ρ 3 P
ρ (1.3.17)
ce qui implique que
ρ ∝a 3 1
ω
(1.3.18) Ainsi, la densité d’énergie de matière non relativiste décroît comme a 3, ce qui résulte juste de l’augmentation d’un volume comobile comme a3 au cours du temps et de la dilution de matière correspondante. La densité d’énergie de matière relativiste décroît comme a 4, car en plus de l’expansion, s’ajoute l’effet de redshift mentionné plus haut : l’énergie individuelle de chaque photon (ou neutrino) décroît comme a 1. Ce phénomène ne se produit pas pour de la matière non relativiste, puisque l’énergie d’une particule est uniquement donnée par l’énergie de masse, qui est constante au cours du temps.
Une conséquence fondamentale pour la cosmologie est que l’Univers primordial était dominé par la radiation. La domination par la matière n’est que “relativement récente”12.
3.4 Les équations de Friedmann
Les équations d’Einstein appliquées à un Univers homogène et isotrope s’appellent les équa-tions de Friedmann. En présence d’une éventuelle constante cosmologique Λ, elles s’écrivent13
3 2 K Λa2 κa2
∑
f ρf (1.3.19) 2 ˙ 2 K Λa2 κa2∑
f Pf (1.3.20)12La domination de la matière est “récente” en terme de redshift (z 104, cf équation 1.4.7), alors que l’époque de Planck remonte à z 1028, (cf équation 1.4.10). En terme d’âge, la domination de la matière commence dès quelques centaines de milliers d’années après le Big Bang, dans un Univers aujourd’hui vieux d’environ 15 milliards d’années.
13Λa ici la dimensionL
oùκ est la constante d’Einstein :
κ 8π
c4 (1.3.21)
étant la constante de Newton. La somme dans les membres de droite concerne tous les fluides (parfaits) dont la densité d’énergie ou la pression contribuent significativement à la densité d’éner-gie ou à la pression totale. On voit immédiatement que la constante cosmologique se comporte comme un fluide parfait, de densité d’énergie et de pression
ρΛ Λ κ (1.3.22) PΛ Λ κ ρΛ (1.3.23)
soit un fluide dont le paramètre de l’équation d’état estωΛ 1. De même, on peut formellement considérer la courbure comme un fluide parfait de densité d’énergie et de pression
ρK 3K κa2 (1.3.24) PK K κa2 1 3ρK (1.3.25)
c’est-à-dire tel que ωK
1
3. Nous appellerons densité d’énergie et pression totales la densité d’énergie et la pression obtenues en sommant les contributions de tous les fluides ainsi que la constante cosmologique, et nous noterons avec l’indice B14celles obtenues en incluant également la courbure : ρtot ρΛ
∑
f ρf Ptot PΛ∑
f Pf (1.3.26) ρB ρK ρΛ∑
f ρf PB PK PΛ∑
f Pf (1.3.27)Une fois connu le contenu matériel de l’Univers, il est possible de déduire la loi d’évolution du facteur d’échelle. Nous avons vu que la matière et la radiation avaient une densité qui décroissaient respectivement en a 3 et a 4. De même la densité d’énergie associé à la constante cosmologique et la courbure décroissent respectivement en a0 et a 2. Pour ces quatre fluides, la forme de la pression permet d’associer un paramètre d’équation d’état, qui vaut respectivement 0, 13, 1,
1 3, compatible avec la loi d’évolution de leur densité d’énergie respective (cf équation 1.3.18). Il est alors possible de résoudre l’équation d’évolution du facteur d’échelle, qui donne :
a∝η1 32ωB (1.3.28)
En principe,ωBest aussi une fonction du temps puisque les densité des différentes espèces n’évo-luent pas de la même façon au cours du temps. En pratique,ωBest presque constant sur de longues périodes où un type de constituant (matière, radiation) domine l’Univers. Dans le cas limite d’un Univers dominé par la courbure15 (ωB
1
3), le paramètre de Hubble conforme est constant
14B pour “Background”
15Cela suppose que la densité d’énergie associée soit positive, c’est-à-dire que l’Univers soit ouvert. Dans le cas d’un Univers fermé, la densité d’énergie associée à la courbure est négative et donc au plus égale en valeur absolue à la somme des densités d’énergie des autres composantes.
1.3 L’Univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker 11
(
K), et l’expansion vue en temps conforme est exponentielle (ce qui représente la limite
d’un exposant infini dans 1.3.28). On peut de même raisonner en temps cosmique. Les équations de Friedmann s’écrivent alors
3 H2 c2 K a2 Λ κ
∑
f ρf (1.3.29) 2H c2 3H 2 c2 K a2 Λ κ∑
f Pf (1.3.30)La densité d’énergie totale évolue donc selon
a∝t
2 31 ωB
(1.3.31)
ce qu’on pouvait directement voir en effectuant le changement de variable (1.3.2) dans (1.3.28). Dans le cas d’un Univers dominé par la constante cosmologique, le facteur d’échelle croît ex-ponentiellement avec le temps et le paramètre de Hubble est constant. Il faut pour cela que la constante cosmologique soit positive. Un point intéressant est qu’en remontant dans le passé, le facteur d’échelle tend toujours vers 0. Il arrive d’ailleurs à 0 en un temps fini dès queω 1. De même, il atteint 0 en un temps cosmique fini dès queω
1
3. Ces deux contraintes sont réalisées par toute forme de matière connue16, c’est-à-dire que le scénario de Big Bang chaud prédit un horizon et un âge fini à l’Univers. L’ensemble de ces résultats est résumé dans le tableau 1.1. Une autre conséquence importante est que la taille de l’horizon ηaη croît plus vite que les distances physiques (proportionnelles à aη). En d’autres termes, un observateur, “voit” des longueurs de plus en plus grandes “entrer dans l’horizon” à mesure que se déroule l’expansion. Notons qu’il s’agit d’un cas particulier, et que dans le cas d’un Univers dominé par la constante cosmologique, c’est le contraire qui se produit. Ceci a des conséquences importantes sur la physique de l’Univers primordial et sera développé au paragraphe 7.
Il est utile de définir le concept dedensité critiqueρcrit, à savoir la densité qu’aurait un Univers avec le même taux d’expansion, mais avec des sections spatiales plates (K 0) :
ρcrit 3
2
κa2 (1.3.32)
On peut alors définir pour chaque espèce leparamètre de densitéΩf par sa contribution à la densité critique :
Ωf ρf
ρcrit (1.3.33)
Dans le cas d’un Univers plat, la somme des Ωf vaut 1, elle est supérieure à 1 si l’Univers est fermé et inférieure à 1 s’il est ouvert17:
∑
i fΛ Ωi 1 K 2 (1.3.34)16Un Univers ouvert vide de matière n’y satisfait pas tout à fait carωB
1
3, mais dès qu’on y ajoute un peu de matière, la condition est à nouveau satisfaite.
17On peut aussi suivant (1.3.24) associer un paramètre de densité à la courbureΩK K
2, auquel cas, la somme de tous lesΩ(incluant la courbure) est de 1.
Type de matière Symbole ω ρ at aη Notes Cas général f ωf ∝a 3 1 ωf ∝t 2 31 ωf ∝η1 32ωf Champ scalaire en régime cinétique, ρk Pk k 1 ∝a 6 ∝t13 ∝η1 2 Radiation rad 13 ∝a 4 ∝t12 ∝η Matière mat 0 ∝a 3 ∝t23 ∝η2 Courbure K 1 3 ∝a 2 ∝t ∝exp η Cste, K 0 Constante cosmolo-gique ou champ sca-laire en régime po-tentiel
Λ 1 ∝a0 ∝expHt ∝ η 1 H Cste,
Λ 0
η 0
TABLEAU1.1 – Évolution du facteur d’échelle selon le type de matière dominant dans l’Uni-vers. Nous avons inclus les deux cas extrêmes d’un Univers dominé par un champ scalaire en régime cinétique (en “roulement rapide”), ou potentiel (en “roulement lent”), qui auront leur importance dans certains scénarios de quintessence (voir partie IV), ainsi que pendant l’inflation.
Les équations de Friedmann permettent également de calculer l’âge de l’Univers ainsi que la taille de l’horizon. En l’absence de champ scalaire et de constante cosmologique, on peut les calculer exactement en résolvant les équations de Friedmann (cf annexe B). Signalons simplement la solution dans un espace plat rempli de matière non relativiste :
t0
2 3
1
H0 (1.3.35)
Ainsi, le temps de Hubble tH 1 H, défini comme l’inverse du paramètre de Hubble H, donne
un ordre de grandeur de l’âge de l’Univers. Les mesures du taux d’expansion aux alentours de 100 km s 1Mpc 1indiquent donc un âge de l’ordre de 15 milliards d’années, compatible avec les âges des plus vieilles étoiles et les abondances de certains éléments radioactifs. Il est possible de “rallonger” l’âge de l’Univers (i.e. d’augmenter la constante de proportionnalité entre t0et H 1
0 ) en rajoutant de la courbure (négative) ou de la constante cosmologique (positive)18. Notons enfin que dans certains cas (courbure ou constante cosmologique non nulle) il se peut que l’expansion ne dure pas indéfiniment mais laisse place à une période de contraction de l’Univers, et que par le passé l’Univers ait déjà connu une phase de contraction pour ensuite “rebondir” sans passer par une singularité et entrer dans la phase d’expansion observée aujourd’hui (cf annexe B), mais ces scénarios ne s’inscrivent pas dans le cadre du modèles cosmologique standard.
18En effet, l’équation (1.3.31) nous assure que l’évolution du facteur d’échelle suit a 0 dans un Univers dominé par la matière ou la radiation, ce qui correspond à l’intuition d’une expansion qui décélère au cours du temps. En rajoutant de la courbure ou une constante cosmologique, on augmente a, c’est-à-dire qu’on rend l’expansion moins rapide dans le passé, ce qui rallonge d’autant l’âge de l’Univers.
1.4 L’histoire thermique de l’Univers 13
4 L’histoire thermique de l’Univers
Nous avons vu que l’énergie des photons diminuait avec l’expansion. Un raisonnement si-milaire permet de voir que la température des photons (dans l’hypothèse où leur distribution est thermalisée) décroît inversement proportionnellement au facteur d’échelle. Un tel scénario est donc appelé Big Bang chaud19: l’Univers primordial était dans le passé plus dense et plus chaud qu’au-jourd’hui. À mesure que l’on remonte dans l’histoire de l’Univers, le contenu matériel de celui-ci varie avec sa température.
À très haute température, l’Univers est composé d’un mélange de plusieurs espèces relativistes en interactions. Les abondances relatives de chacune de ces espèces ne dépendent que du nombre d’états de spin ou autres degrés de liberté internes de chaque espèce, et de leur nature fermionique ou bosonique. Ces différentes espèces sont initialement relativistes et deviennent les unes après les autres non relativistes quand leur température descend en-dessous de leur énergie de masse. De plus, leurs interactions entre elles et avec le reste de la matière vont baisser avec la température. Le devenir de chaque espèce va ainsi dépendre de ses interactions. Si une espèce cesse d’interagir avant son passage à l’état non relativiste, elle va garder une distribution de corps noir et le même nombre de particules par volume comobile. C’est par exemple ce qui va se passer pour les neutri-nos. Par contre, si les particules peuvent interagir entre elles après être devenues non relativistes, elles vont s’annihiler par paires et disparaître presque totalement (leur densité résiduelle sera pro-portionnelle à exp ∆mc2 kBT , et ne cessera de diminuer qu’au moment où la dilution de ces particules sera telle que leur probabilité d’interactions sera devenue complètement négligeable). C’est ce qu’il se passe pour la majorité des particules du modèle standard.
On pense que la matière noire a peut-être été en équilibre thermique avec le reste de l’Univers, mais qu’elle s’en est découplée depuis longtemps. À l’heure actuelle, il en reste une fraction suffi-samment grande pour jouer un rôle majeur dans l’histoire récente de l’Univers. Pour expliquer la forme des halos de galaxies, il faut que cette matière soit non relativiste. On parle alors dematière noire froide20. Il est aussi possible qu’une partie de cette matière noire soit composée de particules devenues non relativistes assez récemment (peu de temps avant la recombinaison). On parle alors dematière noire chaude21. Des neutrinos massifs feraient partie de cette catégorie.
À une température d’environ 10 MeV (z 3
1010) le modèle standard de physique des par-ticules prédit qu’il ne reste plus qu’un mélange de photons, neutrinos et paires électrons-positrons relativistes, ainsi que des protons et des neutrons (non relativistes) et d’éventuelles particules de matière noire n’interagissant plus que gravitationnellement avec le reste de l’Univers22. Les pho-tons, neutrinos, électrons et positrons interagissent par interactions faible et électromagnétique et sont thermalisés. Tous ont même température.
Les calculs indiquent que quand la température descend en dessous de 1 MeV a lieu le
décou-19Par opposition à des scénarios dits de “steady-state”, reposant sur l’hypothèse du principe cosmologique parfait. De tels scénarios contrebalancent la dilution de la matière et le refroidissement dus à l’expansion par une création continue de matière. Outre le côté très ad hoc de cette explication, l’observation du rayonnement fossile, dont la forme est extrêmement proche du corps noir, rend ces théories très peu attrayantes.
20Cold Dark Matter, ou CDM 21Hot Dark Matter, ou HDM
22Il existe probablement aussi un fond cosmologique de gravitons qui ont sans doute été la première espèce à se découpler du reste de l’Univers. La détection de ce fond d’ondes gravitationnelles sera sans doute un des enjeux majeurs de la cosmologie du siècle prochain. Nous verrons que l’observation de la polarisation du rayonnement fossile pourrait apporter la première preuve indirecte de son existence.
plage des neutrinos, à un redshift d’environ23
zν 3
109 (1.4.4)
Ceux-ci cessent d’interagir avec le reste de l’Univers. La distribution des neutrinos n’est plus en équilibre thermique, mais garde un spectre de corps noir dont la température décroît avec l’expan-sion (cf chapitre 5).
Quand la température descend en-dessous de l’énergie de masse des électrons-positrons (mec2 511 keV), ceux-ci s’annihilent. Comme le découplage avec les neutrinos a déjà eu lieu, l’annihilation ne crée que des photons24. On a alors un réchauffement du fluide de photons par rapport au fluide de neutrinos, à un redshift d’environ
ze e
mec2
kBT0 2
109 (1.4.5)
Quand la température descend en dessous de 0 1 MeV, l’énergie des photons devient suffisamment basse pour permettre la formation de noyaux atomiques. C’est lanucléosynthèse primordiale, du-rant laquelle seuls des noyaux légers (deutérium, tritium, hélium et lithium) sont formés25. Le redshift correspondant est d’environ
znuc 3
108 (1.4.6)
L’abondance des éléments légers dépend du rapport entre le nombre de photons et de baryons, de la durée de la nucléosynthèse, et du rapport des abondances de neutrons et protons, directement relié à la durée de vie du neutron. La durée de la nucléosynthèse dépend du contenu matériel de
23La méthode utilisée pour ce calcul est la suivante : il faut comparer les temps caractéristiques qui interviennent dans le problème, à savoir le taux d’expansion (le paramètre de Hubble) et le taux de collision. Les équations de Friedmann nous assurent que, pour des espèces relativistes
H2∝κρ ∝
c2
kBT4
c3 (1.4.1)
D’autre part, le taux de collisionΓs’écritΓ
nσv, oùσ représente la section efficace de collision et v la vitesse relative entre deux particules, dont on moyenne le produit sur la distribution de vitesse des particules. Pour des neutrinos sans masse, v
c, et la section efficace est celle de l’interaction faible à basse énergie (c’est-à-dire à des énergies
inférieures à l’énergie de masse des bosons de l’interaction faible, 100 GeV), qui est de la forme
σ ∝G2FE2 (1.4.2)
où E est l’énergie des neutrinos et GFest la constante de couplage de Fermi, GF
293 GeV
2. L’arrêt des réactions se produit quand le taux de réaction devient plus petit que le taux d’expansion. Ici,
Γ H∝ kBT 3 c 3 cG2FkBT 2 c 2 c2 kBT 4 c 3 kBT 3 G2FEPl (1.4.3)
dont on déduit que le découplage se produit aux alentours de 1 MeV.
24En fait, l’annihilation a lieu peu de temps après le découplage des neutrinos. Le découplage n’est alors pas tout à fait terminé à ce moment-là, et le fluide de neutrinos est légèrement réchauffé. En pratique, cela revient à considérer un nombre “effectif” de neutrinos égal à 3 04 au lieu de 3 [Lopez et al., 1999].
25La raison à cela est que la nucléosynthèse forme majoritairement des noyaux d’hélium-4. En effet, il n’existe pas de noyaux atomiques stables à cinq ou huit nucléons, et il est par conséquent difficile de créer des noyaux plus lourds à l’aide d’hélium-4. Pour cela, il faut faire interagir trois noyaux d’hélium-4, processus beaucoup trop lent pour se produire durant les quelques minutes que dure la nucléosynthèse. Il peut par contre se produire ultérieurement au cœur des étoiles massives[Burbidge et al., 1957]. C’est lanucléosynthèse stellaire.
1.4 L’histoire thermique de l’Univers 15
l’Univers à cette époque-là. Les observations de l’abondance des éléments légers donnent ainsi des contraintes très fortes sur l’état de l’Univers à cette époque-là, et sont un des plus beaux succès du modèle de Big Bang chaud. Notons que la température à laquelle se produit la nucléosynthèse (0 1 MeV) est bien plus basse que l’énergie de liaison de l’atome d’hélium (28 3 MeV). Ceci est dû au fait que la densité de photons est beaucoup plus élevée que la densité de baryons (contrairement à ce qu’il se passe lors de l’annihilation électrons-positrons, qui sont en nombre semblable aux photons), ce qui recule d’autant la température de transition.
Comme la densité d’énergie sous forme de matière relativiste décroît plus vite que celle de matière non relativiste, il se produit à un moment la transition radiation-matière, aussi appelée équivalence, dont le redshift exact n’est pas bien connu du fait des incertitudes sur la densité de matière noire : zeq Ω0 mat Ω0 rad 1 104 (1.4.7)
Enfin, quand la température de l’Univers est de l’ordre de l’énergie de liaison de l’atome d’hy-drogène ou d’hélium ( 13 6 eV), a lieu larecombinaison. Là encore, la recombinaison a lieu à un température plus basse car le rapport du nombre de photons au nombre de baryons est très élevé, et que la matière ne peut se (re)combiner que quand la fraction la plus chaude des photons n’est pas trop énergétique. Nous verrons plus loin que la température de la recombinaison est d’environ 3300 K, c’est-à-dire que le découplage s’est produit à un redshift d’environ
zrec 1200 (1.4.8)
À l’issue de la recombinaison, la quasi totalité des électrons sont liés aux noyaux atomiques. La diffusion d’un photon se faisant (à basse énergie) essentiellement à l’aide d’électrons libres, l’Univers devient soudainement transparent aux photons. C’est le découplage des photons. Les photons du rayonnement fossile ont commencé à se propager librement peu de temps après, à un redshift d’environ
zdec 1100 (1.4.9)
La région d’émission de ces photons forme une sphère centrée sur nous et est appelée surface de dernière diffusion26. Le rayonnement fossile représente donc la plus vieille image électromagné-tique du monde. De la même façon, il existe un rayonnement fossile de neutrinos, émis lors du découplage des neutrinos à une époque plus ancienne (zν 3
109). Ce rayonnement est très dif-ficile à détecter, mais des preuves indirectes de son existence sont données par les résultats de la nucléosynthèse27. Un rayonnement fossile de gravitons, émis beaucoup plus tôt dans l’histoire de l’Univers, devrait aussi exister, et son intensité est également contrainte par la nucléosynthèse.
Actuellement, l’Univers est dominé par de la matière non relativiste (et peut-être depuis peu par une composante qui pourrait être une constante cosmologique ou un champ scalaire). L’Univers est “froid” : la température du rayonnement fossile est seulement d’environ 2 7 K. Notons ceci dit que les observations (notamment le test de Gunn-Peterson28) indiquent que la quasi-totalité de la
26Last Scattering Surface, ou LSS, à ne pas confondre avec Large Scale Structure qui possède également la même abréviation.
27Pour rendre compte de l’abondance des élément légers, il faut que la nucléosynthèse ait duré un certain temps. Cette durée ainsi déduite est compatible avec l’existence de ce fond cosmologique de neutrinos via les équations d’Einstein, qui relient le taux d’expansion au contenu matériel de l’Univers.
28Ce test [Gunn & Peterson, 1965] consiste à observer l’absorption Lyman-α de l’hydrogène neutre situé entre une source à haut redshift et un observateur. Le fait que l’absorption des spectres des quasars ne soit pas totale à ces longueurs d’onde permet de donner des contraintes très fortes sur la proportion d’hydrogène neutre dans l’Univers cf par exemple [Steidel & Sargent, 1987] [Songaila et al., 1999].
matière baryonique est ionisée, alors que les calculs indiquent que la recombinaison est presque totale. On suppose donc qu’uneréionisation s’est produite entre l’émission du rayonnement fossile et maintenant, sans doute à l’époque de la formation des premiers objets compacts, mais il s’agit là d’un phénomène encore mal compris (cf par exemple [Madau, 2000]).
Notons enfin que plusieurs autres événements d’importance se sont produits dans l’histoire de l’Univers. Un des plus importants est labaryogenèse : l’Univers observable est composé uni-quement de matière et non d’antimatière29. Or, pour des raisons de symétrie, on pense qu’à des époques plus reculées, il y avait la même densité de baryons et d’antibaryons. Il faut donc invoquer un mécanisme qui produise légèrement plus de baryons pour expliquer l’asymétrie observée au-jourd’hui. L’asymétrie matière-antimatière est cependant assez faible, de l’ordre de 10 9, mais le mécanisme qui l’a générée n’est pas bien connu. De même, il a du se produire, sans doute au même moment, une asymétrie électrons-positrons (leptogenèse)30, ainsi éventuellement qu’une asymé-trie neutrinos-antineutrinos31. Du fait que le paramètre de densité totale est de l’ordre de 1 (cf §6),