Systèmes différentiels linéaires ordinaires à données presque périodiques

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que Université D’Adrar

Faculté des Sciences et de la Technologie Département des Mathématiques et Informatique

MEMOIRE

Pour l’obtention du diplôme de MASTER

En Mathématiques Spécialité :

Analyse Fonctionnelle et Applications Présenté par

DJAAFRI Fatima Thème

Systèmes di¤érentiels linéaires ordinaires à données presque périodiques Soutenu publiquement le 30 /06 /2019

devant le jury composé de :

M. MAMOUNI Touhami Maître assistant A Université d’Adrar Président

M. KHALLADI Mohammed Taha Maître de conférence A Université d’Adrar Rapporteur M. BOUAZIZ Said Maître assistant A Université d’Adrar Examinateur

Dédicace

Je dédie ce mémoire

A mes parents pour leur amour inestimable A touts mes soeurs et frères

A toute ma famille ainsi qu’à mes amis.

Remerciements

Nous remercions le Grand Dieu

Je tiens a remercier mon encadreur Monsieur KHALLADI Mohammed Taha, Ainsi que tous les enseignants du département dss Mathématiques et Informatique.

Résumé : Dans ce travail, nous rappelons la dé…nition et les propriétés importantes de l’espace des fonctions presque périodiques, en particulier nous présentons quelques résultats sur la presque périodicité de la dérivée et la primitive d’une fonction presque périodique. Ensuite, nous appliquons ces résultats pour étudier l’existence et l’unicité de solutions presque périodiques au système di¤érentiel linéaire ordinaire de la forme.

y0 = Ay + f;

où f = (f1; :::; fn) est une fonction presque périodique donnée, A = (aij)_{1 i;j n} est une matrice

carrée a des nombres complexes comme entrées et y = (y1; :::; yn) est la fonction inconnue.

Mots clés : Fonction presque périodique, Équation di¤érentielle linéaire ordinaire, Système di¤érentiel linéaire ordinaire, Solution bornée, Solution presque périodique.

Abstract : In this work we will recall the de…nition and the important properties of the space of almost periodic functions, in prticalary, we present some results on the almost periodicty of the derivative and the primitive of an almost periodic function. Then we apply these results to investigate the existence and uniqueness of almost periodic solutions to the ordinary linear di¤erential system of the form

y0 = Ay + f;

where f = (f1; :::; fn)is a given almost periodic function, A = (aij)_{1 i;j n} is a square matrix with

complex numbers entries and y = (y1; :::; yn) is the unknown function.

Key words : Almost periodic functions, Ordinary linear di¤erential equation, Ordinary linear di¤erential system, Bounded solution, Almost periodic solution.

0.1 Notations . . . 2 0.2 Introduction . . . 3

1 Fonctions presque périodiques 5

1.1 Dé…nition et propriétés élémentaires . . . 5 1.2 Analyse harmonique . . . 18

2 Propriétés di¤érentielles 29

2.1 La presque périodicité de la dérivée . . . 29 2.2 La presque périodicité de la primitive . . . 31

3 Systèmes di¤érentielles linéaires dans Cpp 35

3.1 Equations di¤érentielles linéaires ordinaires à coe¢ cients constants . . . 35 3.2 Systèmes di¤érentiels linéaires ordinaires à coe¢ cients constants . . . 41

REFERENCES 55

0.1

Notations

N : L’ensemble des nombres naturels. Z : L’ensemble des nombres entiers.

K : Le corps des nombres réels ou complexes.

C : L’espace des fonctions continues sur R à valeurs complexes

Cb : L’espace des fonctions continues bornées sur R à valeurs complexes.

C1 : _{L’espace des fonctions continument dérivables sur R.} kk1: La norme de la convergence uniforme sur R.

Mn(K) : L’espace vectoriel des matrices carrée d’ordre n à coe¢ cients réels ou complexes.

det A : _{Le déterminat d’une matrice A 2 M}n(K):

PA: Le polynôme caractéristique associe à la matrice A:

0.2

Introduction

La presque périodicité est un sujet intéressant dans la théorie qualitative des équations di¤éren-tielles en raison de leur signi…cation et de ses applications en physique, en biologie mathématique, en théorie du contrôle, etc. Pour plus de détails sur cette théorie voir par exemple [1], [2], [3] ou [4].

Une fonction f est périodique si’il existe un nombre réel positif tel que, pour tout x et (x + ) du domaine de f; on a

f (x + ) = f (x);_{8x 2 R}

La somme de deux fonctions périodiques dont le rapport de leurs périodes est irrationnel n’est pas en général périodique. Cette propriété a conduit H. Bohr à introduire la notion des fonctions presque périodiques, au début des années vingt (1924), voir [2].

Les fonctions presque périodiques ont des propriétés voisines de celles des fonctions péri-odiques, en fait on a une périodicité approximative dans le sens que pour tout x réel, l’écart f (x + ) f (x) _{peut être rendu de plus en plus petit. C’est-à-dire, une fonction donnée f : R} ! C est presque périodique si l’ensemble

f 2 R : sup

x2Rjf(x + )

f (x)_{j < "g}

est relativement dense dans R. La théorie des fonctions presque périodiques se développe avec vigueur depuis quatre vingt années environ; très exactement les premiers résultats de celle-ci ont été publiés du pionnier de cette classe des fonctions de H. Bohr , Jouant un rôle important dans l’étude des équations di¤érentielles, elle a été développée après par d’autres auteurs, notamment par Bochner qui vers 1933 a donné deux autres versions de la dé¤nition des fonctions presque

périodiques, équivalentes à celle donnée par H. Bohr, mais plus maniable. L’existence et l’unicité des solutions presque périodiques sont d’une grande importance dans l’étude qualitative des équations dié¤rentielles à cause de leurs applications dans plusieurs domaines tels que la biologie mathématique, la physique, la théorie de contrôle et d’autre domaines, [1],[3], [4].

Ce mémoire est composé de trois chapitres: Le premier chapitre a pour objectif de donner une collection de dé…nitions et résultats classiques sur la presque périodicité au sens de Bohr, en exposant d’abord les di¤érentes dé…nitions des fonctions presque périodiques; celle de Bohr qui est une généralisation de la périodicité, le critère de l’approximation polynômiale et la défnition de Bochner qui caractérise la presque périodicité d’une fonction en utilisant sa normalité. Les éléments fondamentaux concernant l’analyse harmonique des fonctions presque périodiques sont données à la …n de ce chapitre.

Le deuxième chapitre étudie deux propriétés di¤érentielles non linéaires de la presque péri-odicité; il s’agit de la dérivation et la primitivation de fonctions presque périodiques.

Dans le troisième chapitre, nous présentons quelques résultats d’existence et d’unicité des solutions presque périodiques du système di¤érentiel ordinaire linéaire non homogène

y0 = Ay + f

où A est une matrice carrée d’ordre n a des nombres complexes comme entrées et f; est une fonction presque périodique donnée.

Fonctions presque périodiques

Dans ce chapitre nous exposons la dé…nition et les propriétés les plus importants de l’espace des fonctions presque périodiques au sens de Bohr.

1.1

Dé…nition et propriétés élémentaires

Soit (Cb;kk₁) l’espace des fonctions continues bornées sur R à valeurs complexes, muni de la

norme kk1 de la convergence uniforme sur R.

Dé…nition 1.1.1 Un ensemble (A; +; ; _{) est dite algèbre sur un corps K; si:} 1: (A; +; ) est un espace vectoiril.

2: La loi : A A _{! A; est distributive par rapport à la loi +.} 3: (a:x) (b:y) = (ab) (x y) pour tout scalaire a; b et tout x; y_{2 A}

Dé…nition 1.1.2 Soit (A; +; ; _{) une algèbre sur le corps K: Un ensemble B est une sous algèbre} de A, si:

1: B est un sous espace vectoiril de A: 2: _{8x; y 2 B; x y 2 B:}

Dé…nition 1.1.3 Un espace vectoriel normé E est dit espace de Banach, s’il est complet, i.e. Toute suite de Cauchy de E est convergente.

Rappellons que l’espace (Cb;kk₁) est une algébre de Banach.

L’idée de la presque périodicité classique de H.Bohr est la suivante : Si f est une fonction périodique de période alors, la propriété suivante

f (x + ) f (x) = 0;_{8x 2 R; 8n 2 Z;}

est véri…e et l’ensemble discret des périodes fn : n 2 Zg satisfait à la condition suivante

8 2 R; 9n 2 Z : n 2 [ ; + l], où l > 0:

La généralisation de cette propriété à l’ensemble des fonction presque périodiques est le con-cept de la densité relative des ensembles introduit par H. Bohr pour dé…nir les fonction presque périodiques.

Dé…nition 1.1.4 _{Un ensemble E de R est dit relativement dense, s’il existe un nombre réel} l > 0 tel que

[a; a + l]_{\ E 6= ?; a 2 R}

Dé…nition 1.1.5 _{Soit la fonction f : R ! C et soit " > 0 un réel …xé. Un nombre réel non} nul est appelé "-presque période de f , si

sup

x2R jf(x + )

L’ensemble des "-presque périodes de f est noté

E("; f ) =_{f 2 R : sup}

x2Rjf(x + )

f (x)_{j < "g}

Dé…nition 1.1.6 (H. Bohr) _{Une fonction f dé…nie et continue sur R à valeurs complexes est} dite presque périodique au sens de Bohr, si pour tout " > 0, l’ensemble E("; f ) est relativement dense dans R.

Notation 1.1.7 _{L’espace des fonctions presque périodiques sur R au sens de Bohr est noté par} Cpp.

Si f est périodique, alors l’ensemble H(f ) des translatées de f

H(f ) =_ffh : fh(x) = f (x + h); h2 Rg;

forme un espace compact de (Cb;kk₁). En remplaçant la compacité de H(f ) par la compacité

relative on obtient la dé…nition de la presque périodicité (ou la normalité) donnée par S .Bochner.

Dé…nition 1.1.8 (S .Bochner) _{Une fonction f dé…nie et continue sur R à valeurs complexes} est dite presque periodique, si pour toute suite (hn)n de R on peut extraire une sous suite (hnk)k

telle que la suite de fonctions (f (: + hnk))k converge uniformement sur R.

Dé…nition 1.1.9 On appelle polynôme trigonométrique toute fonction T dé…nie par T (x) =

n

X

k=1

ckei kx où k 2 R; ck 2 C

Dé…nition 1.1.10 (Approximation polynômiale) _{Une fonction f dé…nie et continue sur R} à valeurs complexes est dite presque périodique, si pour tout " > 0 ; il existe un polynôme trigonométrique T" tel que

sup

x2Rjf(x)

Exemple 1.1.11 Toute fonction périodique est presque périodique.

Exemple 1.1.12 Tout polynôme trigonometrique est une fonction presque périodique.

Remarque 1.1.13 Il existe des fonctions presque périodiques qui ne sont pas périodiques, prenons par exemple la fonction

f (x) = cos(2x) + cos(p2x); -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 x y Représentation graphique de f

Il n’existe aucun nombre réel T 6= 0 véri…ant f(x + T ) = f(x) 8x 2 R:

Exemple 1.1.14 _{La fonction f dé…nie sur R par}

f (x) = sin(2 x) + sin(p2 x)

est presque-périodique au sens de Bohr. En e¤et, on choisit un entier et p2 di¤érent d’un autre entier par moins de "=2 . Alors, il est clair que

En vertu du théorème des Accroissements Finis appliqué à la fonction sinus entre A = 2 xp2 et B = 2 xp2+ ", il existe un certain _{2]0; 1[ tel que}

f (B) f (A) = f0(A + (B A)):(B A); ou encore,

sin(2 xp2 + ") sin(2 xp2) = cos(2 xp2 + "): " = 0"; où

0

= cos(2 xp2 + "): et donc _j 0_j 1:

Ceci entraîne que sin(2 xp2 + ") sin(2 xp2)+ 0" et donc en revenant à la formule avec f on obtient que f (x + ) = f (x) + 0". Il en résulte que la première assertion de la dé…nition est satisfaite.

Du point de vue géométrique, on observe l’existence de presquepériodes à partir de l’allure de sa courbe. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 x y Représentation graphique de f

Théorème 1.1.15 On a

Def inition (1:1:6)_{, Definition (1:1:8) , Definition ( 1:1:10)}

Preuve. Def inition (1:1:6) _{) Definition ( 1:1:10) : Supposons que 9" > 0 tel que pour} tout polynome trigonométrique T , on a

sup x2Rjf(t) T (t)_{j > "} T (x) = n X k=1 ckei kx;où ck2 C et k 2 R = c1ei 1x+ c2ei 2x+ ::: + cnei nx

on peut véri…e facilement que tout fonction de la forme ckei kx est périodique de période 2

k pour tout k 6= 0 , même si k = 0;alors les polynomes trigonométriquessont des fonctions

périodiques. ainsi que sont des fonctions presque périodiques au Bohr . soit " 2 E("; T ) on a sup x2Rjf(t + ) f (t)_{j =} sup x2Rjf(t + ) T (t) + T (t) T (t + ) + T (t + ) f (t)_j > sup x2Rjf(t + ) T (t + )_j sup x2Rj T (t) + T (t) + T (t + ) f (t)_j > sup x2Rjf(t + ) T (t + )_j sup x2Rj T (t) + T (t + )j + supx2RjT (t) f (t)_j > "

c’est une contradictin ,car f est presque périodiques au sens de Bohr . 2) Def inition ( 1:1:10) ) Definition (1:1:8) : Suposons que f(x) = ei x_;

2 R; si (hn)n

est une suite arbitraire d’un nombre réel,telle que f (x + hn) = eihnxei x contien une

Bolzano_weierstrass, on peut extraite une sous suite (h1n)n de a suit hn; telle que la suite

(ei h1nx_{) elle converge,mais}

jf(x + h1n) f (x + h1m)j = ei h1n eih1m

et d’aprée la critére de cauchy f (x + h1n)est converge uniformément sur R:évidemmen,pour

tout fonction de la forme cei x_{; c}

2 C; aussi est une fonction normale.considére maintent un polynome trigonométrique et une suite d’un nombre réel (hn);on peut extraite une sous suit (h1n)

telle que la suite (c1ei k(x+h1n));uniformément convergente sur R; de meme maniére en peut trouve

l’existence d’une sous suite (hmn)de la suite (hn);telle que la suite (ckei k(x+hkn)); k = 1; 2; :::; m

uniformément convergente sur R:Ansi, (P (x+hmn))est uniformément convergente sur R;prouver

là par la normalitie d’un polynome trigonométrique.

Considérique maintent une fonction presque périodique arbitraire f et une suite d’un poly-nome trigonométrique (Pn(x))n uniformément convergente vers f (x) sur R: si (hn)nest une suite

d’un nombre réel, on peut determine sous-suite (h1n)telle que P1(x + h1n) elle est uniformément

convergente sur R alors on peut extraite de (h1n) une sous-suite (h2n)telle que P2(x + h2n) elle

est uniformément convergente sur R: là elle existe une suite (hpn);8p 2 N telle que Pq(x+hpn) est

uniformément convergente sur R pour tout q 6 p: soit maintent la sous-suite diagonale (hpp)pour

laquelle est une sous-suite de (hqn); donc pour tout n Pn(x + hpp)est uniformément convergente

sur R. soit " > 0 être su¢ samment large si on a

jf(x) Pn(x)j < " 3; x2 R p(x) = n X k=1 ckei kx

il existe N (") > 0 telle que

jPn(x + hpp) Pn(x + hqq)j <

"

3; x2 R si p; q> N(") d’aprée précedent on obtien

jf(x + hpp) f (x + hqq)j 6 jf(x + hpp) Pn(x + hpp)j + jPn(x + hpp) Pn(x + hqq)j

+_jPn(x + hqq) f (x + hqq)j < "; x 2 R

quand p; q> N(") donc la suite (f(x + hpp)) uniformément convergente sur R

donc f et normal.

Def inition (1:1:8)_{) Definition (1:1:6) : Supposons le contraire, c-à-d, que f =2 C}pp; alors

9" > 0 E("; f) n’est par relativement dense.,Prenons maintenant un nombre réel arbitraire h1,et soit [a1; b2] un intervalle de longueur > 2 jh1j que ne contient aucun nombre de E("; f)

notons h2 le centre de cet intervalle, evidemment (h2 h1) 2 [a2; b2], et a frtiori n’appartenir

pas à E("; f ) dé…nissons un intervalle [a3; b3] de longueur > 2(jh1j + jh2j) que ne contient pas un

nombre quelconque de E("; f ); soit h3 le centre de [a3; b3];pour le même raison comme avant les

nombres h3 h1; h3 h2 n’appartiennent pas à E("; f ) de la même dé…nisons h4; h5::: de telle

sorte que aucun des nombres de (hi hj)2 E("; f): Donc , pour tout i; j

sup

x2Rjf(x + h

i) f (x + hj)j > "

Ainsi nous arrivons à la conclusion que aucune sous suite de la suite (f (x + hi)) est

unifor-mément convergente, ce qui est en contradiction avec l’hypothése que f est normale d’ ou le resultat.

Preuve. _{Soit f 2 C}pp:Prenons " = 1 et l = l("); d’aprés la dé…nition de (H. Bohr) la fonction

f est bornée sur [0; l]: Donc, 9M > 0 tel que

jf(x)j 6 M; 8x 2 [0; l] (1.1)

Pour x 2 R on considère l’intervale [ x; x + l] qui contient pour " = 1; on a

jf(x + ) f (x)_{j 6 1; x 2 R} (1.2)

De (1:1) et(1:2) on obtient

jf(x)j = jf(x + ) + f(x) f (x + )_j 6 jf(x + ) j+j f(x) f(x + )j 6 M + 1

D’où f est bornée.

Théorème 1.1.17 _{Toute fonction presque périodique est uniformément continue sur R.}

Preuve. Nous avons d’abord remarqué que tout polynôme trigonométrique est une fonction uniformément continue sur R: En e¤et, toute fonction ckei xest uniformément continue, car pour

tout " > 0 on peut trouver > 0 tel que

jx1 x2j < ) ckei x1 ckei x2 < ";

et par conséquent, la somme d’un nombre …ni de ces fonction sera également uniformément continue considérons une fonction presque périodique f et soit " > 0, il existe un polynôme

trigonométrique P tel que

jf(x) P (x)_{j <} "

3; 1 < x < +1 (1.3)

De la continuité uniforme de P , il existe un certain nombre > 0 véri…ant

jx1 x2j < ) jP (x1) P (x2)j <

"

3 (1.4)

Donc

jf(x1) f (x2)j < jf(x1) P (x1)j + jP (x1) P (x2)j + jP (x2) f (x2)j

De(1:3) et (1:4), il s’en suit que

jf(x1) f (x2)j < "; jx1 x2j <

D’où f est uniformément continue

Proposition 1.1.18 _{Si f 2 C}pp et inf x2Rjf(x)j > 0; alors 1 f 2 Cpp Preuve. On suppose que

inf x2Rjf(x)j = m; alors 1 f (x + ) 1 f (x) = f (x + ) f (x) f (x + )f (x) 6 " m2;8x 2 R;

donc

E("; f ) E( " m2;

1 f):

Théorème 1.1.19 _{Soit f; g 2 C}pp et c 2 C; alors

(1) cf _{2 C}pp: (2) _{jfj 2 C}pp: (3) f + g_{2 C}pp: (4) f g_{2 C}pp: (5) f g 2 Cpp.

Preuve. (1) _{Montrons que cf 2 C}pp: On a

jcf(x + ) cf (x)_{j = jcj jf(x + )} f (x)_{j 6 jcj "; 8x 2 R} car

jf(x + ) f (x)_{j 6 "; 8x 2 R:} Donc

cf _{2 C}pp:

(2) _{Pour démontrer que la fonction jfj est un élément de C}pp; il su¢ t d’utiliser la relation

suivante

jjf(x + )j jf(x)jj 6 jf(x + ) f (x)_{j :} (3) _{Montrons que f + g 2 C}pp: Soit " > 0; alors

jf(x + ) + g(x + ) f (x) g(x)_{j 6 jf(x + )} f (x)_{j + jg(x + )} g(x)_j 6 "

2 + "

Donc f + g 2 Cpp:

(4) _{Montrons que f g 2 C}pp

pour g = f En e¤et, si M est la maximum de f sur [0; l], on a jf(x)j 6 M + " f est bornée

f2(x + ) f2(x) = _{jf(x + )} f (x)_{j jf(x + ) + f(x)j} 6 2(" + M)" = "0 donc f2 2 Cpp: En utilisant l’identité f g = 1 2(f + g) 2 1 2(f g) 2 et la propriété (3) ; on obtient f g 2 Cpp. (5) On a f g = f: 1 g Du fait que 1

g 2 Cpp ( la proposition (1:1:18) ) et de la propriété (4) ; il vient que f

g 2 Cpp: Théorème 1.1.20 L’ensemble Cpp des fonctions presque périodiques au sens de Bohr forme une

sous algébre fermée de l’algébre (Cb;kk₁):

Preuve. D’aprés le théoréme précédent, la somme et le produit de deux fonctions presque périodiques est presque périodique et la multiplication d’une fonctions presque périodiques par un scalaire complexe est presque périodique..Il rest à montrer que Cpp est fermé. En e¤et, soit

(fn) 2 Cpp une suite de fonctions uniformément convergente sur R vers f . Montrons que f 2

Cpp: Soit " > 0; 9N(") 2 N on a

jf(x) fn(x)j 6

"

et comme fN 2 Cpp; alors, il existe un polynome trégonomitrique T"(x) tellque jfN(x) T"(x)j 6 " 2; 8x 2 R; 8n > N(") (1.6) De (1:5) et (1:6) ; on obtient jf(x) T"(x)j jf(x) fN(x)j + jfN(x) T"(x)j 6 "; 8x 2 R;

donc la limite f est presque périodique.

Théorème 1.1.21 (Weierstrass) _{Soit f une fonction continue sur R a valeur complexes et} M _{R un compact, alors pour tout " > 0; on peut dé…nie un polynome T}" tel que

jf(z) T"(z)j < "; 8z 2 M:

Proposition 1.1.22 Si f est une fonction presque périodique et g est une fonction uniformément continue sur ff(x); x 2 Rg; alors g f est presque périodique.

Preuve. _{Comme f 2 C}pp; elle est bornée, supposons que M est borné, En utilisant le

théoréme de Weierstrass, alors pour tout " > 0 il existe un polynome trigonométrique T"(z) tel

que pour tout z 2 M

jg(z) T"(z)j 6 "

on a

1.2

Analyse harmonique

Le présent paragraphe est un rappel de quelques éléments de base de l’analyse harmonique dans la théorie des fonctions presque périodiques. À savoir, la valeur moyenne, l’inégalité de Bessel, l’égalité de Parseval, les exposants de Fourier, les coe…cients de Fourier et les séries de Fourier de ces fonctions presque périodiques.

Dé…nition 1.2.1 On appelle valeur moyenne d’une fonction f et on la note M (f ), la limite dé…nie par lim X!+1 1 X Z X 0 f (x)dx si elle existe.

Théorème 1.2.2 La valeur moyenne de toute fonction presque périodique existe.

Preuve. Premierement on démontre que la valeur moyenne existe, si f est un polynome trigonomitrie, c-à-d f (x) = T (x) = c0+ n X k=1 ckei kx k 6= 0; k = 1; 2; ::; n: On a 1 X Z a+X a T (x)dx = 1 X Z a+X a (c0+ n X k=1 ckei kx)dx = 1 X[(c0x + n X k=1 ck k ei kx_)]a+X a = c0+ 2 X n X ( k=1 ck k )(e i k(a+X) _ei kX 2i )

pour tout X > 0 on obtient 1 X Z a+X a T (x)dx c0 6 2 X n X k=1 ck k ) limX!+1 1 X Z a+X a T (x)dx = c0

donc la valeur moyen existe pour tout polynome trigonométrie.

Soit maintenant f 2 Cppet " > 0 un nombre arbitraire„on peut donc déterminer un polynome

trigonométrique T tel que

sup

x2R jf(x)

T (x)_{j <} "

3 (1.7)

et comme la valeur moyenne de f existe. on peut trouver un nombre X(") tel que

1 X1 Z a+X1 a T (x)dx 1 X2 Z a+X2 a T (x)dx < " 3; 8X1; X2 > X(") (1.8) d’aprés les équations 1:7 et 1:8 on a

1 X1 Ra+X1 a f (x)dx 1 X2 Ra+X2 a f (x)dx 6 1 X1 Ra+X1 a jf(x) T (x)j dx + _X1 1 Ra+X1 a T (x)dx 1 X2 Ra+X2 a T (x)dx + 1 X2 Ra+X2 a jT (x) f (x)j dx < " 3 + " 3 + " 3 = ":

si x1; x2 > X(") alore on démontre aussi

lim X!+1 1 X Z a+X a f (x)dx = lim X!+1 1 X Z X 0 f (x)dx (1.9)

comme la fonction f 2 Cpp donc elle est bornée, il existe M telque sup

x2Rjf(x)j 6 M, pour a > 0 et X > a on obtient 1 X Z a+X a f (x)dx Z X 0 f (x)dx = 1 X Z 0 a f (x)dx + Z X 0 f (x)dx + Z a+X X f (x)dx Z X 0 f (x)dx 6 1 X Z a+X X f (x)dx Z a 0 f (x)dx 6 2aM X

alors l’éalité (1:9) est vrais.

Théorème 1.2.3 L’application

M : (Cpp;kk₁)! C

f _{! M(f)}

est une forme linéaire continue véri…ant les propriétés:

(1) M (f ) = M (f ); où f désigne le conjuguée complexe de f: (2) Si f > 0, alors M(f) > 0: (3) M (f ) = lim X!+1 1 X Ra+X a f (x)dx;8a 2 R:

Preuve. _{Montrons que M est linéaire. En e¤et, soit f; g 2 C}pp et c 2 C: On a

on a M (cf ) = lim X!+1 1 X Z X 0 cf (x)dx = c lim X!+1 1 X Z X 0 f (x)dx = cM (f ) D’autre part, on a M (f + g) = lim X!+1 1 X Z X 0 (f (x) + g(x)) dx = lim X!+1 1 X Z X 0 f (x)dx + lim X!+1 1 X Z X 0 g(x)dx = M (f ) + M (g):

M est continue, soit en e¤et, fn 2 Cpp telle que lim

n!+1fn = f dans Cpp; on montre que

lim

n!+1M (fn) = M (f )dans C: On a

et 0 6 kM(f(x)) M(fn(x))k₁=kM(f(x) fn(x))k₁ 6 lim X!+1 1 X Z X 0 kf(x) fn(x)k₁dx alors lim n!+1kM(f(x)) M (fn(x))k1 6 limn!+1 X!+1lim 1 X Z X 0 kf(x) fn(x)k₁dx 6 lim X!+1 1 X Z X 0 lim n!+1kf(x) fn(x)k1dx 6 0

car (fn)n2N converge uniformément vers f sur R; donc

lim

n!+1M (fn) = M (f ):

Montrons maintenant les propriétés (1) ; (2) et (3) : (1) On suppose que F est la primitive de f; alors

lim X!+1 1 X Z X 0 f (x)dx = lim X!+1 1 X(F (X) F (0))dx = lim X!+1 1 X(F (X) F (0)) = lim X!+1 1 X(F (X) F (0)) = lim X!+1 1 X Z X 0 f (x)dx; donc M (f ) = M (f ):

(2) Soit f > 0 et soit h un nombre réel positif, on pose f(x) = h; alors M (f (x)) = lim X!+1 1 X Z a+X a f (x)dx = lim X!+1 1 X Z a+X a hdx = lim X!+1 1 X[(hx)] a+X a = h> 0 (3) On a 1 X Z a+X a f (x)dx 1 X Z X 0 f (x)dx = 1 X Z X 0 f (x + a)dx 1 X Z X 0 f (x)dx 6 _X1 Z X 0 jf(x + a) f (x)_{j dx} 6 _X1 Z X 0 sup_{jf(x + a)} f (x)_{j dx} 6 _X1 Z X 0 "dx 6 "

ce que montre que M (f ) = lim

X!+1 1 X

Ra+X

a f (x)dx:

Théorème 1.2.4 Soit f une fonction presque périodique et soient 1; 2; :::; n des

nom-bres réels arbitraires distincts et b1; b2; :::; bn des nombres complexes arbitraires, et soit a( k) =

M (f ei kx_{), alors on a} 06 M( f n X k=1 ckei kx 2 ) = M (_jfj2) n X k=1 ja( k)j2+ n X k=1 jck a( k)j2

En particulier, si ck= a( k) ; on obtient l’inégalité de Bessel +1_P k=1ja(

Preuve. En utilisant les propriétes de la valeur moyenne, on obtient M ( f n X k=1 ckei kx 2 ) = M (_jfj2) n X k=1 ckM (f (x)e i kx) n X h=1 chM (f (x)ei hx) + n X k=1 n X h=1 ckchM (ei kx:e i hx) et M (ei kx_:e i hx_{) =} f10si h=ksi h6=k M ( f n X k=1 ckei kx 2 ) = M (_jfj2) n X k=1 cka( k) n X k=1 cka( k) + n X k=1 jckj2 = M (_jfj2) n X k=1 jck a( k)j 2 n X k=1 ja( k)j 2 par consequence M ( f n P k=1 ckei kx 2 prendre le minimun n P k=1ja( k)j 2 M (_jfj2)pour ck= a( k) tel que

cet minimum n’est pas négative donc on obtient

n X k=1 ja( k)j 2 _{6 M(jfj}2 ) : (1.10)

Théorème 1.2.5 Il existe un ensemble …ni ou dénombrable des ; pour lesquels

a( )_{6= 0:}

Preuve. Selon l’inégalité 1:10 on remarque qu’on peut trouver un nombre …nie des où ja( )j > 1: de même pour chaque n, on trouver jeuste un nombre …nie des où on peut écrire

1

n + 1 6 ja( )j < 1 n

comme suite, l’ensemble des _{où pour laquelle a( ) 6= 0 est l’union d’un nombre …nie des} ensemble dénombrables, par consequence elle est dénombrables .

Dé…nition 1.2.6 _{Soit f 2 C}pp; le co¢ cients de Fourier de f est dé…ni par

a : _{R ! C}

7 ! a ( ) = M(f(x)e i x)

Dé…nition 1.2.7 _{Soit f 2 C}pp;on appelle exposants de Fourier de f , les nombres réels n,n> 1

tel que a( n)6= 0.

Dé…nition 1.2.8 Soit An= a( n); n> 1; la série de Fourier associée à f 2 Cpp est donnée par

la série formelle

+1

X

n=1

Anei nx

où n 2 R sont l’exposants de Fourier de f et An2 C étant les co¢ cients de Fourier de f:

On a déjà vu que l’inégalité de Bessel est véri…ée pour les fonctions presque péiodiques. En fait, nous allons le résultat général suivant.

Théorème 1.2.9 Soit f une fonction presque périodique telle que

f (x) s

+1

X

k=1

Akei kx;

alors on a l’égalité de Parseval

+1

X

k=1

jAkj2 = M (jfj2) (1.11)

Preuve. Dapre l’égalité 1:11 on peut écrire

n

P

k=1jA

kj2 6 M(jfj2)

cette inégalité est véri…e pour 8n ,cette aide est

+1 X k=1 jAkj 2 _{6 M(jfj}2 )

soit P polynom trigonométriques, p (x) = 0;si non l’exposant de f est dant l’exposant de Fourier de p(x) et p (x) = n X k=1 Akei kx (1.12)

la sommation soit exist pour telle nque l’exposant de Fourier de f et p:comme f est une

fonc-tions presque périodiques,il existe une polynom trigonométriques pk(x)tel que

j f(x) pk(x)j < 1 p k8x 2 R (1.13) on obtien M (_{j f(x)} pk(x)j 2 )6 1 k on applique la théorème 1:12 ,on obtien

M (_{j f(x)} p_k(x)_j2) < M (_{j f(x)} pk(x)j2) < 1 k M (_{j f(x)} p_k(x)_j2) = f2(x) n X k=1 jAkj 2

où la somme est étandue sur laquelle est exposant de Fourier de pk(x) donc

M (_{j f(x)j}2)6 1 X k=1 jAkj2+ 1 k et pour un arbaitrére large k 2 N;on obtien

M (_{j f(x)j}2)6

1

X

k=1

jAkj2 (1.14)

la comparaisant entre 1:12 et 1:14 obtien 1:11

Pour énoncé le théorème d’unicité on a besoin de résultat suivant.

Proposition 1.2.10 Si la valeur moyenne d’une fonction f presque périodique positive est nulle, alors f 0:

Comme conséquence immédiate du proposition précédent, le résultat suivant qui a¢ rme l’unicité dans l’espace des fonctions presque périodiques.

Théorème 1.2.11 (Unicité) Si deux fonctions presque périodiques ont la même série de Fourier, alors elles sont égales.

Preuve. Si on a deux fonctions presque périodiques distinctes f et g sont de même série de Fourier, alors d’apré l’égalité de Parseval appliquer a la fonction f (x) g(x), il s’ensuit que

M (_{j f(x)} g(x)_j2) = 0:

alors que ( f (x) g(x))_{6= 0, il su¢ t de montrer que la fonction presque périodique non négatif} et non nulle est de moynne positif .

soit '(x)> 0 une fonction presque périodique telle que '(x0) = > 0:

nous avons choisi deux nombres l > 0 et > 0tel que tout intervalle de longeur l de ladroite réelle contien un sous intervalle de longeur 2 dont les points doivevt touts ₃ translation de '(x); et

jx1 x2j < ) j'(x1) '(x2)j <

3:

considérons maintenant un intervalle de longueur l, par exemple [a- x0; a + l x0], a 2 R

alors il existe un ₃ translation de '(x) qui appartient à cet intervlle. on établit que x0+

appartient à l”intervalle [a ; a + l ] _{, et en supposant que jx} x0j < ; le nombre x +

iront sur un intervalle de longueur 2 ;Nous avons

'(x + ) = '(x0) + ['(x) '(x0)] + ['(x + ) '(x)]

>

ce qui prouve que tout intervalle de longueur l sur la droite réelle contient un sous intervalle de longueur 2 à tous les points dont '(x0) > ₃: Cela implique que

1 nl Z nl 0 '(x)dx = 1 nl n X k=1 Z kl (k 1)l '(x)dx > 1 nln:2 :3 = 2 3l : laisser n ! 1, nous obtenons

M ('(x))> 2

3l > 0 d’òu le resultat.

Théorème 1.2.12 Si la série de Fourier d’une fonction f presque périodique est uniformément convergente vers une somme, alors la fonction f coincide avec cette somme.

Preuve. Soit f (x) s +1 X k=1 Akei kx; P (x) = +1 X k=1 Akei kx

la convergence étane uniformément si nous fexons Pn(x) = n

P

k=1

Akei kx

la suite ( Pn(x))n converge uniformément vers P (x) Donc

M (P (x)e i x) = lim n!+1M (Pn(x)e i x_{) = lim} n!+1AkM (e i kx_e i x_{) =} fAn si k= 0 si k6=

par conséquent , P (x) a la même série de Fourier de f (x) selon de théorème Unicité nous devons obtien f (x) P (x)

Proposition 1.2.13 Si la suite de fonctions presque périodiques fk(x) s

+1

X

n=1

A(k)_n ei nx

converge uniformément vers la fonction f , alors la série de Fourier de f est donnée par la formule f (x) s +1 X n=1 Anei nxou An = lim k!+1 A (k) n 8n 2 N

Proposition 1.2.14 Si f est une fonction presque périodique telle que f (x) s +1 X n=1 Anei nx; alors (1) _{f (x) s} +1P n=1 Ane i nx (2) f (x + a) s +1P n=1 Anei nxei na (3) ei x f (x) s +1P n=1 Anei( n+ )x

où a et sont des nombres réels.

Preuve. (1) On a f (x) s +1 X n=1 Anei nx ) f(x) s +1 X n=1 Anei nx= +1 X n=1 Anei nx = +1 X n=1 Ane i nx (2) On a f (x + a) s +1 X n=1 Anei n(x+a)= +1 X n=1 Anei nx+i na = +1 X n=1 Anei nxei na (3) On a ei x _{f (x) s} +1 ei xX n=1 Anei nx = +1 X n=1 Anei xei nx = +1 X n=1 Anei( n+ )x

Propriétés di¤érentielles

2.1

La presque périodicité de la dérivée

Lorsqu’une fonction périodique est dérivable, sa dérivée est automatiquement périodique. Pour les fonctions presque périodiques, ceci n’est pas vrai, puisque rien n’assure que la dérivée soit uniformément continue, ce qui est nécessaire pour la presque périodicité. En fait le résultat suivant assure que cette condition est su¤sante.

Théorème 2.1.1 Si la dérivée f0d’une fonction f presque périodique est uniformément continue sur R, alors elle est presque périodique.

Preuve. Soit f (x) = f1(x) + if2(x); où f1(x); f2(x)sont des fonction réels. Du fait que

f0(x) = f₁0(x) + if₂0(x)

il en résulte que f₁0(x)et f₂0(x) _{sont uniformément continue sur R: Considérons les fonction} '_n = n[f (x + 1 n) f (x)]; n = 1; 2; 3::: On a '_n = f0(x + n n ) = f 0 1(x) + if 0 2(x + n n ) ; 0 < n; n< 1; ce qui signi…e que pour tout " > 0, il existe une N (") de telle sorte que

'_n f0(x) < ";

les fonctions '_n sont presque périodique et, par conséquent, f0 est presque périodique. Proposition 2.1.2 Si la dérivée f0 _{d’une fonction presque périodique f est presque périodique}

alors sa série de Fourier est obtenue par dérivation formelle de la série associée à la fonction f .

Preuve. Supposons que f0est presque périodique, alors sa valeur moyenne M (f0e i x_)existe

et comme 1 X Z a+X a f0e i xdx: = 1 Xf e i x ja+Xa + i X Z a+X a f e i xdx (2.1) et pour X ! +1 M (f0e i x) = i M (f ) (2.2)

il vient que f0 est de meme exposants de Fourier de f ,on exspt pour = 0;si est visible entre l’exposants de Fourier de f: Si on note A0_n le co¢ cient de Fourier de f0; en utilisant la formule 2:2; on obtient

par suite f0_{(x) s} +1 X i k k=1 Akei kx. (2.3)

2.2

La presque périodicité de la primitive

Puisque les primitives de fonctions interviennent naturellement dans la théorie des équations di¤érentielles, il est naturel de regarder le comportement des primitives vis-a-vis de la presque périodicité.

Dé…nition 2.2.1 _{La primitive F d’une fonction f continue sur R est dé…nie par}

F (x) = Z x

a

f (t)dt; où a_{2 R:}

Théorème 2.2.2 (Bohl-Bohr) Une primitive F d’une fonction presque périodique f est presque périodique, si et seulement, si elle est bornée.

Preuve. (_{)) Si F est presque périodique, d’aprés le théoréme (1:1:16) il vient que F est} bornée. (_{() Soit f 2 C}pp on a F (x) = Z x a f (t)dt;

où a est une constante réel. Puisque

F (x) est bornée, de sorte que l’autre des deux nombres

sont …nis F (x) 2 Cpp i, e que l’ensemmble E("; F ) est relativement dense. pour tout " > 0

les nombres de cet ensemble sont dé…nis par la conditition qu’ils remplissent les intégralités

jF (x + ) F (x)_{j =} Z x+

x

f (x)dx 6 " (2.5)

Maintenant,étant donné un > 0;on peut toujours dé…nir les nombres x1; x2 pour satisfaire

les inégalités

F (x1) < k1+ ; F (x2) > k1 (2.6)

prenez maintenant un arbitraire "0 > 0 soit 0unnombre quelconque de E("; f ): Rédaction jx1 x2j = d; nous aurons Z x2+ 0 x1+ 0 f (x)dx Z x2 x1 f (x)dx = Z x+ x f (x + 0) f (x)dx 6 "0d i,e F (x2+ 0 ) F (x1+ 0 ) F (x2) + F (x1) 6 " 0 d d’où F (x2+ 0 )6 F(x1+ 0 ) (F (x2) F (x1)) + " 0 d Mais en 2:4 et 2:6 F (x2+ 0 )6 k2; F (x2) F (x1) > k2 k1 2 (2.7) donc F (x2+ 0 )6 k1+ 2 + " 0 d

Prenez maintenant un "00 > 0;soit 00 > 0 n’importe quel nombres de E("00; f ) , nous avons observer que 0 + 00 E("0 + "00; f (x))

F (x1+

0

+ 00)6 k1+ 2 + ("

0

+ "00)d (2.8)

nous allons maintenant examiner l’intégrale Rx+

00 x f (x)dx dé…nition de 0 véri…at l’intégralité x < x1+ 0 < x + l_"0 nous écrire Z x+ 00 x f (x)dx = Z x1+ 0+ 00 x1+ 0 f (x)dx + Z x1+ 0 x0 (f (x) f (x + 00))dx d’aprés 2:4; 2:7; 2:8; Z x1+ 0+ 00 x1+ 0 f (x)dx = F (x1+ 0 + 00) F (x + 00) < 2 + ("0 + "00)d et d’aprés ?? Z x1+ 0 x0 (f (x) f (x + 00))dx < "00l_"0 (2.9) D’ou Z x1+ 0 x0 f (x)dx < 2 + ("0+ "00)d + "00l_"0

etant donné un " > 0 nous avons posé

= " 6; " 0 = " 6d; " 00 = min("0 = " 3l"0) on obtient à partir de 2:9 Z x+ 00 x f (x)dx < " (2.10)

D’où d’aprés 2:5

E("00; f ) E("; F ) ce qui montre que E("; F ) est relativement dense . donc

F _{2 C}pp.

Proposition 2.2.3 Si la primitive F d’une fonction presque périodique f est presque périodique alors sa série de Fourier est obtenue par intégration formelle de la série associée à la fonction f .

Preuve. De 2:3; si la primitive F de f est presque périodique et si f (x) s +1 X k=1 Akei kx, on obtient F (x) = Z x 0 f (t)dt s Z x 0 ( +1 X k=1 Akei kt)dt s +1 X k=1 Ak Z x 0 ei kt_dt s +1 X k=1 Ak[ 1 i k ei kt_]x 0 s +1 X k=1 Ak( 1 i k ei kx 1 i k ) s +1 X k=1 ( Ak i k ) + +1 X k=1 Ak i k ei kx s c + +1 X k=1 Ak i k ei kx_{. et c =} +1 X k=1 ( Ak i k ):

Systèmes di¤érentielles linéaires dans

C

_pp

3.1

Equations di¤érentielles linéaires ordinaires à coe¢

-cients constants

Dans cette section on s’intéresse à l’existence de solutions presque périodiques des équations di¤érentielles linéaires ordinaires, voir [3] et [4].

Dé…nition 3.1.1 Une équation di¤érentielle linéaire ordinaire à coe¢ cients constants d’ordre 1 est de la forme

ay0+ by = f;

où a 2 C , b 2 C, x 7 ! f (x) est une fonction donnée de la variable x et x 7 ! y (x) est la fonction inconnue de la varible x.

Le résultat suivant est une généralisation du théorème de Bohl-Bohr.

Théorème 3.1.2 _{Soit f 2 C}pp et 2 C; alors une solution de l’équation di¤érentielle

y0 y = f (3.1)

est presque périodique si, et seulement si, elle est bornée.

Preuve. (_{() : Montrons que toute solution bornée de (3:1) est presque périodique. En e¤et,} en résolvant l’équation homogène

y0 y = 0 on trouve que les solutions sont sous la forme

y(x) = ce x; c_{2 C}

Pour chercher une solution particulière de l’équation non homogène, nous supposons que c est une fonction de classe C1

(R), et appliquons la méthode de la variation de la constante. Posons

y(x) = c(x)e x

On dérive y et on le remplace dans l’équation (3:1), on obtient

c0(x)e x+ c(x)e x = c(x)e x+ f (x); c’est-à-dire que,

c0(x) = f (x)e x On intègre par rapport à x, on trouve

c(x) = Z x

0

On en déduit que la solution générale de (3:1) est donnée par

y(x) = e x[k + Z x

0

f (s)e sds]:

En posant = Re + i Im , où Re ; Im _{2 R:, on va distinguer les trois trois cas :} Re > 0; Re < 0 et Re = 0:

Cas Re > 0 : Comme lim

x!+1 e

x _{= lim}

x!+1e

Re x _{= +}

1, alors pour que la solution y soit bornée au voisinage de +1, il faut que

lim x!+1 k + Z x 0 f (s)e sds = 0; i.e. k = Z +1 0 f (s)e sds:

Par hypothèse f 2 Cpp, alors d’après les propriétés des fonctions presque périodiques, f est

bornée.

Notons m = sup

x2Rjf(x)j, alors

06 e sf (s) 6 me Re s e i Im s 6 me Re s:

Ce qui montre que, l’intégral R₀+1f (s)e sds existe et fnie. La solution y s’écrit alors

y(x) = e x[ Z +1 0 f (s)e sds + Z x 0 f (s)e sds]: = e x[ Z +1 x f (s)e sds Z x 0 f (s)e sds + Z x 0 f (s)e sds] = e x Z +1 x f (s)e sds: D’où y(x) = Z +1 x f (s)e (s x)ds:

on véri…e que cette solution est bien presque périodique. Comme la fonction f est presque périodique, alors 8" > 0; il existe lRe " > 0 tel que tout intervalle de longueur lRe " contient au

moins un nombre positif satisfaisant

sup x2Rjf(x + ) f (x)_{j 6 Re " 8 Re 2 R}+: Par suite 8x 2 R, on a jy(x + ) y(x)_{j =} Z +1 x+ e (x t+ )f (t)dt + Z +1 x e (x t)f (t)dt :

En e¤ectuant le changement de variable t = t + ; dans la première intégrale, on obtient

jy(x + ) y(x)_{j =} Z +1 x e (x t)f (t + )dt + Z +1 x e (x t)f (t)dt Donc jy(x + ) y(x)_{j 6} Z +1 x e (x t) _{jf(t + )} f (t)_{j dt} 6 sup x2Rjf(x + ) f (x)_j Z +1 x eRe (x t)dt 6 _Re1 e Re t 1 x :sup x2Rjf(x + ) f (x)_jeRe x 6 1 Re sup_x2Rjf(x + ) f (x)j 6 ":

Ce qui montre que la solution y est une fonction presque périodique.

Cas : Re < 0 : On procède de la même manière, cette fois-ci en considérant le fait que

lim x! 1 e x _{= lim} x! 1e Re x _{= +} 1;

on obtient

y(x) = Z x

1

e (x t)f (t)dt:

Cas : Re = 0 : Dans ce cas on a = Im i , avec Im _{2 R, alors la solution y est de la} forme

y(x) = ei Im x k + Z x

0

f (s)e i Im sds :

Si on suppose que y est bornée alors on aura nécessairement

x_{7 !} Z x

0

f (s)e i Im sds;

est aussi bornée. Puisque

s_{7 ! f(s)e} ibs

est presque périodique en tant que produit de deux fonctions presque périodiques, on en déduit que

x_{7 !} Z x

0

f (s)e ibsds;

est une primitive d’une fonction presque périodique, ceci entraîne que

x_{7 !} Z x

0

f (s)e i Im sds

est presque périodique, donc y l’est aussi.

(_{)) : Pour démontrer que toute solution presque périodique de l’équation (3:1) est bornée,} on va distinguer les trois cas précédents.

Cas Re > 0 : On a

y(x) =

Z +1 x

Puisque f est bornée, alors e tf (t) 6 me Re t e i Im t 6 me Re t; où m = sup x2Rjf(x)j : D’où jy(x)j = Z +1 x e (x t)f (t)dt 6 Z +1 x e (x t)f (t) dt 6 sup x2Rjf(t)j Z ₊₁ x e (x t) dt 6 meRe x Z +1 x e Re tdt 6 meRe x 1 Re e Re t 1 x 6 m Re : Ce qui montre que y est bornée.

Cas : Re < 0 : Dans ce cas la solution est donnée par

y(x) = Z x

1

e (x t)f (t)dt:

En supposant que cette solution est presque périodique et que m = sup

x2Rjf(x)j, on a jy(x)j 6 Z x 1 e (x t)f (t)dt 6 sup x2Rjf(t)j Z x 1 e (x t)dt 6 mZ x 1 eRe (x t)dt 6 meRe x Z x 1 e Re tdt 6 meRe x 1 Re e Re t x 1 6 m jRe j:

D’où y est bornée.

Cas : Re = 0 : La solution est de la forme

y(x) = ei Im x(C + Z x

0

e i Im tf (t)dt)

Elle est bornée si et seulement si Z x

0

e i Im tf (t)dt;

est bornée. Puisque la fonction sous le signe intégrale est presque périodique. Le théorème(2:2:2) implique que cette intégrale indé…nie est presque périodique, donc y est bornée.

3.2

Systèmes di¤érentiels linéaires ordinaires à coe¢ cients

constants

Dans cette section on s’intéresse à l’existence de solutions presque périodiques du système dif-férentiel linéaire ordinaire suivant

dyi dt(x) = n X j=1 aijyj(x) + fi(x); 16 i 6 n (3.2)

où aij; 16 i; j 6 n; sont des nombres complexes et fi; 16 i 6 n; sont des fonctions presque

périodiques données.

La forme matricielle du système (3:2) est donnée par

où Y (x) = 0 B B B B B B @ y1(x) .. . yn(x) 1 C C C C C C A , A = 0 B B B B B B B B B B @ a11 a12 a1n a21 a22 : : : a2n .. . . .. ... ... an1 : : : 0 ann 1 C C C C C C C C C C A et f (x) = 0 B B B B B B @ f1(x) .. . fn(x) 1 C C C C C C A :

Dé…nition 3.2.1 Une solution du système (3:2) est dite presque périodiques (resp.bornée) si toutes ses composantes sont presque périodiques (resp. bornées).

Dé…nition 3.2.2 Une matrice carrée d’ordre n est dite triangulaire supérieure si elle est de la

forme ₀ B B B B B B B B B B @ a11 a12 a1n 0 a22 : : : a2n .. . . .. ... ... 0 : : : 0 ann 1 C C C C C C C C C C A ;

où aij, 16 i < j 6 n; sont des nombres complexes.

Dé…nition 3.2.3 _{Une matrice B 2 M}n(C) est dite inversible si et seulement s’il existe D 2

Mn(C); tel que

BD = DB = I; où I est la matrice identité dans Mn(C) On note alors

D = B 1;

et on dit que D est l’inverse de B:

Dé…nition 3.2.4 Un polynôme caractéristique PA associé à une matrice A 2 Mn(C); est dit

Lemme 3.2.5 _{Soit n 2 N et A = (a}ij)16i;j6n 2 Mn(C), alors il existe une matrice P 2 Mn(C)

inversible telle que P 1_{AP soit triangulaire supérieure, i.e.}

P 1AP = 0 B B B B B B B B B B @ 1 b12 b1n 0 2 : : : b2n .. . . .. ... ... 0 : : : 0 n 1 C C C C C C C C C C A , (3.4)

où i; 16 i 6 n; sont les valeurs propres de la matrice A.

Preuve. On raisonne par récurrence sur n: Pour n = 1, on a

A = a11) PA(x) = (a11 x)

est scindé et A est bien triangulaire supérieure.

Supposons que la propriété est vraie pour l’ordre n 1et on va montrer qu’elle est vraie pour n_{. Soit A 2 M}n(C) est telle que

PA(x) = ( 1 x)( 2 x):::( n x):

Comme 1 est une valeur propre de A, il existe v1 2 Cn un vecteur propre,non nul associé à 1:

C’est donc une famille libre, que l’on peut compléter à l’aide de vecteurs v2,...,vn en une base B

de Cn_{. La matrice A dans cette base est semblable à une matrice de la forme}

p₁1Ap1 = 0 B B B B B B B B B B @ 1 b12 b1;n 0 .. . Bn 0 1 C C C C C C C C C C A ; , où Bn 2 Mn 1(C),

Par conséquent

) det(P1 1AP1 In) = ( 1; ) det(Bn In 1) = 0;

ce qui montre que l’équation caractéristique de la matrice p11Ap1 doit avoir les mêmes racines

que l’équation caractéristique de la matrice A, et ainsi, les valeurs propres de Bn sera 2 ,. . . , n:

Par l’hypothèse d’induction nous pouvons a¢ rmer qu’il existe une matrice Pn 1Mn 1(C) telle

que det Pn 16= 0 et P_{n 1}1 Bn 1Pn 1 = 0 B B B B B B B B B B @ 2 c12 c1n 0 3 : : : c2n .. . . .. ... 0 0 n 1 C C C C C C C C C C A :

Considérons la matrice inversible

Pn = 0 B B B B B B B B B B @ 1 0 0 0 .. . Pn 1 0 1 C C C C C C C C C C A

Si on pose P = P1Pn, nous obtenons

P 1AP = P_n1(P₁ 1AP1)Pn= 0 B B B B B B B B B B @ 1 b12 b1;n 0 2 b2;n . .. 0 0 n 1 C C C C C C C C C C A

Théorème 3.2.6 Si les fonctions fi, 16 i 6 n; sont presque périodiques, alors une solution sur

R du système (3:2) est bornée si et seulement si elle est presque périodique.

Preuve. (=_{)) : Elle découle du fait que C}pp Cb:

(_{(=) : Montrons que si la solution y de (3:2) est bornée, alors elle est presque périodique.} Montrons d’abord que le résultat est vrai pour les matrices triangulaires supérieures. En e¤et, soit le système di¤érentiel

dY

dx (x) = T Y + g;

où T = (tij)16i;j6nest une matrice triangulaire supérieure de Mn(C) et les fonctions g = (g1; :::; gn)

est une fonction presque périodique. Ce système est équivalent au système 8 > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > : dy1 dx (x) = t11y1(x) + t12y2(x) + + t1nyn(x) + g1(x) dy2 dx (x) = t2y2(x) + + t2nyn(x) + g2(x) .. . ... dyn 1 dx (x) = tn 1;n 1yn 1+ tn 1;nyn+ gn 1(x) dyn dx (x) = tn;nyn+ gn(x) (3.5)

En raisonnant par récurrence sur l’ordre de la matrice T , le théorème (3:1:2) assure le résultat pour une matrice d’ordre 1: Supposons qu’il est vrai pour les matrices de taille n, et montrons le pour les matrices de taille n + 1, i.e. montrons que le résultat est vrai pour le système

8 > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > : dy1 dx (x) = t11y1(x) + t12y2(x) + + t1nyn(x) + g1(x) dy2 dx (x) = t2y2(x) + + t2nyn(x) + g2(x) .. . ... dyn dx (x) = tn;nyn(x) + tn;n+1yn+1(x) + gn(x) dyn dx (x) = tn+1;n+1yn+1(x) + gn+1(x) (3.6)

Soit 0 B B B B B B @ y1 .. . yn 1 C C C C C C A

une solution bornée de (3:6) : La dernière équation est

dyn+1

dx (x) = tn+1;n+1yn+1(x) + gn+1(x);

et le théorème (3:1:2) assure que yn+1est presque périodique. On applique maintenant l’hypothèse

de récurrence pour i; j 2 f1; ::; ng; donc le résultat est vrai pour les matrices de taille n+1, et par conséquent il est vrai pour les matrices de taille n; ce qui achève la démonstration du théorème pour les matrices triangulaires supérieures.

Dans le cas général, d’après le lemme (3:2:5) il existe une matrice P 2Mn(C) inversible et

T _2Mn(C) triangulaire supérieure contenant les valeurs propres de A sur sa diagonale telles que

A = P 1T P:

Soit Y une solution bornée de (3:3), alors on a en multipliant à gauche par P que dP Y

dx (x) = T P Y (x) + P f (x) En posant Z = P Y et g = P f , on aura

dZ

dx (x) = T Z (x) + g (x) :

Les composantes de g sont toutes presque périodiques en tant que combinaisons linéaires à coe¢ cients constants de fonctions presque périodiques..Puisque Y est bornée alors Z = P Y est bornée, car zi =

n

P

j=1

pijyj; où 1 i n et pij; sont les éléments de la matrice P et donc d’après

du vecteur Y = P 1_{Z; sont des combinaisons linéaires à coe¢ cients constants de composantes}

de Z; on en déduit alors que les composantes de Y sont presque périodiques, et par conséquent la solution Y est presque périodique.

Remarque 3.2.7 Le théorème (3:2:6) ne garantit pas l’existence de solution bornée, alors la question qui se pose est quelles conditions sur la matrice A doit-on imposer pour avoir une solution bornée ? En fait, le théorème suivant répond à la question.

Théorème 3.2.8 Si les fonctions fi; 1 6 i 6 n, sont presque périodique et la matrice A =

(aij)16 i;j6n ne possède aucune valeur propre à partie réelle nulle, alors le système (3:2) admet

une unique solution presque périodique. De plus, si Y = 0 B B B B B B @ y1 .. . yn 1 C C C C C C A

est la solution presque périodique

du système (3:2), et si M = max 16 i6nfsup_x2Rjfi(x)jg; alors sup x2Rjy i(x)j 6 CM; 1 6 i 6 n (3.7)

où C est une constante positive dépendant uniquement de la matrice A.

Preuve. De la preuve du théorème (3:2:6) ; il su¢ t de montrer que le système (3:6) ; où les valeurs propres satisfaisant Re _{6= 0; admet une solution bornée. Le système (3:6) montre en} dé…nissant yn par yn(x) = +1_Z x eRe n(x s)_g n(s) ds; si Re n> 0 (3.8)

ou yn(x) = x Z 1 eRe n(x s)_g n(s) ds; si Re n < 0; (3.9)

et en remplaçant la solution ynin equation (n 1)de (3:6) ; on obtient pour vn 1une équation de

la même forme que la dernière équation: Puisque Re n 1 6= 0; on obtient les mêmes cas possibles

(3:8) ; (3:9) pour vn 1; et ainsi de suite. Donc il reste à montrer que la solution du système (3:6)

ainsi construite (y1; :::; yn) est une fonction bornée. En e¤et, soit > 0 tel que

jRe ij ; 1 i n: (3.10) De (3:8) et (3:9) ; on obtient kynk₁ kg nk₁ (3.11) et de l’équation y0_{n 1}(x) = n 1yn 1(x) + tn 1nyn(x) + gn 1(x) ;

et en exprimant yn 1 par l’une des formules (3:8) ; (3:9) ; on obtient

kyn 1k₁

jtn 1njkgnk1 +kgn 1k₁

(jtn 1n₂ j+ 1) max (_kgnk₁;kgn 1k₁) : (3.12)

En continuant, pour i = n 2; n 3; :::; 1; _{9C = C (A) > 0 tel que}

max

i n kyik1 C maxi n (kgik1) : (3.13)

ce qui permet de conclure.

Remarque 3.2.9 Le théorème (3:2:8) n’est pas valide si la condition Re i 6= 0 n’est pas satisfait.

Plus précisément, montrons par un exemple que le théorème (3:2:8) n’est pas vrai, s’il existe au moins une valeur propre i telle que Re i = 0:

Exemple 3.2.10 Sans perte de généralité, on peut considérer que n= i , où est une valeur

réelle. La dernière équation du système(3:6) peut alors être écrite dzn

dx (x) = ivzn(x) + gn(x) (3.14)

Puisque gn est une fonction arbitraire presque périodique, on prendre

gn(x) = ei x:

Il est clair que l’intégrale générale de l’équation (3:14) est

zn(x) = (x + c)ei x;

qui est non bornée. Par conséquent, l’équation(3:14) n’a pas de solution bornée dans R.

Exemple 3.2.11 Dans la théorie des oscillations, on rencontre fréquemment des équations dif-férentielles sous la forme

d2y

dx2 (x) + 2A

dy

dx(x) + By (x) = f (x) (3.15)

où f est une fonction presque périodique. Généralement, f est une fonction sinus ou une somme …nie de telles fonctions. Le système linéaire équivalent à l’équation (3:15) est

8 > > < > > : dy dx = y dy dx = By 2Ay + f :

Les racines caractéristiques de la matrice associée à ce système sont A pA2 _{B. Si on suppose}

que A et B sont réels avec AB 6= 0, il vient que les parties réelles de ses racines caractéristiques sont distinctes de zéro. En e¤et, si A2 _B 6 0; la partie réelle est A pour les deux racines

par le théorème (3:2:8), l’équation (3:15) a une unique solution presque périodique. Dans le cas où A = 0 et B 6= 0; chaque solution bornée de l’équation (3:15) sera presque périodique comme le montre le théorème (3:2:6).

Exemple 3.2.12 Soit le système di¤érentiel suivant 8 > > < > > : x1(t) = x1(t) + 8x2(t) + eit x2(t) = 2x1(t) + x2(t) + e p 2it (3.16)

Il est clair que les deux fonctions t 7 ! eit

;t 7 ! ep2it _{sont presque périodiques.}

Le système (3:16) s’écrit sous la forme matricielle

X (t) = AX (t) + f (t) où A = 0 B B @ 1 8 2 1 1 C C A ; f(t) = 0 B B @ eit ep2it 1 C C A et X(t) = 0 B B @ x1(t) x2(t) 1 C C A :

On résout d’abord le système homogène associé

X (t) = AX (t) :

Le polynôme caractéristique de la matrice A est

PA( ) = det(A I) = 0;

et l’équation caractéristique associée est donnée par

En conséquence, les valeurs propres de A sont : 1 = 3 liée au vecteur propre v1 = 0 B B @ 2 1 1 C C A ;

et 2 = 5 liée au vecteur propre v2 =

0 B B @ 2 1 1 C C A ; P = 0 B B @ 2 2 1 1 1 C C

A, est la matrice de passage de la base canonique de R2 vers la base formée des vecteurs propres 1 et 2:.On a

A = P DP 1 avec D = 0 B B @ 3 0 0 5 1 C C A et P 1 = 0 B B @ 1 4 1 2 1 4 1 2 1 C C A : Posons Y (t) = P 1X(t): c’est-à-dire que X(t) = P Y (t)

Une fonction X(t) est solution du système homogène si et seulement si

Y (t) = DY (t) = 0 B B @ 3 0 0 5 1 C C A Y (t): En e¤et, on a X(t) = AX(t) (3.17) = (P DP 1)P Y (t) = P DY (t) comme X(t) = P Y (t);

alors X(t) = P Y (t): Par conséquent, Y (t) = DY (t); ou encore Y (t) = 0 B B @ c1e 3t c2e5t 1 C C A ; avec c1; c2 2 R: Donc X(t) = P Y (t) = 0 B B @ 2 2 1 1 1 C C A 0 B B @ c1e 3t c2e5t 1 C C A = c1e 3tv1+ c2e5tv2:

En appliquant la méthode de la variation de la constante, on cherche une solution du système non homogène (3:16) sous la forme

X(t) = c1(t)e 3tv1+ c2(t)e5tv2; avec c1; c2 C1(R); on a alors, X(t) = c0₁(t)e 3tv1 3c1(t)e 3tv1 + c 0 2(t)e 5t_v 2+ 5c2(t)e5tv2: Puisque

AX(t) = 3c1(t)e 3tv1+ 5c2(t)e5tv2;

il vient X(t) = c0₁(t)e 3tv1+ c 0 2(t)e 5t_v 2+ AX(t):

Donc Y est solution de (3:16) ; si et seulement si

c0₁(t)e 3tv1 + c

0

ce qui est équivalent au système 8 > > < > > : 2c0₁(t)e 3t+ 2c0₂(t)e5t = eit c0₁(t)e 3t_{+ c}0 2(t)e5tv2 = ei p 2t :

On résout ce système et on trouve c01(t) et c

0

2(t); puis en intégrant, on obtient

c1(t) = e(p2i+3)t 2(p2i + 3) e(i+3)t 2(i + 3)+ a1 c2(t) = e(i 5)t 4(i 5)+ e(p2i 5)t 2(p2i 5)+ a2 où a1; a2 2 R. La solution du système (3:16) est donc

X(t) = ( e (p2i+3)t 2(p2i + 3) e(i+3)t 2(i + 3) + a1)e 3t_v 1+ ( e(i 5)t 4(i 5)+ e(p2i 5)t 2(p2i 5)+ a2)e 5t_v 2 = 0 B B @ 8 17+2p2ie p 2it 2 8+ie it _2a 1e 3t+ 2a2e5t 1 p2i 17+2p2ie p 2it (i 1) 4(8+i)e it_{+ a} 1e 3t+ a2e5t 1 C C A :

La solution X est bornée car ses composantes x1 et x2 sont bornées. En e¤et,

jx1(t)j = 8 17 + 2p2ie p 2it 2 8 + ie it _2a 1e 3te 3t+ 2a2e5t 8 17 + 2p2i e p 2it + 2 8 + i e it + 2_ja1j e 3t + 2ja2j e5t 8 p 197 + 2 p 65 + 2ja1j + 2 ja2j jx2(t)j = 1 p2i 17 + 2p2ie p 2it (i 1) 4 (8 + i)e it_{+ a} 1e 3t+ a2e5t 1 p2i 17 + 2p2i e p 2it + (i 1) 4 (8 + i) e it +_ja1j e 3t +ja2j e5t p 3 p 197 + p 2 4p65+ja1j + ja2j :

Alors la solution du système (3:16) est presque périodique. D’autre part, comme la matrice A ne possède aucune valeur propre à partie réelle nulle,alors d’après le théorème (3:2:8) cette solution est l’unique solution bornée qui est presque périodique.

Conclusion et Perspectives

Dans ce mémoire, nous avons étudié les di¤érentes dé…nitions des fonctions presque péri-odiques, ainsi que leurs propriétés fondamentales. Une attention particulière a été accordée à la presque périodicité des solutions du système di¤érentiel

Y0 = AY + f; où f 2 Cpp et A 2Mn(C).

Finalement, nous estimons que la théorie des fonctions presque périodiques est un domaine très vaste et intéressant, en particulier en ce qui concerne les applications., il se trouve beaucoup de problèmes ouverts et di¤érentes questions sont encore posées.

En perspectives, nous sommes intéressé par l’étude de certaines questions liées à l’existence et l’unicité de solutions du systèmes di¤érentiels non linéaires dans l’espace Cpp des fonctions

REFERENCES

[1] Besicovitch A.S., Almost periodic functions, Dover, (1954) :

[2] Bohr H., Almost periodic functions. Chelsea Publishing Company, (1947). [3] Corduneanu C., Almost periodic functions, Interscience Publishers, (1968) :

[4] Fink A. M., Almost periodic di¤erential equations, Lecture Notes in Math., 377, Springer, (1974) :