Quelques éléments de modélisation

Avant-propos

Il apparaît rapidement qu’un système où laser et OPO sont fortement couplés possède une dynamique très complexe, qu’il est impossible de décrire avec la plupart des modèles analy- tiques habituels. En effet, nous sommes en présence de deux oscillateurs à gain, dont les temps caractéristiques peuvent être à la fois trop semblables ou trop différents pour pouvoir en négli- ger certains par rapport à d’autres. Par exemple, les temps d’aller-retour des deux cavités sont similaires, mais pas nécessairement rigoureusement identiques. Les temps de vie des photons eux, peuvent différer d’un ordre de grandeur : les pertes d’un laser Nd:YAG sont typiquement de 90 % (coupleur de sortie de 10 %), mais celle d’un OPO doublement résonnant de quelques pourcents seulement. La réponse de l’OPO ne peut donc pas être considérée comme étant instantanée, comme pour le miroir de Stankov décrit précédemment. Ceci est d’autant plus vrai que le temps de construction de l’oscillation paramétrique est non négligeable (quelques nanosecondes).

4.7 Vers un OPO comme miroir non-linéaire ? de champ fort. Mais cela revient à négliger le dépeuplement et la reconversion très rapides de la pompe, donc l’effet de miroir non-linéaire. La même approximation est impossible pour le laser, parce que celui-ci peut avoir naturellement un fort gain et de fortes pertes (cas du Nd:YAG), et également parce que de fortes variations de puissance peuvent être provoquées par l’OPO (réflectivité non-linéaire). L’inversion de population ne peut pas être considérée comme constante, car l’OPO est susceptible de déclencher passivement le laser. De plus, la dynamique de la saturation du gain doit être prise en compte, en particulier dans les lasers à forts gain comme le Nd:YAG. Cela interdit de considérer que l’inversion de population est saturée par la puissance moyenne dans la cavité, ce qui est fait habituellement dans les équations de débit.

D’un point de vue spectral, aucun des deux oscillateurs ne peut bien sûr être considéré comme monomode. La phase non-linéaire dans l’OPO ne peut pas non plus être fixée à l’avance, car elle est amenée à évoluer pendant le verrouillage des modes. De plus, on doit distinguer sa valeur à l’aller de sa valeur au retour, car la conversion non-linéaire ne se fait pas vers les mêmes ondes dans les deux sens. Dans le cas où l’OPO est doublement résonnant, la situation se complique puisque l’oscillation doit être maintenue pour les deux ondes, ce qui rajoute une contrainte sur la phase. Cette oscillation doit d’ailleurs être possible pour tous les modes qui seront amenés à être verrouillés en phase. Cette contrainte est très forte lorsque la cavité du DRO est fortement surtendue, ce qui est nécessaire par avoir un seuil d’oscillation bas, et donc une saturation plus facile du DRO en tant que miroir non-linéaire.

En conclusion, l’OPO intracavité utilisé comme miroir non-linéaire nécessite une modélisa- tion spatio-temporelle des champs E (z,t), tenant compte de l’inversion de population et de la cohérence du milieu laser (gain et phase). Elle doit également comporter la résolution exacte des équations non-linéaires, et si possible tenir compte de la dispersion.

Principe du modèle

Pour la partie laser, le modèle se fonde sur les travaux de Fleck [JAF70] portant sur les lasers à absorbant saturable, déclenchés passivement ou à modes verrouillés. Nous invitons fortement le lecteur à se référer à cette publication pour en savoir plus sur les détails de ce modèle. L’idée de base est de se placer dans le domaine temporel. L’inversion de population, la cohérence du milieu et le champ électrique (onde plane) sont décrits par trois équations différentielles couplées, dépendant du temps t et de la coordonnée longitudinale z. L’avantage de ce modèle est qu’il ne fait aucune présupposition sur le profil spatial des champs en z. Le hole burning spatial peut être inclus, mais nous choisirons de ne pas le faire, par soucis de simplicité. La prise en compte de la largeur de gain ∆υ du laser, et donc de son caractère multimode, se fait via la description de l’évolution temporelle de la cohérence. Cela nécessite une discrétisation en temps inférieure au temps de décohérence T2 = 1/π∆ν . Pour un laser relativement étroit

!z = c.!t

ic₁ ic₂ ic_2b ic_1b N

1

A’_s(i)=A’_s(i) + dz*(…)

Y(ic₂)=A_p2_(ic 2)… Y(M+1)=R_M*Y(M+1) Y_out=(1-R_M)/R_M*Y(M+1) M A_s(i)=A_s(i) + dz*(…)

A’_p(ic_2b)="Y(ic_2b)… Y(1)=R*Y(1)

A’_s(ic_2b)=r_s*A_s(ic₂) A_s(ic₁)=r_s*A’_s(ic_1b)

Fig. 4.24: Principe de la discrétisation dans la modélisation du laser avec DRO intracavité.

comme le Nd:YAG, T2 = 2,6 ps, soit un pas spatial ∆z = cT2 = 0,8 mm. Une cavité linéaire de

1 m nécessite donc au moins 2500 points pour être décrite. Un tour de cavité comprend donc 25002 _{' 6 10}6 _{itérations pour chacune des équations différentielles à résoudre. Ce nombre est}

important, mais il est nécessaire si l’on veut décrire la dynamique du laser à toutes les échelles de temps, i.e. aussi bien le verrouillage des modes (ps) que le déclenchement passif (ns), tout en tenant compte de l’évolution du gain (µs). En pratique le calcul se fait sur une largeur de gain environ 10 fois plus faible, afin de réduire le nombre d’itérations de deux ordres de grandeur.

Pour la partie OPO, le modèle résout numériquement les équations non-linéaires (A.17) dans le domaine temporel, discrétisées à l’ordre 2. La dispersion n’est pas prise en compte. Afin de pouvoir décrire l’interaction entre les deux cavités, la cavité est discrétisée spatialement avec un pas ∆z et les équations résolues en fonction de z seulement. Puis les champs sont propagés sur la distance ∆z qui correspond au laps de temps ∆t = ∆z/c. Chaque cavité linéaire est décrite dans deux directions, mais de façon indépendante. Ceci est possible car nous avons négligé le hole burning spatial. La réflexion est décrite en réinjectant les “tranches” de champs arrivées en bout de cavité, corrigées du coefficient de réflexion du miroir. Ce principe est décrit sur la Fig. 4.24. Afin de tenir compte de la focalisation dans le cristal non-linéaire, le facteur wg/wc

est appliqué au champ laser à l’entrée dans l’OPO. Pour faciliter la gestion des tableaux de données, le modèle est codé sous MATLAB.

Un DRO à la dégénérescence exacte (coupleur de sortie 95 %), placé dans la cavité d’un laser Nd:YAG (coupleur de sortie 10 %) a été modélisé. L’objectif de cette simulation était de tester la robustesse du code de calcul. L’allure des impulsions s’avère très complexe et se prête difficilement à toute interprétation à priori. S’agissant de deux oscillateurs couplés non-linéaires en interaction forte, on peut également douter de la stabilité et de la précision du calcul. Dans certaines conditions, un comportement “chaotique” a été observé, sans qu’il soit possible de

4.7 Vers un OPO comme miroir non-linéaire ? l’attribuer de façon certaine à du verrouillage de modes. Bien qu’il ne soit pas rare d’obtenir un tel comportement lors de la modélisation d’un OPO [Moo93], il est apparu comme indispensable de valider le code sur des résultats expérimentaux avant de pouvoir présenter des résultats de simulation. C’est ce qui est proposé dans le paragraphe suivant.