Khôlle d’analyse
Samuel Rochetin
Jeudi 19 avril 2018
Exercice. Montrer que tout sous-groupe de (R, +) est dense dans R ou de la forme aZ, a ∈ R∗.
Solution. Le sous-groupe trivial est bien de la forme aZ, avec a = 0.
Soit (G, +) un sous-groupe non trivial. G contient alors un réel x 6= 0. Quitte à considérer son inverse −x, nous pouvons supposer x > 0. Ainsi, G ∩ R∗+ est
une partie non vide de R, puisqu’elle contient au moins x, et minorée par 0. Donc G ∩ R∗+ admet une borne inférieure notée a.
Naturellement, nous voulons déterminer si a ∈ G. Supposons que a 6∈ G. D’après la caractérisation de la borne inférieure, ∀ε > 0, ∃x ∈ G ∩ R∗+, a < x <
a + ε. De même, ∃y ∈ G ∩ R∗+, a < y < x. Nous avons a < x < y < a + ε
et il vient aisément 0 < y − x < ε. En particulier, pour ε = a
2, nous avons 0 < y − x < a
2. Or, G est un groupe contenant x et y donc y − x ∈ G. D’autre part, 0 < y − x donc y − x ∈ R∗+. Au final, y − x ∈ G ∩ R∗+ donc a < y − x.
Contradiction. Donc a ∈ G.
1ercas : si a 6= 0. Soit x ∈ G. Posons n :=jx a k
. Par définition de la partie entière, n ≤ x
a < n + 1 ⇐⇒ 0 ≤ x − an < a. Or, n ∈ Z et G est un groupe contenant x et a donc x − an ∈ G. Si 0 < x − an, alors x − an ∈ G ∩ R∗+ donc
a < x − an. Contradiction. Donc 0 = x − an ⇐⇒ x = an. Donc G ⊂ aZ. Réciproquement, G est un groupe contenant a donc aZ ⊂ G. Donc G = aZ.
2e
cas : si a = 0. Montrons que G est dense dans R. Soit (x, y) ∈ R2, x < y.
Nous voulons exhiber un élément g ∈ G tel que x < g < y. Nous avons 0 < y − x donc par caractérisation de la borne inférieure, ∃z ∈ G ∩ R∗+, 0 < z < y − x.
Posons m :=jx z k
. Par définition de la partie entière, m ≤ x
z < m+1 ⇐⇒ zm ≤ x < zm+z. En utilisant zm ≤ x et z < y−x, il vient zm+z < x+y−x = y. Donc x < zm + z < y. Or, m ∈ Z et G est un groupe contenant z donc zm + z ∈ G. Donc g = zm + z convient et G est dense dans R.
