2 θ ϕ x1 sin2θ cosϕ x2 sin2θ sinϕ x3 cos2θ (3.3.11) La 2-boucleΓ0
2est l’application identique qui à tout point de 0 1
2associe le point 0 0 1 de
2, et les 2-boucles Γp
2, p 0 sont des surfaces qui “enveloppent p fois” la sphère
2. Γ1
2 n’est pas homotope àΓ0
2: il n’est pas possible de passer deΓ1 2àΓ0
2sans “déchirer” la surface. Ainsi,
π0 2 π1 2 1 (3.3.12) et π2 2 1 (3.3.13)
Nous allons maintenant examiner les différents types de défauts qui peuvent être produits lors de ces transitions de phase. Ces défauts seront en fait déterminés par la topologie du groupe quo-tient G H, notamment par l’indice n du premier groupe d’homotopie non trivial, et par la structure
de ce groupe.
3.2 Zoologie des défauts topologiques 3.2.1 Murs de domaine
Le cas le plus simple se présente quand le champφ ne possède qu’une composante réelle. Dans ce cas, un champ dans un potentiel du type (3.3.1) ne peut prendre après brisure de symétrie que des valeurs de
1 ou 1, c’est-à-dire qu’on a
π0G H
2 (3.3.14)
On dit que le vide est non connecté : les zones où le champ vaut
1 seront séparées des zones où il vaut 1 par des surfaces bidimensionnelles. Par continuité, le champ va prendre des valeurs nulles sur cette surface. Étant donnée la forme du potentiel, cela se traduira par une densité d’énergie plus importante sur cette surface, alors appelée mur de domaine6. Un mur ne peut avoir de bord : il est soit fermé, soit infini. La topologie du mur ainsi formé dépend de la probabilité pour le champ d’atteindre les valeurs
1 et 1. Si l’une des deux valeurs (par exemple
1) est beaucoup plus probable que l’autre, le champ prendra dans une grande partie de l’espace la valeur
1, avec quelques “bulles” dans lesquelles il prendra la valeur 1. Si au contraire les deux valeurs sont équiprobables, la structure des surfaces de séparation sera essentiellement dominée par un seul mur infini, de topologie assez complexe (du même type que la surface d’une éponge).
3.2.2 Cordes Cosmiques
Des cordes cosmiques peuvent se former quand le schéma de brisure de symétrie est de type
G H U1 , c’est-à-dire qu’on a
π0G H 1 π1G H (3.3.15)
3.3 Défauts topologiques 47
V
φ
(φ)
φ V φFIGURE 3.1 – Formation d’une corde cosmique lors d’une transition de phase. La figure du haut représente les régions de l’espace où le champ a atteint son minimum de potentiel (NB : il s’agit ici d’une transition de phase du premier ordre par nucléation, mais le type de transition de phase n’a pas d’influence sur la nature du défaut produit), et celle du bas représente les valeurs champ correspondantes dans son potentiel. Tiré de [Hindmarsh & Kibble, 1995].
C’est par exemple le cas si le champ est à deux composantes réelles et évolue dans un potentiel du type (3.3.1). Après brisure de symétrie, le champ sera de module 1 presque partout, et sa phase sera arbitraire. Sur un contour fermé où le champ est toujours de module 1, il est alors possible de cal-culer la variation de sa phase. La phase étant univaluée, cette variation doit être un multiple de 2π. Si la variation n’est pas nulle, il est alors facile de voir que toute surface s’appuyant sur ce contour fermé va posséder au moins un point auquel le champ sera de module nul, et par conséquent où la densité d’énergie est plus grande qu’ailleurs (cf figure 3.1). Par continuité, une surface proche de la précédente va également posséder un autre point de ce type. Il existe donc toute une courbe sur laquelle la densité d’énergie est plus grande que dans le vide, c’est unecorde cosmique7. Toujours du fait de continuité de la phase, il est clair qu’une corde ne peut être que fermée sur elle-même, ou alors infinie.
3.2.3 Monopoles
Quand le schéma de brisure de symétrie est du type G H O3
O2
2, on peut visua-liser le champ en attachant à chaque point d’espace un vecteur tridimensionnel. Ce vecteur va presque partout être de module 1. Il existe cependant des configurations où sur une surface simple-ment connexe et fermée, le champ est toujours orienté selon la normale extérieure à cette surface (configuration en “hérisson”). Dans ce cas, il existe au moins un point à l’intérieur de celle-ci où le module du champ doit s’annuler : c’est unmonopole. On a donc
π0G H π1G H 1 π2G H 1 (3.3.16)
3.2.4 Textures
Une texture est définie comme le type de défauts que l’on peut avoir quand le schéma de brisure de symétrie du champ est du type G H O4
O3
3, auquel cas on a
π0G H π1G H π2G H 1 π3G H 1 (3.3.17) Visualiser une texture n’est pas facile car cela suppose de visualiser des vecteurs à quatre compo-santes. On peut cependant avoir une intuition du problème en regardant à quoi ressemble un défaut issu d’une brisure de symétrie G H O3 O2 dans un espace à deux dimensions.
Considérons donc un espace tridimensionnel qui représente l’espace dans lequel vit le champ. Attachons à chaque point un vecteur unitaire radial ˆuˆuˆuˆuˆuˆuˆuˆuˆur. À l’origine des coordonnées, on attache le vecteur nul. Plongeons dans cet espace tridimensionnel un espace-temps de dimension 2
1, où les coordonnées x y sont de genre espace et où la coordonnée z est de genre temps8. Les surfaces
z Cste sont donc de genre espace. Supposons maintenant que vecteur ˆuˆuuˆuˆuˆuˆuˆuˆuˆr décrit le champ φA. Sur toutes les surfaces z 0, le champ est de module 1 et son énergie y est minimale. Par contre, sur la surface z 0, il y a un point (l’origine) où le champ est de module nul et où son énergie est plus grande. Visuellement, le champ est initialement orienté “vers le bas”, se “retourne” au voisinage du temps z 0, et se réoriente progressivement “vers le haut”. C’est au moment où il se retourne que son module peut prendre des valeurs différentes de 1. Un tel défaut est appelétexture. Évidemment, si le champ garde la même orientation en tout point de l’espace x y à un instant donné z, le module du champ peut rester partout égal à 1. Ici, ce n’est pas le cas car le champ se retourne en empruntant des orientations différentes selon le point d’espace.
Nous pouvons maintenant retourner à notre espace-temps quadri-dimensionnel. Sur chaque point de l’espace, on associe un champφA à quatre composantes, que nous scinderons formelle-ment en une partie “vectorielle” à trois indices φφφφφφφφφ, et une partie “scalaire” φ0. Introduisons aussi une fonction ft passant de 0 àπ sur un intervalle compact centré autour de t 0. Supposons qu’en tout point de l’espace, le champ prenne les valeurs
φA
t xxxxxxxxx φ0 φφφφφφφφφ (3.3.18)
φ0
cos ft (3.3.19)
φφφφφφφφφ nˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆn sin fˆ t (3.3.20) où nous avons défini le vecteur unitaire ˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆn par xxxxxxxxx x ˆn. Au point xxxxxxxxx, le champ passe de la valeurnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆ 1 000000000
à la valeur 1 000000000 en se “dépliant le long de la direction 0 ˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆn ”. Seul le point d’espace 0 0 0
8Évidemment, l’espace dans lequel vit le champ n’a rien à voir avec l’espace temps tridimensionnel, mais on peut “superposer” ces deux espaces pour représenter la structure du champ, de même que nous l’avons fait au paragraphe précédent pour les monopoles dans un espace-temps à 3 1 dimensions.
3.3 Défauts topologiques 49
voit alors son énergie varier au voisinage de l’instant t 0, où le module du champ n’est plus égal à 1. Une texture se caractérise donc essentiellement comme un événement de l’espace-temps où l’énergie est plus élevée qu’ailleurs. Dans certains cas, ce genre d’événement peut avoir une durée et une extension spatiale plus grandes et jouer un rôle cosmologique important.
3.2.5 Textures non topologiques
Nous pouvons poursuivre l’analogie commencée au paragraphe précédent pour une brisure de symétrie de type G H ON
ON 1
N 1, avec N 4. Dans ce cas,
πiG H 1 i 0 N 2 πN 1G H 1 (3.3.21) Pour visualiser ce type de textures, nous pouvons comme au paragraphe précédent considérer une brisure de symétrie du type G H O3
O2 dans un espace-temps à 1
1 dimensions. (Le cas à des dimensions plus grandes se généralise facilement.) Plongeons donc dans l’espace tridi-mensionnel introduit précédemment un espace-temps de dimension 1
1, où z est une coordonnée de genre temps et où les hypersurfaces de genre espace ont pour équation x Cste 0, z Cste. Cette fois, même si le champ se “retourne” en z 0, il n’existe pas d’événement où le champ a un module différent de 1. (Il en existe évidemment si les sections spatiales ont pour équation x 0,
z Cste, mais de tels événements ne sont pas favorisés énergétiquement.) Il n’y a donc pas de défaut topologique à proprement parler, puisque le module du champ reste constant. Cependant, dans le cas où les gradients du champ possèdent une énergie, l’influence du champ peut se faire sentir loin du défaut. On parle alors detexture non topologique9.