Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4
TD semaine 1. Normes.
Exercice 1 L’objectif de cet exercice est d’´etudier les suites du type (zn) n∈N∗.
1. ´Etudier cette suite pour z = 1 + i 2 . 2. ´Etudier cette suite pour z = 1 + i√3. 3. ´Etudier cette suite pour z = 1 + i
√ 2
2 .
4. Donner un comportement g´en´eral en fonction de |z|. ******************** Exercice 2 Soient (xn) et (yn) deux suite r´eelles d´efinies par
x0 ∈ R xn+1 = − xn√+ yn 2 , et y0 ∈ R yn+1= xn√− yn 2
1. Montrer que la suite complexe (zn) d´efinie par zn = xn+ iyn est g´eom´etrique. En d´eduire
xn et yn en fonction de n.
2. Les suite (xn) et (yn) sont elles convergentes ?
******************** Exercice 3 Soit E = C0([0, 1], R) muni de la norme k.k
∞. On d´efinit ´egalement l’application
N1 sur E par :
N1(f ) =
Z 1
0
et|f (t)|dt. 1. Montrer que N1 est une norme sur E.
2. Soit (fn)n∈N la suite d’´el´ements de E d´efinie par
fn(x) = 1 − nx si 0 6 x 6 1/n
0 sinon. ´
Etudier cette suite pour les normes k.k∞ et N1. Que peut-on en conclure ?
********************
Exercice 4 Soit E le R-espace vectoriel des fonctions f : [0, 1] → R de classe C1. Rappelons que l’application k.k∞: f 7→ supx∈[0,1]|f (x)| est une norme sur E.
1. Montrer que l’application N1 : f 7→ kf k∞ + kf0k∞ est une norme sur E. Est-elle
´equivalente `a k.k∞? (On pourra ´etudier la suite de fonctions d´efinie par f (x) = xn.)
2. Montrer que l’application N2 : f 7→ |f (0)| + kf0k∞ est une norme sur E, ´equivalente `a
N1.
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Exercice 5 Soit E le R-espace vectoriel form´e des suites r´eelles born´ees u = (un)n∈N telles que
u0 = 0. On d´efinit N∞(u) = sup n∈N |un|, et N (u) = sup n∈N |un+1− un|.
1. Montrer que N∞ et N sont des normes sur E.
2. Montrer que pour tout u ∈ E, on a
N (u) 6 2N∞(u).
3. Montrer qu’il existe une suite u ∈ E\{0} telle que N (u) = 2N∞(u) (i.e. la constante
obtenue `a la question pr´ec´edente est optimale).
4. Montrer que les normes N et N∞ ne sont pas ´equivalentes.
