R M F et TD

Chapitre 0 Unités et dimensions

En physique, les grandeurs sont réparties en deux catégories, les grandeurs physiques principales ou fondamentales et qui sont limitées en nombre (5à6grandeurs) et toutes les autres grandeurs sont secondaires ou dérivées : Les systèmes de mesure sont nombreux, nous allons considérer que 2 systèmes MKSA et CGSA, le MKSA est un Système international (S-I).

Les grandeurs principales

Les

grandeurs

Dimension L’unité en S-I ou MKSA L’unité en CGSA

La longueur L Mètre (m) Centimètre (cm)

La masse M Kilogramme (kg) Gramme (g)

Le temps T Seconde (s) Seconde(s)

L’intensité du

courant

I Ampère (A) Ampère (A)

La

températur e

 Degré kelvin °K Degré kelvin°K

Exemple de quelques grandeurs secondaires ou dérivées :

On les appelle dérivée parce qu’elles nécessitent une formule physique pour déterminer leurs dimensions et leurs unités

La formule physique

Dimension Unité en S-I Unité en CGSA

La vitesse v=l/t LT-1 _{(m/s) (cm/s)} L’accélération a=v/t=l/t/t LT-2 _(m/s2_{) (cm/s}2₎ La surface S=ll L2 _(m2_{) (cm}2₎ Le Volume V=lll L3 _(m3_{) (cm}3₎ La Force F=ma MLT-2 _Kgms-2 (Newton) gcms-2 La pression P=F/S MLT-2_/L2 _Kgm-1_s-1 (Pascal) gcm-1_s-2 La masse volumique =m/V ML-3 _Kgm-3 _gcm-3 Le travail ou l’énergie W=FL MLT-2_{L kgm}2_s-2 (Joule) gcm2_s-2 Puissance P=W/t ML2_T-2_{/T kgm}2_s-3 (Watt) gcm2_s-3 La différence de potentiel U=P/i ML2_T-3_I-1 _kgm2_s-3_A-1 (Volt) gcm2_s-3_A-1 La résistance électrique R=U/i (Loi d’Ohm) ML2_T-3_I-2 _Kgm2_s-3_A-2 (Ohm) gcm2_s-3_A-2 La charge électrique

q=it IT-1 _As-1_{(Coulomb) As}-1

La viscosité F=6 r v ML-1_T-1 _{Kg m}-1_s-1 (Poiseuille) gcm-1_s-1 (Poise) 1poiseuille=10Pois e

Homogénéité d’une formule physique

Si dans un exercice, vous arriverez après une démonstration à une équation physique, la première des choses à vérifier est l’homogénéité de cette équation.

Comment ça ?

1) il faut vérifier que la dimension de la grandeur qui est à droite de l’égalité est identique à celle qui est à gauche de l’égalité :

2) Si dans une relation physique, vous avez la somme ou la différence de deux ou plusieurs termes. il faut que ces termes ont la même unité.

Exemple : vérifiez que a=m v t2 _{Est fausse} [a]=LT-2 _et [m v t2]= MLT−1 T2 =MLT −3 comme [a ]≠[m v t2] _{donc la} formule n’est pas homogène implique qu’elle est fausse.

Corrigé de la fiche 1 Année 2019-2020

Exercice1

Pour cet exercice 1, vous trouvez la solution dans le tableau Exercice2 la pression

[

P]= F ( force) S ( surface)= ML T−2 L2 =M L −1 T−2 En unité de base Kgm-1_s-2 _{qui est le pascal en S-I}

En CGSA, g cm-1_s-2 _{qui est la barye}

1 Pa=1 Kg m−1s−2=103g 102cm−1s−2=10 g cm−1s−2=10 baryes 1atm=760mmHg=1,013.105_Pa 1 Pa=760 mmHg 1.013 ×105=750.24 × 10 −5_{mmHg ou1 mmHg=}1.013 ×105 760 Pa=1.33 × 10 −3_Pa Exercice3

On doit montrer que les 3 termes de l’équation de Bernoulli ont même dimension ou même unité

Le premier terme PA(la pression)→ Kgm−1s−2

Le troisième terme m. s−1 ¿ ¿ 1 2ρ vA 2 _{→ Kg m}−3_× ¿

Les 3 termes ont même unité donc la relation de Bernoulli est homogène Exercice4 F=6 πηrv⟹

[

η]=

[

F

]

[

6 πrv

]

= MLT−2 L¿−1 =M L −1 T−1 Unité en S-I est Kgm-1_s-1 _{qui est le poiseuille}

Le nombre de Reynold est donnée par la formule suivante : NR=ρvd η ⟹

[

NR

]

=

[

ρvd η

]

= M L−3_LT−1_L M L−1_T−1 =1¿dimension Exercice 5 FA=k V α

ρβgγ Si cette formule est vraie, elle doit être homogène c.-à-d.

[

FA

]

=

[

k

]

×

[

V α

_]

×

[

ρβ

]

×

[

gγ

]

⟹ ML T−2_{=1× L}3 α_{× M}β_L−3 β_{× L}γ_T−2 γ =MβL3 α−3 β +γT−2 γ β=1,3 α−3 β+γ=1 ,−2 γ=−2 On déduit que : β=1 , α=1, γ=1 D’où la formule est F_A=k V1ρ1g1 Exercice 6

[

v

]

=

[

∆ P l

]

α

×

[

rβ

_]

_×

_[

_ηγ

_]

_{. On doit déterminer ,β, γ pour que la formule soit} homogène

[

v

]

(vitesse)=L T−1,

[

Δ P l

]

(

pression la longueur

)

= M L−1T−2 L =M L −2 T−2

[

r

]

(¿rayon )=L ,

[η

]

(la viscosité )=M L−1T−1 M L−2_T−2 ¿ ¿ T−1 M L−1¿ ¿

[

v

]

=

[

∆ P l

]

α ×

[

rβ

_]

_×

_[

_ηγ

_]

_{⟹ LT}−1 =¿

On déduit que α+γ =0⟹ α=−γ , −2 α−γ=−1⟹ 2 γ−γ=γ=−1 et α=1 −2 α+β−γ=1⟹−2+β +1=1 ⟹ β=2 La formule est donc : v =ΔP

l r

2_η−1

Exercices facultatifs Exercice1

La loi de Poiseuille définit le débit volumique Qv (m3/s) d’un liquide de coefficient de

viscosité  , dans un cylindre de rayon R et de longueur L par la relation Qv=πR

4

8 ηL∆ P

Où ΔP est la différence de pression. Déterminez la dimension et l’unité de  Exercice2

A l’aide d’une analyse dimensionnelle appliquée à l’équation suivante, déterminez la dimension et l’unité de  dans le S-I : R= ρL_S où R, L, S sont respectivement la résistance, la distance entre deux électrodes, la section de l’électrode

Exercice3

La loi des gaz parfaits est donnée par PV =nRT . Tel que P est la pression, V est le volume, n est le nombre de mole et T est la température. Trouvez l’unité et la dimension de R

CHAPITRE I MECANIQUE DES FLUIDES

La masse volumique et la densité relative:

Si on prend deux substances différentes mais de même volumes V ; leurs masses seront inégales m₁≠ m₂ . On introduit donc une autre grandeur physique qui caractérise chaque substance et qui est la masse volumique

La masse volumique d’un corps de masse m et de volume V, est le quotient de sa masse sur son volume ρ=m

V ⟹ m=ρV . Sa dimension est ML-3 et son unité dans le S-I est le Kg/m3

Si m₁>m₂alors ρ₁>ρ₂ , nous dirons que la substance 1 est plus dense que la substance 2

La densité relative d se mesure par rapport à une substance de référence qui est habituellement l’eau ( ρeau=1 Kg/l , 1litre d’eau pèse 1kilogramme), dans le cas des solides et les liquides. d_corps=ρcorps

ρeau

, elle est sans unité

Si on prend un récipient d’eau pure est on verse une autre substance non miscible, si elle reste au dessus de l’eau, nous dirons qu’elle est moins dense (exemple l’huile) sinon, elle est plus dense (exemple : le mercure).Voir figure ci-dessous

L’huile est au dessus de l'eau parce qu'il est moins dense

La masse volumique des liquides est généralement une fonction inverse de la température. Les gaz ont des masses volumiques très faibles qui dépendent beaucoup de la pression et la température.

Exemple: Un réservoir contient 4780Kg de pétrole occupant un volume de 5,84m3 _à

20C. Calculer la masse volumique et la densité relative. ρ=m V= 4780 Kg 5,84 m3 = 818 Kg m 3 et d=ρp é trol ρeaau =818 103=0,818 La loi de l’hydrostatique

Soit un récipient ouvert à l’air libre et contenant un liquide en état statistique (voir figure ci-dessus)

La surface au niveau A subis une force qui est le poids d’eau au dessus de A FA=PA=mAg=ρ VAg=ρS hAg

Et commela pression P_A=FA

S =ρg hA

Le récipient est ouvert à l’air donc sa surface libre est sous la pression

atmosphérique. La pression en A sera donc PA=P_a+ρg h_A avec Pa la pression

atmosphérique.

Le niveau du liquide dans les vases communiquantes (voir figure ci-dessous) est le même indépendamment de la forme de ces dernières car la pression à la surface libre du liquide dans ces vases est la pression atmosphérique

A retenir : deux points à la même hauteur, dans un même liquide sont à la même pression

Des vases communiquantes contenants le même liquide, leurs surfaces libres sont aux mêmes niveaux indépendamment de leurs formes

EXERCICES D’APPLICATION Exercice 1

Dans un fluide en équilibre de masse volumique  , écrire la relation qui lie les pressions en deux points dont la différence d’altitude h est connue.

A .N : Calculer la pression en un point d’un lac à 200m de profondeur , la pression atmosphérique Pa est 1,013 .105 N/m2 et la pesanteur g=9,8m/s2

Solution : La pressionen A est P_A=P_a+ρg h_A La pressionen B est P_B=P_a+ρg h_B

}

(

PB−PA

)

=ρg

(

hB−hA

)

=ρg h⟹ PB=PA+ρg h _A.N PB=Pa+ρgh=1 , 013 .10 5 +103. 9 , 8 .200=20 , 613 .105 Pa Exercice 2

Dans l’une des branches d’un tube en U contenant du mercure, on verse 150cm3

d’eau, la section du tube est de 0,04 dm2_{. Calculer le déplacement de la surface libre}

du mercure dans l’autre branche Mettre le schéma

Solution

Aux points A et B, on a la même pression : Le volume d’un tube en U qui est cylindrique est

V =S × h_A⟹ hA= V S= 150 4 =37,5 cm P_A=P_a+ρ_eaug h_Aet P_B=P_a+ρ_mercureg h_B

P_A=P_B⟹ ρ_eaug h_A=ρ_mercureg h_B⟹ ρ_eauh_A=ρ_mercureh_B⟹ h_B= ρeau ρmercure h_A= 1 13,637,5=2,75 cm ,≤d é placement du mercure h= 2,75 2 =1,37 cm Exercice 3

Un récipient a un fond plan ayant la forme d’un cercle de rayon r=0,1m. Il contient du mercure sur une hauteur de 10cm et de l’eau sur une hauteur de 40cm. Calculer la force qui s’exerce sur le fond du récipient.

Solution

La surface du fond du récipient est : S=π r2_{=3,14 × 0,1}2_{=3,14 × 10}−2_m2

La pression au fond du récipient est :

La force F au fond du récipient est : F=P× S=17,25. 103× 3,14.10−2=541 N Exercice facultatif

Dans un tube en U contenant du mercure, on verse dans une de ses branches 20cm d’eau de masse volumique =103_Kg/m3 _{dans l’autre branche, on verse 30cm d’un}

liquide de masse volumique inconnu, de tel sorte que le mercure est au même niveau dans les 2 branches. Quel est la masse volumique de ce liquide

THEOREME DE PASCAL

Un liquide en équilibre transmet intégralement en tous ses points, toute variation de pression produite en un point quelconque de ce liquide

Selon Pascal, la pression exercée sur la petite section S est transmet intégralement à la grande section d’où : F

S= F' S'⟹ F ' =F S S '

on obtient une force F’ plus grande que F

PRINCIPE D’ARCHIMEDE

Tout corps ayant un certain volume V, immergé dans un fluide, subis de la part de ce fluide une force vertical ascendante du bas en haut égale au poids du fluide

La figure montre les trois cas possibles selon la masse volumique de l'objet immergé par rapport à celle du liquide

Exercice d’application : Une boule en fer de densité 7,25 est introduite dans le mercure (d=13,6). 1) Faites le bilan des forces qui s’exercent sur la boule. 2)

Démontrez que la boule est partiellement immergée dans le mercure (C- à-d, qu’elle n’est pas totalement immergée dedans). La masse volumique de l’eau est eau=10 3_Kg/m3_.

Calculer le rapport du volume V émergé au volume V de la boule

Solution : La boule est soumis à l’action de deux forces le poids P et la poussée d’Archimède Fa.

ρmercure=dmercureρeau=13,6 ×10

3

Kg/m3 Et ρfer=dferρeau=7,25 ×10

3

Kg/m3

F_a=ρ_mercuregV et P=ρ_fergV . Comme ρ_mercure>ρ_fer⟹ F_a>P donc la boule est partiellement immergée.

A l’équilibre Fa=ρ_mercureg V_i=P=ρ_fergV donc ρ_mercureV_i=ρ_ferV avec V_i la partie du volume immergée

En déduit que Vi V = ρ_fer ρmercure = 7,5 13,6=0,53=53 % immerg é e et 47 % é merg é e La mécanique des fluides

Définition du débit : C’est la quantité en masse m ou en volume V écoulée ou déplacée pendant un temps t. Le débit Q=quantit é

temps = m t ou V t Si Q=quantit é temps = m

t , on l’appelle débit massique et on note Qm, sonunité dans le

système S-I est le Kg/s Si Q=quantit é_temps =V

t , on l’appelle débit volumique et on note Qv, sonunité dans le

système S-I est le m3_/s

Equation de continuité :

En chimie et en physique ont considère toujours le théorème qui dit : Dans un

système isolé, rien ne se perd, rien ne se crée, la matière conserve intégralement sa masse.

Soit un tube de section droite mais différente. D’après le théorème cité précédemment, la quantité qui sort de la section A SA (

m_A

t ) est égale à la quantité qui entre dans la section B SB (

m_B t )

L'écoulement d'un liquide dans un tube à section variable

m_A t = m_B t ⟹ ρ_AV_A t = ρ_BV_B t

C omme ρ_A=ρ_B(il sagit du m ê me liquide )⟹VA t = V_B t ⟹ S_Al_A t = S_Bl_B t ⟹ SAvA=SBvB

v_Aet v_Bles vitessesrespectivement dans les sections S_Aet S_B

On appelle la relation SAvA=SBvB par l’équation de continuité. Cette dernière montre que la vitesse est grande dans les petites sections.

Exercice d’application

Un tube horizontal présente une section de 20cm de diamètre suivie d’un

étranglement de 10cm de diamètre. Sachant que la vitesse de l’eau dans le tube principal est de 0,1m/s, calculer la vitesse dans l’étranglement

Corrigé

L’équation de continuité ou de conservation nous permet de calculer v2

S₁v₁=S₂v₂⟹ v₂=v₁×S1 S₂=v1× π R1 2 πR₂2 Soit v2=v1× R12 R₂2=0,1 × 102 52 =0,4 m/ s

Rappelez-vous que le diamètre d est égal à 2 fois le rayon R

La relation de Bernoulli : Considérant un fluide parfait et incompressible, dans lequel il n’ya pas de perte d’énergie. Le travail de pression entre deux sections A et B d’un tube

Écoulement d'un fluide dans un tube pour démontrer la relation de Bernoulli A noté que les indices ici sont 1 et 2 alors que dans la démonstration on a utilisé A et B

Est ∆ w=w_A−w_B=F_AL_A−F_BL_B=P_AS_AL_A−P_BS_BL_B=

₍

P_A−P_B

₎

V S_AL_A=S_BL_B=¿volume V , L_A=d x₂et L_B=d x₁dans≤sc h é ma

Ce travail de pression Δw est égal à la variation d’énergie cinétique ΔEc et d’énergie potentielle ΔEp ∆ w=∆ E_C+∆ E_P⟹

₍

P_A−P_B

₎

V =1 2m

(

vB 2 −v2_A

₎

+mg

₍

z_B−z_A

₎

(

PA−PB

)

= 1 2 ρ

(

vB 2 −v2_A

₎

+ρg

₍

z_B−z_A

₎

P_A+1 2ρ vA 2 +ρg z_A=P_B+1 2ρ vB 2 +ρg z_B

Cette équation est appelée relation de Bernoulli veut dire que la quantité P+1

2 ρv+ ρgz=constante Le long du tube

Cas d’un liquide en état statistique v =0 on retrouve la relation de l’hydrostatique P+ρgz=constante

Corrigé de la fiche de TD2

Exercice1

La densité du mercure est le rapport de la masse volumique du mercure et la masse volumique de l’eau d_mercure=ρmercure ρeau =13.6⟹ ρ_mercure=13.6 × ρ_eau=13.6 ×103Kg/m3 Or ρmercure= m_mercure Vmercure ⟹ V_mercure=mmercure ρmercure = 300 g 13.6 ×103Kg/m3= 300 13.6 ×106=22.05 ×10 −6 m3 Exercice2

D’après la loi de l’hydrostatique : la pression augmente en profondeur h P_h=P_a+ρg h

Pa : Pression atmosphérique (pression d’air)

10

(¿¿3 ×9.8 × 10) pa

P10 m=1 atm+¿

On doit convertir soit le pascal en atm ou l’inverse P10 m=10

5

+0,98 ×105=1.98 ×105pa Exercice 3

On note

PC : la pression du sang au niveau du cœur

PT : la pression du sang au niveau de la tête

PP : la pression du sang au niveau des pieds

1) 760 mmHg→ 105_{pa et pour 120 mmHg→ 0,157 ×10}5_pa

2) Si l’individu est debout

PP=PC+ρsangg hP=0,157 × 105+1050× 9.8 ×140 ×10−2=0.30 ×105pa PT=PC−ρsangg hT=0,157 × 105−1050 ×9.8 × 40 ×10−2=0.115× 105pa

3) L’individu est couché : les pieds, la tête, et le cœur sont au même niveau donc les trois pressions PC ,PT ,PP sont égales, c’est pour ça, on prend la pression d’un

malade en position couché Exercice 4

Le point C dans la branche (1) et le point A dans la branche (2) sont au meme niveau et meme liquide qui est le mercure ⟹ PA=P_C

P_C=P₀+ρ_eaug h₁

P_A=P_C⟹ P₀+ρ_alcoolg

₍

h₃−h₂

₎

+ρ_mercureg h₂=P₀+ρ_eaug h₁ ρ_alcool

₍

h₃−h₂

₎

+ρ_mercureh₂=ρ_eauh₁

D’où ρalcool=ρeauh1−ρmercureh2/(h3−h2)

A.N :

10

(¿¿3 ×0.8−13600 ×0.05)/(0.2−0.05)=800 Kg . m−3 ρalcool=¿

Cette technique de tube en U nous permet de calculer la masse volumique d’un liquide

Exercice 5

Soient Vi le volume de la glace immergé et Vt le volume total de la glace

La glace est soumis à son poids P=mg et la poussée d’Archimède Fa=ρ_{li quide}V_ig . A l’équilibre le poids et la poussée d’Archimède sont égaux mg=ρ_liquideV_ig

Comme m est la masse de la glace on peut écrire ρglaceVtg=ρliquideVig⟹ ρ_glace ρliquide =Vi Vt AN : Le liquide ici est l’eau

V_i Vt

= 920

1000=92 % Donc 92 pour cent du volume est immergé et 8 pour cent est émergé

Exercice 6

Même chose que l’exercice 5, A l’équilibre le poids de la boite et la poussée d’Archimède sont égaux

mg=ρ_eauV_ig⟹ V_i= m ρ_eau=

2700

1000=2.7 m

3

Comme le volume d’une boite rectangulaire est égal à la longueur × la largeur × la hauteur donc V_i=L ×l ×h_i⟹ h_i= Vi

L×l= 2.7

3 ×2.5=0.36 m

2) La masse de la boite est maintenant. m=

(

2700 Kg+Xlest

)

. A l’équilibre

(

2700+Xlest

)

=ρeauVig avecVi=3 × 2.5× 1=7.5 m

3

(

2700+ Xlest

)

=10

3

Corrigé fiche de TD 3

A retenir : En mécanique des fluides parfaits incompressible, on utilise la relation de Bernoulli accompagnée des fois par la relation de continuité

Exercice 1

Le débit volumique QV=Volume Temps =

V t =

S × l

t =S × v Pour un cylindre la section S=π r2_{avec r ≤rayon}

QV=S × v=3,14 ×(6× 10−2)2× 4=452.16 × 10−4m3/s 1 S⟶ 452.16 ×10−4_m3_{et 1 h=360 S⟶ x=360 × 452.16 ×10}−4_{=16.27 m}3 Exercice 2 La relation de continuité d 1 d 2 ¿ ¿ 15 5 ¿ ¿ S₁v_A=S₂v_B⟹ v_B=S1 S₂vA= π

(

d 1 2 22

)

π

(

d 2 2 22

)

× v_A=¿ La relation de Bernoulli P_A+1 2ρ vA 2 +ρg z_A=P_B+1 2ρ vB 2 +ρg z_B Les deux points sont au même niveau zA=zB⟹ PA+ 1 2ρ vA 2 =P_B+1 2 ρ vB 2_{⟹ P} A+ 1 2ρ vA 2 −1 2 ρ vB 2 =P_B A.N PB=105+10 3 2 (1−81)=0,6 ×10 5_pa Exercice3 On a : S_Av_A=S_Bv_B (Relation de continuité) Comme S_{A≫ ≫SB}⟹ vA≪ ≪vA≅0 La relation de Bernoulli

Schéma du tube de Torricelli P_A+1 2ρ vA 2 +ρg z_A=P_B+1 2ρ vB 2 +ρg z_B

On a : PA=PB=Pa

(

les 2 niveaux A et B sont ouverts à l '

air

)

et zB=0 et v_A=0 La relation de Bernoulli devient

z_A=vB

2

2 g⟹ vB=

√

2 g zA=

√

2 gH=

√

2 ×9.8 ×2.5=7 m/s Le débit volumique est

4 × 10−3

¿2×7=351,68× 10−6m3/s Q_V=S_B× v_B=π r2v_B=(3.14 )¿ Exercice 4

La relation de Bernoulli entre les deux points A et B du tube

Schéma du tube de Pitot

PA+ 1 2ρ vA 2 +ρg z_A=P_B+1 2ρ vB 2 +ρg z_B On a z_A=z_Bet v_A=0

La relation de Bernoulli devient PA=PB+ 1 2ρ vB

Calculons PA et PB PA=P_A,+ρg(h+ AC) Et P_B=P B,+ρg(B B , ) P_B,=P A,=P_aet AC=B B , D’où P_A−P_B=ρgh Et P_A−P_B=1 2 ρ vB 2 =ρgh⟹ v_B=

√

2 g h