1ereS_Ex_Chapitre 08

4. Exercices et corrig ´es

Les exercices de la fiche sont corrig´es sur une feuille s´epar´ee.

. N°9p.199 - ´

Enonc ´e

ABCDEF est un hexagone r´egulier.

Indiquez la mesure des angles :

a) ( ~OA, ~OC) b) ( ~AB, ~BE) c) ( ~AB, ~CD) d) ( ~AB, ~OE)

. N°9p.199 - Corrig ´e

Les r´eels qui correspondent aux points A, B, C, D, E, F sont par exemple : A(0), B(π 3), C( 2π 3), D(π), E( 4π 3 ), F ( 5π 3).

Si on arrive `a se ramener `a des vecteurs d’origine O, on pourra utiliser ces nombres pour calculer les angles comme `a la Def 8.4.

a) Donc ( ~OA, ~OC) = 2π 3 −0 =

2π 3 [2π]

b) On a ~AB= ~OCet ~BE= 2 ~OE, donc ( ~AB, ~BE) = ( ~OC,2 ~OE) ; or ~OEet 2 ~OEsont colin´eaires, donc l’angle ( ~OC,2 ~OE) est ´egal `a l’angle ( ~OC, ~OE) = 4π

3 − 2π

3 = 2π

3 . Donc ( ~AB, ~OC) = 2π

3 [2π].

c) De la mˆeme mani`ere, ( ~AB, ~CD) = ( ~OC, ~OE) = 2π 3 [2π].

d) ( ~AB, ~OE) = ( ~OC, ~OE) = 4π 3 − 2π 3 = 2π 3 [2π].

. N°13p.200 - ´

Enonc ´e

Le triangle ABC est rectangle en A et ( ~CA, ~CB) =π 5.

1°) Justifiez l’´egalit´e : ( ~BA, ~CB) = ( ~AB, ~AC) + ( ~CA, ~CB) 2°) D´eduisez-en la mesure principale de ( ~BA, ~CB).

. N°13p.200 - Corrig ´e

1°) D’apr`es la relation de Chasles, ( ~BA, ~CB) = ( ~BA, ~AC) + ( ~AC, ~CB). Or ( ~BA, ~AC) = ( ~AB, ~AC) + π [2π], et ( ~AC, ~CB) = ( ~CA, ~CB) + π [2π] ; donc ( ~BA, ~CB) = ( ~AB, ~AC) + ( ~CA, ~CB) + 2π [2π],

ou encore ( ~BA, ~CB) = ( ~AB, ~AC) + ( ~CA, ~CB) [2π]. 2°)( ~BA, ~CB) =π 2 + π 5 = 7π 10[2π].

C’est la mesure principale de ( ~BA, ~CB).

. N°14p.200 - ´

Enonc ´e

1°) En utilisant la figure, justifiez que :

( ~AD, ~CB) = ( ~AD, ~AC) + ( ~CA, ~CB) + π 2°) D´eduisez-en la mesure principale de ( ~AD, ~CB).

. N°14p.200 - Corrig ´e

1°) ( ~AD, ~CB) = ( ~AD, ~AC) + ( ~AC, ~CB) [2π]. Or ( ~AC, ~CB) = ( ~CA, ~CB) + π [2π], d’o`u le r´esultat. 2°) ( ~AD, ~CB) = −π 3 + π 4 + π = −4 π+3π+12π 12 = 11π 12 [2π].

(on a un triangle ´equilat´eral et un triangle isoc`ele rectangle) ; c’est la mesure principale.

. N°46p.207 - ´

Enonc ´e

Une mesure de (~u, ~v) est fix´ee. Dans chacun des cas suivants, donnez une mesure de chacun des angles orient´es indiqu´es. 1°) Si (~u, ~v) = π

6, donnez la mesure de :

a) (~u,2~v) b) (~v, −2~u) c) (−~v, −~u) 2°) Si (~u, ~v) = α, α ∈ R ; donnez la mesure de :

a) (3~u, −2~v) b) (−2~u, ~v) c) (−3~u, −2~v)

. N°46p.207 - Corrig ´e

1.a) (~u,2~v) = π 6 [2π] 1.b) (~v, −2~u) = (~v, −~u) = (~v, ~u) + π = −π 6 + π = 5π 6 [2π] 1.c) (−~v, −~u) = (~v, ~u) = −π 6 [2π] 2.a) (3~u, −2~v) = (~u, −~v) = α + π [2π] 2.b) (−2~u, ~v) = (−~u, ~v) = α + π [2π] 2.c) (−3~u, −2~v) = (−~u, −~v) = (~u, ~v) = α [2π] 102