Couplage interplan et compétition de phases dans le modèle de Hubbard des cuprates

(1)

dans le mod`

ele de Hubbard des cuprates

par

Simon Verret

mémoire présenté au département de physique

en vue de l’obtention du grade de maˆıtre `es sciences (M.Sc.)

FACULT´E des SCIENCES UNIVERSIT´E de SHERBROOKE

(2)

le jury a accepté le mémoire de Monsieur Simon Verret dans sa version finale.

Membres du jury

Prof. Andr´e-Marie Tremblay Directeur de recherche D´epartement de physique

Prof. David Sénéchal Codirecteur de recherche Département de physique

Prof. Patrick Fournier Membre interne D´epartement de physique

Prof. David Poulin Pr´esident rapporteur D´epartement de physique

(3)

than you expect, even when you take into account Hofstadter’s Law.

(4)

Il y a presque trente ans, un des problèmes les plus difficiles de la physique moderne voyait le jour : la supraconductivité à haute température critique dans les cuprates. Depuis, l’hypothèse nommée modèle Hubbard est rapidement devenu un des candidats les plus prometteurs à en détenir la solution. Dans ce contexte, ce mémoire présente des travaux de calculs numériques sur les phases de la matière prédites par le modèle de Hubbard. Le projet poursuit notamment deux objectifs. En premier lieu, on considère un couplage interplan dans le modèle, ce qui le rend plus réaliste que sa version 2D habituelle. Et en deuxième lieu, on laisse les phases antiferromagnétique et supraconductrice coexister avec en plus une autre phase supraconductrice de type

π-triplet. Plus de détails sur le contexte et ces deux objectifs sont présentés au chapitre

1 et le modèle de Hubbard est détaillé au chapitre 2.

Pour obtenir des solutions numériques au modèle, les méthodes utilisées sont

la théorie de champ moyen dynamique sur amas (CDMFT) et l’approximation de l’amas variationnel (VCA). Ces méthodes ainsi que le formalisme nécessaire pour les

aborder sont présentés au chapitre trois. Notons qu’on utilise ces méthodes pour amas avec des méthodes de diagonalisation exacte qui ne feront pas partie de la discussion.

Enfin, le dernier chapitre présente tous les résultats obtenus avec ce projet, qui mènent à deux conclusions principales. Premièrement, le couplage tridimensionnel tel qu’ajouté n’a pas fait ressortir de tendance nette dans les résultats. Cela indique une de deux choses : soit les effets interplans sont négligeables dans le modèle de Hubbard, soit il faudra les inclure d’une fa¸con plus complète dans le futur. Deuxièmement, on observe que la phase π-triplet apparaˆıt lorsqu’il y a coexistence entre l’antiferromagnétisme et la supraconductivité dans le modèle mais que ces deux dernières phases se nuisent fortement l’une à l’autre, confirmant qu’il y a compétition de phases.

(5)

Je crois que chacun mérite au moins un merci équivalent à l’impact qu’il a eu dans ma vie, mais vous êtes trop nombreux pour pouvoir rendre justice à chacun dans un petit texte de remerciements. Donc, ici, je souhaite mettre en évidence ceux qui ont contribué plus ou moins directement à faire de ce mémoire une réalité.

D’abord, merci à tous les professeurs qui m’ont permis de cheminer jusqu’ici. Particulièrement merci à Claudine Allen, sans qui je n’aurais jamais goûté à la recherche scientifique. Merci aussi à Maxime Charlebois ; il n’est pas prof, mais il aura joué un rôle de tuteur important dans mon cheminement vers les études graduées. Un merci très particulier à Jean-Fran¸cois Lemay et Danièle Pacaud, professeurs de vie qui m’ont remis sur les railles au moment ou j’en avais le plus besoin. Un merci bien naturel et bien mérité à mon comité de suivi, David Poulin et Patrick Fournier. Et enfin, naturellement, mais non moins du fond du coeur, merci beaucoup à David Sénéchal, qui, depuis le début, impressionne et inspire avec raison, et au moins autant merci à André-Marie Tremblay, certainement l’homme le plus admirable que j’aie eu la chance de rencontrer.

Merci beaucoup à ceux avec qui j’ai fait des devoirs et des projets. Les premiers et probablement les plus importants sont Simon Gourdeau et Maxime Tessier, avec qui on s’est moqué de tous les devoirs de math et de physique d’avant l’Université. Merci à tous mes coéquipiers du bac, particulièrement Alexandre Trottier et Charles Collins-Fekete, sans qui mes notes n’auraient pas été épargnées et merci à ceux du bac qui ont fait le même choix que moi pour la maˆıtrise, Alexandre Juneau, Kevin Spahr, Sophie Dufour-Beauséjour et Alexandre Foley, qui furent aussi de bons amis dans cette aventure. Enfin, merci `a la promotion mezenplus, qui m’a accueilli avec

courage et `a mes coll`egues de bureau, avec qui j’ai appris beaucoup.

`

A mi-chemin entre les amis et la famille, merci `a Sophie Rochette, pour ses corrections. Je suis content de partager tout ¸ca avec toi aujourd’hui.

(6)

Enfin, les plus importants, même si je suis parti si loin d’eux, merci à la famille. Merci à grand-maman Bis, feu grand-papa Bis, grand-maman Denise et grand-papa Albert, qui s’assurent, tous à leur fa¸con, que tout aille bien. Merci à mon frère Sébastien ; il a compris certaines choses beaucoup mieux que moi et me fait voir les choses différemment, mais ¸ca, je ne suis pas sûr qui l’ait complètement compris. Merci à ma soeur Joannie, qui me rappelle toujours de ne pas devenir autiste, ¸ca c’est très important ! Mais surtout, merci à mon père Denis Verret et ma mère Lucie Bissonnette ; ils m’ont appris à être toujours heureux, et c’était celui-là le cadeau le plus précieux. Soyez très fiers. Je vous aime.

(7)

Liste des ﬁgures 9

Introduction 12

1 Contexte et objectifs 14

1.1 Supraconductivit´e et plans CuO2 . . . 14

1.1.1 Supraconducteurs . . . 14

1.1.2 Les cuprates : supraconducteurs `a haute Tc . . . 15

1.1.3 Plans de cuivre oxyg`ene . . . 16

1.1.4 Objectif I : l’eﬀet du couplage interplan . . . 17

1.2 Supraconductivit´e et antiferromagn´etisme . . . 19

1.2.1 Interactions et dopage . . . 19

1.2.2 Diagramme de phases des cuprates . . . 20

1.2.3 Param`etres d’ordre et diagramme de phase `a T = 0 . . . 21

1.2.4 Objectif II : Coexsistence de phases . . . 22

2 Le modèle de Hubbard 23 2.1 Définition et propriétés . . . 23

2.1.1 Hamiltonien . . . 23

2.1.2 Isolant de Mott et antiferromagn´etisme pour U t . . . 25

2.1.3 Structure de bande pour U t . . . 26

2.2 Des param`etres r´ealistes . . . 27

2.2.1 Param`etres de la litt´erature . . . 27

2.2.2 Param`etres in´edits . . . 29

2.3 Param`etres d’ordre . . . 30

2.3.1 Param`etre d’ordre antiferromagn´etique . . . 30

2.3.2 Param`etre d’ordre supraconducteur . . . 31

2.4 Notes sur les mod`eles tridimensionnels . . . 34

(8)

3 M´ethodes de calcul 36

3.1 Probl`eme `a N-corps . . . 36

3.1.1 D´eﬁnition du propagateur (fonction de Green) . . . 37

3.1.2 Propagateur avec Interactions : self-´energie . . . 43

3.2 M´ethodes de calcul sur Amas . . . 47

3.2.1 Fonctionelle de la self-´energie (Potthoﬀ) . . . 48

3.2.2 Approximation de l’amas variationnel (VCA) . . . 52

3.2.3 Th´eorie du champ moyen dynamique sur amas (CDMFT) . . 53

3.2.4 Param`etres de bain en CDMFT . . . 54

4 Résultats 58 4.1 Détails sur les calculs et l’affichage des résultats . . . 58

4.1.1 le code QCM . . . 58

4.1.2 Balayage en ˆn . . . 58

4.1.3 Un mot sur l’Annexe A.5 . . . 60

4.2 R´esultats pour l’objectif I : sauts interplans . . . 60

4.2.1 tz r´ealistes . . . 60

4.2.2 tz artiﬁciels . . . 61

4.2.3 Discussion . . . 63

4.3 R´esultats pour l’objectif II : coexistence . . . 66

4.3.1 Coexistence entre dSC, AF et πSC . . . 66

4.3.2 Variation de U . . . 69

4.3.3 Discussion . . . 73

4.4 Observations suppl´ementaires . . . 76

4.4.1 Coexistence et sauts interplans . . . 76

4.4.2 Eﬀet des ´energies de bains AF . . . 76

Conclusion 78 Annexes 80 A.1 Relation de dispersion de HK . . . 81

A.2 Transform´ees de Fourier de ˆM et ˆD . . . 82

A.3 Commutateur de ˆM et ˆD . . . 84

A.4 Repr´esentation de lehmann de la fonction de Green . . . 87

A.5 Param`etres converg´es de tous les calculs . . . 90

(9)

1.1 Progression de la Tc des supraconducteurs avec le temps . . . 15

1.2 Structure typique des cuprates . . . 16

1.3 Corr´elation entre Tc et le nombre de plans par maille unitaire. . . 17

1.4 Sch´ema des sauts interplans . . . 18

1.5 Diagramme de phase typique des cuprates . . . 20

2.1 Illustration du mod`ele de Hubbard 2D . . . 24

2.2 Isolant de Mott et transfert de poids spectral dˆu aux interactions . . 26

2.3 Dispersion et surface de Fermi du mod`ele de Hubbard `a U=0 . . . 28

2.4 Param`etre d’ordre antiferromagn´etique . . . 30

2.5 Zone de Brillouin antiferromagn´etique. . . 31

2.6 Sym´etrie de type d des param`etres d’ordre supraconducteurs . . . 32

2.7 Superposition des param`etres d’ordre supraconducteurs . . . 34

2.8 Différences entre les réseaux tetragonaux et orthorombique . . . 35

3.1 Amas utilis´es pour le projet . . . 47

4.1 Densit´e ´electronique ˆn en fonction du potentiel chimique μ . . . 59

Diagrammes de phases 60 4.2 VCA 2x2 pour NCO, LCO et TBCO, tz r´ealiste . . . 61

4.3 VCA 2x2 pour le YBCO, tz de 0 `a 0.5 . . . 62

4.4 VCA 4x3 pour le YBCO, tz de 0 `a 0.5 . . . 63

4.5 CDMFT 2x2 pour le YBCO, tz de 0 `a 0.5 . . . 64

4.6 VCA 2x2 et 3x4 pour YBCO, coexistence de ˆM, ˆD et ˆT . . . . 66

4.7 CDMFT 2x2 pour YBCO, coexistence de ˆM, ˆD et ˆT  . . . 67

4.8 CDMFT 2x2 pour LCO, coexistence de ˆM, ˆD et ˆT et instabilit´es 69 4.9 VCA 4x3 pour YBCO, variation de U= 6, 7 et 8 . . . 70

4.10 VCA 2x2 pour YBCO, variation de U= 6, 7, 8 et 12. . . 71

4.11 CDMFT 2x2 pour YBCO, variation de U= 6, 7, 8 et 12. . . 72 9

(10)

4.12 CDMFT 2x2 pour YBCO U=7, coexistence et instabilit´es . . . 74

4.13 CDMFT 2x2 pour YBCO incluant tz et la coexistence de phase . . . 76

4.14 VCA 2x2 pour YBCO incluant tz et la coexistence de phase . . . 77

4.15 CDMFT 2x2 pour YBCO sans les ebAF . . . 77

4.16 CDMFT 2x2 pour LCO sans les ebAF . . . 78

Annexe A.5 : paramètres convergés 90 A.1 VCA 2x2, NCO, tz réaliste, relation entre ˆn et μ . . . 90

A.2 VCA 2x2, NCO, tz r´ealiste, valeurs converg´ees pour M1 et D1 . . . . 90

A.3 VCA 2x2, NCO, tz r´ealiste, valeurs converg´ees pour μ1 . . . 91

A.4 VCA 2x2, YBCO, tz artiﬁciels, relation entre ˆn et μ . . . 91

A.5 VCA 2x2, YBCO, tz artiﬁciels, valeurs converg´ees de M1 et D1 . . . . 92

A.6 VCA 2x2, YBCO, tz artiﬁciels, valeurs converg´ees pour μ1 . . . 92

A.7 VCA 4x3, YBCO, tz artiﬁciels, relation entre ˆn et μ . . . 93

A.8 VCA 4x3, YBCO, tz artiﬁciels, valeurs converg´ees de M1 et D1 . . . . 93

A.9 VCA 4x3, YBCO, tz artiﬁciels, valeurs converg´ees pour μ1 . . . 94

A.10 CDMFT 2x2, YBCO, tz artiﬁciels, relation entre ˆn et μ . . . 94

A.11 CDMFT 2x2, YBCO, tz artiﬁciels, param`etres du bain normal . . . . 95

A.12 CDMFT 2x2, YBCO, tz artiﬁciels, param`etres du bain AF . . . 96

A.13 CDMFT 2x2, YBCO, tz artiﬁciels, param`etres du bain SC . . . 97

A.14 VCA 2x2, YBCO, coexistence, relationˆn-μ et paramètres μ1, M1 et D1 98 A.15 VCA 4x3, YBCO, coexistence, relationˆn-μ et paramètres μ1, M1 et D1 99 A.16 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, paramètre n . . . 100

A.17 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre eb1 . . . 101

A.18 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre eb2 . . . 102

A.19 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre tb1 . . . 103

A.20 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre tb1 . . . 104

A.21 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre ebAF1 . . . 105

A.22 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre ebAF2 . . . 106

A.23 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre tbAF1 . . . 107

A.24 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre tbAF2 . . . 108

A.25 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre ds1 . . . 109

A.26 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre ds2 . . . 110

A.27 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre td1 . . . 111

A.28 CDMFT 2x2, YBCO, variation de U, param`etre td2 . . . 112

(11)

A.30 VCA 4x3, YBCO, variation de U, relation ˆn-μ et para. μ1, M1 et D1 114

A.31 CDMFT 2x2, YBCO, sans les ebAF, relation ˆn-μ . . . 115

A.32 CDMFT 2x2, YBCO, sans les ebAF, param`etres de bains normaux . . 116

(12)

Avec la céramique, on peut faire de la vaisselle, des planchers, et aussi embêter toute la communauté scientifique pendant presque 30 ans. Car, il faut bien le dire, peu de découvertes ont donné autant de fil à retordre aux scientifiques que celles des céramiques nommées cuprates. De tous les matériaux connus, ces derniers sont les seuls qui peuvent devenir supraconducteurs au-delà de la température de l’azote liquide. Or, même si plusieurs autres supraconducteurs, fonctionnant à plus basse température, sont aujourd’hui à l’oeuvre dans des technologies comme l’imagerie par résonance magnétique (IRM), les ultradétecteurs de champ magnétique à SQUID (Superconducting quantum interference device), et même certains prototypes de trains

`

a lévitation, les cuprates, eux, nous laissent sur notre faim. Le potentiel technologique de leur supraconductivité à haute température est immense, mais puisqu’on ne com-prend toujours pas son fonctionnement, les applications sont extrêmement restreintes. Un jour viendra, croient certains, où la recherche dans ce domaine permettra de franchir le dernier retranchement de la supraconductivité, c’est-à-dire de trouver un supraconducteur fonctionnant à la température de la pièce.

On pourrait croire que le problème des cuprates reste sans solution par manque d’idées originales, mais c’est plutôt l’inverse : il y a trop de suggestions, et elles sont toutes trop difficiles à vérifier. On est donc aux prises avec une immense quantité d’hypothèses dont aucune ne fait l’unanimité. Donc pour parer à cette situation, il est essentiel de tester chacune d’elles, une par une, dans le but d’éliminer les mauvaises, ou au contraire, de faire rayonner celles qui s’avèrent les meilleures. À cette tâche astronomique, le projet présenté dans ce mémoire se veut une humble contribution. L’objectif général est d’obtenir les prédictions venant de l’hypothèse du modèle de

Hubbard grâce à des calculs numériques qui cherchent à reproduire fidèlement le diagramme de phases mesuré dans les expériences sur les cuprates. On concentrera

notre attention sur deux aspects de ces calculs : le premier est l’importance de la troisième dimension dans le modèle, et le deuxième est l’importance de la compétition

(13)

entre la supraconductivit´e et les phases magn´etiques.

Au premier chapitre, ces objectifs seront présentés en détail, avec le contexte qui justifie leur importance. Au deuxième chapitre, on définira précisément le modèle de Hubbard, et nous verrons qu’il est particulièrement difficile d’obtenir ses prédictions. Il faudra donc présenter, au troisième chapitre, les méthodes d’approximation nécessaires pour y arriver. On commencera par une révision sommaire des méthodes du problème

`

a N-corps, ce qui permettra de bien définir les deux méthodes théoriques utilisées : la

théorie du champ moyen dynamique sur amas (CDMFT), et l’approximation de l’amas variationnel (VCA). On finira, au quatrième chapitre, avec les prédictions obtenues avec ces méthodes pour le diagramme de phase. On obtiendra deux conclusions au projet. Premièrement, on verra qu’à l’intérieur du modèle considéré la troisième dimension n’a pas d’impact sur les résultats et on discutera plus en détail de ce que cela peut impliquer. Deuxièmement, on verra que la compétition entre la phase

antiferromagn´etique et la phase supraconductrice inﬂuence beaucoup la forme des

diagrammes et que cette comp´etition permet aussi l’existence de la supraconductivit´e

(14)

Contexte et objectifs

1.1 Supraconductivit´

e et plans CuO

2

1.1.1 Supraconducteurs

On définit un supraconducteur par deux propriétés exceptionnelles. La première est la résistivité électrique nulle, qui permet donc le transport de courant électrique sans perte. La deuxième, nommée effet Meissner, consiste en l’expulsion des champs magnétiques, et on peut observer son impact lorsqu’un supraconducteur lévite au-dessus d’un aimant. Ces propriétés formidables permettraient une foule d’applications techniques, si ce n’était que pour l’instant, on ne peut les obtenir qu’à très basse température.

L’état supraconducteur est limité en température, car il est en fait une phase

de la mati`ere. Tout comme l’eau se retrouve sous phase solide, liquide ou

ga-zeuse, les électrons de la matière se retrouvent naturellement en différentes phases électroniques. Certaines sont familières, par exemple les phases métallique, isolante ou ferromagnétique, mais d’autres sont plus exotiques, comme l’antiferromagnétisme ou, bien sûr, la supraconductivité.

De plus, à l’instar de l’eau, qui ne devient solide que sous son point de congélation, on obtient un supraconducteur en passant sous sa température critique (Tc). Celle-ci est généralement très basse, à quelques degrés Kelvin (∼ −270◦C), rendant l’utilisation des supraconducteurs dans les applications pratiques difficiles. Heureusement, comme il y a des matériaux se solidifiant à plus haute température que l’eau, on trouve parfois des supraconducteurs dotés d’une Tc plus élevée que la moyenne. Les températures critiques les plus élevées recensées `a ce jour sont celles des matériaux nommés cuprates.

(15)

1.1.2 Les cuprates : supraconducteurs `

a haute T

c

Le nom cuprates désigne certaines céramiques d’oxydes de cuivre caractérisées par des Tc très élevées qui furent découvertes dans les années 80. À cette époque, le dossier de la supraconductivité était quasiment clos, car la célèbre théorie B.C.S. (Bardeen, Cooper et Schrieffer, 1957) [1], qui avait mis fin à près de 50 ans de recherche, arrivait `a prédire quasiment toutes les observations. La plus haute Tc connue était alors de 23 K pour le Nb3Ge, et la théorie laissait peu d’espoir qu’on dépasserait un jour 30 K. Malgré cela, dans les années 70, on découvrit les sels de Bechgaard, composés organiques qui étaient supraconducteurs sans que la théorie BCS ne puisse l’expliquer. Tout n’était donc pas réglé dans la recherche sur la supraconductivité. [2]

1920 1940 1960 1980 2000 0 50 100 150 200 Hg Pb Nb NbN Nb3Sn Nb3Ga Nb3Ge MgB2 BaxLa5−xCu5Oy YBa2Cu3O7 Bi2Sr2Ca2Cu23O10 Tl2Ba2Ca2Cu23O10 Hg2Ba2Ca2Cu3O8+δ Hg2Ba2Ca2Cu3O8+δ Hg2Ba2Ca2Cu3O8+δ conventionnels cuprates organiques pnictures de fer Année de la découverte Te m p érature critique

Figure 1.1 Progression de la Tc des supraconducteurs avec le temps [2]

En 1986, les physiciens Bednorz et Müller découvrirent que certains systèmes de Ba-La-Cu-O (LCO) devenaient supraconducteurs aux alentours de 30 K [3]. Peu après, l’équipe de Paul Chu découvrit la Tc phénoménale d’un composé de Y-Ba-Cu-O (YBCO) à 93 K [4]. Celle-ci dépassait pour la première fois la température de liquéfaction de l’azote, 77 K, rendant possible les démonstrations grand public et les applications techniques peu coûteuses. La supraconductivité se vit alors propulsée vers les grandes priorités scientifiques : on cherchait le supraconducteur à température

(16)

am-biante. Une progression rapide de Tc s’en suivit (figure 1.1), atteignant son maximum en 1993, au-delà des 150 K, pour les composés de Hg-Ba-Ca-Cu-O sous pression [5]. La progression de Tc est aujourd’hui bloquée et nous ne comprenons pas complète-ment ce qui cause la supraconductivité dans les cuprates. Pour cette raison, ils forcomplète-ment avec les supraconducteurs organiques, les composés à fermions lourds, les pnictures de fer et le C60 (Buckyballs), le groupe des supraconducteurs non conventionnels [6]. De plus, à cause de leurTc très élevée, les cuprates et certains composés de fer sont mis à part pour former la classe des supraconducteurs à haute température critique (H.T.C.).

Apr`es plus de 30 ans de recherche intensive, les H.T.C. demeurent un casse-tˆete des plus coriaces de la physique.

1.1.3 Plans de cuivre oxyg`

ene

Un point commun à tous les cuprates est soup¸conné d’être responsable de leurs propriétés exceptionnelles : leur composition en plans atomiques de cuivre oxygène (CuO2), représentée à la figure 1.2. En général, la maille élémentaire d’un cuprate contient un ou plusieurs de ces plans CuO2, intercalés de couches séparatrices formées de quelques atomes seulement. Ces empilements sont ensuite eux-mêmes séparés par les couches isolantes.

couche isolante couche isolante (répétée) plan CuO2 (1) plan CuO2 (2) couche séparatrice Y Ba Cu O

Figure 1.2 Maille unitaire du YBa2Cu3O7, de structure orthorhombique, contenant deux plans CuO2 séparés par une couche d’Yttrium. Les paires de plans sont séparées par du Barium, de l’oxygène et des chaˆınes CuO. [7]

(17)

Un fait intéressant lié aux plans CuO2 est que pour des composés semblables ayant un nombre différent de plans par maille, on observe une corrélation entre Tc et le nombre de plans. À la figure 1.3, on voit cette corrélation pour les composés de trois familles. Le comportement typique est une augmentation de Tc avec le nombre de plans jusqu’à la valeur optimale de 3 plans par maille. Au-del`a de 3, Tc diminue légèrement avant de se stabiliser [8].

1 2 3 4 5 6 0 50 100 150 Bi2Sr2CuO6 Bi2Sr2CaCu2O8 Bi2Sr2Ca2Cu3O6 Tl2Ba2CuO6 Tl2Ba2Ca2Cu3O10 TlBa2Ca3Cu4O11 HgBa2CuO4 HgBa2CaCu2O6 HgBa2Ca2Cu3O8 famille Bi famille Tl famile Hg

Nombre de plans CuO2 par cellule unit´e

Te

m

p

´erature

critique

Figure 1.3 Corrélation entre Tc et le nombre de plans par maille unitaire [8]. LaTc atteint un maximum pour 3 plans avant de redescendre et de se stabiliser sur un plateau. Les composés à plus de plans (jusqu’à 16 plans par mailles [8]) ne sont pas présentés ici.

1.1.4 Objectif I : l’eﬀet du couplage interplan

Puisqu’on croit que la physique des cuprates se retrouve principalement dans les plans CuO2, les modèles théoriques étudiés jusqu’à maintenant sont presque tous des modèles 2D [9]. On sait néanmoins qu’il faudra un jour passer à des modèles 3D, puisqu’en deux dimension, le théorème de Mermin-Wagner [10] empêche la brisure

spontanée de la symétrie de jauge nécessaire à la supraconductivité à température finie.

Pour l’instant, les systèmes étudiés sont en général trop petits pour que le théorème s’applique et nous évitons ce problème. Néanmoins, il reste certaines observations expérimentales, comme la corrélation de Tc avec le nombre de plans, qui portent à croire qu’on devrait prendre en compte la troisième dimension, même pour nos petits systèmes.

(18)

Prenons l’exemple des cuprates en empilement infini. Dans ceux-ci, il n’y a pas de couches isolantes séparant les plans, et donc c’est comme si on avait une infinité de plans CuO2 connectés. Dans ces structures, la supraconductivité apparaˆıt et disparaˆıt au gré d’une réduction en oxygène bien contrôlée qui occasionne aussi un changement de la hauteur de la maille unitaire, c. Plus important encore, on peut montrer que

Tc dépend inversement de c en effectuant la réduction en oxygène progressive [11]. Ce genre d’observation laisse penser que la troisième dimension est plus importante qu’on le croit chez les cuprates.

Dans la littérature, on a déjà comparé des modèles 3D à des modèles 2D [12, 13,

14, 15] et cela a montré que la supraconductivité est plus robuste dans les modèles 2D. Cependant, on n’a pas étudié directement l’effet de la troisième dimension dans des modèles très anisotropes, plus fidèles aux cuprates.

Le premier objectif de ce projet est d’ajouter des considérations tridimensionnelles au modèle le plus simple pour les plans CuO2 en 2D, le modèle de Hubbard (sec-tion 2.1.1). Pour le faire, on lui ajoute des sauts interplans, comme ceux illustrés à la figure 1.4. De plus, pour que le modèle soit crédible, on utilise des paramètres de bandes réalistes (section 2.1.3).

Figure 1.4 Sch´ema des sauts interplans

C’est le diagramme de phase calculé `a partir de ce modèle qui sera juge de l’effet des sauts interplans. Dans les sections qui suivent, on introduit plus en détail en quoi consiste le diagramme de phase, avant de fixer un second objectif lié de près `a celui-ci. Le chapitre 2 est ensuite consacré aux détails du modèle de Hubbard et le chapitre 3 survole les méthodes utilisées pour lui trouver des solutions approximatives. Au chapitre 4, on donne finalement les détails sur les paramètres utilisés ainsi que sur la fa¸con de présenter les données, avant de passer aux résultats.

(19)

1.2 Supraconductivit´

e et antiferromagn´

etisme

1.2.1 Interactions et dopage

Les cuprates à l’état pur sont des isolants. Cela semble contradictoire, mais pour obtenir les meilleurs supraconducteurs connus, on verra qu’il faut doper les cristaux des cuprates qui, à la base, ne sont pas de bons conducteurs. Ce problème va en fait bien au-delà d’une simple contradiction quant à la conductivité des cuprates, car selon les théories actuelles, ces cristaux devraient être des conducteurs et non le contraire. La célèbre et fructueuse théorie des bandes échoue ici lamentablement, et c’est parce qu’une de ses hypothèses de départ est mise en défaut.

Dans les théories élémentaires de la matière, comme la théorie des bandes, on trouve toujours un moyen de réduire ou de carrément négliger l’impact des interactions entre les électrons. La justification habituelle est que leurs effets sont petits, mais la raison plus honnête est que considérer les interactions rend le problème tellement complexe qu’il est encore impossible à résoudre. Malheureusement, dans les cuprates, l’effet des interactions est important et on dit donc qu’il s’agit de matériaux à électrons fortement corrélés parmi lesquels ceux qui sont isolants à cause des interactions,

comme les cuprates, sont appel´es isolants de Mott.

Puisque les cuprates sont isolants dans leur état pur, il faut altérer leur structure chimique pour y obtenir la supraconductivité, c’est-`a-dire qu’il faut les doper. Sans dopage, les cuprates n’ont qu’un électron de valence (n = 1) par maille unitaire. Le dopage consiste à remplacer certains atomes du cristal par d’autres, afin de modifier cette densité d’électrons. On peut alors exprimer le dopage comme la portion δ d’atomes qui furent remplacés ou encore comme la nouvelle densité n. Prenons comme exemple le composé Ba_δLa_5−δCu5Oy avec δ = 0.1. Celui-ci a un atome de barium qui en remplace un de lanthane à toute les 10 maille unitaire, ce qui réduit sa densité électronique (n = 0.9). Avec moins d’électrons, on dit que le matériau est dopé

aux trous. Avec plus, on dit qu’il est dopé aux électrons. Enfin, puisque l’effet des interactions électroniques est grand chez les cuprates, le fait de leur retirer ou leur ajouter des électrons dévoile une multitude de nouvelles phases de la matière. On peut d’ailleurs littéralement cartographier celles-ci dans un diagramme de phases

(20)

1.2.2 Diagramme de phases des cuprates

Un diagramme de phases représente graphiquement les limites des phases d’un matériau en fonction de paramètres comme la température, la pression, le dopage, etc. Par exemple, le diagramme de phases de l’eau, bien connu, montre ses températures de fusion et d’ébullition en fonction de la pression. Le diagramme de phases habituel pour les cuprates montre plutôt la température d’apparition de ces phases en fonction de la densité électronique.

Le diagramme de phases des cuprates est différent d’un composé à l’autre, et surtout, très difficile à déterminer puisque pour chaque valeur du dopage on doit synthétiser un nouvel échantillon. Il est donc généralement plus commode d’utiliser les tendances générales pour construire un diagramme de phases typique, tel celui de la figure 1.5.

T

n

T∗ T∗ Tc Tc TN TN SC SC AF AF

0.8

1

1.2 ∼300 K

∼30 K

dop´es aux

´electrons

dop´es aux

trous

Figure 1.5 Diagramme de phase temp´erature-densit´e typique des cuprates

pour les phases antiferromagnétique (AF) et supraconductrice (SC). T∗ dénote la transition du régime pseudogap dont le statut de phase fait encore l’objet de recherche. La section vert clair représente l’hypothèse du point critique quantique déplacé de Sachdev. (section1.2.4)

Ce diagramme s’inspire du celui de YBa2Cu3O7 (YBCO) [16] pour le côté des dopés aux trous et celui de Nd_2−xCe_xCuO4 (NCCO) [17] pour le côté des dopés aux

(21)

électrons. On remarque d’abord les zones où se retrouve la supraconductivité, en forme de dˆomes dont le sommet donne la température critique maximale au dopage

optimal. Ensuite, l’antiferromagn´etisme, une phase dans laquelle la direction des

spins ´electroniques alterne (... ↑ ↓ ↑ ↓ ...), occupe le centre du diagramme avec des

températures de transition, nommées températures de Néel, très élevées. On voit aussi que le côté des dopés aux trous (n < 1) présente une séparation nette entre

le domaine d’existence de la supraconductivité et celui de l’antiferromagnétisme. D’ailleurs, dépendamment du composé, on retrouve parfois des phases intermédiaires comme des ondes de densité de charge ou des ondes de densité de spin qui font encore l’objet de recherche. Enfin, le côté des dopés aux électrons est particulièrement intéressant à cause de la zone de possible coexistence entre la supraconductivité et l’antiferromagnétisme.

1.2.3 Param`

etres d’ordre et diagramme de phase `

a T = 0

Afin de simplifier tout le projet, on travaille toujours à température nulle. Cette contrainte fait en sorte qu’il est impossible de tracer le diagramme de phase pour la température. Il faut donc définir un outil analogue : le diagramme de phase à température nulle.

Faire un diagramme de phase à température nulle est possible grâce au concept de paramètre d’ordre. C’est un concept qui vient de la théorie des transitions de phase de Landau, qui dit qu’une transition est caractérisée par une phase plus ordonnée et une moins ordonnée. Par exemple, la phase antiferromagnétique, où les spins suivent un alignement précis (... ↑ ↓ ↑ ↓ ...), est plus ordonnée que la phase paramagnétique obtenue lorsqu’on dépasse la température de Néel. Tout ordre de ce genre peut alors être mesuré par un paramètre précis, qui se nomme paramètre d’ordre et qui traduit quantitativement cet ordre. Pour l’antiferromagnétisme, on verra plus loin que le paramètre d’ordre sera une valeur moyenne d’opérateur, ˆM (section 2.3.1), et de même pour la supraconductivité, ˆD (section 2.3.2). Ces quantités traduisent en quelque sorte la robustesse de la phase et il existe donc souvent des relations les liant `

a la température de transition. Ainsi, il sera possible de tracer le paramètre d’ordre en fonction du dopage pour obtenir un diagramme de phase à température nulle qui devrait être relativement fidèle à celui de la figure 1.5.

(22)

1.2.4 Objectif II : Coexsistence de phases

L’hypothèse du point critique quantique (QCP) [18] avance que la supraconduc-tivité serait causée par un changement de phase magnétique à température nulle (T = 0). L’absence des fluctuations thermiques habituelles implique dans ce cas que ce sont les fluctuations quantiques qui causent la transition, d’où le nom de point critique quantique. Selon cette hypothèse, ce dernier devrait se situer environ au point de dopage optimal.

Le problème de l’hypothèse QCP est que le changement de phase magnétique précédant le point critique n’a pas été observée clairement. Par exemple, la transition

pseudogap (représentée par la ligne pointillée T∗dans la figure1.5) serait une candidate de choix, mais elle est encore floue du point de vue expérimental. Puisqu’on peine tant `

a la détecter, Sachdev [18] a proposé que cette phase était peut-être déplacée à cause de sa compétition avec la supraconductivité (en vert clair sur la figure 1.5). Il s’agirait alors d’une phase magnétique bien connue, par exemple l’antiferromagnétisme, qui n’est tout simplement pas là où elle devrait.

L’explication de Sachdev est difficile à vérifier expérimentalement, car il est impossible de simplement supprimer la phase supraconductrice pour voir où se situerait alors l’antiferromagnétisme. On utilise parfois un fort champ magnétique dans ce but, mais alors on ne peut être certain que ceux-ci n’affectent pas autrement le système. C’est d’ailleurs exactement ce qui constitue l’avantage d’une méthode théorique numérique. Il est possible d’y contrôler exactement à quelles phases on laisse ou on ne laisse pas la possibilité d’exister, sans effet secondaire.

Le deuxième objectif sera de vérifier les effets de la coexistence de phases dans le modèle. Nous calculerons donc les valeurs des paramètres d’ordres ˆM et ˆD,

seuls et coexistants et on verra qu’un autre param`etre d’ordre supraconducteur ˆT 

(section 2.3.2) peut être ajouté au modèle lorsqu’il y a coexistence. Les paramètres d’ordre et les méthodes pour les calculer sont décrits au chapitre 3 avant de donner les résultats au chapitre 4.

(23)

Le mod`

ele de Hubbard

2.1 D´

eﬁnition et propri´

et´

es

2.1.1 Hamiltonien

Pour modéliser les cuprates, Anderson [19] a suggéré d’utiliser le modèle de Hubbard [20] dès leur découverte, une approche qui fut justifiée plus formellement par la suite [21, 22, 23]. Le modèle de Hubbard est défini pour N états localisés, et il s’agit d’un cas particulier de modèle à liaisons fortes (dans la base des états de Wannier). En seconde quantification, avec les orbitales localisées (les sites) identifiées

i, j et le spin σ on ´ecrit le hamiltonien du mod`ele comme suit.

ˆ H ≡ − ijσ tijc†iσcjσ+ c.h. + U i ˆ ni↑nˆi↓ (2.1)

Le premier terme du modèle est le terme d’énergie cinétique, ou encore le terme de saut, standard pour un modèle à liaisons fortes. À cause du facteur −t_ij, ce terme favorisera la destruction d’un électron en i (opérateur de destruction ciσ) suivie de sa création en j (opérateur de création c†_jσ), ce qui donne donc en un saut de i à j. Il fait la même chose pour le processus conjugué, c’est-`a-dire un saut de j à i. Le terme de saut favorise ainsi la délocalisation des électrons.

Le deuxième terme est celui qui caractérise le modèle de Hubbard. Il augmente de U l’énergie d’un site accueillant à la fois un électron de spin up (vers le haut) et

un de spin down (vers le bas) (avec l’occupation ˆniσ ≡ c†iσciσ). Il repr´esente donc la

(24)

répulsion coulombienne locale subite par deux électrons dans une même orbitale i. C’est la forme la plus élémentaire d’interaction qu’on puisse prendre en compte.

Remarquons que le modèle ne comporte pas de géométrie intrinsèque et que ce sont donc les tij qui déterminent sa forme. Pour avoir un réseau carré qui représente bien les plans CuO2, on prend égaux les tij représentant des sauts de même distance. Ainsi, les sauts aux quatre premiers voisins auront la valeur t, aux quatre voisins suivants t, et ainsi de suite comme illustré à la figure 2.1.

Figure 2.1 Illustration du mod`ele de Hubbard 2D o`u les t, t_{, t} _{sont les} termes de sauts et U le terme d’interactions.

Il existe une solution analytique pour le modèle de Hubard à une dimension (avec l’Ansatz de Bethe) et celui avec un nombre de dimension infini. Autrement, le modèle reste sans solution générale. Il fait d’ailleurs partie d’une classe de problèmes très complexes, en raison des interactions, nommée problème à N-corps (section 3.1). Dans ce genre de problème, le Hamiltonien contient à la fois des opérateurs à un corps (deux opérateurs d’échelle : c†_iσcjσ), et des opérateurs à deux corps(quatre opérateurs d’échelle : ˆni↑ˆni↓= ci↑† cj↑c†i↑cj↓, pour les interactions) de sorte que les fonctions d’onde habituelles, à un corps, ne sont bonnes qu’à faire des approximations.

Enfin, le modèle de Hubbard est aussi difficile à résoudre numériquement. Avec les quatre états disponibles pour chacune des N orbitales : |0, |↓, |↑ ou |↑↓, son espace de Hilbert croˆıt comme d = 4N_{. Par exemple, pour 16 orbitales, d grimpe} `

a 4 294 967 296 et obtenir les solutions requiert de réduire la taille de l’espace de Hilbert en utilisant les symétries de l’amas et en ciblant un nombre de particules et un spin total réaliste. Il est impensable, pour l’instant, d’arriver à diagonaliser un nombre d’orbitales représentatif des véritables matériaux. Il faut donc poursuivre la recherche de méthodes d’approximation plus sophistiquées pour attaquer le problème numériquement (section 3.2).

(25)

2.1.2 Isolant de Mott et antiferromagn´

etisme pour U t

Comme on le disait à la section 1.2.2, les cuprates, sans dopage, sont des isolants. Bien que cela soit une surprise du point de vue de la théorie des bandes, c’est un phénomène qui s’explique relativement bien dans le régime U t du modèle du

Hubbard. Consid´erons donc, pour commencer, le terme d’interaction du (2.1) :

HU = U

i ˆ

ni↑nˆi↓ (2.2)

Pour ce dernier, on peut minimiser l’énergie en réduisant au maximum la double occupation (le moins d’états |↑↓ possibles). Or, dans un cuprate non dopé, il y a un électron de valence par maille unitaire et pour minimiser l’énergie de HU il faut donc mettre un électron sur chaque site. Le premier niveau excité, lui, aura une énergie U supplémentaire, ce qui cause le gap isolant.

De fa¸con plus générale, dans un système interagissant, l’énergie d’une particule dépend de la présence ou non de particules avec lesquelles elle peut interagir. Au-trement dit, l’énergie d’un état à une particule sera déterminée selon l’occupation des autres états. Conséquemment, un changement dans l’occupation induira un chan-gement dans la distribution des états, ce qu’on nomme transfert de poids spectral. C’est grâce à ce dernier que le modèle de Hubbard arrive à prédire l’état isolant des cuprates rigoureusement. [24]

Un isolant tel que prédit par le modèle de Hubbard est appelé isolant de Mott. Comme on peut le voir à la figure2.2, pour une orbitale occupée, l’énergie du deuxième état augmente de U. Cela fait qu’à demi remplissage, la bande unique du modèle se sépare en une bande de valence et une bande de conduction séparées d’un gap d’énergie U. C’est le gap de Mott.

Il existe un autre type d’isolant dˆu aux interactions, l’isolant à transfert de charge. L’explication pour celui-là fait intervenir plusieurs bande et donc le modèle

de Hubbard, ne possédant intrinsèquement qu’une seule bande, ne peut l’expliquer. Ce genre d’effet multibande est d’ailleurs présent dans les cuprates dopés aux trous, rappelant que le modèle de Hubbard n’est valide que dans certaines limites, et qu’il faudra des modèles plus complexes pour expliquer complètement les cuprates. [25]

(26)

états vides états occupés

2N bande vide : la distribution des´etats est ´equivalente au cas sans

int´eraction 1 2N − 2 1 U

occupation d’un état : un électron dans l’état identique de spin op-posé interagirait, son énergie aug-mente donc de +U N − 1 2 N − 1 U

occupation de presque la moitiée des états : il ne reste que quelques états vides dans la bande originale

N N

U

occupation de la moitiée des états : tous les autres états sont `

a +U , phase isolante

Figure 2.2 Explication de l’isolant de Mott avec l’interaction U qui cause un

transfert de poids spectral g´en´erant le gap de Mott.

de matériaux à demi remplissage, il prédit aussi la phase antiferromagnétique que l’on retrouve chez les cuprates. En effet, dans la limite à fort couplage, en gardant toutefois le terme de sauts, la théorie des perturbations au deuxième ordre permet d’obtenir un modèle de Heisenberg antiferromagnétique.

2.1.3 Structure de bande pour U t

Avec U t, c’est-à-dire dans la limite de faible interaction, seule la partie cinétique du modèle de Hubbard subsiste (le premier terme de (2.1)). On obtient alors un modèle d’électrons libres, en liaisons fortes, dont le hamiltonien sera noté ˆHK :

ˆ H −−−→ U→0 ˆ HK =− ijσ tijc†iσcjσ + c.h. (2.3)

(27)

Le hamiltonien ˆHK possède des énergies propres dans l’espace des vecteurs d’onde k et on peut donc le diagonaliser en prenant sa transformée de Fourier (annexe A.1). Dans ce calcul, on prend les tij égaux pour des sauts de même distance

|s| = |rj−rj|, comme dans le réseau carré de la figure2.1. On obtient alors l’expression diagonale pour ˆHK, ˆ HK =− k s 2t|s|cos(k· s) c†_k,σck,σ (2.4) ˆ HK = k (k)ˆnk,σ (2.5)

o`u la relation de dispersion, (k), est bien celle d’un mod`ele en liaison forte.

(k) ≡ −

s

2t|s|cos(k· s) (2.6)

La figure 2.3 montre cette relation de dispersion pour le réseau bidimensionnel carré avec une longueur de maille a = 1 et seulement des sauts t, t, t aux trois plus proches groupes de voisins. La relation de dispersion se réduit alors à :

c(k) =−2t(cos kx+ cos ky)

− 2t_(cos(kx_{+ ky}_{) + cos(kx}_{− k} y))

− 2t_{(cos 2kx}_{+ cos 2ky}₎ _(2.7) Les surfaces de Fermi qu’on a aussi illustrées montrent où s’arrête le remplissage de la bande d’états pour différentes valeurs d’occupation ˆn. Les valeurs choisies pour t,

t, t viennent de la litt´erature pour les cuprates (section 2.2.1).

2.2 Des param`

etres r´

ealistes

2.2.1 Param`

etres de la litt´

erature

Le modèle sera toujours défini sur un réseau bidimensionnel carré avec les sauts aux plus proches voisins notés t, aux seconds t et ainsi de suite. Tous les paramètres

(28)

(a) Relation de dispersion 0 ʶ ʶ ʶ ʶ 0 (b) Surfaces de Fermi Figure 2.3 Allure habituelle de la relation de dispersion du mod`ele de

Hubbard carré pour U = 0 avec ses surfaces de Fermi pour différents remplissage. Les paramètres sont t = 1, t =−0.3 et t= 0.2 (section 2.2.1) et le losange rose indique la zone de Brillouin antiferromagnétique (section2.3.1)

sont exprimés relativement `a t, y compris l’interaction U, de sorte que c’est ce dernier qui détermine l’échelle du problème.

t = 1 (2.8)

Les paramètres que nous utilisons le plus souvent sont ceux du composé YBa2Cu3O7, qui furent obtenus à partir de la théorie de la fonctionnelle de densité (DFT) [26], qui permet d’obtenir la structure de bandes à partir de la composition chimique du matériau. On y réfèrera comme étant les paramètres YBCO. Ils sont régulièrement utilisés par nos groupes de recherche [27, 28].

sauts YBCO

t −0.3

t 0.2

(2.9)

Dans le cas tridimensionnel, le modèle YBCO sera étendu à un réseau cubique doté d’un seul saut dans la troisième dimension, tz. Nous lui choisissons 4 valeurs artificielles afin de tirer des tendances, mais en restant anisotrope, à l’image des cuprates.

(29)

2.2.2 Param`

etres in´

edits

Pour avoir une idée plus réaliste de la valeur de tz, on utilise aussi trois ensembles de paramètres fournis par Chuck-Hou Yee, un collaborateur autrefois à Rutgers University. [29] On réfèrera donc `a ces paramètres comme les paramètres de Chuck ou encore individuellement comme les paramètres LCO, NCO, et TBCO puisqu’ils ont respectivement été obtenus pour les composé de La2CuO4, Nd2CuO4 et Tl2Ba2CuO6, aussi à partir de la théorie de la fonctionnelle de densité (DFT).

sauts LCO NCO TBCO

t −0.208 −0.240 −0.243 t 0.200 0.190 0.137

t 0.016 0.016 0.012

tz −0.005 −0.005 −0.004

(2.11)

Les paramètres de Chuck (2.11) sont quantitativement différents des paramètres YBCO (2.9). On remarque en effet que le rapport t/t y est plus grand, faisant que les électrons sont moins localisés. Cela s’explique par la procédure qui fut employée. Chuck utilisait le code WIEN2k [30] pour obtenir les bandes DFT qu’il projetait ensuite sur des orbitales de Wannier (une par maille unitaire, pour reproduire le modèle de Hubbard) en suivant une procédure de downfolding bien déterminée [31]. Celle-ci requiert habituellement de maximiser la localisation des orbitales obtenues, mais les recherches de Chuck demandaient plutôt d’optimiser l’énergie de transfert de charge entre les atomes Cu et O du plan CuO2. Cela a eu comme effet de délocaliser un peu les orbitales trouvées et donc de surestimer la valeur des sauts plus éloignés comme t, t et tz lors du calcul de recouvrement.

Notons toutefois que mˆeme avec des sauts surestim´es de la sorte, les valeurs pour

tz sont extrêmement faibles. On peut donc déjà prédire que leur effet sera négligeable. De plus, parmi les valeurs artificielles choisies pour le tz des paramètres YBCO (2.10), seules 0.02 et 0.1 ont une chance d’être représentatives des matériaux réels.

(30)

2.3 Param`

etres d’ordre

2.3.1 Param`

etre d’ordre antiferromagn´

etique

L’antiferromagnétisme est une alternance de la direction des spins électroniques de site en site sur le réseau cristallin. C’est un cas particulier d’onde de densité de spin représentée mathématiquement par un vecteur d’onde Q qui indique la direction et la fréquence de la variation des spins. La figure 2.4 montre l’antiferromagnétisme dans un réseau carré en deux dimensions dont le vecteur d’onde est Q = π_ae_x+ π_ae_y.

Figure 2.4 Onde de densit´e de spin de vecteur Q = π

aex+πaey correspondant `

a l’antiferromagnétisme sur un réseau carré 2D de longueur de maillea. Notons que le cas Q = π_ae_x−π_ae_y serait parfaitement équivalent.

Afin de mesurer l’antiferromagnétisme, on définit l’opérateur ˆMQ, une version

périodique de l’observable décrivant la magnétisation habituelle, ˆ MQ ≡ i eiQri_(ˆ_n i↑− ˆni↓) (2.12)

dont la transform´ee de Fourier est : ˆ MQ= k c†_k↑c(k+Q)↑− c†_k↓c(k+Q)↓ (2.13)

La valeur moyenne ˆMQ nous donnera la grandeur de l’ordre antiferromagn´etique

sur le r´eseau, et il s’agit donc du param`etre d’ordre.

(31)

cellule init.

cellule AF

(a) espace r´eel

Brillouin init. Brillouin AF kx ky π a −π a π a −π a (b) espace réciproque Figure 2.5 Agrandissement de la maille de Wigner-Seitz du réseau réel dû à

l’antiferromagn´etisme et changement inverse de la zone de Brillouin.

sa périodicité cristalline. En effet, comme le montre la figure 2.5, la maille unitaire d’un réseau antiferromagnétique double dans l’espace réel, faisant que dans l’espace réciproque, sa taille diminue de moitié.

2.3.2 Param`

etre d’ordre supraconducteur

L’état supraconducteur est un état quantique cohérent, constitué de paires d’électrons nommées paires de Cooper [32]. On peut mesurer l’amplitude de cet état, ce qui donne un paramètre d’ordre général pour mesurer la supraconductivité. Sa valeur s’élèvera pour une supraconductivité de plus en plus forte.

Chez les cuprates, le paramètre d’ordre supraconducteur a une symétrie de type d [33]. Comme on l’a illustré à la figure2.6, cela veut dire que le signe du paramètre d’ordre dans un axe, disons x, est opposé à son signe dans l’axe perpendiculaire, y. C’est une différence notable comparativement aux supraconducteurs conventionnels, de symétrie de type s, o`u le signe est le même dans toutes les directions. Pour traduire la symétrie de type d dans l’espace des k, on a besoin du facteur Δ_k= (cos(kx)− cos(k_y))

(32)

(a) d-wave (b) s-wave

Figure 2.6 Comparaison de la sym´etrie de type d et de la sym´etrie de type s

dans l’espace des k. On l’illustre `a l’aide d’une exponentielle décroissante en k2 afin de mettre en évidence la ressemblance avec les orbitales d et s d’où elle tirent leur nom. type d : z = (cos(kx)− cos(ky)) e−k

2

et type s : z = e−k2.

qui devient Δ_ij dans l’espace r´eel :

Δ_ij ≡ ⎧ ⎨ ⎩ +1₂ si r_j− r_i = ˆe_x −1 2 si rj− ri = ˆey (2.14)

Param`etre d’ordre ˆD

Pour mesurer la supraconductivité, on utilise la même observable que dans plusieurs travaux [28, 34,35, 36] et c’est sa valeur moyenne ˆD qui est le paramètre

d’ordre : ˆ D ≡ ij Δ_ij c†_i↑c†_j↓+ c†_j↑c†_i↓ + c.h. (2.15)

Cet opérateur est une somme d’opérateurs créant des paires d’électrons en singulet de spin sur des sites voisins i et j. Il faut tenir compte des règles d’anticommutation pour

obtenir la forme habituelle √1

2(|↑↓ − |↓↑) pour le singulet. La somme contient aussi le processus conjugué, la destruction de paires, nécessaire pour qu’il soit hermitique. On ne mesure donc pas la quantité de paires, mais plutôt leur apparition et leur disparition traduisant ainsi le caractère cohérent de l’état supraconducteur dans lequel le nombre de particules n’est pas bien défini. Ce genre d’opérateur est dit anormal.

Notons que la transformée de Fourier de (2.15) (faite à l’annexe A.2) donne le facteur (coskx− cos ky) de la symétrie de type d, et les paires de vecteurs d’onde

(33)

oppos´es comme pour la fonction d’onde BCS. ˆ

D =

k

(cos kx− cos ky) c†_k↑c†_−k↓+ c.h. (2.16)

Param`etre d’ordre ˆT

Lorsque la supraconductivité coexiste avec l’antiferromagnétisme, certains tra-vaux ont prédit l’apparition de paires d’électrons en triplet de spin √1

2(|↑↓ + |↓↑), diﬀ´erentes des paires de Cooper habituelles en singulet √1

2(|↑↓ − |↓↑). On nomme cette composante de la supraconductivité π-triplet ou π-SC. Elle fut prédite dans certains travaux de champ moyen [35] et correspond aux opérateurs de rotations π dans la théorie SO(5) de la supraconductivité [36]. Elle n’avait jamais été incluse dans les calculs sur amas comme nous l’avons fait dans ce projet.

Puisqu’elle est liée à l’antiferromagnétisme, l’observable de la supraconductivité

π-SC doit `a la fois inclure l’alternance de signe d’un site `a l’autre (facteur eiQri_{) et la}

symétrie de type d (facteur Δ_ij). Elle est donc défini comme : ˆ T ≡ ij eiQri_Δ ij c†_i↑c†_j↓− c†_j↑c†_i↓ + c.h. (2.17)

On ne montrera pas formellement qu’il faut inclure ˆT dans les calculs, mais on

peut s’en convaincre par certains arguments intuitifs. Tout d’abord, on sait que les paires en triplet ont un spin total non-nul (nombre quantique l = 1, m = 0) ce qui explique qu’on s’attend à ne pas les retrouver dans un milieu non-magnétique. Toutefois, en coexistant avec l’antiferromagnétisme, les paires pourraient avoir un spin total qui reproduit l’alternance de spin de ˆM. Comme le montre la figure 2.7, les paires en singulet de ˆD superposées à celles en triplet, alternant de signe, de ˆT ,

permettent justement d’obtenir un spin total qui alterne de site en site, en accord avec l’ordre antiferromagn´etique. Il n’est donc pas surprenant que les trois puissent coexister.

Commutateur avec ˆM

Un autre argument intuitif en faveur de l’apparition de ˆT vient du commutateur

des opérateur [ ˆM, ˆD] = −2i ˆT (annexeA.3). Premièrement, le fait que le commutateur soit non nul indique que les états propres de ˆM sont différent de ceux de ˆD. On

(34)

⎨ ⎩ r´eseau :

+

−

+

−

+

−

+

−

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˆ D :

+

−

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˆ T :

+2

−2

+2

−2

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ reste :

Figure 2.7 Illustration de la superposition de ˆD et ˆT en 1 dimension. Dans cette image, chaque création de paire c†_i↑c†_j↓ ou c†_i↓c†_j↑venant de ˆD ou ˆT est illustrée par une paire de flèches sous les sites correspondants. Sous une paire de sites donnée, le signe de chaque terme fait que certainsinterfèrent, ce qui est illustré par un trait rouge sur les termes quis’annulent. À proprement parler, ces opérateurs de paires n’interfèrent pas ainsi, mais l’intuition laissée par l’image est bonne : la coexistence de ˆD et ˆT est favorable à l’antiferromagnétisme.

l’autre. Deuxièmement, le fait que le commutateur de ˆM et ˆD donne précisément

l’observable ˆT montre que cette dernière aura un rôle à jouer dans les superpositions

d’états propres de ˆM et ˆD. On pense ici à une relation semblable à celle des moments

cinétiques ˆJx, ˆJy et ˆJz. Cette liaison entre les trois opérateurs n’a pas été approfondie dans ce projet, mais serait une piste intéressante à laquelle donner suite, dont un bon point de départ est la théorie SO(5) de la supraconductivité [36].

2.4 Notes sur les mod`

eles tridimensionnels

Il y a certaines différences entre le modèle 3D utilisé pour le YBCO (2.9), dont le réseau est orthorhombique, et le modèle 3D pour le LCO, le NCO et le TBCO (2.11), dont les réseaux sont tétragonaux à corps centré. Ces différences sont mises en évidence dans la figure 2.8, où l’on voit en premier lieu que les sites des réseaux tétragonaux ont 8 voisins immédiats en z plutôt que 2 comme ceux du réseau orthorhombique.

(35)

On voit aussi à la figure 2.8 qu’on devra exprimer le vecteur d’onde antiferro-magnétique Q différemment pour chacun des réseaux. Pour le réseau orthorhombique, on l’exprime en termes des vecteurs de base a = ˆx, b = ˆy et c = ˆz, donc sur un réseau

effectif carré. Le vecteur est alors Q = πa + πb + πc. Pour le réseau tétragonal, on utilise plutˆot la base de travail a = ˆx, b = ˆy et c = 1

2x +ˆ 1 2y +ˆ

1 √

2z ce qui permet aussiˆ d’écrire Q =πa + πb + πc. Toutefois, pour le réseau tétragonal, l’antiferromagnétisme

est frustré, et il y a une équivalence entre l’expression précédente et Q = πa + πb. Pour pouvoir bien contrôler les effets tridimensionnels, on a choisi de ne pas modifier le paramètre d’ordre supraconducteur. On suppose donc que les paires ne se formeront que dans les plans, ce qui est cohérent avec l’hypothèse qui fait des plans CuO2 les responsables de la supraconductivité dans les cuprates.

Rappelons aussi que l’interaction U est locale seulement, conformément aux prescriptions du modèle de Hubbard. Elle n’a donc pas à être étendue hors des plans. De toute fa¸con, les méthodes utilisées ne permettent pas d’ajouter ce genre d’interaction non-locale.

(a) maille t´etragonale pour

LCO, NCO et TBCO

(b) maille orthorhombique pour

YBCO

Figure 2.8 Le réseau tétragonal à corps centré de LCO, NCO et TBCO se

dis-tingue du réseau orthorhombique de YBCO par trois sauts enz supplémentaires et la possibilité Q = (π, π, 0) comme vecteur antiferromagnétique

(36)

M´

ethodes de calcul

3.1 Probl`

eme `

a N-corps

Comme on l’a déjà mentionné, le modèle de Hubbard est un cas particulier du

probl`eme `a N-corps. Cette appellation sous-entend que N corps sont en interaction.

Ce genre de problème est insoluble, car chacun des corps interagit avec tous les autres, qui eux aussi interagissent avec tous les corps, qui interagissent avec tous, etc. On a donc une infinité d’interactions indirectes dont l’importance respective varie selon le problème. La complexité de ces interactions répétées empêche de trouver une solution générale au problème depuis la fin des années 30.

Néanmoins, depuis ce temps, on a développé quelques outils relativement satisfai-sants. Dans cette section, nous présentons les bases du formalisme des fonctions de

Green pour lesquelles nous cherchons surtout à définir la self-énergie. Cela permettra

alors de survoler les deux approximations utilisées dans ces recherches : la théorie de champ moyen dynamique sur amas (CDMFT) et l’approximation de l’amas variation-nel (VCA). Pour terminer, nous définirons certains opérateurs avec lesquels on peut mesurer l’antiferromagnétisme et la supraconductivité dans le modèle de Hubbard.

(37)

3.1.1 D´

eﬁnition du propagateur (fonction de Green)

L’outil le plus important dans le traitement du probl`eme `a N-corps est la fonction

de Green qu’on présente ici de fa¸con très élémentaire. On discute d’abord de la

fonction de Green de l’équation de Schrödinger à une particule, qui servira à justifier celle du problème à N-corps. C’est cette dernière, dans le projet, qui permet d’obtenir la valeur des paramètres d’ordre (section 2.3.1et 2.3.2) qui seront nécessaires pour construire les diagrammes de phases recherchés (section 1.2.2).

Solution intégrale aux équations inhomogènes

En mathématique, la fonction de Green est utilisée pour donner la solution de certaines équations différentielles sous forme intégrale. Cette méthode s’applique aux équations non homogènes. Dans le cas général, on écrit l’équation avec l’opérateur différentiel L_x, agissant sur x, et la source f(x), qui détermineront la solution y(x).

Lxy(x) = f(x) (3.1)

La fonction de Green G(x, x), est alors définie pour obéir à

LxG(x, x) = δ(x − x) (3.2)

et on obtient la solution intégrale en multipliant (3.2) par f(x) de chaque coté et en intégrant sur x [37]. δ(x − x)f(x) = L_xG(x, x)f(x) (3.3) δ(x − x)f(x) dx = LxG(x, x)f(x) dx (3.4) f(x) = LxG(x, x)f(x) dx (3.5) Lxy(x) = Lx G(x, x)f(x) dx (3.6) y(x) = G(x, x)f(x) dx (3.7)

(38)

Fonction de Green pour l’´equation de Schr¨odinger

Sans potentiel, l’équation de Schr¨odinger est homogène et l’absence d’un f(x) empêche d’appliquer directement (3.7) pour solutionner avec la fonction de Green.

i∂ ∂t − H

|ψ(t) = 0 (3.8)

Toutefois, on peut quand même définir l’opérateur G_S(t, t) :

GS(t, t)≡ −ie−iH(t−t)θ(t − t) (3.9) où : θ(t − t)≡ ⎧ ⎨ ⎩ 0 si t t 1 si t > t (3.10) qui vérifie le critère (3.2) pour l’opérateur différentielL_S =i∂

∂t− H : LSGS(t, t) = i∂ ∂t− H −ie−iH(t−t₎ θ(t − t) (3.11) = ∂ ∂te −iH(t−t₎ θ(t − t) + iHe−iH(t−t)θ(t − t) (3.12) =−iHe−iH(t−t)θ(t − t) + δ(t − t) + iHe−iH(t−t)θ(t − t) (3.13)

= δ(t − t) (3.14)

montrant donc que GS(t, t) remplit le rôle de fonction de Green pour l’équation de Schrödinger [38].

Interpr´etation physique de G_S(t, t)

Notons la ressemblance entre l’opérateur GS(t, t) et l’opérateur d’évolution habi-tuel du formalisme de Shrodinger U(t).

U(t) = e−iHt (3.15)

GS(t, t)≡ −ie−iH(t−t)θ(t − t) (3.16)

=−iU(t − t)θ(t − t) (3.17)

Tout comme U(t), l’opérateur GS(t, t) permet donc de décrire l’évolution du système. De plus, il est valide pour n’importe quel état de départ ψ(t), pourvu que t < t (à

(39)

d’écrire n’importe quel état du système à partir d’un état précédent :

θ(t − t)|ψ(t) = iGS(t, t)|ψ(t) (3.18) Enfin, si on projette cette dernière relation dans une base arbitraire |r, on obtient une fonction de Green scalaire pour chaque état |r de la base.

θ(t − t)r|ψ(t) = i r| G_S(t, t) dr|r r|ψ(t) (3.19) θ(t − t)ψ(r, t) = i r| GS(t, t)|r ψ(r, t) dr (3.20) = i GS(r, t; r, t)ψ(r, t) dr (3.21) La fonction de Green GS(r, t; r, t)≡ r| GS(t, t)|r (3.22) =−i r| e−iH(t−t)|r θ(t − t) (3.23) donne alors l’amplitude de probabilité de passer de l’état r au temps t `a l’état r au temps t, et cela, de fa¸con causale. C’est ce qui lui vaut le nom de propagateur [38].

Propagateur à une particule dans un problème à N-corps

En principe, il n’y a aucune restriction sur le système pour lequel on écrit cette fonction de Green et on pourrait donc s’en servir pour des problèmes à plusieurs parti-cules. On aurait alors des états `a N-corps Ψ(r1, r2, ...rN, t) dans une base |r1, r2, ...rN et la fonction de Green GS(r1, r2, ...rN, t; r1, r2, ...rNt) dépendrait de deux fois plus de variables que la fonction d’onde. Le problème ne serait aucunement réduit.

Nous définirons donc un objet plus utile : le propagateur d’une seule particule dans un système à N-corps. Celui-ci ne sera pas une fonction de Green au sens formel, car les termes d’interaction sont en général des opérateurs quartiques1 _{et la}

définition (3.2) n’est valide que pour un opérateur linéaire. Toutefois, dans le cas sans interaction, le propagateur du problème à N-corps se réduira à la fonction de Green d’une particule libre (3.9). C’est d’ailleurs pourquoi on fait souvent abus de langage en appelant le propagateur fonction de Green. La ressemblance entre les deux nous permettra d’ailleurs de reconnaˆıtre et d’isoler la partie venant des interactions (la self-énergie), mettant, pour ainsi dire, les difficultés en quarantaine.

(40)

Passons à la définition. On se restreint à température nulle, comme pour le reste du projet, et on part de la définition physique d’un propagateur [39].

Gr,r(t, t) = amplitude de probabilitúne particule ajoutée dans l’é que l’état arbitraireetat fondamental avecr_{au temps t}

se retrouve avec une particule de plus enr au temps t

(3.24)

On traduit mathématiquement cette définition avec la seconde quantification. Parmi les différentes fa¸cons de l’écrire, on choisit la définition du propagateur causal [39,40] :

Gr,r(t, t) = −i Ω| T c_r(t)c†_r(t)|Ω (3.25)

notons que les indices r sont encore les nombres quantiques d’une base arbitraire d’états à une particule, mais on les a choisis discrets pour mieux faire le lien avec le modèle de Hubbard. Aussi, l’expression est dans la représentation d’Heisenberg et T n’est pas la température (on est toujours `a température nulle) mais l’opérateur de

produit chronologique, c’est-`a-dire :

T c(t)c†(t)≡ c(t)c†(t)θ(t − t)− c†(t)c(t)θ(t− t) (3.26) Enfin, dans (3.25) le principal inconnu est l’état fondamental du système |Ω. C’est d’ailleurs ce qui rend le propagateur utile ; connaˆıtre le propagateur nécessite ou permet, selon le point de vue, de connaˆıtre |Ω en partie.

Lien avec la fonction de Green de l’´equation de Schr¨odinger

Prenons le vide |Ω = |0, avec le choix 0 = 0 pour son énergie [38]. À partir de ce dernier, on peut retrouver la fonction de Green de l’équation de Schrödinger (3.23), qui montre comment se propage une particule seule qu’on créé et qu’on ahinnile. Il suffit de ramener la définition (3.25) dans la représentation de Schrödinger avec

O(t) = ei ˆHt_O

Se−i ˆHt :

Gr,r(t, t) =−i 0| T c_r(t)c†_r(t)|0 (3.27)

=−i 0| c_r(t)c†_r(t)|0 θ(t − t) + i 0| c†_r(t)cr(t) |0 θ(t− t) (3.28)