δf 6
u2s fδ˙f 1
3∆δf ∆Φ (2.5.8)
Cette équation nous assure que siδf est initialement non nul (nous verrons que c’est en général le cas dans les scénarios d’inflation), alors sa dérivée est d’ordre
˙
δf k2ηδf (2.5.9)
On en déduit que tant que le mode reste hors du rayon de Hubble, il est “gelé” : son amplitude est constante, et n’évolue significativement que lorsqu’il commence à entrer dans le rayon de Hubble (i.e. quand kη 1). De même, le potentiel gravitationnel est lui aussi gelé durant cette époque.
Enfin, pour les modes qui ne contribuent pas au potentiel gravitationnel, leur équation reste la même que (2.4.1), avec le potentiel gravitationnel constant. Pour de la matière non relativiste (pour laquelle us
0), les solutions homogènes s’écrivent :
δ0
a0 (2.5.10)
δ
a 1 (2.5.11)
et une solution particulière est (en utilisant le fait que
∝η 1) : δpart ∆Φ 1 ηη 2 2 k2η2 Φ (2.5.12)
En négligeant le mode décroissantδ
, on voit donc que la solution générale de l’équation varie peu avant l’entrée du mode dans le rayon de Hubble. De même, dès que la vitesse du son du fluide ne s’annule pas, les solutions homogènes de l’équation s’expriment en terme de fonctions de Bessel d’argument uskη, et il existe une solution particulière constante.
δpart
∆Φ
us
(2.5.13) Là aussi, excepté pour un mode décroissant, le tout varie peu tant que le mode est en dehors du rayon de Hubble. La conclusion de cette étude est qu’il n’y a pas d’évolution significative des perturbations avant leur entrée dans le rayon de Hubble.
5.3 Perturbations de matière dans un Univers dominé par la courbure ou une constante cosmologique
Dans le cas où l’Univers est dominé par la courbure ou une constante cosmologique, la contri-bution des fluctuations au potentiel gravitationnel va décroître, car les paramètres de densité Ωf
des différents fluides vont tendre vers 0 (cf équation 2.4.4). Nous allons donc supposer que le po-tentiel gravitationnel est négligeable dans ce cas-là. À l’intérieur du rayon sonore, on va retrouver l’équation (2.4.1), qui en l’absence de gravité, se réécrit
¨ δf 1 3u2s f ˙ δf u2s f∆δf 0 (2.5.14)
7Pour traiter ce problème, il faut choisir un système de coordonnées, soit encore unejauge. L’interprétation des résultats dépend bien sûr de la jauge choisie. Nous avons ici choisi la jauge de feuilletage plat. La raison principale est que c’est dans cette jauge que sont définies les variables canoniques de Mukhanov pendant l’inflation, dont le comportement est relativement intuitif, cf partie III.
On obtient donc à nouveau des oscillations, qui sont amorties tant que la matière n’est pas re-lativiste. À l’extérieur du rayon sonore, en supposant encore que le potentiel gravitationnel est négligeable, l’équation (2.4.1) se réécrit
¨ δf 1 3u2s f ˙ δf 0 (2.5.15)
Pour de la matière non relativiste, cette équation n’admet qu’un mode constant et un mode décrois-sant, ce qui justifie a posteriori que le potentiel gravitationnel est négligeable. Pour la radiation, il existe un mode croissant enη. Cependant, la densité de radiation decroît en a 4, au lieu de a 3
pour de la matière non relativiste. De plus, dans une ère dominée par la courbure ou la constante cosmologique, la facteur d’échelle croît en exp
η ou η
1respectivement. Le produitΩradδrad
décroît donc plus vite que le produitΩmatδmat.
On obtient les mêmes résultats si une constante cosmologique domine. Ainsi, après l’ère do-minée par la matière, la croissance des fluctuations de grandes longueurs d’onde se fige à nouveau.
6 Conclusion
Au vu de ces résultats, nous pouvons donc résumer un scénario de formation des structures dans l’Univers de la façon suivante :
– Un processus physique commence par générer des fluctuations. Ces fluctuations peuvent être de faible amplitude, et sont (presque) toujours gelées en dehors du rayon de Hubble8. Tant que l’Univers n’est pas dominé par de la courbure ou une constante cosmologique, les modes entrent les uns après les autres dans le rayon de Hubble et peuvent alors commencer à évoluer.
– Dans un Univers dominé par de la radiation (i.e. après l’éventuelle phase d’inflation), les fluctuations de radiation oscillent et celles de matière non baryonique non relativiste croissent lentement.
– Quand l’Univers est dominé par la matière, les fluctuations de matière non baryonique croissent proportionnellement au facteur d’échelle.
– Les fluctuations de matière baryonique oscillent avec celles de photons tant que la diffusion Thomson couple les deux espèces. Ensuite, les fluctuations de matière baryonique se com-portent comme celles de matière non baryonique, pendant que celles de radiation continuent à osciller.
– Quand, plus récemment, l’Univers devient éventuellement dominé par la courbure, les modes cessent d’entrer dans le rayon de Hubble et l’instabilité gravitationnelle s’atténue, du fait de la décroissance du potentiel gravitationnel.
– Si l’Univers devient dominé par une constante cosmologique, les modes sortent les uns après les autres du rayon de Hubble, et la croissance des fluctuations s’arrête peu à peu.
Il nous reste maintenant à trouver un processus physique pouvant générer des fluctuations dans l’Univers primordial. C’est ce que nous allons décrire au prochain chapitre.
Chapitre 3
Genèse des fluctuations primordiales
Sommaire1 Introduction . . . . 39 2 Inflation . . . . 40 3 Défauts topologiques . . . . 43 4 Comparatif entre les deux mécanismes . . . . 53
1 Introduction
Le premier problème lié à la formation des structures est de trouver un mécanisme qui puisse générer des fluctuations d’amplitude suffisamment élevée et d’extension suffisamment grande pour pouvoir jouer un rôle cosmologique important. On pourrait penser que la nature exacte de ce mécanisme n’a pas beaucoup d’importance et qu’on peut se contenter de “choisir” un ensemble de conditions initiales pour les perturbations, ensemble qu’on peut ensuite essayer de contraindre par l’observation des grandes structures existant à l’heure actuelle. La réalité est cependant plus complexe car il existe une très grande variété de mécanismes pouvant les générer et que ceux-ci ont une importance cruciale sur leur évolution ultérieure. Il existe en fait deux grands types de fluctuations pouvant être produites dans l’Univers primordial : les fluctuations dites “actives” et les fluctuations dites “passives”.
Les fluctuations de typepassif évoluent essentiellement selon les équations décrites au chapitre précédent. La dénomination de passif vient du fait qu’entre le moment de leur génération et celui où elles entrent dans le rayon de Hubble, elles n’évoluent pas1. Pour générer de façon causale des perturbations sur des échelles aussi grandes que celles observées par le satellite COBE, il faut que ces échelles aient été à un instant donné à l’intérieur du rayon de Hubble, duquel elles sont sorties ultérieurement. Comme nous l’avons dit au chapitre 1, le seul moyen de réaliser ceci est d’avoir un Univers à un instant dominé par une matière se comportant comme une constante cosmologique, ou en tout cas, d’avoir un paramètre de Hubble croissant au cours du temps plus vite que le facteur
1L’évolution des perturbations en dehors du rayon de Hubble dépend, comme nous l’avons déjà dit, du choix du système de coordonnées, mais dans tous les cas, l’évolution de ces perturbations est triviale.
d’échelle. Nous savons que les théories de type inflation (cf par exemple [Linde, 1990]) permettent d’avoir une telle phase dans l’Univers primordial, permettant ainsi d’expliquer l’homogénéité et l’isotropie apparente de l’Univers. Nous allons voir ici (§2) comment elles peuvent également générer des petites fluctuations dans les différents fluides.
Comme leur nom le suggère, les fluctuations de typeactif sont générées constamment au cours du temps. Pour cela, on fait en général appel à un type de matière exotique, comme des défauts topologiques [Vilenkin & Shellard, 1994] [Hindmarsh & Kibble, 1995] ou éventuellement des champs magné-tiques, dont on suppose qu’ils se sont formés lors d’une transition de phase dans l’Univers primor-dial (§3). Ces objets évoluent au cours du temps selon une dynamique qui leur est propre, et qui n’est pas affectée par la présence des autres fluides (en fait, seul le taux d’expansion de l’Univers, c’est-à-dire la densité d’énergie totale, a une influence sur leur évolution). Par contre, ces objets produisent des perturbations de la métrique, qui agissent alors comme des termes supplémentaires (des “sources”) dans les équations d’Einstein. De même, ces objets peuvent avoir des interactions non gravitationnelles avec les autres fluides, modifiant ainsi les équations de conservation de ces derniers. On parle alors desources actives.
Nous allons maintenant donner une description plus détaillée de ces deux scénarios, en com-mençant par l’inflation.
2 Inflation
Une des plus grandes avancées de la cosmologie de ces dernières années a été la découverte du concept de l’inflation comme mécanisme qui pouvait résoudre les problèmes de l’horizon, de l’ho-mogénéité et de la platitude. Le principe revient à supposer que l’expansion de l’Univers connaît une phase accélérée sous l’influence d’un champ scalaireφ.
Un champ scalaire évoluant dans un potentiel Vφ a pour lagrangien
L 1 2DµφDµφ Vφ g d4x (3.2.1) dont on déduit la densité d’énergie et la pression dans un espace homogène et isotrope :
ρ 1 2φ 2 V (3.2.2) p 1 2φ 2 V (3.2.3)
Le paramètre de l’équation d’état peut alors varier entre 1 et
1. S’il reste au voisinage de 1 pendant un certain temps et que le champ domine en terme de densité d’énergie, alors l’Univers peut entrer dans une phase inflationnaire, qui dure jusqu’à ce que l’équation d’état du champ change suffisamment. Les moyens pour amorcer la phase inflationnaire sont variés : le champ peut, suite à une transition de phase, quitter son minimum de potentiel (c’est l’idée originale de la “vieille” inflation et de la “nouvelle” inflation), ou bien il peut quitter son minimum suite à une fluctuation quantique macroscopique (c’est par exemple le cas de l’inflation chaotique).