Théorème Généralisé de Weyl pour les opérateurs hyponormaux et les multiplicateurs

(1)

UNIVERSITE MOHAMMED V- AGDAL

FACULTE DES SCIENCES

N°d’ordre :2319

THESE DE DOCTORAT D’ETAT

Présentée par

ARROUD Abdelmajid

Discipline : Mathématiques Spécialité : Analyse Titre :

Théorème Généralisé de Weyl pour les Opérateurs

Hyponormaux et les Multiplicateurs

Soutenue le : 24/11/2006 , devant le jury :

Président : El Hassan Zerouali , professeur à la faculté des sciences de Rabat Examinateurs :

Abdelhamid Bourass, professeur à la faculté des sciences de Rabat Mohammed Berkani , professeur à la faculté des sciences d’Oujda Omar El Fallah, professeur à la faculté des sciences de Rabat Mustapha Sarih, professeur à la faculté des sciences de Meknès

(2)

Remerciements

Le professeur Abdelhamid Bourass m’a permis de m’inscrire en doctorat d’état sous sa direction, je le remercie sincèrement pour son soutien et ses conseils. Qu’il veuille bien trouver ici l’expression de ma très grande reconnaissance.

Je remercie vivement le professeur Mohammed Berkani qui a proposé le sujet de cette thèse et assuré la direction de ce travail avec amabilité et compétence. Qu’il veuille bien trouver ici l’expression de ma très profonde gratitude.

J’exprime mes vifs remerciements au professeur El Hassan Zerouali pour m’avoir fait l’honneur d’accepter de pr´esider le jury de cette th`ese.

Je tiens à remercier les professeurs Omar El Fallah et Mustapha Sarih pour avoir accepté de participer au jury de cette thèse et pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail.

Je remercie mes collègues et amis de longue date du département de mathématiques de la faculté des sciences de Rabat qui se reconnaˆıtront ici. Je leur exprime ma profonde sympathie.

Merci aussi à tous mes collègues du département de mathématiques de la faculté des sciences d’Oujda pour la sympathie et les encouragements qu’ils ont témoignés à mon ´

egard. Je leur exprime ici toute ma gratitude.

Enfin mes remerciements vont `a ma famille, mes amis et tous ceux qui m’ont soutenu durant l’´elaboration de ce travail.

(3)

Table des mati`

eres

0 Introduction 3

1 Pr´eliminaires 10

1.1 Rappels et notations . . . 10 1.2 Les Op´erateurs B-Fredholm et le spectre B-Weyl . . . 13 1.3 Les Op´erateurs semi-B-Fredholm . . . 16

2 Théorème Généralisé de Weyl pour un Opérateur Hyponormal et

Per-turbations de Rang Fini 19

2.1 Introduction . . . 19 2.2 Le théorème généralisé de Weyl pour un opérateur hyponormal . . . 20 2.3 Perturbations de rang fini et théorème généralisé de Weyl . . . 27

3 Propriétés B-Fredholm et Spectrales des Multiplicateurs dans les Algèbres

de Banach 36

3.1 Introduction . . . 37 3.2 Propriétés B-Fredholm des multiplicateurs . . . 37 3.3 Propriétés spectrales des multiplicateurs . . . 42

(4)

Semi-Simple 52 4.1 Préliminaires . . . 52 4.2 Eléments B-Fredholm généralisés . . . 56

(5)

Chapitre 0

Introduction

Soit X un espace de Banach et soit L(X) l’algèbre de Banach des opérateurs linéaires bornés agissant sur X. Pour T ∈ L(X), on désigne par N (T ) le noyau de T, par α(T ) la nullité de T, par R(T ) l’espace image de T et par β(T ) sa déficience. Si R(T ) est fermé et α(T ) < ∞ (resp. β(T ) < ∞), alors T est dit un opérateur semi-Fredholm supérieur (resp. semi-Fredholm inférieur ). Si T ∈ L(X) est un opérateur semi-Fredholm supérieur ou inférieur alors T est dit un opérateur semi-Fredholm , et l’ indice de T est défini par: ind (T ) = α(T ) − β(T ).

Si α(T ) et β(T ) sont tous les deux finis alors T est dit un op´erateur de Fredholm . Dans ce cas il est bien connu que l’espace image R(T ) de T est ferm´e dans X.

D´efinissons maintenant pour tout entier naturel n, Tnpar la restriction de T `a l’espace

R(Tn) vue comme une application de R(Tn) vers R(Tn) (en particulier T0 = T ).

Si pour un entier naturel n l’espace R(Tn_{) est ferm´}_{e et T}

nest un op´erateur semi-Fredholm

supérieur (resp. inférieur), alors T est appelé [8, Definition 2.2] un opérateur semi-B-Fredholm supérieur (resp. inférieur ). De plus si Tn est un opérateur de Fredholm alors

T est appel´e un op´erateur B-Fredholm .

Un opérateur semi-B-Fredholm est un opérateur semi-B-Fredholm supérieur ou inférieur. L’indice d’un opérateur semi-B- Fredholm T est par définition l’indice de l’opérateur

(6)

semi-Fredholm Tn et d’après [6, Proposition 2.1] cette définition est indépendante de n.

Soit BF (X) la classe de tous les op´erateurs B-Fredholm sur X. Dans [6] M. Berkani a ´

etudié cette classe d’opérateurs et a montré [6, Theorem 2.7] qu’un opérateur T ∈ L(X) est B-Fredholm si et seulement si T = Q ⊕ F, où Q est un opérateur nilpotent et F est un opérateur de Fredholm.

Il apparaˆıt d’après [9] que l’inversibilité au sens de Drazin joue un rôle important pour la classe des opérateurs B-Fredholm .

Si A est une algèbre unitaire d’unité e, suivant la définition dans [38], on dira qu’un ´

elément x de A est Drazin-inversible s’il existe un élément b de A et un entier naturel k tels que:

xkbx = xk, bxb = b, xb = bx. (1)

Rappelons que le concept de Drazin-inversibilité a été à l’origine introduit par Drazin dans [20] où les éléments satisfaisant la relation ( 1) sont appelés éléments pseudo-inversibles. Le spectre de Drazin d’un element a ∈ A est défini par:

σD(a) = {λ ∈ C : a − λe n’est pas Drazin-inversible}.

Dans le cas d’un opérateur linéaire borné T sur un espace de Banach X, on sait que T est Drazin-inversible si et seulement s’il a une ascente et une descente finies (Defini-tion 1.1.1). Ce qui est aussi équivalent au fait que T = U ⊕ V, où U est un opérateur inversible et V est nilpotent,(Voir [38, Proposition 6] et [30, Corollary 2.2]).

Dans [9, Theorem 3.4] il est démontré que T est un opérateur B-Fredholm si et seulement si sa projection sur l’algèbre L(X)/F0(X) est Drazin-inversible, ici F0(X) désigne l’idéal

des opérateurs de rang fini dans l’algèbre L(X) des opérateurs linéaires bornés agissant sur X.

(7)

Si T ∈ L(X), T est un op´erateur B-Weyl s’il est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0;

le spectre B-Weyl σBW(T ) de T est d´efini par:

σBW(T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un op´erateur B-Weyl }.

Si T est un opérateur normal agissant sur un espace de Hilbert H, M. Berkani a montré [10, Theorem 4.5] que σBW(T ) = σ(T )\E(T ), où E(T ) est l’ensemble des valeurs propres

isolées de T, ce qui donne une généralisation du théorème de Weyl.

Rappelons que le théorème de Weyl classique [45] assure que si T est un opérateur normal agissant sur un espace de Hilbert H, le spectre de Weyl σW(T ) est égal à l’ensemble des

´

eléments de σ(T ) moins les valeurs propres isolées de multiplicité finie, ce qui s’écrit:

σW(T ) = σ(T )\E0(T ),

E0(T ) étant l’ensemble des valeurs propres isolées de multiplicité finie, et σW(T ) est le

spectre de Weyl de T :

σW(T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un op´erateur de Fredholm d’indice 0 }.

Dans son article [5], B.A. Barnes a considéré la version II du théorème de Weyl:

σW(T ) = σ(T ) \ Π0(T ),

où Π0(T ) est l’ensemble des pôles de rang fini de la résolvante de T.

Cette version est plus connue sous le nom de Théorème de Browder (voir aussi [19]). Rappelons qu’un point isolé λ du spectre σ(T ) de T est un pôle de rang fini de la résolvante de T si la projection spectrale associée à l’ensemble {λ} est de rang fini.

Dans [12, Theorem 3.9] il est démontré que si T satisfait le théoreme généralisé de Weyl:

(8)

alors il satisfait le th´eor`eme de Weyl

σW(T ) = σ(T )\E0(T ).

Il est démontré aussi dans ce même article [12, Theorem 3.15] que si T satsfait la version II du théorème généralisé de Weyl (Théorème généralisé de Browder ):

σBW(T ) = σ(T )\Π(T ),

alors il satisfait aussi la version II du th´eor`eme de Weyl:

σW(T ) = σ(T )\Π0(T ).

Dans le premier chapitre de ce travail on rappelle les principaux résultats et définitions concernant les opérateurs B-Fredholms et semi-B-Fredholms. Nous présentons également un rappel des spectres de Weyl et B-Weyl et les différents théorèmes qui leurs sont associés. Dans le deuxième chapitre on va considérer le théorème généralisé de Weyl pour un opérateur hyponormal. En particulier on démontre que si T est un opérateur hyponormal agissant sur un espace de Hilbert H, alors T satisfait le théorème généralisé de Weyl: σBW(T ) = σ(T )\E(T ).

On montre aussi dans ce chapitre que le spectre B-Weyl de T, σBW(T ) satisfait le th´eor`eme

de l’application spectrale.

D’autre part si f est une fonction analytique définie sur un voisinage du spectre σ(T ) d’un opérateur hyponormal T sur un espace de Hilbert H, alors on démontre que f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl.

Un résultat analogue a été obtenu pour le spectre de Weyl par K.K. Oberai dans [36] si f est un pôlynome, et plus récemment par W. Y. Lee et S. H. Lee dans [32], si f est une fonction analytique sur un voisinage du spectre de T.

(9)

Dans la section 3 du chapitre 2 nous étudions les perturbations de rang fini pour des opérateurs vérifiant le théorème de Weyl ou le théorème généralisé de Weyl. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que l’opérateur T + F vérifie le théorème de Weyl si T est un opérateur satisfaisant le théorème de Weyl et F est un opérateur de rang fini. Ce résultat est une amélioration d’un résultat obtenu par K.K. Oberai [36, Theorem 4].

De manière analogue, si T satisfait le théorème généralisé de Weyl et F est de rang fini et commute avec T, on donne une condition nécessaire et suffisante pour que l’opérateur T + F vérifie le théorème généralisé de Weyl. Ensuite on démontre que le théorème généralisé de Weyl est satisfait par T + F si T est un opérateur isoloide ou quasi-nilpotent satisfaisant le théorème génèralisé de Weyl et F un opérateur de rang fini qui commute avec T.

Dans le chapitre 3 de ce travail on étudie les propriétés spectrales et B-Fredholm d’un opérateur multiplicateur T agissant sur une algèbre de Banach taubérienne commutative semi-simple régulière A.

Rappelons qu’un multiplicateur T sur l’alg`ebre A est une application T : A → A telle que:

aT (b) = T (a)b ∀a, b ∈ A.

Les résultats obtenus par P. Aiena et K.B. Laursen dans [3] montrent que les opérateurs multiplicateurs agissant sur une algèbre de Banach A semi-simple commutative regulière taubérienne ont des propriétés Fredholm intéressantes.

Nous nous sommes naturellement posés la question pour savoir si de telles propriétés sont valables dans le contexte B-Fredholm.

La réponse est positive; en effet on démontre dans le chapitre 3 que si T est un multipli-cateur agissant sur A alors T est un opérateur B-Fredholm si et seulement si T est un

(10)

op´erateur semi B-Fredholm, et dans ce cas on obtient l’indice de T, ind (T ) = 0.

Un résultat similaire a été obtenu par P. Aiena et K.B. Laursen pour le cas des opérateurs Fredholm dans [3, Theorem 4.4].

Dans la suite on donne quelques propri´et´es spectrales des multiplicateurs.

Une application des premiers résultats obtenus nous permettra de montrer que l’opérateur de multiplication Ta par un élément a d’une C∗-algèbre A régulière commutative est un

op´erateur B-Fredholm si et seulement si a est Drazin-inversible dans A.

Les théorèmes de l’application spectrale pour le spectre de Weyl ou B-Weyl d’un multi-plicateur sont aussi considérés dans ce chapitre.

Dans le théorème 3.3.8 on démontre que le théorème généralisé de Weyl est satisfait par f (T ) si T est un multiplicateur agissant sur une algèbre de Banach semi-simple A et f est une fonction analytique sur un voisinage du spectre de T. Par suite d’après [12, Theorem 3.9 et Theorem 3.11], la proposition 3.3.3 et le corollaire 3.3.4, il résulte que le théorème de Weyl ( Resp. a-Weyl) et le théorème généralisé de Weyl (Resp. généralisé a-Weyl) [voir Définition 3.5] sont satisfaits par un multiplicateur T agissant sur une algèbre semi-simple régulière commutative et taubérienne.

A la fin de ce chapitre on considère une algèbre A semi-simple régulière commutative et taubérienne satisfaisant la condition de Glicksberg, et on donne des conditions suffisantes pour qu’un multiplicateur sur A vérifie l’égalité: T = P B, où P est un opérateur inversible et B est un opérateur idempotent.

Dans [17] S.R. Caradus a introduit la classe des opérateurs de Fredholm généralisés.

T ∈ L(X) est appelé un opérateur de Fredholm généralisé, s’il existe S ∈ L(X) vérifiant T ST = T et I − T S − ST est un opérateur de Fredholm.

(11)

Dans une algèbre A semi-simple les éléments de Fredholm généralisés ont été introduits dans [33].

Les éléments de Fredholm et les éléments de Fredholm généralisés dans une algèbre de Ba-nach A ont été étudié par Ch. Schmoeger dans [41] et plus récemment par Ch. Schmoeger et D. Männle dans [34].

De manière naturelle nous essayons dans le chapitre 4 de définir les éléments B-Fredholm généralisés dans une algèbre de Banach A. La classe des éléments B-Fredholm généralisés est notée Φg_BF(A).

On d´emontre en particulier que x ∈ Φg_BF(A) si et seulement si x est inversible au sensb

de Drazin dans L’algèbre quotient A/Soc(A), où Soc(A) désigne le socle de A. Ceci nous permettra de démontrer que Φg_BF(A) est une régularité et par conséquent le spectre qui lui est associé,

σg_BF_{(a) = {λ ∈ C : a − λe /}∈ Φg_BF(A)}

vérifie le théorème de l’application spectrale:

f (σ_BFg (a)) = σg_BF(f (a)),

(12)

Chapitre 1

Pr´

eliminaires

Dans ce chapitre on présente les définitions et les principaux résultats sur les opérateurs B-Fredholm et semi-B-Fredholm. Nous présentons aussi les différents spectres utilisés et les différents théorèmes de Weyl associés.

1.1 Rappels et notations

Soient X un espace de Banach et L(X) l’algèbre des opérateurs bornés sur X. Si T ∈ L(X) on note par N (T ) le noyau de T et par R(T ) l’image de T.

T est dit un op´erateur de Fredholm si R(T ) est ferm´e et α(T ) = dim N (T ) et β(T ) = dim(X/R(T )) sont finis .

T est dit un op´erateur semi-Fredholm si R(T ) est ferm´e et α(T ) ou β(T ) est fini.

T est dit un opérateur semi-Fredholm supérieur (Resp. inférieur) s’il est semi-Fredholm et α(T ) fini (Resp. β(T ) fini).

L’indice de T est par d´efinition ind (T ) = α(T ) − β(T ).

L’ascente de T, not´ee a(T ) est le plus petit entier naturel tel que N (Tn_{) = N (T}n+1_{) et la}

descente de T, not´ee δ(T ) est le plus petit entier naturel tel que R(Tn_{) = R(T}n+1_).

(13)

D´efinition 1.1.1 : Pour T ∈ L(X) on d´efinit les suites (cn(T )), (c0n(T )) et (kn(T ))

comme suit:

(i) cn(T ) = dim(R(Tn)/R(Tn+1)),

(ii) c0_n(T ) = dim(N (Tn+1_{)/N (T}n_)),

(iii) kn(T ) = dim[(R(Tn) ∩ N (T ))/(R(Tn+1) ∩ N (T ))].

La descente δ(T ) et l’ascente a(T ) sont d´efinies par :

δ(T ) = inf{n : cn(T ) = 0} = inf{n : R(Tn) = R(Tn+1)},

a(T ) = inf{n : c0_n(T ) = 0} = inf{n : N (Tn) = N (Tn+1)},

avec inf ∅ = ∞.

D´efinition 1.1.2 : Soit T ∈ L(X), si on pose:

∆(T ) = {n ∈ N : ∀m ∈ N, m ≥ n ⇒ (R(Tn) ∩ N (T )) ⊂ (R(Tm) ∩ N (T ))};

alors le degré d’itération stable dis(T ) de T est défini par dis(T ) = inf ∆(T ).

D´_{efinition 1.1.3 : Si d ∈ N, on dit que T a une descente uniforme pour n ≥ d si} R(T ) + N (Tn_{) = R(T ) + N (T}d_{) ∀n ≥ d; ( ce qui est ´}_{equivalent `}_{a k}

n(T ) = 0 ∀n ≥ d).

Si de plus, R(T ) + N (Td) est ferm´e alors on dit que T a une descente uniforme topologique pour n ≥ d.

Un op´erateur T ∈ L(X) est dit de Weyl s’il est de Fredholm d’indice 0. T est dit de Browder s’il est de Fredholm d’ascente et descente finies.

Le spectre de Weyl et le spectre de Browder sont d´efinis respectivement par:

σW(T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas de Weyl}

(14)

Soit E0(T ) l’ensemble des valeurs propres isol´ees de T de multiplicit´e finie et Π0(T )

l’ensemble des pôles de rang fini de la résolvante de T. On dit que T ∈ L(X) satisfait le théorème de Weyl si:

σW(T ) = σ(T )\E0(T ),

et que T satisfait la version II du théorème de Weyl ( théorème de Browder) si:

σW(T ) = σ(T )\Π0(T ),

Soit SF+(X) la classe des opérateurs semi-Fredholm supérieurs. On définit :

SF₊−(X) = {T ∈ SF+(X) : ind (T ) ≤ 0}. et σ_SF− +(T ) = {λ ∈ C : T − λI /∈ SF − +(X)}.

Le spectre approximatif de T est d´efini par:

σa(T ) = {λ ∈ C : inf

kxk=1k(T − λI)(x)k = 0}

Soit Ea

0(T ) l’ensemble des valeurs propres de T de multiplicit´e finie qui sont isol´ees

dans σa(T ).

On dit que T ∈ L(X) satisfait le th´eor`eme a-Weyl si:

σ_SF−

+(T ) = σa(T )\E

a 0(T )

Si T satisfait le le théorème a-Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl mais la réciproque est fausse [37].

D´efinissons l’ensemble LD(X) par :

(15)

On dira que λ ∈ σa(T ) est un pˆole `a gauche de T si T − λI ∈ LD(X), et que λ ∈ σa(T )

est un pôle à gauche de T de rang fini si λ est un pôle à gauche de T et α(T − λI) < ∞. On notera par Πa_{(T ) l’ensemble de tous les pˆ}_{oles `}_{a gauche de T, et par Π}a

0(T ) l’ensemble

de tous les pôles à gauche de T de rang fini. On dit que T satisfait le théorème a-Browder si:

σ_SF−

+(T ) = σa(T )\Π

a 0(T ).

1.2 Les Op´

erateurs B-Fredholm et le spectre B-Weyl

Comme nous l’avons défini dans l’introduction, un opérateur T sur un espace de Banach X est appelé B-Fredholm s’il existe un entier naturel n tel que R(Tn_{) soit ferm´}_{e et la}

restriction de T `a R(Tn), Tn vue comme une application de R(Tn) vers R(Tn) soit un

op´erateur de Fredholm .

Proposition 1.2.1 [6]: Soit T ∈ L(X). S’il existe un entier naturel n tel que R(Tn_{) soit}

fermé et tel que Tn soit un opérateur de Fredholm, alors R(Tm) est fermé, Tm est un

op´erateur de Fredholm et ind(Tm) = ind(Tn) pour tout m ≥ n.

Cette proposition permet de d´efinir l’indice d’un op´erateur B-Fredholm.

Définition 1.2.2 : Soit T ∈ L(X) un opérateur B-Fredholm et soit n un entier naturel quelconque tel que Tn soit un opérateur de Fredholm. Alors l’indice de T, ind(T ) est

l’indice de l’op´erateur Tn.

Les opérateurs B-Fredholm ont été introduits par M. Berkani dans [6]. Il a donné une caractérisation importante de cette classe d’opérateurs notée BF (X) :

(16)

Théorème 1.2.3 [6] : Soit T ∈ L(X), alors T est un opérateur B-Fredholm si et seule-ment s’il existe deux sous espaces fermés M et N de X tels que X = M ⊕ N et:

a) T (N ) ⊂ N et T|N est un op´erateur nilpotent,

b) T (M ) ⊂ M et T|M est un op´erateur de Fredholm.

Si A est une algèbre unitaire d’unité e, suivant la définition dans [38], on dira qu’un ´

elément x de A est Drazin-inversible s’il existe un élément b de A et un entier naturel k tels que:

xkbx = xk, bxb = b, xb = bx. (1.1)

Dans le cas d’un opérateur linéaire borné T sur un espace de Banach X, on sait que T est Drazin-inversible si et seulement s’il a une ascente et une descente finies.

La notion de Drazin-inversibilité joue un rôle important pour cette classe BF (X) des opérateurs B-Fredholm. En effet si on note F0(X) l’idéal des opérateurs de rang fini dans

L(X) et π : L(X) → L(X)/F0(X) la projection canonique, alors on a le r´esultat suivant:

Théorème 1.2.4 [9] : Soit T ∈ L(X), alors T est un opérateur B-Fredholm si et seule-ment si π(T ) est Drazin-inversible dans l’algèbre L(X)/F0(X).

Rappelons maintenant quelques propriétés de l’indice d’un opérateur ( voir [10] et [14]):

i) Si S, T, U, V sont des op´erateurs qui commutent entre eux, tels que: U S + V T = I et S, T ∈ BF (X), alors:

ST ∈ BF (X) et ind (ST ) = ind (S) + ind (T ).

ii) Si T ∈ BF (X) et n ∈ N∗, alors Tn ∈ BF (X) et ind (Tn_{) = n.ind (T ).}

iii) Si S, T ∈ BF (X), ST = T S et T − S est compact , alors ind (T ) = ind (S). iv) Si T ∈ BF (X), ST = T S, kT − Sk assez petit et T − S inversible, alors S est un op´erateur de Fredholm et ind (T ) = ind (S).

(17)

En particulier si Si T ∈ BF (X) et n ∈ N∗ assez grand, T − _n1I est un op´erateur de Fredholm et ind (T −_n1I) = ind (T ).

On a aussi la proposition suivante qui montre que la classe BF (X) est invariante par les perturbations de rang fini avec conservation de l’indice.

Proposition 1.2.5 [10]: Soit T ∈ L(X) un opérateur B-Fredholm et soit F un opérateur de rang fini dans L(X). Alors T +F est un opérateur B-Fredholm et ind(T +F ) = ind(T ).

Le spectre B-Fredholm σBF(T ) d’un op´erateur T ∈ L(X) est d´efini par:

σBF(T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un op´erateur B-Fredholm }.

Dans [6] il est d´emontr´e que:

a) σBF(T ) est ferm´e.

b) σBF(T ) est stable par les perturbations de rang fini.

c) σBF(T ) vérifie le théorème de l’application spectrale.

Définition 1.2.6 : Soit T ∈ L(X), T est un opérateur B-Weyl s’il est un opérateur B-Fredholm d’indice 0.

Le spectre B-Weyl σBW(T ) de T est d´efini par:

σBW(T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un op´erateur B-Weyl }.

Le spectre de Drazin de T est d´efini par:

σD(T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas Drazin-inversible }.

Remarquons que σD(T ) = σ(T ) − Π(T ), o`u Π(T ) est l’ensemble de tous les pˆoles de la

(18)

Rappelons les propriétés suivantes des opérateurs B-Fredholm et du spectre de Weyl pour un opérateur T ∈ L(X), démontrées dans [10]:

a) T est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0 si et seulement si T = T0⊕ T1, o`u

T0 est un op´erateur de Fredholm d’indice 0 et T1 est un op´erateur nilpotent.

b) Si 0 est isol´e dans le spectre σ(T ), alors T est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0 si et seulement si T est Drazin-inversible.

c) σBW(T ) =TF ∈F0(X)σD(T + F ),

où F0(X) désigne l’ensemble des opérateurs de rang fini sur X.

Soit E(T ) l’ensemble des valeurs propres isolées de T. On dit que T satisfait le théorème généralisé de Weyl si:

σBW(T ) = σ(T )\E(T ).

Dans [12, Theorem 3.9] M. Berkani et J.J. Koliha démontrent que si T satisfait le théorème généralisé de Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl. Dans ce même article ils démontrent que si T satisfait le théorème généralisé de Browder:

σBW(T ) = σ(T )\Π(T ),

alors il satisfait le th´eor`eme de Browder:

σW(T ) = σ(T )\Π0(T ),

où Π0(T ) est l’ensemble de tous les pôles de rang fini de la résolvante de T.

1.3 Les Op´

erateurs semi-B-Fredholm

Soit T ∈ L(X) et soit Tn la restriction de T `a R(Tn). S’il existe un entier naturel n tel

(19)

semi-B-Fredholm. T est un opérateur semi-B-Fredholm supérieur (Resp. inférieur) si Tn

est un opérateur semi-Fredholm supérieur (Resp. inférieur).

Si T est un opérateur semi-B-Fredholm et si d = dis(T ) est le degré d’itération stable de T ( voir définition 1.1.2) alors il résulte de [8, Proposition 2.1] que Tm est un opérateur

semi-Fredholm, et ind (Tm) = ind (Td), ∀m ≥ d. Ce qui permet de d´efinir l’indice d’un

opérateur semi-B-Fredholm T comme étant l’indice de l’opérateur semi-Fredholm Td.

Soit SBF+(X) la classe de tous les opérateurs semi-B-Fredholm supérieurs. On définit:

SBF₊−(X) = {T ∈ SBF+(X) : ind (T ) ≤ 0}. et σ_SBF− +(T ) = {λ ∈ C : T − λI /∈ SBF − +(X)}.

Soit Ea(T ) l’ensemble des valeurs propres de T isol´ees dans le spectre approximatif σa(T ).

Un opérateur T ∈ L(X) satisfait le théorème généralisé a-Weyl si:

σ_SBF−

+(T ) = σa(T ) \ E

a_{(T ),}

et il satisfait le théorème généralisé a-Browder si:

σ_SBF−

+(T ) = σa(T ) \ Π

a

(T ).

Dans [12] M. Berkani et J.J. Koliha ont etudié les différents théorèmes de Weyl et théorèmes de Browder et les implications possibles entre ces théorèmes, nous résumons les résultats (voir [12]) dans ce qui suit:

Soit T ∈ L(X) alors on a les propri´et´es suivantes:

1. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème généralisé a-Browder.

(20)

3. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème généralisé de Weyl.

4. Si T satisfait le théorème généralisé a-Browder alors il satisfait le théorème généralisé de Browder.

5. Si T satisfait le théorème généralisé de Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl.

6. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl.

7. Si T satisfait le théorème généralisé a-Weyl alors il satisfait le théorème a-Weyl.

8. Si T satisfait le théorème généralisé a-Browder alors il satisfait le théorème a-Browder.

(21)

Chapitre 2

Th´

eor`

eme G´

en´

eralis´

e de Weyl pour

un Op´

erateur Hyponormal et

Perturbations de Rang Fini

2.1 Introduction

Soit T un opérateur linéaire borné, le spectre B-Weyl σBW(T ) est défini comme étant

l’ensemble de tous les λ ∈ C tels que T − λI ne soit pas un opérateur B-Fredholm d’indice 0. Soit E(T ) l’ensemble de toutes les valeurs propres isolées de T. Dans la première partie de ce chapitre on va démontrer que si T est un opérateur hyponormal alors T satisfait le théorème généralisé de Weyl : σBW(T ) = σ(T )\E(T ),

et le spectre B-Weyl de T, σBW(T ) satisfait le th´eor`eme de l’application spectrale.

On démontre aussi que si T est un opérateur isoloide qui agit sur un espace de Banach X et satisfait le théorème généralisé de Weyl alors pour toute application f analytique dans un voisinage du spectre σ(T ) de T, f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl si et seulement si f (σBW(T )) = σBW(f (T )), et par suite si T est hyponormal agissant sur

un espace de Hilbert alors f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl.

Dans la deuxième partie on va considérer les perturbations de rang fini pour des opérateurs satisfaisant le théorème généralisé de Weyl (ou le théorème de Weyl). On

(22)

donnera une condition nécéssaire et suffisante pour que T +F vérifie le théorème généralisé de Weyl (ou le théorème de Weyl) lorsque T le satisfait et F et un opérateur de rang fini. A la fin de ce chapitre on donne un exemple d’un opérateur F de rang fini et un opérateur T satisfaisant le théorème généralisé de Weyl tel que T +F ne le satisfait pas; Cela permet de prouver que les perturbations de rang fini ne conservent pas en général la validité du théorème généralisé de Weyl. Cependant on va démontrer que cela est vrai pour un opérateur T isoloide ou quasi-nilpotent qui commute avec un opérateur F de rang fini.

2.2 Le th´

eor`

eme g´

en´

eralis´

e de Weyl pour un op´

erateur

hyponormal

Soit X un espace de Banach. Rappelons quelques d´efinitions utiles dans ce chapitre.

D´_{efinition 2.2.1 : : Soit T ∈ L(X) et n ∈ N posons : c}n(T ) = dim R(Tn)/R(Tn+1), et

c0_n(T ) = dim N (Tn+1)/N (Tn).

Alors la descente de T est d´efinie par:

δ(T ) = inf{n : cn(T ) = 0} = inf{n : R(Tn) = R(Tn+1)},

et l’ascente de T est d´efinie par:

a(T ) = inf{n : c0_n(T ) = 0} = inf{n : N (Tn_{) = N (T}n+1_{)}, avec inf ∅ = ∞}

Pour T ∈ L(X) on d´efinit le spectre B-Fredholm de T :

σBF(T ) = {λ ∈ C : T − λI n’est pas un op´erateur B-Fredholm }

et l’ensemble r´esolvant B-Fredholm par : ρBF(T ) = C \ σBF(T ) .

D´efinition 2.2.2 : Soit T ∈ L(X). On dira que T est d’indice de signe stable si pour tout λ, µ ∈ ρBF(T ), ind (T − λI) et ind (T − µI) ont le mˆeme signe.

(23)

Si H est un espace de Hilbert, rappelons la d´efinition d’un op´erateur hyponormal:

T ∈ L(H) est dit hyponormal si T∗T − T T∗ ≥ 0, où T∗ désigne l’opérateur adjoint de T.

Proposition 2.2.3 : Soit H un espace de Hilbert et T ∈ L(H) un op´erateur hyponormal. Alors T est d’indice de signe stable.

Preuve : Soit T un op´erateur hyponormal alors ∀x ∈ H on a kT xk2 _{≥ kT}∗_xk2_{. Donc}

N (T ) ⊂ N (T∗) = R(T )⊥. Puisque N (T2_{)/N (T ) ' N (T ) ∩ R(T ), alors N (T}2_{) = N (T ).}

De plus, si T est un opérateur B-Fredholm, il existe un entier naturel n tel que R(Tn) soit fermé et Tn : R(Tn) → R(Tn) un opérateur de Fredholm.

On a ind (T ) = ind (Tn) = dim(N (T )∩R(Tn))−dim R(Tn)/R(Tn+1) = − dim R(Tn)/R(Tn+1).

Donc ind (T ) ≤ 0.

D’autre part, si λ ∈ ρBF(T ) alors T − λI est un op´erateur B-Fredholm, et T − λI

est aussi un opérateur hyponormal. D’après ce qui précède on a ind (T − λI) ≤ 0. On en déduit que T est d’indice de signe stable. 2 Théorème 2.2.4 : Soit X un espace de Banach et T ∈ L(X) un opérateur d’indice de signe stable, soit f une fonction analytique sur un voisinage du spectre σ(T ) de T. Alors

f (σBW(T )) = σBW(f (T )).

Preuve : Si λ /∈ σBW(f (T )), alors f (T ) − λI est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0.

On peut ´ecrire

f (T ) − λI = (T − µ1I) · · · (T − µrI)g(T )

o`u µ1, . . . , µr sont des scalaires complexes et g une fonction analytique non nulle sur le

(24)

B-Fredholm, d’apr`es [6, Theorem 3.4] il r´esulte que pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, T − µiI est un

op´erateur B-Fredholm. D’autre part puisque ind (f (T ) − λI) = 0 et T d’indice de signe stable, alors d’apr`es [10, Theorem 3.2] on a pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, ind (T − µiI) = 0.

Donc pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, µi ∈ σ/ BW(T ).

Si λ ∈ f (σBW(T )), il existe µ ∈ σBW(T ) tel que λ = f (µ). Par suite

0 = f (µ) − λ = (µ − µ1) · · · (µ − µr)g(µ).

Ceci implique µ ∈ {µ1, . . . , µr}. Donc il existe i, 1 ≤ i ≤ r, tel que µi ∈ σBW(T ), et ceci

est contradictoire. D’o`u λ /∈ f (σBW(T )).

R´eciproquement supposons que λ /∈ f (σBW(T )). Si λ ∈ σBW(f (T )) alors λ ∈ σ(f (T )) =

f (σ(T )). Par suite il existe µ ∈ σ(T ) tel que λ = f (µ). On a :

f (T ) − λI = f (T ) − f (µ)I = (T − µ1I) · · · (T − µrI)g(T ),

o`u µ1, . . . , µr sont des scalaires complexes et g une fonction analytique non nulle sur le

spectre σ(T ) de T.

Puisque f (T )−λI n’est pas un opérateur B-Fredholm d’ indice 0, d’après [6, Theorem 3.4] et [10, Theorem 3.2] il existe α ∈ {µ1, . . . , µr} tel que T − αI n’est pas un opérateur

B-Fredholm d’ indice 0. Donc λ = f (α) et λ ∈ f (σBW(T )).

Ceci contredit notre hypothèse et par conséquent, λ /∈ σBW(f (T )) d’où:

f (σBW(T )) = σBW(f (T )).

2 Un op´erateur hyponormal ´etant d’indice de signe stable [Proposition 2.2.3], on obtient le corollaire suivant:

(25)

Corollaire 2.2.5 : Soit Hun espace de Hilbert, soit T ∈ L(H) un op´erateur hyponormal et soit f est une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(T ) de T. Alors

f (σBW(T )) = σBW(f (T )).

Dans [6, Theorem 4.5] il a été démontré qu’un opérateur normal T sur un espace de Hilbert satisfait le théorème généralisé de Weyl, σBW(T ) = σ(T )\E(T ). Dans le théorème

qui suit nous allons étendre ce résultat au cas d’un opérateur hyponormal.

Théorème 2.2.6 : Soit H un espace de Hilbert. Si T ∈ L(H) est un opérateur hyponor-mal alors T satisfait le théorème généralisé de Weyl:

σBW(T ) = σ(T )\E(T ).

Preuve : Si λ ∈ σ(T ) et λ /∈ σBW(T ), alors T − λI est un op´erateur B-Fredholm

d’indice 0. D’après [6, Lemma 4.1] , il existe deux sous-espaces fermés M, N de H tels que H = M ⊕ N et T − λI = U ⊕ V avec U = (T − λI)|M un opérateur de Fredholm

d’indice 0 et V = (T − λI)|N un op´erateur nilpotent.

Soient S = T|M et IM = I|M. Puisque T est un op´erateur hyponormal , alors S est aussi

un op´erateur hyponormal et S − λIM = U est un op´erateur de Fredholm d’indice 0.

Si λ ∈ σ(S), S étant un opérateur hyponormal , d’après [18, Theorem 3.1] on a : σW(S) = σ(S)\ E0(S).

Puisque λ /∈ σW(S) on a λ ∈ E0(S). En particulier λ est isol´e dans σ(S). Du fait que

T − λI = U ⊕ V = (S − λIM) ⊕ V,

et V est un op´erateur nilpotent, on a :

(26)

Par suite 0 est isolé dans σ(T − λI) ou d’une manière équivalente λ est isolé dans σ(T ). Puisque λ ∈ E0(T ) alors λ ∈ E(T ).

Si λ /∈ σ(S), alors T − λI est Drazin-inversible. Donc λ est isol´e dans σ(T ). Puisque T − λI n’est pas inversible , on a λ ∈ E(T ).

R´eciproquement si λ ∈ E(T ), alors λ est isol´e dans σ(T ).

D’après [25, Théorème 7.1] on a X = M ⊕ N, où M, N sont deux sous espaces fermés de X, U = (T − λI)|M est un opérateur inversible et V = (T − λI)|N un opérateur

quasi-nilpotent. Puisque T est un opérateur hyponormal, alors V est aussi un opérateur hyponormal. Comme V est quasi-nilpotent, de [39, Theorem 5.1, Chapter XI] on a V = 0. Par suite T − λI est Drazin-inversible. D’après [10, Lemma 4.1] T − λI est un opérateur

B-Fredholm d’indice 0. 2

Considérons un espace de Hilbert H, un opérateur T ∈ L(H), et une fonction analy-tique f dans un voisinage du spectre σ(T ) de T. Dans [32], il est démontré que si T est un opérateur hyponormal alors f (T ) satisfait le théorème de Weyl. Nous allons montrer dans ce qui suit que f (T ) satisfait aussi le théorème généralisé de Weyl. Auparavant nous donnons le lemme suivant.

Lemme 2.2.7 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X). Alors

σ(f (T ))\E(f (T )) ⊂ f [σ(T )\E(T )].

Preuve : Si λ ∈ σ(f (T ))\E(f (T )) alors λ ∈ σ(f (T )) = f (σ(T )).

(a) si λ n’est pas isol´e dans f (σ(T )), alors il existe suite infinie (µn)_n∈_N ⊂ σ(T ) telle

que f (µn) → λ. Comme σ(T ) est compact, on peut supposer que (µn)_n∈_N converge vers

µ0 dans σ(T ). On en d´eduit que µ0 n’est pas isol´e dans σ(T ) et λ = f (µ0) . Donc

(27)

(b) Supposons maintenant que λ est isol´e dans f (σ(T )). Alors λ /∈ E(f (T )), et λ n’est pas une valeur propre de f (T ). On peut ´ecrire :

f (T ) − λI = (T − µ1I) · · · (T − µrI)g(T )

o`u µ1, . . . , µr sont des scalaires complexes et g(T ) est un op´erateur inversible. Comme

λ /∈ E(f (T )), alors pour tout µ ∈ {µ1, . . . , µr}, µ n’est pas une valeur propre de T.

Puisque f (T ) − λI n’est pas inversible, il existe µ ∈ {µ1, . . . , µr} tel que T − µI n’est pas

inversible. Donc f (µ) = λ et λ ∈ f [σ(T )\E(T )]. 2

Définition 2.2.8 [36]: Soit X un espace de Banach . Un opérateur T ∈ L(X) est dit isoloide si iso σ(T ) ⊆ E(T ), où iso σ(T ) est l’ensemble de tous les élements isolés dans σ(T ).

Lemme 2.2.9 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T est isoloide, alors :

σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].

Preuve : Montrons que f [σ(T )\E(T )] ⊂ σ(f (T ))\E(f (T )). Si λ ∈ σ(f (T )) ∩ E(f (T )), ´ecrivons:

f (T ) − λI = (T − µ1I)m1· · · (T − µrI)mrg(T ),

o`u m1, . . . , mr sont des entiers, µ1, . . . , µr sont des scalaires complexes, g(T ) est un

op´erateur inversible , et µi 6= µj pour i 6= j.

Puisque f (T )−λI n’est pas inversible, il existe µ ∈ {µ1, . . . , µr} tel que µ ∈ σ(T ). Comme

λ est isol´e dans σ(f (T )), µ est isol´e dans σ(T ). Donc λ = f (µ) /∈ f [σ(T )\E(T )]. Par suite,

(28)

Selon le lemme 2.2.7 on sait que σ(f (T ))\E(f (T )) ⊂ f [σ(T )\E(T )]. D’où l’égalité:

σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].

2

Théorème 2.2.10 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X) un opérateur isoloide qui satisfait le théorème généralisé de Weyl, soit f une fonction analytique dans un voisi-nage du spectre σ(T ) de T. Alors f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl si et seulement si :

f (σBW(T )) = σBW(f (T )).

Preuve : Puisque T est un op´erateur isoloide on a

σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].

De plus , comme T satisfait le théorème généralisé de Weyl, alors :

σBW(T ) = σ(T )\E(T ).

Donc

f (σBW(T )) = f [σ(T )\E(T )] = σ(f (T ))\E(f (T )).

Par conséquent f (T ) satisfait le le théorème généralisé de Weyl si et seulement si :

f (σBW(T )) = σBW(f (T )).

(29)

Corollaire 2.2.11 : Soit H un espace de Hilbert , soit T ∈ L(H) un opérateur hyponor-mal et soit f une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(T ) de T. Alors f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl

σBW(f (T )) = σ(f (T ))\E(f (T )).

Preuve : Un opérateur hyponormal sur un espace de Hilbert satisfait le théorème généralisé de Weyl, et on sait qu’un opérateur hyponormal est isoloide. D’après le théorème 2.2.4, on a :

σBW(f (T )) = f (σBW(T )).

Du théorème 2.2.10, il résulte que f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl. 2

2.3 Perturbations de rang fini et th´

eor`

eme g´

en´

eralis´

e

de Weyl

Dans cette partie on considère un opérateur T satisfaisant le théorème généralisé de Weyl et un opérateur de rang fini F qui commute avec T. Nous donnons une condition nécéssaire et suffisante pour que T + F vérifie le théorème généralisé de Weyl. Nous obtenons aussi des résultats similaires comme ceux obtenus dans le cas du théorème de Weyl dans [24], [31] et [36]. On commence avec le cas du théorème de Weyl et on donne une amélioration d’un théorème de K.K. Oberai [36, Theorem 4].

Théorème 2.3.1 : Soit X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T satisfait le théorème de Weyl et F est un opérateur de rang fini dans L(X), alors T + F satisfait le théorème de Weyl si et seulement si :

(30)

Preuve : Si T + F satisfait le théorème de Weyl alors d’après [5, Corollary 5], on a

Π0(T + F ) = E0(T + F ).

Réciproquement si on a Π0(T + F ) = E0(T + F ), comme T satisfait le théorème de Weyl,

alors de [5, Corollary 5] on obtient E0(T ) = Π0(T ). Puisque F est un op´erateur de rang

fini, d’apr´es [10, Theorem 4.3] on a σW(T + F ) = σW(T ). Si F commute avec T, on a

aussi σB(T + F ) = σB(T ), o`u σB(T ) est le spectre de Browder de T (voir [5]). Puisque T

satisfait le th´eor`eme de Weyl, alors

σW(T + F ) = σW(T ) = σB(T ) = σB(T + F ).

Comme on a Π0(T + F ) = E0(T + F ), alors de [5, Corollary 5], T + F satisfait le th´eor`eme

de Weyl.

Si F ne commute pas avec T, alors on utilise le mˆeme argument utilis´e par K.K. Oberai

dans [36, Theorem 4]. 2

Théorème 2.3.2 : Soit X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T satisfait le théorème généralisé de Weyl et F est un opérateur de rang fini dans L(X) qui commute avec T, alors T + F satisfait le théorème généralisé de Weyl si et seulement si :

Π(T + F ) = E(T + F ).

Preuve : Si T + F satisfait le théorème généralisé de Weyl, alors de [11, Corollary 2.6], on a Π(T + F ) = E(T + F ).

R´eciproquement supposons Π(T + F ) = E(T + F ).

Comme on a T qui vérifie le théorème généralisé de Weyl, alors:

(31)

Puisque F est un op´erateur de rang fini, d’apr`es [10, Theorem 4.3] on a :

σBW(T ) = σBW(T + F ).

Du fait que F commute avec T, de [11, Theorem 2.7] on obtient:

σD(T ) = σD(T + F )

d’o`u

σBW(T + F ) = σD(T + F ).

Puisque Π(T +F ) = E(T +F ), alors d’après [11, Corollary 2.6] T +F satisfait le théorème

généralisé de Weyl. 2

Dans ce qui suit, nous donnons un lemme qui est utile pour d´emontrer les r´esultats qui vont suivre.

Lemme 2.3.3 [31, Lemma 2.1]: Soit T ∈ L(X). Si F ∈ L(X) est un op´erateur de rang fini, alors

dim N (T ) < ∞ ⇐⇒ dim N (T + F ) < ∞.

De plus, si F commute avec T, alors

λ ∈ acc σ(T ) ⇐⇒ λ ∈ acc σ(T + F ),

o`u acc σ(T ) est l’ensemble des points d’accumulation de σ(T ).

Théorème 2.3.4 : Soient T ∈ L(X) un opérateur isoloide et F ∈ L(X) un opérateur de rang fini qui commute avec T. Si T satisfait le théorème généralisé de Weyl, alors T + F satisfait le théorème généralisé de Weyl.

(32)

Preuve : Comme conséquence du théorème 2.3.2 il suffit de démontrer que

Π(T + F ) = E(T + F ).

Puisque Π(T + F ) ⊂ E(T + F ) est toujours vrai, on va simplement montrer que:

Π(T + F ) ⊃ E(T + F ).

Si λ ∈ E(T + F ), alors λ est isolé dans σ(T + F ) et selon le lemme 2.3.3, λ est isolé dans σ(T ). T étant isoloide λ ∈ E(T ), et puisque T satisfait le théorème généralisé de Weyl, on a E(T ) = Π(T ) et λ ∈ Π(T ).

Finalement comme Π(T ) = Π(T + F ) on a λ ∈ Π(T + F ). 2

Remarques 2.3.5 : Soit T ∈ L(X), si T n’a pas de valeurs propres, alors T satisfait le théorème généralisé de Weyl.

Pour le montrer, soit λ ∈ σ(T ) ; pour simplifier on peut supposer que λ = 0. Si 0 /∈ σBW(T ), alors T est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0. Donc il existe un entier naturel

n, tel que R(Tn_{) soit ferm´}_{e et}

ind (T ) = ind (Tn) = dim(N (T ) ∩ R(Tn)) − dim R(Tn)/R(Tn+1) = 0.

Puisque N (T ) = 0, alors

R(Tn) = R(Tn+1)

et par suite X = R(T ). Ainsi T est inversible et ceci est une contradiction avec notre hypoth`ese. Donc

σBW(T ) = σ(T )

(33)

Proposition 2.3.6 : Soient X un espace de Banach et T ∈ L(X). Si T satisfait le théorème généralisé de Weyl et N est un opérateur nilpotent de rang fini dans L(X) qui commute avec T.

Alors T + N satisfait le théorème généralisé de Weyl.

Preuve : Montrons que si λ est une valeur propre de T alors λ est aussi une valeur propre de T + N. Pour simplifier on peut supposer que λ = 0. Donc il existe x 6= 0 et m ∈ N∗ tels que T (x) = 0 et Nm _{= 0. On a :} (T + N )m(x) = m X k=0 C_mk TkNm−k(x) = 0.

Ainsi il existe p ∈ N, p ≤ m tel que :

(T + N )p(x) 6= 0 et (T + N )(T + N )p(x) = 0.

Donc 0 est une valeur propre de T + N et E(T ) ⊂ E(T + N ). Par sym´etrie on obtient

E(T ) = E(T + N ).

Si λ /∈ σBW(T ) alors T − λI est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0. Alors d’apr`es [10,

Proposition 3.3] , puisque N est de rang fini T +N −λI est aussi un op´erateur B-Fredholm d’indice 0. Par suite λ /∈ σBW(T + N ). Par sym´etrie on a

σBW(T + N ) = σBW(T ).

Puisque σ(T + N ) = σ(T ), alors T + N satisfait le théorème généralisé de Weyl. 2 Exemple 2: [36, Example 2]

Soient H = `2 , T et N les op´erateurs de L(H) d´efinis par :

T (x1, x2, x3, . . .) = (0,

1 2x1,

1

(34)

et

N (x1, x2, x3, . . .) = (0, −

1

2x1, 0, 0, . . .).

Puisque T n’a pas de valeur propre, de la Remarque 2.3.5 on déduit que T satisfait le théorème généralisé de Weyl. Par suite de [12, Theorem 3.9] T satisfait aussi le théorème de Weyl. D’autre part N est un opérateur nilpotent de rang fini. Mais d’après [36, Example 2], l’opérateur T + N ne vérifie pas le théorème de Weyl et donc d’après [12, Theorem 3.9] il ne vérifie pas le théorème généralisé de Weyl .

Cet exemple montre que la proposition 2.3.6 n’est pas v´erifi´ee si N ne commute pas avec T.

Remarques 2.3.7 : Soit T ∈ L(X) un op´erateur quasi-nilpotent et F ∈ L(X) un op´erateur de rang fini qui commute avec T.

Si T est injectif alors F est nilpotent.

En effet, sous ces conditions, T F est un op´erateur quasi-nilpotent de rang fini, par suite T F est un op´erateur nilpotent.

Comme T est injectif, alors F est aussi un op´erateur nilpotent .

Théorème 2.3.8 : Soit T ∈ L(X) un opérateur quasi-nilpotent et F ∈ L(X) un opérateur de rang fini qui commute avec T.

Si T vérifie le théorème généralisé de Weyl, alors T + F vérifie le théorème généralisé de Weyl.

Preuve: Si T est injectif alors d’après la remarque 2.3.7, F est un opérateur nilpotent et donc le résultat est une conséquence de la proposition 2.3.6.

Si T n’est pas injectif, alors puisque T satisfait le théorème généralisé de Weyl , il vient d’après [12, Theorem 3.9 ], que T satisfait le théorème de Weyl. Donc

(35)

Comme T est un op´erateur quasi-nilpotent, alors σW(T ) = {0}.

Par suite E0(T ) = ∅ et puisque T n’est pas injectif on a dim N (T ) = ∞.

Ceci implique d’apr`es le lemme 2.3.3 que dim N (T + F ) = ∞. On peut voir facilement que

σ(T + F ) = σ(F ) = {0, λ1, . . . , λk},

où les λi, {i = 1, . . . , k}, sont les éléments non nuls du spectre de F s’ils existent.

On a aussi : E(T + F ) = {0, λ1, . . . , λk}. Puisque σBW(T ) = σBW(T + F ) et σBW(T ) = σ(T ) \ E(T ) = ∅ on a : σBW(T + F ) = σ(T + F ) \ E(T + F ). 2 Lemme 2.3.9 : Soient T ∈ L(X), et M, N deux sous-espaces ferm´es de X tels que

X = M ⊕ N.

Soient U = T|M et V = T|N.

Si T est un op´erateur B-Fredholm, alors U et V sont aussi des op´erateurs B-Fredholm.

Preuve: Montrons que V est un op´erateur B-Fredholm .

Soit P la projection de X sur N parallèlement à M. Il est clair que P est un opérateur B-Fredholm , et qui commute avec T. Alors d’après [9, Corollary 3.5], T P est un opérateur B-Fredholm. En conséquence il existe un entier naturel n tel que R((T P )n) soit fermé et

(36)

soit un op´erateur de Fredholm . Puisque

R((T P )n) = R(Vn) et (T P )n= Vn,

alors V est un opérateur B-Fredholm . 2 Exemple 3: Soit S un opérateur quasi-nilpotent injectif qui n’est pas nilpotent sur l’espace de Hilbert `2 . on définit T sur `2⊕ `2 par :

T = I ⊕ S,

o`u I est l’identit´e sur `2. On peut voir facilement que:

σ(T ) = {0, 1} et E(T ) = {1}.

Montrons que σBW(T ) = {0}.

On a

T − (I ⊕ I) = 0 ⊕ (S − I)

et puisque S − I est un op´erateur inversible, T − (I ⊕ I) est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0, et 1 /∈ σBW(T ).

Supposons que T est un opérateur B-Fredholm . Alors d’après le lemme 2.3.9, S est un opérateur B-Fredholm . D’après [6, Theorem 2.7], il existe deux sous espaces fermés S-invariants de `2 , M et N tels que

`2 = M ⊕ N et S = U ⊕ V,

o`u U = S|M est nilpotent et V = S|N est inversible.

Si m est un entier naturel assez grand on a Um _{= 0 et}

(37)

Donc

σ(Vm) ⊂ σ(Sm) = {0}.

Mais puisque V est inversible, on a N = 0 et par suite S = U est nilpotent, ce qui contredit l’hypoth`ese faite sur S. Par cons´equent:

σBW(T ) = {0} et σBW(T ) = σ(T )\E(T ).

Donc T satisfait le théorème généralisé de Weyl. On définit l’opérateur K sur `2 par :

K(x1, x2, . . .) = (−x1, 0, 0, . . .)

et

F = K ⊕ 0 sur `2⊕ `2.

Alors F est un op´erateur de rang fini et on a:

σ(T + F ) = {0, 1} et E(T + F ) = {0, 1}.

Comme on a :

σBW(T + F ) = σBW(T ) = {0},

(38)

Chapitre 3

Propri´

et´

es B-Fredholm et Spectrales

des Multiplicateurs dans les

Alg`

ebres de Banach

On étudie principalement dans ce chapitre les propriétés B-Fredholm et spectrales d’un opérateur multiplicateur T agissant sur une algèbre de Banach taubérienne commutative semi-simple régulière A. On montre que T est un opérateur B-Fredholm si et seulement si T est un opérateur semi B-Fredholm, et dans ce cas on obtient l’indice de T, ind (T ) = 0. Dans la suite on donne quelques propriétés spectrales des multiplicateurs.

Une application des premiers résultats obtenus nous permettra de montrer que l’opérateur de multiplication Ta par un élement a d’une C∗-algèbre A régulière commutative est un

opérateur B-Fredholm si et seulement si a est Drazin-inversible dans A. Les théorèmes de l’application spectrale pour le spectre de Weyl ou B-Weyl d’un multiplicateur sont aussi considérés dans ce chapitre. On montre aussi que le théorème de Weyl et le théorème généralisé de Weyl sont valables pour un multiplicateur. Enfin on donne des conditions suffisantes pour qu’un multiplicateur soit le produit d’un opérateur inversible et d’un idempotent.

(39)

3.1 Introduction

soit A une algèbre de Banach semi-simple commutative et soit ∆(A) l’espace des formes linéaires multiplicatives sur A muni de la topologie faible* du dual de A. Alors A est dite régulière si deux sous ensembles compacts disjoints quelconques de ∆(A) peuvent être séparés par des éléments de A.

A est dite taubérienne si l’idéal de A formé de tous les éléments dont la transformée de Gelfand a un support compact est dense dans A pour la topologie de la norme.

D´efinition 3.1.1 : Un multiplicateur T sur A est une application T : A → A telle que :

aT (b) = T (a)b ∀a, b ∈ A.

Nous donnons dans ce chapitre quelques propriétés B-Fredholm spécifiques pour un opérateur multiplicateur T agissant sur une algèbre de Banach semi-simple commutative regulière taubérienne dans un contexte général des propriétés des opérateurs B-Fredholm introduits par M. Berkani dans [6].

3.2 Propri´

et´

es B-Fredholm des multiplicateurs

Il est démontré dans [3, Theorem 4.4] que si T est un opérateur multiplicateur sur une algèbre de Banach semi-simple commutative régulière taubérienne, alors T est un opérateur semi-Fredholm si et seulement si T est un opérateur de Fredholm . De plus, dans ce cas T est d’indice 0.

Le corollaire du théorème qui suit donne un résultat similaire pour les opérateurs B-Fredholm multiplicateurs.

(40)

Théorème 3.2.1 : soient A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative taubérienne et T un multiplicateur sur A.

Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes: i) A = N (T )L

R(T ).

ii)Il existe un entier n > 1 tel que R(Tn) soit ferm´e . iii) R(T2_{) est ferm´}_e.

iv) Pour tout n > 1, R(Tn_{) est ferm´}_e.

Preuve : D’apr`es [3, Theorem 4.2], on a i) ⇔ iii) ; Les implications iv) ⇒ iii) ⇒ ii) sont ´evidentes .

Montrons que ii) ⇒ iv) :

Si R(Tn) est fermé pour un entier n > 1, alors R(Tn−1) + N (T ) est fermé . Puisque un multiplicateur T admet une ascente a(T ) ≤ 1, alors d’après un résultat de Grabiner [21, Theorem 3.2] on conclut que R(Tn_{) + N (T}m_{) est ferm´}_{e ∀n > 1, ∀m ≥ 0. Donc R(T}n_{) est}

ferm´e ∀n > 1. 2

Comme corollaire on obtient le r´esultat suivant :

Corollaire 3.2.2 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative taubérienne et soit T un multiplicateur sur A. Alors les conditions suivantes sont équivalentes: i) T est un opérateur semi B-Fredholm supérieur sur A.

ii) T est un opérateur semi B-Fredholm inférieur sur A. iii) T est un opérateur B-Fredholm d’indice 0.

iv) T est Drazin-inversible.

v) Il existe un entier naturel n tel que R(T2n_{) soit ferm´}_e.

(41)

Il est clair que iii) implique i) et ii). Montrons que i) implique iii).

Supposons que T ∈ SBF+(A), alors il existe un entier naturel n ∈ N∗ tel que R(Tn) soit

ferm´e et

Tn: R(Tn) −→ R(Tn)

soit un op´erateur semi-Fredholm sup´erieur . Donc R(T2n_{) est ferm´}_{e et puisque T}n _est

aussi un multiplicateur, alors d’après le théorème 3.2.1 on a :

R(Tn) ⊕ N (Tn) = A.

Par suite on a R(Tn) = R(T2n), R(Tn) est fermé et T est Drazin-inversible. D’après [10, lemma 4.1] T est aussi un opérateur B-Fredholm d’indice 0.

D’une mani`ere similaire on peut montrer ais´ement que ii) implique iii).

Pour montrer que iii) et iv) sont équivalentes, tenant compte de [10, Theorem 4.2 ] où il est démontré qu’un opérateur Drazin-inversible est toujours un opérateur B-Fredholm d’indice 0, il suffit de montrer que iv) implique iii).

Supposons qu’un multiplicateur T est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0, alors il existe un entier naturel n ∈ N∗ tel que R(Tn_{) soit ferm´}_{e et T}

n: R(Tn) −→ R(Tn) soit un

opérateur de Fredholm. Donc R(T2n) est fermé, et puisque Tnest aussi un multiplicateur, alors d’après le théorème 3.2.1 on a :

R(Tn) ⊕ N (Tn) = A.

Il en r´esulte que R(Tn) = R(T2n), R(Tn) est ferm´e et T est Drazin-inversible.

Le fait que iv) et v) soient ´equivalentes est une cons´equence directe de [3, Theorem 4.2]. 2

(42)

Corollaire 3.2.3 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative taubérienne. On suppose que l’espace des caractères ∆(A) est connexe.

Soit T un op´erateur multiplicateur non nul sur A. Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes :

i) T est un op´erateur semi-B-Fredholm

ii) Il existe un entier naturel n tel que R(T2n_{) soit ferm´}_e

iii) T est Drazin-inversible iv) T est inversible

Preuve : Il suffit de montrer que si T est Drazin-inversible, alors T est inversible. Si T est Drazin-inversible, alors il existe un entier naturel n tel que :

A = R(Tn) ⊕ N (Tn).

Si N (Tn_{) 6= {0}, alors 0 est isol´}_{e dans le spectre de T, ce qui est une contradiction avec}

l’hypoth`ese : ∆(A) est connexe. Par suite Tn_{est inversible et donc T est aussi inversible.}

2

Exemple 3.2.4 : Soit A une C∗-algèbre commutative régulière. Si a ∈ A, considérons l’opérateur de multiplication par a, Ta.

Si a est Drazin-inversible, et si b est son inverse de Drazin, alors Ta est Drazin-inversible

et Tb est son inverse de Drazin. Par suite Ta est un op´erateur B-Fredholm.

Réciproquement supposons que Ta soit un opérateur B-Fredholm. D’après le corollaire

3.2.2, on sait que Ta est Drazin-inversible. En particulier il existe un entier naturel n tel

que R((Ta)n) = anA soit fermé. De [23, Théorème 8], il résulte que an possède un inverse

(43)

∃c ∈ A tel que ancan = an, canc = c.

Puisque A est commutative on en déduit que anest Drazin-inversible. D’après [9, Theorem 2.3] il résulte que a est aussi Drazin-inversible.

En conclusion on voit que l’op´erateur Ta est un op´erateur B-Fredholm si et seulement si

a est Drazin-inversible.

Soit M (A) la sous-algèbre fermée de L(A) formée de tous les opérateurs multiplicateurs sur A.

Il est démontré dans [3, Théorème 4.4 ] que

ΦM(A) = Φ(A) ∩ M (A),

o`u Φ(A) est l’ensemble des op´erateurs de Fredholm dans L(A), et ΦM(A) est l’ensemble de

tous les opérateurs multiplicateurs sur A qui sont inversibles modulo les multiplicateurs compacts sur A. Dans la proposition suivante on donne un résultat similaire pour les opérateurs B-Fredholm.

Proposition 3.2.5 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commuta-tive taubérienne, soit BF (A) l’ensemble des opérateurs B-Fredholm dans L(A), et soit [BF ]M(A) l’ensemble de tous les opérateurs multiplicateurs sur A qui sont Drazin-inversibles

modulo les op´erateurs multiplicateurs de rang fini sur A. Alors on a :

[BF ]M(A) = BF (A) ∩ M (A).

Preuve : Soit T ∈ [BF ]M(A), alors T est un op´erateur B-Fredholm.

Puisque T est aussi un multiplicateur, alors

(44)

Réciproquement, supposons que T ∈ BF (A) ∩ M (A). Comme conséquence du corol-laire 3.2.2, il résulte que T est Drazin-inversible. Soit S son inverse de Drazin. D’après [28, Théorème 5], on sait que S est un multiplicateur. Par suite on a T ∈ [BF ]M(A) et

donc:

[BF ]M(A) = BF (A) ∩ M (A).

2

3.3 Propri´

et´

es spectrales des multiplicateurs

Rappelons que T ∈ L(A) est d’indice de signe stable si: Pour tous λ, µ ∈ C, tels que (T − λI) et (T − µI) soient des op´erateurs B-Fredholm alors ind (T − λI) et ind (T − µI) sont de mˆeme signe.

Si T est un multiplicateur sur une alg`ebre semi-simple, alors on peut voir ais´ement que N (T ) = N (T2_{) et donc T a une ascente finie. Par suite si un multiplicateur T est}

un opérateur B-Fredholm, alors d’après la définition de l’indice [6, Definition 2.3] on a ind (T ) ≤ 0. Soit λ ∈ C quelconque, supposons que (T −λI) soit un opérateur B-Fredholm. Puisque (T − λI) est aussi un multiplicateur, alors ind (T − λI) ≤ 0.

Donc tout op´erateur multiplicateur est d’indice de signe stable.

Proposition 3.3.1 Soit A une alg`ebre de Banach semi-simple et soit T un multiplicateur sur A. Alors on a:

i) σW(T ) = σB(T ),

ii) σBW(T ) = σD(T ).

(45)

La première égalité est démontrée dans [1, Theorem 2.2].

Pour la deuxième égalité, observons que d’après [2, Theorem 4.32] l’ ascente a(T − λI) est finie pour tout λ ∈ C. Donc T satisfait la propriété de l’extension unique ( S.V.E.P). Par suite d’après [15, Theorem 3.3], on a σBW(T ) = σD(T ).

En fait d’après [2] l’hypothèse A semi-simple peut être affaiblie en supposant simplement A semi-primaire.

2 Théorème 3.3.2 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple. Si T est un multiplicateur sur A et f est une fonction analytique dans un voisinage du spectre σ(T ), non constante sur les composantes connexes de σ(T ), alors on a:

i) σB(f (T )) = f (σB(T )) = f (σW(T )) = σW(f (T )),

o`u σB(T ) = {λ ∈ C | (T − λI) n’est pas un op´erateur de Fredholm avec ascente et descente

finies } est le spectre de Browder de T.

ii) σD(f (T )) = f (σD(T )) = f (σBW(T )) = σBW(f (T )).

Preuve :

i) D’apr`es la proposition 3.3.1 on sait que σB(T ) = σW(T ).

Si f est une fonction analytique sur un voisinage de σ(T ), alors d’après le théorème de l’application spectrale pour le spectre de Browder [22, Theorem 4] on a :

σB(f (T )) = f (σB(T )).

D’o`u :

σB(f (T )) = f (σB(T )) = f (σW(T )).

Mais comme un multiplicateur est un op´erateur d’indice de signe stable, on obtient de [44, Theorem 2]

(46)

Donc :

σB(f (T )) = f (σB(T )) = f (σW(T )) = σW(f (T ))

ii) De mani`ere similaire, il r´esulte de la proposition 3.3.1 que:

σD(T ) = σBW(T ).

d’après le théorème de l’application spectrale pour le spectre de Drazin [9, Corollary 2.4] on a:

σD(f (T )) = f (σD(T )).

Puisque un multiplicateur est un opérateur d’indice de signe stable, d’après le théorème 2.2.4 du chapitre 2, on a:

f (σBW(T )) = σBW(f (T )).

Par suite

σBW(f (T )) = f (σBW(T )) = f (σD(T )) = σD(f (T )).

2 Proposition 3.3.3 : Soient A une algèbre de Banach semi-simple regulière commutative taubérienne et T un opérateur multiplicateur sur A. Alors on a :

i) σ(T ) = σa(T ),

ii) σSF+(T ) = σSF₊−(T ),

iii) σSBF+(T ) = σSBF₊−(T ).

Preuve : Soit T un multiplicateur sur A, nous avons dej`a vu que si T est un op´erateur semi-B-Fredholm alors ind (T ) ≤ 0.

Supposons que λ /∈ σa(T ), alors (T − λI)A est ferm´e et N (T − λI) = {0}.

D’apr`es [3, Theorem 4.2], on a : (T − λI)A = A. Donc λ /∈ σ(T ), et σ(T ) ⊂ σa(T ).

(47)

Supposons que λ /∈ σSF+(T ), alors T − λI est un op´erateur semi-Fredholm sup´erieur.

Puisque T − λI est un multiplicateur, alors ind (T − λI) ≤ 0, et λ /∈ σ_SF−

+(T ). Donc

σSF+(T ) = σSF₊−(T ).

De mani`ere similaire on peut montrer que:

σSBF+(T ) = σSBF₊−(T ).

2 Comme cons´equence de cette proposition nous pouvons donner le corollaire suivant.

Corollaire 3.3.4 : soit A une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative taubérienne et T un opérateur multiplicateur sur A. Alors :

i) E(T ) = Ea_{(T ),}

ii) E0(T ) = E0a(T ),

ii) Π(T ) = Πa_{(T ),}

iv) Π0(T ) = Πa0(T ).

Preuve : Les relations i) et ii) sont une conséquence directe de la proposition précédente. Montrons que:

Π(T ) = Πa(T ).

Il est clair d’après la définition d’un pôle à gauche ( voir chapitre 1) que :

Π(T ) ⊂ Πa(T ).

Supposons maintenant que λ ∈ Πa_{(T ).}

Sans perdre de généralité on peut admettre que λ = 0, ce qui implique que T ∈ LD(A) = {T ∈ L(A) : a(T ) < ∞ et R(Ta(T )+1_{) est ferm´}_{e }.}

(48)

D’o`u a(T ) < ∞ et R(Ta(T )+1_{) est ferm´}_e.

D’apr`es [35, Lemma 12] R(Tm) est ferm´e pour tout m > a(T ) + 1. Comme on a naturellement :

N (Ta(T )+2)

N (Ta(T )+1₎ ≈ N (T ) ∩ R(T

a(T )+1_{) ,}

alors Ta(T )+1 est un op´erateur injectif, dont l’espace image est ferm´e.

En particulier Ta(T )+1 est un op´erateur semi-Fredholm sup´erieur.

Par conséquent T est un opérateur semi-B-Fredholm. D’après le corollaire 3.2.2 il résulte que T est Drazin-inversible et donc 0 est un pôle de la résolvante de T.

Donc Π(T ) = Πa(T ), et par suite Π0(T ) = Πa0(T ). 2

Rappelons quelques définitions des différents théorèmes de Weyl:

D´efinition 3.3.5 Si X est un espace de Banach. soit T ∈ L(X), on dira que :

1. T satisfait le th´eor`eme de Weyl si : σW(T ) = σ(T ) \ E0(T ).

2. T satisfait le théorème généralisé de Weyl si : σBW(T ) = σ(T ) \ E(T ).

3. T satisfait le th´eor`eme a-Weyl si : σ_SF−

+(T ) = σa(T ) \ E

a 0(T ).

4. T satisfait le théorème généralisé a-Weyl si : σ_SBF−

+(T ) = σa(T ) \ E

(49)

Il résulte de la proposition 3.3.3 et du corollaire 3.3.4 que pour un opérateur multiplica-teur agissant sur une algèbre de Banach semi-simple régulière commutative taubérienne il y a équivalence entre le théorème de Weyl et le théorème a-Weyl et la même chose entre le théorème généralisé de Weyl et le théorème généralisé a-Weyl. En général ces équivalences ne sont pas vraies pour un opérateur quelconque. Dans ce qui suit nous donnons quelques lemmes qui vont nous permettre de montrer qu’un multiplicateur T (agissant sur une algèbre de Banach semi-simple A) ainsi que f (T ) vérifient le théorème généralisé de Weyl et donc d’après [12, Theorem 3.9 et Theorem 3.11] ils vérifient aussi tous les théorèmes de Weyl et a-Weyl cités dans la définition 3.3.5, si A est de plus régulière commutative taubérienne; (f étant une fonction analytique sur un voisinage du spectre σ(T ) ).

Rappelons qu’un opérateur T ∈ L(X) est dit isoloide si iso σ(T ) ⊆ E(T ) où iso σ(T ) est l’ensemble des points isolés dans σ(T ).

On sait d’apr`es le lemme 2.2.9 du chapitre 2 que si T ∈ L(X) est isoloide alors

σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].

Lemme 3.3.6 : [2, Theorem 4.36] Soit A une algèbre de Banach semi-simple et T un opérateur multiplicateur sur A. Si λ est un point isolé dans le spectre σ(T ) de T alors λ est un pôle de la résolvante de T.

Preuve : Soit T un multiplicateur, si λ un point isol´e dans le spectre σ(T ) de T alors il existe deux sous espaces A1 et A2 de A tels que:

A = A1⊕ A2 et T − λI = S1⊕ S2

o`u S1 = (T − λI)/A1 est inversible et S2 = (T − λI)/A2 est quasi-nilpotent.

(50)

Puisque T est un multiplicateur alors on a :

T (x)y = T (xy) ∀x, y ∈ A.

Donc pour tout x ∈ A on a (S2(x))n = (S2n(x))xn−1.

Il s’en suit que :

k(S2(x))nk 1 n = k(Sn 2(x))x n−1_k1_n ≤ kSn 2(x)k 1 nkxn−1k 1 n ≤ kSn 2k 1 nkxk 1 nkxk n−1 n = kSn 2k 1 nkxk,

et puisque S2 = (T − λI)/A2 est quasi-nilpotent alors kS

n 2k

1

n → 0 quand n → ∞.

Puisque A est semi-simple, on a S2(x) = 0 et comme x est arbitraire dans A, alors S2 = 0.

Par suite λ est un pôle de la résolvante de T 2 Lemme 3.3.7 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple et soit T un opérateur mul-tiplicateur sur A alors :

a) E(T ) = Π(T ) b) E(f (T )) = Π(f (T ))

Preuve : a) Π(T ) ⊂ E(T ) est toujours vraie.

E(T ) ⊂ Π(T ) est démontré dans le lemme précédent.

b) Il vient aussi du lemme précédent qu’un multiplicateur est un opérateur isoloide, par suite il satisfait l’égalité du lemme 2.2.9 du chapitre 2 :

σ(f (T ))\E(f (T )) = f [σ(T )\E(T )].

Et puisque E(T ) = Π(T ) on a :

(51)

D’après le théorème de l’application spectrale pour le spectre de Drazin, (voir théorème 3.3.2) on a:

f (σD(T )) = σD(f (T )) = σ(f (T ))\Π(f (T )). Il en r´esulte que: σ(f (T ))\E(f (T )) = σ(f (T ))\Π(f (T )). Donc E(f (T )) = Π(f (T )). 2

Théorème 3.3.8 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple. Si T est un opérateur multiplicateur sur A et f est une fonction analytique sur un voisinage du spectre σ(T ), alors f (T ) satisfait le théorème généralisé de Weyl.

Preuve : D’après le lemme précédent on a :

σ(f (T ))\E(f (T )) = σ(f (T ))\Π(f (T )) = σD(f (T )).

Par le th´eor`eme 3.3.2 on a :

σD(f (T )) = σBW(f (T )).

Donc f (T ) satisfait le le théorème généralisé de Weyl. 2 On peut voir aussi [4] où différents résultats sur le théorème de Weyl pour un multi-plicateur sont établis.

(52)

Nous introduisons maintenant la condition (I) appelée condition de Glicksberg (Voir [3]) et nous allons donner des résultats pour les multiplicateurs sur une algèbre régulière taubérienne commutative semi-simple A qui satisfait cette condition.

(I) : Il existe une constante k ∈ R telle que pour tout φ ∈ ∆(A) et tout voisinage V de φ il existe un élément a ∈ A dont la transformée de Gelfanda est `b a support dans V

et pour laquelle on a :

b

a(φ) = 1 et k a k≤ k.

Théorème 3.3.9 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple réguliere taubérienne com-mutative qui satisfait la condition de Glicksberg (I). Soit T un multiplicateur non nul dont l’image est fermée et ayant un spectre naturel. Alors il existe un opérateur idempotent P et un opérateur inversible B tels que:

T = P B = BP

Preuve : D’après [3, Proposition 4.8] il résulte que Tb est borné inférieurement sur

∆(A)\hull(T (A)) ={φ ∈ ∆(A) | T (φ) 6= 0}. Comme T a un spectre naturel, ce qui veutb

dire:

σ(T ) = [T (∆(A))]b −,

on en d´eduit que 0 est isol´e dans σ(T ).

D’apr`es le lemme 3.3.6, il existe deux sous-espaces ferm´es A1 et A2 de A tels que:

A = A1⊕ A2, et T = T1⊕ T2,

o`u T1 est inversible et T2 = 0.

Soit B = T1⊕ I et P la projection de A sur A1 parall`ele `a A2. Alors B est inversible, P

est idempotent et :

(53)

2 Un op´erateur T sur A est dit d´ecomposable, si pour tout recouvrement ouvert {U1, U2}

du plan complexe C, il existe deux sous-espaces lin´eaires ferm´es T −invariants B1 et B2

de A tels que

B1+ B2 = A, σ(T | B1) ⊂ U1 et σ(T | B2) ⊂ U2.

Puisque un op´erateur d´ecomposable a un spectre naturel [29], on a le corollaire suivant:

Corollaire 3.3.10 : Soit A une algèbre de Banach semi-simple réguliere taubérienne commutative qui satisfait la condition de Glicksberg (I). Si T est un multiplicateur décomposable non nul à image fermée alors il existe un opérateur idempotent P et un opérateur inversible B tels que:

(54)

Chapitre 4

El´

ements B-Fredholm g´

en´

eralis´

es

dans une Alg`

ebre de Banach

Semi-Simple

4.1 Pr´

eliminaires

Les éléments de Fredholm et les éléments de Fredholm généralisés dans une algèbre de Banach A ont été étudiés récemment par Ch. Schmoeger dans [41] et dans [34] avec D. Männle. De manière naturelle nous avons voulu définir les éléments B-Fredholm généralisés dans une algèbre de Banach A. Le but de ce chapitre est de répondre à cet objectif.

Dans tout ce chapitre A désigne une algèbre complexe avec identité e 6= 0.

Définition 4.1.1 : Un élément x ∈ A est dit relativement régulier s’il existe y ∈ A tel que xyx = x. Dans ce cas y est dit un pseudo-inverse de x.

e0 ∈ A est un idempotent minimal si e0Ae0 est une algèbre de division ( tout élément non

nul de A admet un inverse ) et si e2 0 = e0.