Devoir de contrôle n°2 3ème Mathématiques Me Jemmali 14 02 13

(1)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct , , . On considère les points et d’affixes respectives : = −√3 + 3 et = 1 −

1) Ecrire et sous forme trigonométrique.

2) Déterminer une mesure de l’angle orienté , .

3) a) Ecrire sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

b) En déduire les valeurs exactes de cos

! et sin ! 4) Déterminer l’ensemble des points $ d’affixes tel que : a)% + √3 − 3 % = | − 1 + | b)| − 1 + | = 2

I/ Soit la fonction ( définie par : ( ) = *+,-*

*. On désigne par /0 la courbe représentative de ( dans un

repère orthonormé , 1 , 2 .

1) Montrer que ( est dérivable sur ℝ\516 et que ∀) ∈ ℝ\516 on a (9 ) =*+

.!*.-*. + 2) a) Déterminer les points de /₀ où la tangente est parallèle à la droite , 1 .

b) Déterminer les points de /₀ où la tangente est parallèle à la droite ∆∶ < = −3) + 1

II/ Soit la fonction = définie sur ℝ par : >= ) = ( ) ? ) ≤ 0

= ) = √)!_{+ 2) ? ) > 0}C 1) Montrer que = est continue en 0.

2) Etudier la dérivabilité de = en 0 et interpréter le résultat graphiquement.

3) a) Justifier que = est dérivable sur chacun des intervalles D−∞ , 0F et D0 , +∞F et calculer =9 ) sur chacun de ces intervalles.

b) Déterminer le signe de =9 ) sur chacun des intervalles D−∞ , 0F et D0 , +∞F. c) Dresser le tableau de variation de =.

4) Déterminer les extrémums de g et préciser leurs natures.

Classe ClasseClasse

Classe : : : 3333: èmeèmeèmeème MathMathMathMath Date

Date Date

Date ::::141414/14///02020202/201/2013333 /201/201 DuréeDuréeDuréeDurée : 2 heures: 2 heures: 2 heures: 2 heures

WxäÉ|Ü wx

(2)

Soit la fonction ( ) = √3 cos 2) − sin 2)

1) Calculer ( G ; ( ! ; ( −- ; ( G - ; ( H G 2) Montrer que : ∀) ∈ ℝ ; ( ) + I = ( )

3) a) Montrer que : ∀) ∈ ℝ ; ( ) = 2 cos 2) +

J

b) Montrer que : ∀) ∈ ℝ ; ( ) = 2 − 4? L! ) +

!

c) Calculer ( 0 et en déduire la valeur exacte de sin _!

4) a) Résoudre dans ℝ l’équation : 2 cos 2) +

J = √2

b) Résoudre dans IR l’inéquation : 2 sin 2) +

J + 1 ≥ 0