Semi-Simple
4.2 El´ ements B-Fredholm g´ en´ eralis´ es
Par analogie nous pouvons d´efinir les ´el´ements B-Fredholm g´en´eralis´es dans une alg`ebre complexe A avec identit´e e 6= 0 de la mani`ere suivante :
D´efinition 4.2.1 :Un ´el´ement x ∈ A est dit B-Fredholm g´en´eralis´e s’il existe n ∈ N tel que xn soit de Fredholm g´en´eralis´e .
On note ΦgBF(A) l’ensemble des ´el´ements B-Fredholm g´en´eralis´es.
Remarques 4.2.2 :
Soc(A) ⊂ Φg(A) ⊂ ΦgBF(A).
Nous pouvons ´enoncer le th´eor`eme suivant qui donne une ´equivalence similaire `a la relation ( 4.2).
Th´eor`eme 4.2.3 : x ∈ A est un ´el´ement B-Fredholm g´en´eralis´e si et seulement si x estb
inversible au sens de Drazin dans A.b
Preuve : On a x ∈ ΦgBF(A) si et seulement s’il existe n ∈ N tel que xn∈ Φg(A).
D’apr`es l’´egalit´e (4.2), on axcn ∈Abg.
En utilisant [34, Prop 4.4 ], il existe s ∈A tel queb
c xns c xn = c xn, s c xns = s et c xns = s c xn.
Or cela veut dire que xcn est Drazin-inversible et par suite x aussi.b 2
Rappelons qu’une partie R d’une alg`ebre A avec identit´e e est une r´egularit´e si elle v´erifie les propri´et´es suivantes:
(i) si a ∈ A et n ≥ 1 alors : a ∈ R ⇐⇒ an∈ R
(ii) Si a, b, c, d ∈ A commutent mutuellement et si ac + bd = e alors :
ab ∈ R ⇐⇒ a ∈ R et b ∈ R.
Il a ´et´e prouv´e [9] que l’ensemble DR(A) des ´el´ements Drazin-inversibles dans une alg`ebre A est une r´egularit´e.
On en d´eduit ais´ement la propri´et´e suivante :
Proposition 4.2.4 : La classe des ´el´ements B-Fredholm g´en´eralis´es ΦgBF(A) forme une r´egularit´e.
Preuve : D’apr`es le th´eor`eme 4.2.3 on a :
x ∈ ΦgBF(A) ⇐⇒x ∈ DR(b A).b
Puisque DR(A) est une r´egularit´e [9], on obtient grˆb ace `a cette ´equivalence que ΦgBF(A)
est aussi une r´egularit´e. 2
D´efinissons le spectre associ´e `a ΦgBF(A) par :
σgBF(a) = {λ ∈ C/a − λe /∈ ΦgBF(A)}.
Alors on a le th´eor`eme de l’application spectrale suivant:
Corollaire 4.2.5 : Si f est une fonction analytique dans un voisinage de σ(a), a ∈ A, (non constante sur aucune composante connexe de σ(a)) alors :
Preuve : ΦgBF(A) ´etant une r´egularit´e, le corollaire est une cons´equence de [26, Theorem
1.4]. 2
Remarque : D’apr`es [41, 1.7b] on peut trouver dans une alg`ebre A, un ´el´ement t et un entier naturel n tel que tn ∈ Φ
g(A) mais t /∈ Φg(A). Par cons´equent Φg(A) n’est
pas une r´egularit´e; d’o`u l’int´erˆet de cette classe plus large qu’est ΦgBF(A) et qui contient strictement Φg(A).
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Résumé :
Dans ce travail on s’intéresse au théorème généralisé de Weyl. On démontre que si T est un opérateur hyponormal agissant sur un espace de Hilbert et f une fonction analytique sur un voisinage du spectre, alors f(T) satisfait le théorème généralisé de Weyl. On étudie aussi les perturbations de rang fini pour des opérateurs vérifiant le théorème de Weyl ou le théorème généralisé de Weyl. On s’intéresse aussi aux multiplicateurs sur une algèbre de Banach A. Si l’algèbre A est semi-simple régulière commutative taubérienne, on démontre qu’un multiplicateur T sur A est B- Fredholm d’indice 0 si et seulement s’il est semi-B-Fredholm. Lorsque l’algèbre A satisfait en plus la condition de Glicksberg et T admet un spectre naturel, on démontre que T est le produit d’un opérateur inversible et d’un idempotent. On démontre aussi que f(T) satisfait le théorème généralisé de Weyl si T est un multiplicateur sur une algèbre A semi simple. Enfin on introduit les éléments B-Fredholm généralisés dans une algèbre de Banach semi-simple. On établit que la classe des éléments B-Fredholm généralisés est une régularité, et le spectre associé satisfait le théorème de l’application spectrale.