondevraisemblan e orrespondaumodèledeformation

des données (observations). En pratique, e modèle est le plus souvent tiré d'une étude

statistique sur es observations tout en faisant une hypothèse d'indépendan e

ondition-nelle entreles éléments

y

p

:

P (y

|x) =

n

Y

p=1

P (y

p

|x

p

) ,

(1.3)

ave

P (y

p

|x

p

)

une loi onnue (estiméestatistiquement).

Par ailleurs, la distribution a priori,qui orrespond au modèle qui dé rit l'image, est

déterminée àpartirdela onnaissan e ontextuelle apriori del'estimation. Entraitement

d'image, un modèle permettant de formaliser ette information a priori dans une s ène

naturelleimagéeestlemodèlemarkovien.Cedernierreposesurlalo alitédesintera tions

entreobservations.

1.2 La modélisation markovienne

Introduite enimagerie dans(Geman etGeman,1984 ), ette appro he onsiste à

mod-éliserla ohéren espatialedansl'image,selonlaquellelaprobabilité dela onguration

x

p

d'un site donné

p

de l'image est déterminée à partir de la onguration dessites voisins.

Un tel modèle est ommunément appelé modèle de régularisation permettant de lier la

distribution globale

P (x)

à despotentielslo aux.

Unsystèmede voisinage, que l'onnotera par

N

,estalors dénide lafaçon suivante:

N

p

=

{q ∈ P}

telsque

(

p /

_{∈ N}

p

,

q

∈ N

p

⇒ p ∈ N

q

.

(1.4)

A titred'exemple, en onsidérant les pixelsd'uneimage, unsystèmede voisinagepossible

est le système de 4- onnexité. Chaque pixel est voisindes pixels auxquelsil est onne té

danslagrille régulière.

Le système de voisinage est ensuite utilisé pour dénir les sous-ensembles de sites en

intera tionspatiale,appelés liques,quel'onnoterapar

c

.Une liquepeutêtreparexemple

un seul site

c =

{p}

, unepaire de sitesvoisins

c = (p, q)

,et . L'ensemble que forment les

C

0

=

{p|p ∈ P}

,

C

1

=

{(p, q)|p ∈ P ; q ∈ N

p

}

, et . L'ensemble de toutes les liques

possiblesseranoté par

C =

S

i∈N

C

i

.

Enreprenantleformalismebayésien,uneimagepeutêtrealors onsidérée ommeétant

une réalisationd'un hampaléatoire bienparti ulier,à savoirun hampdeMarkov,déni

par :

Dénition 1.1. Champ de Markov

z

est un hampde Markov sur

P

relativement au systèmede voisinage

N

si etseulement

si

z

est un hampaléatoire qui satisfaitles deux ritères suivants :

 Positivité :

P (x) > 0 ;

∀x ∈ X

 Markoviannité :

P (x

p

|x

P−{p}

) = P (x

p

|x

N

p

)

.Ave ,

x

N

p

=

{x

q

|q ∈ N

p

}

.

où

x

est une onguration du hamp

z

.

Comme ette modélisation markovienne de l'image repose sur un ensemble

d'intera -tionsentrelessitesvoisins,ilestalorsné essairedelesdénir.Ladénitionetlethéorème

suivantspermettent don demanipuler enpratiquelesmodèlesmarkovienssurlesimages.

Dénition 1.2. Champ de Gibbs

z

est un hampde Gibbssur

P

relativement au systèmedevoisinage

N

siet seulement si

toute onguration

x

de e hampsuitunedistributiondeGibbs, .-à-d.

P (x) =

exp (−U(x))

Z

,

ave

Z =

P

x∈X

exp (

−U(x))

est une onstante de normalisation appelée fon tion de

par-tition et

U (x) =

P

c∈C

E

c

(x)

est une fon tiond'énergieégale à la sommedes potentiels

E

c

de toutes les liques possibles dans

C

. Le potentiel d'une lique dépend de la onguration

lo ale asso iée à ette lique.

Théorème 1.1. Hammersley-Cliord (1971)

Un hamp

z

est un hampde Markov dénisur un ensemblede sites

P

relativement à un

système devoisinage

N

siet seulement si

z

est un hampde Gibbs sur

P

relativement au

système de voisinage

N

.

Celanousamèneà on lurequeladistributionapriori de

x

selonunmodèledeMarkov

est une distribution de Gibbs déterminée à partir de potentiels d'intera tions dénis sur

des liquesselon larelation suivante:

P (x) =

1

Z

exp

−

X

c∈C

E

c

(x)

!

.

(1.5)

Eninje tant(1.3) et(1.5)dans(1.2 ),onvoitqueleproblèmedel'estimationMAPrevient

à résoudreleproblème suivant :

e

x = arg max

x∈X







n

Y

p=1

P (y

p

|x

p

) exp

−

X

c∈C

E

c

(x)

!

_



.

(1.6)

Nouspouvonsreformuler ette dernièreexpression par:

e

x = arg min

x∈X

E(x) ,

(1.7) ave :

E(x) =

n

X

p=1

− log (P (y

p

|x

p

)) +

X

c∈C

E

c

(x) .

(1.8)

Par lasuite, nous onsidérons lanotation suivante :

E(x

p

) = E

p

(y

p

|x

p

) =

− log (P (y

p

|x

p

)) ,

∀p ∈ P.

(1.9)

Ces termes sont dits termes d'atta he aux données ou de vraisemblan e. Ils permettent

de ontraindre notre estimation à ressembler aux observations. Ainsi la fon tion

E

p

doit

pénaliser unevariation importante entre l'estimation

x

p

etl'observation

y

p

.

Par ailleurs, le hoix despotentiels des liques

E

c

ainsiquel'ordredes liquesutilisées

onditionnentdire tement l'a priori imposéàlasolution.Souvent enimagerie,des liques

depremierordresusentpouravoirunesolutionbienrégularisée.Onparlealorsdemodèles

markoviens de premier ordre.

Dans ertainesappli ations, tellesque ellesquimanipulent delatexturedansl'image,

des liques d'ordre supérieur deviennent né essaires (Winkler , 2006 ). On utilise alors des

modèles markoviens d'ordre supérieur.

Quantau hoix despotentielsde liques,il estsouvent onditionnépar lanaturedela

solutionàestimer:homogène,lisse,lisseparmor eaux,et .Généralement, 'est edernier

as qui modélise une grande panoplie de s ènes naturelles, où il est né essaire de dénir

despotentielsqui permettent àlafoisde régulariserlasolution etdepréserverles

dis on-tinuités.Les deux grandes famillesde représentation desfon tions a priori modélisant e

type de onnaissan e surl'image sont :

 La famille des potentiels faisant intervenir les dis ontinuités expli itement.

Cer-tains lefont àtravers desvariables auxiliairesappeléespro essusde lignesbooléens

(GemanetGeman , 1984 ) marquant es dis ontinuités. D'autres le font par des

hy-perparamètres lo aux (Saquibet al., 1998 ) estimés lo alement. Typiquement pour

e dernier as, sur des liques de premier ordre, on peut retrouver ette forme de

potentiels:

E

p,q

(x

p

, x

q

) = β

p,q

||x

p

− x

q

|| ,

(1.10)

où

β

p,q

estun hyperparamètrelo al et

||.||

estune distan epénalisant unevariation

importante entreles ongurations desites voisins.

 La famille des potentiels faisant intervenir les dis ontinuités impli itement par la

fon tion qui dénit le potentiel lui même (Besag, 1986 ), (HebertetLeahy , 1989 ),

(Charbonnier,1994 ). A titred'exemple, nous trouvons lespotentiels surdes liques

de premierordre detype

φ

− fonctions

telles que:

E

p,q

(x

p

, x

q

) =

(x

p

− x

q

)

2

1 + (x

p

− x

q

)

2

,

(1.11)

ou detype quadratiquetronquée tellesque :

E

p,q

(x

p

, x

q

) = min



(x

p

− x

q

)

2

, b

,

(1.12)

ave

b

une onstante de tron ature évitant de pénaliser les dis ontinuités à partir

d'unevaleur donnée.

Anoterquequelqueséquivalen esentre ertainsmodèlesdesdeuxfamillessontdisponibles

(Winkler ,2006 ).

Ayantdénilesdistributionsdevraisemblan eetapriori dumodèlebayésien,le

prob-lème de l'estimation MAP se ramène don à un problèmede minimisation de la fon tion

1.3 Résolution par minimisation d'énergie

Minimiserlafon tion

E

relèvedudomainedel'optimisationnumérique.Unalgorithme

de minimisation utilisé devraitrépondreaux ritères suivants:

 E a ité : l'algorithmedoitêtre defaible omplexitéen tempsde al uleten

mé-moire;

 Pré ision : l'algorithme doit onverger vers un optimum de bonne qualité,

idéale-ment un optimum global delafon tion.

Dans la littérature, diérentes méthodes d'optimisation existent. Ces méthodes

peu-ventêtre lasséesselonplusieurs ritères.Atitred'exemple,nousdistinguonslesappro hes

ontinues v.s.dis rètes( ombinatoires) ou elleslinairesv.s.non-linéaires, ou elles

déter-ministes vs. sto hastiques, ou en ore elles d'optimisation de fon tions onvexes vs.

non- onvexes, et .

Intéressonsnous aux méthodes qui ont étéproposées pour maximiser le ritère MAP,

ouminimiserlafon tiond'énergiemarkovienne,dansle adredesappli ationsenimagerie.

Nousretrouvonsparmi les appro hes lesplus utiliséesdanslalittérature :

 Lere uitsimulé,initialementexploitéentraitementd'imagedans(Geman etGeman ,

1984 ), estune appro he d'optimisation dis rète,sto hastique,quien théoriepermet

d'optimiser exa tementtoute fon tionobje tif.Cependant, enpratique, ette

méth-ode s'avère très lourde en temps de al ul pour onverger vers un bon optimum,

même sila onvergen e vers unoptimum globalest prouvée théoriquement.

 L'algorithme ICM(Modes Conditionnels Itérés),introduiten imagerie dans(Besag,

1986 ), estune appro he d'optimisation dis rète,déterministe, sous-optimale, .-à-d.

qui onvergeversunoptimumlo aldelafon tion.Late hnique onsisteàminimiser

lo alement lafon tion d'énergieen haque site.La onvergen e estrapide etdansle

as d'énergies onvexes, de bons optima sont obtenus (pas né essairement globaux

pourdebonnesinitialisations).Enrevan he,dansle asnon- onvexe, etteméthode

n'est plus robuste. Elle est très sensible à l'ordre de balayage des sites ainsi qu'à

l'initialisation etrisque de onverger vers unoptimumde mauvaise qualité.

 L'algorithme GNC(Graduated NonConvexity), introduiten vision dans

(BlakeetZisserman , 1987 ), est une appro he d'optimisation déterministe qui

on-siste àdénir une suite deproblèmes d'estimation partant d'unmodèle plus simple

àoptimiser, pour lequellasolution estunique,et onvergeant verslemodèle désiré.

Typiquement, dans le as d'une optimisation non- onvexe, la méthode part d'une

fon tion onvexe à optimiser quel'on déforme progressivement. Cette te hnique est

pluse a eentempsde al ulquel'appro hesto hastiqueparre uitetplusrobuste

que l'appro he déterministe par ICM. Cependant, il n'est pas toujours possible de

l'utiliser.

 Lades entede gradient, utiliséedansle adredesappro hesvariationnellesde

régu-larisation (Rudinet al., 1992 ), estune appro he d'optimisation ontinue,

détermin-iste.Dansle asdefon tions onvexes,elle onvergeversunoptimumglobal.

d'optimum. Des versions sto hastiques de ette te hnique existent en utilisant par

exempleles é hantillonneurs deGibbspour éviterlesoptimalo aux(Younes , 1988 ).

 La propagation de royan es ou Belief propagation, introduite en imagerie dans

(WeissetFreeman ,2001 ), estune méthode ré ented'optimisation dis rèteet

déter-ministe.Elleestutilepouroptimiserdiérentesformesdemodèlesdefon tions

d'én-ergies. Elle repose sur une te hnique de propagation de messages entre les sites de

l'image dansle but d'évaluer pour haque site sa royan e en uneétiquette donnée.

Enrevan he,la onvergen epeuts'avérerlourdeentempsde al uldanslapratique.

 La oupe-minimumsurgraphes ougraph- ut,introduiteenvisiondans(Greiget al.,

1989 ) pour le as binaireet reprise et étendue à la n des années 90, est aussi une

te hnique assez ré ente d'optimisation dis rète et déterministe. Elle permet

d'op-timiser exa tement ertaines formes d'énergies et approximativement d'autres. Elle

reposesurla onstru tion d'ungraphespé iqueà lafon tion d'énergieà optimiser

etle al ule de la oupe depoids minimalsur e graphe. Cette méthode est onnue

par son e a ité en temps de al ul et sa robustesse pour la majorité des formes

d'énergies utilisées entraitement d'image (Szeliski et al.,2006 ).

Toutes este hniquesd'optimisation,etbiend'autresmoinsutilisées,sontplusadaptées

à ertainesfon tionsobje tifsouproblèmesd'optimisationqued'autresetprésententdans

ertains asdeslimites etdansd'autres asdebonnesperforman es.Toutefois, nousnous

fo alisons danslasuite sur leste hniquesd'optimisation par oupe-minimumsur graphes

pour lesraisons suivantes :

 la possibilité d'adapter l'appro he à diérents modèles markoviens selon une

on-stru tion de graphespé ique;

 le hoix entre une optimisation exa te ou non-exa te (approximative) du modèle

selon la onstru tion hoisie;

 et les progrès réalisés ré emment dans le domaine de l'optimisation ombinatoire,

apportant des algorithmes e a es de oupe-minimum sur des graphes spé iques

auxproblèmes de visionpar ordinateur.

2 Algorithmesde minimisationpar oupe-minimumsur graphe

La problématique d'étiquetage en imagerie, introduite au début de e hapitre, peut

être perçue aussi omme étant un problème d'étiquetage dans un graphe. L'étiquetage

onsiste alors àfaire orrespondrelessites

P

del'image auxn÷uds d'ungraphe

G

orienté

etàestimer ensuitelabonneétiquettepour haquen÷udde e graphedemanièreàavoir

lameilleure onguration possible desn÷udsau sens du ritère établi.

Enthéoriedesgraphes, eproblème orrespond àunproblèmede oupemultiterminal

minimumsur e graphe;où un terminal orrespond à une étiquetteet la oupe regroupe

lesn÷udsdugrapheensous-ensemblespartageant unemême étiquette.Étantdonné alors

un graphe

G = (V, E)

ave

V

l'ensemble de ses n÷uds et

E

l'ensemble de ses ar s àpoids

positifs, her honsla oupeoptimale, .-à-d. elledontlasommedespoidsdesar s oupés

est minimale. Ce problème, que l'on appellera par la suite (k- oupe-minimum), est onnu

en ombinatoire (Hu, 1969 ), où

k

désigne la ardinalité de l'ensemble des étiquettes

on-sidérées. Sa résolution faitl'objet de plusieurs études dansles domainesde l'optimisation

dis rète etdelathéoriedesgraphes.En général,ils'agit d'unproblèmeNP-di ile.Tout

est possible, tel est le as des graphes planaires (Yeh , 2001 ), (Chen etWu , 2004 ). Pour

d'autres, desauteurs proposent des appro hes derésolution approximative.

Dansle asoùdeuxn÷udsterminauxsontdénis, ela orrespondà

k = Card

{L} = 2

,

la k- oupe-minimum est onnue sous le nom de s,t- oupe-minimum ou tout simplement

oupe-minimum. Cette ouperépartitlesn÷udsdugrapheenuniquementdeuxensembles

den÷uds.L'un orrespondauterminal

s

,appelésour e, etl'autre orrespondauterminal

t

,appelépuits.Sous ertaineshypothèsessurla onstru tion dugraphe, e asparti ulier

de oupe multiterminal minimum peutêtre résoluen un temps polynmialen passant au

problèmedual,quiestle al uldeot-maximumsurlegraphe

G

(Ford etFulkerson,1956 ),

(Elias etal., 1956 ).

Danslasuite,nousprésentonsbrièvement eproblèmede oupe-minimum/ot-maximum

surun grapheetsonadaptation àlaproblématique d'étiquetage en traitement d'image.

2.1 Coupe-minimum / ot-maximum

Pourintroduire eproblème,on onsidèrelegraphe

G = (V, E)

ainsiquelesdeuxn÷uds

terminaux

s

et

t

,respe tivement lasour e etlepuits. Ondénit une oupe

C

s,t

=

{S, T }

dansun graphepar une partition

(

S, T )

de l'ensembledessommets telleque:























S ∪ T

=

V ,

S ∩ T

=

_{∅ ,}

s

∈ S ,

t

_{∈ T .}

(1.13)

Le poidsd'une oupe

|C

s,t

|

estdénipar le réelpositifde valeur:

|C

s,t

| =

X

u∈S

v∈T

(u,v)∈E

w(u, v) ,

(1.14)

où

w(u, v)

estlepoidsasso iéàl'ar orientéreliantlesdeuxn÷uds

u

et

v

, onsidérépositif.

La oupe-minimumdanslegraphe

G

estdon la oupedepoidsminimaldans egraphe

parmi toutes les oupespossibles.

On dénit ensuite un réseau par le ouple

(

G, f)

, où

G

est le graphe pré édemment

déniet

f :

V × V → ℜ

estunefon tionappeléeot déniepar les ontraintessuivantes:











∀(u, v) ∈ V

2

,

f (u, v)

_{≤ w(u, v) ,}

∀u ∈ V − {s, t} ,

P

_v∈V

f (u, v) = 0 ,

∀(u, v) ∈ V

2

_,

_{f (u, v) =}

_{−f(v, u) .}

(1.15)

La première ontraintestipule qu'unar ne peut ontenir un ot quidépasse sa apa ité.

Lase onde estune ontraintede onservationdeoten haquen÷ud(loi deKir ho).La

dernière estdite ontrainte desymétrie.

Lavaleur duot

|f|

est déniepar :

|f| =

X

v∈V

f (s, v) =

X

v∈V

f (v, t) ,

(1.16)

etelle indique leot totalque l'onpeutfaire transiter delasour e vers lepuits.

Leot maximumdansun réseau orrespondalors au ot de valeur maximale quel'on

La dualité entre les deux problèmes ot-maximum et oupe-minimum a été prouvée

indépendamment dans(Ford etFulkerson,1956 ) et(Eliaset al.,1956 ).

Théorème 2.1. Dans un graphe

G

, omme déni pré édemment, la valeur d'une

oupe-minimum est égale à la valeur d'un ot-maximum dans un réseau asso ié à e graphe. De

plus,toutar ontenudans la oupe estun ar saturé( .-à-d. on nepeut pas yfaire passer

plus deot).

De nombreux travaux dans la littérature ont été onsa rés à la re her he e a e du

ot-maximum dans un réseau. Un aperçu sur les grandes familles de es algorithmes est

présentédansl'annexe C.

Dans le adre des problèmes de traitement d'image, si les sites de

P

sont les

pix-els de l'image, nous disposons alors de graphes

G

réguliers et bien stru turés. D'où

l'in-térêt d'adapter es algorithmes lassiques de al ul de ot-maximum/ oupe-minimum à

es graphesparti uliers en vued'améliorer leurs performan es.

Dans la suite, nous présentons une variété d'algorithmes d'optimisation par

oupe-minimumsurgraphes en imagerie. Pour diérents modèles markoviens asso iés à ertains

problèmes d'étiquetage en imagerie, nous dé rivons les stru tures des graphes

orrespon-dants ainsi que les algorithmes de minimisation qui reposent sur es onstru tions. Nous

onsidérons pourla lartédu textelarépartition des hamps markoviens entre hamps de

Markovbinaires et hamps deMarkovmulti-étiquettes. Pour ha unede esdeux lasses,

nous traitonsséparément les asdes liques de premierordre etle as des liquesd'ordre

supérieur.

2.2 Champs markoviens binaires

Les hamps markoviensbinaires oubooléens sont utilespour ertainesappli ations en

traitement d'image telles que la restauration d'images binaires (Greig et al., 1989 ) et la

segmentation d'images en objet/fond (Rother et al., 2004 ). L'ensemble des étiquettes est

dans e asde gureune paire d'étiquettes,que l'onnotera par

L = {0, 1}

.

Ainsiétiqueterl'ensembledessites

P

revientàminimiserlafon tiond'énergie

markovi-enne pseudo-booléenne

E

dénie surdesvariablesbinaires

{x

p

}

p∈{1,2,...,n}

par :

E(x) =

n

X

p=1

E

p

(x

p

)

| {z }

=E

p

(y

p

|x

p

)

+

X

c∈C

E

c

(x) .

(1.17) 2.2.1 Fon tions de

B

2

Traitons en premier lieu les modèles markoviens de premier ordre. Nous noterons la

lasse de fon tions d'énergies pseudo-booléennes de tels modèles par

B

2

. Elles s'é rivent

sous laformesuivante :

E(x) =

n

X

p=1

E

p

(x

p

) +

X

(p,q)

E

p,q

(x

p

, x

q

) .

(1.18)

Laminimisationde etteformedefon tionpseudo-booléenneaététraitéeinitialement

dans(Pi ard etRatlif,1975 )ensuitedans(Greiget al.,1989 ). Elleaétérepriseen détails

dans(KolmogorovetZabih , 2004 ).

Larésolution par oupe-minimumparaitimmédiate dans e asdegurepuisque

l'ob-je tif est d'étiqueter les sites de

P

par

0

ou

1

, de façon à avoir une onguration binaire

La onstru tion d'untel graphe est néanmoins restreinte à une lasse de fon tions de

B

2

dites fon tions sous-modulaires. Pour les autres fon tions de

B

2

, la re her he de la

oupe-minimum devientun problème NP-di ile(KolmogorovetZabih , 2004 ).

Lestermesdevraisemblan e(àunevariable)sonttoujourssous-modulaires,tandisque

les termes d'intera tion de paires de variables ne sont sous-modulaires que si la relation

suivanteestvériée :

E

p,q

(0, 0) + E

p,q

(1, 1)

≤ E

p,q

(0, 1) + E

p,q

(1, 0) .

(1.19)

Le as de fon tions sous-modulaires de

B

2

Sinous disposons de fon tions d'énergies markoviennes sous-modulaires de

B

2

, la

min-imisationestdésormaispossiblegrâ eauxalgorithmesde al uldeot-maximumappliqués

surun grapheparti ulier. Deplus, leminimumobtenu estun minimumglobal. Pour

on-struire legraphe, onsidérons lareformulation suivantedelafon tion d'énergie :

E(x) =

n

X

p=1



E

p

(1)x

p

+ E

p

(0)(1

− x

p

)



+

X

(p,q)



E

p,q

(0, 1) + E

p,q

(1, 0)

− E

p,q

(0, 0)

− E

p,q

(1, 1)



(1

_{− x}

p

)x

q

+

X

(p,q)



E

p,q

(1, 0)

− E

p,q

(0, 0)



x

p

+



E

p,q

(1, 1)

− E

p,q

(1, 0)



x

q

,

(1.20)

ave

E

p

(1) = E

p

(y

p

|x

p

= 1)

et

E

p

(0) = E

p

(y

p

|x

p

= 0)

.On peut ainsi onstruire legraphe

dire tement à partir de estermes del'énergiede lafaçon suivante :

 haquen÷ud

v

p

dugraphe, orrespondant àunsite

p

,estreliéàlasour epar unar

orienté

−−−→

(s, v

p

)

de poids

E

p

(0)

et au puits par un ar orienté

−−−→

(v

p

, t)

de poids

E

p

(1)

.

Ces ar s sont appelés ar s de données ( f. FIG. 1.1). Une onstru tion équivalente

présentéedanslamême gureest proposéedans(Kolmogorovet Zabih , 2004)

Figure 1.1  Stru ture répétitive du graphe sur tous les sites de

P

. Exemple des deux

onstru tions possibles.

 pour haque ouple de n÷uds voisins

(v

p

, v

q

)

, orrespondant à un ouple de sites

voisins

(p, q)

, nous réons un ar orienté

−−−−→

(v

p

, v

q

)

de poids



E

p,q

(0, 1) + E

p,q

(1, 0)

−

E

p,q

(0, 0)

− E

p,q

(1, 1)



ori-enté

−−−→

(s, v

p

)

de poids



E

p,q

(1, 0)

− E

p,q

(0, 0)



si e poids est positif, sinon

−−−→

(v

p

, t)

de poids

−



E

p,q

(1, 0)

− E

p,q

(0, 0)



, est onstruit. On ajoute ensuite un ar orienté

−−−→

(v

q

, t)

de poids



E

p,q

(1, 1)

− E

p,q

(1, 0)



si e poidsest positif, sinon

−−−→

(s, v

q

)

depoids

−



E

p,q

(1, 1)

− E

p,q

(1, 0)



. Ces deuxar s sont appelés ar s de bord et sont souvent

fusionnésave les ar sde données( f. FIG.1.2) .































c

s,p

= max

{0, E

p,q

(1, 0)

− E

p,q

(0, 0)

} ,

c

p,t

= max

{0, E

p,q

(0, 0)

− E

p,q

(1, 0)

} ,

c

s,q

= max

{0, E

p,q

(1, 0)

− E

p,q

(1, 1)

} ,

c

q,t

= max

{0, E

p,q

(1, 1)

− E

p,q

(1, 0)

} ,

c

p,q

= E

p,q

(0, 1) + E

p,q

(1, 0)

− E

p,q

(0, 0)

− E

p,q

(1, 1) .

Figure1.2Stru turerépétitivedugraphepour haque oupledesitesvoisinsde

P

telle

que

p < q

.

On remarque la ondition de sous-modularité qui intervient dans ette onstru tion

pour assurerunar àpoidspositif

c

p,q

entre lesdeuxn÷uds voisins

(v

p

, v

q

)

.

Lagure1.3illustre legraphetotal orrespondant àune image detaille

3

× 3

ave un

systèmede voisinage 4- onnexité.

Figure 1.3 Constru tiondugraphetotal orrespondantàune imagedetaille

3

× 3

ave

un systèmede voisinageen 4- onnexité.

La taille du graphe est don de l'ordre de

O(n)

et la omplexité de l'algorithme de

al uldu ot-maximum estpolynmiale.

La résolution d'un problème de vision par une telle appro he, en supposant que les

potentielsdes liquesdepremierordresontsous-modulaires,estdon trèse a eentemps

de al ul. De plus, un minimum global est obtenu. En revan he, si les potentiels ne sont

pastoussous-modulaires,la onstru tion proposéen'est plusappropriée. Dans e as,des

Le as de fon tions non sous-modulairesde

B

2

Unepremièreméthoded'optimisationapproximativeaétéprésentéedans(Kwatraet al.,

2003 ), (Agarwala etal., 2004) et (Rotheret al., 2005). Elle onsiste à ignorer les termes

non sous-modulaires ou les approximer par d'autres sous-modulaires pour pouvoir faire

appelà la onstru tion degraphe dé ritepré édemment etminimiser approximativement

l'énergieglobalepar oupe-minimumsur egraphe.Néanmoins, etteméthoden'estvalable

qu'enprésen ed'unnombrerestreintde termesd'intera tions nonsous-modulaires.Le as

é héant, l'approximationde lafon tion d'énergierisque de détruirelevraimodèle.

Une deuxième méthode qui a montré son e a ité etqui reste à e jour la plus

util-isée est elle proposée dans (KolmogorovetRother, 2007 ). Cette méthode repose sur la

te hnique deminimisationdefon tionsquadratiquespseudo-booléennesparot-maximum

parue dans (Hammer etal., 1984), appelée roof duality. Cette te hnique onsiste à

pro-poser un étiquetage partiel des n÷uds du graphe. Dans le as où les termes de l'énergie

sont sous-modulaires, un étiquetage booléen est proposé aux n÷uds qui leurs

orrespon-dent, et les autres n÷uds restent sans étiquetage (ou portent l'étiquette

∅

). Un

algo-rithme de onstru tion de graphe approprié et d'étiquetage par al ul de ot-maximum,

appelé QPBO, est initialement proposé dans(Boroset al., 1991 ). Ensuite, les auteurs de

(KolmogorovetRother , 2007 )l'ont adapté auxproblèmes de vision par une onstru tion

de graphepluse a e.Cependant, etalgorithmereste en orenonable quandplusieurs

termes de l'énergie ne vérient pas la ondition de sous-modularité. Une extension a été

alors proposée dans (Rother et al., 2007 ) pour étiqueter le maximum possible de n÷uds

orrespondant aux termes non sous-modulaires. L'idée repose sur la te hnique proposée

dans (Boroset al.,2006 ) etqui onsiste àpartir de l'étiquetage partiel donné par QPBO

et à étiqueter itérativement les n÷uds qui restent, un par un, de façon à minimiser

l'én-ergie globale. L'algorithme reste toujours rapide puisqu'ils'agit de minimisations binaires

et onverge versun optimumlo alde meilleure qualité.

Ainsiminimiser e a ement unefon tiond'énergiemarkoviennebooléennedepremier

ordre quel onque est désormais possible par oupe-minimum sur graphe, dans la mesure

où unnombre faible determes de l'énergiesont nonsous-modulaires.

2.2.2 Fon tions de

B

q

Considérons maintenant la famille des modèles markoviens d'ordre supérieur. Nous

noterons la lasse de fon tions d'énergiepseudo-booléenne de tels modèles par

B

q

,ave

q

l'ordre de la liquede ardinalitémaximale dumodèle. Elless'é rivent souslaforme :

E(x) =

n

X

p=1

E

p

(x

p

) +

X

c∈C

E

c

(x) ,

(1.21) ave

C =

S

i≤q

C

i

.

Cette lasse de fon tions d'énergie s'avère utile pour mieux modéliser des images de

s ènesnaturellestexturées.Cependant,leuroptimisationest omplexe.Destravauxré ents

enoptimisation par oupe-minimumontadressé ette problématique.L'idéefondamentale

onsiste à réduire les liques d'ordre supérieur en liques d'ordre

0

et

1

et à optimiser le

nouveau modèleréduit par les optimiseursdé rits pré édemment.

Unepremièreappro hederédu tionaétéproposéeinitialementdans(KolmogorovetZabih ,

2004 )pourdes liquesd'ordre

2

.Ensuite,elleaétégénéraliséedans(Freedman etDrineas,

2005 )pourtoutordre.Larédu tion onsisteàtransformerlestermesà

3

variablesbooléennes

Exemple : Lestermesd'ordre

2

de l'énergie delaforme

f (x

1

, x

2

, x

3

) = ax

1

x

2

x

3

,ave

a

un réelet

x

1

, x

2

et

x

3

desvariablesbinaires peuvent s'é riresouslaforme :

f (x

1

, x

2

, x

3

) = e

f (x

1

, x

2

, x

3

, y)

(1.22)

=

(

ay(x

1

+ x

2

+ x

3

− 2)

si

a < 0 ,

a (y(x

1

+ x

2

+ x

3

− 1) + (x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ x

3

x

1

)

− (x

1

+ x

2

+ x

3

) + 1)

si

a > 0 ,

ave

y

une variablebinaire auxiliaireà ajouterà l'ensembledesvariables

x

p

surlesquelles

lafon tion

E

estdénie.

Enrevan he,unetelletransformationdelafon tiond'énergie

E

n'estgénéralisableque

siles oe ients

a

destermesd'ordresupérieursontnégatifs,autrementunetellerédu tion

n'est possible que pour ertainsordres. Pour les autres, latransformation est en ore plus

ompliquée pour pouvoir minimiser e a ement l'énergie totale. Dans un travail ré ent

(Ishikawa ,2009a ),l'auteurproposeuneextensionà etteappro hepourtoutordre,quelque

soient les signes des oe ients des termes d'ordre supérieur. En revan he, la méthode

introduit un nombre important de variables auxiliaires. Son utilisation reste en pratique

restreinteauxmodèlesmarkoviensd'ordre supérieurassezfaible.

Unedeuxième appro hepar substitution aétéproposéeinitialement dans(Rosenberg,

1975 ),ensuitereprisedans(Boros etHammer ,2002 )etappliquéeenvisiondans(Aliet al.,

2008 ). Elle pro ède par transformation de toute fon tion pseudo-booléenne en fon tion

pseudo-booléenne quadratique. La rédu tion onsiste à substituer tout produit de deux

variables binaires

x

1

x

2

par une nouvelle variable binaire

y

ayant la même valeur que le

produit enminimisant lafon tion globale.

Exemple : Les termes d'ordre

2

de l'énergie de la forme

f (x

1

, x

2

, x

3

) = x

1

x

2

x

3

, ave

x

1

, x

2

et

x

3

desvariablesbinaires peuvent s'é rire souslaforme :

f (x

1

, x

2

, x

3

) = e

f (x

1

, x

2

, x

3

, y) = yx

3

+ bD(x

1

, x

2

, y) ,

(1.23) ave

D(x

1

, x

2

, y) = x

1

x

2

− 2x

1

y

− 2x

2

y + 3y ,

(1.24)

et

b

unréelpositif.Onremarquequesi

y = x

1

x

2

alors

D

estminimum(

= 0

),sinon

D > 0

.

Ainsi minimiser lanouvelle formeréduitede l'énergie permetde minimiser aussilaforme

d'énergie d'origine,à onditionque

b

soit xétrès grand.

Le problème de ette rédu tion est que leplus souvent le modèle obtenu présente un

nombre important de termes nonsous-modulaires; e qui laisseun grandnombrede sites

non-étiquetés après re oursauxappro hesd'optimisation non sous-modulaire(QPBO).

En on lusion, optimiser e a ement les énergies markoviennes pseudo-booléennes

d'ordre supérieurreste à e jour unproblème ouvertetd'une grandeimportan e pour

ré-soudre ertaines appli ationsdehautniveau envision.Ces appli ationsfontintervenirdes

primitivesàlapla edespixelsde l'image,telestle aspourlare onstru tiondesréseaux

routiers en imagerie satellitaire à partir des primitives routes (Stoi a , 2001 ) et la

re on-naissan e automatique des sillons orti aux en imagerie médi ale à partir des primitives

linéiques (Rivière, 2000 ). Dans e adre, la modélisationde l'a priori né essite lere ours

à des liquesd'ordre supérieurdont lespotentielsne sont pasfor ément sous-modulaires.

2.3 Champs markoviens multi-étiquettes

Lesmodèlesmarkoviensmulti-étiquettesmodélisentunnombreplusimportant