Asservissement visuel par projection sphérique

(1)

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Romeo Tatsambon Fomena

To cite this version:

Romeo Tatsambon Fomena. Asservissement visuel par projection sphérique. Robotique [cs.RO].

Université Rennes 1, 2008. Français. �tel-00844931�

(2)

THESE

présentée

devant l'Université de Rennes 1

pour obtenir

le gradede : Do teur de l'Université de Rennes 1

Mention Traitement du Signal et télé ommuni ations

par

TATSAMBON FOMENA Roméo

Equipe d'a ueil: IRISA,Equipe-projetLagadi

E ole Do torale: Matisse

Composante universitaire : SPM

Titre de lathèse :

Asservissement visuel par proje tion sphérique

Soutenue le28 novembre 2008 devantla ommission d'examen

M. Kadi Bouatou h Président

MM. Philippe Martinet Rapporteurs

Seth Hut hinson

MM. Patri k Rives Examinateurs

El-Mustapha Mouaddib

(3)

(4)

(5)

(6)

Je remer ie Kadi Bouatou h qui me fait l'honneur de présider e jury. Je remer ie

Philippe Martinetet Seth Hut hinsond'avoirbienvoulu a epter la hargede

rappor-teur. Je remer ie Patri k Rives et El-Mustapha Mouaddib d'avoir bien voulu juger e

travail.

Je remer ie mondire teur de thèse François Chaumette : 'est la onan e que tu

m'asa ordée qui m'adonné desailes.

Mauri e T huenté, vousêtes mon modèle. Ce travail estle fruit desidées que vous

avezinitiéesdepuisl'UniversitédeNgaoundéré.Pour avoirfait ir uler l'aide,jetiensà

diremer iàMi helT hotsoua.GillesPokam,tes onseilsm'ontguidé, jet'enremer ie.

Mon devoirest de ontinuer àfaire ir uler l'aideet les idées reçues.

Eri Pottier, Shane Cloude et Wolfgang-Martin Boerner, j'apprends toujours de

vous: je rêve d'uneappli ation de l'asservissement visuel enimagerie radar.

Désiré, Flavien, Odile, Véronique et Anne, mention spé ialeà voustous, vousavez

étéprésentstoutle temps delamise enroute del'oeuvre.

Shaharyar, weunderstand ea h otheron manypoints.I havelearnt alotfrom you.

Nowwe should think about a hopefully bright future... you knowwhat Imean.

Ryuta thanks a lot for the fruitful dis ussions we have had on the stability. Now I

feelstableon thatissue.

Céline et Amaury, votre regard, sur les dernières lignes de e mémoire, a permis

d'améliorer elui- i.

Rak, Céline, Ni olas, Claire, Albert, Murielle, Fabien, Anthony, Andrea, Xiang,

Alexandre,Mohammed,Eri etChristophe, jevousremer iepourvotreparti ipatio nà

l'ambian e vivante danslaquelle j'aibaigné.

Didier, Lysiane et Guerri , le livre, sur la re her he, que vous m'avez oert a été

une grandesour e d'inspiration et de motivation.

Papa,maman,Céline,Sylvain,Nadège, Mireille, Harmanet Léonie,votreprésen e,

(7)

(8)

Introdu tion 5

1 Cadre de l'étude 9

1.1 Formationde l'image . . . 10

1.1.1 Systèmespour lavision omnidire ti onnelle . . . 11

1.1.2 Passage du repèrede l'objetaurepère deproje tion . . . 13

1.1.3 Proje tion surleplan image . . . 15

1.1.4 Passage du planimage au apteur . . . 19

1.2 Commande . . . 21

1.2.1 Pose durobot relative àl'objet . . . 22

1.2.2 Spé i ation visuelle d'unetâ he . . . 23

1.2.3 Analysede stabilité . . . 24

1.3 Séle tiond'informations visuelles . . . 29

1.3.1 Asservissement visuel2D . . . 29 1.3.2 Asservissement visuel3D . . . 31 1.3.3 Asservissement visuel2 1/2D . . . 33 1.4 Synthèse . . . 34 2 Modélisation 37 2.1 Imagede points . . . 37

2.1.1 Informations visuelles existantes . . . 38

2.1.2 Nouvelles informationsvisuelles pour un point. . . 39

2.1.3 Nouvelles informationsvisuelles pour deux points . . . 43

2.2 Imagede droites . . . 45

2.2.2 Nouvelles informationsvisuelles . . . 48

2.3 Imagede sphères . . . 51

2.4 Momentssphériques . . . 59

2.4.1 Momentssphériques omme informationsvisuelles . . . 59

(9)

2.4.4 Appli ation au assimple d'unesphère . . . 75

2.5 Imagede er les 3D . . . 76

2.6 Synthèse . . . 79

3 Appli ation à l'asservissement visuel 83 3.1 Positionneme nt par rapportà unpoint . . . 83

3.1.1 Informations visuelles hoisies et analyse dela ommande . . . . 84

3.1.2 Résultats expérimentaux . . . 85

3.2 Positionneme nt par rapportà unobjetdénipar un ensemblede points 88 3.2.1 Informations visuelles existantes . . . 88

3.2.2 Informations visuelles hoisies . . . 89

3.2.3 Analysede la ommande. . . 90

3.2.4 Résultats . . . 91

3.3 Positionneme nt par rapportà unesphère . . . 100

3.3.1 Informations visuelles hoisies et analyse dela ommande . . . . 101

3.3.2 Résultats : paramétrisationgénérale . . . 103

3.3.3 Résultats : paramétrisationspé ique . . . 107

3.4 Positionneme nt par rapportà unesphère marquée . . . 109

3.4.1 SphèreCC . . . 110

3.4.2 Sphèrespé iale . . . 112

3.4.3 Analysede la ommande. . . 113

3.4.4 Résultats : sphèreCC . . . 114

3.4.5 Résultats : sphèrespé iale . . . 120

3.5 Synthèse . . . 122

Con lusion 125 A Complément pour la modélisation de l'image de points 129 A.1 Cal uldes informationsvisuelles . . . 129

A.2 Matri ed'intera tionasso iée à

ζ

. . . 131

A.3 Analysede lastabilité dela ommande pour un point . . . 133

B Complément pour la modélisation de l'image de droites 135 B.1 Proje tion entrale atadioptrique d'une droite . . . 135

B.2 Cal uldes informationsvisuelles . . . 137

C Complément pour la modélisation de l'image de sphères 141 C.1 Cal uldes informationsvisuelles . . . 141

C.2 Analysede stabilité dela ommande . . . 145

D Cal ul des moments sphériques surle plan image 153 D.1 Cal uldes moments sphériquessurun système atadioptrique . . . 153

(10)

E Moments sphériques et image de la sphère 157

E.1 Expressiondesmomentssphériquesen fon tiondesparamètres 3Ddela

sphère . . . 157

F Complément sur la modélisation de l'image de er les 3D 161

F.1 Proje tion sphérique d'un er le3D. . . 161

F.2 Proje tion atadioptrique d'un er le3D . . . 162

G Asservissement visuel par rapport aux sphères marquées 165

G.1 Cal ulde lamatri e derotation

c

_R

o

. . . 165

G.2 Analysede stabilitéaux erreursde modélisation . . . 167

(11)

(12)

Voir, oune pasvoir, telleest laquestion.

Ya-t-il plus denoblesse d'âme pour un robot à subir

La dépendan e extrême àsonenvironnement et à sonutilisateur,

Oubienà seprémunir ontrelafragilitéde sonautonomie

Et àlaréduire par une révoltevisuelle? 1

Laréponseà ettequestiondépenddel'appli atio nenvisagée.Pourdesappli ations

qui né essitent de répéter les mêmes tâ hes dans un environnement onstant et

maî-trisé, un robot peut se passerde vision et de toute per eption. C'est le as desrobots

manufa turiers utilisés sur la plupart des lignes de montage. En revan he, pour une

appli ation telleque lesuivi de ible, lavision estfondamentale.En eet,tout omme

hez l'homme, la fa ulté de per eption visuelle permet à un robot de s'informer sur

l'étatde sonenvironnement et de s'adapterauxpossiblesvariations de e dernier.

Le mouvement d'un robot équipé d'une améra peut être ommandéà partir de sa

per eption visuelle en utilisant la te hnique d'asservissement visuel. L'asservissement

visuel onsiste à utiliser laper eption pour l'a tion dans une bou le fermée, omme le

montrelagure 1.

ACTION

PERCEPTION

2 m/s

Robot

Cam ´era

Point

Objet

Fig. 1 Per evoir pour agir.

(13)

La per eption visuelle d'un objet peut être dénie omme l'abstra tion d'un

en-semble de mesures visuelles surl'objet que voit le robot. Par exemple, surla gure 1,

les oordonnées del'imagedupointsurl'objetreprésententlaper eptiondepositionde

l'objetparrapportaurobot.L'a tionquant àellepeutêtrevue omme unmouvement

(ou dépla ement ) durobot pour ee tuerune tâ he.

L'a roissementdel'autonomiedurobotpassenonseulementparl'élargissementde

son hamp de vision mais aussi et surtout par une per eption pertinente de son

envi-ronnement.

Le problème théorique sous-ja ent à une per eption pertinente de l'environnement

estlamodélisationd'informationsvisuelles adéquates, 'est-à-direpermettant aurobot

de s'appro her d'un omportement idéal pendant une tâ he(par exempleau niveaude

sa traje toire). Bien entendu, mieux le robot perçoit son environnement meilleur est

son omportement. Ce problème bien qu'ayant été l'objet de nombreuses re her hes

fru tueuses par lepassé,esten ore d'a tualité.

En eet, outre les problèmes ouverts dans la littérature sur la modélisation en

vi-sionperspe tive,peude travauxontétémenéssurl'aspe tmodélisationenutilisantles

systèmes devision omnidire ti onnelle.

Ces systèmes de vision ontraireme nt aux améras perspe tives onventionnelles,

orentunlarge hampde visiontrèsutile pour desappli ationsenrobotiquemobileet

aérienne.

Si es nouveaux systèmes de vision apportent une solution à l'élargissement du

hamp de vision du robot, il reste en ore à savoir omment exploiter judi ieusement

lagrandequantité d'informations qu'ils aptent an d'améliorerle omportement d'un

robot ommandépar asservissement visuel.

L'obje tif de etteétudeestde modéliserdesinformations visuellesidéalespourun

objet observé, aussi bien par une améra perspe tive onventionnelle que par un

sys-tème devision omnidire ti onnelle.

Pré isément, il s'agit non seulement d'améliorer , à travers le hoix d'informations

visuelles,lespropriétésa tuellesdesloisde ommande,maisaussiderepenseret

d'adap-terlamodélisation,quiàl'origineaétérestreinteau hampdevisionlimitédes améras

perspe tives lassiques,andeproter dularge hampdevisionoert parlessystèmes

de visionomnidire tionnelle.

L'appro heproposéeestlamodélisationparproje tionsphériquepuisque emodèle

(14)

métrisationqui ouvre,sipossible,toutelasphèredevueandelibérerlamodélisation

dela ontraintedu hampdevuelimité.Nousverronsquelemodèledeproje tion

sphé-rique à l'avantage de fa iliter la modélisation d'informations visuelles en omparaison

ave le modèlede proje tion en vision entrale atadioptrique.

Lessolutionsquenousproposonssontdé linéesauldestrois hapitresstru turant

e mémoire :

Le hapitre 1 présente le prin ipe de l'asservissement visuel. L'a ent est mis dans

un premier temps surun type parti ulier de systèmes de vision omnidire ti onnelle

ap-pelé système de vision entrale atadioptrique , ensuite sur la ommande du robot, et

enn sur les diérentes méthodes existantes pour résoudre le problème de hoix des

informationsvisuelles idéales pour l'asservissement visuel.

Le hapitre 2 on ernela modélisation. Il dé rit denouvellesinformations visuelles

pourlesprimitivesusuellestellesquelespoints,lesdroites,lessphèreset les er les3D.

Pour haque primitive, esnouvellesinformations visuelles sontdéterminées en

exploi-tant les propriétés géométriques de la proje tion sphérique laprimitive. Cette

modéli-sation s'appuiera surlasimpli ité de l'image sphérique de laprimitive en omparaison

ave son image atadioptrique et permettra ainsi de mettre en éviden e le fait que la

re her he d'informations visuellesidéales estplussimpleet intuitiveen utilisantle

mo-dèlede proje tion sphérique.

Le hapitre 3 présente des résultats expérimentaux signi atifs obtenus lors de la

réalisation de tâ hes de positionnement en utilisant une améra perspe tive lassique

et diérents typesde systèmes de vision omnidire tionnelle. Nous onsidérons des

ob-jets simples tels que un point et une sphère. Nous onsidérons aussi d'autres objets

volumétriques et plans représentatifs onstruits à partir d'une ombinaison des objets

pré édents. Pour haqueobjet, enexploitant letravaildemodélisation ee tuéau

ha-pitre 2,nous hoisissons unensemble d'informations visuelles judi ieux permettant au

robot de s'appro her d'un omportement idéal et don de mieux se dépla er. Chaque

hoixd'informations visuelles est justiéthéoriquement par l'analyse despropriétés de

la ommandeutilisée.

Les ontribution s majeures de ette étude sont soulignées en on lusion. Quelques

(15)

(16)

Cadre de l'étude

Cette étude s'ins rit dans le adre de l'asservissement visuel. L'asservissement

vi-suel onsiste à utiliser des informations visuelles issues d'un apteur de vision pour

ontrler les mouvements d'un robot [Shirai73, Weiss87, Feddema 89a, Espiau 92,

Hut hinson 96℄. Son s héma de prin ipe est dé rit plus en détail sur la gure 1.1 où

le robot est ommandé de façon à entrer l'image de l'objet omme lemontre l'image

désirée.

Formation de l’image

Extraction de mesures

Commande

Matrice

S ´election d’informations visuelles

ACTION

s

P

m

v

c

PERCEPTION

I

=

Image courante

L

s

2 m/s

Robot

d’interaction

s

∗

S ´election

Objet

Cam ´era

Image d ´esir ´ee

Param `etres 3D

de l’objet

Fig. 1.1 Asservissement visuel.

Commeon peut levoir surlagure1.1, unebou led'asservissementvisuel est

ompo-sée de plusieurs étapes. On a tout d'abord la partie per eption qui peut elle-même se

dé omposer en plusieurs phases:

laformationde l'image

I

sur le apteur;

l'extra tiond'unve teur

m

demesuresobtenuesàl'issuedutraitementdel'image.

Dans ette étude, nous ne nous intéressons pas au traitement d'images. Les

(17)

pro he de la aden evidéo; et

la séle tion du ve teur d'informations visuelles

s

à partir des mesures

m

. Cette

phase onstitue le ÷ur de ette étude.

La partie a tion quant à elle peut sedé omposeren deuxétapes :

l'estimation de la pseudo-inverse de la matri e d'intera tion

L

s

. Cette matri e

est fondamentale en asservissement visuel ar elle représente la relation

vision- ommande[Sanderson83, Chaumette 90℄; et

le al ul de la ommande(vitesse)

v

c

quelerobot doitexé uter.

Pour unetâ he donnée,lorsque le hoix duve teur

s

n'est pasjudi ieux,lamatri e

d'intera tio n

L

s

peut présenter des propriétés non désirables onduisant ainsi à un

mouvement inadéquat voire irréalisable du robot [Chaumette98℄. Dans la suite, nous

dé rivons omment la matri e

L

s

intervient dans le al ul de la ommande

v

c

, e qui

nouspermetdedénirlespropriétéssouhaitablesdelamatri e

L

s

et par onséquentde dénirdes ritèrespour hoisirleve teur

s

idéal.Ensuitenousprésentonsdessolutions déjàbienétablies pour s'appro herau mieuxdu

s

idéal enutilisantleplussouventune

améraperspe tive lassique.Avantdenousintéresserauxdeuxpointssus-mentionnés,

nousprésentonsd'abord laformation de l'image surunsytème de vision.

1.1 Formation de l'image

Lesystèmedevision lassiquementutilisédanslalittératureetdanslesappli ations

devisionindustrielleestune améraperspe tive.Lagure1.2montrequelqueséléments

lés de e système: ladistan e fo ale

f

détermine legrossissement et le hampde vue

observé, le entre de proje tion

C

est lelieu où onvergent tous les rayonsin idents et

le apteur estune matri e d'élémentsphotosensibles indépendant s ( pi ture element ou

pixel) dont lerle estde traduirel'information lumineuse ensignaux éle triques.

Capteur

Cam ´era

Champ de vision

C

α

f

Fig. 1.2 Caméraperspe tive lassique.

Avantdenousintéresseràlades riptionproprement ditede laformationdel'image

sur le apteur, nous présentons tout d'abord quelques systèmes qui ont un hamp de

(18)

Soit

S

(C,1)

une sphère unitaire de entre

C

. En théorie, lavision omnidire ti onnelle

onsiste à voir dans toutes les dire tions à partir du point

C

omme le montre la

-gure1.3.Le point

C

, lieuphysique oùtousles rayonsin idents onvergent, estl'unique

entre de proje tion (voir gure 1.2 pour le as d'une améra perspe tive). L'uni ité

du entre de proje tion est né essaire pour générer des images perspe tives orre tes

(voirgure1.3)[Baker 98℄,imagesfa ilesàinterpréterpourl'÷ilhumain.En pratique,

omme nousledé rivonsdanslasuite,laréalisation d'un systèmede vision

omnidire -tionnelle à entre deproje tion unique n'est pasaisée.

0000

1111

C

omnidirectionnelle

Sph `ere de la vue

S

(C,1)

Plan de projection

perspective

Fig. 1.3Vision omnidire ti onnelle.

1.1.1 Systèmes pour la vision omnidire tionnelle

Systèmes rotatifs : Pour réaliser un système de vision omnidire ti onnelle, une

solution immédiate onsiste à faire tourner progressivement une améra perspe tive

autour de son entre de proje tion

C

jusqu'à obtenir une vision entière de la s ène

[Nayar 97, Mouaddib05℄. Cependant, ette solution demande un temps relativement

important pour l'a quisition d'uneimage omnidire ti onnelle [Nayar 97℄.

Systèmes de vision entrale atadioptrique : Une autre solution, pour

s'ap-pro her au mieux d'une vision omnidire tionnelle tout en respe tant la ontrainte du

entre unique de proje tion, onsiste à ombiner un miroir de révolution bien hoisi

et une améra [Baker 98℄ : l'image de la s ène sur le miroir est aptée par la améra.

La ombinaison ainsi obtenue est onnue sous le nom de système de vision entrale

atadioptrique. Le terme atadioptrique vient du monde de l'optique où le miroir est

un élément atoptrique (relatif à la réexion) et la lentille de la améra un élément

dioptrique(relatif à laréfra tion). Quant au terme entrale, il fait référen eau entre

uniquede proje tion (CUP).Par abusdelangageet pour lasimpli ité,nousomettrons

parfoisleterme " entrale" danslasuite.

(19)

para- ertains as, l'obje tif télé entrique estrempla é par un miroirsphérique réalisant une

proje tion orthographique omme lemontre lagure1.4pour unsystèmeNetVision.

(a) (b)

Capteur

Miroir sph ´erique

C

Champ de vision

Miroir parabolo¨ıdal

f

m

( ) (d)

Fig. 1.4 Système de vision para atadioptr ique : (a)miroir de réexion de fo ale

f

m

, (b)miroirpourlaproje tionorthographique ,( )pro essusdeformationdel'image,(d)

image para atadioptri que.

Il existe d'autres typesdesystèmes de vision atadioptrique .Entreautres, onpeut

iter euxqui ombinent unmiroirhyperboloïdalouellipsoïdal et une améra

perspe -tive [Baker 98℄. Ceux- isont dé ritssur la gure1.5, qui présente, une fois de plus, le

systèmepara atadioptr ique(voirgure1.5(a)).Pour touslesautressystèmespossibles,

lele teur intéressépourraseréférerà [Baker 98℄.

Caméras sh-eyes : Il existe d'autres systèmes de vision qui n'ont pas un entre

unique de proje tion, maisqui orent toutde même un grand hamp de vue. C'est le

as par exemple des améras sh-eye dont le entre de proje tion est sur une ourbe

dia austique ( ourbe obtenue par réfra tion) [Born 65℄. Ces améras ont une distan e

fo aleextrêmementpetitequileurpermetd'avoirun hampdevisionpouvantatteindre

(20)

surlagure1.6.

f

m

4f

m

Plan image

(a)

d

m

Plan image

(b)

Plan image

d

m

( )

Fig.1.5Couplesusuels améra-miroir:(a)miroirparaboloïda l,(b)miroirellipsoïdal,

( )miroir hyperboloïdal,

d

m

est ladistan eentreles pointsfo aux.

α

Capteur

C

Cam ´era

Champ de vision

f

(a) (b)

Fig. 1.6Caméra sh-eye : (a) hampde vuedé rit par l'angle

α

, (b)image sh-eye.

Dans lasuite, nous dé rivons lepro essus de formation de l'image d'un objet sur le

apteur d'une améra perspe tive, d'un système de vision entrale atadioptrique ou

d'une améra sh-eye. Nousutiliserons lesnotations dé rites dansletableau 1.1.

1.1.2 Passage du repère de l'objet au repère de proje tion

Considéronsl'exemplesimpled'unpoint

P

.Lagure1.7montrele hemindurayon

issude

P

jusqu'àsonimage

p

_p

surle apteur.Lestroisétapesdelaformationdel'image

p

_p

de

P

sont présentées danslasuite.

En général

P

appartient à unobjetquia sonpropre repèredésigné i ipar

F

o

(voir gure 1.8). Dans

F

o

,

P

est représenté par

o

_P

. La première étape onsiste à exprimer

o

_P

dans le repère du CUP

F

c

; on obtient alors les oordonnées

c

_P

(21)

L'expressiondes oordonnées

c

_P

de

P

dans

F

c

passeparladéterminati ondelaposition relative

c

_t

o

et del'orientation relative

c

_R

o

de

F

o

par rapportà

F

c

(voirgure1.8). On

obtient don

c

_P

₌

c

_R

o

P

+

c

t

o

,

ave

c

_t

o

∈ R

3

et

c

_R

o

∈ SO(3),

(1.1) où

SO(3)

estlegroupe spé ial desmatri esorthogonales.

Symbole Dénition

F

c

= (C, x, y, z)

Repèreatta héau entrede proje tion

C

de la améra

F

o

= (O, x, y, z)

Repèreatta héà l'objet

c

_t

o

= (t

x

, t

y

, t

z

)

Positionrelative entrela améra et l'objet

SO(3)

Groupespé ial des matri esorthogonale s

c

_R

o

∈ SO(3)

Orientation relative entrela améra et l'objet

c

_M

o

Matri e

4 × 4

de passage entre

F

o

et

F

c

p

_M

c

Matri e

3 × 3

de passage entre leplanimage

P

π

et le apteur

c

_X

_{= (X}

x

, X

y

, X

z

)

Ve teur oordonnées de

X

dans

F

c

x

s

= π

s

(

c

X) =

c

_X

k

c

_X

_k

Proje tion sphérique de

X

c

_x

_{= π}

pξ

(x

s

)

Proje tion sur leplanimage

c

_x

_{= (x}

x

, x

y

)

Ve teur oordonnées del'image métrique de

X

surleplanimage

p

_{x= (x}

u

, x

v

)

Ve teur oordonnées del'image de

X

sur le apteur

Tab. 1.1Notations pour lavision.

mod `ele de projection

Plan image

Capteur

C

V

c

_p

P

π

P

Objet

p

_p

Fig.1.7 Du pointphysique

P

à sonimage

p

_p

surle apteur.

Envisionparordinateur,laposition

c

_t

o

etl'orientation

c

_R

(22)

rassemblées dansune matri e ditehomogène dénie par :

c

_M

o

=

_c

R

o

c

t

o

0

1 ,

e qui onduit à réé rire(1.1) de manièreélégante sous formematri ielle

_c

P

1 =

c

M

o

_o

P

1 .

(1.2)

C

P

o

_P

c

_P

c

_t

o

c

_R

o

O

F

o

z

x

y

z

F

c

x

y

Fig.1.8 Lien entre

o

_P

et

c

_P

. Leve teur

c

_P

représente ladire tiondurayonin ident provenantdupoint

P

vudu

entrede proje tion

C

.

1.1.3 Proje tion sur le plan image

La se onde étape onsisteà déterminer lelien entrelerayonin ident

c

_P

et l'image

c

_p

de

P

surleplanimagevirtuel

P

π

(voirgure1.9).Celiendépenddusystèmeutilisé pour lavision omnidire ti onnelle à traversles paramètres

ξ

et

ϕ

dumiroir (dansle as

général dessystèmes atadioptriques).

Systèmesde vision entrale atadioptrique : Pour eux- i,ilaétéétabliun

mo-dèledeproje tionuniéequi onsisteenuneproje tionsphériquesuivied'uneproje tion

perspe tive [Geyer 00℄. La gure 1.10(a) dé rit le modèle général qui est aussi valide

pour les améras perspe tives (où

ξ = 0

et

ϕ = 1

) omme le montre la gure 1.10(b).

Notonsi ique,pour desraisonsde larté,leplanimage

z

= 1

estpositionnélégèrement

au dessus de

S

(C,1)

. Les paramètres

ξ

et

ϕ

des miroirs des systèmes atadioptriques

usuels(voir gure1.5) sontdonnés dansletableau 1.2[Barreto 02a℄.

Soient

F

v

lerepère de la améra et

F

c

lerepèredu miroir asso ié au entre unique deproje tion

C

. Le point

P

estprojeté en

p

s

sur

S

(C,1)

detelle sorteque

p

s

= π

s

(

c

P) =

1 k

c

_P

_k

c

_{P= (p}

(23)

Ensuite

p

s

estexprimédans

F

v

;onaalors

v

_p

s

= (p

sx

, p

sy

, p

sz

+ξ)

.Enn

v

_p

s

estprojeté en

c

_p

surleplanimage

z

= ϕ − 2ξ

dans

F

c

(

z

= ϕ − ξ

dans

F

v

):

p

x

=

p

_sx

p

sz

+ ξ

, p

y

=

p

_sy

p

sz

+ ξ

.

(1.3) Lorsque

ξ = 0

et

ϕ = 1

, (1.3) devient

p

x

=

p

_sx

p

_sz

, p

y

=

p

sy

p

_sz

,

(1.4)

qui orrespondaux équationsde laproje tion perspe tive.

mod `ele de projection

Plan image

P

c

_p

c

_P

ϕ

_{− 2ξ}

ξ

V

d ´ecrit par

(ϕ, ξ)

C

P

π

Fig. 1.9 Lienentre

c

_P

et

c

_p

.

Pour les systèmes para atadiopt rique s (

ξ = 1

et

ϕ = 2

), lemodèle de proje tion est dé rit par lagure1.11(a). Il s'agitde laproje tion stéréographique [Needham 97℄.La

gure 1.11(b) montre l'équivalen e entre la proje tion stéréographique et la réexion

surlemiroir paraboloïda l suiviede laproje tion orthographique .

Caméras sh-eye : Pourles amérassh-eye,lemodèle deproje tion peut êtrevu

omme une proje tion sphérique suivie d'une distorsion radiale symétrique. La gure

1.12 dé rit e modèle. Le point

P

est projeté en

p

s

sur

S

(C,1)

. Ensuite le point

p

s

est

exprimé en oordonnées sphériques

(θ, φ)

. Enn le point

p

s

est projeté en

c

_p

par

dis-torsion radiale symétriquesur l'angle

φ

. Plusieurs modèles de distorsionexistent pour

es améras [Ray94℄. L'obje tif est d'approximer au mieux la distorsion radiale.

Ré- emment,unpolynme

ρ(φ)

d'ordre 9modélisant ettedistorsionradialeaétéproposé

dans[Kannala 06℄ :

(24)

Les oe ients

k

i

de

ρ(φ)

font partie des paramètres qu'ilfaut prendre en ompte lors

dupassageduplanimageau apteur.Une versionréduite àl'ordre3de

ρ(φ)

adéjà été

utiliséepar lepassé en synthèse d'images [Greene 86℄.

C

P

p

s

c

_P

S

(C,1)

c

_p

ξ

ϕ

− 2ξ

V

z

y

x

y

x

z

= ϕ

− 2ξ

(a)

C

P

S

(C,1)

ps

c

_P

c

_p

x

z

y

z= 1

(b)

Fig. 1.10 Modèle de proje tion des systèmes de vision entrale atadioptrique : (a)

asgénéral, (b) asdes amérasperspe tivesoù

ξ = 0

et

ϕ = 1

.

Miroir Equation

ξ

ϕ

Paraboloïde

1 4f

m

2 x

+ m

2 y

− f

m

= m

z

1 1+2

f

m

Hyperboloïde

m

z

−(d

m

/2)

l

z

2 −

m

2 x

+m

2 y

l

2 xy

= 1

d

m

√

d

2 m

+4f

m

2 d

m

+2f

m

√

d

2 m

+4f

m

2

Ellipsoïde

m

z

+(d

m

/2)

l

z

2 +

m

2 x

+m

2 y

l

2 xy

= 1

d

m

√

d

2 m

+4f

m

2 d

m

−2f

m

√

d

2 m

+4f

m

2

prendre'-' pour l'hyperboloïde et '+'pour l'ellipsoïde

l

z

= 1/2

p

d

2 m

+ 4f

m

2 ∓ 2f

m

l

xy

=

r

f

m

p

d

2 m

+ 4f

m

2 ∓ 2f

m

d

m

est ladistan eentreles pointsfo aux.

(25)

Les équations deproje tion surleplanimage sh-eye sont donnéespar

p

x

= ρ(φ) cos θ, p

y

= ρ(φ) sin θ,

(1.6)

ave

θ = arctan(p

sy

/p

sx

)

et

φ = arccos(p

sz

)

(voirgure 1.12).

Dansle asoùiln'yapasdedistorsionradiale,ona

ρ(φ) = tan φ

[Ray94℄.Partant de (1.6),on obtient

p

x

= tan(φ) cos θ =

p

sx

p

_sz

, p

y

= tan(φ) sin θ =

p

_sy

p

_sz

(1.7)

qui orrespondent bienauxéquations de proje tion perspe tive.

C

P

ps

c

_P

S

(C,1)

c

_p

x

z

V

z

x

y

z= 0

(a)

C

P

ps

c

_P

S

(C,1)

V

c

_p

z

y

z

z= 0

(b)

Fig. 1.11 Cas des sytèmes de vision para atadio ptrique où

ξ = 1

: (a) proje tion

stéréographique, (b)miroir paraboloïdalet proje tion orthographique .

Pour résumer, quel que soit le système de vision utilisé, on peut é rire de manière

générale:

_c

p

1 = π

p

ξ

(π

s

(

c

_{P)) ,}

(1.8)

où

π

s

estla proje tion sphérique et

π

p

ξ

laproje tion surle planimage

P

π

donnée par

(1.3)pourlessystèmes atadioptrique set les amérasperspe tives(ave

(ϕ, ξ) = (1, 0)

) et par (1.6) pour les amérassh-eye(ave

(ϕ, ξ) = (1, 0)

).

(26)

φ

P

c

_p

S

(C,1)

ps

θ

c

_P

x

z

y

C

z

= 1

Fig. 1.12 Modèlede proje tion des améras sh-eye.

1.1.4 Passage du plan image au apteur

La troisièmeet dernièreétape onsiste àtrouver lelienentre

c

_p

et l'image

p

_p

de

P

surle apteurdevision (voirgure1.13).Celienpeut êtredé rit parune matri e

p

_M

c

telleque:

_p

p

1 =

p

M

c

_c

p

1 .

(1.9) La matri e

p

_M

c

ontient les paramètres intrinsèques

a

du système de vision (voir

-gure1.13) :

l

u

(respe tivement

l

v

)estlalongueurenmètredansladire tion

u

(respe tivement

v

)d'un pixel;

(u

0 , v

0 )

est leve teur- oordo nnées dupoint ditprin ipal du apteur;

f

est la distan e fo ale de la améra asso iée au miroir de fo ale

ϕ − ξ

(voir

tableau1.2 pour les miroirsusuels).

Il existeun modèle omplet de

p

_M

c

prenant en ompte :

lefaitqueles dire tions

u

et

v

du apteur peuventne pasêtre orthogonales; et ladistorsionradialesurle apteur ainsiqueladistorsion tangentielle induite par

lenon-alignement entrel'axe optiquede la améra et l'axedu miroir[Weng 92℄.

Maisnousnouslimitonsàun modèlesimpliéquiest satisfaisant pour ette étude.En

eet,l'asservissement visuel estrobuste à egenre de simpli ation[Espiau93℄.

Systèmes de vision entrale atadioptrique : La matri e

p

_M

c

est dénie dans le asgénéral par [Barreto 02a℄:

p

_M

c

=





(ϕ − ξ)fl

u

0 u

0

0 _{(ϕ − ξ)fl}

v

0

1 

 .

Enposant

f

u

= (ϕ − ξ)fl

u

(resp.

f

v

= (ϕ − ξ)fl

v

),on introduitladistan efo ale géné-ralisée en

u

(resp.

v

).Par exemple pour les amérasperspe tivesoù

ϕ = 1

et

ξ = 0

, on a

f

u

= f l

u

et

f

v

= f l

v

et pour lessystèmespara atadioptr iques où

ϕ = 1 + 2f

m

et

ξ = 1

(27)

(voir tableau 1.2), ona

f

u

= 2f

m

f l

u

et

f

v

= 2f

m

f l

v

.

Plan image

p

_p

c

_p

V

u

v

Capteur

l

u

l

v

P

π

(ϕ

− ξ)f

C

(u

0 , v

0 )

Fig. 1.13 Liensimpliéentre

c

_p

et

p

_p

.

Le ve teurdesparamètres intrinsèquesestdonnépar

a

= (f

u

, f

v

, u

0 , v

0 )

.Ceve teur

estestiméau oursd'unephased'étalonnagedusystèmede vision.Plusieurs méthodes

existent pour étalonner les systèmes atadioptriques et les améras perspe tives. Une

revue de quelques méthodes est disponible dans [Mouaddib 05℄. Dans notre étude, le

système para atadio ptrique a été étalonné en utilisant deux méthodes diérentes qui

exploitent respe tivement l'image de droites [Vanderportaele06℄, et les images d'une

grille planede points [Mei07℄.

Camérassh-eye: Pourles amérassh-eyelamatri e

p

_M

c

estdenouveaudénie

par :

p

_M

c

=





f

0 u

f

0 v

u

v

0

1 



ave

f

u

= f l

u

et

f

v

= f l

v

.

En plus de es quatres paramètres

(f

u

, f

v

, u

0 , v

0 )

, il faut rajouter au ve teur

a

les

oe ients

k

i

du polynme

ρ(φ)

modélisant la distorsion (voir (1.5)). En utilisant la

modélisation de

ρ(φ)

à l'ordre 9 (voir (1.5)), on a

a

= (f

u

, f

v

, u

0 , v

0 , k

1 , k

2 , k

3 , k

4 , k

5 )

[Kannala 06℄. En exploitant les images d'une grille plane, il est possible d'estimer le

ve teur

a

[Kannala06℄.Cetteméthode aété utiliséepour étalonnernotre améra

sh-eye. Le le teur intéressé par l'étalonnage des améras sh-eye peut aussi se référer

à [Tardif 06℄.

Nousvenonsdepasserenrevuelestroisétapesprin ipalesdelaformationdel'image

I

(28)

d'informa-tionsvisuelles( etteséle tionestprésentéeplusloin).Nousnousintéressonsmaintenant

àlapartie a tion de labou le d'asservissement visuel.

1.2 Commande

Comme le montre la gure 1.14, le but de la ommande est de dépla er le robot

suivant une onsignequipeutêtre xéedansl'image.Lesnotationsutiliséesdans ette

partie sont dé ritesdans letableau 1.3.

Commande

S ´election d’informations visuelles

L

s

(P, a)

s

∗

PERCEPTION

s

ACTION

P

v

c

e

Image d ´esir ´ee

Image courante

Robot

I

Matrice

d’interaction

Objet

de l’objet

Param `etres 3D

Fig. 1.14 Commande durobot.

Symbole Dénition

SE(3) =

R

3 _{× SO(3)}

Groupe de Liedesdépla ements

se

(3) ≃ R

3 × R

3

Espa etangent à

SE(3)

θu ∈ R

3

Représentation minimalede l'orientation relative

c

_R

o

r

=

c

_r

o

= (

c

t

o

, θu) ∈ R

3 × R

3

Poserelative entrela améra et l'objet

v

= (υ

x

, υ

y

, υ

z

) ∈ R

3

Vitessesoudegrés de liberté de translationde la améra

ω

= (ω

x

, ω

y

, ω

z

) ∈ R

3

Vitessesoudegrés de liberté de rotationde la améra

v

c

= (v, ω) ∈ se(3)

Vitessesdela améra

s

_{∈ R}

k

Ve teur d'informations visuelles

L

s

∈ R

k×6

Matri ed'intera tion asso iéeà

s

Tab.1.3 Notations pour larobotique.

Nous présentons d'abord (très brièvement) la relation entre lerobot et l'objet lors

(29)

1.2.1 Pose du robot relative à l'objet

Lors de la tâ he de positionnement , 'est l'ee teur du robot qui est dépla é

rela-tivement à l'objet. Plus pré isément, 'est la améra (montée sur l'ee teur) qui est

dépla ée. Celle- i peut être lo alisée par sapose

c

_r

o

relative à l'objetque nousnotons

simplement

r

danstoute ettepartie (voir gure1.15).Le ve teur

r

est omposédesix

paramètres indépendant s dont trois pour dé rire la position relative

c

_t

o

de la améra

et troisautres pour dé rire l'orientation relative

c

_R

o

dela améra.En eet, d'aprèsla

théoried'Euler sur laparamétrisatio nd'unematri e de rotation, troisparamètres sont

né essairesetsusantspourreprésenterl'orientationrelative

c

_R

o

.Cettethéorieest dé- rite dansplusieurs livresdont [Spong 05℄.Onpeut iter parexemple lareprésentation

θu ∈ R

3

où

θ ∈] − π, π[

est l'angle de rotation et

u

∈ R

3

ladire tion unitaire de l'axe

de rotation(voirgure1.16).Cette représentation s'obtient,à partir de

c

_R

o

=





r

11 r

12 r

13 r

21 r

22 r

23 r

31 r

32 r

33 

,

de lafaçon suivante

θ = arccos

r

11 + r

22 + r

33 − 1

2

et

θu =

1

2

sin

θ





r

32

13 − r

− r

23

31 r

21 − r

12 

 ,

(1.10)

oùsin

(x) = sin x/x

.Parabusdelangage,parfoisnousappelerons

r

laposedel'ee teur

du robot ou du robot. L'ensemble des poses possibles

r

que peut atteindre l'ee teur

du robot onstitue l'espa e detravail du robot.

z

_O

F

o

x

y

c

_t

o

c

_R

o

C

x

z

v

y

F

c

ω

Image d ´esir ´ee

Image courante

r= (

c

_t

o

, θu)

(30)

y

u

θ

z

x

C

F

c

Fig.1.16 Rotation d'angle

θ

autourd'un axe de dire tion

u

.

1.2.2 Spé i ation visuell e d'une tâ he

Latâ he onsisteàamenerl'ee teurdurobotàuneposequiréalisela onsignexée

(voir par exemple gure1.15). Il est possible d'exprimer ette tâ he robotique omme

la régulation d'une fon tion

e(r(t))

sur un horizon temporel [Samson 91℄;

t

étant la

variabletemps et

r

lapose durobot. Dansnotre as,lafon tion

e

est donnée par

e

_{(r(t)) = s((r(t))) − s}

∗

(1.11) où

s

_{: SE(3) →}

_R

k

r(t)

_{7→ s((r(t)))}

est une appli ation diérentiable qui dénit un ensemble de

k

informations visuelles

séle tionnées à lapose

r(t)

;

s

∗

est la onsigne( orrespondant à latâ he) surles

infor-mationsvisuelles. I ion onsidère que

s

∗

est onstant.

Puisque

s

est diérentiable,

e

estdiérentiableet on a[Espiau92℄ :

˙e =

∂e

∂r

˙r =

∂s

∂r

˙r = L

s

v

c

(1.12) où

L

s

∈ R

k×6

, appelée matri e d'intera tion, représente la relation vision- ommande

[Sanderson83, Chaumette 90℄.Pluspré isément, ette matri edé rit lavariation

tem-porelle des informations visuelles

s

due à un mouvement de la améra. Le ve teur

v

c

=(v, ω) ∈ se(3)

où

v

= (υ

x

, υ

y

, υ

z

)

et

ω

= (ω

x

, ω

y

, ω

z

)

sontrespe tivementlesvitesses detranslationetderotationdela améra(voirgure1.15),et

se

(3) ≃ R

3 _{× R}

3

est

l'es-pa e tangent à

SE(3)

.

Par exemple,àpartir de l'imageperspe tive

p

_p

dupoint

P

et del'expression(1.9),

il est possible d'obtenir le ve teur de oordonnées métriques

c

_p

_{= (p}

x

, p

y

)

et de dé-nir un ve teur

s

de deux informations visuelles tel que

s

= (p

x

, p

y

)

. La matri e

d'in-tera tion asso iée, dépendant de la profondeur

P

z

in onnue dans e as, est donnée

par [Feddema 89b℄ :

L

s

=

−1/P

z

0 p

x

/P

z

p

x

p

y

−(1 + p

2 x

)

p

y

0 _−1/P

z

p

y

/P

z

1 + p

2 y

−p

x

p

y

−p

x

.

(1.13)

Une méthode généralede al ul desmatri es d'intera tio n pour les primitives usuelles

(31)

Pour assurerune régulation exponentielle dé ouplée de latâ he

e

, on impose

˙e = −λe

(1.14)

où

λ ∈ R

∗+

est legain de latâ he qui doit être réglé de manière adéquate pour avoir

un tempsrapide de onvergen e touten préservant lastabilitédu système.

En inje tant (1.12) dans(1.14), ondéduit la ommande (vitesse)idéale envoyée au

robot

v

c

= −λL

+

s

e,

(1.15)

où

L

+

s

estlapseudo-inverse ausens de Moore-Penrose delamatri e d'intera tio n.

La matri e d'intera tio n

L

s

dépend des paramètres 3D

P

de l'objet, ainsi que des

paramètresintrinsèques

a

dusystèmedevision(voirgure1.14).Pouréviterd'alourdir

les notations, nous n'é rirons pas omme il se devrait

L

s

(P, s, a)

. Comme on l'a vu

dans la partie formation de l'image, on ne dispose que d'une estimation de

a

. Il en

est généralement de même pour les paramètres 3D

P

du modèle de l'objet et pour

le ve teur

s

d'informations visuelles. C'est pourquoi en pratique, on travaille ave les estimations

P

b

,

bs

et

ba

desparamètres de lamatri e d'intera tion. De e fait, la vitesse envoyée aurobot et obtenue de (1.15) s'é rit

v

c

= −λb

L

+

s

be,

(1.16)

où

L

b

+

s

est la pseudo-inverse au sens de Moore-Penrose de l'estimation de la matri e

d'intera tio n.

1.2.3 Analyse de stabilité

La gure 1.17 illustre lanotion de stabilité. Une bille pla ée dansun bol retourne

toujours au fond après un ertain temps. Au fond du bol, la bille est dite en position

d'équilibre stable. En revan he, pla ée au dessus du bol positionné à l'envers, la bille

une fois perturbée n'y revient plus. Le dessus du bol est appelé position d'équilibre

instable.

Position stable

Position instable

Fig.1.17 Positions d'équilibre stableet instable.

D'unpoint devuephysique,labilleattiréepar lefond dubolperd progressivement

del'énergie,jusqu'àstabilisationaufond.Lefonddubolestdon appelépoint

(32)

Onparlede stabilitéglobaledupointd'équilibrelorsque,pla éeaufonddubol,labille

yretourne aprèsn'importe quel é art.

Pourlessystèmesdynamiques,Lyapunovaproposéun adreformelsimple

permet-tant d'analyserlastabilité de la ommande: une ommandeest stablelorsqu'aul du

temps l'énergie dusystèmediminue[Lyapunov66℄. Puisqu'ilest di ile dedéterminer

pré isément l'énergie d'un système, Lyapunov a introduit une fon tion

L(x)

qui peut

êtreinterprétée ommel'énergiedusystèmeenmouvement.Unetellefon tion

L(x)

,

ap-peléefon tiondeLyapunov,doitdon êtrestri tementpositivei.e.

L(0)= 0

et

L(x) > 0

pour

x 6= 0

. Le le teurintéressépar lesdétails théoriquesdel'analyse delastabilitéau

sensde Lyapunovpeut seréféreràl'ouvrage [Spong05℄.

Stabilité au sens de Lyapunov : I i,nous présentons desdénitions relativesà la

stabilitédessystèmes dynamiques.

Soit unsystèmenon linéaire ou linéairedéni par l'équationdiérentielle

˙x = f (x).

(1.17)

L'équation(1.17) dé rit l'évolution dansletemps del'étatdusystèmeenfon tion d'un

état initial (voir gure1.18). Si

f (0) = 0

alors le point

x

e

= 0

est dit point d'équilibre

dusystème.

Dénition 1.1 Lepointd'équilibre

x

e

= 0

est stableausensdeLyapunov sipour tout

ǫ > 0

, il existe

δ(ǫ)

tel que

kx(t

0 ) − x

e

k < δ ⇒ kx(t) − x

e

k < ǫ ∀t ≥ t

0 .

En d'autres termes, omme le montre la gure 1.19(a), le système (1.17) est stable

si la solution reste dans une boule

B

ǫ

entrée en

x

e

et de rayon

ǫ

losrque l'état initial

x(t

0 )

estdansune boule

B

δ

entrée en

x

e

.Autrementdit,silesystèmesubitunepetite perturbation de sa position d'équilibre

x

e

, alors il reste pro he de

x

e

tout letemps (à

partir dumoment où ilest perturbé).

Dénition 1.2 Si le système est stable et s'il onverge vers le point d'équilibre

x

e

, i.e.

kx(t

0 ) − x

e

k < δ ⇒

lim

t→+∞

x(t) = x

e

,

alors on dit que lepoint d'équilibre

x

e

est asymptotiquement stable .

Autrementdit, silesystèmesubitunepetite perturbation desapositiond'équilibre

x

e

,

alors ilyrevientau l dutemps (à partir du moment oùil estperturbé). Cettenotion

estillustrée surlagure1.19(b).

Ces deux notions de stabilité peuvent aussi se traduire en utilisant la fon tion de

L(x)

deLyapunov.

Dénition 1.3 Le point d'équilibre

x

e

= 0

est stable si

˙

L(x) ≤ 0 ∀x ∈ Ω(x

e

),

(33)

x

e

´etat initial

Point d’ ´equilibre

(a)

x

e

(b)

Fig. 1.18Systèmes stables: (a)systèmelinéaire, mêmeévolution pour tous lesétats

initiaux, (b)systèmenon linéaire,l'évolution estfon tion de l'étatinitial.

δ

x(t

0 )

ǫ

x

e

(a)

δ

x(t

0 )

ǫ

x

e

(b)

Fig.1.19 Stabilité d'un système : (a)ausens de Lyapunov,(b)asymptotique.

Dénition 1.4 Dans le as où la dérivée de la fon tion de Lyapunov est stri tement

négative, i.e.

˙

L(x) < 0 ∀x ∈ Ω(x

e

),

alors lepoint d'équilibre

x

e

est asymptotiquement stable .

Dénition 1.5 Pour un systèmelinéaire dé ritpar (1.17), on a

f (x) = Ax,

où

A

est une matri e onstante. Dans e as, le point d'équilibre

x

e

est globalement

asymptotiquement stable si et seulement si Re

(λ(A)) < 0

, i.e. toutes les parties

réelles des valeurs propres dela matri e

A

sontstri tement négatives.

Il est parfois di ile d'analyser la stabilité globale d'un système non linéaire.

Ce-pendant, on peut s'intéresser à sa stabilité lo ale en linéairisant au point d'équilibre

l'équation(1.17) dé rivant l'évolution desonétat. Onobtient alors lamatri e

A

=

∂f

∂x



x

e

=0

(1.18)

(34)

quiest linéaire et invariante dansletemps. Dans e as, on ditque:

Dénition 1.6 Le point d'équilibre

x

e

du systèmenon linéaire (1.17) est lo alement

stablesietseulement siRe

(λ(A)) ≤ 0

oùla matri e

A

est donnée en(1.18). Cemême

point est lo alement asymptotiquement stablesi etseulement siRe

(λ(A)) < 0

.

Remarque 1.1 Si

A

< 0

, i.e les valeurs propres de sa matri e symétrique

A

s

=

1 ₂

(A

⊤

+ A)

sont stri tement négatives, alors le point d'équilibre

x

e

du système

non linéaire (1.17) est lo alement asymptotiquement stable et

˙

L < 0

. Autrement dit, si le système subit une petite perturbation de sa position d'équilibre

x

e

alors il y

retourne en s'y rappro hant systématiquement . Cette remarque est plus forte que

la dénition 1.6où la façon dont le systèmeretourne à sa positiond'équilibre n'est pas

spé iée.

Appli ation à l'asservissement visuel : Pour un système dont la dynamiqueest

(1.12) et l'erreur donnée par (1.11),une fon tion deLyapunov andidate est

L(e(t))=

1

2 ke(t)k

2 ₌

1

2 e

⊤

_e.

(1.19)

Le point d'équilibre orrespond i i à

e(t) = 0

(énergie nulle, en référen e à l'exemple

i-dessusdubol). La variation temporelle de ettefon tion est

˙

L= e

⊤

˙e.

(1.20)

En inje tant (1.12) dans(1.20),on a

˙

L= e

⊤

L

s

v

c

.

(1.21)

De(1.21), onobtient l'équationdelabou lefermée en remplaçant

v

c

par savaleur

donnée en (1.16)

˙

L= −λe

⊤

L

s

L

b

+

s

be.

(1.22)

En pratique, omme

L

s

et

s

dépendent des paramètres 3D

P

de l'objet et des

paramètres intrinsèques

a

du système de vision que l'on ne onnait pas pré isément,

il est possible d'avoir deserreurs dansles estimations de

L

b

+

s

et de

bs

. D'où l'intérêt de l'analysedelastabilitéauxerreursdemodélisationdel'objetetauxerreursd'étalonnag e

dusystèmede vision.

Sion onsidèreuniquementdeserreursdemodélisationalors

be= e

.Partantde(1.22), l'équationde labou lefermée s'é rit

˙

L= −λe

⊤

L

s

L

b

+

s

e.

(1.23)

Partant de(1.23), d'aprèslathéoriede Lyapunov, si

(35)

alors

L < 0

˙

et la ommande du système est asymptotiquement stable. En d'autres

termes, si le système est perturbé de son point d'équilibre (ou point d'attra tion)

e(t) = 0

,ilyretourne aprèsun ertaintemps arla ondition

L < 0

˙

peutêtre interpré-tée omme le faitque l'énergie du système sedissipe.Onparle de stabilitélo ale pour

desperturbations oupositionsinitiales très pro hesdu point d'équilibre,et de stabilité

globale pour desperturbation sou positionsinitiales danstoutl'espa e de travail.

Dans le as où on linéarise au point d'équilibre l'expression (1.22) de la bou le

fermée,on obtient immédiatement lesystèmelinéaire

˙e = −λL

s

∗

L

b

+

_s

∗

E

∗

e

(1.25) où

L

s

∗

estlavaleurdésiréede

L

s

et

E

∗

estune matri etelleque

be= E

∗

_e

dont

l'expres-sion est en général obtenue par linéarisation de

be

. Dans e as, la stabilité

asymp-totique lo ale est obtenue si et seulement si les valeurs propres de

L

s

∗

L

b

+

s

∗

E

∗

sont stri tementspositives.

Il existe d'autres sour es d'erreurs dont nous ne traitons pas i i, notamment les

erreurs liées au bruit sur l'image. Pour e type d'erreur, il est possible d'ee tuer une

analysede stabilité par erreur bornée[Vi torino 02℄.

Le but de ette étude est d'améliorer la ommande du système à travers le hoix

d'informations visuelles

s

. Mais il est également de l'améliorer à travers le hoix du

s héma de ontrle. En eet, la matri e d'intera tio n ourante

L

s

peut présenter des

problèmes de singularité (dansle as de perte de rang, ertaines informations visuelles

éléments de

s

deviennent linéairement dépendantes) ae tant ainsi la stabilité de la

ommande.Deplusle al ul de

L

s

exigeuneestimationdesparamètres 3D ourants

P

del'objet.Une solution onsisteàutiliserlamatri ed'intera tio ndésirée

L

s

∗

(P

∗

₎

oùle

paramètre

P

∗

estxé [Chaumette90℄.La ommandedans e asest donnée par

v

c

= −λb

L

+

s

∗

e.

(1.26)

On peut aussiutiliser la moyenne entre les intera tions ourante et désirée [Tahri 03,

Malis04℄

v

c

= −λ

b

L

s

+ b

L

s

∗

2 !

+

e,

(1.27)

ou mieuxen ore, une ombinaison judi ieusement hoisie[Marey08℄

v

c

= −λ

kb

L

s

+ (1 − k)b

L

s

∗

+

e,

(1.28) ave

k ∈ R ∩ ]0, 1[

.

D'autres études sur l'améliorat ion de la ommande portent sur l'observabilité des

mouvements du robot [Nelson 96, Sharma97℄, sur la visibilité de l'objet à travers la

(36)

La piste que noussuivons dans ette étude onsiste à hoisir judi ieusement

s

an

d'améliorer la relation vision- ommande

L

s

(voir gure 1.20), et don d'améliorer la

ommande donnée par (1.16). Cette piste a fait l'objet de nombreuses re her hes que

nousprésentonsdanslasuite.

S ´election d’informations visuelles

L

s

(P, a)

s

_I(a)

P

Image courante

Robot

v

c

Matrice

PERCEPTION

d’interaction

Objet

Param `etres 3D

de l’objet

Fig. 1.20 Quel hoixpour

s

?

1.3 Séle tion d'informations visuelles

L'utilisation de ertaines informationsissues d'un apteur devision peut

potentiel-lement onduire à des problèmes de stabilité de la ommande si ledépla ement que le

robotdoitee tueresttrèsgrand [Chaumette 98℄.Ilfautdon hoisirdesinformations

idéalesassurant lespropriétés suivantes: stabilitélo alevoireglobale dela ommande,

robustessede la ommandeauxerreurs de modélisationde l'objetet d'étalonnage,

ab-sen ede singularités et de minima lo aux, traje toire satisfaisante du robot maisaussi

desinformations dansl'image et enn dé ouplage maximalet relation linéaire (but

ul-time)entrelesinformationsvisuellesetlesdegrésdeliberté ommandés.Cettedernière

propriété permet d'avoir une ommande linéaire (du système),qui onverge danstout

l'espa e detravail.

Plusieurs solutions surle hoixde

s

existent.Ces solutionspeuvent être lasséesen fon tiondutyped'informationsvisuellesutilisées[Sanderson80℄:informationsvisuelles

2D,3Dou hybrides (2Det 3D).

1.3.1 Asservissement visuel 2D

Ils'agiti id'utiliserdire tementdesinformationsdel'espa e2Dimagepour

ontr-lerles mouvementsdu robot (voir gure1.21),par exemple les oordonnées de l'image

perspe tive du point

P

[Feddema 89b℄ :

s

= (p

x

, p

y

)

. En utilisant une améra pers-pe tive, les informations visuelles pour des objets géométriques telles que les sphères,

(37)

pointest donnéedans[Barreto 02b℄,et elledel'image d'unedroite dans[Mezouar 04,

Hadj-Abdelkader08℄

L'avantagede e type d'asservissement visuel résidedanssarobustesseaux erreurs

d'étalonnag e[Espiau93℄,etauxerreursdetraitement d'image.Enrevan he, es héma

nepermetpasun ontrle dire tdelapose

r

durobot,i.e.iln'yapasde ontrle dela traje toiredurobot dansl'espa e artésien3D. De e fait,lerobot, aulieu d'atteindre

laposedésirée, peut se retrouver soit dansun desquatreminimum globaux lorsque le

ve teur

s

est onstitué des oordonnées de troispoints[Chaumette 93, Mi hel93℄,soit

dans un minimum lo al lorsque le ve teur

s

est onstitué des oordonnées de quatre

points [Chaumette98℄. Une autre onséquen e du fait qu'on ne ontrle pas la pose

r

du robot est que la matri e d'intera tio n peut présenter des singularités ( ertaines

informations visuelles deviennent linéairement dépendantes), e qui peut entraîner des

problèmes de stabilité de la ommande [Chaumette 98℄. C'est la raison pour laquelle

plusieurs travaux ont été (et sont en ore) menés pour améliorer le omportement du

systèmeen utilisant desinformationsvisuelles 2D.

Fig. 1.21 Contrle dans l'espa e 2D image : oordonnées de l'image d'un point sur

l'objet.

Pourun omportementsatisfaisantdurobotdansl'espa e artésien,uneinformation

visuelleproportionnelleàlaprofondeurdel'objetaétéproposéedans[Mahony 02℄.Dans

le même but, les vitesses de translationet de rotation de l'axe optique

z

peuvent être

dé ouplées desautres degrés de liberté àtraversune appro he partitionnée [Corke 01℄.

Une autresolution pour dé oupler les vitesses

υ

z

et

ω

z

de l'axe

z

onsisteà utiliserles

oordonnées ylindriquesde l'image

c

_p

de

P

[Iwatsuki05℄ :

s

= (ρ, θ),

ave

ρ =

q

p

2 x

+ p

2 y

et

θ = arctan(p

y

/p

x

).

(1.29) La matri ed'intera tio n asso iée, mettant enéviden e e dé ouplage,s'é rit

L

s

=

"

− cos θ

P

z

− sin θ

P

z

ρ

P

z

(1 + ρ

2 _{) sin θ −(1 + ρ}

2 _{) cos θ}

₀

sin θ

ρP

z

− cos θ

ρP

z

0 cos θ

ρ

sin θ

ρ

−1

#

.

(1.30)

Nous pouvonsremarquer que

L

s

est singulière lorsque

ρ = 0

auquel as la valeur de

θ

n'est pasdénie.

(38)

obtenue enutilisant lesmoments2D[Bien 93℄.La formeanalytique delamatri e

d'in-tera tionasso iéeauxmoments2Ddetoutordreaétéprésentéedans[Chaumette04℄ .

Ré emment lathéoriedesmomentsinvariantsaétéutiliséepour déterminerdes

ombi-naisonsparti ulière sdemoments2Dtellesquelamatri ed'intera tio nestquasilinéaire

et dé ouplée lorsque desobjetsplans sont onsidérés [Tahri05℄.

Lesétudes sus-mentionnéesutilisent lemodèlede proje tion perspe tivemais

d'au-tresmodèlesdeproje tionsontaussiadaptés,notammentlemodèledeproje tion

sphé-riquequiorelapropriétédepassivitésion onsidèrelaproje tiond'unpoint[Hamel 02℄.

Ce modèle de proje tion a été utilisé pour dénir un diéomorphisme global entre

les informations visuelles

s

et la pose

r

du robot en onsidérant une sphère

mar-quée [Cowan 05℄. Ce diéomorphisme peut être interprété omme un hangement de

oordonnéesentrel'espa e2Dimage etl'espa e artésien3Dpermettantde ontrlerla

pose. Ce travail original seral'objet d'uneattention parti ulière autroisième hapitre.

Ré emment,unehomographieàpartirdedeuxproje tionssphériquesaétéutiliséepour

déterminer unensembled'informations visuellesisomorphe àlaposed'un robotéquipé

d'un systèmede vision atadioptrique [Benhimane06℄.Enn, une autrereprésentation

générique de l'image de l'objet est possible en utilisant les moments al ulés sur la

surfa e d'une sphère [Tahri 04℄. Cette dernière méthode a été ré emment appliquée à

l'image entrale atadioptrique d'un nuage de points [Tahri 08℄. Nous reviendrons, au

deuxième hapitre, sur ette nouvelle voie prometteuse.

1.3.2 Asservissement visuel 3D

La tableau 1.4dé rit les notationsutilisées dans ette partie.

Ce type d'asservissement visuel utilise des informations visuelles exprimées dans

l'espa e artésien 3Den entrée de laloi de ommande(1.16) [Wilson96, Martinet97℄.

Cesinformationssontobtenuesàpartirdelaposerelative

c

_r

o

del'objetparrapportàla

améra(voirgure1.22).Cetteposepeut être al uléeàpartir dumodèlegéométrique

de l'objet. Plusieurs méthodes existent pour estimer

c

_r

o

, par exemple elles données

dans[Tsai 87, Dementhon 95, Lu00, Mar hand 02℄. En bou le ouverte, il est possible

d'estimer assez pré isément le mouvement 3D à réaliser entre les images initiale et