Point de vue fréquentiel : effet des clusters sur la bande de gain et la

ω

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ω

ω

ω

Fig. 3.6: Peignes de modes du signal et du complémentaire tels que ωp = ωs+ ωc = cste dans un

OPO doublement résonnant. Les modes se recouvrant partiellement forment les clusters. Ls

est la longueur optique de la cavité signal.

Dans le modèle précédent, le verrouillage actif des modes d’un DRO a été traité dans le domaine temporel. Le résultat principal est que la durée des impulsions résulte d’une bande de gain réduite par la différence de vitesse de groupe entre le signal et le complémentaire. Nous allons adopter ici une approche dans le domaine fréquentiel, et montrer que la dispersion joue, de manière générale, un rôle particulièrement important dans le DRO. L’objectif est encore d’évaluer la durée des impulsions produites par un DRO à modes verrouillés en phase.

La Fig. 3.6 schématise les peignes de fréquence signal et complémentaire dans le diagramme de Giordmaine et Miller [Gio66]. Dans ce diagramme, les résonances de la cavité à ωs et ωc

sont tracées dans deux directions opposées. Les modes de cavité alignés selon une verticale sont ceux respectant la conservation de l’énergie ωp = ωs + ωc. Par conséquent ce sont les seuls

autorisés à osciller. On parle de modes coïncidents. En raison de la finesse limitée de la cavité, cette condition de coïncidence n’est pas stricte et l’oscillation est possible pour des groupes de modes se recouvrant partiellement, ou clusters. La Fig. 3.7 présente le résultat d’un calcul des

clusters dans un DRO pompé à 532 nm similaire à celui étudié au début de ce chapitre ainsi qu’au chapitre expérimental 3.4.

Le principe de ce calcul est simple. Les peignes de fréquence signal et complémentaire sont modélisés par la fonction de transmission d’un étalon Fabry-Perot dont l’intervalle spectral libre est celui de la cavité du DRO :

T (ϕ) = (1 − R)

2

1 − 2R cos (ϕ) + R2, (3.20)

où R est la réflectivité d’un des miroirs du Fabry-Perot, si bien que 1 − R2 sont les pertes de

la cavité, supposées identiques pour le signal et le complémentaire. Ces pertes sont d’environ 6 %, soit une finesse de 50. ϕ est le déphasage sur un aller-retour dans l’étalon, c’est-à-dire sur un tour de cavité. Il dépend de la longueur d’onde et de la longueur optique de la cavité Lopt à

travers la relation classique

ϕ (λ) = 2πLopt(λ) λ . (3.21) 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (µm) (a) 1.056 1.058 1.060 1.062 1.064 1.066 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 nm 6.3 nm (b) (µm) 1.2 nm

Fig. 3.7: (a) Modélisation des clusters dans un DRO pompé à 532 nm en cavité linéaire et fonction- nant à la dégénérescence. L’ISL de la cavité est de 115 MHz et sa finesse de 50. Courbe noire : bande de gain. Courbe verte : Clusters, d’après (3.23). (b) Zoom montrant les deux premiers clusters.

Le déphasage des ondes sur un tour de cavité dépend de la dispersion des différents éléments optiques, comme le cristal non-linéaire et le modulateur de pertes (la dispersion des miroirs est négligée), mais il dépend également du déphasage non-linéaire à la traversée du cristal. Ce déphasage non-linéaire dépend du désaccord de phase, qui dépend lui-même de la longueur

3.3 Modèles de verrouillage en phase actif des modes d’un OPO doublement résonnant d’onde. Ceci s’écrit pour une cavité en anneau :

ϕ (λ) = −∆k (λ) lc+

2π

λ (Lcav − lc− lmod+ nc(λ) lc+ nmod(λ) lmod) , (3.22) où Lcav est la longueur physique de la cavité, et ∆k (λ) est le désaccord de phase. Dans une cavité

linéaire, le déphasage est multiplié par deux. Dans le calcul nous supposons que le désaccord de phase est exactement nul à la dégénérescence à 2λp = 1,064 µm. Les clusters sont formés par la

superposition des peignes de fréquence signal et complémentaire. Cette superposition est donnée par le produit des fonctions de transmissions pour l’onde signal et l’onde complémentaire :

Tclusters(λ) = T (λ) · T  1 λ−1 p − λ−1  , (3.23)

où λ désigne indifféremment la longueur d’onde signal ou complémentaire. De plus, la longueur de la cavité est ajustée de sorte que le mode situé exactement à la dégénérescence (1,064 µm) soit résonnant. La conséquence est la présence d’un cluster autour de 1,064 µm, comme sur la Fig. 3.7. Parce que le gain est faible (q2_l2

c ' 0,45), le gain par passage en fonction du désaccord

de phase, normalisé à son maximum, est approximativement donné par (cf. Chap. 1.6.1) (qlcsinc∆klc/2) 2 . 1.056 1.058 1.060 1.062 1.064 1.066 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 nm 4 nm 5.5 nm (µm) 0.12 nm 0.4 nm 0.05 nm

Fig. 3.8: Modélisation similaire à celle de la Fig. 3.7 avec cette fois une première résonance à λ0−

λ0/100(vert) ou λ0− λ0/10(bleu foncé).

Les modes qui oscillent dans le DRO doivent appartenir aux clusters et être situés sous la bande de gain paramétrique. On peut ainsi considérer que la bande de gain effective du DRO

est donnée par le produit de la bande de gain paramétrique et de la fonction représentant les clusters. Cette nouvelle bande de gain a une forme et une largeur très différente de la bande de gain paramétrique. Sur la Fig. 3.7, nous voyons qu’environ 5 clusters signal sont susceptibles d’osciller, comprenant au total 1600 modes. En réalité, rien n’impose l’existence d’une résonance à la dégénérescence exacte à λ0. Au contraire, les fluctuations (mécaniques, thermiques, etc.)

de la longueur optique de la cavité font sans cesse glisser les peignes de fréquences, empêchant ainsi qu’une résonance exacte ait lieu à λ0. Ceci a une conséquence importante sur l’allure de

la bande de gain effective, puisque le premier cluster n’est plus nécessairement situé autour de λ0. Un exemple est donné sur la Fig. 3.8, où le premier mode résonnant est maintenant

situé à λ0/100 de la dégénérescence exacte. Ceci permet également d’expliquer les sauts de

modes caractéristiques du DRO. Si la longueur de la cavité varie, le cluster le plus proche de la dégénérescence disparaît, tandis qu’un nouveau cluster apparaît ailleurs dans la bande de gain, ce qui provoque un saut d’un cluster à l’autre, donc des sauts de modes.

Les exemples précédents montrent que largeur du premier cluster peut varier et que tous les clusters n’ont pas une largeur identique. Nous pouvons néanmoins considérer que la largeur typique d’un cluster signal proche du milieu de la courbe de gain est comprise entre 0,05 et 0,6 nm, soit entre 0,013 THz et 0,16 THz3 _{ou encore 100 à 1400 modes signal. D’après (3.15) les}

impulsions correspondantes font entre 45 et 150 ps. Il est intéressant de voir que ce modèle donne une durée d’impulsion du même ordre de grandeur que l’approche dans le domaine temporel du Chap. 3.3.2. Ceci provient du fait que dans les deux cas c’est la dispersion entre l’onde signal et l’onde complémentaire qui est à l’origine du rétrécissement de la courbe de gain. Ici encore nous remarquons que la dispersion en régime doublement résonnant a un effet important sur la durée d’impulsion, mais que cette dernière reste néanmoins dans le domaine picoseconde.

3.4 Verrouillage en phase actif d’un OPO doublement ré-