Mme LE DUFF Seconde générale et technologique
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Fiche méthode 2.1 : seconde générale – Etude des variations d’une fonction.
Etude des variations.
Rappel : Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous les nombres a et b de cet intervalle, si a<b alors f(a)<f(b) : f conserve l’ordre sur I.
La méthode consiste donc à prendre deux nombres a et b quelconques dans l’intervalle d’étude et à comparer leurs images.
Exemple :
Soit f définie sur IR par f(x)=−3x²+12x.
a) Montrer que pour tout réel x f(x)=−3(x−2)²+12 b) Démontrer quel est le sens de variations de f sur
]
−∞;2]
. c) Démontrer quel est le sens de variations de f sur[
2;+∞[
.a) Pour tout x réel : développons
) ( 12 ² 3 12 12 12 ² 3 12 ) 4 4 ² ( 3 12 )² 2 ( 3 x f x x x x x x x = + − = + − + − = + + − − = + − − b) Soient a,b∈
]
−∞;2]
, tels que a<b<2 : a-2<b-2<0 )² 2 ( )² 2(a− > b− car a-2 et b-2 sont négatifs )² 2 ( 3 )² 2 ( 3 − <− −
− a b car on a multiplié par un nombre négatif dans l’inégalité f(a)<f(b).
f conserve l’ordre donc f est croissante sur
]
−∞;2]
. c) Soient a,b∈[
2;+∞[
, tels que 2<a<b :0<a-2<b-2 )² 2 ( )² 2
(a− < b− car a-2 et b-2 sont positifs )² 2 ( 3 )² 2 ( 3 − >− −
− a b car on a multiplié par un nombre négatif dans l’inégalité 12 )² 2 ( 3 12 )² 2 ( 3 − + >− − + − a b f(a)>f(b).
